Применение вариационного принципа к расчёту электродинамических характеристик волноводных антенн с импедансным фланцем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Щербинин Всеволод Владиславович

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА К РАСЧЁТУ

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВОЛНОВОДНЫХ АНТЕНН С ИМПЕДАНСНЫМ ФЛАНЦЕМ

01.04.03 — радиофизика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2000

Работа выполнена на кафедре радиофизики Алтайского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Комаров С. А.

Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук,

профессор Фисанов В. В.

Ведущая организация: Новосибирский государственный технический университет

Защита состоится " 9 " ноября 2006 в 14 ч. 30 мин. на заседании • диссертационного совета Д 212.2G7.04 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ауд. 119.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ТГУ.

Автореферат разослан " & " октября 2006 г. Учёный секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор

Гошин Г. Г.

Пойзнер Б.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Нсвыступающие антенные решётки п виде системы волноводов с общим фланцем получили широкое практическое применение в радиотехнике СВЧ-диапазона в составе бортовых комплексов летательных аппаратов, а также в системах, предназначенных для контактного зондирования природных сред и искусственных материалов. Это определяет интерес к разработке методов нахождения различных электродинамических характеристик таких антенн.

Традиционно фланцы полноводных антенн изготавливались из металла, либо металла с тонким диэлектрическим покрытием, что позволяло при теоретическом моделировании использовать приближение идеально проводящего фланца. В последнее время, в связи с активным развитием методов создания т. н. метаматериалов — искусственных сред, поверхностный импеданс которых может изменять значения в широких пределах, — представляется актуальной разработка методов, позволяющих учитывать влияние импеданса фланца на электродинамические характеристики невыступающих волноводных антенн.

Методы теоретического анализа характеристик невыступающих полноводных антенн и антенных решёток с идеально проводящим фланцем развиты достаточно хорошо (Б.А. Мишустин, 19G5; D. Bocinar et al., 1970; С.Р. Wu, 1970; J. Kwon et al., 2004 и др.). Случай одиночного волновода заданного поперечного сечения с импедансным фланцем также рассматривался в литературе ранее (С.А. Комаров, 197G; К. Yoshitomi, 1994). Вместе с тем отсутствует последовательная и полная методика расчета характеристик антенных решёток с импедансным фланцем.

Представляется актуальной разработка универсальных численно-аналитических подходов, позволяющих рассчитывать

электродинамические характеристики волноводных антенных решёток с импедансным фланцем, состоящих из элементов произвольного поперечного сечения.

Цели работы. При выполнении данной диссертационной работы были поставлены следующие цели:

1. Развитие вариационного метода применительно к задаче нахождения электродинамических характеристик невыступаю-щих конечных антенных решёток, состоящих из раскрывов цилиндрических полубесконсчных волноводов произвольного поперечного сечения с импедансным фланцем.

2. Получение теоретических решений для волноводных антенн, построенных на основе коаксиальных, круглых и прямоугольных волноводов.

3. Расчёт электродинамических характеристик антенн и антенных решёток, анализ и физическая интерпретация полученных результатов.

4. Выявление новых и слабоизученных яалений и закономерностей в волновых процессах, происходящих в волноводных антенных решётках с импедансным фланцем, связанных с существованием поверхностных волн в такой системе.

Методы исследования. При решении поставленной задачи использовались: теория дифракции электромагнитных волн на апертурах, возбуждаемых полноводными структурами; теория интегральных уравнений; вариационный принцип.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения:

1. Характеристики согласования и взаимной связи элементов невыступающей антенной решётки, состоящей из конечного числа идентичных полубескоиечньгх волноводов произвольного поперечного сечения с импедансньгм фланцем, выражаются через функционалы, стационарные относительно вариации финитных функций на раскрывах.

2. Резко осциллирующий характер зависимостям характеристик взаимной связи элементов полноводной антенной решётки от расстояния между ними и от рабочей частоты при ненулевой мнимой части поверхностного импеданса фланца придают поверхностные волны.

3. Характеристики поля излучения и поверхностной волны одиночного волновода с имледансным фланцем выражаются через функционалы, стационарные относительно вариации финитной функции на раскрыве.

4. Мощность излучения одиночного волновода с импедансным фланцем зависит от абсолютной величины и типа поверхностного импеданса фланца, геометрии волновода и частоты. При этом наличие ненулевой вещественной составляющей импеданса фланца уменьшает мощность излучения во всём диапазоне частот для обеих поляризаций. При ненулевой мнимой части поверхностного импеданса наблюдается перераспределение энергии между излучением вертикальной и горизонтальной поляризации.

5. Зависимость эффективности возбуждения поверхностной волны от частоты в пределах диапазона одномодового режима имеет немонотонный характер с максимумом, положение и величина которого зависит от геометрии волновода и поверхностного импеданса фланца.

Достоверность результатов. Достоверность первого и третьего защищаемых положений подтверждается логической и математической непротиворечивостью развитого теоретического метода.

Достоверность второго защищаемого положения подтверждается сравнением результатов расчётов для случаев существования поверхностной волны и её отсутствия. Корректность предлагаемой методики расчётов подтверждается согласием в частных случаях с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов (W.T. Croswell et al., 19G7; М.С. Bailey et al., 19G8; R.J. Mailloux, 19G9; K. Yoshitomi et al., 1994; H. Serizawa et. al., 2005). Полученная система интегральных уравнений задачи в частном случае решётки плоских волноводов с идеально проводящим фланцем непрерывно сходится к системе интегральных уравнений, ранее описанной By (С.P. Wu, 1970).

Достоверность четвёртого защищаемого положения подтверждается сравнением результатов расчётов характеристик поля излучения при различных значениях импеданса фланца. Корректность предлагаемой методики расчётов подтверждается согласием полученных результатов в частных случаях с теоретическими и экспериментальными результатами, полученными другими авторами (Н. Baudrand et al., 1988; К. Yoshitomi et al., 1994; H. Serizawa et. al., 2005).

В целом достоверность результатов подтверждается выполнением закона сохранения энергии.

Научная новизна работы. В ходе выполнения работы получило дальнейшее развитие применение вариационного принципа к решению задачи нахождения электродинамических характеристик невы-ступающих волноводных антенн для ненулевого стороннего импеданса фланца.

Представление граничных условий сшивания касательных со-

ставляющих полей на раскрывах волноводов и граничных условий импедансного типа вне раскрывов в виде линейной комбинации электрического и магнитного полей позволило впервые построить систему интегральных уравнений для задачи излучения из конечной полноводной антенной решётки с импедансным фланцем.

Полученная система уравнений была записана в операторной форме, что позволило обобщить метод, развитый ранее для случая одиночного волновода с импедансным фланцем (С.А. Комаров, 1985) на случай конечной волноводной решётки. С использованием вариационного принципа в одномодопом приближении удалось выразить характеристики согласования и взаимной связи элементов конечной волноводной антенной решётки с импедансным фланцем через построенный стационарный функционал.

На основе результатов численных расчётов установлен факт наличия взаимного влияния элементов волноводной антенной решётки с импедансным фланцем по поверхностной волне. Установлено также, что вещественный импеданс фланца улучшает развязку между элементами волноводной решётки любой геометрии.

Предложено использовать принцип взаимности для построения стационарного функционала поля излучения одиночного волновода с импедансным фланцем.

На основе результатов численных расчётов впервые исследованы энергетические характеристики поверхностных волн, существующих вдоль импедансной плоскости, возбуждаемой полноводной апертурой.

Научная ценность работы. В ходе выполнения работы было развито применение вариационного принципа к решению задачи нахождения электродинамических характеристик волноводных антенных решёток и одиночных антенн с импедансным фланцем. Метод применим для волноводов произвольного поперечного сечения, если для

рассматриваемой конфигурации волновода существует явный вид фурье-трансформанты поперечной волновой функции волны основного типа.

Развитый теоретический метод углубляет понимание электромагнитных процессов, происходящих в волноводных антенных решётках.

Установлено, что использование функционала для характеристик согласования при расчёте поля излучения полноводной антенны, широко применяемое различными авторами, даёт завышенные значения амплитуды поля пространственной волны, хотя форма диаграммы направленности воспроизводится с приемлемой на практике точностью.

Результаты работы позволяют сделать вывод о возможности применения вариационного принципа к решению задач дифракции электромагнитных волн на волноводных структурах, в частности, к решению задачи нахождения характеристик поля излучения и поверхностных волн волноводных антенных решёток с импедансным фланцем, различных электродинамических характеристик антенн с неоднородным или анизотропным импедансом фланца, задач импульсного возбуждения волноводной решётки и др.

Практическая значимость. Применение развитого метода при проектировании волноводных антенн с фланцем позволяет учитывать влияние поверхностного импеданса на характеристики согласования на этапе проектирования.

Обнаруженное влияние поверхностных волн на характеристики согласования, составляющее второе защищаемое положение, позволяет проектировать антенные решётки с минимальной взаимной связью между элементами.

