Двумерноетелеграфное уравнение и его применение к задачам радиофизики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КИРИЛЛОВ Виталий Васильевич

ДВУМЕРНОЕ ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ РАДИОФИЗИКИ

специальность 01.04.03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте радиофизики при Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный консультант:

МАКАРОВ Глеб Иванович, доктор физ.-мат. наук, проф.

Официальные оппоненты:

БУЛДЫРЕВ Владимир Сергеевич, доктор физ.-мат. наук, проф., МОЛОТКОВ Иван Анатольевич, доктор физ.-мат. наук, проф., ПОЛЯКОВ Сергей Владимирович, доктор физ.-мат. наук.

Ведущая организация:

Полярный геофизический институт Кольского научного центра РАН.

Защита состоится «/£"» ¿уи?1>. X 2006г. в 15 час. 30 мин., в ауд. на заседании диссертационного совета Д 212.232.44 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан «2В» <Ш? 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук

С.Т.Рыбачек

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке нового метода решения теоретических задач электродинамики (Двумерное телеграфное уравнение) относящихся к распространению электромагнитных волн в узких двухпроводных поверхностных волноводах. Под двухпроводными поверхностными волноводами мы понимаем волноводы, образованные двумя изолированными друг от друга проводниками в виде пластин, между которыми распространяются электромагнитные волны.

Актуальность темы. В случае малых систем, т.е. когда временной масштаб процесса гораздо дольше времени распространения по системе, достаточно точное и адекватное описание процессов проводится на основе законов Кирхгофа. Теория цепей самодостаточна и в своём использовании не нуждается в системе уравнений Максвелла.

В случае малых в поперечнике систем типа двухпроводной линии, когда, по-прежнему, в поперечнике процессы медленны по сравнению с временем распространения по поперечным размерам системы, однако продольный размер системы даёт место для распространения волны вдоль линии, существует достаточно точная теория, основанная на уравнении телеграфистов. Теория длинной линии самодостаточна и в своём использовании не нуждается в системе уравнений Максвелла.

В случае систем типа узких двухпроводных поверхностных волноводов теории, аналогичной по возможностям, точности и адекватности описания двум предыдущим, не существовало. В диссертации этот пробел восполняется новым методом двумерного телеграфного уравнения. Узким поверхностным волноводом является волновод Земля-ионосфера на частотах ниже 1 кГц. Этот волновод сферический, анизотропный и неоднородный, что требует рассмотрение трёхмерного электромагнитного поля в трёхмерно неоднородной и анизотропной среде.

Проблема учета влияния анизотропии и трехмерных неоднородностей ионосферы и земной поверхности представляет несомненный интерес, как с теоретической точки зрения, поскольку относится к еще только начинающему развиваться направлению -исследованиям трехмерных волноводных задач, так и с точки зрения приложений к широкому кругу радиофизических, геофизических и экологических проблем. Волновод Земля-ионосфера относится к типу волноводов, в которых существенно влияние на распространение радиоволн анизотропии ионосферы и трёхмерной неоднородности ионосферы и Земли. На частотах ниже 1 кГц электромагнитные

источники широко представлены мировой грозовой активностью, а также искусственными источниками типа горизонтального электрического диполя. Приём электромагнитного поля этих источников и адекватный анализ результатов приёма даёт обширную информацию об очагах мировой грозовой активности и о факторах, влияющих на состояние ионосферы и электрические свойства земли. Главнейшим среди этих факторов является солнечная активность, существенно влияющая на состояние ионосферы. Факторы, влияющие на землетрясения, оказывают влияние также на проводимость земли. В разведочной геофизике по измеренному поверхностному импедансу на земле можно сделать заключение о характере залегающих слоёв. Все вопросы, связанные с шумановскими резонансами могут быть рассмотрены в рамках двумерного телеграфного уравнения, что значительно проще рассмотрения в рамках уравнений Максвелла и приводит к возможности использования таких трёхмерных моделей ионосферы, недоступных ныне при рассмотрении задачи на основе уравнений Максвелла. На частотах ниже 5 Гц по анализу спектра магнитного шума, явившегося следствием мировой грозовой активности, обнаружены альфеновские резонансы, проявившиеся в частотной изрезанности спектра с квазипериодом порядка 0,5 Гц. Такая частотная зависимость в спектре шума обязана интерференции отражений от различных высотных областей ионосферы. Достаточно точная количественная интерпретация этого явления может быть проведена методом двумерного телеграфного уравнения.

До настоящего времени не существует метода, который приводил бы, в рамках системы уравнений Максвелла, к решению задачи распространения радиоволн в трехмерно неоднородном, сферическом, анизотропном волноводе. Не существует такого метода даже применительно к сравнительно низкому частотному диапазону ниже 1 кГц, где, казалось бы, могли быть применены прямые численные методы. Одним из таких численных методов мог бы быть метод, сформулированый на основе представления электромагнитного поля по сферическим гармоникам и последующего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений в радиальном направлении. Другим численным методом мог бы быть метод распространения волн в плавно неоднородном одномерном волноводе с осью в виде геодезической на сфере и поперечным сечением в виде боковой поверхности ортогонального конуса. Этот метод, применительно к волноводу Земля-ионосфера, требует нахождения большого количества анизотропных мод поперечных сечений,

расположенных с некоторым шагом по оси волновода, а также их коэффициентов связи. Даже бурное развитие вычислительной техники и программной реализации численных алгоритмов не позволяет уповать в данной ситуации на всесилие численных методов. Дискретизация исходной математической задачи накладывает жесткие требования на объем ресурсов (объем оперативной памяти и быстродействие) используемой вычислительной техники даже в случае сравнительно низких частот, что заставляет прибегать в задачах распространения к другим методам, строго говоря не применимым в случае распространения радиоволн в трехмерно неоднородном, сферическом, анизотропном волноводе.

Применяемым методом решения задач распространения радиоволн в волноводе Земля-ионосфера является метод, основанный на представлении электромагнитного поля по нормальным волнам, который восходит к случаю распространения в сферическом волноводе с анизотропией, имеющей азимутальную симметрию. Этот метод имеет в своей основе идею о направлении распространения волн, совпадающей с направлением трассы распространения, которая, в свою очередь, совпадает с геодезической на сфере от передатчика к приёмнику. Подобные идеи не пригодны в частотном диапазоне ниже 1 кГц.

Однако в этом диапазоне частот эффективно распространяющейся является только одна квази-ТЕМ мода, что открывает дополнительные возможности для более простого чем система уравнений Максвелла описания электромагнитного поля в волноводе. Открываются возможности создания двумерных теорий распространения радиоволн в трехмерно неоднородном, сферическом, анизотропном волноводе. Имеющиеся двумерные теории распространения используют в той или иной степени на эвристическом уровне эти особенности распространения радиоволн этих низких частот в волноводе без обоснования достаточной точности описания. Кроме того, приведённые двумерные уравнения имеют внутреннее противоречие, которое не позволяет даже сформулировать их последовательно в случае анизотропного волновода, которым и является волновод Земля-ионосфера. Современное состояние проблемы ясно показывает, что решение задачи распространения радиоволн в трехмерно неоднородном, анизотропном волноводе требует привлечения новых идей и концепций. Это заставляет искать новые подходы на пути создания достаточно точной приближенной теории распространения радиоволн в волноводе, учитывающей физические

особенности распространения электромагнитных волн частот ниже 1 кГц.

Цель данной диссертационной работы разработка нового метода решения теоретических задач электродинамики (ДТУ), которые возникают при описании распространения электромагнитных волн в узких двухпроводных поверхностных волноводах и применение этого метода к проблемам распространения низкочастотных электромагнитных волн в трёхмерно неоднородном анизотропном волноводе Земля-ионосфера на основе:

1) сформулированного в этой связи двумерного уравнения, описывающего распространение электромагнитных волн в волноводе;

2) использования того, что электромагнитные волны частот ниже 1 кГц распространяются в волноводе Земля-ионосфера на дальнее расстояние исключительно одной нормальной волной;

3) разработки модели параметров нового уравнения, приемлемых для описания распространения волн в реальном волноводе Земля-ионосфера;

4) построения решений этого уравнения при двумерно неоднородных и анизотропных моделей параметров уравнения.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Формулировка двумерного телеграфного уравнения как

дифференциального уравнения в частых производных второго порядка по двум переменным точки на внутренней поверхности одного из проводников относительно напряжения между этим и другим проводниками. Разработка и обоснование метода двумерного телеграфного уравнения для описания распространения электромагнитных волн в тонких двухпроводных поверхностных волноводах с произвольной анизотропией и неоднородностью.

