Возбуждение электромагнитных колебаний в импедансных волноводах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики

Ум^у

На права^рук<3йиси УДК 517 958

МУХАРТОВ А ЮЛИЯ ВЯЧЕСЛАВОВНА

ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ИМПЕДАНСНЫХ ВОЛНОВОДАХ

Специальность 01 01 03 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Мооква 2007

---■* -чо х &27

т

003161527

Работа выполнена на кафедре MB Ломоносова

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

[ физического факультета МГУ им

доктор физико-математических наук, профессор А Н Боголюбов доктор физико-математических наук, профессор Гольдман М Л. доктор физико-математических наук, профессор Грац Ю В Институт Математического Моделирования РАН

Защита диссертации состоится « ¿Р» 2007г в /¿'<

заседании Диссертационного Совета К 501 001 17 при Московском государственном университете имени M В Ломоносова по адресу

119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ Автореферат разослан « ^ » 2007 г

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 501 001 17, доктор физико-математических наук

П А Поляков

Общая характеристика работы

Актуальность. Значительный технологический прогресс, достигнутый в разработке новых материалов, и их активное применение в задачах передачи информации делают актуальными исследования волноведущих систем со все более и более сложными заполнениями и покрытиями

Основы математической теории волноводов заложены А Н Тихоновым и А А Самарским в 1940-х годах В их работах построено в виде рядов решение задачи о возбуждении электромагнитного поля заданным распределением тока в регулярных полых цилиндрических волноводах произвольного поперечного сечения с идеально проводящими стенками При исследовании задач возбуждения волн в волноводах принципиальной является необходимость постановки условий на бесконечности, так называемых условий излучения, которые позволили бы выделить единственное решение задачи В случае, когда возбуждение осуществляется источниками, локализованными в некоторой ограниченной области, такие условия формулируются в виде требования отсутствия волн, приходящих из бесконечности Для волновода такими условиями являются парциальные условия излучения, предложенные в работах А Г Свешникова, что позволило корректно поставить целый ряд важных краевых задач электродинамики

При описании возбуждения колебаний локальным распределением тока в волноводе, характеристики которого не меняются вдоль его оси Ог, за неизвестное принимают или вектор Герца, или поле Е, или агрегат из компонент Е и В Однако постановка парциальных условий излучения всегда осуществляется по одной схеме Сначала устанавливают полноту системы нормальных волн волновода, то есть решений вида Л(х,у)ехр(-гй)/±г?г) однородной задачи 3а1 ем решение задачи возбуждения ищут

вне области источников в виде суперпозиции нормальных волн При этом парциальные условия излучения трактуются как условия выбора знака при гуг Задача нахождения нормальных волн сводится к задаче на собственные значения на сечении волновода, которая в общем случае оказывается несамосонряженной Полнота системы нормальных волн для слоистых волноводов с идеально проводящими стенками была установлена П Б Краснушкиным, Е В Моисеевым и Ю Г Смирновым, а в случае более общего вида изменения тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости заполнения - А Л Делицыным При этом, однако, к собственным функциям пришлось добавить корневые функции задачи на собственные значения, а значит, к нормальным волнам - «волны», растущие вдоль оси Ог степенным образом

С усложнением материальных характеристик волновода усложняется и доказательство полноты системы нормальных волн, причем ее установление в общем случае представляется весьма трудной задачей В связи с этим в работе А Н Боголюбова и МД Малых было показано, как сформулировать условия, эквивалентные парциальным условиям, не используя полноты системы нормальных (корневых) волн Главная идея этой работы состоит в том, чтобы использовать не дискретную систему собственных функций сечения волновода, а непрерывную систему «собственных функций» оператора д\ Более точно, в качестве такого условия выступает требование наличия у решения задачи обобщенного преобразования Фурье или Рг-преобразования

Определение Мероморфная функция й{у) со значениями в гильбертовом пространстве Я называется Рг-образом или обобщенным преобразованием Фурье функции и(г), если справедливо равенство

полюса обходятся по верхней полуплоскости, а положительные — по нижней (см рис 1)

где путь интегрирования С совпадает с вещественной осью у -плоскости, если й(у) не имеет на ней полюсов, если же й(у) имеет вещественные полюса, то отрицательные

с

———?--®—о-

-г* -г; к г2

-Гг -П

в-а-^--в—в-

Рис 1 Контур интегрирования для Рг-преобразования Здесь у: - положительные полюсы й(у), и,

соответственно, - отрицательные

В работе Боголюбова и Малых было показано, что требование существования Рг-преобразования может быть использовано в качестве условия излучения в задаче Дирихле для эллиптического оператора Именно, была рассмотрена задача

1\и]+д]и + й>ги = /,

13Л

для произвольного эллиптического оператора

4«]= , ++

ах,ах] " ос,

в бесконечной цилиндрической области й = {х € 5' с= е /?'} Функция / в правой части уравнения является гладкой и имеет компактный носитель На основании оценок Карлемана для резольвенты соответствующей задачи в пространстве образов было доказано, что при всех со1 ^ а], где а] - собственные значения краевой задачи Дирихле для оператора £, существует единственное решение исходной задачи, имеющее обобщенное преобразование Фурье Это решение представимо в виде суммы конечного числа слагаемых, соответствующих расходящимся волнам, и слагаемого, являющегося о

элементом пространства Щ1 (о)

В настоящей работе показано, что можно отказаться от использования результатов Т Карлемана, специфических для задач Дирихле, и получить все необходимые оценки на основании леммы Келдыша о поведении резольвенты нормального оператора В целом же настоящая диссертационная работа посвящена развитию общих методов исследования разрешимости задачи о возбуждении электромагнитных колебаний локальным распределением тока в волноводе, характеристики которого не меняются вдоль оси волновода Предлагаемый метод описан в общем, для чего рассмотрена задача в произвольном гильбертовом пространстве, имеющая характерные черты задачи о возбуждении колебаний вне зависимости от выбора неизвестных или каких-либо материальных характеристик волновода Для этой задачи показано, что парциальные условия излучения выделяют существующее и единственное решение

В качестве примера, на котором иллюстрируются полученные результаты, рассмотрен волновод с импедансной границей Эта задача является адекватной и наиболее употребимой математической моделью волноведущих систем, проводимость структурных элементов которых во многих реальных случаях велика, но конечна Значительно упростить постановку задачи позволяют эквивалентные граничные условия, при использовании которых можно исключить из рассмотрения некоторую область

пространства, поставив условие на границе волновода Классическим примером таких условий являются условия Щукина-Леонтовича

описывающие поглощение энергии поля в металле Поверхностный импеданс металла

выражается через его удельную проводимость на постоянном токе, магнитную проницаемость среды, а также частоту падающей монохроматической волны В случае произвольного поля условие Щукина-Леонтовича можно считать справедливым для Фурье-амплитуд полей Следует подчеркнуть, что эквивалентные импедансные условия представляют собой довольно распространенный способ упрощения постановки электродинамических задач В частности, импедансные условия типа условий Щукина-Леонтовича могут быть получены для сверхпроводящих поверхностей или гребенчатых структур, что было предметом исследований Диденко А Н , Нефедова Е И , Сивова А Н , Слепяна Г Я , Ильинского А С и Моденова В П

Из физических соображений ясно, что при значениях

должно происходить затухание возбужденного током электромагнитного поля, поэтому в качестве условий излучения можно взять условие убывания решения с ростом г Однако непосредственно доказать разрешимость задачи с таким условием излучения не удается В настоящей диссертационной работе рассматривается случай произвольного с и доказывается разрешимость задачи возбуждения с парциальными условиями излучения при условии, что модуль с достаточно мал Для случая волновода кругового сечения методами теории возмущений показывается, что при указанных значениях д решение убывает с ростом г При этом основная сложность, связанная с применением парциальных условий излучения в волноводе с импедансной границей, - установление полноты системы его нормальных (корневых) волн - обойдена при помощи специальной формы условия излучения

Цель работы. Целью диссертации является развитие общего метода изучения волноводов, параметры которых не меняются вдоль оси волновода, основанного на технике Рг-преобразования, и его применение для ряда краевых задач в волноводах с импедансными стенками В работе были поставлены следующие задачи

[ц,Е] = ?[в,[п,нИ,

■ постановка и исследование разрешимости нескольких классов задач, обобщающих задачи математической теории волноводов, представимых в виде операторных уравнений специального вида дта функций действительной переменной z со значениями в некотором гильбертовом пространстве Н,

■ исследование разрешимости задачи для произвольного эллиптического оператора в бесконечной цилиндрической области с граничным условием третьего рода и требованием существования Fr-преобразования решения в качестве условия излучения

