Двумерное телеграфное уравнение и его применение к задачам радиофизики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение 5 Тема исследования и обзор литературы

Цель диссертационной работы

Публикация материалов диссертации и её краткое содержание

Положения, выносимые на защиту

1. Двумерное телеграфное уравнение

1.1. Поверхностная форма уравнения сохранения заряда

1.2. Связь между электромагнитным полем и поверхностными плотностями заряда и тока

1.3. Двумерное телеграфное уравнение

1.4. Индуктивная и емкостная высоты, определяемые по электромагнитному полю нулевой моды в изотропной плоскослоистой модели волновода

1.5. Оценка влияния сферичности волноводного канала на параметры hLH hc

1.6. Стороннее напряжение, соответствующее вертикальному электрическому диполю

1.7. Поле точечного источника в однородном изотропном волноводе

1.8. Стороннее удельное напряжение, соответствующее горизонтальному электрическому диполю

1.9. Поле стороннего удельного напряжения в однородном изотропном волноводе

1.10. Параметры двумерного телеграфного уравнения в случае изотропной непрерывной модели ионосферы

1.11. Неоднородный волновод в методе двумерного телеграфного уравнения

2. Обоснование применимости метода двумерного телеграфного уравнения

2.1. Распространение электромагнитных волн в плоском анизотропном одномодовом волноводе

2.2. Метод поперечной координаты для уравнений Максвелла

2.3. Влияние локальной неоднородности на электромагнитное поле вертикального электрического диполя

2.4. Поле смещенного источника в регулярном плоском изотропном волноводе

2.5. Влияние локальной произвольно расположенной неоднородности на электромагнитное поле вертикального электрического диполя

3. Параметры двумерного телеграфного уравнения в диапазоне частот 0,1-500 Гц

3.1. Определение поверхностной емкости С и локальной индуктивности Ь по ведущей моде

3.2. Емкостная высота

3.3. Приближенная модель локальной индуктивности

3.4. Приближенная модель Ь в СЫЧ - диапазоне

3.5. Модель ионосферы для электромагнитного поля КНЧ и

СНЧ диапазонов

3.6. Определение матричной локальной индуктивности в диапазоне

0,1-50 Гц

4. Некоторые решения двумерного телеграфного уравнения

4.1 Точное решение двумерного телеграфного уравнения для случая неоднородности волновода типа день - ночь

4.2 Приближенный квазистатический метод расчета поля

4.3 Решение двумерного телеграфного уравнения с учетом анизотропии и неоднородности

Тема исследования и обзор литературы

Диссертация посвящена теоретическим вопросам проблемы распространения электромагнитных волн в двухпроводных поверхностных волноводах. Под двухпроводными поверхностными волноводами мы понимаем волноводы, образованные двумя изолированными друг от друга проводниками в виде пластин. Распространение электромагнитных волн происходит в полости между пластинами. По отношению к классическим волноводам в виде трубы, где распространеннее волн одномерно вдоль трубы» а поперечное сечение двумерно, в двухпроводных поверхностных волноводах распространение двумерно, а поперечное сечение одномерно в виде линии. В случае, когда классический двухпроводный волновод тонкий, то есть расстояние между проводниками мало по сравнению с длиной волны, распространение волн в таком волноводе успешно описывается уравнением телеграфистов, что значительно проще описания в рамках системы уравнений Максвелла. Мы предлагаем для описания распространения электромагнитных волн в тонких двухпроводных поверхностных волноводах сформулированное нами в 1985 [189] году двумерное телеграфное уравнение. Описание электромагнитного поля в рамках двумерного телеграфного уравнения является новым методом решения задач электродинамики.

Метод применён к проблеме распространения радиоволн частот ниже 1 кГц в околоземном волноводном канале с учётом его анизотропии и горизонтальной неоднородности. Волновод Земля-ионосфера представляет собой двухпроводный поверхностный волновод. Одним его проводником является Земля, другим проводником ионосфера. Несмотря на то, что ионосфера плавно начинается от поверхности Земли, можно считать, что они изолированы друг от друга. На частотах ниже 1 кГц этот волновод тонкий. Источник (вертикальный, горизонтальный электрические диполи) равно как и приёмник предполагаются расположенными вблизи поверхности Земли. Магнитная проницаемость всех сред близка к магнитной проницаемости вакуума.

Нижней стенкой волноводного канала является шар с диэлектрической проницаемостью и проводимостью слоистыми по глубине и горизонтальной неоднородностью типа лоскутного одеяла. Верхней стенкой волновода является ионосфера, характеризуемая комплексным тензором диэлектрической проницаемости, который непрерывно зависит от высоты, начиная от земной поверхности, и зависит также от горизонтальных переменных. Ионосфера не имеет очерченной нижней границы. Однако её электрические свойства вблизи поверхности Земли к свойствам вакуума, что образует между Землёй и ионосферой полость порядка 40-70 км. Конкретные высоты полости зависят от частоты и вертикального профиля комплексной тензорной диэлектрической проницаемости над рассматриваемой точкой на земной поверхности. Распространение радиоволн как раз проходит в этой полости. Роль Земли и ионосферы сводится к образованию волновода.

Волновод Земля-ионосфера можно рассматривать также как волновод классического типа, так и как двухпроводный поверхностный волновод. В этом случае поперечным сечением будет, например, поверхность неограниченного конуса: 6 = константе, широтная координата сферической системы координат. Нормальные моды такого волновода характеризуются двумя индексами и зависят от положения точки на поверхности конуса. Электромагнитное поле в каждом сечении можно представить в виде ряда по этим нормальным волнам с коэффициентами, которые зависят от координаты 0, единственно вдоль которой распространяется нормальная волна. Нормальные волны характеризуют распределение электромагнитного поля по поперечному сечению волновода. Во случае, когда этот волновод рассматривается как поверхностный, вместо поперечного сечения будет поперечная, радиальная координата г сферической системы координат. Задавшись направлением распространения нормальной волны в горизонтальной сферической поверхности, получаем уравнения для нормальных волн такого волновода. Эти нормальные моды характеризуются одним индексом и зависят от положения точки на вертикали. Кроме того они зависят в общем случае анизотропного волновода от выбранного горизонтального направления распространения волны. В этом общем случае не существует теоремы разложения, позволяющей представить электромагнитное поле в каждой горизонтальной точке с координатами {0, ф} в виде ряда по этим нормальным волнам с коэффициентами, которые зависят от этих координат. Если нормальные волны не зависят от горизонтального направления распространения волны, то такие разложения возможны.

Электрические свойства стенок волновода Земля-ионосфера сравнению со свойствами стенок технических волноводов, неидеальные и анизотропные, что поднимает, при исследовании нормальных волн, такие проблемы, которые не встречаются в обычных волноводах, например, проблему вырождения нормальных волн, проблему учёта анизотропии волновода. Рассматриваемый в широком диапазоне частот ниже 300 кГц, волновод Земля-ионосфера от многомодового превращается в одномодовый на частотах ниже 1 кГц. Под термином одномодовый волновод понимается волновод, у которого одна распространяющаяся нормальная волна и остальные нормальные волны местные. Волновод такого типа является тонким волноводом, характеризуемым условием кЬ«1, где к - волновое число, а Ь - эффективная высота полости волновода.

В диссертационной работе и обзоре ограничимся случаем расположения передатчика и приёмника у поверхности Земли и удаления друг от друга на расстояние более 100 км, далее которого при таком расположении передатчика и приёмника следует учитывать ионосферу, и начинает проявляться волноводный механизм распространения. Теория распространения радиоволн в волноводе Земля-ионосфера является ветвью теории распространения волн в слоистых средах [1, 2]. Слоистые среды в случае волновода по отношению к слоистым средам общего вида ограничены тем, что образуют волновод.

Теория распространения радиоволн в волноводе Земля-ионосфера началась работой Ватсона 1911 [3], который рассмотрел задачу об электромагнитном поле вертикального электрического диполя в полости* ограниченной однородной в электрическом отношении Землёй и однородной проводящей ионосферой, расположенной выше некоторой высоты Ь. Задача решалась путём построения рядов Дебая для вертикальной компоненты потенциала Герца, преобразованием их с помощью преобразования Ватсона 1911 [4] в интеграл и последующим вычислением интеграла по вычетам, что и даёт разложение электромагнитного поля нормальным волнам. В работе получен коэффициент затухания одной из них (квази ТЕМ моды), которой считалось достаточным для представления поля на больших расстояниях от источника. В модели однородных и проводящих Земли и ионосферы коэффициент затухания этой моды пропорционален квадратному корню из частоты. Сопоставлением вычисленного затухания с эмпирическим по Остину [5], которое также растёт как корень квадратный из частоты, оценена проводимость ионосферы в 10"4 См/м, т. е. уже в первой работе решена обратная задача. Однако полученное значение проводимости более чем на два порядка превышает проводимость ионосферы на высотах 60-80 км. При решении обратной задачи предполагалось, что частоты электромагнитных колебаний выше 30 кГц. В этом частотном диапазоне, как мы сейчас знаем, волновод Земля-ионосфера многомодовый и необходим учёт сферичности волноводного канала для характеристики нормальных волн. В этих условиях исследованная нормальная волна отсутствует. Она становится ведущей на частотах ниже 1 кГц.

Вычисление интеграла, полученного преобразованием Ватсона, по вычетам требует деформации исходного контура интегрирования. В случае, когда электрическая модель Земли характеризуется однородной или слоистой по глубине проводимостью, остаётся интегральная часть, которая интерпретируется как вклад от сплошного спектра поперечного оператора. При импедансной модели Земли, то есть когда считается, что поверхностный импеданс Земли не зависит от переменной интегрирования, сплошной спектр отсутствует. Оценка роли сплошного спектра проведена Ватсоном [4], Фоком [6], Бреммером [7] Берри [8]. Однако, как показали Макаров, Рыжков [9] и Макаров, Осипов [10], эти оценки сильно занижены. В случае неимпедансной модели земли имеется ещё серия "земных" полюсов. Вклад сплошной части спектра следует рассматривать вместе с вкладом от этих "земных" полюсов, что в совокупности интерпретируется как волна, просочившаяся через землю, имеющая малость порядка затухания в земле на хорде, соединяющей передатчик и приёмник.

Непосредственно без преобразования Ватсона интегральное представление для электромагнитного поля получено в [11] на основе теории операторов, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка [12].

В случае плоской геометрии волновода задача, по-видимому, впервые была рассмотрена Вейрихом [13]. В плоском волноводе, ограниченным двумя идеально проводящими плоскостями, электромагнитное поле от вертикального электрического диполя строилось через вертикальный вектор Герца, который, с учётом азимутальной симметрии поля, представляется интегралом в полубесконечных пределах, содержащим функцию Бесселя нулевого значка [15]. Преобразование интеграла к двояко бесконечным пределам интегрирования, где уже вместо функции Бесселя находится функция Ханкеля, первая или вторая в зависимости от принятой временной зависимости, открывает возможность вычисления интеграла по вычетам или другим способом, называемым ранее лучевым разложением, а теперь разложением по скачкам. В работе [13] даны разложения по вычетам {нормальным волнам} и по скачкам. Работы [16,17] обобщают рассмотрение на случай однородной ионосферы, а в [18] модель среды становится такой же как у Ватсона [3], только в плоской геометрии волновода.

Коэффициенты отражения при однородной модели ионосферы не соответствуют действительности. Например, экспериментальные значения шумановских частот и их добротностей [19, 20, 21] не удаётся получить одновременно теоретически при любом выборе параметров однородной модели [21], т. е., если получаются частоты, то не получаются добротности и наоборот. В работе [22] при некоторых высотных профилях электронной концентрации и частот соударений электронов получено хорошее совпадение рассчитанных значений собственных частот и их добротностей экспериментальными значениями для первых пяти частот. По-видимому, впервые, с целью получения коэффициентов отражения, ионосферу как неоднородную среду рассматривал Экерслей в 1932 [23], который методом фазовых интегралов получил коэффициенты отражения применительно к ДВ-диапазону. Такой способ рассмотрения отражения радиоволн ДВ-диапазона подтверждается современными исследованиями [24], где вертикальное распределение поля описано комплексными лучами, что практически эквивалентно методу фазовых интегралов. Непрерывная по высоте ионосфера предполагалась также в работе [25].