Обнаруженная зависимость мощности излучения одиночного волновода от импеданса фланца позволяет на этапе проектирова-

ния волноводных антенн учитывать потери энергии, обусловленные конечной проводимостью материала фланца.

Обнаруженная зависимость эффективности возбуждения поверхностной волны от импеданса позволяет осуществлять расчёт КПД антенн поверхностных волн, возбуждаемых полноводными апертурами.

Внедрение результатов работы. Результаты представленной диссертационной работы использовались в учебном процессе на физико-техническом факультете Алтайского государственного университета при выполнении курсовых и дипломных работ студентами специальности «радиофизика и электроника» с 2000/2001 учебного года.

Апробация работы. Материалы, вошедшие в диссертационную работу, были представлены на следующих конференциях: ММЕТ'2000: VIII"1 International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (Kharkov, Ukraine, 2000); «Излучение и рассеяние электромагнитных волн - 2001» (г. Таганрог, 2001); ММЕТ'2004: 10i/l International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (Dniepropetrovsk, Ukraine, 2004); 2005 IEEE AP-S Meeting (Washington, DC, USA, 2005); MMET'200G: llifc International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (Kharkov, Ukraine, 200G).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ (из них в рецензируемых журналах - 3 работы), список которых приведён в конце автореферата.

Личный вклад автора. Выбор общей программы исследований и сё отдельных этапов определялся совместно с руководителем диссертационной работы доктором физико-математических наук С. А.

Комаровым. Автор принимал активное участие в постановке и обсуждении программы теоретических исследований, большая часть результатов по которой получена им лично.

Автор самостоятельно осуществил разработку расчётных программ, получил численные результаты и выполнил их анализ.

В процессе выполнения работы автор осуществил руководство дипломными работами студентов специальности «радиофизика и электроника» А. В. Клочкова, А. А. Богданова а также рядом других курсовых и дипломных работ.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа общим объёмом 174 страницы состоит из введения, трёх глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа проиллюстрирована 76 рисунками, библиографический раздел включает 98 наименований, в работе имеется 5 приложений: методика вычисления интегральных коэффициентов; пример вывода расчётных формул для поля излучения коаксиального волновода; электронные версии исходных текстов 10 расчётных программ и справка о внедрении результатов работы в учебный процесс на ФТФ АлтГУ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен аналитический обзор научных работ, имеющих отношение к рассматриваемой тематике. Он имеет целью дать общее представление о современном состоянии проблемы расчёта электродинамических характеристик волноводных антенн и антенных решёток с фланцем. Проведён сравнительный анализ существующих методов решения задач дифракции на волноводных структурах, отмечены достоинства и недосатки каждого метода. На основе выполненного обзора обоснован выбор вариационного метода для решения поставленной задачи.

Обоснована актуальность выбранной темы, сформулирована

цель диссертационной работы. Отмечена научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Приведены основные положения, выносимые на защиту, и сведения об апробации результатов.

В первой главе решена задача о нахождении характеристик согласования и взаимной связи элементов конечной полноводной антенной решетки с импедансным фланцем. Решётка состоит из полубесконечных цилиндрических волноводов произвольного поперечного сечения и имеет бесконечный фланец, характеризующийся постоянным сторонним импедансом. Излучение производится в поглощающую плоскослоистую среду.

Для решения задачи использован вариационный принцип. Впервые для решения волноводных задач он был применён в 1970 г. (D. Bocinar et al.) при расчёте характеристик согласования бесконечной решётки плоских волноводов с идеально проводящим фланцем. На случай одиночного волновода с импедансным фланцем этот метод был распространён в 1985 г. (С.А. Комаров). В данной главе метод развит на случай конечной волноводной антенной решетки с импедансным фланцем.

Постановка задачи осуществляется следующим образом. В координатной области z < 0 расположена нсвыступающая антенная решётка, состоящая из конечного числа п идентичных полубесконечных цилиндрических волноводов произвольного поперечного сечения. Волноводы заполнены идеальным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью /i.

Раскрывы волноводов Si,..., Sn расположены па бесконечном фланце в плоскости z = 0 и взаимно ориентированы таким образом, что могут быть получены друг из друга параллельным переносом. Фланец характеризуется постоянным изотропным сторонним импедансом ZZq, где Zq = у/Щ)/£о — импеданс свободного пространства,

£о и дго — диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства соответственно.

В области г > 0 расположена плоскослоистая среда, характеризуемая комплексными диэлектрической проницаемостью е3(г) и магнитной проницаемостью Ц3(2)-

Решение задачи связано с удовлетворением граничных условий сшивания касательных составляющих электрического и магнитного полей на раскрывах волноводов и граничных условий импедансного типа вне раскрывов. При решении задачи оказалось удобным использовать граничные условия в виде линейной комбинации касательных составляющих электрического и магнитного полей.

Применение данных граничных условий позволяет свести поставленную задачу к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода относительно вспомогательной функции вида

Г{Р)

о, и я;

Ёг(р,-о)-гг0их 1Ъ(р,-о), ре у

»==!,....п

(1)

здесь Ь\(р, +0), //¿(р, +0) — касательные составляющие электрического и магнитного полей на раскрыве волновода.

Методы, позволяющие найти точное решение полученной системы уравнений в замкнутой форме, в литературе не описаны.

Система интегральных уравнений была представлена в операторной форме, что позволило построить для нее стационарный функционал по аналогии с описанным в литературе случаем одиночного волновода с импедансным фланцем. Возможность построения стационарного функционала обеспечивается симметрией ядер интегральных уравнений относительно перестановки переменных.

Для дальнейшего решения было использовано одномодовое приближение, что позволило свести систему интегральных уравне-

ний задачи к системе линейных алгебраических уравнений относительно комплексных амплитуд волны основного типа на раскрывах элементов антенной решётки. Коэффициенты полученной системы линейных уравнений представляют собой обратное преобразование Фурье от линейной комбинации проекций фурье-трансформанты волновой функции волны основного типа в поперечном сечении бесконечного волновода. Т. о. предлагаемый метод может быть применён для расчёта характеристик согласования и взаимной связи решётки, состоящей из волноводов произвольного поперечного сечения — если для данной конфигурации волновода может быть найден аналитический вид фурье-трансформанты поперечной волновой функции основной моды.

Получены алгебраические выражения, связывающие характеристики согласования и взаимной связи элементов антенной решётки с комплексными амплитудами волн основного типа на полноводных апертурах.

Получены расчётные формулы для частных случаев решёток, состоящих из плоских, коаксиальных, круглых и прямоугольных волноводов. На 10 графиках проводится сравнение полученных численных результатов с теоретическими и экспериментальными частотными зависимостями характеристик согласования одиночных круглых и прямоугольных волноводов а также системы из двух прямоугольных волноводов, найденными в литературе. Некоторые результаты сравнения представлены на рисунках 1-4. Полученные результаты позволяют сделать вывод о практической применимости предложенного расчётного метода.

На 22 графиках приводятся примеры зависимостей характеристик согласования и взаимной связи от частоты, расстояния между элементами антенной решётки и мнимой части импеданса фланца для решёток плоских, круглых и прямоугольных волноводов. Некоторые численные результаты представлены на рисунках 5-6.

Рис. 1. Входной адмитапс круглого волновода с идеально проводящим фланцем, излучающего в свободное пространство сквозь слой диэлектрика (радиус волновода 1.905 см; диэлектрическая проницаемость слоя £ — 3.76, толщина - 1.31 см). Сравнение результатов расчётов с экспериментальными и теоретическими результатами М. С. Bailey, С. Т. Swift 1968 г.

Рис. 2. Входной адмитапс прямоугольного волновода с идеально проводятцим фланцем, излучающего в свободное пространство сквозь слой диэлектрика (сечение волновода 2.286 на 1.016 см; диэлектрическая проницаемость слоя е = 3.76, толщина -1.38 см). Сравнение результатов расчётов с экспериментальными и теоретическими результатами W. Т. Croswell, R. С. R.uduck, D. М. Hatcher 1967 г.

10.0 10.8 11,0 11.8 12.0 12.8

10.0 10,8 11.0 Частот, ГГЦ

Рис. 3. Модуль комплексного диагонального элемента матрицы рассеяния системы, состоящей из двух прямоугольных волнонодов. Сравнение результатов расчётов с экспериментальными данными работы Г{_ Л. МаШоих 1969 г.

в 9 10 11 12

Рис. 4. Фаза комплексного диагонального элемента матрицы рассеяния системы, состоящей из двух прямоугольных волноводов. Сравнение результатов расчётов с. экспериментальными данными работы Я. Л. МаШоих 1969 г.

