Теория распространения низкочастотных радиоволн в трехмерном локально нерегулярном околоземном волноводном канале тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение

Тема исследования и обзор литературы.

Цель диссертационной работы.

Публикация материалов диссертации и её краткое содержание . . 25 Положения, выносимые на защиту.

1. Распространение волн в приземном волноводе с локальной трехмерной неоднородностью на ионосферной стенке (метод последовательных приближений)

1.1. Импедансная модель локально нерегулярного волноводного канала Земля-ионосфера.

1.2. Задача о поле вертикального электрического диполя в импедансном волноводе с локальной неоднородностью.

1.3. Задача о поле вертикального магнитного диполя в импедансном волноводе с локальной неоднородностью.

1.4. О применимости скалярного приближения в задаче о распространении радиоволн в локально-нерегулярном волноводе.

1.5. Задача о поле вертикального электрического диполя в волноводе с локальной неоднородностью, нарушающей геометрическую регулярность ионосферной стенки волноводного канала.

1.6. О границах применимости метода последовательных приближений в задаче о распространении радиоволн в локально нерегулярном волноводе.

1.7. Сравнение расчета на основе сформулированной теории с результатами эксперимента по искусственному воздействию на ионосферную плазму.

2. Асимптотический метод решения задачи распространения радиоволн в трехмерно неоднородном волноводном канале (горизонтальные размеры неоднородности произвольны)

2.1. Асимптотический метод решения локально нерегулярных волноводных задач.

2.2. Новый подход к классической задаче о береговой рефракции (прямолинейная линия берега).

2.3. Задача о береговой рефракции в импедансном волноводе (геометрия береговой линии - произвольна).

3. Распространение волн в приземном волноводе с локальной трехмерной крупномасштабной неоднородностью (скалярная постановка задачи)

3.1. Распространение радиоволн в плоской модели волноводного канала с локальной неоднородностью, лежащей в плоскости одной из стенок волновода.

3.2. Распространение радиоволн в сферической модели волноводного канала с локальной неоднородностью, не выступающей за пределы стенки волновода.

3.3. Распространение радиоволн в плоской модели волноводного канала с локальной неоднородностью, в виде усеченного цилиндра.

3.4. Распространение радиоволн в плоской модели волноводного канала с локальной неоднородностью, имеющей произвольную гладкую поверхность.

4. Распространение электромагнитных волн в приземном волноводе с локальной трехмерной крупномасштабной неоднородностью нижней ионосферы (векторная задача)

4.1. Возможный подход к решению векторной трехмерной локально-нерегулярной волноводной задачи.

4.2. Деполяризация электромагнитного поля при рассеянии на локальной крупномасштабной неоднородности нижней ионосферы (модельная неоднородность в плоскости стенки волновода).

4.3. Исследование рассеяния электромагнитного поля на ионосферной неоднородности, имеющей вертикальное измерение.

Тема исследования и обзор литературы

Диссертация посвящена теоретическим аспектам проблемы распространения радиоволн в околоземном волноводном канале с учетом трехмерных геометрических и электрических особенностей нижней ионосферы и земной поверхности. Основное внимание уделено разработке математических методов моделирования и расчета волновых полей, возбуждаемых гармоническими во времени точечными источниками в слоистых средах с трехмерными локальными неоднородностями. Отметим, что математические аспекты названной физической проблемы включают в себя выбор и построение модели среды распространения, корректную постановку математической задачи, эффективное решение возникающих уравнений и исследование получаемых решений с целью выяснения зависимостей характеристик электромагнитного поля от величины различных параметров задачи. Под термином "локальная неоднородность" понимается нерегулярность среды распространения, имеющая конечные размеры по всем направлениям, и что особенно важно для задач распространения, в направлении источник-точка наблюдения и в поперечном к нему (внутри рассматриваемого слоя) направлении. При этом мы не ограничиваем себя неоднородностями, размеры которых малы в масштабе какого-либо параметра задачи (например, длины волны исследуемого электромагнитного поля, длины трассы распространения, размера главной зоны Френеля). Учет влияния такой неоднородности приводит к задачам математической физики с не разделяющимися переменными, и исключает возможность сведения задачи к двумерной. Надо также отметить, что речь пойдет о задачах распространения в среде с детерминированными, а не статистическими неоднородностями, и поэтому объектами исследования будут являться непосредственно амплитудно-фазовые характеристики электромагнитного поля, а не его статистические моменты.

К рассматриваемому типу неоднородностей, кроме неоднородностей ионосферы и земной поверхности в задачах околоземного распространения радиоволн, могут быть также отнесены трехмерные возмущения диэлектрических и металлических волноведущих систем, трехмерные включения в слоистых средах, моделирующие нерегулярности в задачах радиолокации и дистанционного зондирования. В различных отраслях современной техники, в частности, в электромагнитной дефектоскопии, разведочной геофизике и других приложениях важное значение имеют исследования возмущений электромагнитного поля, обусловленные наличием рассеивателей различной физической природы, и на этой основе определение информационных параметров этого поля.

Из столь широкого списка возможных приложений развиваемой теории, в качестве основного для данной диссертации, будем иметь в виду задачу околоземного распространения радиоволн низкочастотной части спектра (СДВ и ДВ диапазонов), что будет определять параметры рассматриваемых в работе моделей среды распространения. Важно также заметить, что в указанном диапазоне частот свойства ионосферной плазмы таковы, что оказывается возможным использование импедансной модели приземного волновода. И последнее замечание к определению круга рассматриваемых в диссертации задач. Внимательное изучение, в том числе и геофизической литературы, показывает действительное наличие потребности понимания поведения радиоволн данного диапазона в волноводном канале Земля-ионосфера, поскольку именно электромагнитные поля в этом диапазоне частот несут огромный объем информации об окружающей среде и, в частности, о естественных и искусственных возмущениях ионосферы, вплоть до возмущений, связанных с лунными полусуточными приливами и еженедельными вариациями в линиях электропередачи [1]. Решение прямых трехмерных задач должно в дальнейшем стать основой для перехода к решению обратной задачи распознавания неоднородностей нижней ионосферы на основе результатов наблюдений амплитуды и фазы как естественных, так и искусственных электромагнитных полей.