2. Введение новых физических понятий: поверхностная плотность ёмкости С и матричная локальная индуктивность Ь - параметров двумерного телеграфного уравнения.

3. В случае распространения радиоволн в волноводе Земля-ионосфера, приемлемая на частотах ниже 1 кГц, модель связанной с поверхностной плотностью ёмкости ёмкостной высоты, в виде интеграла по поперечной координате волновода х от обратной величины элемента комплексной относительной диэлектрической проницаемости ионосферы. е'2 2 (я, у, г) при

плоской геометрии волновода и интеграла по радиальной д2

координате г от ——£'г~}(г,в,<р) при сферической геометрии г2 '

волновода.

4. Приемлемая в частотном диапазоне 0,1-500 Гц, модель матричной локальной индуктивности, сводящая её к сумме земного приведённого поверхностного импеданса и

приведённого матричного поверхностного импеданса ионосферы на земной поверхности при нормальном

падении волны снизу в плоской горизонтально однородной модели ионосферы с параметрами на вертикали, проходящей через точку с координатами {х,у} .

5. Положение области ионосферы, существенной для поверхностной плотности ёмкости, и области ионосферы, существенной для локальной индуктивности.

6. Модели в интервале 70-2000 км профилей ионосферных параметров, определяющих ионосферную часть матричной локальной индуктивности, для ночи и дня при сильной и слабой солнечной активности.

7. Бивектор как объект интегрирования от верхней границы существенной области до нижней, обеспечивающий численную возможность получения ионосферного матричного импеданса на земной поверхности.

8. Источники в двумерном телеграфном уравнении в виде стороннего точечного напряжения для вертикального электрического диполя и точечного векторного удельного напряжения для горизонтального электрического диполя.

9. Решения задач о распространении электромагнитных волн в анизотропном сферическом неоднородном волноводе Земля-ионосфера, полученные методом двумерного телеграфного уравнения:

а) решение задачи о распространении в кусочно однородном сферическом волноводе при возбуждении вертикальным и горизонтальным электрическими диполями;

б) аналитическое решение задачи о распространении в кусочно однородном сферическом волноводе на частотах ниже первой резонансной частоты волновода при возбуждении вертикальным и горизонтальным электрическими диполями;

в) решение двумерного телеграфного уравнения с анизотропными параметрами, приемлемое для волновода Земля-ионосфера в частотном диапазоне 0,1-30 Гц и ограниченное в применимости волновой зоной на частотах выше 5 Гц.

Научная новизна проведённых исследований определяется следующими положениями:

1. Метод двумерного телеграфного уравнения является новым методом решения задач электродинамики, возникающих при описании распространения электромагнитных волн в тонких двухпроводных поверхностных волноводах. Метод позволяет проводить это описание довольно просто и достаточно точно без привлечения уравнений Максвелла.

2. Полученное двумерное дифференциального уравнения в частых производных второго порядка является новым дифференциальным уравнением в теории распространения электромагнитных волн.

3. Коэффициенты дифференциального уравнения: поверхностная плотность ёмкости С и матричная локальная индуктивность L представляют из себя новые физические понятия.

4. Применительно к распространению радиоволн в волноводе Земля-ионосфера отмечается различное положение области ионосферы, существенной для поверхностной плотности ёмкости (40-80 км), и области ионосферы, существенной для локальной индуктивности (702000 км). Положение области и её размеры зависят от частоты. 2000 км как оценка верхней границы области, существенной для локальной индуктивности, относится к низшей частоте, рассматриваемого диапазона 0,1 Гц. С повышением частоты эта граница стремительно падает, достигая высот порядка 150 км на частотах 10-50 Гц. Область ионосферы, существенная для поверхностной плотности ёмкости, поднимается с ростом частоты, сливаясь с существенной областью для локальной индуктивности на частотах выше 1 кГц.

5. Локальная индуктивность для точки на земной поверхности с координатами {х,_у} может быть получена через матричный

поверхностный импеданс ионосферы на земной поверхности при нормальном падении волны снизу в модели плоской горизонтально однородной ионосферы с параметрами на вертикали, проходящей через точку с координатами {х,у}.

6. Является новой глобальная модель в интервале 70-2000 км профилей ионосферных параметров, определяющих ионосферную часть матричной локальной индуктивности, для ночи и дня при сильной и слабой солнечной активности.

7. Предложен впервые бивектор как объекта интегрирования от верхней границы существенной области до нижней для получения ионосферного матричного импеданса на земной поверхности.

8. Полученное соответствие между физическими источниками электромагнитного поля и эффективными источниками в двумерном телеграфном уравнении является новым теоретическим утверждением.

Совокупность решений задач о распространении электромагнитных волн в анизотропном сферическом неоднородном волноводе Земля-ионосфера, полученных методом двумерного телеграфного уравнения, позволяет выявить новые закономерности в поведении электромагнитных волн в волноводе.

Научная и практическая ценность работы. В диссертации разработан новый метод для описания электромагнитных волн в тонких двухпроводных поверхностных волноводах. Описание производится в рамках одного двумерного дифференциального уравнения в частых производных второго порядка вместо системы уравнений Максвелла. Рассмотрение электромагнитного поля в стенках волновода отделяется от задачи по формированию поля в волноводе. Рассмотрение поля в стенках волновода требуется только для получения параметров дифференциального уравнения и проводится отдельно для каждой точки на внешней поверхности нижнего проводника в рамках модели однородного волновода со свойствами реального волновода на поперечной прямой, проходящей через обозначенную точку. Электромагнитное поле при таком рассмотрении характеризуется значительным пространственным упрощением. Оно зависит только от точки на указанной прямой. Эти особенности разработанного нового метода позволяют решить такие задачи о распространении электромагнитных волн в тонких анизотропных неоднородных двухпроводных поверхностных волноводах, которые недоступны в настоящее время для рассмотрения в рамках системы уравнений Максвелла.

Полученные, применительно к распространению радиоволн в волноводе Земля-ионосфера, модели поверхностной плотности ёмкости С и матричной локальной индуктивности Ь позволяют в рамках двумерного телеграфного уравнения рассмотреть всю совокупность вопросов, касающихся распространения радиоволн в волноводе Земля-ионосфера на частотах от 0,1 до 1000 Гц. В частотном диапазоне 0,1-8 Гц проинтерпретированы экспериментально наблюдавшиеся особенности в спектре электромагнитного шума, обусловленные интерференцией отражений от различных слоев ионосферы. Шумановские частоты, наблюдающиеся в диапазоне 5-50 Гц, получаются по двумерному телеграфному уравнению в рамках однородной или неоднородной модели волновода значительно проще и точнее чем по приближенным схемам, основанным непосредственно на системе уравнений Максвелла.

Получение матричной локальной индуктивности в диапазоне 0,1-10 Гц путём интегрирования бивектора от верхней границы существенной области до нижней оказалось, в настоящее время, единственно возможным по сравнению с другими объектами интегрирования. Задачи о распространении электромагнитных волн в анизотропном сферическом неоднородном волноводе Земля-ионосфера, решенные методом двумерного телеграфного уравнения использовались и используются для интерпретации экспериментальных наблюдений приземного электромагнитного поля от приземных источников.

Результаты работы использовались при выполнении многочисленных хоздоговорных и бюджетных работ отдела радиофизики НИИ Физики и института Радиофизики Санкт-Петербургского государственного университета: Они могут быть включены в программы ряда лекционных курсов и специальных практикумов, читаемых и проводимых на физическом факультете СПбГУ.

Достоверность полученных результатов обеспечена обоснованностью использованных в работе строгих и приближенных математических методов, сравнением на более простых, но характерных моделях волновода с результатами, полученными на основе строгого решения задачи в рамках системы уравнений Максвелла, определением границ применимости метода двумерного телеграфного уравнения.