Рис. 5. Мощность, отражённая в пассивный волновод в системе, состоящей из двух плоских волноводов шириной 2а, в зависимости от безразмерного расстояния между центрами соседних элементов

2 4 В в 10 12 14 16 18 20

Рис. 6. Мощность, отражённая в пассивный волновод в решётке, состоящей из семи плоских волноводов шириной 2а, в зависимости от безразмерного расстояния между центрами соседних элементов

На графиках показана зависимость суммарной мощности, прогпод-птей в пассивные волноводы из активного - эта величина может служить интегральной характеристикой развязки между элементами, — от безразмерного (в полуширинах волноводов а) расстояния между центрами апертур. На рисунке 5 представлены результаты, полученные для системы, состоящей из двух плоских волноводов, а на рисунке б — для антенной решётки из семи плоских волноводов, при фиксированной безразмерной частоте к^а = 1.3 для четырёх различных типов поверхностного импеданса фланца: идеально проводящего, фланца с чисто активным сопротивлением и фланцев с чисго реактивным сопротивлением — емкостным и индуктивным. Наиболее сильная взаимная связь между элементами, не ослабевающая с расстоянием, имеет место в случае индуктивного импеданса фланца. Активный и емкостной импедансы фланца обеспечивают уменьшение взаимной связи по сравнению с идеально проводящим фланцем. Поскольку вдоль фланца с чисто индуктивным импедансом плоский волновод возбуждает незатухающую поверхностную волну, можно сделать вывод, что взаимная связь между элементами усиливается поверхностной волной, причём зависимость развязки от частоты имеет осциллирующий характер.

Численные результаты для волноводов других рассмотренных конфигураций (исследовались характеристики прямоугольных решёток 3 на 3, состоящих из круглых и прямоугольных волноводов) качественно аналогичны, различие заключается в том, что круглый и прямоугольный волноводы, во-первых, возбуждают два типа поверхностных волн, а, во-вторых, поверхностные волны обоих типов являются цилиндрическими и, соответственно, взаимная связь убывает с увеличением расстояния между элементами по гиперболическому закону.

Развитый в первой главе метод допускает обобщение на случай импульсного возбуждения волноводов и полноводной антенной

решётки с фланцем, имеющим анизотропный поверхностный импеданс. При рассмотрении импульсного возбуждения волновода необходимо либо ограничивать минимальную длительность импульса, чтобы не нарушался одномодовьтй режим возбуждения волновода, либо учитывать высшие типы волн.

Во второй главе решается задача нахождения характеристик поля излучения одиночного волновода с импедансным фланцем, излучающего в однородное диэлектричесоке полупространство.

Постановка задачи осуществляется следующим образом. В координатной области г < 0 расположен невыступающий полубесконечный цилиндрический волновод произвольного поперечного сечения, ось которого совпадает с осью г. Стенки волновода являются идеально проводящими. Волновод заполнен однородным диэлектриком без потерь с диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью /х.

Раскрыв волновода 5" расположен на бесконечном фланце в плоскости г — 0. Фланец характеризуется постоянным сторонним импедансом ZZo.

Полупространство г > 0 заполнено однородным идеальным диэлектриком, характеризующимся диэлектрической проницаемостью е9 и магнитной проницаемостью цв.

Волновод возбуждается электромагнитной волной основного типа единичной амплитуды, набегающей на раскрыв Б вдоль оси г. Волновой процесс является гармоническим во времени с круговой частотой ал Зависимость от времени определяется как е~хш1. Решение задачи проводится в системе единиц СИ.

Записывая компоненты векторных электромагнитных потенциалов в полупространстве г > 0 с использованием интегралов Фурье, удаётся выразить компоненты электромагнитного поля в дальней зоне через проекции фурье-трапсформанты вспомогательной

функции Р вида (1) на оси полярной системы координат пространства волновых чисел. Поскольку найти явный вид функции Р(р) не удалось, приближённое решение поставленной задачи проводится двумя способами.

Первый способ предполагает задание поля на апертуре как волны основного типа с амплитудой, найденной с учетом коэффициента отражения с использованием подхода, развитого в первой главе. Подобный метод нахождения поля излучения из волновода с фланцем используется рядом авторов (например Н. Ваис1гапс1 е1 а1., 1988).

Второй способ заключается в применении к поставленной задаче принципа взаимности. Для этого необходимо решить вспомогательную задачу возбуждения волновода с импедансным фланцем плоской волной, падающей из полупространства г > 0. Для вспомогательной задачи можно построить интегральное уравнение задачи, ядро которого является симметричным относительно перестановки переменных, для получения приближённого решения может быть использован вариационный принцип.

Применение обоих способов приводит к одинаковым расчётным выражениям для компонент поля: всё отличие состоит в способе вычислений вариационного функционала, входящего в качестве слагаемого в знаменатель. На основе этих выражений могут быть рассчитаны диаграммы направленности по полю для обеих ортогональных поляризаций и мощности излучения.

Далее во второй главе диаграммы направленности, рассчитанные обоими способами на 8 графиках сравниваются друг с другом, с результатами теоретических и экспериментальных исследований, опубликованными другими авторами и предельным случаем щелевой антенны. Некоторые результаты сравнения представлены на рисунках 7-8. На основе полученных результатов делается вывод, что применение функционала, учитывающего решение вспомогательной

0 15 ЭО 45 80 75 ВО

Рис. 7. Диаграмма направленности излучения прямоугольного волновода (сечение 2.286 на 1.016 см, Н-волна) с идеально проводящим фланцем, излучающего в свободное пространство. Сравнение результатов расчётов различными способами с экспериментальными данными работы К. УояЫЮт!, Н. П.. БЬагоЫш, 1994 г.

0 15 30 45 во 75 ВО

Рис. 8. Диаграмма направленности излучения прямоугольного волновода (сечение 2.286 на 1.016 см, Н-волна) с импедансным фланцем, излучающего в свободное пространство. Сравнение результатов расчётов различными способами с экспериментальными данными работы К. УояЬиоки, Н. Л. БЬагоЫт, 1994 г.

задами, даёт результаты, лучше соответствующие экспериментальным данным, чем применение функционала для характеристик согласования.

Затем в работе приводятся результаты расчётов диаграмм направленности и частотных зависимостей мощности излучения коаксиальной, круглой и прямоугольной полноводных антенн при различных значениях импеданса фланца и проводится анализ полученных результатов. Влияние поверхностного импеданса фланца на форму диаграммы направленности оказалось весьма слабым — фактически единственное заметное изменение по сравнению со случаем идеально проводящего фланца состоит в подавлении излучения вертикальной поляризации под скользящими углами к поверхности фланца — этот эффект хорошо известен на практике.

Влияние поверхностного импеданса на мощность излучения оказалось более существенным. Некоторые численные результаты представлены на рисунках 9-10. Уменьшение мощности излучения при ненулевом импедансе фланца может быть объяснено увеличением коэффициента отражения от апертуры, активными потерями на фланце (при ненулевой вещественной части поверхностного импеданса Z). При чисто реактивных импедансах часть мощности расходуется на поддержание незатухающей поверхностной волны вдоль фланца. Последний вывод иллюстрирует, в частности, рисунок 10. Круглый волновод при емкостном характере поверхностного импеданса фланца (Z = —0.4) возбуждает вдоль него поверхностную волну горизонтальной поляризации, что уменьшает мощность излучения Н-волн в верхней части частотного диапазона одномодоиого режима примерно на 40% по сравнению с мощностью излучения волновода с идеально проводящим фланцем.

В некоторых случаях введение ненулевого стороннего импеданса фланца увеличивает мощность излучения по сравнению со случаем идеально проводящего фланца (например, индуктивный

Рис. 9. Зависимость мощности излучения 50-омного коаксиального волновода с идеально проводящим и импедансным фланцем от безразмерной частоты коЬ (Ь - радиус оболочки волновода)

Рис. 10. Зависимость мощности излучения волн горизонтальной поляризации круглым волноводом с идеально проводящим и импедансным фланцем от частоты ко а (а - радиус волновода)

импеданс на рисунке 10) за счёт перераспределения мощности между поляризациями.

Развитые во второй главе подходы допускают обобщение на волноводные антенные решётки, в т.ч. фазированные.

В третьей главе рассматривается задача возбуждения поверхностных волн вдоль импедансного фланца одиночной полноводной апертурой.

В координатной области 2 < 0 расположен невыступающий ио-лубесконечный цилиндрический волновод произвольного поперечного сечения, ось которого совпадает с осыо г. Стенки волновода являются идеально проводящими. Волновод заполнен однородным диэлектриком без потерь с диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью

Раскрыв волновода ¿7 расположен на бесконечном фланце в плоскости 2 = 0. Фланец характеризуется постоянным сторониим импедансом ZZQ, где = у//¿о/^о-

Полупространство г > 0 заполнено однородным идеальным диэлектриком, характеризующимся диэлектрической проницаемостью еа и магнитной проницаемостью ц3.

Волновод возбуждается электромагнитной волной основного типа единичной амплитуды, набегающей на раскрыв 5 вдоль оси г. Волновой процесс является гармоническим во времени с круговой частотой и. Зависимость от времени определяется как е~,и}1. Решение задачи проводится в системе единиц СИ.