■ исследование разрешимости задачи о возбуждении колебаний в регулярном волноводе с заполнением, зависящим от координат в поперечном сечении, и импедансной границей,

■ исследование задачи о возбуждении колебаний финитным гармоническим током в регулярном полом импедансном волноводе кругового поперечного сечения

Научная новизна. Для всех четырех упомянутых выше задач впервые доказана разрешимость при всех достаточно гладких финитных функциях в их правых частях Ключевым новым моментом в самой постановке этих задач является использование в качестве условия излучения требования существования Fr-преобразования решения При этом показано, что это условие выделяет решение, удовлетворяющее парциальным условиям излучения, которые сформулированы в работе для нормальных волн

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты дают строгое математическое обоснование корректности постановки ряда задач математической теории волноводов и могут быть использованы при построении алгоритмов расчета широкого класса волноведущих систем, в т ч с импедансными стенками

Апробация работы. Основные результаты докладывались

• на секции «Физика» ежегодной международной конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов» в 2003, 2004, 2006 и 2007 гг Доклады в 2006 и 2007 гг были отмечены жюри как лучшие на подсекции

• на международной конференции Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory DIPED-2006

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 статьях в реферируемых журналах, а также в 4 тезисах докладов на международных конференциях Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы (62 наименования) и 3 рисунков, изложена на 110 страницах

Содержание работы.

В первой главе диссертации исследуется уравнение

и + Ви- Аиа = Ц/ (1)

для функции действительной переменной и(г) со значениями в гильбертовом пространстве Н Функция /(г) в правой части этого уравнения определена на всей действительной прямой, имеет финитный носитель, а ее значения принадлежат некоторому гильбертову пространству Я Операторы А и В являются вполне непрерывными в Н, а ограниченный оператор О действует из Я в Я Рассматриваемое гильбертово пространство Я обладает тем свойством, что в нем уравнение

™ + б(л)и> = 0, £(Л)=В + Л2А не имеет нетривиальных решений, соответствующих X = 0

Необходимость анализировать подобный объект возникает во многих задачах математической теории волноводов В частности, в пункте 1 1 первой главы показано, что к такому виду может быть сведена задача

|£[и]+ 82ги + а>2и = /,

в бесконечной области П-¡1С- Я сй",гб (-оо,+оо)| для произвольного эллиптического оператора

с симметричной главной частью Оператор граничного условия имеет вид

--

8xJ

где п, - компоненты внешней нормали к границе области 51 Роль гильбертовых пространств Н а Н в этом случае играют И7,' (5) и Ь2 (.?) соответственно Компактность операторов, возникающих в левой части обобщенной постановки данной задачи, доказывается на основании теорем вложения

В качестве условия излучения для (1) будем использовать требование

з

существования у решения обобщенного преобразования Фурье или Бг-преобразования В пункте 1 2 первой главы рассмотрена задача

й(г)+ОЬ'№) = »/(/) (4)

в пространстве Я, решение которой играет роль Бг-образа решения исходной задачи (1) Для этой задачи доказана теорема, утверждающая, что спектр оператора ()(Х) состоит только из собственных чисел конечной кратности, среди которых может быть лишь конечное число действительных положительных, если оператор А является самосопряженным и положительно определенным При всех значениях параметра у, не совпадающих со спектральными точками, существует единственное решение задачи (4), для которого справедлива оценка

\ти <4/(4, е>о (5)

при стремящемся к бесконечности на действительной оси параметре у Доказательство этой теоремы основано на применении леммы Келдыша о поведении резольвенты нормального оператора При этом принципиальной является самосопряженность оператора А, вполне непрерывный оператор В может быть любым Если оператор О имеет вид ±Ай\, где О, - некоторый ограниченный оператор, то тогда найдется М > 0, такое что для решения (4) при у -> -¿то на действительной оси выполняется неравенство

(6)

Оценки (5) и (6) означают, что поведение й(у) на бесконечности определяется поведением /(/) На основании этого факта, особенностей структуры контура интегрирования в Рг-преобразовании, а также разложения резольвенты аналитической оператор-функции, полученного в трудах М В Келдыша1, доказана теорема Теорема 1. Пусть А — вполне непрерывный, самосопряженный, положительно определенный оператор в гильбертовом пространстве Н, В - произвольный вполне непрерывный оператор в Н, и О- произвольный ограниченный оператор, действующий из гильбертова пространства Не Н Пусть /(г) является финитной трижды непрерывно

дифференцируемой функцией действительной переменной г со значениями в Н Тогда существует, и притом единственное, региение уравнения (1), допускающее /■>-преобразование Это решение дается выражением и = в котором й представляет

' Келдыш М В О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов//Гл I Избранные труды Математика М Наука, 1985 С 305-320

собой решение задачи (4), в правой части которой стоит Фурье-образ функции /(г) Спектр соответствующей (4) однородной задачи

м> + ААм/ + Ли» = 0, иеЯ (7)

состоит только из собственных значений, вещественных среди которых может быть лишь конечное число

Если оператор £> имеет вид ± Ай}, где £>, - некоторый ограниченный оператор, то единственное решение (1), имеющее Р'г-преобразование, существует для любой финитной один раз непрерывно дифференцируемой функции /(г)

Допускающее Рг-преобразование решение задачи (1) имеет асимптотику

/«^¡р: + +»«.«. (8)

11.1

где N - число возможных действительных положительных собственных значений однородной задачи (7), Мп -максимальная кратность собственных элементов,

соответствующих вещественному собственному значению с номером п, Р™ — некоторые конечномерные операторы, действующие в гильбертовом пространстве Н, а иост (2) ~ функция, равномерно в норме Нубывающая по г, такая что найдется некоторая положительная константа с, для которой выполняется неравенство

КМ1

Из этой теоремы следует, что, добавив к уравнению (1) требование существования Бг-образа решения, мы тем самым выделим ее единственное решение При этом в силу асимптотического представления (8), это решение удовлетворяет в точности парциальным условиям излучения При этом нет необходимости исследовать полноту системы нормальных волн Преимущество предложенного подхода состоит в том, что нам не нужны никакие оценки на оператор В (кроме его компактности), поскольку убывание Фурье-образа решения происходит за счет наложения условий гладкости на правую часть задачи (1)

Аналогичные результаты справедливы и для задачи (2) для эллиптического оператора X Если /(х,г) является непрерывно дифференцируемой по г финитной функцией, то при всех со1 ф ауп , где а7п - собственные значения однородной задачи

\Цу>]+ос2™ = О, 1

существует единственное обобщенное решение задачи (2) со значениями в W}(s), допускающее Fr-преобразование Для него справедлива полученная в общем счучае асимптотика Это решение будет классическим при выполнении следующих условий гладкости граница 8S области S является кривой класса С2+", при всех z из области определения f(x,z)e C"(s), коэффициенты оператора L и граничного условия удовлетворяют условиям

^»eC'^s), bXx)eCa[s), c(x)eCa{s), h(x)е С]+а{dS)

Во второй главе диссертации исследуется уравнение

и + А0и + Ахиг - А2иа = Df, (9)

также часто встречающееся в задачах математической теории волноводов, где, как и в первом случае, u(z) является функцией действительной переменной z со значениями в гильбертовом пространстве Я, таком, что в нем уравнение

w + Q{x)w = 0, Q{X)=A(]+iMl +12А2 не имеет нетривиальных решений при Л = 0 Функция /(г), значения которой лежат в некотором гильбертовом пространстве Я, имеет финитный носитель, операторы At являются вполне непрерывными в Н, причем Аг самосопряжен и положительно

определен, a D является ограниченным оператором, действующим из Я в Я

В качестве условия излучения используем требование существования у решения (9) Fr-преобразования В пункте 2 12 второй главы показано, что задача

"М + еМй(г)=0/6-)> (Ю)

решение которой играет роль Fr-образа решения (9), при всех у, не совпадающих с собственными числами оператора Q(X), единственным образом разрешима, причем она имеет единственное решение при у -> ±<» на действительной оси, для которого справедлива оценка

т ИИ4' (11)

где е>0 - некоторое число Это означает, что оператор Q(a) может иметь только конечное число собственных чисел на действительной оси Кроме того, поведение решения (10) на бесконечности определяется поведением правой части этой задачи

На основании оценки (И), леммы Жордана и разложения резольвенты аналитической оператор-функции Q(X) в окрестности собственных значений задачи

w + Q(X)w = 0 (12)

доказана

Теорема 2. Пусть А1, где г = 0,1,2, являются вполне непрерывными операторами в пространстве Н, причем А2 помимо этого самосопряжен и положительно определен Пусть f(z) является финитной трижды непрерывно дифференцируемой функцией действительной переменной z со значениями в некотором гильбертовом пространстве Н, a D - ограниченным оператором, действующим из Н в Н Тогда задача (9) имеет единственное решение, допускающее Fr-преобразование Это решение имеет вид и = Рг[м], где и является решением задачи (10) Для него справедливо представление

N* М„ m z N~ ЬЛ„ .т +«

+Е1И™ г^ ¡е^Л'-'ГФоМ**««-® (13) id Si Щ-Ц;

где N+ - число возможных действительных положительных собственных значений у* задачи (12), N' - число возможных действительных отрицательных собственных значений у~ задачи (12), - конечномерные операторы в пространстве Н Для

остаточного слагаемого иаст справедлива оценка

ЬосЛ4\н

при стремлении z к бесконечности, где С - некоторая положительная константа

Таким образом, для задач рассматриваемого класса требование существования у решения обобщенного преобразования Фурье также является вполне корректным условием излучения.