Апробация работы. Вошедшие в диссертационную работу материалы представлялись на X Всесоюзной конференции по

распространению радиоволн (Иркутск, 1972), XIII Всесоюзной конференции по распространению радиоволн (Горький, 1981), XV Всесоюзной конференции по распространению радиоволн (Алма-Ата, 1987), XVI Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, (Харьков 1990), XVII Всесоюзной конференции по распространению радиоволн (Ульяновск, 1993), XVIII Всесоюзной конференции по распространению радиоволн (С.-Петербург, 1996), XIX Всесоюзной конференции по распространению радиоволн (Казань, 1999), XX Всесоюзной конференции по распространению радиоволн (Нижний Новгород, 2002), Всесоюзной конференции "Приём сверхнизкочастотных колебаний и устройства для их обработки" (Воронеж, 1983, Воронеж 1987), Региональной научно-технической конференции, секция «Ионосфера и распространение радиоволн», научно-техническое общество радиотехники, электроники и связи имени А.С. Попова (Новосибирск, 1985), Межведомственных семинарах по распространению километровых и более длинных радиоволн (Красноярск, 1986; Харьков, 1987; Горький, 1989; Омск, 1990; Томск, 1991), Региональных конференциях по распространению радиоволн (Санкт-Петербург, 1997, Санкт-Петербург 1998, Санкт-Петербург 2000, Санкт-Петербург 2001, Санкт-Петербург 2002, Санкт-Петербург 2003), VI Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Цахкадзор, 1973), IX Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Телави, 1985),IX Международном коллоквиуме по электромагнитной совместимости (Брест, Франция, 1998).

Часть результатов, представленных в диссертации, была получена в рамках исследований, поддержанных грантом Российские Университеты

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 40 публикациях, список которых приведен в заключительной части автореферата, 28 из них — статьи, остальные - тезисы докладов на научных семинарах, конференциях, симпозиумах и коллоквиуме. Во всех совместных работах автору принадлежат теоретическая постановка задач и все аналитические результаты.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка цитируемой литературы из 207 наименований. Общий объем диссертации - 347 страниц, включая 32 рисунка, 3 таблицы и список литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении определено направление в теории распространения радиоволн, развитию которого посвящена диссертация, сформулированы цели работы, кратко описано её содержание и приведены положения, выносимые на защиту.

Темой диссертации является разработка и обоснование метода двумерного телеграфного уравнения для теоретического исследования распространения электромагнитных волн в тонких двухпроводных поверхностных волноводах. Под двухпроводными поверхностными волноводами мы понимаем волноводы, образованные двумя изолированными друг от друга проводниками в виде неограниченных пластин, между которыми распространяются электромагнитные волны. Нижняя пластина характеризуется комплексной диэлектрической проницаемостью е'{х,у, г). Комплексная диэлектрическая проницаемость верхней пластины е'т „ (х, у, г) -тензор без очерченной

нижней границы так, что высоту полости следует понимать как эффективную. В обеих пластинах токи смещения предполагаются гораздо меньше токов проводимости. Возможен сферический вариант волновода, когда нижней стенкой волновода является шар.

Рис. 1.

Волноводом такого типа является волновод Земля-ионосфера на частотах ниже 1 кГц. Плоский вариант волновода такого типа изображен на рисунке 1, у которого высота полости Ь такова, что кЬ-малый параметр (к-волновое число). Гармоническая зависимость от времени в работе принята в виде ехр(—¡со /).

В первой главе сосредоточено всё, что относится к методу двумерного телеграфного уравнения как такового. Содержание главы отражено в работах [2, 3, 5, 14, 18, 20, 25, 26, 31, 37].

В параграфе 1.1 даётся поверхностная дифференциальная форма сохранения заряда в нижнем проводнике в форме пластины или шара, которая в случае плоской геометрии имеет вид

д д ■ д ■ п

—Ч + =0» (О

Э/ дх ду *

0

где <1= \pciz -поверхностная плотность заряда нижнего проводника с

—оо

О О

объемной плотностью заряда р{х, у, г), ]х— \ixdz, ]у= \iydz - проекции

—00 —00

поверхностной плотности тока от соответствующих объемных проекций 1х(х,у,г) и 1у(х,у,г}.

В параграфе 1.2 получена связь между электромагнитным полем на внешней поверхности проводника и поверхностной плотностью заряда д (х, _у) и поверхностным током у):

Е1=£ъХц, Нх = ]у Ну = -)х. (2)

Горизонтальные компоненты электрического поля на поверхности проводника связаны с горизонтальными компонентами магнитного через поверхностный импеданс нижнего проводника 2^ что даёт

Ех = ]х, Еу = у (3)

Оставшуюся вертикальную компоненту магнитного поля на поверхности проводника получим из вертикальной проекции первого уравнения Максвелла

д д

где 5£ - приведённый поверхностный импеданс проводника. Таким образом, поле д{х,у) и .¡(х,^) на внешней поверхности проводника определяет на этой поверхности все 6 компонент электромагнитного

В параграфе 1.3 поверхностная дифференциальная форма сохранения заряда (1) превращается в двумерное телеграфное уравнение относительно напряжения и(х,у) в случае плоской модели волновода и и(0,<р) в сферической модели волновода, которое вводится по формулам

00 00 и(х,у)= \Ег{х,у,г)с1г, и(в,<р) = \Ег{г,в,<р)<1г. (4)

-оо О

Это превращение обеспечивается новыми материальными соотношениями. Одно из них поверхностная плотность ёмкости С, которая по аналогии с ёмкостью конденсатора определена по формуле

Я = С и. (5)

Поверхностная плотность ёмкости С определена для каждой точки на общей поверхности проводников при любом электрическом поле. Название поверхностная плотность ёмкости не следует воспринимать как плотность поверхностной ёмкости. Это новое физическое понятие. В общем случае С будет функцией не только геометрических и электрических параметров волновода, но и того электрического поля, на котором она находится. Для полей, гармонически меняющихся во времени, С — комплексный параметр, мнимая часть которого характеризует потери.

Второе материальное соотношение обеспечивает локальная индуктивность Ь, определённая по аналогии с индуктивностью катушки по формуле

Сга(1и = -Ь—1. (6)

дГ

Локальная индуктивность Ь в общем случае - матрица из-за анизотропии одного или двух проводников. Определение локальная в термине индуктивность введено для отличия этого нового физического понятия от обычной индуктивности, которая относится ко всему телу. Локальная индуктивность относится к точке на общей поверхности проводников и меняется в общем случае при переходе от одной точки к другой. Для полей, гармонически меняющихся во времени, Ь — комплексный параметр, мнимая часть которого характеризует потери.

В отличие от поверхностной плотности ёмкости С, которая определяется по одному электрическому полю, для определения локальной индуктивности Ь, из-за её матричной природы, необходимо

два различных электромагнитных поля. По этим двум полям для каждой точки на верхней поверхности нижнего проводника можно составить два уравнения для элементов матрицы Lx x, Lx y и два других уравнения

для элементов матрицы Ly x и Ly y. Решение этих систем уравнений

даст все элементы матрицы L. Однако в общем случае L будет функцией не только волновода, но и тех электромагнитных полей, на которых она определяется.

Продифференцировав уравнение (1), выражающие поверхностную форму сохранения заряда в нижнем проводнике, по времени и подставив

в них вместо поверхностной плотности заряда q Си (5) и вместо -^-j

о t

- L_1 Grad и. (6), получим двумерное телеграфное уравнение в виде

Соотношение (7) является дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка относительно напряжения и. Если параметры С и Ь соответствуют электромагнитному полю, которое рассматривается, то оно является точным, вытекающим из системы уравнений Максвелла. Однако обратно восстанавливается лишь электромагнитное поле на общей поверхности проводников.

Поверхностная плотность ёмкости С (4) измеряется в Ф/м2, однако удобнее её характеризовать ёмкостной высотой Ьс, связанной с ней соотношением

где £0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. Используя определение (4) поверхностной плотности ёмкости С, определение напряжения (3) и выражение, связывающее вертикальную компоненту электрического поля с поверхностной плотностью заряда, получим для ёмкостной высоты Ис выражение

——Си - DivL^GradH = 0. dt2

6'

(7)

С — EqHQ' ,

(8)

для плоского волновода и

(а{\Ег(г)с1г, о

для сферического волновода. При гармонической временной зависимости поля ёмкостная высота комплексна. Её реальную часть можно рассматривать как эффективную высоту вакуумной полости, образуемой верхним неоднородным проводником.