Поставленная задача решается с использованием интегрального преобразования Фурье. Для этого в полученных во второй главе выражениях для компонент векторных электромагнитных потенциалов в форме интегралов Фурье от спектральных функций, выраженных через компоненты фурье-трапсформамты вспомогательной финитной функции Г(р), вычисляются вычеты в полюсах. Это

позволяет найти компоненты векторных потенциалов поверхностных волн и, следовательно, компоненты поля поверхностных волн в дальней зоне. Интегрированием плотности потока мощности поверхностной волны и нормировкой полученной мощности на мощность первичной волны в волноводе, выводятся общие выражения для эффективности возбуждения поверхностной волн обеих поляризаций через проекции фурье-трансформанты вспомогательной функции Р{р) на орты полярной системы координат пространства волновых чисел.

Функция F приближённо задастся распределением волны основного типа в поперечном сечении волновода, при этом амплитуда поля находится с использованием функционала для характеристик согласования, построенного в главе I. Выводятся расчётные формулы для частных случаев коаксиального, круглого и прямоугольного волноводов.

Проводятся численные расчёты эффективности возбуждения поверхностных волн полноводными апертурами вдоль фланцев с различными поверхностными импедансами.

Обнаружено, что частотная зависимость эффективности возбуждения поверхностной волны имеет немонотонный характер с максимумом, положение и величина которого зависят от геометрии волновода, типа и абсолютного значения поверх постного импеданса. Например для круглого и прямоугольного волноводов первый и наиболее сильный максимум расположен вблизи критической частоты волны основного типа, т. с. эффективность возбуждения поверхностных волн такими волноводами с ростом частоты быстро достигает максимума, после чего убывает. Подобный характер зависимости объясняется тем, что на критической частоте волновод не излучает и, соответственно, поверхностная волна не может возбуждаться. С ростом частоты увеличивается доля мощности, проникающая из волновода в полупространство z > 0, причём с ростом

1.8 2.0 2.2 2.4 гл 2.8 3.0 3.2

Рис. 11. Зависимость эффективности возбуждения поверхностных волн вертикальной поляризации апертурой круглого волновода вдоль фланца с индуктивным импедансом 2 = от безразмерной частоты коа

Рис. 12. Зависимость эффективности возбуждения поверхностных волн горизонтальной поляризации апертурой круглого волновода вдоль фланца с емкостным импедансом 2 — %С}с от безразмерной частоты коа

частоты электрический размер апертуры волновода увеличивается и большая доля мощности первичной волны излучается, что вызывает уменьшение эффективности возбуждения поверхностных волн.

Полученные в данной главе результаты могут использоваться при разработке антенн поверхностных волн, возбуждаемых волно-водными апертурами.

В заключении приведены основные результаты работы:

1. Развит и обоснован метод расчёта характеристик согласования и взаимной связи элементов конечной антенной решётки, состоящей из идентичных полубссконечных волноводов с общим импсдансным фланцем, излучающей в поглощающую плоскослоистую среду.

2. Численно исследовано влияние поверхностного импеданса на характеристики согласования и взаимной связи элементов вол-новодной антенной решётки.

3. Развит и обоснован метод расчёта характеристик поля излучения одиночного полубескопечного волновода с импедансным фланцем в однородный идеальный диэлектрик.

4. Численно исследовано влияние поверхностного импеданса фланца на поле излучения.

5. Развит метод расчёта энергетических характеристик поверхностных волн, возбуждаемых волноводной апертурой вдоль фланца с реактивным импедансом.

6. Численно исследована зависимость эффективности возбуждения поверхностных волн от абсолютного значения и типа поверхностного импеданса фланца.

7. Создан пакет программ для расчёта характеристик согласования и взаимной связи волноводных антенных решёток с импе-дансным фланцем и характеристик поля излучения и поверхностных волн одиночных волноводов различных конфигураций.

И сформулированы выводы:

1. Разработанные в работе методы расчёта характеристик согласования, поля излучения и поверхностных волн пригодны для волноводов различного поперечного сечения и обеспечивают точность, достаточную для инженерных расчётов.

2. Поверхностный импеданс фланца существенно влияет на характеристики согласования и взаимной связи элементов конечной волноводной антенной решётки.

3. Существенный вклад в обеспечение взаимного влияния вносит поверхностная волна, возникающая вдоль фланца с реактивным импедансом.

4. Влияние импеданса на диаграмму направленности излучения одиночного волновода является несущественным. Мощность излучения существенно зависит от абсолютного значения и типа поверхностного импеданса.

5. Зависимость эффективности возбуждения поверхностных волн от частоты в пределах частотного диапазона одномодо-вого режима имеет немонотонный характер.

С. Результаты работы целесообразно использовать при разработке волноводных антенн и антенных решёток.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

1. Комаров С. А., Щербинин В. В. Входной адмитанс волновода с импедансным фланцем при излучении в плоскослоистую среду // Известия Алтайского государственного университета.

- 1997. - № 1. - С. 47-50.

2. Щербинин В. В. Применение волноводных излучателей для контактного измерения влажности и засоленности почв // Материалы Всероссийской научной молодежной конференции «Стратегия природопользования и сохранения биоразнообразия в XXI веке» (8-10 декабря 1999, г. Оренбург, Россия).

3. Комаров С. А., Щербинин В. В. Излучение из круглого полубесконечного волновода с импедансным фланцем // Известия Алтайского государственного университета. — 1999. — № 1.

- С. 68-70.

4. Komarov S. A., Scherbinin V. V. Self and mutual admittance of waveguide system with an impedance flange // VIIIth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'2000) Proceedings (September 12-15, 2000, Kharkov, Ukraine). - 2000. - Pp. 491-493.

5. Комаров С. А., Щербинин В. В., Клочков А. В. Импульсная диагностика плоскослоистой среды невьтступающим полноводным излучателем // Материалы Всероссийской научно-технической конференции «Излучение и рассеяние электромагнитных волн» (18-23 июня, 2001, г. Таганрог, Россия). — С. 249-251.

G. Комаров С. А., Щербинин В. В. Характеристики согласования конечной волноводной решетки с импедансным фланцем при излучении в слоистую среду // Известия Алтайского государственного университета. — 2003. — № 1. — С. 78-81.

7. Komarov S. A., Shcherbinin V. V. Surface wave excitation by a waveguide aperture with an impedance flange // 10"1 International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'04) Proceedings (September 14-17, 2004, Dnicpropetrovsk, Ukraine). - 2004. - Pp. 421-423.

8. Komarov S. A., Scherbinin V. V. A flange impedance influence on finite waveguides array mutual coupling // 2005 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium (July 3-8, Washington, DC, USA) Proceedings. - Vol. ЗА. — 2005. - Pp. 741744.

9. Комаров С. А., Щербинин В. В., Богданов А. А. Вариационный принцип в задаче о поле излучения волновода с импедансиым фланцем // Ползуповский вестпник (г. Барнаул). — 2005. — № 2.

- С. 191-193.

10. Комаров С. А., Щербинин В. В. Вариационный принцип в задаче возбуждения поверхностных волн волноводом с импедансным фланцем // Ползуновский вестник (г. Барнаул). — 2005. — № 2.

- С. 194-19G.

11. Щербинин В. В. Метод физической оптики в задаче о поле излучения волновода с импедансным фланцем // Известия Алтайского государственного университета. — 200G. — JN*' 1. — С. 143-146. 4

12. Scherbinin V. V., Komarov S. A. Matching characteristics of finite phased waveguide array with impedance flange // ll"* International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'OG) Proceedings (June 2G-29, 200G, Kharkiv, Ukraine). -2006. - Pp. 193-195.

13. Комаров С. А., Щербинин В. В. Влияние поверхностной волны

на взаимную связь элементов конечной волноводной решетки с импедансным фланцем // Изв. вузов. Физика. — 2006. — Т. 49, № 8. - С. 87 - 89.

Тираж 100 экземпляров

Центр оперативной печати «Print.exe» ЧП КОРОБКО ПА. св-во 80 - К ИНН 7020007611216 г.Томск, пр.Ленина 53а, тел.: 52-78-90

Введение

I Характеристики согласования и взаимной связи элементов волноводной антенной решетки с импедансным фланцем

1.1 Постановка задачи.

1.2 Получение интегральных уравнений.

1.3 Построение стационарного функционала задачи.

1.4 Расчётные формулы.

1.4.1 Плоский волновод.

1.4.2 Коаксиальный волновод.

1.4.3 Круглый волновод.

1.4.4 Прямоугольный волновод.

1.5 Оценка применимости предложенного метода.

1.5.1 Сравнение с опубликованными данными.

1.5.2 Экспериментальная проверка.

1.6 Влияние импеданса фланца на характеристики согласования и взаимной связи

1.6.1 Характеристики согласования и взаимной связи решётки плоских волноводов

1.6.2 Характеристики согласования и взаимной связи решётки круглых волноводов.

1.6.3 Характеристики согласования и взаимной связи решётки прямоугольных волноводов.

1.7 Выводы к главе I.

II Диаграмма направленности и мощность излучения волновода с импедансным фланцем

2.1 Постановка задачи.

2.2 Нахождение плотности потока энергии в дальней зоне

2.3 Интегральное уравнение и стационарный функционал для вспомогательной задачи.

2.4 Вариационный принцип.