В СДВ-диапазоне и ниже по частоте меняется механизм отражения от ионосферы, который можно назвать градиентным, имея в виду, что отражение обусловлено изменением тензора комплексной диэлектрической проницаемости. Точки поворота, даже комплексные, теряют физический смысл, а вместе с ними становится не применим метод фазовых интегралов. Численный метод расчёта коэффициентов отражения оказывается единственно возможным. В этой связи становится важным установление области, существенной для отражения радиоволн.

Первой работой по определению положения области, существенной при отражении, можно считать работу Байта и Вальтеса [26], где на экспоненциальную модель проводимости накладывалось возмущение типа гауссоиды. Область, существенная для отражения, определялась по анализу зависимости коэффициента отражения от высотного положения возмущения. Однако систематические исследования положения области, существенной для отражения, на кафедре Радиофизики Физического факультета Ленгосуниверситета. В работе [27], следуя методике [26], для дневной модели ионосферы получено конкретное положение области отражения радиоволн СДВ-диапазона. В других работах [29-37, 24] определение положение области отражения базируется на другой методической основе. Считается, что область, существенную при отражении, можно определить только, задаваясь допустимой погрешностью в характеристиках отражения. С уменьшением допустимой погрешности область обязательно увеличивается. С увеличением погрешности область сокращается. Выше верхней границы существенной области электромагнитное поле распространяется в ионосферу без отражения и может быть описано и методом ВКБ. Оценка точности ВКБ-метода даёт положение верхней границы области отражения. Нижняя граница области получается из оценки допустимости замены ионосферы вакуумом ниже этой границы. Проведены исследования положения области, существенной при отражении, для дневной и ночной моделей ионосферы в широком частотном диапазоне от СВ до КНЧ. Показано, что размер области немонотонно зависит от частоты вследствие смены механизма отражения и значительно увеличивается в СНЧ и особенно сильно в КНЧ-диапазонах. Верхняя граница для волн СНЧ-диапазона приходится на высоты порядка 110-120 км и увеличивается до 2000 км с понижением частоты до 0,1 Гц. Нижняя граница опускается с понижением частоты от частот СДВ-диапазона, достигая высот в 30-40 км в диапазонах СНЧ и КНЧ.

По-видимому, впервые, рассмотрение нормальных волн с учётом анизотропии проведено Бадденом 1952 [38], где электромагнитное поле в ионосфере рассматривалось в квази-продольном приближении.

В случае плоского анизотропного волновода поле в ионосфере рассматривается на основе системы уравнений Клеммова-Хединга [39], являющейся системой четырёх дифференциальных уравнений первого порядка по вертикальной координате ъ относительно тангенциальных составляющих электромагнитного поля. Система координат {х,у,г} выбрана так, что электромагнитное поле в горизонтальной плоскости не зависит от у, а зависимость от х в виде ехрОкБх), где к-волновое число, а Б-параметр, имеющий смысл синуса угла падения волны на ионосферу в её нижней части. Параметр Б входит в матрицу правой части системы дифференциальных уравнений. Матрица правой части определяется тензором комплексной диэлектрической проницаемости ионосферы. Зависимость поля от азимутального направления распространения волны в горизонтальной плоскости через зависимость матрицы правой части от компонент внешнего магнитного поля в выбранной декартовой системе координат, ориентированной в горизонтальной плоскости в соответствии с направлением распространения волны. В изотропном случае и в случае, когда наложенное магнитное поле направлено вертикально, симметрия тензора комплексной диэлектрической проницаемости такова, что зависимость от азимута пропадает. Правая часть в этом случае зависит только от Б2.

Система дифференциальных уравнений Клеммова-Хединга легко обобщается на случай сферичекого волновода, достаточно понимать под тангенциальными составляющими электромагнитного поля соответственно их 0 -вые и ф -вые составляющие, умноженные на г/а (г-радиальная сферическая координата, а-радиус Земли). Параметр Б заменяется на Ба/г. Таким образом, считается, что в горизонтальном направлении поле зависит только от 0 и не зависит от ср.

В теории распространения радиоволн используется также цилиндрическая модель волновода [40,41], Земля считается неограниченный цилиндр радиуса а. Направление на ионосферу даётся координатой р. Поле и среда не зависят от г-направляющей цилиндра. Для такой цилиндрической системы координата р эквивалентна сферической координате г. Система уравнений Клеммова-Хединга в случае цилиндрической модели отличается от соответствующей системы сферического волновода, что не удивительно, так как в цилиндрической модели имеется только одна кривизна поверхности отражения в продольном направлении и отсутствует кривизна в поперечном направлении. В сферическом волноводе имеются одинаковые кривизны в обоих направлениях. Таким образом, цилиндрическая модель волновода не описывает корректно в общем случае вертикальное распределение поля.

Система уравнений Клеммова-Хединга интегрируется сверху вниз от верхней границы существенной области до нижней. На верхней границы существенной области для обыкновенной и необыкновенной волн задаются тангенциальные составляющие поля, рассчитываемые методом ВКБ. При этом в рассматриваемой задаче возникают погрешности, обусловленные тем, что затухание обыкновенной и необыкновенной волны при распространении в ионосферу сильно отличается друг от друга. Устойчивым при интегрировании является лишь то решение, которое быстрее убывает с ростом г. Решение для волны, сравнительно хорошо проникающей в ионосферу, неустойчиво из-за того, что, вследствие неточности задания начальных данных на верхней границе существенной области, в нём всегда присутствует первое решение, сравнительная роль которого увеличивается по мере интегрирования. Питтвеем [42] предложена коррекция, которая сводится к тому, что на каждом шаге интегрирования из полученной вектор-функции вычитается первая с коэффициентом, зависящим от шага интегрирования, то есть от координаты ъ. Вследствие этого полученное таким образом решение нельзя назвать некоторым частным решением исходной системы. Однако это обстоятельство не сказывается на отражательных характеристиках на нижней границы существенной области. Оно проявится только при восстановлении высотного поведения поля. Такой способ получения отражательных характеристик использован в [43,44,45].

Неприятности, появляющиеся при получении двух линейно-независимых решений системы уравнений Клеммова-Хединга, удаётся избежать сменой объекта интегрирования. Бадцен 1955 [46] ввёл матричный коэффициент отражения как объект интегрирования, для которого из системы уравнений Клеммова-Хединга получается матричное нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка. Это уравнение интегрируется один раз от верхней границы существенной области до нижней. Начальные данные на верхней границе задаются на основе решений для поля по методу ВКБ. Для четырёх элементов матричного коэффициента отражения при интегрировании этого уравнения сверху вниз не происходит потеря точности и можно доходить до уровня земной поверхности, что требуется для получения характеристического уравнения нормальных волн. Недостатком этого объекта является наличие его особенности на некотором уровне в ионосфере, которая может возникнуть из-за его математической конструкции типа отношений различных компонент поля. Кроме того, уравнение для матричного коэффициента отражения имеет особенность в окрестности скользящих углов падения волны, характерных для ведущих нормальных волн в диапазоне СДВ. В силу этого недостатка этот объект интегрирования не получил широкого распространения, однако этот объект использован в [46,47].

Аналогичными свойсвами обладают объекты интегрирования: адмитанс [48, 49, 50] и импеданс [51, 52]. Адмитанс — матрица, связывающая тангенциальные компоненты магнитного поля с тангенциальными компонентами электрического поля. Импеданс — обратная матрица. Для них также требуется одно интегрирование сверху вниз. Эти объекты пригодны для описания отражательных характеристик ионосферы в окрестности скользящих углов падения волны, но, также как для матричного коэффициента отражения, возможно наличие особенности на некотором уровне внутри существенной области. Адмитанс при углах падения, соответствующих ведущим нормальным волнам, близок к особенности на уровне земной поверхности, что дополнительно затрудняет его использование для нахождения характеристик распространения нормальных волн.

В [53] в качестве объекта интегрирования предложен бивектор [54], построенный на двух линейно независимых решениях системы уравнений Клеммова-Хединга, рассматриваемых как векторы четырёхмерного пространства. Бивектор удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению, не имеет особенности внутри области интегрирования, устойчив при интегрировании сверху вниз с начальными данными на верхней границе существенной области, соответствующими обыкновенной и необыкновенной волнам. В результате интегрирования до уровня земной поверхности полученное частное решение содержит все необходимые сведения о характеристиках отражения от анизотропной ионосферы.

Для анизотропного волновода определение горизонтально однородного или регулярного волновода требует специального обсуждения. В случае плоской геометрии горизонтально однородным будет очевидно такой волновод, тензор диэлектрической проницаемости которого инвариантен по отношению к трансляциям в горизонтальной плоскости. Такой тензор в любой декартовой системе координат имеет произвольную структуру с элементами, зависящими от вертикальной координаты ъ. В случае сферического волновода нет преобразования эквивалентного трансляциям в горизонтальной плоскости. Существует только более общее преобразование, которое можно связать с переходом от одной сферической системы координат к другой, что в сравнении с плоским случаем кроме трансляций имеет и вращение. Инвариантность тензора диэлектрической проницаемости по отношению к такому более общему преобразованию накладывает ограничения на его струюуру. Тензор диэлектрической проницаемости должен удовлетворять условиям: = е'0г= е'Гф= е'фГ = О, е'0ф=-с'ф01 е'ее= е'фф. В случае, когда анизотропия вызвана в ионосферной плазме внешним постоянным магнитным полем, эти ограничения соответствуют вертикальному магнитному полю. Элементы тензора, по-прежнему, не должны зависеть от горизонтальных переменных. Если тензор диэлектрической проницаемости имеет произвольную структуру, а его элементы не зависят от 9 и <р некоторой сферической системы координат, то такой волновод является нерегулярным. Допуская, что анизотропия в сферическом волноводе приводит к слабой неоднородности, такой волновод рассматривается как однородный.

Наиболее последовательное изложение задачи распространения радиоволн в регулярном сферическом анизотропном волноводе дано, на мой взгляд, в [55]. Электромагнитное поле в ионосфере рассматривается в рамках системы уравнений Клеммова-Хединга с учётом сферической слоистости ионосферы. Результатом этого рассмотрения является матричный адмитанс на нижней границе области, существенной при отражении. Этот матричный адмитанс зависит от параметра 8, имеющего смысл синуса угла падения волны на ионосферу, то есть зависит от вида падающего поля. Между земной поверхности и ионосферой выделяется воздушная полость с диэлектрической и магнитной проницаемостями, соответствующими вакууму. На нижней и верхней границах полости ставятся импедансные граничные условия с точными импедансами, в которых сохраняется зависимость от вида поля, характеризуемого синусом угла падения на уровне земной поверхности и ориентации плоскости падения волны на ионосферу.