Локальная индуктивность Ь измеряется в Гн, однако удобно перейти к другой матрице индуктивной высоты размерности длины по формуле

Ь-ЛоЧ, (10)

где ¿«о — магнитная проницаемость вакуума. Из первого уравнения Максвелла для градиента напряжения имеют место соотношения

|-м=1-]мг' <п>

дх д1 _„ г ду ЗГ

Напряжение определено (4) интегралом по поперечной координате от проекции электрического поля на эту координату. Компоненты градиента выражаются через интеграл от тангенциальных компонент магнитной индукции. Соотношениям (11) удовлетворяет также другое линейно независимое поле и'. Это вмести с определением локальной индуктивности (5) и соотношениями (2), выражающими связь между тангенциальными компонентами на внешней поверхности проводника и компонентами поверхностной плотности тока, позволяет составить для элементов индуктивной матрицы А^ систему алгебраических уравнений. Решением этой системы уравнений является выражение элементов матрицы (11) через интегралы от тангенциальных

компонент магнитного поля двух линейно независимых полей и этих компонент на поверхности проводника. Если система координат {х, у, г} выбрана так, что в рассматриваемой точке на поверхности проводника ось х ориентирована перпендикулярно магнитному полю на поверхности проводника, то есть Нх (х, _у,0) = О, то

ЯД^.О)] Ну{х,у,г)ск, (12)

—00

hyx{x,y) = -я;1 (x, y,O) \HX (x, y, z)dz.

—OO

Оставшиеся элементы матрицы выражаются через дополнительное поле и'. Магнитное поле проникает глубже в проводник чем вертикальная компонента электрического поля, это означает, что эффективная ширина волновода по индуктивной высоте шире, чем по ёмкостной.

В случае изотропной модели индуктивности, когда hL — скаляр, двумерное телеграфное уравнение (7) для гармонических во времени полей имеет вид

d >-i д д . _i д ,2^-1 л /пч

— hL —" + —hL —u + Л hc «=0. (13)

дх дх ду ду

-i-^sin^hL1 ±и + -L-Ам + к2аг he « = О

sin у 80 ов sin1Q д<р д<р

соответственно при сферической модели волновода Уравнения (13) являются уравнениями типа Гельмгольца на общей поверхности проводников. Свойства волновода отражаются в этом уравнении через параметры hc(jt,_y) и hL(jc,_y) или hc(9,(p) и hL(О,<р). Ёмкостная высота находится в свободном члене этого уравнения, а индуктивная высота находится в промежутке между производными.

В случае однородного волновода поле в волноводе при некотором удалении от источника практически совпадает с полем квази-ТЕМ моды. В плоской модели волновода квадрат постоянной

распространения определяется по S2 = hL/hc. В сферическом волноводе поле ТЕМ моды выражается через функции Лежандра со значком V, который также определяется отношением индуктивной

высоты на ёмкостную: v(v + l)= к2a2 hLjhc.

В параграфе 1.4 получены ёмкостная высота и индуктивная высота hi в случае изотропной, горизонтально однородной и вертикально кусочно однородной модели волновода с комплексными диэлектрическими проницаемостями e'g и c¡ соответственно в нижнем и

верхнем проводниках, (см. рис. »1, »1, Толщина

проводников предполагается гораздо больше толщины их скин-слоёв.

Прямые расчёты по формулам (9) и (12) в предположении поля ТЕМ моды дают

Ас=й„=й, (14)

А л +£,),

где Лдг - нормировочный интеграл, а А - высота вакуумного промежутка между проводниками, = , 5,- = 1/-

приведённые поверхностные импедансы нижнего и верхнего проводников соответственно. Проведена оценка высокочастотной границы применимости модели (14).

В параграфе 1.5 проведена оценка влияния сферичности волноводного канала на параметры двумерного телеграфного уравнения. Сферичность волноводного канала оказывает некоторое влияние на ёмкостную высоту Ье- Вместо (14) получается

где а — радиус нижнего проводника. Сферичность волноводного канала практически не проявляется в индуктивной высоте Ь^, что даёт возможность её получения в рамках плоской модели волновода.

В параграфе 1.6 построено электромагнитное поле вертикального электрического диполя с амплитудой Р0 в плоском волноводе с импедансными стенками в виде разложения по нормальным волнам, находятся соответствующие этому полю параметры двумерного телеграфного уравнения, которые отличаются от параметров, полученных по электромагнитному полю нулевой моды (14). Это различие таково, что вне радиуса влияния местных мод на поле, который порядка Л, оно тем меньше, чем дальше точка наблюдения удалена от источника. В зоне влияния местных мод различие тем больше, чем ближе точка наблюдения к источнику. Таким образом,

Рис.2 Зависимость поля от расстояния индуктивная и ёмкостная высоты, полученные по полю нулевой моды не годятся для использования в окрестности источника с радиусом порядка высоты вакуумной полости волновода.

-120-

--80

1 5

2 <

Ег

-180-

--140

0 2 4 в в 10 12 14 16 18 20, Э^апсе (Мм)

Для описания вертикального электрического диполя как источника электромагнитного поля посредством источника в двумерном телеграфном уравнении (13) введём в него стороннее напряжение ист

напряжения, электромагнитное поле которого на поверхности проводника совпадает точно с полем ТЕМ моды, возбуждаемым вертикальным электрическим диполем.

В параграфе 1.7 получено решение двумерного телеграфного уравнения при его точечном источнике, соответствующему вертикальному электрическому диполю, в случае сферического либо плоского однородного изотропного волновода.

В параграфе 1.8 решена задача аналогичная задаче в параграфе 1.6. В качестве источника электромагнитного поля выбран горизонтальный электрический диполь с токовым моментом Л на внешней поверхности нижнего проводника. В этом случае в представлении поля по модам наряду с модами вертикальной поляризации присутствуют моды горизонтальной поляризации. Источник в двумерном телеграфном уравнении в виде стороннего точечного удельного напряжения гст =—Х£П8(х —х$)8{у — Уо)у возбуждает поле напряжения,

электромагнитное поле которого на поверхности проводника совпадает точно с полем ТЕМ моды, возбуждаемым горизонтальным электрическим диполем. - поверхностный импеданс нижнего

проводника, координаты диполя. Под сторонним удельным

напряжением понимается член, аддитивный к градиенту напряжения в телеграфном уравнении.

добавлением к

возбуждает поле

В параграфе 1.9 получено решение двумерного телеграфного уравнения при точечном источнике, соответствующем горизонтальному электрическому диполю, в случае сферического либо плоского

однородного изотропного волновода. На рис.2 изображены компоненты электромагнитного поля как функция расстояния от источника в направлении его оси.

В параграфе 1.10, с целью получения параметров двумерного телеграфного уравнения, рассматривается задача об отражении электромагнитных волн от верхнего плоского проводника в предположении, что его проводимость не ограничено растёт от поверхности нижнего проводника, у которого она пренебрежимо мала. Для поверхностной плотности ёмкости кс вместо (14) получаются выражения в виде интеграла

. <Ь , °°г агйг ....

Ъс = ЪгЛ' Нс = (15)

о еаг1е\г) соответственно для плоской и сферической моделей волновода. Для индуктивной высоты Л/, вместо (14) получается выражение

¿¿=А £+/£, А1=.^(0), (16)

где (о) - приведённый поверхностный импеданс верхнего неоднородного проводника на верхней поверхности нижнего проводника в случае нормального падения плоской волны снизу.

В случае экспоненциальной модели проводимости из (15) и (16) для кс и получаются выражения с явной зависимостью от частоты. Для ёмкостной высоты

Ас(*)=*1 К*1НИ. (17)

*!(*) = Л1(*0) + -1п(*/*о>

а

а-1 - масштаб изменения по высоте экспоненциального профиля проводимости. Уравнению для удовлетворяет высота, на которой токи проводимости равны токам смещения. Для индуктивной высоты

*К*)=Л2(*)+'~. №)-!! = («М)2. (18)

Ь2(к)= И2(к0)-±\п{к/к0), а

где у = 1пС = 1,781072, С - постоянная Эйлера.

Применительно к волноводу Земля-ионосфера с использованием наблюдений в области СНЧ частот были получены [22] следующие параметры экспоненциальной модели (17, 18) для дневных и ночных условий распространения на частоте 100 Гц.

Модель «г. ЯеЬс, 1ш11С, «с.

, км км км-1 км км км-1

День 85 5,4 0,29 54 7,8 0,20

Ночь 95 4,5 0,35 77 4,6 0,34

В таблице даны различные обратные величины масштаба изменения профиля для ёмкостной и индуктивной высот из-за различного положения области, существенной для них.