Вторая часть второй главы посвящена исследованию задачи о возбуждении колебаний финитным гармоническим распределением токов и зарядов в регулярном волноводе с импедансной границей, поперечное сечение которого представляет собой произвольную звездную область с гладкой границей Рассматриваемый волновод заполнен средой е = е(х,у) и ц = 1 Для анализа этой задачи применен шестивекторный подход Необходимо найти шестивектор вида

0 В, -в,

-В, 0 вх -гЕу

By -Вх 0 -Я.

'Ех Я, «я. 0

удовлетворяющий задаче

DivF + — (l-s)F

f°l / 0 \ ( А Л

0 0 J2

0 Я + s~ V 0 ip» k=1 de dxkJ /3 Vе ^4,

dFlk | dF^ | QFK _Qj 8xm дх, dxt

(14)

05) (16)

FN =0,

las

где J = ~—{jx Jу )2 icpf - распределение токов и зарядов, возбуждающее поле в

волноводе, x = (jr у z ict)T, N = (w^ пу 0 -ig)1, g-g' + ig" - комплексный импеданс границы В качестве условия излучения примем существование у решения Fr-образа

f {x,y,z,i) = — ¡e"(e"-")r(x,y,y)dr 2 п i

(17)

Для шестивектора %{х,у,у) в гильбертовом пространстве Н, представляющем собой замыкание множества гладких антисимметричных шестивекторов с нулевой диагональю, удовлетворяющих условию =0, по норме, порождаемой скалярным

произведением

- п т-1 5

может быть получена обобщенная постановка задачи

4 / ... \ 1 ( „2 Л . 4

' s л т=\

2 I С J ^ п т~ 1

fк

sf(4)

дх

,п

6Gn (öf(4)

ду ^ ду /

3G„

дх

^ дх\ ду ) ду { дх I

SFa(^(4) q<4) да

дх) ду ^ ' ду) дх ) дх \ ' ду) Эу1 ' дх

\ds +

aS*= 1

С ttitf dxk с Jtil С ) dxk s dxm

ds -

ь Ь ОХт s 1=1 ы ОХк Д„, /

с ^ 1-! ¿=1 ихк &

де

Здесь введены обозначения для е Н <з'4' представляет собой вектор с

координатами (041 0)т, а п(М) - это единичный вектор в направлении внешней

нормали к границе области 5 в точке Р пересечения луча, проведенного из начала координат на сечении 5 через точку М б 5, с границей оЛ' Так как определенная на Н билинейная форма

является действительной, и ее норма не превосходит то при всех значениях параметра < < 1, задачу (18) можно рассматривать в эквивалентном гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением

где операторы А, являются вполне непрерывными, а Д - ограниченными Поэтому для нее справедлива теорема 2 При достаточной гладкости вектора J можно вернуться в пространство прообразов При этом решение исходной задачи вида (17) будет единственным, допускающим Рг-преобразование Асимптотика, получаемая для него на основании леммы Жордана, позволяет утверждать, что это решение может содержать компоненты, соответствующие только расходящимся от источника или затухающим волнам При физических значениях параметра $ происходит затухание волн на бесконечности

В третьей главе настоящей диссертации рассмотрен частный случай задачи о возбуждении колебаний в импедансном волноводе, допускающий аналитическое решение Исследован регулярный полый цилиндрический волновод кругового поперечного сечения с импедансными стенками, возбуждение которого осуществляется финитным произвольно ориентированным током )е~"°' При решении задачи для невязки {е, Й} = {Е,Н}~{Е0,Н0} искомого поля и поля, возбуждаемого тем же током в волноводе с аналогичной геометрией, но идеально проводящими стенками, можно воспользоваться представлением

[с,<}]н=(с,о)н+й0(с,д)

В этом пространстве она имеет вид

Г + А0¥ + уА$ + у2Аг Б" = Д, I + уД I,

полей при помощи электрического и магнитного векторов Герца, направленных вдоль оси волновода

Пй =ф{г,р,в) е., П" =у/(г,р,в) ег При этом для коэффициентов рт(г,р) и 4>т(?,р) разложений функций (р и ц/ в ряды Фурье по полярному углу в получены задачи, неоднородность которых заключена в граничных условиях В качестве условия излучения для них выступает требование существования у решения Г'г-преобразования Задача в пространстве образов единственным образом разрешима, если определитель

не обращается в нуль Нули этого определителя представляют собой постоянные распространения нормальных волн в импедансном волноводе На основании подготовительной теоремы Вейерштрасса можно показать, что при всех д корни уравнения Ос1(у) = 0 имеют единичную кратность Для нахождения постоянных распространения применима теория возмущения В первом приближении по параметру д они имеют вид

Г. .(?)=■ ±г!„ 1 + 6"

1+-

(и-

туп,

Ы.У

к2 я" -г,

Если финитная функция, описывающая возбуждающий колебания ток, хотя бы один раз непрерывно дифференцируема по г, то задача имеет единственное решение, допускающее Рг-преобразование при всех значениях частоты о>, квадрат которой не совпадает с корнями а„ уравнения

- ,(1+0

Предполагая, что постоянные распространения для рассматриваемого волновода известны, и используя полученные в классических работах А Н Тихонова и А А Самарского выраж ения для векторов Герца в случае идеальной проводимости стенок, получим решение задачи, которое может содержать в качестве слагаемых только компоненты, соответствующие затухающим волнам

Заключение

В заключении приведем основные результаты работы

• Исследована разрешимость нескольких классов задач, обобщающих задачи математической теории волноводов, представимых в виде операторных уравнений специального вида для функций действительной переменной z со значениями в некотором гильбертовом пространстве Н Показано, что для задач указанного класса требование существования у решения обобщенного преобразования Фурье является вполне корректным условием излучения, позволяющим выделять такое решение задачи, которое соответствует бегущим от источника и затухающим на бесконечности волнам

• С использованием предложенной методики доказано, что задача для произвольного эллиптического оператора L в бесконечной цилиндрической области с граничным условием третьего рода имеет единственное обобщенное решение со значениями в fV2'(s), допускающее Fr-преобразование Это решение представляет собой сумму конечного числа слагаемых, соответствующих расходящимся волнам, и слагаемого, норма которого в fV2' (5') убывает как \z\ 1 на бесконечности Спектральная задача для оператора L на поперечном сечении области может иметь только конечное число вещественных положительных собственных значений

• Доказана разрешимость задачи о возбуждении колебаний финитным гармоническим распределением токов и зарядов в регулярном импедансном волноводе с заполнением s = s(x,y), ju = 1, поперечное сечение которого представляет собой произвольную звездную область с гладкой границей

• Исследована задача о возбуждении колебаний финитным током je~'a в полом регулярном цилиндрическом волноводе кругового поперечного сечения с импедансной границей В первом порядке теории возмущения по параметру д, представляющему собой комплексный импеданс границы, найдены выражения для постоянных распространения Из полученных выражений видно, что при физических значениях д возбужденное поле убывает вдоль оси волновода

Основные публикации

1 Мухартова Ю В О нормальных модах волновода, на границе которого заданы условия Щукина-Леонтовича// Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам

«Ломоносов-2003», секция «Физика», Физический Факультет МГУ - 2003 - С 56-57

2 Мухартова Ю Я Спектральные свойства импедансного волновода // Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2004», секция «Физика», Физический Факультет МГУ -2004 - С 142-144

3 Боголюбов АН, Малых МД, Мухартова ЮВ Моды для волновода с граничными условиями Щукина-Леонтовича//Вестн Моек ун-та Физ Астрон 2004, №6 с 7-10

4 Боголюбов АН, Малых МД, Мухартова ЮВ О спектральной задаче для волновода с импедансными граничными условиями // Вестн Моек ун-та Физ Астрон 2005, №6 с 55-56

5 Мухартова Ю В О решении краевой задачи для произвольного эллиптического оператора, удовлетворяющем условию излучения// Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2006», секция «Физика», Физический Факультет МГУ -2006 - С 137-138

6 Боголюбов А Н, Малых МД, Мухартова Ю В Об удовлетворяющем условию излучения решении краевой задачи для произвольного эллиптического оператора//ЖВМ и МФ 46 (2006), №12 с 2228-2234

7 Боголюбов АН, Малых МД, Мухартова ЮВ Об условиях излучения для импедансного волновода // Вестн Моек ун-та Физ Астрон 2006, № 1 с 3-6

8 Мухартова ЮВ Пример использования методики Рг-преобразования при решении задач математической теории волноводов// Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2007», секция «Физика», Физический Факультет МГУ -2007 с 67-69

Подписано к печати ОЪ. № 07 Тираж ''(00 Заказ {36

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Введение.

