Синтез волноведущих систем волоконной оптики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ • им. М. В. Ломоносова Физически!! факультет, кафедра математики

На правах рукописи РГБ ОД УДК 021.372.2:621.315.01

1 ? ОЕВ 1996

Красильннкова Анна Владимировна

СИНТЕЗ ВОЛНОВЕДУЩИХ СИСТЕМ ВОЛОКОННОЙ ОПТИКИ

Специальность 0L.01.03- математическая финика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Диссертация выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент А.Н.Боголюбов

Официальные оппоненты: диктор физико-математическихнггук. профессор А.С.Ильннскни доктор технических наук, академик Международной академии информатизации, профессор Г.А.Черенков

Ведущая организация: Институт прикладной математики РАН им. М.В.Келдыша

Защита диссертации состоится г. в ..^wC

часов на заседании Диссертационного Совета К 053.05.18 физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова на физическом факультете МГУ в аудитории ст.

Адрес: 117234 Москва. Леннниекне горы. МГУ. Физический факультет

С' диссертацией можно ознакомиться в оиолногеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан *

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 053.05.18. Доцент

П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В настоящей работе рассматривается задача синтеза волноведущих систем волоконной оптики с заданными эксплуатационными характеристиками. Интерес к таким задачам связан прежде всего с тем, что сфера применения волоконнооптических систем в науке и технике стремительно расширяется. Вместе с тем, поскольку имеющие практический интерес волноведущие системы обладают нерегулярной геометрией и сложным профилем показателя преломления, для их расчетов применение асимптотических методов расчета крайне ограничено и возникает необходимость в рааработке, исследовании и применении численных методов.

Отметим также, что волноведущие системы интегральной и волоконной оптики являются, как правило, открытыми системами, что привносит дополнительные трудности в их исследование. Одним из наиболее эффективных и универсальных методов решения является метод конечных элементов (МКЭ), применение которого для расчета волноведущих систем интегральной и волоконной оптики ограничивается не только сложностью диэлектрического заполнения и нерегулярностью геометрии таких систем, но и свойствами матриц задач (знаконеопределенность, несимметричность и неэрмитовость), возникающих при использовании МКЭ.

В особой степени это относится к задачам синтеза, поскольку использование МКЭ позволяет рассматривать полную математическую постановку таких задач с использованием метода регуляризации А.НЛкхонова. Отметим также, что многие известные численные алгоритмы рас-

з

чета рас сматриваемых волноведущих систем предъявляют шч ьма жесткие требования к ресурсам ЭВМ, что обусловливает необходимость разработки эффективных методов, не требующих больших вычислительных ресурсов и рас считанных на широкий круг пользователей.

Цель н задачи работы.

Целью диссертационной работы яачяется разработка эффективных численных методов решения падачи синтеза сложных волноведущнх систем волоконной оптики с заданными спектральными характеристиками. Данная проблема включает в себя два аспекта. Во-первых, необходима разработка эффективного чш ленного алгоритма решения прямой задачи расчета спектральных характеристик волноведущнх систем волоконной оптики. Во-вторых, разработать алгоритм минимизации оптимизационного функционала в области с ограничениями для задачи оптимизации с нелинейным п незнакоопределенным оператором.

При этом отдельной проблемой является вопрос ограничения области, в KOTopoii ищется решение открытии прямой задачи. . Для этой цели необходимо построение эффективных граничных условии на конечном расстоянии. 11« пользуя характер поведения точного решения задачи на бесконечности.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан общин алгоритм расчета открытых волноведущнх систем волоконной оптики со сложным профилем показателя преломления, основанный на методе конечных элементов.

2. Предложен принципиально новый метод расчета частот

отсечки световодов с произвольной геометрией сечения и произвольным диэлектрическим заполнением.

3. Предложен метод учета особенности системы уравнений задачи в начале полярной системы координат при применении метода конечных элементов.