В заключении главы даётся формулировка метода двумерного телеграфного уравнения на случай неоднородного волновода

В главе 2 приводятся решения на основе системы уравнений Максвелла некоторых задач о распространении электромагнитных волн в анизотропном и изотропном, однородном и неоднородном плоском волноводе и сопоставление этих решений с решениями двумерного телеграфного уравнения с целью обоснования метода двумерного телеграфного уравнения. Основное содержание главы изложено в публикациях [7, 9, 10, 13, 14, 16-18, 23, 32].

В параграфе 2.1 дано точное решение задачи о возбуждении вертикальным или горизонтальным электрическими диполями плоского однородного анизотропного волновода в одномодовом приближении.

Источником электромагнитного поля является вертикальный или горизонтальный электрические диполи, находящиеся в полости волновода, задаваемые в виде Р(д:, у, г) = Рд д(;с)<5(у)<5(г-г0) .

Электромагнитное поле ищем в виде интеграла Фурье, например, для Е

00 00 . . ., Е(х,у,г) = к2 ]■ /^^(г.^.^ехр^ф^ + зд!. (19)

—со —оо

От переменных интегрирования Sx и Sy перейдем к S и у/ как к

переменным цилиндрической системы координат. Однако для переменных интегрирования пределы могут быть выбраны [18] двояко бесконечными для S , а для азимутального угла у/ путь интегрирования лежит в комплексной плоскости. Двояко бесконечными для S необходимы для вычисления интеграла (21) по вычетам. Тогда интеграл (19) преобразуется к следующему виду [18] л

ñ> +--loo

2 »

Е(x,y,z) = k2 { dy/ JSí/SEÍz.S.v/Oexpfi&Srcos^-p)] (20)

Л -00

т—- + IOO 2

С азимутальной переменной у/ можно связать преобразование (поворот) системы координат от {х,>>} к {х',у'}. В этих новых координатах электромагнитное поле не зависит от у', а зависимость от х' описывается функцией exp(ifcSx'), что позволяет для горизонтальных компонент электромагнитного поля из системы уравнений Максвелла получить систему четырёх обыкновенных дифференциальных уравнений по z. Эта система уравнений при любой анизотропии и высотной неоднородности решается численно интегрированием бивектора [30]. Однако из него в качестве продукта интегрирования получается матричный приведённый поверхностный импеданс верхнего проводника на уровне верхней поверхности нижнего проводника 5¿{S,y/). Зависимость от у/ появляется из-за анизотропии верхнего проводника. Удовлетворение граничным условиям как выше так и ниже высотного положения приводит к явному построению подынтегрального электромагнитного поля. В случае, когда источником является вертикальный электрический диполь, расположенный на поверхности нижнего проводника, вертикальная компонента электрического поля выражается следующим интегралом

я

, ая---ico .

ik Pq z 2 ® +¿'vV(.S» . .

где 8£ - приведённый поверхностный импеданс нижнего проводника.

В знаменателе подынтегрального выражений стоит определитель матрицы. Уравнение для нормальных волн волновода есть

+£,-($,¥'))= 0 (22)

¿»/(З'.у) при хорошо аппроксимируется выражением [19, 24]

= (23)

где ¿¡¡(у) — импеданс верхнего проводника на уровне верхней поверхности нижнего проводника при нормальном падении снизу. Параметр Ас определяется ходом проводимости верхнего проводника в ее нижней части

Ас=]—^л- (24)

01+ ,£(£)

соеа

и совпадает с ёмкостной высотой. В модели импеданса (23) уравнение (22) имеет только один корень

; * . , (25)

г + ду'/

соответствующий ТЕМ моде. Местные моды волновода находятся за пределами аппроксимации (23). Вычисление по вычету приводит выражение (21) к интегралу по азимутальной переменной у/

я

Еих{х,у)=--) Б^угектЯх'), (26)

ф——+ ГСО 2

Некоторой заменой переменной интегрирования интеграл (26) сводится к функции Ханкеля

£;(*,у) =-., (27)

Р2 к2 где 4 = —

нс

г г 2 ^

ь-1 1,-1 пЬ,хх п1,уу

, 1т £ > 0 . Предполагается, что система

координат {х,у} ориентирована так, что Л^1 +Л£* =0, и от

матричного импеданса 5{ мы перешли по (16) к индуктивной высоте верхнего проводника. Аналогичные, но более сложные формулы получаются в случае возбуждения горизонтальным электрическим диполем.

Непосредственное решение двумерного телеграфного уравнения с источниками, соответствующими вертикальному и горизонтальному электрическим диполям, даёт точно такие же выражения для компонент электромагнитного поля.

Таким образом, показано, что и в случае анизотропного однородного волновода поле по двумерному телеграфному уравнению соответствует точно электромагнитному полю ТЕМ моды волновода.

В параграфе 2.2 для описания электромагнитных волн в двухпроводных поверхностных волноводах развивается новый метод поперечной координаты, аналогичный методу Б.З Каценеленбаума1. для обычных волноводов. Метод не ограничен требованием узости поверхностного волновода. Однако оказалось, что метод поперечной координаты принципиально невозможен в случае анизотропии общего вида. Анизотропия волновода должна быть азимутально симметричной, что накладывает на тензор комплексной диэлектрической проницаемости е' следующие ограничения

=«;«=о, =о, = (28>

В случае, когда проводником является плазма, такой симметрией обладает тензор при вертикальном внешним магнитном поле.

Предполагая вначале, что волновод однороден, а электромагнитное поле не зависит от у и зависимость от времени и х пропорциональна функции ехр(- 1со1 + ПсЯх), из системы уравнений Максвелла для горизонтальных компонент электромагнитного поля получаем систему четырёх обыкновенных дифференциальных уравнений по вертикальной переменной, в которой т. 5 является параметром. В результате решения задачи Штурма-Лиувилля для этой системы уравнений получаются собственные вектор-функции и собственные числа Бр (1ш5р>0). В

случае неоднородного волновода предполагается, что задача Штурма-Лиувилля решена для каждой точки {х,у} со свойствами волновода на

1 Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. АН СССР, М 1961, 215 с.

вертикале, проходящей через эту точку. Для каждого номера моды образуем парный вектор ир и два четыре-вектора и^, у^

Е* ] И "^[Ерх,Еру,20Нр,-Нр], (29)

^ ] Ур=[~Еру ,Ер,г0Нр,Я;Г.

Т над скобкой означает транспонирование. В случае неоднородного волновода эти вектор-функции зависят от всех трёх переменных {х,у,г}.

При наличии азимутальной симметрии (28) существует функционал, позволяющий представить вертикальные компоненты

электромагнитного поля е = [£г,20//г]г через векторы т.е.

е{х,у,г)=ЪаГ{х,уУр(х,у,г). (30)

р

Горизонтальные компоненты электромагнитного поля

е-1 = \Ех,Еу,ХцНу,—раскладываются по векторам и^,

с1 {х, у, г) = X [Ь? (х, у)и £ (х, у,2)+Ьур (х, у)у ${хуу,г)\ (31) р

Коэффициенты разложения (30) ар(х,у)и Ьр{х.у\Ьр{х.у) разложения

(31) удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений в частных производных

8ар Эх

= руа", (32)

Коэффициенты в общем случае являются

функциями х и у . Они определяются интегралами по поперечной координате х от горизонтальных производных элементов тензора диэлектрической проницаемости, умноженных на компоненты собственной вектор-функции и компоненты сопряженной вектор-функции. В случае однородного волновода уравнения для коэффициентов разложения различных номеров не связаны друг с другом. В этом случае для каждого ар(х,у) из системы (32) получается одно дифференциальное уравнение второго порядка типа Гельмгольца.

Двумерное телеграфное уравнение получается как следствие диагонального приближения ТЕМ моды системы (32) в случае тонкого волновода. Таким образом, можно считать оправданным использование двумерного телеграфного уравнения и в случае плавно неоднородного волновода.

В параграфе 2.3 рассматривается на основе уравнений Максвелла задача о поле вертикального электрического диполя в изотропном неоднородном волноводе с цилиндрическим возмущением, симметричным относительно источника. На рис. 3 представлена геометрия задачи.

'о

Н

О ег =оо

Рис. 3 Геометрия задачи.