1. Об одном классе операторных задач на прямой И1.

1.1 Рассматриваемый класс задач.

1.2. Вспомогательная задача в пространстве образов.

1.3. Построение решения при помощи Рг-преобразования.

1.4. Асимптотика решения, допускающего Рг-преобразование.

2. Возбуждение колебаний в волноводах с потерями.

2.1. Существование Рг-образа решения как условие излучения.

2.1.1. Класс рассматриваемых задач.

2.1.2. Поведение решения задачи в пространстве образов.

2.1.3. Решение задачи, имеющее Рг-преобразование.

2.2. Применение методики Рг-преобразования для исследования задачи о возбуждении колебаний в импедансном волноводе.

2.2.1. Постановка задачи.

2.2.2. Задача в пространстве образов.

2.2.3. Решение задачи, допускающее Рг-преобразование.

3. Задача о возбуждении колебаний в регулярном импедансном волноводе кругового поперечного сечения.

3.1. Постановка задачи

3.2. Строение правых частей полученных задач и их Рг-образы.

3.3. Задачи в пространстве образов.

3.4. Асимптотика полученного решения.

3.5. Замечание о ядре преобразования {е,Н}о |пе,1Т'"] в случае волновода с импедансной границей.

3.6. Явный вид решения.

Настоящая диссертация посвящена изучению задачи о возбуждении колебаний в регулярных волноводах со сложным заполнением и импедансными стенками. Объектом исследования являются регулярные цилиндрические волноводы произвольного поперечного сечения, параметры которых зависят только от координат на сечении и не меняются вдоль волновода. При этом особое внимание уделено постановке условий излучения для таких систем, позволяющих доказывать фредгольмовость задачи в достаточно общем случае.

Вопрос о возбуждении волн, наряду с вопросами распространения, излучения, а также взаимодействия между волнами, является одним из основных в электродинамике волноводов. Благодаря работам множества исследователей и ученых эта область электродинамики оформилась как строгая математическая теория, ставшая основой таких книг, как [1]-[3]. Прогресс в данной области на различных этапах ее развития помимо чисто научного интереса во многом определялся и технологическими потребностями.

Первыми строго изученными системами стали регулярный полый и заполненный однородной изотропной средой волноводы произвольного поперечного сечения с идеально проводящими стенками. Теория возбуждения таких систем произвольным распределением заданного тока предложена в классических работах А.Н. Тихонова и A.A. Самарского [4]-[б].

Позднее было достигнуто значительное продвижение в задачах о слоистых волноводах. Этой тематике посвящены такие работы, как [7]-[11]. Вопрос о разрешимости задачи возбуждения волновода с идеально проводящими стенками и произвольным изменением тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости в поперечном сечении волновода исследован в [12]-[14].

Мощным стимулирующим фактором для развития математической теории волноводов стало появление волоконной оптики. Многие теоретические аспекты электродинамики были переформулированы применительно к оптическим волноводам [15]-[18].

В настоящее время интерес к электродинамическим задачам в волноводах в значительной степени связан с использованием киральных, биизотропных и бианизотропных сред в качестве заполнения волновода. Явление оптической активности в некоторых естественных средах за счет их свойства киральности было известно давно.

Киральность материала может существенно влиять на электродинамические характеристики среды, в частности, появляется линейная связь ТЕ и ТМ мод, возникает вращение плоскости поляризации волн, модифицируются процессы рассеяния и возбуждения волн и т.д. Нынешний научный и технологический интерес к этой проблеме связан с прогрессом в создании искусственных композитных сред. Такие среды обладают уникальными свойствами, открывающими потенциальную возможность их применения в оптике и микроволновых устройствах.

Возбуждение волн в волноводах можно осуществлять различными способами. Источниками возмущения могут быть сторонние токи, волна, "пришедшая из бесконечности", а также различные локальные неоднородности. При исследовании задач возбуждения волн в волноводах принципиальной является необходимость постановки условий на бесконечности, так называемых условий излучения, которые позволили бы выделить единственное решение задачи. В случае, когда возбуждение осуществляется источниками, локализованными в некоторой ограниченной области, такие условия, как правило, формулируются в виде требования отсутствия волн, приходящих из бесконечности. Для волновода такие условия, называемые парциальными, предложены в работах А.Г. Свешникова [19]-[20]. Использование этих условий позволило решить целый ряд важных краевых задач электродинамики. Заключаются данные условия в том, что если решение задачи может быть представлено в виде разложения

Л=1 по собственным функциям у/„{м) сужения оператора задачи на поперечное сечение волновода, то коэффициенты Zn (z) должны удовлетворять условию я = 1,2 ,.,N), где число N таких условий определяется числом действительных постоянных распространения уп. Знак "-" в соотношениях для Zn (z) coo тветствует случаю, когда временная зависимость описывается множителем е~ю'. Если бы этот множитель был взят в виде ем, то в парциальных условиях перед iyn был бы знак "+". При этом полнота системы функций Ц/„{м) является принципиальной. Для ряда важных случаев полнота таких систем исследовалась в работах П.Е Краснушкина [7], Ю.Г. Смирнова [9]-[11] и А.Л. Делицына [12]-[14].

Существуют другие способы постановки условий излучения. Например, они могут заключаться в требовании представимости решения вне носителя токов и зарядов в виде суммы конечного числа решений однородной системы уравнений, имеющих смысл бегущих волн, и решения однородной системы, принадлежащего пространству (<ГЗ), где О представляет собой область, в которой рассматривается задача [14], [21].

Фундаментальное значение в электромагнитной теории имеет монохроматическая волна

Если заполнение волновода представляет собой линейную среду, то произвольный, в том числе нестационарный, процесс может быть разложен в ряд или интеграл Фурье по колебаниям такого вида. Поэтому задача о возбуждении колебаний в волноводе гармонически зависящим от времени током ]е~'°" является принципиально важной. В настоящей диссертации рассматривается возбуждение колебаний только такими токами.

Основными методами анализа задач теории регулярных волноводов являются метод Фурье, применение которого приводит к необходимости исследовать свойства решений однородной системы уравнений Максвелла специального вида: называемых нормальными волнами, а также различные проекционные методы, в которых используется разложение искомых полей в ряды по некоторым полным системам функций, зависящих от координат в поперечном сечении волновода, с коэффициентами, зависящими от г. Для неограниченных областей постановка физически адекватных условий на бесконечности приводит к несамосопряженности задачи в целом, но в тех случаях, когда оператор задачи Ь может быть представлен в виде геИЁМЬ

1н]

4+1« где нижние индексы указывают переменные, на которые действует соответствующий оператор, причем система ип(х,у) собственных функций оператора &)у оказывается полной, решение можно искать в виде к

Условия ортогональности для ип(х,у) позволяют получить обыкновенные дифференциальные уравнения для коэффициентов Ck(z). Такой метод применялся для решения задач о возбуждении волноводов в работах [22]-[25].

В случае, когда стенки волновода можно считать идеально проводящими, то есть когда в качестве граничных условий принимается соотношение

М]5=о, а заполнение волновода имеет вид 8 = £01, ц = //01, где s0 и ¡лй - положительные константы, система нормальных волн волновода полна. Этот случай аналогичен случаю полого волновода, не заполненного средой, исследованного в [4-6]. При этом постоянные распространения уп и f„ находятся из соотношений у] = к2 -А„ и у] = кг ~Лп, где Лп и

Хп являются собственными значениями первой и второй краевых задач для оператора

Лапласа на поперечном сечении волновода, а к2 представляет собой квадрат модуля волнового вектора. Однако ситуация значительно усложняется, если параметры среды являются функциями координат, и даже в случае, когда г = stS0 и ц = I, где si положительные константы.