Задача о распространении радиоволн в волноводе Земля-ионосфера, возбуждаемых в сферической полости волновода вертикальным электрическим диполем, сформулирована в сферической системе координат {г,0,ф} с началом в центре Земли и осью: 0=0, проходящей через элементарный источник - радиальный электрический диполь, расположенный в полости волновода. Электромагнитное поле в сферической полости представляется через вертикальные электрический и магнитный векторы Герца. Считается, что в этой системе координат, связанной с источником, поле обладает азимутальной симметрией, то есть, не зависит от ф. Отмеченная симметрия поля позволяет сформулировать для векторов Герца граничные условия третьего рода на верхней и нижней стенках воздушной полости через земной поверхностный импеданс и ионосферный матричный адмитанс. На нижней стенке полости нормальные производные для электрического и магнитного векторов Герца связаны с самими векторами независимо друг от друга. На верхней стенке полости эта связь затрагивает оба вектора, что является следствием анизотропии ионосферы. Сформулированные граничные условия не являются в полном смысле этого слова граничными условиями третьего рода, так как ионосферный матричный адмитанс зависит от параметра Б (синуса угла падения волны) и ориентации плоскости падения волны, совпадающей с меридиональной, которая, в свою очередь, связана с положением источника и точки наблюдения. Однако наличие этой зависимости позволяет учесть непрерывную сферическую слоистость ионосферы. Сохранение зависимости в граничных условиях от вида поля не делает их строгими в случае сферического волновода с произвольной анизотропией. При произвольной анизотропии переменные в уравнениях не делятся и используется при выводе уравнений для электромагнитного поля в ионосфере приближенное асимптотическое разделение переменных, которое не годится на горизонтальных расстояниях от источника и его антипода в несколько длин волн. Кроме того, предположение об азимутальной симметрии поля не верно в случае произвольной анизотропии. Наличие зависимости поля от ф влечёт за собой отклонение волнового вектора в горизонтальной плоскости от меридиональной плоскости [56], в то время как уравнения для поля в ионосфере связаны с вертикальной плоскостью, ориентированной волновым вектором. В работе [56] для электромагнитного поля вертикального электрического диполя дано представление по модам плоского горизонтально однородного волновода с произвольной анизотропией. Следует отметить, что электромагнитное поле в этом представлении даётся не в виде ряда по нормальным волнам, а в виде ряда, каждый член которого является интегралом от нормальной волны по азимутальной координате, отражающей ориентацию волнового вектора в горизонтальной плоскости. В случае, когда анизотропия такова, что поле обладает азимутальной симметрией, эти интегралы сводятся к соответсвующим функциям Ханкеля и это представление превращается в обычный ряд по нормальным волнам.

Для пары вертикальных компонент электрического и магнитного векторов Герца строится ряд Дебая. Синус угла падения волны в ионосферу на уровне земной поверхности связан с индексом суммирования п соотношением Э2= п(п+1)/(к2а2), где к - волновое число, а - радиус Земли.

Преобразованием Ватсона [4] получается для решения интегральное представление. Подынтегральная функция имеет особенности в некоторых точках комплексной плоскости переменной интегрирования. Вычисление интегралов по вычетам даёт разложение для потенциалов по нормальным волнам волновода Земля-ионосфера. В разложении по модам электрический и магнитный векторы Герца связаны между собой, что является следствием анизотропии верхней стенки волновода. В изотропном волноводе волны вертикальной и горизонтальной поляризаций существуют независимо и волны горизонтальной поляризаций не возбуждаются вертикальным электрическим диполем. В случае анизотропного волновода ТМ-поляризация становится квази-ТМ, что означает примесь ТЕ-поляризации в соответствующей нормальной волне. Аналогичное утверждение относится к нормальным волнам ТЕ-поляризации. Вертикальный электрический диполь возбуждает обе эти серии нормальных волн.

В представлении поля по модам фигурируют функции Лежандра и их производные, описывающие горизонтальную зависимость поля. Использование этих функций без обращения к асимптотическим выражениям необходимо, когда точка наблюдения не находится в волновой зоне, то есть на расстоянии от источника и его антипода, не превышающим несколько длин волн. В КНЧ и нижней части СНЧ-диапазонов волновая зона отсутствует на всей поверхности Земли, что делает непригодными такого типа разложения по нормальным волнам в этих диапазонах при произвольной анизотропии. С повышением частоты появляется волновая область, в которой функции Лежандра и их производные можно заменить асимптотическими разложениями. Асимптотические разложения для функций Лежандра содержат две экспоненты. Одна из них описывает распространение по волноводу нормальной волны от источника, другая описывает распространение от антипода к источнику. В каждой из этих экспонент фигурирует постоянная распространения нормальной волны. Это обстоятельство находится в случае общей анизотропии в противоречии с возможным проявлением невзаимности, когда обратные волны имеют характеристики распространения, отличные от характеристик распространения прямых волн. Обратные волны существенны на частотах, где ещё проявляется шумановский резонанс, то есть ниже 100-200 Гц. С повышением частоты увеличивается затухание нормальных волн, и обратные волны не проявляются. Для функций Лежандра можно использовать одно-экспоненциальные асимптотики и отмеченные противоречия не проявляются.

Таким образом, в случае общей анизотропии применяемое разложение по нормальным волнам регулярного сферического волновода пригодно на частотах выше 200 Гц и лишь для описания поля в волновой зоне. Для волн ИНЧ-диапазона (0,3-3 кГц) отмечена [57, 58] значительная азимутальная зависимость постоянных распространения, что указывает на необходимость привлечения трёхмерных волновых полей для описания распространения радиоволн в волноводе Земля-ионосфера.

П.Е. Краснушкин выдвинул [59] для описания поля в волноводе метод нормальных волн. Схема метода нормальных волн применительно к волноводу Земля-ионосфера реализована в [60]. Согласно схеме метода, для пары азимутально-симметричных вертикальных векторов Герца формулируется задача типа Штурма-Лиувилля в полу бесконечном промежутке (г > а). Собственным числом в этой задаче является переменная пропорциональная квадрату косинуса угла падения волны на ионосферу у поверхности Земли. Собственной функцией является пара вертикальных компонент электрического и магнитного векторов Герца. В сформулированной задаче собственные функции обладают полнотой и позволяют представить вертикальную зависимость векторов Герца и источников в виде ряда по нормальным волнам, что приводит к соответствующему представлению для электромагнитного поля непосредственно, минуя преобразование Ватсона. Анизотропия ионосферы, при этом, ограничена, случаем вертикального магнитного поля, то есть, как раз тем случаем, когда сферический волновод можно считать безоговорочно регулярным. К сожалению, эта схема метода нормальных волн не подлежит обобщению на случай анизотропии общего вида и на случай нерегулярного волновода.

В работе [61] П.Е. Краснушкиным приводится разновидность метода нормальных волн, предназначенная для рассмотрения распространения радиоволн в нерегулярном сферическом волноводе с анизотропией общего вида. Опираясь на идею трассы при распространении волн, азимутальная неоднородность учитывается тем, что тензор диэлектрической проницаемости берётся на меридиональной плоскости, соединяющей передатчик и приёмник. Относительно вертикальных однокомпонентных векторов Герца и их 9 - вых производных сформулирована система дифференциальных уравнений первого порядка по продольной координате 9 и второго порядка по поперечной координате г. Считается, что поле и среда не зависят от координаты ср. Утверждается, что приведённая система уравнений является точной в случае отсутствия зависимости тензора диэлектрической проницаемости от 9. Однако это утверждение не справедливо, так как даже при отсутствии зависимости тензора диэлектрической проницаемости от 9, в случае анизотропии общего вида невозможно получить подобную систему уравнений строго из-за отсутсвия разделения переменных в системе уравнений Максвелла в этом случае. Кроме того, выбор в качестве переменных вертикальных компонент векторов Герца для формулировки задачи распространения электромагнитных волн в нерегулярном волноводе не пригоден из-за невозможности ограничиться однокомпонентными векторами Герца в случае нерегулярного волновода. По отношению к спектральной задаче в [69], спектральная задача для системы уравнений [61] меняется качественно. Собственной вектор-функцией в [69] является пара вертикальных компонент векторов Герца. В системе уравнений [61], собственной вектор-функцией является четыре-вектор, состоящий из вертикальных компонент электрического и магнитного векторов Герца и их продольных производных. Собственные числа системы [60] имеют смысл квадрата косинуса угла падения волны на ионосферу у земной поверхности. В системе [61] собственные числа интерпретируются как синус угла падения волны. В спектре встречаются числа с положительной и отрицательной реальными частями. Собственные числа с положительными реальными частями соответствуют волнам, распространяющимся от передатчика к приёмнику, собственные числа с отрицательными реальными частями соответствуют волнам, распространяющимся в обратном направлении. В случае анизотропии общего вида собственные числа с отрицательными реальными частями не равны с обратным знаком соответсвующим собственным числам с положительными реальными частями, что является свидетельством наличия эффекта невзаимности при распространении в волноводе с общей анизотропией.

Другая форма метода нормальных волн для задачи распространения электромагнитных волн в сферическом волноводе с общей анизотропией дана в [62, 55], где, как и в [61], предполагается азимутальная симметрия, а поле и в среде. Относительно тангенциальных по отношению к наравлению распространения в волноводе компонент электромагнитного поля сформулирована система дифференциальных уравнений первого порядка по продольной координате 0 и второго порядка по поперечной координате г. Таким образом, переменные этой системы уравнений не связаны с потенциалами, как в системе уравнений [61], они являются некоторыми компонентами электромагнитного поля, что обеспечивает корректность при выводе приведённой системы уравнений, которая является точной даже в случае наличия зависимости тензора диэлектрической проницаемости от 0. В системе уравнений [62, 55] собственной вектор-функцией является четыре-вектор, состоящий из этих тангенциальных компонент электромагнитного поля. Собственные числа системы [62, 55], также как собственные числа в системе уравнений [61], имеют смысл синуса угла падения волны на ионосферу у земной поверхности. Сопряженные собственные вектор-функции, участвующие при разложении по собственным функциям спектральной задачи, удовлетворяют другой системе уравнений, отличной от исходной. В случае анизотропии общего вида, даже при отсутствии зависимости тензора диэлектрической проницаемости от 0, система дифференциальных уравнений по координате 0 оказывается связанной, как это бывает в случае нерегулярного волновода, что подтверждает правильность квалификации сферического волновода с постоянным тензором диэлектрической проницаемости как нерегулярного в случае анизотропии общего вида. Эта разновидность метода нормальных волн является версией метода поперечных сечений [63]. Поперечным сечением здесь является поверхность конуса, проходящего через параллель сферической системы координат, связанной с источником. Отсутствие зависимости тензора диэлектрической проницаемости от ф и азимутальная симметрия в поле при возбуждении волновода вертикальным электрическим диполем избавляют от необходимости рассматривать мембранные функции, отличные от □ -независимых. Однако метод поперечных сечений изложен в [62, 55] в случае азимутальной симметрии задачи при анизотропии общего вида.

Имеется большое количество работ, посвященных исследованию характеристик распространения нормальных волн в зависимости от различных параметров волновода и частоты. Отметим только некоторые из них [64-80]. В работах [64, 65] рассматривается импедансная модель волновода и устанавливается связь между ионосферным импедансом и постоянными распространения нормальных волн. Однако практическая ценность этих соотношений сильно ограничена из-за неприменимости импедансной модели для описания отражений от диффузного ионосферного слоя, когда этот импеданс относится к нижней границе существенной области. В работах [74, 75, 79, 80] также рассматривается импедансный волновод, но в них импеданс относится не к нижней границе существенной области, а к эффективной высоте, которая появляется вследствие техники пересчёта импеданса [82, 29]. В этом случае импеданс слабо зависит от угла падения волны, что делает оправданной импедансную постановку задачи.

При изучении свойств характеристик распространения нормальных волн открыто явление вырождения нормальных волн [82, 75, 79, 83-88], связанное со слиянием близких собственных значений.

Численное решение задачи разложения электромагнитного поля по нормальным волнам в регулярном анизотропном сферическом волноводе проведено в [50].

В [89-91] дано полуаналитическое решение этой задачи. Идея рассмотрения основана на пере формулировке на эффективной высоте верхней стенки волновода. Вместо матричного адмитанса граничные условия формулируются через другую матрицу а, которая связывает тангенциальные по отношению направлению распространения компоненты электромагнитного поля с продольными компонентами, то есть

Ее "

-а Е<р J V

- импеданс вакуума. В случае многомодового волновода (кЬ » 1, Ь -эффективная высота волновода), каким является волновод Земля-ионосфера в диапазоне СДВ и выше, матрицу а можно считать малой и строить выражения для собственных чисел задачи в виде рядов по земному поверхностному импедансу и элементам матрицы а. Коэффициенты в этих разложениях учитывают сферичность полости волновода, зависят от частоты и высоты волновода через приведённую высоту волновода. Эти коэффициенты получаются численно из функций Эйри [92, 93].

Альтернативный способ вычислению по вычетам интеграла для электромагнитного поля, полученного после преобразования Ватсона, является вычисление методом многократно отраженных волн (скачков) [7, 13,94-102].