4. Разработан алгоритм использования модифицированных бесконечных элементов для расчета открытых диэлектрических волноведущих структур произвольной геометрии сечения.

5. Предложен новый эффективный метод генерирования полярных неравномерных сеток для экономичного расчета открытых диэлектрических волноведущих систем.

6. Построены функционалы для решения основных важных в практическом отношении задач синтеза диэлектрических волноводов оптического и СВЧ диапазонов.

7. Создан алгоритм решения задачи минимизации с ограничениями для построенных функционалов, соответствующих основным практически важным задачам синтеза диэлектрических волноведущих систем.

8. Решены задачи синтеза градиентных световодов с произвольной формой зависимости функции диэлектрической проницаемости от радиуса.

Практическая ценность работы состоит в том, что на основе предложенных и реализованных в ней алгоритмов решения прямых спектральных задач могут быть рассчитаны волноведущие структуры волоконной оптики со сложной формой профиля показателя преломления. Разработанные и реализованные в работе алгоритмы решения задач синтеза могут быь использованы при проектировании волоконнооптических систем, а предложенная общая ме-

тодика II для синтеза различных волноведущих систем интегрально!! оптпки.

Ап|)оГ)<1Ц]1Я работы. Результаты работы докладывались на семинарах кафедры математики физического факультета МГУ. на научном семинаре по граничным задачам ¡электродинамики. руководимом профессорами Л.Г.Свешниковым и А.С.Ильинским, на Ломоносовских чтениях 1992 и 199-1 годов, на V н VI Международных конференциях " Лазеры в науке, технике, медицине".

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения. четырех глав, заключения и списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении прослежены основные этапы создании и ис следования систем волоконной оптики в историческом аспекте. рассмотрена актуальность темы и ее научное и практическое значение. кратко изложено содержание диссертации.

В перрон главе рассмотрена прямая задача расчета диэлектрических волноводов круглого сечения с произвольным диэлектрическим заполнением.

§1 посвящен построению математической модели задачи расчета открытых диэлектрических систем. Из систе-. ' мы уравнении Максвелла построена система уравнений относительно поперечных компонент вектора напряженности магнитного поля, С помощью технологии МКЭ при

К°°(г) =

базисных функциях произвольного вида полученная система сведена к системе алгебраических уравнении.

АХ = О,

где X - вектор-столбец решений, матрица задачи А содержит неизвестную постоянную распространения /?.

В §2 предложены методы, позволяющие эффективно аппроксимировать оператор задачи в его особой точке и на бесконечности при использовании МКЭ и бесконечного элемента с асимптотической функцией формы на нем, радиальная часть которой:

* езф (-//?*-1фс,(г-К)),

где ко - волновое число в свободном пространстве. еС1 диэлектрическая проницаемость оболочки волновода, 11 некоторое расстояние от оси волновода, на котором справедливо асимптотическое представление для поля.

В §3 предложен метод расчета частот отсечки мод диэлектрических волноводов со сложным заполнением, основанный на постановке импедансного граничного условия. Особенностью предложенного метода является то, что он не предполагает получения и решения характеристического уравнения.

Во второй главе проведено численное исследование распространения электромагнитных волн в круглых диэлектрических волноводах со сложным заполнением.

В §1 выбраны функции формы на конечных элементах и сформулирована обобщенная алгебраическая проблема собственных значений

АХ = /?2ВХ,

где А и В - разреженные матрицы ленточного типа, X вектор-с толбец решений, с остоящий из значений поперечных компонент магнитного поля в узлах сетки, /З2 собственное значение.. Рассказано о принципах выбора метода хранения и обработки получаемых разреженных матриц. Построен алгоритм саморегулирующейся сетки и предложена его модификация, позволяклция эффективно п экономично рассчитывать дисперсионные характеристики открытых волноведущих систем. Приведены результаты «равнения точности решения обеих модификаций предложенного алгоритма.