В этой задаче модель среды азимутально симметрична В случае возбуждения вертикальным электрическим диполем электромагнитное поле также обладает азимутальной симметрией. Решение строится в виде разложения по модам, различным в возмущенной и невозмущенной частях волновода. При решении задачи приходится перераскладывать поле одного участка волновода по модам другого участка. Такая процедура приводит для коэффициентов разложения электромагнитного поля по модам к неоднородной линейной системе уравнений, которая в общем случае не поддаётся решению через усечение системы. Анализ причин, приводящих к системе уравнений такого типа, показывает, что причины лежат в некорректности односторонних переразложений всех компонент электромагнитного поля. Действительно, если тангенциальные компоненты магнитного поля в волноводе с меньшей высотой раскладывать на границе по модам участка волновода с большей высотой, то получаемое при этом разложение не корректно из-за того, что разлагаемое магнитное поле не удовлетворяет граничным условиям на боковой поверхности сочленения волноводов. При

аналогичном переразложении электрического поля такого противоречия не возникает, так как тангенциальная компонента электрического поля, в случае идеально отражающих стенок волновода, равна нулю на боковой поверхности сочленения, что и подразумевается при разложении поля участка с низкой высотой по модам участка с большей высотой.

Для получения системы алгебраических уравнений в работе используется оригинальный метод, который можно назвать метод двойного переразложения. В случае системы уравнений для коэффициентов разложения по модам внутреннего волновода, электрическое поле моды волновода с малой высотой раскладывается по электрическому полю мод внешнего участка. Принцип излучения во внешнем участке позволяет по электрическому полю найти тангенциальное магнитное поле на границе. Это магнитное поле раскладывается назад по магнитному полю внутреннего волновода. Результатом таких переразложений является на внутренней поверхности сочленения матричный адмитанс внешнего волновода, связывающий тангенциальное магнитное поле с тангенциальным электрическим. Наличие такого адмитанса приводит к системе алгебраических уравнений, решение которой через усечение системы допустимо.

Показывается, что, при малом или сравнимом с высотой волновода радиусом возмущения, дальнее поле от вертикального диполя получается точно методом двумерного телеграфного уравнения, рассматриваемого в однородном волноводе со свойствами внешней части неоднородного волновода. Неоднородность волновода проявляется в эффективности возбуждающего источника, которая тем больше, чем больше радиус возмущения. При радиусе возмущения, гораздо большем высоты волновода, дальнее поле от вертикального диполя получается точно методом двумерного телеграфного уравнения, рассматриваемого в неоднородном волноводе со скачкообразном изменении его параметров.

В параграфе 2.4 развивается техника парных разложений, связанных с задачами Штурма-Лиувилля с целью представления по модам шести компонентного электромагнитного поля. Такое представление необходимо в случае, когда поле зависит от трёх координат.

В параграфе 2.4, также как в параграфе 2.3, рассматривается на основе уравнений Максвелла задача о поле вертикального электрического диполя в неоднородном волноводе с цилиндрическим возмущением. Однако возмущение предполагается произвольно

расположенным относительно источника. В этом случае электромагнитное поле вертикального электрического диполя зависит от трёх пространственных координат и решение строится на основе представления по нормальным волнам, данным в параграфе 2.4. При решении задачи используется тот же модифицированный метод сшивания для поля в нерегулярном волноводе в случае скачкообразного изменения его свойств. Выводы о границах применимости двумерного телеграфного уравнения, сделанные в параграфе 2.3, уточняются при произвольном расположении источника относительно центра неоднородности.

Глава 3 посвящена построению моделей параметров двумерного телеграфного уравнения: поверхностной плотности ёмкости и матричной локальной индуктивности, приемлемых в условиях реальной земной ионосферы на частотах ниже 500 Гц. Основное содержание главы изложено в публикациях [1, 4-6,12, 15, 19, 21, 24, 2830, 40].

В параграфе 3.1. даётся в общем виде схема получения параметров двумерного телеграфного уравнения: по электромагнитному полю ведущей нормальной волны, соответствующей анизотропной ионосфере. Для определения локальной индуктивности наряду с полем самой нормальной волны привлекается поле нормальной волны, распространяющейся с близким азимутом. Предположим, что волновод однородный и плоский, а нормальная волна в плоскости {х',у'} распространяется по координате х', т.е. не зависит от у'. Такая модель волновода и поля достаточна для определения параметров двумерного телеграфного уравнения. Элементы обратной индуктивной высоты v и определяются по магнитному полю нормальной волны

+СО

\Hy.dz

L = U0hL> [h~L,xx-\ =Г//у(0) ' (33)

Кух _ Кух _ J'y- _ Нх.(0)

Куу- К),, j, НУ.(0У Оставшиеся два элемента матрицы h'i электромагнитным полем нормальной волной не определяются. Предположим теперь, что направление распространения нормальной волны повернуто относительно исходного на бесконечно малый угол у/. Элементы

матрицы удовлетворяют по углу у/ следующей системе

дифференциальных уравнений

¿у, ~ дуг (з4)

дуг ду/ 1-х'*"

Дифференцируя соотношения (33) по углу у можно найти производные

от элементов дК£х>х-¡дуг и /дуг. Зная эти производные и сами

элементы й^у и А^у, по формулам (34) найдем к~[хху и •

Таким образом, матрица и вместе с ней матрица , обратная к ней, определяются однозначно для любого угла поворота у/.

В параграфе 3.2. рассматривается модель поверхностной плотности емкости С на основе электромагнитного поля ведущей нормальной волны. Подтверждается выражение для неё в виде интеграла по высоте от элемента тензора комплексной диэлектрической проницаемости ионосферы, полученного в первой главе как параметра, описывающего поведение ионосферного импеданса на земной поверхности как функцию спектрального параметра Б .

В параграфе 3.3 формулируется практически важная приближенная модель локальной индуктивности, сводящая её к матричному импедансу ионосферы на уровне земной поверхности при нормальном падении плоской волны снизу на плоскую горизонтально однородную анизотропную ионосферу, т.е. формулу (16).

В параграфе 3.4, развивая возможность получения матричной индуктивности ионосферы по матричному импедансу ионосферы на уровне земной поверхности при нормальном падении плоской волны снизу, показывается, что в диапазоне СНЧ горизонтальные компоненты земного магнитного поля практически не оказывают влияние на этот параметр. Локальная матричная индуктивность зависит только от вертикальной составляющей земного магнитного поля на вертикали, проходящей через точку на земной поверхности, к которой относится эта матричная индуктивность. Даже на магнитном экваторе, где нет вертикальной компоненты земного магнитного поля и имеются лишь горизонтальные компоненты, локальная индуктивность может быть получена по изотропной модели ионосферы. В предположении, что

электронная концентрация зависит от высоты экспоненциально, получается аналитическую модель локальной индуктивности как функции частоты.

В параграфе 3.5 приводится модель ионосферы для электромагнитного поля КНЧ и СНЧ диапазонов. В этом частотном диапазоне область ионосферы, формирующая локальную индуктивность простирается от 70 до 2000 км., а ионосферную плазму следует рассматривать как плазму с замагниченными ионами. В этом параграфе построено четыре модели профиля электронной концентрации, профиля частоты соударений электронов с нейтралами и ионами, профиля частоты соударений ионов с нейтралами, профиля средней массы иона. Модели различаются для ночи и дня, а также сильной и слабой солнечной активностью.

В параграфе 3.6, используя модель ионосферы, полученной в параграфе 3.5, получается модель локальной индуктивности, пригодная в диапазоне частот 0,1-50 Гц. Описывается численная процедура её получения и приводятся частотные графики её элементов для различных моделей ионосферы.

В главе 4 собраны решения двумерного телеграфного уравнения, относящиеся к описанию распространения радиоволн в сферическом анизотропном неоднородном волноводе Земля-ионосфера. Основное содержание главы изложено в публикациях [11, 22, 23, 26, 27, 31-36,38,39].

В параграфе 4.1 рассматривается задача о распространении электромагнитных волн в неоднородном волноводе в рамках двумерного телеграфного уравнения. Волновод предполагается сферическим и кусочно однородным. На одной почти полусфере его параметры (локальная индуктивность и поверхностная плотность ёмкости) соответствуют параметрам ночной ионосферы в изотропном приближении; на другой чуть более полусфере его параметры соответствуют параметрам дневной ионосферы в изотропном приближении. Рассматриваются случаи возбуждения волновода вертикальным электрическим диполем, что соответствует стороннему точечному напряжению, и горизонтальным электрическим диполем, что соответствует точечному векторному удельному напряжению, направленному по диполю. Модель параметров двумерного телеграфного уравнения азимутально симметрична, однако поле напряжения двумерно из-за произвольного положения источника. Пусть для определённости источник находится в дневной части волновода. Сначала строится поле напряжения от точечного источника в

предположении глобально однородной дневной модели волновода, в виде разложений по сферическим функциям и их производным. Значок vd присоединённых функций Лежандра Р™ (cos (?) или Р™ (cos(- £?)) определяется индуктивной и ёмкостной высотами дневной части волновода ^ (l +1',/) = к2 a2 hLd jhc d . Затем это поле рассматривается

как падающее и к нему в дневной части добавляется поле, отраженное от границы раздела, а в ночной части прошедшее поле. Коэффициенты разложения в этих полях получаются с использованием граничных условий, которыми являются непрерывность напряжения и нормальной к границе компоненты поверхностного тока.