В строгой математической постановке задача о возбуждении колебаний при условии, что параметры заполнения имеют специальный вид ц = //01 и £ = s(r)I, рассмотрена в работе П.Е. Краснушкина и Е.И. Моисеева [7]. В этой работе доказано существование приближенного решения задачи со сколь угодно малой невязкой.

В работах [9-11] рассматривался случай двухслойного волновода, параметры заполнения которого имели вид:

Ц = 1, £ =

•¡1, (х^еП,, е21, (х,у)еП2, где >0, е2 >0, ехФе2. Для постановки спектральной задачи использовались продольные компоненты Ег и Нг полей, для которых выполнялись граничные условия

Е =0,

Лдп ' дН.

5п 0

В рассмотренном случае была доказана полнота системы корневых векторов (Ег,Н2) в пространстве Я'(о)хЯ1(о).

В работах [12]-[14] рассмотрена задача о возбуждении колебаний финитным током в регулярном волноводе поперечного сечения Б с идеально проводящими стенками в случае анизотропного заполнения, матрицы которого имеют вид

6п £п (Г >11 м12 о4 = • 8п е22 0 Мг 2 0 о 0 £ъъ) 1° 0 Мх, и удовлетворяют дополнительным условиям

7=1 /,у=! /=! Ы\ /,/-1 Ы для некоторых а > 0, /3 > 0. В этих работах показано, что если поставить задачу для "правильно" выбранной системы уравнений, а именно, если рассматривать подсистемы уравнений Максвелла для векторов А, = {(цН^ДцН)^,^) и А2 = {(еЕ)х,(еЕ)^,Н2), то можно избежать многих сложностей при анализе спектральной задачи, для которой была доказана полнота системы ее корневых векторов в пространстве

Г = (АбЯ0(Шу,5)©//1(5), (^А1,го1ф)1!+1к{езгАг,ф)[г = 0 которое компактно вложено в (¿2 )3. В качестве условия излучения в [12]-[14] принято требование представимости решения задачи в виде суммы конечного числа бегущих от источника волн и элемента пространства Ьг. При этих условиях для нее доказана разрешимость. Собственные значения у] спектральной задачи расположены симметрично относительно вещественной оси. Для любого г > 0 все собственные значения, кроме, быть

В настоящее время большой интерес проявляется также к исследованию волноведущих систем со сложной геометрией. Кроме того, во многих реальных случаях проводимость тел велика, но конечна. В этом случае на их поверхностях должны выполняться точные граничные условия:

Это означает, что задача должна быть решена как вне проводящего тела, так и внутри него с условиями сопряжения на границе. Эта задача является более сложной, чем определение электромагнитного поля в одной из сред с заданным граничным условием на поверхности. В случае неидеально проводящих стенок волновода хорошей моделью, описывающей поглощение энергии поля в металле, являются импедансные условия Щукина-Леонтовича [1], [26]

В1,п)-(В2,п) = 0; [п,Н,]-[п,Н2] = ^; с б„п)-(в2,п) = 4лрпов- [п^Нп^И. п,Е] = ?[п,[п,Н]], в которых поверхностный импеданс металла выражается через его удельную проводимость на постоянном токе, магнитную проницаемость среды, а также частоту падающей монохроматической волны. В случае произвольного поля условие Щукина-Леонтовича можно считать справедливым для Фурье-амплитуд полей.

Указанное выше выражение для поверхностного импеданса справедливо в случае нормального скин-эффекта, то есть когда глубина 8 проникновения поля в металл мала по сравнению с длиной волны в свободном пространстве, длиной / свободного пробега электронов проводимости, а также при условии /¿у/у,. «1, где представляет собой скорость электронов проводимости. [27]

При достаточно больших частотах, таких что 5 становится сравнимым с длиной свободного пробега электронов проводимости, то есть в случае аномального скин-эффекта, макроскопическое описание с помощью проводимости становится невозможным, но импедансное граничное условие указанного выше вида остается справедливым и в этом случае [28].

В общем случае для анизотропной поверхности импеданс может быть тензорной функцией точек поверхности. Импедансные условия Щукина-Леонтовича являются приближенными в том смысле, что решение задачи с этими условиями представляет собой первый член асимптотического разложения решения задачи сопряжения по степеням малого параметра д. Получены они были в предположении о том, что радиусы кривизны поверхности много больше длины падающей волны. Более общими условиями, учитывающими кривизну поверхности раздела, являются условия вида

Х\ ~ Хг

1 +

Жг , яг , г2 15

Г \ \ ш. я I ,

Г1 15

2 у где Х\ и Хг ~ главные гауссовы кривизны поверхности [1], а к2 - величина волнового вектора в поглощающей среде.

Если импеданс зависит от угла падения, то для произвольного поля имеет место обобщенное граничное условие вида: п,Е(г)]= рг-г'Хп,[п,Н(г'Ж, 5 дающее нелокальную связь тангенциальных компонент Е и Н на рассматриваемой поверхности. Такое условие отражает явление пространственной дисперсии и выполняется, в частности, для статистически неровных поверхностей [26].

Достаточно давно известные в электродинамике условия Щукина-Леонтовича не являются частным искусственным приемом, а представляют собой довольно общий способ упрощения постановки электродинамических задач. Определенную роль в становлении этого подхода сыграл обзор М.А. Миллера и В.И. Таланова [29]. Решение уравнений Максвелла для адекватных реальным устройствам моделей представляет весьма трудную задачу ввиду их конфигурационной сложности. В этом случае актуальным и весьма разумным упрощением постановки задачи становится использование эквивалентных граничных условий, позволяющих исключить из рассмотрения некоторую область пространства и поле в ней, задавая соответствующие условия на ее границе. Тем самым возможно заменить простые условия на поверхностях достаточно сложной формы более сложным граничным условием на простой гладкой поверхности. В частности, импедансные условия типа условий Щукина-Леонтовича могут быть получены для сверхпроводящих поверхностей [30], гребенчатых структур [31]-[32] и т.д. В качестве примера можно также привести искусственные поверхности с высоким импедансом, представляющие собой некоторые регулярные структуры, в которых чередуются металлические полосы или вставки на подложке [33].

В случае границы сверхпроводника, характерной особенностью которого является существование малой глубины проникновения 8 и в статическом случае (со = 0), при не слишком больших частотах поверхностный импеданс дается формулой д = 1-д. с

Это выражение представляет собой первый член разложения д(й)) по степеням частоты. Следующий член разложения пропорционален со1 и вещественен [27].

В общем случае поверхностный импеданс является комплексной величиной д = д' + 1д", действительная часть которого в случае поглощения энергии поля неположительна, так как среднее по времени значение потока энергии через поверхность есть

Этот поток представляет собой энергию, втекающую извне в среду (металл) и диссипирующую в ней.

В работах Моденова В.П. [34] -[36] проводилось исследование плоского импедансного волновода. В [34] рассмотрен волновод, ограниченный двумя параллельными плоскостями, одна из которых считалась идеально проводящей, а другая -сверхпроводящей с поверхностным импедансом Дифференциально-параметрическим методом были найдены приближенные аналитические выражения для постоянных распространения. После этого решение задачи осуществлялось ортогональным методом Галеркина. В работе [35] рассмотрена задача для уравнения Гельмгольца в полосе считаются идеально проводящими, а на конечном участке, соответствующем вставке, выполняется условие где а - заданная комплекснозначная функция координаты ъ. В работе предложена модифицированная схема ортогонального метода Галеркина, учитывающая условие Мейкснера в особых точках.

При наличии импедансной границы в волноводе система его собственных волн может оказаться неполной и не образовывать базиса в требуемом пространстве. Поэтому в таком случае, для того чтобы иметь возможность воспользоваться проекционными методами, в качестве базиса было предложено выбрать заведомо полные системы, в некотором смысле близкие нормальным волнам импедансного волновода [26], [36]-[38].