2.5 Расчётные формулы.

2.5.1 Плоский волновод.

2.5.2 Коаксиальный волновод.

2.5.3 Круглый волновод.

2.5.4 Прямоугольный волновод.

2.6 Численные результаты.

2.6.1 Сравнение с опубликованными данными.

2.6.2 Диаграмма направленности и мощность излучения коаксиального волновода.

2.6.3 Диаграмма направленности и мощность излучения круглого волновода.

2.6.4 Диаграмма направленности и мощность излучения прямоугольного волновода

2.7 Выводы к главе II.

III Возбуждение поверхностных волн волноводной апертурой вдоль импедансного фланца

3.1 Постановка задачи.

3.2 Вывод формул для компонент потенциалов.

3.3 Расчётные формулы.

3.3.1 Коаксиальный волновод.

3.3.2 Круглый волновод.

3.3.3 Прямоугольный волновод.

3.4 Численные результаты.

3.4.1 Коаксиальный волновод.

3.4.2 Круглый волновод.

3.4.3 Прямоугольный волновод.

3.4.4 Проверка физической непротиворечивости развитого метода.

3.5 Выводы к главе III.

Невыступающие антенны в виде открытого конца волновода с фланцем получили широкое практическое применение в радиотехнике СВЧ - как в качестве самостоятельных излучателей, так и в составе много-элементых решёток [1-5], — что определяет интерес к разработке теоретических методов нахождения различных электродинамических характеристик таких антенн.

Электродинамические характеристики антенн могут быть найдены в том случае, если известны амплитуды компонент электромагнитного поля в различных точках пространства либо соотношение между этими амплитудами. Для расчёта амплитуд поля необходимо использовать математический аппарат теории дифракции.

Математические проблемы, возникающие при описании дифракционных явлений, относятся к наиболее сложным в теории электромагнитных волн и их редко удается решить строго. Граничные задачи дифракции имеют точное решение лишь для ограниченного круга простых постановок (в основном двумерных). В большинстве практически интересных случаев обычно прибегают к приближенным методам [6], например, основанным на использовании принципа физической оптики. Кроме того, при исследовании рассеяния электромагнитных волн граничные поверхности обычно полагают идеально проводящими [7-10].

Электродинамические характеристики невыступающих волноводных антенн могут быть найдены в результате решения соответствующих граничных задач. Наиболее часто такие задачи решаются методом интегральных уравнений [11,12]. В этом случае с использованием граничных условий сшивания касательных составляющих электрического и магнитного поля на раскрывах волноводов, входящих в рассматриваемую антенну, строится система неоднородных интегральных уравнений относительно касательной составляющей электрического поля в плоскости металлического фланца. Точное аналитическое решение полученной системы уравнений в замкнутой форме не найдено, в связи с чем используются различные приближённые методы. Наибольшее распространение получили метод моментов [13,14] и вариационный метод [15].

Основная идея метода моментов состоит в разложении искомой функции в бесконечный абсолютно сходящийся ряд по некоторому базису. Разлагая затем правую (известную) часть системы интегральных уравнений в ряд по базису пробных функций, удаётся получить бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. При решении граничных задач дифракции в качестве набора пробных функций обычно выбирают базис, по которому осуществлялось разложение искомой функции — такой вариант метода моментов получил название метода Галёркина [13].

Сходимость ряда позволяет ограничить порядок системы линейных уравнений, после чего она может быть решена любым известным способом - например, методом Гаусса. Чем выше порядок рассматриваемой системы линейных уравнений, тем меньше методическая погрешность, причём для оценки последней существуют специальные формулы. Возможность оценки погрешности решения является основным достоинством метода моментов.

Ещё одним достоинством метода моментов является то, что по найденному распределению касательной составляющей электрического поля в плоскости фланца удаётся найти характеристики согласования антенны и распределение поля в пространстве с использованием принципа Гюйгенса-Кирхгофа [16].

Недостатками метода являются, во-первых, достаточно громоздкие математические выкладки, необходимые для получения расчётных выражений; во-вторых, большой объём компьютерных вычислений, необходимых для нахождения компонент поля, зависящий от скорости сходимости рядов, и, т. о., от выбора базиса пробных функций. Чаще всего в качестве пробных функций используют собственные функции соответствующей граничной задачи, либо, если получить их аналитическое представление не представляется возможным, полиномы Лежанд-ра, Якоби или Гегенбауэра, — использование этих полиномиальных базисов позволяет выполнить граничные условия на ребре в каждом члене разложения. Никаких рекомендаций общего характера по выбору какого-либо из этих базисов для решения конкретной задачи не существует.

Также определённым неудобством метода моментов является то, что общее решение для излучателей произвольной геометрии не может быть получено, что заставляет в каждом конкретном случае выводить расчётные формулы заново.

Сущность вариационного метода состоит в замене неизвестной функции, относительно которой построено интегральное уравнение, известной, которая приближённо ей соответствует [15,17]. В этом случае можно получить приближённые значения физических характеристик антенной системы, несколько отличные от точных. Применение вариационного принципа возможно в тех случаях, когда обеспечивается устойчивость функционала, связанного с искомой электродинамической характеристикой относительно первой вариации неизвестной функции, т. е. относительная погрешность решения меньше относительной погрешности задания функции.

Достоинством вариационного метода является то, что, в случае его применения к решению системы уравнений несколько упрощаются расчётные формулы и существенно экономится время на выполнение численных расчётов. Ещё одно достоинство метода состоит в том, что зачастую удаётся получить достаточно универсальные представления решений.

Основным недостатком вариационного метода является то, что погрешность полученного решения не допускает априорной оценки: на практике, как правило, приходится проводить экспериментальную проверку. Второй недостаток вариационного метода заключается в том, что при нахождении распределения полей в пространстве значение функционала необходимо вычислять заново для каждой точки, что в некоторых случаях может сделать его менее выгодным по сравнению с методом моментов с точки зрения затрат машинного времени на проведение численных расчётов.

Следует отметить, что несмотря на различие в подходах, между методом моментов и вариационным методом имеется и определённое сходство: одномодовое приближение вариационного принципа можно рассматривать как метод моментов, при котором в качестве пробных используются собственные функции, а порядок системы уравнений ограничен единицей. Специально вопрос сходства методов рассмотрен, например, в работе [18].

Помимо вариационного принципа и метода моментов определённое распространение в теории волноводных антенн получили метод частичных областей (метод сшивания) [19] и метод Винера-Хопфа [20,21], который широко применяется для решения задач дифракции на волноводах без фланцев.

Работы по изучению волноводных антенн начались в 1940-е гг. и продолжаются до настоящего времени. Наиболее активно работы по исследованию электродинамических характеристик волноводных антенн и антенных решёток с фланцем велись в 1960-70-х гг. Это определялось, в первую очередь, интенсивным развитием реактивной авиации и освоением космического пространства в этот период.

Как правило, фланцы волноводных антенн изготавливаются из металла с высокой проводимостью [5,22]. Это позволяет использовать при решении граничной электродинамической задачи приближение идеально проводящего фланца. Ещё в 1940-50-е гг. с использованием метода эквивалентных схем было проведено решение задачи о нахождении электродинамических характеристик одиночного волновода с идеально проводящим фланцем, излучающего в свободное пространство [22].

Решение более сложной задачи расчёта электродинамических характеристик одиночного волновода, излучающего в однородное диэлектрическое полупространство либо в свободное пространство через слой диэлектрика, было осуществлено несколько позднее с использованием более универсальных методов: метода моментов [23-28] и вариационного метода [29]. Также с использованием метода моментов активно исследовались вопросы излучения из волновода в плазму [30-33].

Развитие теории одиночных волноводов с идеально проводящим фланцем продолжается до настоящего времени. Большинство авторов по-прежнему склоняется к использованию различных модификаций метода моментов [34-40], однако в некоторых случаях применяются другие методы, например метод корреляционных матриц [41], метод частичных областей [42], метод Винера-Хопфа [43] и метод последовательных дифракций [44]. Два последних метода могут применяться и для случая фланца, состоящего из полуплоскостей, расположенных под разными углами.

Одновременно с теорией одиночных волноводов активно развивалась теория волноводных антенных решёток с идеально проводящим фланцем. Первоначально были решены задачи для бесконечных решёток, поскольку в этом случае все элементы равноправны, краевые эффекты отсутствуют и можно воспользоваться некоторыми упрощающими предположениями - например, теоремой Флоке. Приближение бесконечной антенной решётки является практически пригодным для нахождения характеристик излучения и взаимной связи между элементами, если волноводная антенная решётка состоит из десятков и сотен элементов. Для дальнейшего решения поставленной задачи использовался метод моментов. В работах [45,46] были рассмотрены бесконечные решётки, состоящие из расположенных вплотную друг к другу прямоугольных волноводов, излучающих в свободное пространство; в [47] получено решение для аналогичной решётки с диэлектрическими заглушками. В работе [48] рассмотрена решётка, состоящая из круглых волноводов с идеально проводящим фланцем.