В настоящее время не существует канонических универсальных методов, которые без сомнения приводили бы к решению трехмерной задачи распространения волн с заданной точностью. И даже бурное развитие вычислительной техники и программной реализации численных алгоритмов не позволяет уповать в данной ситуации на всесилие численных методов. Во-первых, система уравнений Максвелла является системой эллиптического типа [2], для которой известно, что нельзя корректно поставить задачу Коши. Весьма перспективными являются методы, заменяющие эллиптическую систему уравнений на близкую к ней параболическую систему, для которой корректна постановка начальной задачи. Однако, такая замена вносит принципиально не уменьшаемую погрешность, оценить которую достаточно сложно [3]. Во-вторых, дискретизация исходной математической задачи накладывает жесткие требования на объем вычислительных ресурсов (объем оперативной памяти и быстродействие) используемой вычислительной техники, что заставляет ограничиваться в задачах распространения рассеивающими объектами с размерами не более нескольких десятков длин волн. В таких условиях говорить о решении обратной задачи в реальном масштабе времени численными методами - пока не приходится. Это заставляет искать новые подходы на пути синтеза численных и аналитических методов. Последние, в противоположность чисто численным методам, позволяют выявлять основные физические свойства волновых полей в разнообразных ситуациях, указывать простые качественные взаимосвязи между параметрами задачи, что позволяет, используя эту информацию, предсказывать особенности волновых полей для реальных структур, в ситуациях, когда использование численных методов или нерационально или даже невозможно (например, если требуется указать "разумное" начальное приближение).

В то время как теорию распространения радиоволн в околоземном пространстве (волноводный канал Земля-ионосфера, океанический волновод, ионосфера, магнитосфера Земли) в предположении его однородности и поверхностной регулярности границ можно считать в достаточной степени завершенной [4-14], то уже переход к моделям, учитывающим реальные условия распространения, даже в простейшем виде, когда возможно свести векторные уравнения Максвелла к скалярным уравнениям Гельмгольца, и затем осуществить процедуру разделения переменных, продолжает оставаться достаточно бурно развивающейся областью математической физики, в которой современные исследователи продолжают находить ответы на вопросы, возникающие в различных приложениях. Именно поэтому, описанные в отмеченных монографиях, а также в книгах [15-20], точные аналитические решения задач распространения волн в структурах эталонной геометрической формы, таких как плоскослоистые среды, цилиндрические и сферические области, клин и некоторых других, а также аналитические методы исследования волновых полей, опирающиеся на медленность изменения одних параметров по отношению к другим [21, 22], позволяют получать явные формулы для самих полей либо их характеристик, а также представляют возможность делать качественные заключения о физических свойствах уже нерегулярных структур. Формулы для одиннадцати известных систем координат, допускающих разделение переменных в скалярном уравнении Гельмгольца, к которому сводится большинство задач теории распространения электромагнитных волн в скалярной постановке, приводятся в [23]. При этом отдельные решения для канонических геометрий могут быть использованы для проверки трехмерного решения в предельных случаях, а также в качестве функций Грина в методе интегральных уравнений.

И все же, в большинстве практически значимых случаев, когда качественных выводов оказывается недостаточно, необходимо искать новые подходы, опираясь на фундамент знаний, заложенных предшественниками. Остановимся более подробно на методах и подходах, которые были непосредственной отправной точкой исследований, представленных в данной диссертации. В большом количестве работ, затрагивающих проблему оценки влияния на электромагнитное поле трехмерных неоднородностей среды распространения, и подробный обзор которых будет проведен ниже, основным методом построения решения является метод поверхностных интегральных уравнений или метод теории потенциала. Основное преимущество этого метода состоит в том, что он сводит задачи для уравнений в частных производных в неограниченной трехмерной области к интегральным уравнениям на двумерной поверхности и позволяет автоматически удовлетворять условиям на бесконечности [24, 25]. Большое внимание этому методу уделено в монографиях [10, 20, 26, 27], в работах [28, 29, 30]. Надо признать, что метод интегральных уравнений играет одну из центральных ролей в изучении граничных задач, связанных с дифракцией электромагнитных и акустических волн на ограниченных телах. Это обусловлено главным образом тем, что математическая постановка таких задач приводит к уравнениям в неограниченных областях, и, следовательно, их переформулировка в виде граничных интегральных уравнений не только уменьшает размерность задачи, но и позволяет свести ее к задаче в ограниченной области (по границе рассеивателя). При этом не накладывается ограничений на форму (поверхность рассеивателя должна, конечно, оставаться в классе поверхностей типа Ляпунова) и количество рассеивателей. Именно поэтому методы поверхностных, а также объемных интегральных уравнений являются отправной точкой многих, развиваемых на их основе, численных алгоритмов решения задач дифракции [31, 32, 33, 34, 35, 36]. Этот список ссылок может быть неограниченно продолжен, т.к. литература по численным методам решения задач дифракции чрезвычайно обширна и постоянно пополняется. Укажем также на возможность использования при решении задач дифракции методов, основанных на математической теории сингулярных интегральных уравнений [37, 38]. Эти последние ссылки я привожу только для того, чтобы показать, что выбор пути, по которому мы пошли в данной диссертации, был сделан на основе анализа достаточно широкого спектра имевшихся возможностей.