В [26] и [38] проведен анализ задачи о возбуждении колебаний заданными сторонними токами, распределенными в ограниченной области и зависящими от времени по гармоническому закону, в регулярном волноводе произвольного поперечного сечения заполненном изотропной средой (г,//), при условии, что на боковой поверхности с диэлектрической вставкой. Вне области вставки границы а--1-и =0, выполняется импедансное условие типа условия Щукина - Леонтовича с постоянным по z поверхностным импедансом. При этом условие излучения взято форме limJE 1 = 0, так как в данном случае убывание при z -» ±00 может не быть экспоненциальным. Поля были представлены в виде разложений по системам собственных волн {Ег}, {Н,} волновода той же формы, но без потерь:

Т icos h = I(C>)H,+CUz)HJ S

Для искомых коэффициентов C±1(z) получена бесконечная система связанных между собой обыкновенных дифференциальных уравнений: iV p s 1 P ss где n - вектор единичной внешней нормали к BS, и s

При таком подходе векторы Е и Н связаны иным граничным условием на 8S, нежели Е5 и Н5, однако граничные условия удовлетворяются в среднем, то есть в данном случае фактически ищется обобщенное решение краевой задачи. Для удобства дальнейшего анализа осуществляется замена переменных С = cpe~'hpZ, где hp - постоянные распространения при отсутствии потерь, в результате которой получается система ж г» = Ac + R, dz где матрица А в общем случае не может быть приведена к диагональному виду, но существует преобразование Г = ВАВ"1, приводящее ее к канонической жордановой форме

39]. Если собственное значение является М] -кратно вырожденным, и ему соответствует < Л/у линейно независимых векторов, то в матрице Г будет содержаться соответствующая ему жорданова клетка порядка [м] - т] +1) вида

1 О О Л, 1 о

0Л 0 1

Ь» или О 1

О О

-) о о о

1 я и

В [26] проанализирован частный случай, когда имеется только одно двукратно вырожденное собственное значение, порождающее жорданову клетку порядка 2. Для этого примера получены уравнения, которым удовлетворяют соответствующая собственная и присоединенная волны в свободной от источников области, и показано, что в этом случае поле убывает на бесконечности неэкспоненциально. В предположении о малости поверхностного импеданса, пренебрегая взаимной связью волн различных номеров, получены приближенные выражения для постоянных распространения собственных волн. Также получены постоянные распространения, в которых учитывается попарная связь двух волн с ближайшими по величине кр.

Таким образом, в случае волновода с импедансной границей возникают определенные сложности при постановке условий излучения. Основной целью предлагаемой работы является обоснование применимости специальной формы парциальных условий излучения для достаточно широкого класса задач о возбуждении колебаний в волноводах, в том числе имеющих импедансную границу. Условие излучения формулируется в виде требования наличия у решения задачи обобщенного преобразования Фурье или Иг-преобразования. Обобщенное преобразование Фурье отличается от обычного тем, что в нем контур интегрирования деформируется в зависимости от особенностей подынтегрального выражения, а именно, если подынтегральное выражение не имеет действительных полюсов, то интегрирование ведется вдоль всей действительной оси. В этом случае Рг-преобразование совпадает с обычным обратным преобразованием Фурье. Если же у подынтегрального выражения есть действительные полюсы, то контур обходит положительные полюсы в нижней полуплоскости, а отрицательные - в верхней полуплоскости.

Впервые использовать в качестве условия излучения наличие у решения задачи обобщенного преобразования Фурье было предложено в работе А.Н. Боголюбова и М.Д. Малых [40], где рассматривалась задача

1[и]+д2ги + о)2и = /, «1ю=° для произвольного эллиптического оператора

44= Ё аи +£ а< (*)1г+ в бесконечной цилиндрической области 0 = {хб5'сЛ'",геЛ1}. Функция / в правой части уравнения является гладкой и имеет компактный носитель. При решении этой задачи возникают те же сложности, что и при построении резольвенты волновода с заполнением, нерегулярным по сечению [14].

С этой задачей связаны два набора функций - дискретный набор собственных функций спектральной задачи Дирихле для оператора Ь и непрерывный набор собственных функций е1>г оператора д2¡дг2 . В [40] показано, что, используя вторую систему, можно поставить условие излучения, в некотором смысле эквивалентное парциальным условиям. На основании оценок Карлемана [41] для резольвенты соответствующей задачи в пространстве образов было доказано, что при всех со2 ф а], где а] - собственные значения краевой задачи Дирихле для оператора Ь, существует единственное решение исходной задачи, имеющее обобщенное преобразование Фурье.

Это решение представимо в виде суммы конечного числа слагаемых, соответствующих о расходящимся волнам, и слагаемого, являющегося элементом пространства №¡(0).

В настоящей работе данные результаты значительным образом обобщены на более широкий класс задач. В частности, показано, что можно отказаться от использования результатов Карлемана, специфических для задач Дирихле, и получить все необходимые оценки на основании леммы Келдыша о поведении резольвенты нормального оператора. В целом же настоящая диссертационная работа посвящена развитию общих методов исследования разрешимости задачи о возбуждении электромагнитных колебаний локальным распределением тока в волноводе, характеристики которого не меняются вдоль оси волновода. Предлагаемый метод описан в общем, для чего рассмотрена задача в произвольном гильбертовом пространстве, имеющая характерные черты задачи о возбуждении колебаний вне зависимости от выбора неизвестных или каких-либо материальных характеристик волновода. Для этой задачи показано, что парциальные условия излучения выделяют существующие и единственное решение.

Перейдем к изложению содержания работы по главам. В первой главе диссертации исследуется уравнение действительной прямой, имеет финитный носитель, а ее значения принадлежат некоторому гильбертову пространству Я. Операторы А и В являются вполне непрерывными в Я, а ограниченный оператор й действует из Я в Я. Рассматриваемое гильбертово пространство Я обладает тем свойством, что в нем уравнение не имеет нетривиальных решений, соответствующих Л = О.

Необходимость анализировать подобный объект возникает во многих задачах математической теории волноводов. В частности, в пункте 1.1 первой главы показано, что к такому виду может быть сведена задача и + Ви- Аигг = И/ для функции действительной переменной и{г) со значениями в гильбертовом пространстве Я. Функция /(г) в правой части этого уравнения определена на всей м>+б(Л)м; = 0> <2{Л)=В + А2А в бесконечной области 0 = {хе5'с/?т,гб(-оо,-|-со)} для произвольного эллиптического оператора I с коэффициентами а0(х) = ар(х) при старших производных. Оператор граничного условия имеет вид где ^ - компоненты внешней нормали к границе области 5". Роль гильбертовых пространств Я и Я в этом случае играют (б') и ¿2 (5) соответственно. Компактность операторов, возникающих в левой части обобщенной постановки данной задачи, доказывается на основании результатов для билинейных форм, полученных в [42], а также теорем вложения (£■) в [43].

В пункте 1.2 первой главы рассмотрена задача и(г)+в(гШ=Я/(г) в пространстве Я, решение которой играет роль Иг-образа решения исходной задачи для функции и(г). Для этой задачи доказана теорема, утверждающая, что спектр оператора ()(Х) состоит только из собственных чисел конечной кратности, среди которых может быть лишь конечное число действительных положительных, если оператор Аг является самосопряженным и положительно определенным. При всех значениях параметра у, не совпадающих со спектральными точками, доказаны существование и единственность решения задачи для й(у), для которого получена оценка йМ1* - £\Щ 0 при стремящемся к бесконечности на действительной оси параметре у. Доказательство этой теоремы основано на применении леммы Келдыша о поведении резольвенты нормального оператора. Полученная оценка означает, что поведение й(у) на бесконечности определяется поведением /(у).

Аналогичные результаты справедливы и для решения й(х,у) задачи в пространстве образов, соответствующей рассматриваемой задаче для эллиптического оператора I. В пункте 1.2. также приведены условия, которым должны удовлетворять коэффициенты оператора Ь и функция /(х,у), для того чтобы й(х,у) было классическим решением краевой задачи хй+^-у2^/,

1 *м«=0

В пункте 1.3. первой главы показано, что при достаточной гладкости функции /(г) интеграл и(г) = ¥т[й(у)] равномерно сходится, может быть дважды продифференцирован по параметру г, и удовлетворяет исходной задаче для функции и(г). При этом он является единственным ее решением, допускающим Рг-преобразование.

В пункте 1.4 найдена асимптотика решения, допускающего Рг-преобразование. При этом использовано представление резольвенты вполне непрерывного оператора <2{Л), аналитически зависящего от параметра X, полученное М.В. Келдышем [44]. Показано, что решение задачи, допускающее Рг-преобразование, имеет вид суммы конечного числа слагаемых, соответствующих распространяющимся от источника волнам, а также функции, норма которой в Н равномерно ограничена и убывает как \г\ 1 на бесконечности. Аналогичный результат справедлив и для иллюстративной задачи для эллиптического оператора при всех значениях параметра со2, не совпадающих с собственными значениями а] однородной задачи х[и']+а2и' = О, I

Таким образом, в первой главе диссертации показано, что для рассматриваемого класса задач использование требования существования Рг-преобразования решения в качестве условия излучения позволяет доказать существование и единственность решения задачи, соответствующего расходящимся и затухающим волнам. При этом не требуется исследовать полноту системы корневых векторов соответствующей однородной задачи. Результаты, полученные в первой главе, представлены в [45]-[46].