В качестве примера расчётов поля рассмотрим две спектральные гармоники на частотах 100 Гц и 150 Гц вертикальной компоненты электрического поля Ег от электрического разряда, происходящего в области экватора в любой момент суток. Разряд будем считать мгновенным и вертикальным от дипольного момента в. 1 К км. Приемник расположен в окрестности Нижнего Новгорода так, что расстояние между ними равно 7 Мм.

Суточный ход амплитуды спектральной гармоники Ег атмосферика 'ЧЗС

Рис. 4. Зависимость поля от времени

На рисунке отмечены времена, когда оба корреспондента находятся в дневной, в ночной или переходной областях, когда источник

в дне, а приемник в ночи, либо наоборот. Вариации поля от дня к ночи составляют 5 дБ на частоте 100 Гц и 8 дБ на частоте 150 Гц. Из рисунка, особенно в ночи, видно, что вариации начинаются раньше наступления переходных условий распространения, что указывает на влияние отражения от терминатора.

В параграфе 4.2, также как и в параграфе 4.1, рассматривается задача о распространении электромагнитных волн в кусочно однородном волноводе при дополнительном частотном ограничении ниже 5 Гц, т. е. ниже частоты первого шумановского резонанса. Рассматриваются случаи возбуждения волновода вертикальным электрическим диполем, что соответствует стороннему точечному напряжению, и горизонтальным электрическим диполем, что соответствует точечному векторному удельному напряжению, направленному по диполю. Источники возбуждения произвольно расположены на дневной или ночной частях волновода. Принятые ограничения по частоте означает, что на любом удалении от источника на земной поверхности поле находится в квазистатической зоне расстояний. Это позволяет просуммировать ряды по присоединённым функциям Лежандра, фигурирующим в разложении для напряжения.

В параграфе 4.3 получено как решение двумерного телеграфного уравнения электромагнитное поле от вертикального и горизонтального источников в диапазоне частот 0,1 — 30 Гц с учетом анизотропии, вертикальной и горизонтальной неоднородностей ионосферы, сферичности Земли и ее конечной проводимости. В частотном диапазоне 0,1-5 Гц выражения для поля имеют глобальный характер, то есть применимы на любом расстоянии от источника. На частотах выше 5 Гц применимость формул ограничена волновой зоной, то есть они не годятся при слишком большом удалении от источника.

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Разработан и обоснован новый метод двумерного телеграфного для описания распространения электромагнитных волн в тонких анизотропных двухпроводных поверхностных волноводах с трёхмерными неоднородностями.

2. Введены новые физические понятия: поверхностная плотность ёмкости С и матричная локальная индуктивность Ь.

3. Получены соотношения, связывающие электромагнитное поле на земной поверхности с поверхностным полем напряжения и поверхностной плотности тока.

4. Получены сторонние источники в двумерном телеграфном уравнении, соответствующие вертикальному и горизонтальному электрическим диполям.

5. Получены, приемлемые на частотах ниже 1 кГц к волноводу Земля-ионосфера, модели параметров двумерного телеграфного уравнения

6. Установлено, что область ионосферы, существенная для ёмкостной высоты, приходится на интервал 30-80 км; область ионосферы, существенная для индуктивной высоты, простирается от 70 до 2000 км. Доказано, что в СНЧ-диапазоне горизонтальные компоненты земного магнитного поля не оказывают практического влияния на индуктивную высоту, следствием чего оказывается инвариантность матрицы индуктивной высоты относительно вращения в горизонтальной плоскости.

7. Получены для ночи и дня при сильной и слабой солнечной активности модели профилей ионосферных параметров в интервале 702000 км, определяющих ионосферную часть индуктивной высоты; на частотах выше 50 Гц аналитическая как функция частоты модель индуктивной высоты;

на частотах ниже 50 Гц численная модель индуктивной высоты, основанная на интегрировании бивектора от верхней границы существенной области до нижней, обеспечивающего возможность получения ионосферного матричного импеданса наземной поверхности.

8. С целью обоснования метода двумерного телеграфного уравнения в одномодовом приближении по ведущей нормальной волне строго решена задача о электромагнитном поле от вертикального и горизонтального электрических диполей в плоском однородном волноводе с произвольной анизотропией. Показано, что электромагнитное поле, полученное по двумерному телеграфному уравнению, совпадает с этим полем точно. Оно совпадает также точно с электромагнитным полем ведущей нормальной волны в изотропном сферическом волноводе.

9. На основе оригинального метода поперечной координаты, пригодного для рассмотрения электромагнитного поля в плавно неоднородном волноводе с азимутально симметричной анизотропией, в диагональном приближении получено двумерное телеграфное уравнение.

10. Оригинальным методом двойного переразложения различных пар компонент поля решена задача о электромагнитном поле от вертикального электрического диполя, произвольно расположенного

относительно цилиндрического возмущения ионосферы в виде опускания эффективной высоты. Показано, что метод двумерного телеграфного уравнения приводит к значительным ошибкам в дальнем поле лишь в случае, когда источник находится в окрестности резкого падения эффективной высоты, горизонтальные размеры которой порядка эффективной высоты. Электромагнитное поле, полученное по двумерному телеграфному уравнению, не соответствует реальному в окрестности точечного источника порядка эффективной высоты волновода.

11. Методом двумерного телеграфного уравнения точно решены задачи о поле напряжения от точечного стороннего напряжения и точечного стороннего векторного удельного напряжения в изотропном кусочно-однородном сферическом волноводе, имитирующим переход от дня к ночи. Источник поля расположен произвольно относительно неоднородности. Двумерное поле напряжения представлено в виде ряда по сферическим функциям.

Применительно к частотному диапазону ниже 5 Гц ряды для напряжения в сферической кусочно-однородной модели волновода просуммированы, что привело к аналитическому представлению для напряжения.

Методом двумерного телеграфного уравнения приближенно решены задачи о поле напряжения от точечного стороннего напряжения и точного стороннего векторного удельного напряжения в анизотропном неоднородном сферическом волноводе. Приближение ограничено квази статической зоной в окрестности источника.

Все, приведённые выше результаты получены впервые. Автору принадлежит постановка задачи, аналитические исследования и алгоритм для' численных расчётов. Расчёты и программы для них проведены коллегами Галюком Ю.П., Копейкиным В.Н., Муштаком В.К.

Все задачи, рассмотренные в диссертации, доведены до программной реализации, следствием которой явились численные результаты в виде графиков. В этой части автору принадлежит алгоритм и участие в отладке программ.

Основные публикации по теме диссертации.

1. Гаврилова Н.С., Кириллов В.В. Распространение СДВ. Расчёт коэффициентов отражения плоских волн от неоднородной анизотропной плазмы.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1966. Вып. 5. С. 31-50.

2. Гусева Э.Г., Кириллов В.В., Рыбачек С.Т. Волноводное распространение сверхдлинных радиоволн. Сравнение сферической и плоской моделей.// Геомагнетизм и Аэрономия. 1968. Т.8. №1. С. 62-71.

3. Кириллов В.В. К модели распространения радиоволн диапазона СНЧ и СДВ в волноводном канале Земля-ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1972. Вып.11. С. 120128.

4. Кириллов В.В. Приближенный расчёт отражения волн от неоднородного поглощающего полупространства.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1972. Вып.11. С. 129142.

5. Кириллов В.В., Пронин А.Е. Об отражении очень длинных волн от неоднородной среды.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1974. Вып.13. С. 110-120.

6. Кириллов В.В. Области, существенные при отражении электромагнитных, волн от неоднородных проводящих слоёв.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1978. Вып. 16. С.99-119.