Представление подынтегральной функции в виде ряда, интерпретируемого как ряд многократно отраженных волн, основано на разложении в ряд по элементам матрицы функции ОеГ^ЫУ^), которой она пропорциональна. Здесь - диагональная матрица, составленная из коэффициентов отражения от земной поверхности волн вертикальной и горизонтальной поляризаций. Я; - матричный коэффициент отражения от ионосферы на уровне земной поверхности. Нулевой член ряда не зависит от ионосферы и соответствует задаче распространения радиоволн в отсутствии ионосферы. Первой член ряда содержит коэффициент отражения от ионосферы в первой степени и называется первым скачком. Степень ионосферной матрицы коэффициента отражения повышается с ростом номера разложения. Интегралы, соответствующие полю скачков обычно вычисляются по методу стационарной фазы, что допустимо при кЬ>1 (к -волновое число, Ь - эффективная высота волновода). Для частот СДВ-диапазона и выше это условие выполняется как для ночной, так и для дневной моделей ионосферы. Седловая точка обычно получается из геометрооптических соображений, имеющих место при падении и отражении волны от уровня, определяемого эффективной высотой ионосферы. При удалении точки наблюдения по земной поверхности от источника в сферическом волноводе скачки превращаются в дифракционные и их вычисление затруднено, что ограничивает по расстоянию применение метода скачков.

Вычисление электромагнитного поля в волноводе по ряду Дебая выполнено Джолером [103-105]. Непосредственное вычисление ряда Дебая в случае, когда передатчик и приёмник находятся на одной высоте, невозможно из-за его расходимости, которая обязана поведению электромагнитного поля в окрестности источника. В работах [103-105] использована техника улучшения сходимости ряда, основанная на вычитании статического поля. Этот метод вычисления поля привлекателен тем, что не требует определения спектра нормальных волн и допускает обобщение на случай неоднородного анизотропного волновода, но для получения компонент электромагнитного поля требуется учитывать большое число членов ряда. Заметим, что в [106] также проведено суммирование ряда Дебая в случае открытой сферы, где использована другая техника улучшения сходимости, которую можно назвать мультикативной.

Для полноты изложения следует упомянуть ещё об одном методе вычисления электромагнитного поля в регулярном сферическом волноводе. Метод основан на представлении поля по модам сферического резонатора. Однако этот метод реализован [21] только для волн КНЧ-СНЧ диапазонов в импедансной модели волновода, которая не применима в этом диапазоне частот.

Из рассмотрения задачи распространения радиоволн в регулярном волноводе Земля-ионосфера можно сделать следующие выводы относительно необходимой модели волновода. Ионосфера во всём диапазоне частот должна рассматриваться как непрерывная среда. Модели ионосферы с одним, двумя однородными слоями имеют только методическое значение и приводят к значительным погрешностям при расчётах электромагнитного поля в широком диапазоне частот. Роль анизотропии ионосферы значительна как для ночной, так и для дневной моделей ионосферы на частотах ниже СДВ-диапазона. В СДВ-диапазоне и выше него анизотропия не существенна для дневной модели ионосферы. Влияние на распространение радиоволн сферической слоистости ионосферы также значительно в частотном диапазоне СДВ и выше. Именно вследствие сферичности волновода наблюдается явление концентрации электромагнитного поля у его верхней стенки. В частотном диапазоне ниже СДВ ионосферу можно рассматривать как плоскослоистую среду. При описании горизонтального распределения поля наоборот роль сферичности не существенна в частотном диапазоне СДВ и выше. Для функций Лежандра, описывающих горизонтальную зависимость в поле, годятся одно-экспоненциальные асимптотики во всём диапазоне расстояний, на которые прогнозируется поле. Вторая экспонента отсутствует в асимптотическом разложении из-за значительного убывания поля на расстоянии до антипода источника и обратно. В ИНЧ-диапазоне (0,3-3 кГц) сокращаются расстояния, на которые электромагнитное поле распространяется заметно по волноводу из-за больших затуханий нормальных волн, что позволяет игнорировать сферичность, как при описании вертикальной, так и горизонтальной зависимости в поле. Однако в этом частотном диапазоне имеет место значительная азимутальная зависимость постоянных распространения нормальных волн, что приводит к необходимости введения в рассмотрение трёхмерного поля. В частотном диапазоне СНЧ и ниже (<300 Гц) сферичность волноводного канала проявляется при описании горизонтальной зависимости в поле. На расстояниях, где годятся асимптотики для функций Лежандра (волновая зона от источника и антипода), проявляется вторая экспонента из-за малости затухания волны на расстоянии до антипода и обратно. На более близком расстоянии к источнику или антиподу, а также с понижением частоты волновая зона отсутствует вовсе. В этих случаях сферичность волноводного канала проявляется даже в окрестности источника. Эти свойства в поведении электромагнитного поля в горизонтальном направлении обеспечивают наличие шумановских резонансных частот. В частотном диапазоне СНЧ и ниже волновод Земля-ионосфера имеет одну распространяющуюся моду, что открывает новые возможности для описания электромагнитного поля в волноводе.

Реальный волновод Земля-ионосфера характеризуется заметными горизонтальными неоднородностями. Наиболее существенной среди них является неоднородность перехода от дневной ионосферы к ночной. В первых работах, связанных с неоднородным волноводом, переход моделировался идеально отражающей поверхностью, высота которой менялась по линейному закону вдоль одного направления [106, 107]. Рассматривалось двумерное поле вертикальной компоненты потенциала Герца. В дальнейших работах [108-111] переход от дневной ионосферы к ночной моделировался набором ступенек. В работе [111] переход описывался пределом бесконечного числа ступенек с бесконечно малыми высотами. Рассматривалось двумерное поле вертикальной компоненты потенциала Герца. В случае анизотропного волновода задача сформулирована относительно вертикальных компонент электрического и магнитного векторов Герца [112,113]. В предположении, что на границе сочленения волноводов поле потенциалов отсутствует на общей части сочленения, получены коэффициенты перевозбуждения нормальных волн волновода. Следует заметить, что при решении задач с такими моделями перехода, возникает целый ряд трудностей математического и физического плана. Например, при предположении об идеальной проводимости внешней стенки волновода задачу можно считать математически сформулированной. Но в этом случае при наличии угловых переходов разложение по модам волновода приводит к бесконечной нерегулярной системе уравнений, которая не поддаётся непосредственному численному рассмотрению [114]. При использовании импедансных граничных условий считать обоснованным отсутствие поля в переходной области высот между волноводом с малой высотой и волноводом с большей высотой. Кроме того, использование вертикальных векторов Герца в качестве зависимых переменных не оправдано в случае нерегулярного волновода, и затруднительна даже сама формулировка импедансных граничных условий.

В работах [21, 115-118] рассматривалось электромагнитное поле частот ниже 300 Гц в нерегулярной сферической полости. Нижняя стенка полости (земная поверхность) предполагалась идеально проводящей. Верхняя стенка волновода (нижняя кромка ионосферы) предполагалась с импедансными граничными условиями общего анизотропного типа. Задача рассмотрена для случаев различных и многих моделей горизонтальной неоднородности импеданса и эффективной высоты ионосферы применительно к нахождению шумановских частот и поля вертикального электрического диполя.

В работах [21, 115-118] задача решалась методом разложения электрического поля и магнитного поля по электрическим и магнитным полям объёмных нормальных волн сферической полости с идеально отражающими границами. Использование импедансных граничных условий на нижней кромке ионосферы формулировало бесконечную систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения электрического и магнитных полей по базису сферической полости с идеально отражающими стенками. Равенство определителя системы уравнений приводит к уравнению для шумановских частот. Возбуждение волновода вертикальным электрическим диполем описывается неоднородной системой уравнений. Кроме метода решения, основанного на разложении по электрическому и магнитному базису сферической полости, в работах [21, 115-118] использовался метод, основанный на интегральном векторном уравнении на области поверхности неоднородности верхней стенки волновода. Несмотря на обилие рассмотренных моделей неоднородности, полученные решения не имеют количественного соответствия для случаев реальной горизонтальной неоднородности волновода Земля-ионосфера из-за невозможности использования импедансных граничных условий в диапазоне СНЧ и ниже [33].

Импедансный волновод с различными локальными неоднородностями, помещёнными как в окрестности приёмника или передатчика, так и в произвольном месте между ними, рассмотрен в цикле работ [119-130] на основе скалярного или векторного интегрального уравнения на верхней стенке волновода. Однако результаты, полученные в этом цикле работ, годятся для описания полей в неоднородном волноводе Земля-ионосфера, так как предназначены для электромагнитных полей СДВ-диапазона, где могут быть использованы импедансные граничные условия при подходящей эффективной высоте. Оригинальный метод решения нерегулярных задач этого цикла с крупными локальными неоднородностями заключается в сведении двумерного интегрального уравнения к одномерному по трассе распространения и периметру локальной неоднородности. Метод имеет ограничение снизу по частоте.

Поле в нерегулярном волноводе с неоднородным заполнением рассмотрено в небольшом количестве работ [61, 62, 55, 131-133]. В работе [61] рассматривается двумерное поле вертикальных компонент векторов Герца и их продольных производных. Выбор этих переменных в случае нерегулярного волновода не оправдан, так как электромагнитное поле в нерегулярном волноводе не представляется как поле однокомпонентных векторов Герца. В результате полученная в [61] система уравнений приближенная с неконтролируемой точностью. В других работах по нерегулярному волноводу с заполнением задача сформулирована в соответствие с методом поперечных сечений [63] относительно тангенциальных по отношению к оси волновода компонент электромагнитного поля. При таком подходе нерегулярность волновода по его оси учитывается корректно. В работах [54, 61] анизотропные свойства сферического волновода и поле в нём предполагаются независящими от поперечной горизонтальной координаты. В работах [131-133] электромагнитное поле предполагается трёхмерным, а свойства волновода не зависят от поперечной горизонтальной координаты. В работе [131] рассмотрен изотропный вариант плоского волновода. В работах [132, 133] волновод предполагается плоским и анизотропным. Во всех работах по нерегулярному волноводу явно или неявно содержится идея трассы распространения радиоволн, что не приемлемо в случае частот СНЧ-диапазона и ниже.

Распространение радиоволн СНЧ-диапазона в нерегулярном волноводе Земля-ионосфера рассматривается также в рамках двумерных теорий. В работе [134] высказана идея рассмотрения распространения радиоволн в модели поверхностной сетки длинных линий. Однако идея не получила развитие до количественной теории. В работах [135-137] для изотропного волновода неоднородность волноводного канала рассматривается на основе уравнения типа волнового по горизонтальным переменным относительно вертикальной компоненты электрического поля. Двумерное уравнение носит эвристический характер. В свободный член этого уравнения входит постоянная распространения основной нормальной волны.

В работе [138] аналогичное уравнение сформулировано относительно вертикальной компоненты вектора Герца. Уравнение подобного вида не имеет математического оправдания. Кроме того, в случае анизотропного волновода, когда постоянная распространения зависит от направления распространения волны, остаётся не ясным, постоянную распространения какого направления следует подставлять в это уравнение. Таким образом, не говоря о точности описания поля в волноводе, принятая форма уравнения внутренне противоречива в случае анизотропного волновода. В работе [139] двумерное уравнение для импедансного изотропного волновода сформулировано относительно вертикальной компоненты электрического поля. Полученное уравнение можно рассматривать как следствие двумерного телеграфного уравнения [140] с дополнительным требованием достаточной малости ионосферного импеданса.

Сформулируем выводы, которые вытекают из обзора литературы.

Проблема теоретического исследования распространения электромагнитных волн диапазона 0,1-1000 Гц в анизотропном с трёхмерными неоднородностями волноводе Земля-ионосфера представляет несомненный теоретический интерес так и практический интерес с точки зрения приложений к широкому кругу радиофизических и геофизических проблем.

-В этом частотном диапазоне нет приемлемой теории распространения радиоволн в нерегулярном анизотропном волноводе Земля-ионосфера. Теория распространения радиоволн, основанная на разложении электромагнитного поля по нормальным волнам, имеет в своей основе направление распространения и идею трассы распространения, что не пригодно в этом диапазоне частот.