Несмотря на успешное развитие методов анализа бесконечных антенных решёток, велись работы по изучению взаимного влияния излучателей в антенных системах с конечным числом элементов. Интерес к этому направлению исследований диктовался необходимостью учёта краевых эффектов в реальных антенных решётках. В конце 1960-х гг. был опубликован ряд работ, в которых на примере двух щелевых антенн [49] или раскрывов прямоугольных волноводов [50] исследовалось взаимное влияние волноводных апертур друг на друга.

Достигнутые к 1970 г. результаты позволили применить метод моментов к расчёту электродинамических характеристик решётки, состоящей из конечного числа элементов. Принципиально задача была решена в работах [51,52] для антенной системы, состоящей из плоских волноводов. В этом случае задача является двумерной, что делает выкладки относительно простыми.

Применение метода моментов к нахождению характеристик решёток, состоящих из конечного числа волноводов используемых на практике конфигураций - прямоугольных [53,54] и коаксиальных [55], - осуществлялось другими авторами вплоть до настоящего времени. Следует отметить, что в работах [45-48,52-55] рассматривались регулярные антенные решётки, расположение элементов которых образует регулярную структуру. Успешные попытки применения метода моментов для описания нерегулярных решёток весьма редки, что можно объяснить чрезвычайной сложностью выбора базисных функций и плохой сходимостью получающихся рядов. К числу немногих опубликованных работ такого рода относятся [56,57], где рассматривается конечная антенная система, состоящая из коаксиальных волноводов различных размеров.

Интерес к созданию теоретических методов расчёта электродинамических характеристих нерегулярных антенных решёток может определяться необходимостью миниатюризации антенных систем, получением диаграмм направленности специальной формы и увеличением диапазона углов сканирования [5]. Поскольку применение метода моментов для решения этой задачи в общем случае невозможно, потребовалось разработать другие методы. Из описанных в литературе следует отметить подход, использованный авторами работы [58]: для нахождения компонентов матрицы собственных и взаимных адмитансов антенной системы ими был применён метод стационарной фазы, а также применение метода частичных областей в работе [59] для анализа электродинамических характеристик конечной антенной решётки, состоящей из наклонных плоских волноводов (причём наклон элементов может быть и различным).

Для анализа нерегулярных антенных решёток может быть применён метод функций Грина, однако значительная аналитическая сложность этого метода применительно к волноводным задачам привела к тому, что случаи его использования крайне редки [60].

Несмотря на недостаточно развитые подходы к анализу нерегулярных решёток, в целом можно сдетать вывод, что к настоящему времени теория волноводных антенн и антенных решёток с идеально проводящим фланцем разработана достаточно хорошо.

Применяемые на практике антенные системы могут иметь металлический фланец с диэлектрическим покрытием. Наличие слоя диэлектрика приводит к тому, что модель идеально проводящего фланца становится неприменимой. В этом случае при постановке граничной задачи помимо условий сшивания касательных составляющих электрического и магнитного полей на раскрывах волноводов целесообразно использовать граничные условия импедансного типа на поверхности фланца вне раскрыва [61]. Классическим вариантом таких условий являются граничные условия Щукина-Леонтовича, формулировка которых была осуществлена в работах [62,63]. Некоторые альтернативные варианты граничных условий на не идеально проводящих поверхностях - в работе [64]. В данной диссертационной работе используются граничные условия Щукина-Леонтовича.

До середины 1970-х гг. задача анализа волноводных антенн с импедансным фланцем не была решена, поскольку широко применяемые в те годы на практике материалы имели низкий поверхностный импеданс и приближение идеально проводящего фланца позволяло получить решение с приемлемой для инженерных расчётов точностью.

С 1960-х годов в судо- и авиастроении стали широко применяться различные искусственные материалы. Их внедрение происходило либо в целях снижения массы конструкций при сохранении прочности (стекло- и углепластики), либо для снижения радиолокационной замет-ности (различные радиопоглощающие покрытия). Поверхностные импедансы фланцев, покрытых этими материалами, достаточно велики, что делает приближение идеально проводящего фланца непригодным. Поскольку поверхностный импеданс фланца представляет собой свободный параметр, способный оказать влияние на электродинамические характеристики волноводной антенны, возник интерес к разработке методов, позволяющих учитывать влияние импеданса фланца на электродинамические характеристики волноводных антенн и антенных решёток. Этот интерес возрос в последние годы, что связано с активно ведущимися работами по созданию т. н. метаматериалов, представляющими собой искуственные среды с практически произвольным поверхностным импедансом [65-67]. В качестве возможных эффектов, ожидаемых от внедрения высокоимпедансных покрытий, можно назвать улучшение развязки между антеннами [68,69] или изменение формы диаграммы направленности [70,71].

Построение интегрального уравнения в случае импедансного фланца затруднено тем, что касательная составляющая электрического поля в плоскости фланца описывается функцией, не являющейся финитной, что существенно осложняет построение относительно неё интегрального уравнения задачи.

В качестве финитной функции можно использовать линейную комбинацию граничных условий сшивания касательных составляющих поля и условий импедансного типа. Такой способ задания граничных условий впервые был предложен в работе [33], в которой с использованием метода моментов исследовалось излучение из плоского волновода с импедансным фланцем. В дальнейшем этот подход был развит в работах [34] (расчёт характеристик круглого волновода методом моментов) и [72] (расчёт характеристик плоского волновода с использованием вариационного принципа). Значительно позднее сходный способ записи граничных условий был использован для расчёта методом моментов характеристик излучения одиночного прямоугольного волновода с импедансным фланцем [73] и ряде других работ [74-76].

Антенные решётки с импедансным фланцем практически не изучены. Единственной известной автору работой на эту тему является [77]. Методы анализа конечных антенных решёток с импедансным фланцем не разработаны совершенно.

Таким образом можно сделать вывод, что методы расчёта электродинамических характеристик волноводных антенн и антенных решёток с импедансным фланцем к настоящему времени развиты достаточно слабо.

В данной работе рассматривается применение вариационного метода к решению задач расчёта электродинамических харакеристик волноводных антенн и антенных решёток с импедансным фланцем. Выбор вариационного метода определяется возможностью получения решений, пригодных для описания нерегулярных антенных решёток.

Цели работы

1. Развитие вариационного метода применительно к задаче нахождения электродинамических характеристик невыступающих конечных антенных решёток, состоящих из раскрывов цилиндрических полубесконечных волноводов произвольного поперечного сечения с импедансным фланцем.

2. Получение теоретических решений для волноводных антенн, построенных на основе коаксиальных, круглых и прямоугольных волноводов.

3. Расчёт электродинамических характеристик антенн и антенных решёток, анализ и физическая интерпретация полученных результатов.

4. Выявление новых и слабоизученных явлений и закономерностей в волновых процессах, происходящих в волноводных антенных решётках с импедансным фланцем, связанных с существованием поверхностных волн в такой системе.

Положения, выносимые на защиту

1. Характеристики согласования и взаимной связи элементов невы-ступающей антенной решётки, состоящей из конечного числа идентичных полубесконечных волноводов произвольного поперечного сечения с импедансным фланцем, выражаются через функционалы, стационарные относительно вариации финитных функций на раскрывах.

2. Резко осциллирующий характер зависимостям характеристик взаимной связи элементов волноводной антенной решётки от расстояния между ними и от рабочей частоты при ненулевой мнимой части поверхностного импеданса фланца придают поверхностные волны.

3. Характеристики поля излучения и поверхностной волны одиночного волновода с импедансным фланцем выражаются через функционалы, стационарные относительно вариации финитной функции на раскрыве.

4. Мощность излучения одиночного волновода с импедансным фланцем зависит от абсолютной величины и типа поверхностного импеданса фланца, геометрии волновода и частоты. При этом наличие ненулевой вещественной составляющей импеданса фланца уменьшает мощность излучения во всём диапазоне частот для обеих поляризаций. При ненулевой мнимой части поверхностного импеданса наблюдается перераспределение энергии между излучением вертикальной и горизонтальной поляризации.

5. Зависимость эффективности возбуждения поверхностной волны от частоты в пределах диапазона одномодового режима имеет немонотонный характер с максимумом, положение и величина которого зависит от геометрии волновода и поверхностного импеданса фланца.

Достоверность результатов

Достоверность первого и третьего защищаемых положений подтверждается логической и математической непротиворечивостью развитого теоретического метода.

Достоверность второго защищаемого положения подтверждается сравнением результатов расчётов для случаев существования поверхностной волны и её отсутствия. Корректность предлагаемой методики расчётов подтверждается согласием в частных случаях с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов [25,26,40,58,73]. Полученная система интегральных уравнений задачи в частном случае решётки плоских волноводов с идеально проводящим фланцем непрерывно сходится к системе интегральных уравнений, ранее описанной By [52].

Достоверность четвёртого защищаемого положения подтверждается сравнением результатов расчётов характеристик поля излучения при различных значениях импеданса фланца. Корректность предлагаемой методики расчётов подтверждается согласием полученных результатов в частных случаях с теоретическими и экспериментальными результатами, полученными другими авторами [37,40,73].