Характерной особенностью работ [24, 28, 29, 30] является то, что все теоремы касающиеся интегральных уравнений в теории дифракции и рассеяния, проводятся их авторами для линейных операторов, задаваемых на множестве функций из пространства С, а не Ь2, как это принято делать в чисто математической литературе [39, 40, 41]. В данном случае С (в) - банахово пространство комплекснозначных непрерывных функций, определенных на О и оснащенное нормой |<р| = тах |<р(х)|.

А пространство Ь2- пространство комплекснозначных интегрируемых с квадратом функций. Разрабатываемые в отмеченных работах методы применимы, в основном, для задач рассеяния в случае |&г| < 1 в, так называемом, длинноволновом приближении.

Отметим важное, на наш взгляд, отличие двумерных и трехмерных задач дифракции, возникающее при решении их методом поверхностных интегральных уравнений. При решении задач дифракции в рамках этого метода приходится работать с двумя формами математических выражений: это, так называемое, интегральное соотношение и собственно интегральное уравнение. Интегральное соотношение, получаемое с использованием теоремы Грина (ее скалярного варианта [42], либо векторного [24, 43], называемого часто формулой Стрэттона-Чу), выражает значение искомого поля в любой точке внутри волноводного объема через значения этого же поля и его нормальной производной на поверхности, ограничивающей этот объем. Часто это соотношение называют формулой Кирхгофа (или интегралом Кирхгофа) [10], или интегралом Гельмгольца [20], иногда - интегралом Гюйгенса, поскольку она служит математическим определением принципа Гюйгенса. Чтобы получить интегральное уравнение необходимо осуществить предельный переход точки наблюдения из внутренней точки волноводного объема на его граничную поверхность, которая является, в тоже самое время, и поверхностью интегрирования. Этот предельный переход является ключевым моментом теории потенциала. В результате него выделяется скачок нормальной производной функции искомого поля, и интегральное соотношение, тем самым, преобразуется в интегральное уравнение, в котором области определения функций, стоящих по разные стороны от знака равенства, совпадают. После такого предельного перехода поверхностный интеграл в уравнении уже должен пониматься в смысле главного значения (У.Р.), с "выколотой" точкой, соответствующей точке наблюдения, опущенной на поверхность. В тоже время, чисто формально можно показать [10, 20], что подынтегральное выражение не всегда имеет особенность в этой точке, которая определяется членом с нормальной производной функции Грина. Эта нормальная производная в двумерном случае (дифракция плоской волны на цилиндрическом объекте) определяется радиусом кривизны цилиндрической поверхности в данной предельной точке. В трехмерном случае, также имеется конечное значение этого предела, которое будет определяться уже двумя главными радиусами кривизны отражающей поверхности. Но, если в двумерном случае значение этого конечного предела единственно, то в трехмерном -оно зависит от направления, по которому точка движется к своему предельному значению. А это значит, что функция (нормальная производная функции Грина) в этой точке предела не имеет [44]. Высказанное замечание может оказаться важным при необходимости численной оценки интеграла в формуле Кирхгофа, например, при использовании метода итераций, либо метода Кирхгофа.

Остановимся подробнее на одной из классических задач теории распространения волн, задаче, возникшей в связи с проблемой береговой рефракции радиоволн, задаче, для решения которой был использован метод интегральных уравнений, и аналог которой описан в данной диссертации в качестве примера использования разработанной нами методики. В теории дифракции под задачей о береговой рефракции понимают задачи дифракции на бесконечной плоскости, поверхностный импеданс которой претерпевает скачок вдоль некоторой прямой (т.н. задача об импедансной ступеньке). В теории распространения это будет задача о распространении земной волны над двухкусочной трассой. Заметим, что теория дифракции рассматривает эту задачу как частный случай дифракции на клине с различными импедансами сторон и углом раскрыва, равным п. По-видимому, впервые задача о набегании радиоволн на прямолинейный берег моря была сформулирована в [45] с помощью приближенных граничных условий импедансного типа, записанных относительно вертикальной компоненты электрического поля (при этом проводимость моря считалась бесконечно большой). Задача была записана как в виде уравнения Вольтерра, так и в виде неоднородного интегрального уравнения второго рода с ядром, зависящим только от модуля разности аргументов, которое затем было решено приближенно [46]. Как было выяснено, неоднородное интегральное уравнение второго рода с ядром, зависящим только от модуля разности аргументов, принадлежит к классу интегральных уравнений, для которых возможно точное решение. Теория однородного уравнения с разностным ядром была развита в [47], хотя впервые неоднородное уравнение типа Винера-Хопфа было рассмотрено (без вопросов единственности и существования) в [48], где и было представлено его частное решение. Полное математическое исследование этого уравнения было представлено в [49, 50], что позволило получить точное аналитическое решение задачи для случая плоской волны, распространяющейся нормально к прямолинейной линии берега [51, 52]. Отметим, что метод Винера-Хопфа-Фока это один из старейших методов получения аналитического решения в задачах дифракции, он был использован также в [53, 54]. К сожалению, точное решение, получаемое этим методом, записывается в виде некоторых интегралов, форма которых до настоящего времени позволяет получать непосредственные численные результаты только для ограниченного числа специальных случаев, в которых замкнутая форма исходных интегралов допускает возможность преобразований. В частности, в [51, 52] был исследован приближенный вид решения, применимый в случае не слишком косого падения волны на линию берега. Аналогичная задача о дифракции плоской Н-поляризованной электромагнитной волны, набегающей перпендикулярно к береговой линии, в предположении об идеальной проводимости моря была решена независимо в работе [55]. Обобщение на случай конечных значений импедансов обеих полуплоскостей было выполнено в [56, 57, 58]. В акустике проблема расчета звукового давления, возбуждаемого гармоническим источником над неоднородной плоскостью, также является классической и рассматривалась неоднократно [59, 60], а также библиография к [60]. В исследовании [61] путем интегрирования решений для плоских волн была решена задача дифракции цилиндрической волны. Дифракция поверхностных волн при условии их нормального падения на линию скачка поверхностного импеданса стала предметом работ [62, 63]. Решение задачи о возбуждении поверхностных волн нитевидным источником (в общем случае мультипольным), расположенным на линии скачка импеданса, представлено в работе [64]. Работа [65] посвящена дифракции сферической звуковой волны. В случае нормального падения к границе раздела исследование скалярных (акустических) и векторных (электромагнитных) полей проводится практически одинаково. При более общей постановке задачи, когда допускается косое падение волны, такое вырождение снимается, и каждый из перечисленных случаев требует отдельного рассмотрения.