-Однако в этом диапазоне частот эффективно распространяющейся является только одна квази-ТЕМ мода, что открывает дополнительные возможности для более простого, чем система уравнений Максвелла описания электромагнитного поля в волноводе. Имеющиеся двумерные теории распространения [134-139] используют в той или иной степени на эвристическом уровне эти особенности распространения радиоволн низких частот в волноводе без обоснования достаточной точности описания. Кроме того, приведённые двумерные уравнения имеют внутреннее противоречие, которое не позволяет даже последовательно сформулировать их в случае анизотропного волновода, которым и является волновод Земля-ионосфера.

Основываясь на только что приведённых положениях, сформулируем Цель данной диссертационной работы создание теории распространения низкочастотных электромагнитных волн в тонких двухпроводных поверхностных волноводах и применение этой теории к проблемам распространения низкочастотных электромагнитных волн в трёхмерно неоднородном анизотропном волноводе Земля-ионосфера на основе:

1) сформулированного в этой связи двумерной теории распространения волн в волноводе;

2) использования того, что электромагнитные волны частот ниже 1 кГц распространяются в волноводе Земля-ионосфера на дальнее расстояние исключительно одной нормальной волной;

3) разработки модели параметров нового уравнения, приемлемых для описания распространения волн в реальном волноводе Земля-ионосфера;

4) построения решений этого уравнения при двумерно неоднородных и анизотропных моделей параметров уравнения.

Публикация материалов диссертации и её краткое содержание

Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми и оригинальными. В совместных работах автору принадлежит постановка задачи и алгоритм её решения. Основное содержание диссертации опубликовано в статьях [11, 28, 29, 33-37, 56, 77, 81, 89 - 91,106, 140, 144, 145, 148, 149, 151, 152, 167 - 169, 171, 174, 178 - 181]. Две из них [151, 152] приняты в печать. Содержание диссертации отражено также в докладах на научных семинарах, конференциях, симпозиумах и коллоквиуме. [32, 53, 146 - 147,150,170,175 - 177,182 - 207]

Вошедшие в диссертационную работу материалы представлялись на: -X Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Иркутск, 1972, [32,182];

-XIII Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Горький, 1981, [183];

-XV Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Алма-Ата, 1987, [184];

-XVI Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Харьков, 1990, [177];

-XVII Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Ульяновск, 1993, [185];

-XVIII Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, С.Петербург, 1996, [175];

-XIX Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Казань,

1999, [176];

-XX Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Нижний Новгород, 2002, [170];

-Всесоюзной конференции "Приём сверхнизкочастотных колебаний и устройства для их обработки", Воронеж, 1983, [186];

-Всесоюзной конференции "Приём сверх низкочастотных колебаний и устройства для их обработки", Воронеж, 1987, [187,188]; -Региональной научно-технической конференции. Секция «Ионосфера и распространение радиоволн», научно-техническое общество радиотехники, электроники и связи имени А.С. Попова, Новосибирск, 1985, [189]; -Межведомственных семинарах по распространению километровых и более длинных радиоволн: Красноярск, 1986; Харьков, 1987; Горький, 1989; Омск, 1990; Томск, 1991 [53,147,190-198];

-Региональных конференциях по распространению радиоволн: Санкт-Петербург, 1997, [199, 200]; Санкт- Петербург, 1998, [201]; Санкт-Петербург,

2000, [202]; Санкт-Петербург, 2001, [203]; Санкт-Петербург, 2002, [150]; Санкт- Петербург, 2003, [204];

-VI Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн, Цахкадзор, 1973, [205,206];

-IX Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн, Телави, 1985, [207];

-IX Международном коллоквиуме по электромагнитной совместимости, Брест, Франция, 1998, [146].

Результаты работы использовались при выполнении бюджетных работ отдела радиофизики НИИ Физики и института Радиофизики Санкт-Петербургского государственного университета: "Татьяна-РВО", "Трамплин-1-РВО", "Распространение радиоволн в околоземном пространстве", а также в ряде хоздоговорных работ таких как "Танкер-РВО", "Теорема-1-РВО", 1980-1985; "Трамплин-МВО", 1989; "Талнах-ОКТБ", 1985-1990; "Ливадия-2-РФ", 2005-2004; "Поле", 2003; "Поле-2", 2004. Часть исследований была поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований.

Диссертационная работа состоит из Введения, четырёх глав, Заключения, 32 рисунков, 9 таблиц и Списка литературы, насчитывающего 207 наименований. Общий объём работы 300 страниц.

Заключение

Сформулируем основные результаты работы.

1. Для теоретического исследования распространения электромагнитных волн в тонких анизотропных двухпроводных поверхностных волноводах с трёхмерными неоднородностями разработан и обоснован новый метод двумерного телеграфного уравнения, сводящий задачу интегрирования системы 6-ти уравнений Максвелла в частных производных первого порядка по трём пространственным переменным для 6-ти компонент электромагнитного поля к задаче интегрирования одного дифференциального уравнения в частых производных второго порядка по двум переменным координаты точки на общей поверхности проводников для напряжения меаду проводниками и. Анизотропия волновода отражается в матричном виде оператора, стоящего между производными дифференциального уравнения. Трёхмерная неоднородность приводит к двумерной неоднородности коэффициентов уравнения.

Введены новые физические понятия: поверхностная плотность ёмкости С и матричная локальная индуктивность L q = Cu. (1.3.2)

Gradt/ = -L—j. (1.3.3) дГ п А д д

Grad = ex — + е — в случае плоского волновода, ех,еу - орты по х и у дх Уду * соответственно. Grad = ъ0 —— + е„---в сферическом случае, е0,е„адв ^а$твд<р орты по 0 и (р соответственно. Локальная индуктивность L и поверхностная плотность ёмкости С являются двумерным полем на общей поверхности проводников

Двумерное телеграфное уравнение выводится на основе поверхностной формы уравнения сохранения заряда в одном из проводников и имеет вид в случае плоского волновода дхдх^дуду^дхду^дуд? и = О, в случае сферического волновода ъ Т1 . л д д д д д 1 д д Л

ЬлдБШ^—+—Ьл' —+—ЬЛ — +--Ь '-

Э6> дв дв 9 д<р д<р 90 дв ьтвд<р п д(р д2

-а2ъ\пв — С дГ и = О, где Ь^, Ь^, Ь^, Ь и Ь^, Ь^, Ь ^, Ь^, - элементы матрицы, обратной матрице локальной индуктивности. Если локальная индуктивность Ь и поверхностная плотности ёмкости С получены по рассматриваемому электромагнитному полю, то двумерное телеграфное уравнение является точным. Эти параметры играют ту же роль, что диэлектрическая и магнитная проницаемости в уравнениях Максвелла. В неоднородном волноводе они являются функцией точки на общей поверхности проводников.

2. Получены соотношения, связывающие электромагнитное поле на земной поверхности с поверхностным полем напряжения и поверхностной плотности тока, которые в случае плоского волновода имеют вид Яг(0) = Си, -Ну{0) = ;х, Нх(о) = }у.

Горизонтальные компоненты электрического поля находятся по поверхностной плотности тока от нижнего проводника через его поверхностный импеданс Zg в месте приёма

Ex{Q)=Zgjx и

Вертикальная компонента магнитного поля выражается через производные от ] где Zg -импеданс вакуума. Аналогичные соотношения имеют место в случае сферического волновода.

3. Получены сторонние источники в двумерном телеграфном уравнении, соответствующие вертикальному и горизонтальному электрическим диполям, расположенным на общей поверхности проводников в точке с координатами {^о^оЬ которые в случае плоского волновода имеют вид: для вертикального электрического диполя Р0 точечное стороннее напряжение нст с амплитудой Р^/е^ , то есть "ст = Ро/ео ¿(я-лоЖу-Д'о); для горизонтального электрического диполя с токовым моментом II точечное векторное удельное напряжение уст, направленное противоположно диполю, с амплитудой то есть уст = -№03(х - х0 - уо) • Аналогичные соотношения имеют место в случае сферического волновода.

4. Применительно к волноводу Земля-ионосфера получены, приемлемые на частотах ниже 1 кГц, модели параметров двумерного телеграфного уравнения дх ду

00 где £0-диэлектрическая проницаемость вакуума, е'гг (г,0,(р)-дважды радиальный элемент комплексной относительной диэлектрической проницаемости ионосферы, кс -ёмкостная высота.

Матричная локальная индуктивность . сводится к сумме земного приведённого поверхностного импеданса 5ё(в,(р) в месте с координатами в, ф) и приведённого матричного поверхностного импеданса ионосферы на земной поверхности при нормальном падении волны снизу в плоской горизонтально однородной модели ионосферы с параметрами на вертикали, проходящей через точку с координатами {в, ф), где //0 - магнитная проницаемость вакуума, к - волновое число, Иь - матричная индуктивная высота.

Установлено, что область ионосферы, существенная для ёмкостной высоты, приходится на интервал 30-80 км; область ионосферы, существенная для индуктивной высоты, простирается от 70 до 2000 км. Доказано, что в СНЧ-диапазоне горизонтальные компоненты земного магнитного поля не оказывают практического влияния на индуктивную высоту, следствием чего оказывается инвариантность матрицы индуктивной высоты относительно вращения в горизонтальной плоскости.

Получены для ночи и дня при сильной и слабой солнечной активности модели профилей ионосферных параметров в интервале 70-2000 км, определяющих ионосферную часть индуктивной высоты; на частотах выше 50 Гц аналитическая как функция частоты модель индуктивной высоты; на частотах ниже 50 Гц численная модель индуктивной высоты, основанная на интегрировании бивектора от верхней границы существенной области до нижней, обеспечивающего возможность матричного импеданса наземной поверхности. получения ионосферного

5. С целью обоснования метода двумерного телеграфного уравнения в одномодовом приближении по ведущей нормальной волне строго решена задача о электромагнитном поле от вертикального и горизонтального электрических диполей в плоском однородном волноводе с произвольной анизотропией. Показано, что электромагнитное поле, полученное по двумерному телеграфному уравнению, совпадает с этим полем точно. Оно совпадает также точно с электромагнитным полем ведущей нормальной волны в изотропном сферическом волноводе.

6. На основе оригинального метода поперечной координаты, пригодного для рассмотрения электромагнитного поля в плавно неоднородном волноводе с азимутально симметричной анизотропией в диагональном приближении получено двумерное телеграфное уравнение.

7. Оригинальным методом двойного переразложения различных пар компонент поля решена задача о электромагнитном поле от вертикального электрического диполя, произвольно расположенного относительно цилиндрического возмущения ионосферы в виде опускания эффективной высоты. Показано, что метод двумерного телеграфного уравнения приводит к значительным ошибкам в дальнем поле в случае, когда источник находится в окрестности резкого падения эффективной высоты, горизонтальные размеры которой порядка эффективной высоты. Электромагнитное поле, полученное по двумерному телеграфному уравнению, не соответствует реальному в окрестности точечного источника порядка эффективной высоты волновода.

8. Методом двумерного телеграфного уравнения точно решены задачи о поле напряжения от точечного стороннего напряжения и точечного стороннего векторного удельного напряжения в изотропном кусочно-однородном сферическом волноводе, имитирующим переход от дня к ночи. Источник поля расположен произвольно относительно неоднородности. Двумерное поле напряжения представлено в виде ряда по сферическим функциям.

Применительно к частотному диапазону ниже 5 Гц ряды для напряжения в сферической кусочно-однородной модели волновода просуммированы, что привело к аналитическому представлению для напряжения.

9. Методом двумерного телеграфного уравнения приближенно решены задачи о поле напряжения от точечного стороннего напряжения и точного стороннего векторного удельного напряжения в анизотропном неоднородном сферическом волноводе. Приближение ограничено квази статической зоной в окрестности источника. Частотная зависимость в этом решении с матричной локальной индуктивностью, полученной по представленной в диссертации модели ионосферы, находится в соответствии с экспериментально зарегистрированной [165,172].

10 Все, приведённые выше результаты получены впервые. Автору принадлежит постановка задачи, аналитические исследования и алгоритм для численных расчётов. Расчёты и программы для них проведены коллегами Галюком Ю.П., Копейкиным В.Н., Муштаком В.К.