В целом достоверность результатов подтверждается выполнением закона сохранения энергии.

Научная новизна работы

В ходе выполнения работы получило дальнейшее развитие применение вариационного принципа к решению задачи нахождения электродинамических характеристик невыступающих волноводных антенн для ненулевого стороннего импеданса фланца.

Представление граничных условий сшивания касательных составляющих полей на раскрывах волноводов и граничных условий импеданс-ного типа вне раскрывов в виде линейной комбинации электрического и магнитного полей позволило впервые построить систему интегральных уравнений для задачи излучения из конечной волиоводной антенной решётки с импедансным фланцем.

Полученная система уравнений была записана в операторной форме, что позволило обобщить метод, развитый ранее для случая одиночного волновода с импедансным фланцем [72] на случай конечной волноводной решётки. С использованием вариационного принципа в одномо-довом приближении удалось выразить характеристики согласования и взаимной связи элементов конечной волноводной антенной решётки с импедансным фланцем через построенный стационарный функционал.

На основе результатов численных расчётов установлен факт наличия взаимного влияния элементов волноводной антенной решётки с импедансным фланцем по поверхностной волне. Установлено также, что вещественный импеданс фланца улучшает развязку между элементами волноводной решётки любой геометрии.

Предложено использовать принцип взаимности для построения стационарного функционала поля излучения одиночного волновода с импедансным фланцем.

На основе результатов численных расчётов впервые исследованы энергетические характеристики поверхностных волн, существующих вдоль импедансной плоскости, возбуждаемой волноводной апертурой.

6. Результаты работы целесообразно использовать при разработке волноводных антенн и антенных решёток.

Заключение

В ходе выполнения работы получены следующие основные результаты:

1. Развит и обоснован метод расчёта характеристик согласования и взаимной связи элементов конечной антенной решётки, состоящей из идентичных полубесконечных волноводов с общим импедансным фланцем, излучающей в поглощающую плоскослоистую среДУ

2. Численно исследовано влияние поверхностного импеданса на характеристики согласования и взаимной связи элементов волноводной антенной решётки.

3. Развит и обоснован метод расчёта характеристик поля излучения одиночного полубесконечного волновода с импедансным фланцем в однородный идеальный диэлектрик.

4. Численно исследовано влияние поверхностного импеданса фланца на поле излучения.

5. Развит метод расчёта энергетических характеристик поверхностных волн, возбуждаемых волноводной апертурой вдоль фланца с реактивным импедансом.

6. Численно исследована зависимость эффективности возбуждения поверхностных волн от абсолютного значения и типа поверхностного импеданса фланца.

Полученные результаты позволяют сформулировать следующие выводы:

1. Разработанные в работе методы расчёта характеристик согласования, поля излучения и поверхностных волн пригодны для волноводов различного поперечного сечения и обеспечивают точность, достаточную для инженерных расчётов.

2. Поверхностный импеданс фланца существенно влияет на характеристики согласования и взаимной связи элементов конечной волноводной антенной решётки.

3. Существенный вклад в обеспечение взаимного влияния вносит поверхностная волна, возникающая вдоль фланца с реактивным импедансом.

4. Влияние импеданса на диаграмму направленности излучения одиночного волновода является несущественным. Мощность излучения существенно зависит от абсолютного значения и типа поверхностного импеданса.

5. Зависимость эффективности возбуждения поверхностных волн от частоты в пределах частотного диапазона одномодового режима имеет немонотонный характер.

1. Левин Л. Современная теория волноводов. — М.: Иностранная литература, 1954. — 213 с.

2. Амитей Н., Галиндо В., By Ч. Теория и анализ фазированных антенных решеток. — М.: Мир, 1974. — 456 с.

3. Марков Г. Т., Сазонов Д. М. Антенны. Учебник для студентов радиотехнических специальностей вузов. — 2 изд. — М.: Энергия, 1975. 528 с.

4. Сазонов Д. М. Антенны и устройства СВЧ: Учеб. для радиотехн. спец. вузов. — М.: Высшая школа, 1988. — 432 с.

5. Антенны и устройства СВЧ. Проектирование фазированных антенных решёток: Учеб. пособие для вузов / В. С. Филиппов, JI. И. Пономарёв, А. Ю. Гринев и др.; Под ред. Воскресенского Д. И. — 2-е, доп. и перераб. изд. — М.: Радио и связь, 1994. — 592 с.

6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — 4 изд. — М.: Физматлит, 2001. — 656 с.

7. Зоммерфельд А. Электродинамика: Пер. с нем. / Под ред. С. А. Элькинда. — М.: Иностранная литература, 1958. — 505 с.

8. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — 2 изд. — М.: Радио и связь, 1990. — 440 с.

9. Хёнл XМауэ А., Вестпфалъ К. Теория дифракции. — М.: Мир, 1964. 428 с.

10. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Том 1. — М.: Мир, 1978. 547 с.

11. Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения радиоволн. — М.: Советское радио, 1970. — 520 с.

12. Ильинский А. С., Кравцов В. ВСвешников А. Г. Математические модели электродинамики. — М.: Высшая школа, 1991. — 224 с.

13. Harrington R. F. Field Computation by Moment Methods. — N.-Y.: Macmillan, 1968.

14. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебное пособие для вузов. — 3 изд. — М.: Наука, 1989. 544 с.

15. Ваганов Р. Б., Каценеленбаум Б. 3. Основы теории дифракции. — М.: Наука, 1982. 272 с.

16. Ворн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1973. — 720 с.

17. Richmond J. H. On the variational aspects of the moment method // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — April 1991. — Vol. 39, no. 4. Pp. 473-479.

18. Mummpa P., Ли С. Аналитические методы в теории волноводов. — М.: Мир, 1974. 324 с.

19. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. — М.: Советское радио, 1962.- 280 с.

20. Вайни/тейн JI. А. Теория диффракции и метод факторизации. — М.: Советское радио, 1966. — 432 с.

21. Справочник по волноводам. Пер. с англ. / Под ред. Я. Н. Фельда.

22. М.: Советское Радио, 1952. — 432 с.

23. Compton R. Т. The admittance of aperture antennas radiating into lossy media: Technical report 1691-5: Antenna Lab., Ohio State University Research Foundation, Columbus, Ohio, March 15 1964.

24. Мишустип Б. А. Излучение из раскрыва круглого волновода с бесконечным фланцем // Изв. вузов. Радиофизика. — 1965. — Т. 8, № 6. С. 1178-1186.

25. Croswell W. Т., Rudduck R. СHatcher D. М. The admittance of a rectangular waveguide radiating into a dielectric slab j j IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — September 1967. — Vol. 15, no. 5. Pp. 627-633.

26. Bailey M. C., Swift С. T. Input admittance of a circular waveguide aperture covered by a dielectric slab // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — July 1968. — Vol. 16, no. 4. — Pp. 386-391.

27. Wu C. P. Integral equation solution for the radiation from a wavewguide through a dielectric slab // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — November 1969. — Vol. 17, no. 6. — Pp. 733-739.

28. Hongo K. Diffraction by a flanged parallel-plate waveguide // Radio Science. 1972. - Vol. 7, no. 10. - Pp. 955-963.

29. Bodnar D. G., Paris D. T. New variational principle in electromagnetics // IEEE Transaction on Antennas and, Propagation.- March 1970. Vol. 18, no. 2. - Pp. 216-223.

30. Galejs J. Admittance of a waveguide radiating into stratified plasma // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — January 1965. — Vol. 13, no. 1. Pp. 64-70.

31. The input admittance of a rectangular waveguide-fed aperture under an inhomogeneous plasma: Theory and experiment / W. Croswell,

32. W. Taylor, С. Swift, С. Cockrell j j IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — July 1968. — Vol. 16, no. 4. — Pp. 475-487.

33. Ogawa Y., Hongo K. Radiation into anisotropic plasma from flanged parallel-plate waveguide // Journal of Applied Physics. — 1974. — Vol. 45, no. 6. Pp. 2493-2496.

34. Комаров С. А. Излучение из полубесконечного волновода с импедансным фланцем // Изв. вузов. Радиоэлектроника. — 1976. — Т. 19, № 2. С. 94-99.

35. Комаров С. А. Излучение несимметричных волн из круглого волновода с импедансным фланцем // Изв. вузов. Радиоэлектроника,. 1977. - Т. 20, № 8. - С. 22-30.

36. Gajda G. В., Stuchly S. S. Numerical analysis of open-ended coaxial lines // IEEE Transaction on Mictowave Theory and Technique. — May 1983. Vol. 83, no. 5. - Pp. 380-384.

37. Baudrand H., Tao J.-W., Atechian J. Study of radiating properties of open-ended rectangular waveguides // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. August 1988. - Vol. 36, no. 8. - Pp. 1071-1077.

38. Tsalamengas J. L., Uzunoglu N. K. Radiation properties of a flanged parallel-plate waveguide loaded with an ё—Д general anisotropic slab // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — March 1990. — Vol. 38, no. 3. Pp. 369-379.