Задача о наклонном падении на импедансную ступеньку решена методом Винера-Хопфа-Фока в статье [66] для поверхностной звуковой волны и в статье [67] для поверхностной электромагнитной волны.

В теории распространения радиоволн над неоднородной в электрическом отношении земной поверхностью отметим отдельно работы [68, 69, 70, 71], посвященные задаче о двухкусочной трассе, когда основное внимание уделяется влиянию на поле именно скачка свойств поверхности, над которой распространяется либо земная волна, либо исследуется поле точечного источника. Авторы [68, 69, 70] в двумерном варианте рассматривают распространение над сферой. При этом в [68] наряду с методом интегральных уравнений, когда решение получается на первом шаге метода итераций, в том числе и для случая распространения вдоль береговой линии, используется и метод параболического уравнения. В работах [69, 70] ищется решение для точечного источника. Решение задачи о распространении земной волны, падающей под произвольным углом на линию берега рассмотрено в статье [71] методом интегрального уравнения Вольтерра. Здесь же стоит обратить внимание на работы, в которых рассматривается проблема перевозбуждения мод на границе суша-море в волноводном канале Земля-ионосфера [72, 73]. Примером того, что интерес к теории береговой рефракции не ослабевает и, что задача представляет интерес в связи с разнообразными приложениями, может служить статья [74], которая, в отличие от уже упомянутых работ, посвящена построению приближенной теории для случая, когда берег может быть криволинейным. В [74] в скалярном случае, путем приближенного разделения переменных в уравнении Гельмгольца, решение задачи находится в виде отклонения от решения В.А.Фока для прямолинейного берега. В работах [75, 76] рассмотрен аналог классической задачи о береговой рефракции -трехмерная задача о поле вертикального электрического диполя в нерегулярном импедансном волноводе. Рассмотрены плоская и сферическая модели волноводного канала. Для прямолинейной границы раздела сред получено решение в случае трассы, проходящей вдоль такой границы. Рассмотрен случай произвольной геометрии береговой линии. И последнее, результаты, полученные во всех только что отмеченных работах, имеют смысл только в пределах применимости приближенных импедансных граничных условий [77], которые могут быть определены только в случае, если известно точное решение соответствующей задачи дифракции. В частности, для того случая, когда граница раздела сред и трасса распространения пересекаются под прямым углом, можно воспользоваться результатами работ [78, 79, 80, 81, 82]. В работах [78, 79, 80] представлены результаты строгого исследования двумерных задач дифракции электромагнитных волн в системе из двух прямоугольных клиньев, имеющих общую грань, из которых один предполагается диэлектрическим, а другой - идеально проводящим. Решение было построено в случае |е^|»1, где г'т - относительная диэлектрическая проницаемость клина. Из результатов [79, 80] следует, что различия в импедансном и точном решениях задачи проявляются только в непосредственной близости от ребра клиновидной структуры на расстоянии порядка длины волны в диэлектрическом клине. Более общий случай, допускающий конечную проводимость обоих прямоугольных клиньев, был рассмотрен в работах [81, 82]. Задача дифракции была сведена к системе из двух сингулярных интегральных уравнений для преобразованного по Фурье граничного значения магнитного поля, рассеянного в однородное пространство, для которой была установлена однозначная разрешимость и описаны схемы приближенной регуляризации в пространствах 12 и С0. Приближенное решение было построено и исследовано численно и аналитически как в дальней зоне, так и вблизи ребра системы, только в случае »1 и |б'2|»1 - больших по абсолютной величине относительных комплексных диэлектрических проницаемостях клиньев. Оказалось, что импедансное решение хорошо аппроксимирует точное решение практически всюду - вплоть до экспоненциально малых расстояний от ребра. Результаты [78, 79, 80, 81, 82] доказывают правомочность применимости импедансной постановки задачи (для случая нормального падения плоской волны на грань клина) всюду за исключением экспоненциально малой окрестности ребра системы. Чтобы закончить с этим вопросом, необходимо остановиться на работах [52, 83], где было проведено уточнение теории скин-эффекта и граничных условий Леонтовича для выпуклых тел, в частности, в условиях распространения радиоволн над земной поверхностью, а также указать на работу [84], обобщающую известные сведения о граничных условиях Щукина-Леонтовича, в том числе и для структур с ребрами.