Во второй главе диссертации исследуется объект и + Айи + А{и1-Агиа =/)/, где, как и в первой главе, u{z) является функцией действительной переменной z со значениями в гильбертовом пространстве Я, таком что в нем уравнение w+Q{á)w = О, Q{X) = А0+ Ш, + Л2 Аг не имеет нетривиальных решений при Л = О, функция /(г), значения которой лежат в некотором гильбертовом пространстве Я, имеет финитный носитель, операторы А, являются вполне непрерывными в Я, причем Аг самосопряжен и положительно определен, aD является ограниченным оператором, действующим из Я в Я. В пункте 2.1.2 второй главы показано, что задача y)+Q{y)ü{y)=Df{y), решение которой играет роль Fr-образа u(z), при всех не совпадающих с собственными числами оператора Q{¿), единственным образом разрешима, причем она имеет единственное решение при у ±со на действительной оси, и для этого решения справедлива оценка где е > 0 - некоторое число. Это означает, что оператор Q(á) может иметь только конечное число собственных чисел на действительной оси.

В пункте 2.3 второй главы показано, что, как и в случае, рассмотренном в первой главе, при достаточной гладкости функции /(z) интеграл u(z) = ¥r[ü{/)] является единственным решение исходной задачи, допускающим Fr-преобразование. На основании леммы Жордана и поведения резольвенты вполне непрерывной аналитической оператор-функции для этого решения получена асимптотика при z -> ±°о, демонстрирующая, что оно может содержать только компоненты, соответствующие расходящимся от источника волнам и волнам, затухающим на бесконечности. Таким образом, для рассмотренной задачи требование существования у решения Fr-преобразования также является вполне корректным условием излучения.

Вторая часть второй главы посвящена исследованию задачи о возбуждении колебаний финитным гармоническим распределением токов и зарядов в регулярном импедансном волноводе, поперечное сечение которого представляет собой произвольную звездную область с гладкой границей, заполненном средой s = e(x,y)l и ju = I. Для анализа этой задачи применен шестивекторный подход, используемый в теории относительности.

В пункте 2.2.1. второй главы получена задача для шестивектора f = 0 Вг -Ву -iEx

-Bz О Вх -iEy

Ву -Вх О -iEz iEx iEy iEz О в рассматриваемом волноводе, для которой в качестве условия излучения принято существование у решения Иг-образа

2ж •

В пункте 2.2.2 получена обобщенная постановка задачи для ¥(х,у,у) и указано гильбертово пространство, в котором она имеет вид, описанный в 2.1.1. Таким образом, для нее оказывается справедливой теорема о единственности решения и поведении решения при стремящемся к бесконечности на вещественной оси параметре у.

В пункте 2.2.3. найдена асимптотика решения задачи, имеющего Иг-преобразование, и показано, что оно может содержать только слагаемые, соответствующие расходящимся от источника либо затухающим волнам.

В третьей главе настоящей диссертации рассмотрен частный случай задачи о возбуждении колебаний в импедансном волноводе, допускающий аналитическое решение. Исследован регулярный полый цилиндрический волновод кругового поперечного сечения с импедансными стенками, возбуждение которого осуществляется финитным произвольно ориентированным током \е~ш. В этой главе показано, что если рассматривать задачу для невязки |Ё,н}= {Е,н}-{Е0,н0} искомого поля и поля, возбуждаемого тем же током в волноводе с аналогичной геометрией, но идеально проводящими стенками, то можно воспользоваться представлением полей при помощи электрического и магнитного векторов Герца, направленных вдоль оси волновода:

Пе =<р{г,р,е)-ег, Пт =<у(2,р,д)-ег.

При этом для коэффициентов <рт(г,р) и у/т(г,р) разложений функций <р и ^ в ряды

Фурье по полярному углу в получены задачи, неоднородность которых заключена в граничных условиях. В качестве условия излучения для них выступает требование существования у решения Рг-преобразования. Предполагая, что постоянные распространения для рассматриваемого волновода известны, и используя полученные в [46] выражения для векторов Герца в случае идеальной проводимости стенок, получено решение этих задач, которое может содержать в качестве слагаемых только компоненты, соответствующие бегущим от источника либо затухающим волнам. В первом порядке по параметру д теории возмущения найдены выражения для постоянных распространения нормальных волн в рассматриваемом волноводе. Полученные в данной главе результаты представлены в [47]-[53].

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

• Для класса задач математической теории волноводов, которые могут быть представлены в виде операторных уравнений и-Аиа +Ви = й/ или и + А^и + А1иг - А2иа = И/ в некотором гильбертовом пространстве Н, таком что соответствующие спектральные задачи и + Л2Аи + Ви = О и и + А0и + /'/Ци + Л2А2и = О не имеют нулевых собственных значений, доказана разрешимость при всех достаточно гладких финитных функцияхУ^) при условии, что операторы в левых частях уравнений являются вполне непрерывными, и, кроме того, А и А2 самосопряжены и положительно определены.

• Показано, что для задач указанного класса требование существования у решения обобщенного преобразования Фурье является вполне корректным условием излучения, позволяющим выделять такое решение задачи, которое соответствует бегущим от источника и затухающим на бесконечности волнам.

• С использованием предложенной методики доказано, что задача для произвольного эллиптического оператора L в бесконечной цилиндрической области с граничным условием третьего рода имеет единственное обобщенное решение со значениями в ^(s), допускающее Fr-преобразование. Это решение представляет собой сумму конечного числа слагаемых, соответствующих расходящимся волнам, и слагаемого, норма которого в W\ (i') убывает как \z\~l на бесконечности. Спектральная задача для оператора L на поперечном сечении области может иметь только конечное число вещественных положительных собственных значений.

• Доказана разрешимость задачи о возбуждении колебаний финитным гармоническим распределением токов и зарядов в регулярном импедансном волноводе, поперечное сечение которого представляет собой произвольную звездную область с гладкой границей, с заполнением е(х,у), ju~ 1.

• Исследована задача о возбуждении колебаний финитным током ]в'ш в полом регулярном цилиндрическом волноводе с импедансной границей. В первом порядке теории возмущения по параметру д, представляющему собой комплексный импеданс границы, найдены выражения для постоянных распространения. Построены векторы Герца для формирующегося в рассматриваемом волноводе поля.

По теме диссертации опубликовано 8 работ [45] - [51], [53], из которых 4 статьи и 4 являются тезисами конференций, а также одна работа [52] направлена в печать. Основные результаты докладывались

• на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2003 " [47]

• на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2004" [48]

• на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2006" (где доклад [46] был отмечен жюри, как один из лучших на подсекции)

• на международной конференции Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory DIPED-2006

• на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2007" (где доклад [53] был отмечен как лучший на подсекции)

Заключение

В заключении приведем основные результаты работы.

• Исследована разрешимость нескольких классов задач, обобщающих задачи математической теории волноводов, представимых в виде операторных уравнений специального вида для функций действительной переменной ъ со значениями в некотором гильбертовом пространстве Н. Показано, что для задач указанного класса требование существования у решения обобщенного преобразования Фурье является вполне корректным условием излучения, позволяющим выделять такое решение задачи, которое соответствует бегущим от источника и затухающим на бесконечности волнам.

• С использованием предложенной методики доказано, что задача для произвольного эллиптического оператора Ь в бесконечной цилиндрической области с граничным условием третьего рода имеет единственное обобщенное решение со значениями в

Я), допускающее Рг-преобразование. Это решение представляет собой сумму конечного числа слагаемых, соответствующих расходящимся волнам, и слагаемого, норма которого в (5) убывает как \г\ 1 на бесконечности. Спектральная задача для оператора Ь на поперечном сечении области может иметь только конечное число вещественных положительных собственных значений.

• Доказана разрешимость задачи о возбуждении колебаний финитным гармоническим распределением токов и зарядов в регулярном импедансном волноводе с заполнением е = е{х,у), // = 1, поперечное сечение которого представляет собой произвольную звездную область с гладкой границей.

• Исследована задача о возбуждении колебаний финитным током в полом регулярном цилиндрическом волноводе кругового поперечного сечения с импедансной границей. В первом порядке теории возмущения по параметру д, представляющему собой комплексный импеданс границы, найдены выражения для постоянных распространения. Из полученных выражений видно, что при физических значениях д возбужденное поле убывает вдоль оси волновода.