39. Mongiardo M., Rozzi T. Singular integral equation analysis of flange-mounted rectangular waveguide radiators // IEEE Transaction on

40. Antennas and Propagation. — May 1993. — Vol. 41, no. 5. — Pp. 556565.

41. Serizawa H., Hongo K. Radiation from a flanged rectangular waveguide // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — December 2005. Vol. 53, no. 12. - Pp. 3953-3962.

42. MacPhie R. H., Zaghloul A. I. Radiation from a rectangular waveguide with infinite flange: Exact solution by correlation matrix method // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — July 1980. — Vol. 28, no. 4. Pp. 497-503.

43. Itoh Т., Mittra R. A new method of solution for radiation from a flanged waveguide // Proceedings of the IEEE. — July 1971. — Vol. 59, no. 7.- Pp. 1131-1133.

44. Боровиков В. А. Диффракция на открытом конце волновода с фланцем // ДАН СССР. 1974. - Т. 217, № 4. - С. 788-791.

45. Хестанов P. X. Метод последовательных дифракций в задаче об излучении из открытого конца волновода // ДАН СССР. — 1974.- Т. 219, № 3. С. 574-577.

46. Galindo V., Wu С. P. Numerical solution for an infinite phased array of rectangular waveguides with thick walls // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — March 1966. — Vol. 14, no. 2. — Pp. 149158.

47. Wu C. P., Galindo V. Properties of a phased array of rectangular waveguides with thin walls // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. March 1966. - Vol. 14, no. 2. - Pp. 163-173.

48. Lee S., Mittra R. Radiation from dielectric-loaded arrays of parallel-plate waveguides // IEEE Transaction on Antennas and Propagation.- September 1968. Vol. 16, no. 5. - Pp. 513-519.

49. Amitay N., Galindo V. Characteristics of dielectric loaded and covered circular waveguide phased arrays // IEEE Transaction on Antennas and, Propagation. — November 1969. — Vol. 17, no. 6. — Pp. 722-729.

50. Borgiotti G. A novel expression for the mutual admittance of planar radiating elements // IEEE Transaction on Antennas and Propagation.- May 1968. Vol. 16, no. 3. - Pp. 329-333.

51. Mailloux R. J. Radiation and near field coupling between two collinear open ended waveguides // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — January 1969. — Vol. 17, no. 1. — Pp. 49-55.

52. Wu C. Characteristics of coupling between parallel-plate waveguides with and without dielectric plugs // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. March 1970. - Vol. 18, no. 2. - Pp. 188-194.

53. Wu C. P. Analysis of finite parallel-plate waveguide arrays // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — May 1970. — Vol. 18, no. 3. Pp. 328-334.

54. Luzwick J., Harrington R. A reactively loaded aperture antenna array // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — July 1978.- Vol. 26, no. 4. Pp. 543-547.

55. Fenn A., Thiele G., Munk B. Moment method analysis of finite rectangular waveguide phased arrays // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — July 1982. — Vol. 30, no. 4. — Pp. 554-564.

56. Park Y. ВEom H. J., Hwang К. C. Analysis of coupling between array of open-ended coaxial lines in an infinite ground plane // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — August 2005. — Vol. 53, no. 8. Pp. 2768-2772.

57. Bird T. S. Mutual coupling in arrays of coaxial waveguides and horns // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — March 2004. — Vol. 52, no. 3. Pp. 821-829.

58. Bird Т. S. Correction to "mutual coupling in arrays of coaxial waveguides and horns" // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. September 2005. - Vol. 53, no. 9. - Pp. 3114-3114.

59. Sharma M. G., Sanyal G. S. Admittance analysis of nonuniformly spaced phased arrays of waveguide apertures in a ground plane // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — May 1982. — Vol. AP-30, no. 3. — Pp. 432-437.

60. Kwon J. Y., Eom H. I. Electromagnetic transmission of an oblique waveguide array j j IEEE Transaction on Antennas and Propagation.- October 2004. Vol. 52, no. 10. - Pp. 2596-2602.

61. Bird T. S. Analysis of mutual coupling in finite arrays of different-sized rectangular waveguides // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. February 1990. - Vol. 38, no. 2. - Pp. 166-172.

62. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн.- М.-Л.: Энергия, 1967. 376 с.

63. Мандельштам Л. И. Поли. Собр. Трудов. — М.: Издательство АН СССР, 1947. Т. 2. - 316 с.

64. Леонтович М. А. Исследования по распространению радиоволн. Сборник II. М., 1948. - С. 5.

65. Халиуллин Д. Я., Третьяков С. А. Обобщённые граничные условия импедансного типа для тонких плоских слоёв различных сред // Радиотехника и электроника. — 1998. — Т. 43, № 1. — С. 16-29.

66. Ziolkowski R. W., Engheta N. Metamaterial special issue introduction // IEEE Transaction on Antennas a,nd Propagation.- October 2003. Vol. 51, no. 10. - Pp. 2546-2547.

67. Кюркчан А. Г. Связь между антеннами в присутствии ребристых структур // Радиотехника, и электроника. — 1977. — Т. 22, № 7. — С. 1362-1373.

68. Кюркчан А. Г., Зимнов М. X. Связь между антеннами на цилиндре в присутствии ребристых структур // Радиотехника и электропика. 1985. - Т. 30, № 12. - С. 2308-2315.

69. Hansen R. С. Effects of a high-impedance screen on a dipole antenna // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. — 2002. — Vol. 1, no. 1. Pp. 46-49.

70. Two-dimensional beam steering using an electrically tunable impedance surface / D. F. Sievenpiper, J. H. Schaffner, H. J. Long et al. // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — October 2003. — Vol. 51, no. 10. Pp. 2713-2722.

71. Комаров С. А. Вариационный принцип в задачах излучения из полубесконечного волновода с импедансным фланцем // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1985. — Т. 28, № 3. — С. 30-35.

72. Yoshitomi К., Sharobim Н. R. Radiation from a rectangular waveguide with a lossy flange // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. October 1994. - Vol. 42, no. 10. - Pp. 1398-1402.

73. Yoshitomi К. Equivalent currents for an aperture in an impedance surface // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — November 1994. Vol. 42, no. 11. - Pp. 1554-1556.

74. Yoshitomi K. Polarization characteristics of the radiation field from an aperture in an impedance surface // IEEE Transaction on Antennas and, Propagation. — November 1996. — Vol. 44, no. 11. — Pp. 14641466.

75. Yoshitomi K. Radiation from a slot in an impedance surface // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — October 2001. — Vol. 49, no. 10. Pp. 1370-1376.

76. Stalzesu H. J., Shmoys J., Hessel A. Surface impedance method for the analysis of phased arrays with a lossy ground plane // Radio Science.- 1987. Vol. 22, no. 3. - Pp. 323-333.

77. Сушкевич В. И. Нерегулярные линейные волновые системы. — М.: Советское радио, 1967. — 295 с.

78. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. — М.: Наука, 1973. — 342 с.

79. Комаров С. А., Щербинин В. В. Характеристики согласования конечной волноводной решетки с импедансным фланцем при излучении в слоистую среду // Известия Алтайского государственного университета,. — 2003. — № 1. — С. 78-81.

80. Komarov S. A.,- Scherbinin V. V. A flange impedance influence on finite waveguides array mutual coupling // 2005 IEEE Antennas and

81. Propagation Society International Symposium (July 3-8, Washington, DC, USA) Proceedings. Vol. ЗА. - 2005. - Pp. 741-744.

82. Фуско В. СВЧ Цепи. Анализ и автоматизированное проектирование.- М.: Радио и связь, 1990. 288 с.

83. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.

84. Завьялов А. С., Бабина М. Н., Дунаевский Г. Е. Измерение параметров элементов СВЧ трактов. — Томск: Издательство ТГУ, 1983.- 133 с.

85. Электрические свойства полимеров / Под ред. Б. И. Сажина. — JL: Химия, 1986. 224 с.

86. Комаров С. А., Щербинин В. В. Входной адмитанс волновода с импедансным фланцем при излучении в плоскослоистую среду // Известия Алтайского государственного университета. — 1997. — № 1. С. 47-50.

87. Комаров С. А., Щербинин В. В. Излучение из круглого полубесконечного волновода с импедансным фланцем // Известия Алтайского государственного университета,. — 1999. — № 1. — С. 68-70.

88. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. — М.: Наука, 1977. — 344 с.

89. Федорюк М. В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977. — 368 с.

90. Айзенберг Г. 3. Антенны ультракоротких волн. — М.: Радио и связь, 1957. 698 с.

91. Современные проблемы антенно-волноводной техники / Под ред. А. А. Пистолькорса. — М.: Наука, 1967. — 215 с.

92. Комаров С. А., Щербинин В. В. Вариационный принцип в задаче возбуждения поверхностных волн волноводом с импедансным фланцем // Ползуновский вестник (г. Барнаул). — 2005. — № 2. -С. 194-196.

93. Зоммерфелъд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. — М.: Иностранная литература, 1950. — 456 с.

94. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983. — 752 с.