Теперь будет логично, чтобы закончить с обзором двумерных задач теории распространения радиоволн, остановиться на работах, посвященных анализу электромагнитного поля на многокусочных трассах без учета их поперечной структуры. В англоязычной литературе это приближение получило название mixed-path approximation. Характерная черта всех исследований - это использование приближенных импедансных граничных условий на поверхности, над которой происходит распространение волн. Большинство цитируемых работ рассматривает проблему в рамках метода поверхностных интегральных уравнений. Поскольку поперечная структура трассы не учитывается, в исходном интегральном соотношении Кирхгофа проводится приближенное интегрирование по поперечной координате, и задача переформулируется в виде интеграла Вольтерра, для решения которого предлагаются различные схемы. Если отклонения геометрии поверхности от идеальной (рельеф) не учитываются [85, 86, 87, 88, 89], то возможны аналитические представления решения. Однако, такие формулы, удобные для трасс с протяженными участками различных импедансов, ориентированы на использование для решения прикладных задач. В случае большого числа непротяженных участков предпочтительнее будут численные методы решения. В статье [90] рассмотрена ситуация, когда зависимость импеданса от расстояния от излучателя представима в виде ряда по полу целым степеням. Здесь же отметим работы [91, 92], посвященные трассовому приближению в задаче о распространения волн в сферическом анизотропном плавно-нерегулярном волноводе Земля-ионосфера, когда не учитывается влияние на фазу собственной волны рефракционных эффектов, вызванных поперечной нерегулярностью волновода. Приближение построенное в [91] позволяет оценить погрешность трассового приближения и при заданной точности расчета фазы определить расстояния, на которых возможно использование трассового приближения. В работе [92] анализируется влияние поперечной к направлению распространения нерегулярности свойств волноводного канала Земля-ионосфера на электромагнитное поле низкочастотных излучателей, расположенных в нижней ионосфере и на спутниковых высотах. Приводятся численные оценки влияния поперечной нерегулярности на фазу и амплитуду поля при распространении в окрестности экватора.

Остановимся на работах исследующих, одномерные трассы, но с учетом высотного рельефа земной поверхности. Два альтернативных интегральных уравнения типа Вольтерра получают авторы [93] и [94, 95], учитывая высотный профиль трассы в области между источником и приемником. Влияние резко выраженной геометрической неоднородности трассы распространения исследовалось в работах [96, 97] в случае, когда рельеф трассы задавался в виде гауссовой кривой. В случае произвольной функции рельефа чаще применяется одномерное интегральное уравнение [93]. В ряде работ численные расчеты на основе решения интегрального уравнения Вольтерра сопоставляются с результатами экспериментов [98,99, 100, 101]. При этом в [100] задача усложнена исследованиями распространения импульсного сигнала, [101] переносит исследования в область более высоких частот. Модификация известных уравнений производится в [102], где различаются случаи выпуклой и вогнутой поверхностей, над которыми происходит распространение радиоволн. Аналогичная акустическая задача рассматривается в [103, 104]. Метод параболического уравнения, родственный методу интегрального уравнения Вольтерра, применяется в статьях [105, 106]. Оба эти метода пренебрегают отраженными на линии скачка импеданса волнами. Обзор известных в литературе примеров использования параболического уравнения в теории распространения волн приводится в [107].

Обзор трехмерных задач теории распространения радиоволн мы ограничим задачами распространения для различных моделей, учитывающих трехмерные локальные неоднородности волноводного канала Земля-ионосфера. Таким образом, за рамками данного обзора будут оставлены исследования задач дифракции и рассеяния на трехмерных включениях в слоистых средах, в диэлектрических и металлических волноведущих системах, обычно проводимые на основе объемных интегральных уравнений и прямых численных методов. Прежде чем описывать, имеющиеся к настоящему времени в литературе примеры решения задач математической физики, относящихся к заявленной проблеме, кратко опишем круг природных явлений, приводящих к нарушению однородности параметров ионосферной плазмы, т.е. ведущих к образованию локальных неоднородностей нижней ионосферы. Здесь необходимо отметить возмущения, обязанные своим происхождением терминатору, землетрясениям, магнитным бурям, образованию спорадического Е-слоя [108], высыпаниям электронов и протонов из радиационных поясов. Размеры таких неоднородностей в горизонтальной плоскости могут быть от десятков и сотен до тысяч километров в диаметре. Обе полярные области ионосферы могут рассматриваться как локальные трехмерные неоднородности на длинных трассах распространения радиоволн. Отметим отдельно, что причиной широко известного явления возмущения амплитуды и фазы регистрируемых СДВ и ДВ сигналов [109, 110, 111], называемого Trimpi эффект, также являются локальные изменения нижней ионосферы. Помимо возмущений естественного характера возможно появление локальных ионосферных неоднородностей, являющихся следствием деятельности человека. Причем такую деятельность можно подразделить на два вида. Во-первых, это события, для которых модификация параметров ионосферы оказывается побочным результатом. К таким можно отнести: старты космических аппаратов [112, 113, 114, 115], промышленные взрывы [116], воздействие мощных наземных источников электромагнитного поля [117], возможное появление в будущем спутниковых энергетических установок [118, 119]. И, во-вторых, это преднамеренное искусственное возмущение плазменной среды в рамках стремительно развивающегося в настоящее время научного направления в исследованиях околоземной среды, так называемыми, активными методами [120]. Это эксперименты, сопровождающиеся впрыскиванием химически активных веществ [121], и эксперименты по направленному облучению ионосферной плазмы мощным высокочастотным электромагнитным полем (ВЧ нагрев ионосферы) [122, 123, 124, 125, 126]. В большой своей части такие исследования носят ярко выраженный экологический характер. Размеры рукотворных локальных неоднородностей конечно уступают размерам естественных неоднородностей, но, в конечном итоге, любой размер важен в сравнении с двумя величинами: либо с длиной волны распространяющегося излучения, либо с длиной трассы распространения. Локальные неоднородности на земной стенке волновода - это неоднородности "островного" и "полуостровного" типа. Их ограниченность в направлении, поперечном к трассе распространения, может существенно влиять как на амплитуду, так и на фазу распространяющегося над такими объектами сигнала, особенно в случае, когда линия трассы проходит вблизи касательного направления к границе неоднородности [127].