Совокупность полученных результатов позволяет утверждать, что в работе развито новое направление: теоретическое исследование распространения электромагнитных волн в тонких анизотропных двухпроводных поверхностных волноводах с трёхмерными неоднородностями. Разработан и обоснован новый метод двумерного телеграфного уравнения. Проведено теоретическое исследование распространения электромагнитных волн диапазона 0,1-1000 Гц в волноводе Земля-ионосфера методом двумерного телеграфного уравнения.

Данная работа выполнялась в течение длительного времени на кафедре радиофизики физического факультета ЛГУ, в отделе радиофизики НИФИ, в НИИР при СПбГУ под влиянием научных традиций, которые сложились здесь за более чем полувековое существование кафедры радиофизики.

Автор искренне признателен профессору Г.И. Макарову за постоянную поддержку работы и плодотворные научные дискуссии на всех этапах её выполнения.

Автор признателен также проф. Павлову В.А. за ценные замечания по тексту диссертации и её оценке.

Считаю своим приятным долгом выразить благодарность Ю.П. Галюку, который предложил автору заняться этой работой, ныне покойному В.Н. Копейкину, которому принадлежит большинство численных результатов, В.К. Муштаку, который подвергает теорию дальнейшему развитию.

1. Бреховских J1.M. Волны в слоистых средах. М: Наука. 1973. 343 е.

2. Wait J.R. Electromagnetic waves in stratified media. N. Y.: Pergamon press. 1962.372 р.

3. Watson G.N. The Transmission of Electric waves round the Earth.// Proc .Roy. Soc. A.1919. Vo.95. No.673. P.546-563.

4. Watson G.N. The Diffraction of Electric waves by the Earth.// Proc .Roy. Soc. A. 1918. Vo.95. No.666. P.83-99.

5. Austin L.W. Some Quantitative Experiments in Long-Distance Radiotelegraphy.// Bull NBS. 1911. Vo.7. P.315-365

6. Фок В.А. Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности.// ЖЭТФ. 1945. Т.15. № 9. С.479-495.

7. Bremmer Н. Terrestrial radio waves. N. Y.: Pergamon press. 1949. 343 p.

8. Berry L.A. Some Remarks on Watson Transformation and Mode Theory.// Radio Sci. Journ. Res. NBS. 1964. V0.68D. No.l. P.59-66.

9. Макаров Г.И., Рыжков A.B. Задача распространения волн на проводящем шаре и исследование спектральных характеристик.// Проблемы дифракции и распространения волн. JL: ЛГУ. 1977. Вып.15. С.3-29.

10. Макаров Г.И., Осипов А.В. Исследование спектрального разложения функции Грина в задаче дифракции волн на проводящем шаре.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1987. Вып.21. С.3-18.

11. Кириллов В.В. К модели распространения радиоволн диапазона СНЧ и СДВ в волноводном канале Земля-ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1972. Вып.11. С.120-128.

12. Титчмарш Э.Ч. Разложение по собственным функциям, связанным с дифференциальными уравнениями второго порядка. 2. М.: ИЛ. 1961. 555с.

13. Weyrich R. Zur Theorie der Ausbreitung elektromagnischer Wellen längs der Erdoberfläche.//Annalen der Physik. 1928. V.85. fünftes Heft. S. 552-580.

14. Янке E., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.:Наука. 1968. 344с.

15. Абрамович М. и Стиган И Справочник по специальным функциям. М.: Наука. .1979. 830 с.

16. Рязин П.А., Бреховских Л.М. О поле радиоволн в пространстве между полупроводящими средами.// Изв. АН СССР. сер. физ. 1946. Т. 10. №3. С.285-305.

17. Budden K.G. The Propagation of Radio Atmospheric.// Phil. Mag. 1951. Vo.42.No.324. P.l-15.

18. АльпертЯ.Л. О распространении электромагнитных волн низкой частоты над земной поверхностью. М.: АН СССР. 1955. 111 с.

19. Schuman W.O. Über die Strahlungslosen Eigenschwingungen einer leitenden Kugel die von Luftschicht und Ionosphärenhülle umgeben ist.// Naturforsch 1952. V.7a. S. 149-154.

20. Schuman W.O. Über Elektrische Eigenschwingugen des Hohlraumes ErdeLuft-Ionosphäre erregt durch Blitzenladungen.// Z. Angew. Phys. 1957. V.9. S. 373-378.

21. Блиох П.В., Николаенко А.П., Филиппов Ю.Ф. Глобальные электромагнитные резонансы в полости Земля-ионосфера. Киев: Наукова думка. 1977.200 с.

22. Блиох П.В., Галюк Ю.П., Гюннинен Э.М. и др. О резонансных явлениях в полости Земля-ионосфера.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1977. Т.20. №4. С.501-509.

23. Eckersley T.L. Radio Transmission Problems Treated by Phase Integral Methods.// Proc. Roy. Soc A. 1932. Vo.136. No.330. P. 499-527.

24. Кириллов B.B., Копейкин B.H., Штенников Ю.В, Особенности многомодового распространения радиоволн ДВ и СВ-диапазонов вволноводном канале Земля-ионосфера.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1993. Т36. №2. С. 107-120.

25. Ridbeck О. On Propagation of Radio Waves.// Gothenberg: Trans. Chalmers Univ. Gothenberg. 1944. No. 34.

26. Wait J.R., Walter L.C. Reflection of VLF radio waves from an inhomogeneous ionosphere II. Perturbed exponential model.// Radio science. J. Res. NBS. 1963. Vo.67D. No.5. P. 519-523.

27. Орлов А.Б., Уваров A.H. О возможности послойного определения электронной концентрации в дневной нижней ионосфере по экспериментальным данным о СДВ-полях.// Проблемы дифракции и распространения волн. JL: ЛГУ. 1975. Вып.14. С. 96-109.

28. Гаврилова Н.С., Кириллов В.В. Распространение СДВ. Расчёт коэффициентов отражения плоских волн от неоднородной анизотропной плазмы.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1966. Вып. 5. С. 31-50.

29. Кириллов В.В. Приближенный расчёт отражения волн от неоднородного поглощающего полупространства.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1972. Вып.11. С. 129-142.

30. Рыбачек С.Т. О влиянии существенной области ионосферного слоя на характеристики распространения СДВ.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1972. Т. 15. №9. С. 1300-1309.

31. Рыбачек С.Т. Области нижней ионосферы, существенные при распространении СДВ.// Тез. докл. 10-ой Всесоюз. конф. (секц.1). Иркутск. М: Наука 1972. С. 203-207.

32. Кириллов В.В., Хованская Н.С. Об оценке области, существенной при отражении длинных волн в ночных условиях.// Тез. докл. 10-ой Всесоюз. конф. ( секц.1). Иркутск. М: Наука. 1972. С. 208-212.

33. Кириллов В.В., Пронин А.Е. Об отражении очень длинных волн от неоднородной среды.// Проблемы дифракции и распространения волн. JI.: ЛГУ. 1974. Вып.13. С. 110-120.

34. Кириллов В.В. Области, существенные при отражении электромагнитных волн от неоднородных проводящих слоёв.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1978. Вып.16. С.99-119.

35. Кириллов В.В., Судов Н.Л. Оценка верхней границы области отражения СДВ в ночных условиях.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1986. Вып.20. С. 165-181.

36. Галюк Ю.П., Георге А.В., Кириллов В.В. Положение области, существенной при отражении от ионосферы электромагнитных волн СНЧ-диапазона.//Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1989. Вып.22. С. 85-97.

37. Кириллов В.В., Пронин А.Е. Положение существенной области для дальнего поля от СНЧ-до СВ-диапазона.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1997. Вып.27. С. 95-101.

38. Budden K.G. The Propagation of Radio Atmospheric II.// Phil. Mag. 1952. Vo.43. ser.7. No.324. P. 1179-1199.

39. Clemmow P.C., Heading J. Complete forms of the differencial equantions governing radio propagation in the ionosphere. // Proc. Camb. Phil. Soc. 1954. Vo.50. P. 319-334.

40. Wait J.R. Transverse Propagation of Waveguide Modes in a Cylindrically Stratified Mgnetoplasma.//Radio Sci. 1966. Vo.l No.6 P. 641-670.

41. Galejs J. Terrestrial Propagation of Long Electromagnetic Waves. N.Y.: Pergamon press. 1972. 362 c.

42. Pittway M.L.V. The numerical calculations of wave fields, reflection coefficients, and polarisations for long radio waves in the lower ionosphere. I.// Phil.Trans. Roy. Soc.A. 1965. Vo.257.No.1079. P. 219-241.

43. Pittway M.L.V., Jespersen J.L. A numerical study of the excitation, internal reflection and limiting polarisation of whistler waves in the lower ionosphere. // Atm. Terr. Phys. 1966. Vo.28. P. 17 -43.

44. Аксёнов В.И., Назарова M.B. Численное решение задачи о прохождении электромагнитных волн через плоскослоистую плазму.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1973. Вып.12. С. 51-58.

45. Рыбачек С.Т. Электромагнитное поле плоской волны в неоднородной анизотропной ионосфере.//Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1981. Вып.18. С. 221-237.

46. Budden K.G. The numerical solution of differential equtions governing reflection of long radio waves from the ionosphere II.// Proc. Roy. Soc.A. 1955. Vo.225.No.1171. P. 516-537.

47. Budden K.G. The wave-guide mode theory of wave propagation. London: Logos press. 1966.325 p.

48. Pappert R.A., Moler W.F. Propagation Theory and Calculations at Lower Extremaly Low Frequences {ELF}.// IEEE Trans, on Communicatios. 1974. Vo.22. No4. P. 437-451.

49. Barron D.W, Budden K.G. The numerical solution of differential equtions governing reflection of long radio waves from the ionosphere III.// Proc. Roy. SocA. 1959. Vo.249. No.1258. P. 387 -401.

50. Галюк Ю.П., Иванов В.И. Определение характеристик распространения СДВ-полей в волноводном канале Земля-неоднородная по высоте анизотропная ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1978. Вып.16. С. 148-153.

51. Краснушкин П.Е., Байбулатов Р.Б. Вычисление волновых чисел нормальных волн в сферически-слоистых анизотропных средах методом пересчёта импеданса.// ДАН. 1967. Т. 182. №2. С. 294-297.

52. Краснушкин П.Е., Байбулатов Р.Б. Вычисление коэффициентов отражения и прохождения электромагнитных волн для сферическислоистого анизотропнного слоя методом пересчёта импеданса и полей.// ДАН. 1969. Т. 188. №2. С. 300-303.

53. Кириллов В.В., Проскурин Е.П. Определение отражательных характеристик СДВ-волн с использованием бивектора.// Тез. докл. 12-ого Межвед. семинара по распространению километровых и более длинных радиоволн. Красноярск: АН СССР. 1986. С. 13-15.

54. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М: Наука. 1967. 664 е.

55. Макаров Г.И., Новиков В.В., Рыбачек С.Т. Распространение радиоволн в волноводном канале Земля-ионосфера и в ионосфере. М: Наука. 1993. 150 с.

56. Кириллов В.В. Поле электрического диполя в плоском анизотропном волноводе.// Проблемы дифракции и распространения волн. С-Пб.: С-ПбГУ. 1993. Вып.25. С. 24-35.

57. Barr R. The propagation of ELF and VLF radio waves beneath an inhomogeneous anisotropic ionosphere.// Atm. Terr. Phys. 1971. Vo.33. No.3. P. 343-353.

58. Barr R. Some new features of ELF attenuation.// Atm. Terr. Phys. 1972. Vo.34. No.3. P. 411-420.

59. Краснушкин П.Е. Метод нормальных волн в применении к проблеме дальних радиосвязей. М: МГУ. 1947. 80 е.

60. Краснушкин П.Е, Яблочкин H.A. Теория распространения сверхдлинных волн. М: ВЦ. АН СССР. 1963. 94 е.

61. Краснушкин П.Е. Метод решения общей краевой задачи распространения длинных и сверхдлинных волн.// ДАН. 1966. Т.171. №1.С. 61-65.