В §2 приведены результаты расчета важных в Практическом отношении градиентных волокон и систем со сложным аксиально несимметричным заполнением. Примеры приведены для градиентных волокон с треугольными, кусочно-параболическими и квалн-W профилями, а также для аксиально несимметричных волокон типа "несимметричная PANDA" и системы с двумя параболическими cej)-дечниками.

В §3 предложен метод спуска по дисперсионной кривой, позволяющий рассчитывать частоты отсечки мод диэлектрических волноводов с произвольным профилем показателя преломления в сечении. Для апробации проведено сравнение значений частот отсечки, рассчитанных двумя предложенными методами, с точным решением на примере диэлектрического стержня. Приведены значения частот отсечки ряда практически интересных кусочно-параболических профилей, вычисленные предложенными методами.

В третьей главе рассмотрена задача синтеза диэлектрических волноводов, которая сформулирована как обратная

к рассмотренным задачам анализа.

В § 1 проведена полная математическая постановка задачи как типично некорректной, для решения которой построены сглаживающие функционалы Тихонова при различных оценочных функционалах Р1^], построенных для наиболее важных в практическом отношении проблем.

1. Задача синтеза диэлектрических волноводов с минимальной межмодовой дисперсией двух первых мод.

Г10 = /;; Рх (V) ШУ[е}) ~ У0£^И)]2 С1У + р2ф[е],

где - групповые скорости двух первых мод, V

параметр волокна, рц ръ - весовые множители. Задача допускает обобщение на случай минимизации межмодовой дисперсии для любой другой пары мод или для любого заданного набора мод.

2. Создание диэлектрических волноводов с выровненными групповыми скоростями двух первых мод на заданной рабочей частоте, что позволяет увеличивать поперечные размеры сердцевины волновода при сохранении минимальной межмодовой дисперсии.

ВД = Р1к?;(УоИ) - <(УоН)| + рг ФИ,

где У0 - значение волноводного параметра, соответствующее заданной рабочей частоте.

3. Задача разработки волноводов с одинаковыми значениями фазовой скорости на кратных частотах в двух первых соседних модах.

ВД = ^|Ь„(шУИ) - Ьо,(УИ)| + ргФ[е],

где Ъо1, Ьц - нормированные постоянные распространения двух первых мод, т целое число.

4. Синтез волноводов с максимально плоской дисперсионной характеристикой на рабочем участке. Такие волноводы обладают малой фазовой чувствительностью к случайным колебаниям их толщины и обладают меньшей волно-водной дисперсией.

F4[e] = E(b(Vi[£])-b(Vi_1[e]))2, i=l

при условии b(Vo) = b, где V, - значение нормированной частоты в заданной точке i спектрального диапазона, b - заданная величина, b(V) - характеристика исследуемой моды.

5. Проектирование диэлектрических волноводов, обладающих большой полосой частот одномодового режима.

= + ФИ,

» cutoff

где Vcutofr - ближайшая к нулевой частота отсечки. Данная задача важна при проектировании волоконно-оптических линий связи с частотным уплотнением каналов информации.

Введение ограничивающих функционалов Ф[е] необходимо для устранения получения в качестве результата синтеза профилей, не имеющих волноводного режима в заданном диапазоне волноводных параметров.

В §2 проведен вариационный вывод уравнений прямой задачи для градиентных волокон. Рассмотрена точечная задача синтеза градиентных волокон, решаемая в классе параболических профилей как прямая задача Штурма-Лиувилля, приведены результаты расчетов для точечной .задачи.

ю

Четвертая глава посвящена синтезу круглых диэлектрических волноводов с заданными технологическими характеристиками.

В §1 построен алгоритм решения задачи синтеза на основе предложенных эффективных алгоритмов решения прямой задачи и алгоритма минимизации функции многих переменных на области с заданными неявно ограничениями. разработанном на основе метода поиска по деформируемому многограннику. Приведено описание алгоритма и указаны причины, препятствующие использованию других методов.