Большинство теоретических работ, посвященных анализу трехмерных задач теории распространения, ставило своей целью объяснить наблюдавшиеся на эксперименте вариации амплитуды и фазы, в основном СДВ и СНЧ, радиосигналов рассеянием электромагнитных волн на локальных неоднородностях ионосферы. Предполагая такие неоднородности малыми возмущениями задачи, решение определялось в виде поправок к невозмущенному решению в регулярном волноводе. Из наиболее ранних работ отметим [128], где на основе теории дифракции Френеля производятся оценки влияния на одномодовое СДВ поле в плоском волноводе малого локального понижения высоты ионосферы. В работах [129, 130, 131, 132, 134] решение получено для неоднородностей малых в масштабе длины волны, распространяющегося поля, а в [135, 136] для неоднородностей малых в масштабе длины трассы распространения. Авторы упомянутых работ используют метод интегральных уравнений. Для описания ионосферной неоднородности привлекаются различные математические модели. Наиболее часто используется идея, высказанная еще в [129], где предлагалось характеризовать неоднородность среды распространения малыми возмущениями постоянных распространения волноводных мод, которые таким образом становились двумерными функциями координат в горизонтальной плоскости распространения волны, аналогично индексу рефракции в пространственно неоднородной среде. Взаимодействием мод пренебрегалось, и в конечном результате рассматривалась только одна основная нормальная волна. Полученное в [129] интегральное уравнение неоднократно использовалось в дальнейшем [130, 131, 136], но только в предположении одномодовости сигнала, что вынуждало авторов ограничиваться диапазоном СНЧ, либо СДВ на очень протяженных трассах. В качестве методов решения двумерного интегрального уравнения использовались либо прямые численные методы [131], либо в качестве решения рассматривался первый шаг метода последовательных приближений (Борновское приближение) [129, 132, 134, 136]. В [132, 134] неоднородность задается возмущением эффективной высоты волноводного промежутка, которое, опять же только для основной моды исследуемого СНЧ поля, через известное дисперсионное соотношение можно пересчитать в возмущение постоянной распространения. Поскольку в области, занятой неоднородностями типа Еа или вызванными высыпанием электронов, затухание волн СНЧ может возрастать в несколько раз, то изменения такой "постоянной" распространения СНЧ в волноводе Земля-ионосфера несомненно есть. Однако, на наш взгляд, выглядит спорной возможность рассматривать в такой модели возмущение, располагающееся непосредственно над источником (или над приемником), поскольку в непосредственной близости от источника любое, даже самое низкочастотное поле, описывается бесконечной суммой нормальных мод, выделить в которой главную (которая определит постоянную распространения) до некоторых расстояний от источника оказывается невозможным. Это подтверждают результаты работы [132], где в отличие от [133] показана необходимость учета ближних полей (электростатической и индукционной составляющих) в задаче дифракции СНЧ электромагнитного поля на локальной неоднородности полости Земля-ионосфера в случае расположения неоднородности над одним из концов радиотрассы.

Иной подход развивается в задачах о распространении радиоволн над неоднородной в электрическом отношении земной поверхностью, когда неоднородность учитывается введением неоднородного поверхностного импеданса, задаваемого как функция координат на граничной поверхности волновода [137, 138, 139, 140, 141, 142]. Получаемые поверхностные интегральные уравнения решаются, в большинстве случаев, либо прямыми численными методами, либо решение определяется в Борновском приближении. Сравнение Борновского приближения решения двумерного интегрального уравнения с его численным решением для нерегулярности малой по сравнению с шириной первой зоны Френеля [140] показало их эквивалентность. Анализ известных решений показывает, что наличие в получаемых соотношениях поверхностных интегралов, содержащих быстро осциллирующие функции, приводит к необходимости обращать (если решать задачу прямо, аппроксимируя интегральный оператор в большом числе узлов) получаемые при этом линейные алгебраические системы высокого порядка. Это накладывает слишком жесткие ограничения на размеры области нерегулярности, что в конечном итоге не дает заметных преимуществ прямому численному решению [131] перед решением в виде первого члена ряда теории возмущений [132, 134, 135, 136]. Авторы [141] проводят предварительное асимптотическое интегрирование по поперечной к направлению распространения координате, чтобы упростить дальнейшее решение, оставаясь в дальнейшем в рамках первого шага теории возмущений. Некоторые схемы приближенного интегрирования по поперечной координате рассмотрены в работах [89, 137]. Это позволяет исследовать значительные по протяженности (вдоль трассы распространения) неоднородности, однако, информация об их поперечной структуре в результате такой операции оказывается потерянной. Предложенная в [138] формула для учета влияния на функцию ослабления земной волны нерегулярностей трассы с учетом их поперечных размеров, получена без достаточного математического обоснования и носит полуэмпирический характер. Несколько особняком в предложенном списке стоит работа [139], авторы которой развивают методы параболического уравнения, используя алгоритм задачи Коши. В [139] сравниваются решения, полученные методом сеток в двумерном и трехмерном вариантах, для задачи распространения над неоднородностями земной поверхности в изотропном сферическом волноводе с импедансными стенками при возбуждении поля вертикальным электрическим диполем. Как известно [3], замена системы уравнений эллиптического типа (уравнения Максвелла) на уравнения параболического типа вносит принципиально не уменьшаемую погрешность, оценить которую достаточно сложно. При этой замене отбрасываются также волны, распространяющиеся во встречном направлении. Численное решение [142] двумерного интегрального уравнения для трехмерной задачи распространения над плоской Землей с неоднородностями поверхностного импеданса сравнивается с экспериментальными данными, полученными в [143]. Результаты находятся в хорошем соответствии везде, за исключением небольшой области расположенной непосредственно за неоднородностью, что авторы [142] объясняют приближенным характером импедансных граничных условий. Метод физического моделирования был использован в [145] для изучения влияния крупно масштабной ионосферной неоднородности, связанной с заметным понижением ионосферы. Отметим, что все перечисленные работы, за исключением [132,134], используют скалярную постановку задачи, сущность которой состоит в пренебрежении деполяризацией поля при отражении от нерегулярных стенок волновода. Обоснование возможности такого подхода для задач о распространении земной волны содержится в [86]. Что касается задач с ионосферными локальными неоднородностями, то сопоставление результатов скалярной и векторной постановок задачи, проведенное в [144], показало правомочность скалярного подхода в большинстве практически значимых случаев.