62. Авдеев А.Д. Метод поперечных сечений в теории распространения СДВ в нерегулярном волноводе Земля-анизотропная ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. JL: ЛГУ. 1983. Вып.19. С. 75-105.

63. Кацеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: АН СССР. 1961. 215 е.

64. Wait J.R. Terrestrial Propagation of Very-Low-Frequency Radio Waves.// Radio Science J.Res. NBS. 1960. Vo.64D. No.2. P. 153-204.

65. Wait J.R. The mode theory of VLF Radio Propagation for a Spherical Earth and a Concentric Anisotropic ionosphere.// Can. J. Phys.1963. Vo.41. No.2. P.299-315.

66. Galejs J. ELF and VLF waves below an inhomogeneous anisotropic ionosphere.// J. Res. NBS. 1964. V0.68D. N0.6. P.693-707.

67. Galejs J. Propagation of VLF Waves Below an Anisotropic Ionosphere With a Transverse Static Magnetic Field.// Radio Science. 1967. Vo.2. N0.6. P. 557574.

68. Galejs J. Propagation of ELF and VLF Waves Below an. Anisotropic Ionosphere With a Dipping Static Magnetic Field.// J. Geophys. Res. 1968. Vo.73.No.l. P. 339-352.

69. Galejs J. ELF and VLF propagation for models of a perturbed ionosphere.// Radio Science. 1970. Vo.5. No.7. P. 1041-1044.

70. Greifinger C., Greifinger Ph. Appoximate method of determining ELF eigenvalues in the Earth-ionosphere wave-guide.// Radio Science. 1978. Vo.13. No.5. P. 831-837.

71. Краснушкин П.Е., Байбулатов Р.Б. О нарушении принципа взаимности при распространении сверхдлинных радиоволн вокруг Земли в дневное время.//ДАН. 1966. Т.171. №2. С. 340-343.

72. Байбулатов Р.Б., Краснушкин П.Е. Влияние земного магнитного поля на распространение радиоволн вокруг Земли.// ДАН. 1967. Т.174. №1. С. 8487.

73. Рыбачек С.Т., Гюннинен Э.М. Распространение длинных и сверхдлинных радиоволн в волноводном канале Земля-ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1966. Вып.6. С. 115-123.

74. Макаров Г.И., Новиков B.B. Распространение электромагнитных волн в импедансном плоском и сферическом волноводах Часть \.П Проблемы дифракции и распространения волн. Д.: ЛГУ. 1968. Вып.7. С. 19-33.

75. Макаров Г.И., Новиков В.В. Распространение электромагнитных волн в импедансном плоском и сферическом волноводах Часть И.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1968. Вып.7. С. 34-65.

76. Гусева Э.Г., Кириллов В.В., Рыбачек С.Т. Волноводное распространение сверхдлинных радиоволн. Сравнение сферической и плоской моделей.// Геомагнетизм и Аэрономия. 1968. Т.8. №1. С. 62-71.

77. Рыбачек С.Т. Распространение СДВ в волноводном канале Земля-ионосфера.// Геомагнетизм и Аэрономия. 1968. Т.8. №3. С. 152-164.

78. Макаров Г.И., Новиков В.В., Рыбачек С.Т. Распространение электромагнитных волн в сферическом импедансном волноводе. ЧастьШ.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1969. Вып.9. С. 3-64.

79. Бичуцкая Т.И., Новиков В.В. Динамика собственных значений нормальных волн плоского волновода с импедансными стенками.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1975. Т18. №1. С. 108-119.

80. Кириллов В.В. Рассеяние на тонком плазменном цилиндре волн, для которых электрическое поле имеет составляющую вдоль градиента неоднородности.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1970. Вып. 10. С. 143-155.

81. Budden K.G. The «Waveguide Mode» Theory of the Propagation.of Very-Low-Frequency Radio Waves.// Proc. IRE. 1957. Vo.45. No.6. P. 772-774.

82. Краснушкин П.Е., Фёдоров E.H. О кратности волновых чисел нормальных волн в слоистых средах.// Радиотехника и электроника 1972. Т. 17. №6. С. 1129-1140.

83. Гюннинен Э.И., Копейкин В.Н. К задаче распространения радиоволн в слоистой среде.// Проблемы дифракции и распространения волн. Д.: ЛГУ. 1976. Вып.16. С. 182-188.

84. Галюк Ю.П., Гюннинен Э.М, Фесенко С.Ю. О поведении вырожденных нулей характеристического уравнения задачи распространения радио волн в плоском волноводе.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1976. Вып.16. С. 188-194.

85. Новиков В.В. Трансформация мод при двойном вырождении в плоском импедансном анизотропном волноводе.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1982. Т.25. №12. С. 1384-1409.

86. Бичуцкая Т.И., Новиков В.В. Вырожденные собственные значения в импедансном волноводе.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1983. Вып.19. С. 60-75.

87. Новиков В.В. Трансформация мод при двукратном вырождении в плоском волноводе с неоднородным анизотропным заполнением.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1989. Вып.22. С.28-38.

88. Кириллов В.В. Некоторый метод расчёта поля СДВ вертикального электрического диполя в волноводном канале Земля-ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1979. Вып. 17. С.57-76.

89. Кириллов В.В. Некоторый метод расчёта поля СДВ вертикального магнитного диполя в волноводном канале Земля-ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1981. Вып.18. С. 87-103.

90. Кириллов B.B. Электромагнитные волны в узкой сферической полости с анизотропными импедансными стенками.// Проблемы дифракции и распространения волн. JL: ЛГУ. 1983. Вып. 19. С. 30-35.

91. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М: Советское радио. 1970. 517 с.

92. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения М.-Л. Физ.-мат. гиз. 1963. 358 е.

93. Wait J.R. A diffraction theory for LF sky-wave propagation.// J. Geophys. Res. 1961. V0.66.N0.6. P. 1713-1724.

94. Johler J.R. Concerning limitations and further corrections to geometric-optical theory for VLF propagation between the ionosphere and the ground.// Radio Science.J.Res. NBS.1964. V0.68D. No.l. P. 67-78.

95. Berry L.A. Wave hop theory of long distance propagation of low-frequency radio waves.// Radio Science. J.Res. NBS.1964. V0.68D. No.12. P. 1275-1284.

96. Гюннинен Э.М., Забавина И.Н. Распространение длинных радиоволн над земной поверхностью.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1966. Вып.5. С. 5-30.

97. Аксёнов В.И. Исследование распространения сверхдлинных радиоволн в ионосфере Земли.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1975. Т.18. №9. С. 13331346.

98. Орлов А.Б., Пронин А.Е. Об учёте зависимости коэффициента отражения от угла падения волны на ионосферу при расчёте СДВ полей на коротких трассах.//Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1975. Т.18. №12. С. 1786-1793.

99. Макаров Г.И., Фёдорова Л.А. О методе многократно отражённых волн.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1978. Т.21. №10. С.1424-1433.

100. Макаров Г.И., Фёдорова Л.А. К обоснованию метода многократно отражённых волн в случае цилиндрического волновода.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1981. Вып. 18. С. 3-28.

101. Макаров Г.И., Фёдорова JI.A. Метод многократно отражённых волн в задаче о распространении электромагнитных волн в регулярных волноводах.//Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1982. Т.25. №12. С. 1384-1409.

102. Johler J.R., Berry L.A. Propagation of terrestial radio waves of long wavelength of zonal harmonics with improved summation techniques.// Radio Science. J.Res. NBS. 1962. V0.66D. N0.6. P. 737-773.

103. Johler J.R. Propagation of Radio Waves at Frequencies below 300 kc/s.// New York: Perg. press. 1966. P. 101-129.

104. Johler J.R., Lewis R.L. Extra Low-Frequency Terrestrial Radio Waves Field Calculations with Zonal Harmonics Series.// J. Geophys. Res. 1969. Vo.74. No.l 0. P. 2459-2470.

105. Гюннинен Э.М., Кириллов B.B., Копейкин B.H. Дифракция электромагнитной волы на шаре. Суммирование рядов Ми.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1987. Т.30. №4. С. 522-528.

106. Bahar Е., Wait J.R. Propagation of radio waves in a model terrestrial waveguide of nonuniform height.// Radio Science. J. Res. NBS. 1965. Vo.69D. No.ll. P. 1445-1463.

107. Wait J.R., Spies K.P. On the calculation of mode conversion at a graded height change in the earth-ionosphere waveguide at VLF. // Radio Science. 1968. Vo.3. N0.8. P. 787-791.

108. Wait J.R. Mode conversion and refraction effects in the earth-ionosphere waveguide for VLF radio waves.// J. Geophys. Res. 1968. Vo.73. No.ll. P.3537-3548.

109. Bahar E. Analyses of mode conversion in waveguide transition sections with surface impedance boundaries applied to VLF radio propagation.// Proc. IEEE. 1968. Vo. AP-16. N0.6 P. 673-678.

110. Bahar E. Computations of mode scattering coefficients due to ionospheric perturbations and comparison. Proc. IEEE. 1970. Vo.l 17. No.4 P. 735-738.

111. Smith R. Mode conversion coefficients in the earth-ionosphere waveguide for VLF propagation below a horizontally stratified anisotropic ionosphere.// Atm. Terr. Phys. 1977. Vo.39. No.4. P. 510-517.

112. Осадчий А.Ф., Ременец Г.Ф. Особенности перевозбуждения нормальных волн СДВ-диапазона в волноводном канале Земля-магнитоактивная ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1976. Вып.17. С. 141-148.

113. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир. 1974.328 с.

114. Николаенко А.П. Влияние локализованной неоднородности ионосферы на СНЧ распросранение.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1984. Т.27. №10. С.1227-1237.

115. Николаенко А.П. Рассеяние СНЧ радиоволн глобальными неоднородностями полости Земля-ионосфера.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1986. Т.29. №1. С. 33-40.

116. Nickolaeko A.P.,and Rabinowicz L.M. Speeding up the convergence of zonal series representations in the Schumann resonance problem.// Atm. Terr. Phys. 1974. Vo.36. No.7. P. 979-987.

117. Nickolaeko A.P. ELF radio wave propagation in locally nonuniform Earth-ionosphere cavity.// Radio Science. 1994. Vo.29. No.5. P. 1187-1199.

118. Соловьёв O.B. О влиянии локальной неоднородности ионосферы на поле вертикального электрического диполя.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1985. Т.28. №10. С. 1236-1245.

119. Соловьёв О.В. Влияние искусственного нагрева ионосферы на поле СДВ сигнала.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1988. Т.31. №2. С. 240-241.

120. Соловьёв О.В. К оценке поля в импедансном плоском волноводе с локальной неоднородностью, расположенной над источноком.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1987. Т.30. №7. С. 896-905.

121. Соловьёв O.B. О влиянии локальной неоднородности ионосферы на поле вертикального магнитного диполя.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1989. Т.32. №11. С. 1335-1342.

122. Соловьёв О.В. К решению локально-нерегулярной волноводной задачи.//Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1990. Т.ЗЗ. №9. С.1078-1087.

123. Соловьёв О.В. К оценке поля в импедансном плоском волноводе с локальной геометрической неоднородностью I.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1991. Т.34. №8. С. 908-918.

124. Соловьёв О.В. К оценке поля в импедансном плоском волноводе с локальной геометрической неоднородностью II.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1992. Т.35. №6-7. С. 569-578.

125. Соловьёв О.В. К решению векторной трёхмерной локально-нерегулярной волноводной задачи.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1995. Т.38. №8. С. 785-803.

126. Соловьёв О.В., Агапов В.В. Расчёт СДВ полей в волноводе с трёхмерной локальной неоднородностью.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1995. Т.38. №12. С. 1312-1321.

127. Соловьёв О.В. Распространение низкочастотных радио волн в возмущённом трёхмерной крупномасштабной неоднородностью приземном волноводе.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1998. Т.41. №5. С. 588604.

128. Соловьёв О.В. Деполяризация электромагнитного поля при рассеянии на трёхмерной крупномасштабной неоднородности нижней ионосферы.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1999. Т.421. №5. С. 418-430.

129. Лутченко Л.Н. Поле сосредоточенного источника в нерегулярном волноводном канале.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1979. Вып.17. С. 93-103.