В §2 приведены результаты синтеза волноводов по заданным эксплуатационным характеристикам для задач различных классов. Синтезированы волноведущие системы для задач при оценочных функционалах - Проведено сравнение с существующими результатами решения одной из задач синтеза таких систем, полученного методами квантовой теории рассеяния.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Рассмотрена задача синтеза волноведущих систем волоконной оптики с заданными спектральными характеристиками в достаточно пол но ¡1 математической постановке как некорректная задача с применением метода регуляризации и МКЭ для их решения.

2. На основе разработанной методики решения прямых спектральных задач расчета диэлектрических волноведущих структур создан эффективный алгоритм, обла-

дающий большой универсальностью. Алгоритм позволяет рассчитывать волноведущие системы с произвольным профилем функции диэлектрической проницаемости,не зависит от режима работы волновода (одномодового, мало-модового, многомодового), от частотного диапазона. При этом предложенная модификация алгоритма позволяет ре-ализовывагь его на ЭВМ со средней и даже малой оперативной памятью.

3. Алгоритм реализован в виде пакета программ, написанном на языке С и сочетающего в себе функциональную многогранность с простотой и удобством пользования. Для решения обобщенной алгебраической проблемы собственных значений создана библиотека подпрограмм, использующая технологию хранения и обработки разреженных матриц большой размерности с учетом функциональных возможностей данного языка низкого уровня.

4. Разработан алгоритм решения задач синтеза диэлектрических волноводов со сложным профилем диэлектрической проницаемости, основанный на использовании предложенной методики построения эффективного алгоритма решения прямых спектральных задач на основе МКЭ и алгоритма минимизации с ограничениями для построенных функционалов.

5. Решены задачи синтеза градиентных световодов с произвольной формой зависимости функции диэлектрической проницаемости от радиуса.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения диссертации:

1. Методы и алгоритмы решения прямых спектральных ■задач волноведущнх систем волоконной оптики со сложным

поперечным заполнением.

2. Новый эффективный метод генерирования полярных неравномерных сеток для экономичного расчета открытых диэлектрических волноведущих систем.

3. Принципиально новый метод расчета частот отсечки световодов с попзвольной геометрией сечения и произвольным диэлектрическим заполнением.

4. Постановка задачи синтеза волноведущих систем интегральном и волоконной оптики с заданными спектральными характеристиками.

5. Результаты анализа и синтеза волноведущих систем волоконной оптики.

Основные результаты. приводимые в днссертаипп. опубликованы в следующих работах:

1. Свешников А.Г.. Боголюбов А.Н.. Минаев Д.В.. Сыч-кош» A.B. "Расчет диэлектрических волноведущих систем конечно-разностным методом". РЭ. 1993. т.38. 5. с.804-809.

2. Боголюбов А.Н.. Краснльникова A.B. " Расчет круглого диэлектрического волновода с пряпвольнон формой показателя преломлении вариационно-разностным метолом". РЭ. 1994. т.39. 2. с. >33-240.

3. Боголюбов А.Н.. Делнцын А.Л.. Краснльнишва A.B.. Минаев Д.В. "Конечно-разностные методы расчета волноведущих сис тем интегральной оптики". V Международная конференция "Лазеры в науке, технике, медицине". Суп-даль. сентябрь 1994 г.

4. Боголюбов А.Н.. Краснльникова A.B. "Расчет волоконных световодов с помощью алгоритма саморегулирующейся сетки". Вестн. Моск. ун-та. сср.З Физика Астрономия, 1995. т.ЗС. 3. с.3-7.

5. Боголюбов А.Н., Красильникова A.B., Минаев Д.В. "Задача синтеза систем интегральной и волоконной оптики" , VI Международная конференция "Лазеры в науке, технике, медицине", Суздаль, сентябрь 1995 г.