Автор хотел бы выразить искреннюю благодарность проф. А.Н. Боголюбову и кандидату физ. мат. наук М.Д. Малых за большую помощь, оказанную при написании диссертации, а также проф. А.Г. Свешникову за ряд ценных замечаний.

1. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г., Математические модели электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1993

2. Вайнштейн J1.A. Электромагнитные волны. Советское радио, Москва, 1957

3. Collin R.E., Field Theory of Guided Waves, McGraw-Hill, New York, 1960

4. Тихонов A.H., Самарский A.A. О возбуждении радиоволноводов I. // ЖТФ. 17 (1947), № И, с. 1283-1296.

5. Тихонов А.Н., Самарский A.A. О возбуждении радиоволноводов II. // ЖТФ. 17 (1947) №12, с. 1431-1440.

6. Тихонов А.Н., Самарский А.А.О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ. // ЖТФ. 18 (1948), №7, с.959-970.

7. Краснушкин П.Е., Моисеев Е.И. О возбуждении вынужденных колебаний в слоистом радиоволноводе//ДАН СССР. 264 (1982), №5, с. 1123-1127

8. Веселов Г.И., Краснушкин П.Е. О дисперсионных свойствах двухслойного экранированного круглого волновода и комплексных волнах в нем.// ДАН СССР. 260 (1981), №3, с. 576-579.

9. Смирнов Ю.Г. О полноте системы собственных и присоединенных волн частично заполненного волновода с нерегулярной границей.// ДАН СССР. 297 (1987), № 4, с. 829832.

10. Смирнов Ю.Г. Метод операторных пучков в краевых задачах сопряжения для системы эллиптических уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1991, т.27 №1, с. 140-147.

11. Смирнов Ю.Г. Применение метода операторных пучков в задаче о собственных волнах частично заполненного волновода // ДАН СССР. 312 (1990), № 3, с. 597-599.

12. Боголюбов АН., Делицын А.Л., Свешников А.Г. О полноте корневых векторов радиоволновода //ДАН. 369 (1999), № 4, с. 458-460

13. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Свешников АГ. Об условиях разрешимости задачи возбуждения радиоволновода.//ДАН. 370 (2000), №4, с.453-456

14. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Свешников АГ. О задаче возбуждения волновода с неоднородным заполнением //ЖВМ и МФ39 (1999), № 11, с. 1869-1888

15. Solimeno S., Crosignani В., DiPorto P. Guiding, Diffraction and Confinement of Optical Radiation, Academic Press, INC, 1986

16. Kawano K., Kitoh T. Introduction to Optical Waveguide Analysis: Solving Maxwell's Equations and Schrodinger Equation, John Wiley & Sons, Inc., 2001

17. Marcuse D. Light Transmission Optics, Van Nostrand, New York, 1972

18. Marcuse D. Theory of Dielectric Optical Waveguides, Academic Press, New York, 1974

19. Свешников АГ. Принцип излучения. //ДАН СССР. 73 (1950), № 3, с. 917-920.

20. Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волновода. // ДАН СССР. 80 (1951), №3, с. 345-347.

21. Гараджаев А Оразов М.Б. Об условиях затухания решений и принципе излучения для одного дифференциального уравнения с операторными коэффициентами на полуоси// Дифференциальные уравнения, 19, №6, с.944-954

22. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М.: Сов. радио, 1973.

23. Кисунько Г.В. К теории возбуждения радиоволноводов // ЖТФ 16 (1946), № 5, с. 565576

24. Кисунько Г.В. К теории возбуждения радиоволноводов//ДАН СССР. 51 (1946), № 3, с. 195-198

25. Кисунько Г.В. К теории возбуждения радиоволноводов.// Изв. АН СССР, Сер. физич., 1946,10, №2, с. 217-224.

26. Ильинский А.С., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: Изд-во МГУ, 1983

27. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: электродинамика сплошных сред. М. ФИЗМАТЛИТ, 2005

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: физическая кинетика. М. ФИЗМАТЛИТ, 2005

29. Миллер М.А., Таланов В.И. Использование понятия поверхностного импеданса в теории поверхностных электромагнитных волн.// Изв. ВУЗов. Радиофизика, 4 (1961), № 5, с.795-830.

30. Диденко А.Н. Сверхпроводящие волноводы и резонаторы, М.: Сов. радио, 1973

31. Нефедов Е.И., Сивов А.Н. Электродинамика периодических структур, М. Наука, 1977

32. Курушин Е.П., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Дифракция электромагнитных волн на анизотропных структурах, М. Наука, 1975

33. Конюшенко B.B., Моденов В.П. Вычисление постоянных распространения волн плоского градиентного диэлектрического волновода с импедансной границей. // Вестник Московского ун-та. Серия 3. Физика. Астрономия. 2000, № 4, с.36-37

34. Конюшенко В.В., Моденов В.П. Ортогональный метод Галеркина для решения уравнения Гельмгольца в полосе с разравным несамосопряженным граничным условием. // Вестник Московского ун-та. Серия 3. Физика. Астрономия. 2003, № 1, с. 19-21

35. Моденов В.П. Проекционные методы в теории волноводов // Радиотехника и электроника, 50 (2005), № 2, с. 203-207

36. Машковцев Б.М., Цибизов К.Н., Емелин Б.Ф. Теория волноводов. М. -Л.: Наука, 1966

37. Аркадакский С.С., Цикин Б.Е. К теории возбуждения электронным потоком волноведущих систем с импедансной поверхностью. Уравнения возбуждения в форме связанных волн// Радиотехника и электроника 20 (1975), №10, с. 2113-2120

38. Еантмахер Ф.Р. Теория матриц. Еос. изд. технико-теор. лит. М., 1953

39. Боголюбов А.Н., Малых М.Д. Замечание об условиях излучения для нерегулярного волновода. // ЖВМ и МФ. 43 (2003), № 4, с. 585-588

40. Stummel F. Rand- und Eigenwertaufgaben in Sobolewschen Räumen.// Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1969.

41. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973

42. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов.// Гл. I. Избранные труды. Математика. М.: Наука, 1985. С. 305-320.

43. Боголюбов А.Н., Малых М.Д., Мухартова Ю.В. Об удовлетворяющем условию излучения решении краевой задачи для произвольного эллиптического оператора // ЖВМ и МФ. 46 (2006), № 12. с.2228-2234

44. Мухартова Ю.В. О решении краевой задачи для произвольного эллиптического оператора, удовлетворяющем условию излучения // Конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2006", сборник тезисов, с. 137-138

45. Мухартова Ю.В. О нормальных модах волновода, на границе которого заданы условия Щукина-Леонтовича// Десятая международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам Ломоносов 2003, секция физика, сборник тезисов, С. 56-57

46. Мухартова Ю.В. Спектральные свойства импедансного волновода// Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2004". Секция "Физика". Сборник тезисов, С. 142-144

47. Боголюбов АН., Малых М.Д., Мухартова Ю.В. Об условиях излучения для импедансного волновода // Веста. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006, № 1. с. 3-6

48. Боголюбов А.Н., Малых М.Д., Мухартова Ю.В. Моды для волновода с граничными условиями Щукина-Леонтовича // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2004, № 6. с. 7-10

49. Боголюбов АН., Малых М.Д., Мухартова Ю.В. О спектральной задаче для волновода с импедансными граничными условиями // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2005, № 6. с. 55-56

50. Мухартова Ю.В. Применение методики обобщенного преобразования Фурье при решении задач математической теории волноводов. // Вестник МГУ, сер. Физика. Астрономия.

51. Мухартова Ю.В. Пример использования методики Fr-преобразования при решении задач математической теории волноводов// конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов-2007, сборник тезисов, с. 67-69

52. Колмогоров АН., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М."Наука", 1976

53. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965

54. Маркус АС. О некоторых признаках полноты системы корневых векторов линейного оператора и суммируемости рядов по этой системе//ДАН СССР. 155 (1964), №4, С. 753756

55. Маркус АС. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков.//Кишинев, "Штиинца", 1986

56. Fiorenza R. Sui problemi di derivata oblique per le equazioni ellitiche, Ricerche di Mat, Napoli 8 (1959), 83-110

57. Ладыженская OA, Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М. "Наука", 1973

58. Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Часть 2. Книга 2. Интегральное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы. Новосибирск. Издательство Института математики. 2001.

59. Зоммерфельд А. Электродинамика. М, ИЛ, 1958

60. Фукс Б.А Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М., гос. изд. физ.-мат. лит., 1962