Принципиально иной подход к проблеме распространения электромагнитных волн в приземном волноводном канале в сложных условиях горизонтально и вертикально неоднородной анизотропной ионосферы в случае, когда электромагнитное поле и свойства среды зависят от всех трех пространственных координат, развивается автором [146, 147]. Изложенная в отмеченных работах поверхностная теория двумерного телеграфного уравнения всецело учитывает специфику распространения радиоволн СНЧ и КНЧ диапазонов, когда волновод Земля-ионосфера - тонкий, и среди нормальных волн выделяется и остается одна, являющаяся аналогом кабельной волны. Остальные моды - местные и затухают на горизонтальном масштабе расстояния порядка высоты волновода.

Как было отмечено выше, большинство авторов, исследовавших проблему влияния локальных неоднородностей ионосферы на распространение радиоволн СНЧ и СДВ диапазонов, моделировали возмущение волноводного канала с помощью постулируемой зависимости, от координат в горизонтальной плоскости, постоянной распространения основной волноводной моды (введением малого ее возмущения). Учет в рамках той же теории [129, 148] эффекта многомодовости, принципиально изменить ситуацию не может, т.к. перевозбуждение мод по-прежнему не учитывается.

В данной диссертации свойства ионосферной стенки волновода описываются неоднородным поверхностным импедансом, определяющим свойства вертикально стратифицированной ионосферы, и задаваемым как функция координат граничной поверхности, в окрестности которой происходит распространение электромагнитной волны. Такой подход не ограничен частотами и расстояниями, допускающими только одномодовое представление поля в регулярном волноводе Земля-ионосфера, он позволяет последовательно рассматривать возмущения, находящиеся непосредственно над источником, когда любое даже самое низкочастотное поле описывается бесконечной суммой нормальных волн, выделить в которой главную (определяющую постоянную распространения) до некоторых расстояний от источника оказывается невозможным. Введением импеданса можно учесть влияния неоднородного ионосферного слоя, ответственного за отражение радиоволн, и тем самым отделить задачу об отражении волн от ионосферы от задачи формирования поля в полости волновода. Импедансная модель волновода Земля-ионосфера является, по-видимому, наиболее простой и часто использовавшейся с начала периода расцвета внимания к проблеме волноводного распространения СДВ [149, 150, 151, 152], в том числе и в задачах, учитывавших влияние геомагнитного поля [153, 154]. Описание отражательных характеристик плазменного ионосферного слоя с помощью импеданса позволяет относить его к эффективной отражающей поверхности, располагающейся на различных высотах внутри области существенной при отражении [155], и производить пересчет импеданса на новую высоту с сохранением характеристик отражающего слоя [156]. При этом, может быть найдена высота, на которой значительно ослабляется зависимость импеданса от угла падения волны на ионизованный слой [157], и, значит, импеданс, отнесенный к этой высоте, будет слабо зависеть от вида поля, падающего снизу на ионосферу. Определение значений импеданса и высоты, на которую его следует относить, можно производить по известным вертикальным профилям электронной концентрации и частоты соударений путем интегрирования системы нелинейных уравнений первого порядка [158, 159, 160]. Из результатов [161] следует, что усложнение импедансной модели, использующее первую производную эквивалентного импеданса по синусу угла падения и определяющее эффективную высоту по минимуму этой производной, обладает наибольшей возможной точностью. Если использование импедансной постановки задачи в СНЧ диапазоне иногда требует дополнительного обоснования [162, 147], то для диапазона СДВ и ДВ (до частот примерно 100 кГц) такая постановка является общепризнанной. Отметим также, что все, только что процитированные результаты, получены на основе исследований либо задачи о падении плоской волны на горизонтально однородное, заполненное плазмой, полупространство, либо задачи о распространении волн в горизонтально однородном волноводе, т.е. в результате решения однородных задач.

В данной работе уже для неоднородной задачи используется та же самая идея о разделении исходной проблемы на две: на задачу построения математической модели (и придания физического смысла ее параметрам), описывающей условия распространения в околоземном пространстве с учетом горизонтальной (продольной и поперечной) неоднородности среды распространения, и задачу дифракции в промежутке между двумя импедансными поверхностями. Обратимся очень коротко к первой задаче - построения модели среды распространения. Не конкретизируя физические причины возникновения ионосферных неоднородностей, можно утверждать, что все они в конечном итоге выражаются соответствующими изменениями, например [163], вертикальных профилей электронной концентрации Ne(z) и частоты соударений ve(z) электронов (в рассматриваемом диапазоне частот влияние ионов не существенно). Эти профили как функции вертикальной координаты z над каждой точкой земной поверхности (г, ф) можно использовать для вычисления импеданса ионосферы, отнесенного к некоторому, вполне конкретному [155, 156, 157, 161], уровню над поверхностью Земли и определяющего отражательные характеристики ионосферы. Иными словами, чтобы определить численные значения параметров импедансной модели, адекватно отражающей условия распространения радиоволн в присутствии локальных неоднородностей, в данной диссертации, для каждой точки (г, ср) на земной поверхности рассматривается задача распространения волн в плоском горизонтально-однородном волноводе, образованном Землей и вертикально-неоднородной ионосферой со свойствами (Ne{z) и ve(z)), взятыми из реальной ионосферы на вертикали, проходящей через рассматриваемую точку. После этого решается задача распространения радиоволн, возбуждаемых точечным источником, в вакуумном промежутке, ограниченном неоднородными импедансными поверхностями. Работоспособность такой модели была проверена в том числе и путем сопоставления расчетов, сделанных на ее основе в [164], с результатами эксперимента [165]. Условия же применимости модели станут ясны только после решения строгой задачи.