130. Лутченко Л.Н., Булах А.Б. Поле сосредоточенного источника в нерегулярном анизотропном волноводном канале.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1986. Вып.20. С. 89-10.

131. Лутченко Л.Н., Булах А.Б, Крутиков И.М. Методика вычисления коэффициентов связи между нормальными волнами в нерегулярном анизотропном волноводе.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1987. Вып.21. С. 69-78.

132. Madden Т. and Thomson W. Low-frequency electromagnetic oscillations of the Earth-ionosphere cavity.// Rev. Geophys. 1965. Vo.3. No.2. P. 211-254.

133. Field E.C., Joiner R.G. An integral equation approach to long wave propagation in nonstratified Earth-ionosphere wave-guide.// Radio Science. 1979. Vo.14. No.6. P. 1057-1068.

134. Field E.C., Joiner R.G. Effects of lateral ionospheric gradients on ELF propagation.// Radio Science.1982. Vo.17. No.3. P. 693-700.

135. Pappert R.A. Effects of large patch of sporadic-E on night-time propagation at lower ELF.// Atm. Terr. Phys. 1980. Vo.42. No.3. P. 417-425.

136. Pappert R.A. Calculated effects of travelling Sporadic-E on nocturnal ELF propagation: Comparison with measurement.// Radio Science. 1985. Vo.20. No.2. P. 229-246.

137. Solov'ev V.V. Method of two-dimensional equation for three-dimensional problem of electromagnetic wave propagation in a thin inhomogeneous waveguide.// J. Phys. A. Math. Gen. 1991. Vo.24. P.L 887-890.

138. Галюк Ю.П., Кириллов B.B., Макаров Г.И. Поле в тонких неоднородных волноводах.// Распространение радиоволн километрового диапазона. Апатиты: КФАН. 1987. С. 45-50.

139. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. С. 148.

140. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции I. Гипергеометрическая функция, функции Лежандра. М.: Наука. 1973. С294.

141. Mushtak V.C., Williams E.R. ELF propagation parameters for uniform models of the Earth-ionosphere waveguide. // Journal of Solar-Terrestrial Physics 2002. Vo.64. P. 1989-2001.

142. Кириллов В.В. Двумерная теория распространения электромагнитных волн СНЧ-диапазона в волноводном канале Земля-ионосфера.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1996. Т. 39. №9. С. 1103-1112.

143. Кириллов В.В. Параметры двумерного телеграфного уравнения в диапазоне СНЧ.// Радиотехника и Электроника. 1998. Т. 43. №7. С. 779785.

144. Kirillov, V.V. Equation des télégraphistes à deux dimensions.// Actes du 9 ème Colloque International sur la Compatibilité Electromagnétique. Les 8, 9, 10 et 11 juin 1998. Brest France. A 26-29.

145. Кириллов В.В., Копейкин В.Н. Влияние локальной неоднородности на излучательную способность вертикального молниевого разряда.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1989. Вып.22. С.123-130.

146. Кириллов В.В., Копейкин В.Н. Влияние локальной произвольно расположенной неоднородности ионосферы на излучательную способность вертикального молниевого разряда.// Проблемы дифракции и распространения волн. С-Пб.: С-ПбГУ. 1992. Вып.24. С. 39-61.

147. Кириллов В.В. Метод поперечной координаты.// Тез. докл. Региональной VIII конференции по распространению радиоволн. Санкт-Петербург, 29-30 октября 2002. Санкт-Петербург: РАН. 2002. С. 10.

148. Кириллов В.В. Распространение электромагнитных волн в плоском анизотропном одномодовом волноводе.// Радиотехника и Электроника. 2004. (Принята в печать).

149. Кириллов В.В. Метод поперечной координаты для уравнений Максвелла.// Радиотехника и Электроника. 2004. (Принята в печать).

150. Bannister P.R. The determination of representative ionospheric condactivity parameters for ELF propagation in the earth-ionosphere waveguide.// Radio Science. 1985. Vo.20. No.4. P. 997-984.

151. Budden K.G. Radiowaves in the ionosphere. Cabridge: Univ. press. 1961. 542 p.

152. Фактуллин M. Н.,Зеленкова Т. И., Козлов В. К. и др. Эмпирические модели среднеширотной ионосферы. М.: Наука, 1981. 256 е.

153. COSPAR International Reference Atmosphere. Berlin: Akademik Verlag, 1972.

154. Prikner K. // Studio Geophys. Geod. 1980. Vol. 21. P. 816.

155. Мак-Даниель И. Мэзон Э. Подвижность и диффузия ионов в газах. М.: Мир, 1976.280 е.

156. Гинзбург В. JI. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967. С.78.

157. Хаксли JI. Кромптон Р. Диффузия и дрейф электронов в газах. М.: Мир, 1977. 240 е.

158. Физика верхней атмосферы / Под ред. Дж. А. Ратклифа. М.: Физматгиз, 1963. С. 56.

159. Buansanto М. J. Comparison of incoherent scatter observations of electron density, and electron and ion temperature at Millstone Hill with the1.ternational Reference Ionosphere // J.Atm. Terr. Phys. 1989. Vo.51. No.5. P.441-467.

160. ГОСТ 25645.157-94 Ионосфера Земли нижняя. Модель глобального распределения концентрации электронов и частоты соударений электронов для прогнозирования низкочастотных полей.

161. ГОСТ 25645.146-89 Ионосфера Земли нижняя. Модель глобального распределения концентрации, температуры и эффективной частоты соударений электронов.

162. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Т.2. II.M; Физматгиз, 1963. С. 165.

163. Кириллов В.В. Параметры волновода Земля-ионосфера в диапазоне СНЧ.// Проблемы дифракции и распространения волн. С-Пб.: С-ПбГУ. 1993. Вып.25. С. 35-53.

164. Кириллов В.В. Двумерная теория распространения электромагнитных волн СНЧ- и КНЧ-диапазонов в волноводном канале Земля-ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. С-Пб.: С-ПбГУ. 2000. Вып.28. С. 184-204.

165. Кириллов В.В. Двумерная теория распространения электромагнитных волн СНЧ- и КНЧ-диапазонов в волноводном канале Земля-ионосфера.// Космическая радиофизика. М.: 1998. Вып 3. С. 11-26.

166. Кириллов В.В., Копейкин В.Н. Определение локальной индуктивности ионосферы в диапазоне 0,1-10 Гц.// Труды XX конференции по распространению радиоволн. Нижний Новгород, 2-4 июля 2002. Нижний Новгород: РАН. 2003. С. 259-260.

167. Кириллов В.В, Копейкии В.Н. Формирование резонансной структуры локальной индуктивности ионосферы в диапазоне 0,1-10 Гц.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 2003. Т.46. №1 С 1-12.

168. Кириллов В.В., Копейкин В.Н., Муштак В.К. Электромагнитные волны СНЧ-диапазона в волноводном канале Земля-ионосфера.// Геомагнетизм и Аэрономия. 1997. Т.37. №3. С. 114-120.

169. Кириллов В.В., Копейкин В.Н. КНЧ- электромагнитное поле квази ТЕМ моды.// В тез. докл. XVIII Всероссийской конф. по распространению радиоволн. С-Петербург, 17-19 сент. 1996, т.1. М.: РАН. 1996. С. 26-28.

170. Кириллов В.В., Копейкин В.Н. Электромагнитное поле молниевого разряда в диапазоне 0,1-10 Гц.// В тез. докл. XIX Всероссийской конф. по распространению радиоволн. Казань, 22-25 июня, 1999, М.: РАН. 1999. С. 377-378.

171. Галюк Ю.П., Кириллов В.В., Копейкин В.Н., Муштак В.К. О связи СНЧ-шума с мировой грозовой активностью.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1983. Вып.19. С. 205-216.

172. Кириллов В.В. Риманова геометрия в задаче об определении амплитуды волнового поля методом геометрической оптики.// Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: ЛГУ. 1979. Вып.17. С. 101-121.

173. Кириллов В.В., Копейкин В.Н. Влияние круглого малого возмущения на дальнее поле СНЧ-диапазона.// Низкочастотный волновод «Земля-ионосфера» Алма-Ата: Гылым. 1991. С. 13-16.

174. Кириллов В.В., Хованская Н.С. Некоторые эффективные параметры волновода с анизотропными стенками.// В тез. докл. X конф. по распространению радиоволн Иркутск. 1972. М.: Наука. 1972. Секция I. С.212-213.

175. Кириллов В.В. Некоторые точные соотношения для постоянных распространения нормальных волн волновода Земля-ионосфера.// В тез. докл. XIII конф. по распространению радиоволн Горький. 1981. М.: Наука. 1981. Т.П. С. 296-299.

176. Галюк Ю.П., Кириллов В.В., Муштак В.К. Влияние нерегулярности ионосферы типа день-ночь на распространение атмосфериков в шумановском диапазоне частот.// В тез. докл. XV конф. по распространению радиоволн Алма-Ата, октябрь 1987. М.: Наука. 1987. С.214.

177. Галюк Ю.П., Кириллов В.В. ,Копейкин В.Н., Муштак В.К. О моделировании мирового грозового центра.// Тез. докл. 13-ого Межвед. семинара по распространению километровых и более длинных радиоволн. Харьков: АН СССР. 1987. С. 40.

178. Кириллов В.В. Копейкин В.Н. Влияние возмущения ионосферы на поле молниевого разряда.// Тез. докл. 13-ого Межвед. семинара по распространению километровых и более длинных радиоволн. Харьков: АН СССР. 1987. С. 42.

179. Кириллов В.В. Копейкин В.Н., Муштак В.К. О суточных вариациях пиковых частот шумановских резонансов.// Тез. докл. 14-ого Межвед. семинара по распространению километровых и более длинных радиоволн. Горький: АН СССР. 1989. С. 69-70.

180. Кириллов В.В. Копейкин В.Н. Одновременное влияние нескольких малых возмущений ионосферы на дальнее поле СНЧ-диапазона.// Тез.докл. 16-ого Межвед. семинара по распространению километровых и более длинных радиоволн. Омск: АН СССР. 1990. С. 33-34.

181. Галюк Ю.П., Кириллов В.В. Эффективные высоты ионосферы и импедансная модель волновода в диапазоне СНЧ.// Тез. докл. 17-ого Межвед. семинара по распространению километровых и более длинных радиоволн. Томск: АН СССР. 1991. С. 47-49.

182. Кириллов В.В. Двумерное телеграфное уравнение в анизотропной однородной плоской модели.// Тез. докл. Региональной XXIII конференции по распространению радиоволн. Санкт-Петербург, 28-29 октября 1997. Санкт-Петербург: РАН. 1997. С. 16.

183. Кириллов В.В., Копейкин В.Н. Модель локальной индуктивности в КНЧ диапазоне.// Тез. докл. Региональной XXIII конференции по распространению радиоволн. Санкт-Петербург, 28-29 октября 1997. Санкт -Петербург: РАН. 1997. С. 17.

184. Кириллов В.В., Копейкин В.Н. КНЧ-поле в модели волноводного канала типа день-ночь.// Тез. докл. Региональной IV конференции по распространению радиоволн. Санкт-Петербург, 27-28 октября 1998. Санкт-Петербург: РАН. 1998. С.4.

185. Кириллов В.В., Копейкин В.Н. О модели локальной индуктивности в УНЧ и КНЧ диапазонах в ночных условиях.// Тез. докл. Региональной VI конференции по распространению радиоволн. Санкт-Петербург, 24-26 октября 2000. Санкт-Петербург: РАН. 2000. С. 19.

186. Кириллов В.В. Обратная задача для волновода с неоднородной стенкой.// Тез. докл. VI Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн. Цахкадзор 1973. Москва-Ереван: АН СССР. 1973. секц. 2В'. 1 е.

187. Кириллов В.В., Орлов А.Б., Рыбачек С.Т., Уваров А.Н., Хованская Н.С. Области, существенные при отражении волн.// Тез. докл. VI Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн. Цахкадзор 1973. Москва-Ереван: АН СССР. 1973. секц. ЗА' 2 е.