7. Кириллов В.В. Некоторый метод расчёта поля СДВ вертикального электрического диполя в волноводном канале Земля-ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1979. Вып.17. С.57-76.

8. Кириллов В.В. Риманова геометрия в задаче об определении амплитуды волнового поля методом геометрической оптики.// Проблемы дифракции и распространения воли. Л.: ЛГУ. 1979. Вып.17. С. 101-121.

9. Кириллов В.В. Некоторый метод расчёта поля СДВ вертикального магнитного диполя в волноводном канале Земля-ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1981. Вып.18. С. 87-103.

10. Кириллов В.В. Электромагнитные волны в узкой сферической полости с анизотропными импедансными стенками.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1983. Вып.19. С. 3035.

11. Галюк Ю.П., Кириллов В.В., Копейкин В.Н., Муштак В.К. О связи СНЧ-шума с мировой грозовой активностью.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1983. Вып.19. С. 205216.

12. Кириллов В.В., Судов Н.Л. Оценка верхней границы области отражения СДВ в ночных условиях.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1986. Вып.20. С. 165-181.

13. Гюннинен Э.М., Кириллов В.В., Копейкин В.Н. Дифракция электромагнитной волы на шаре. Суммирование рядов Ми.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1987. Т.ЗО. №4. С. 522-528.

14. Галюк Ю.П., Кириллов В.В., Макаров Г.И. Поле в тонких неоднородных волноводах.// Распространение радиоволн километрового диапазона. Апатиты: КФАН. 1987. С. 45-50.

15. Галюк Ю.П., Георге A.B., Кириллов В.В. Положение области, существенной при отражении от ионосферы электромагнитных волн СНЧ-диапазона.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1989. Вып.22. С. 85-97.

16. Кириллов В.В., Копейкин В.Н. Влияние локальной неоднородности на излучательную способность вертикального молниевого разряда.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1989. Вып.22. С.123-130.

17. Кириллов В.В., Копейкин В.Н. Влияние локальной произвольно расположенной неоднородности ионосферы на излучательную способность вертикального молниевого разряда.// Проблемы дифракции и распространения волн. С-Пб.: С-ПбГУ. 1992. Вып.24. С. 39-61. .

18. Кириллов В.В. Поле электрического диполя в плоском

анизотропном волноводе.// Проблемы дифракции и распространения волн. С-Пб.: С-ПбГУ. 1993. Вып.25. С. 24-35.

19. Кириллов В.В. Параметры волновода Земля-ионосфера в диапазоне СНЧ7/ Проблемы дифракции и распространения волн. С-Пб.: С-ПбГУ. 1993. Вып.25. С. 35-53.

20. Кириллов В.В. Двумерная теория распространения электромагнитных волн СНЧ-диапазона в волноводном канале Земля-ионосфера.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1996. Т. 39. №9. С. 1103-1112.

21. Кириллов В.В., Пронин А.Е. Положение существенной области для дальнего поля от СНЧ-до СВ-диапазона.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1997. Вып.27. С. 95-101.

22. Кириллов В.В., Копейкин В.Н., Муштак В.К.. Электромагнитные

волны СНЧ-диапазона в волноводном канале Земля-ионосфера.// Геомагнетизм и Аэрономия. 1997. Т.37. №3. С. 114-120.

23. Кириллов В.В., Копейкин В.Н. Влияние круглого малого

возмущения на дальнее поле СНЧ-диапазона.// Низкочастотный волновод «Земля-ионосфера» Алма-Ата: Гылым. 1991. С. 13-16.

24. Кириллов В.В. Параметры двумерного телеграфного уравнения в диапазоне СНЧ.// Радиотехника и Электроника. 1998. Т. 43. №7. С. 779-785.

25. Кириллов В.В. Двумерная теория распространения электромагнитных волн СНЧ- и КНЧ-диапазонов в волноводном канале Земля-ионосфера.// Космическая радиофизика. М.: 1998. ВыпЗ.С. 11-26.

26. Кириллов В.В. Двумерная теория распространения

электромагнитных волн СНЧ- и КНЧ-диапазонов в волноводном канале Земля-ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. С-Пб.: С-ПбГУ. 2000. Вып.28. С. 184-204.

27. .Кириллов В.В., Копейкин В.Н. Решение двумерного телеграфного уравнения с анизотропными параметрами.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 2002. Т.45. №12. С. 1011-1025.

28. Кириллов В.В, Копейкин В.Н. Формирование резонансной структуры локальной индуктивности ионосферы в диапазоне 0,1-10 Гц..// Изв. ВУЗов Радиофизика. 2003. Т.46. №1 С 1-12.

29. Кириллов В.В., Хованская Н.С. Об оценке области, существенной при отражении длинных волн в ночных условиях.// Тез. докл. 10-ой Всесоюз. конф. ( секц.1). Иркутск. М: Наука. 1972. С. 208-212.

30. Кириллов В.В., Проскурин Е.П. Определение отражательных характеристик СДВ-волн с использованием бивектора.// Тез. докл. 12-ого Межвед.. семинара по распространению километровых и более длинных радиоволн. Красноярск: АН СССР. 1986. С. 13-15.

31. Kirillov, V.V. Equation des télégraphistes à deux dimensions.// Actes du 9 ème Colloque International sur la Compatibilité Electromagnétique. Les 8, 9, 10 et 11 juin 1998. Brest France. A 26-29.

32. Кириллов В.В. Метод поперечной координаты.// Тез. докл. Региональной VIII конференции по распространению радиоволн. Санкт-Петербург, 29-30 октября 2002. Санкт-Петербург: РАН. 2002. С. 10.

33. Кириллов В.В., Козина О.Г., Лутченко Л.Н., Макаров Г.И., Новиков В.В., Орлов А.Б. Эффекты влияния неоднородностей при распространении километровых и более длинных волн в волноводном канале Земля-ионосфера.// В тез. докл. XVI конф. по распространению радиоволн. Харьков, октябрь 1990. Харьков: АНСССР. 1990, часть 1. С.262-265.

34. Галюк Ю.П., Кириллов В.В., Муштак В.К.. Влияние нерегулярности

ионосферы типа день-ночь на распространение атмосфериков в шумановском диапазоне частот.// В тез. докл. XV конф. по распространению радиоволн Алма-Ата, октябрь 1987. М.: Наука. 1987. С.214.

35. Макаров Г.И., Кириллов В.В., Козина О.Г., Лутченко Л.Н., Новиков

B.В., Орлов А.Б., Рыбачек С.Т. Новые результаты в проблемах анализа возбуждения и распространения радиоволн 10 Гц-300 кГц. моделирования среды и прогнозирования параметров радиопомех// В тез. докл. XVII конф. по распространению радиоволн. Ульяновск, 21-24 октября 1993,. Ульяновск: РАН. 1993, секция 8. С. 70-73.

36. Галюк Ю.П., Кириллов В.В., Копейкин В.Н., Муштак В.К. Мировая грозовая активность и СНЧ-шум.// В тез. докл. Всесоюзной конференции "Приём сверхнизкочастотных колебаний и устройства для их обработки", Воронеж, 15-17 февраля 1983. Воронеж: АНССР. 1983. С. 1.

37. Галюк Ю.П., Кириллов В.В. Двумерные телеграфные уравнения.// Региональная научно-техническая конференция. Секция «Ионосфера и распространение радиоволн» 12-13 апреля 1985. Новосибирск: Научно-техническое общество радиотехники, электроники и связи имени A.C. Попова. 1985. С. 20.

38. Галюк Ю.П., Кириллов В.В. Копейкин В.Н., Муштак В.К. Влияние отражения от терминатора на распространение СНЧ атмосфериков.// Тез. докл. 14-ого Межвед.. семинара по распространению километровых и более длинных радиоволн. Горький: АН СССР. 1989. С. 67-68.

39. Кириллов В.В. Копейкин В.Н. Одновременное влияние нескольких малых возмущений ионосферы на дальнее поле СНЧ-диапазона.// Тез. докл. 16-ого Межвед.. семинара по распространению километровых и более длинных радиоволн. Омск: АН СССР. 1990.

C. 33-34.

40. Кириллов В.В., Орлов А.Б., Рыбачек С.Т., Уваров А.Н., Хованская Н.С. Области, существенные при отражении волн.// Тез. докл. VI Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн. Цахкадзор 1973. Москва-Ереван: АН СССР. 1973. секц. ЗА' 2 с..

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 17.11.05 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 2. Тираж 100 экз., Заказ № 272/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.