Сформулируем выводы, которые вытекают из обзора литературы.

- Проблема учета влияния локальных трехмерных неоднородностей нижней ионосферы или земной поверхности представляет несомненный интерес, как с теоретической точки зрения, поскольку относится к еще только начинающему развиваться направлению - исследованиям трехмерных волноводных задач, так и с точки зрения приложений к широкому кругу радиофизических, геофизических и экологических проблем.

- Имеющиеся к настоящему времени решения трехмерных волноводных задач охватывают очень узкую область возможных параметров таких неоднородностей, по большей части малых в масштабах либо длины волны, либо длины трассы распространения, либо размеров зоны Френеля. Большинство опубликованных решений - это скалярное приближение для задач дифракции и рассеяния векторных электромагнитных полей,

- Практически не нашли своего отражения в литературе, либо вовсе отсутствуют исследования крупномасштабных трехмерных неоднородностей, исследования векторных эффектов, например, деполяризации поля при рассеянии на трехмерной неоднородности, не учитывается реальная анизотропия приземного волноводного канала, обусловленная свойствами ионосферной плазмы и наличием геомагнитного поля.

Основываясь на только что приведенных положениях, сформулируем Цель данной диссертационной работы как развитие теории распространения низкочастотных электромагнитных волн в трехмерном локально нерегулярном околоземном волноводном канале на основе:

1.) разработки нового математического аппарата исследования волновых полей;

2.) построения решений новых задач, либо известных задач, но для областей изменения параметров не исследовавшихся ранее и доведения этих решений до численной реализации;

3.) исследования волновых полей для рассмотренных впервые трехмерных задач теории распространения радиоволн в приземном волноводе с различными модельными локальными неоднородностями.

Публикация материалов диссертации и её краткое содержание.

Все результаты, представленные в диссертации являются новыми и оригинальными. Основное содержание диссертации опубликовано в статьях [75, 76, 127, 135, 144, 164, 166 - 184, 214] и отражено в докладах на научных семинарах, конференциях и симпозиумах [185 - 200, 215].

Вошедшие в диссертационную работу материалы представлялись на:

- XIV Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Ленинград, 1984, [185];

- XVI Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Харьков, 1990, [188];

- XVII Всероссийской конференции по распространению радиоволн, Ульяновск, 1993, [191];

- XVIII Всероссийской конференции по распространению радиоволн, С.Петербург, 1996, [192];

- XIX Всероссийской конференции по распространению радиоволн, Казань, 1999, [215];

Межведомственных семинарах по распространению километровых и более длинных радиоволн: Алма-Ата, 1984; Апатиты, 1985; Красноярск, 1986; Харьков,1987, Алма-Ата, 1990; Томск, 1991; С. Петербург, 1992, [182, 183, 184, 186, 187, 189, 190]; Региональных конференциях по распространению радиоволн: С. Петербург, 1997; С.Петербург, 1998, [199, 200];

XXIII Генеральной Ассамблее URSI, Прага, Чехословакия, 1990, [193]; Европейском Международном Симпозиуме EUROEM'94, Бордо, Франция, 1994, [172];

Международной конференции по математическим методам в электромагнитной теории, Харьков, Украина, 1994, [178];

Международном симпозиуме по электромагнитной теории (URSI, commission В), С.Петербург, 1995, [177];

Международной конференции по морским применениям теории электромагнетизма, Лондон, Великобритания, 1997, [175].

Результаты работы использовались при выполнении бюджетных работ отдела радиофизики НИИ Физики Санкт-Петербургского государственного университета: "Татьяна - РВО", "Трамплин -1 - РВО", "Распространение радиоволн в околоземном пространстве", а также ряда хоздоговорных работ. Часть исследований была поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований.

Диссертационная работа состоит из Введения, четырех глав, каждая из которых состоит из нескольких параграфов, объединенных типом рассматриваемой трехмерной неоднородности и используемым методом исследования, Заключения, 43 рисунков и Списка литературы, насчитывающего 223 наименования. Общий объем работы 277 страниц.

Заключение

В диссертации представлена совокупность методов постановки, построения решения и исследования волновых полей в задачах теории распространения низкочастотных электромагнитных волн в околоземном волноводе с трехмерными локальными неоднородностями в нижней ионосфере и на земной поверхности. С их помощью описаны возмущенные локальными неоднородностями электромагнитные поля, возбуждаемые элементарными точечными источниками. В связи с невозможностью оценки влияния всего многообразия физических факторов, воздействующих на процесс распространения радиоволн в приземных условиях, основное внимание было уделено разработке математически обоснованных методов исследования влияния возмущений нижней ионосферы Многообразие свойств ионосферных неоднородностей, различие характера взаимодействия ионосферной плазмы с полями ТМ и ТЕ поляризаций в рассматриваемом диапазоне частот, требовали исследования большого количества модельных задач в стремлении охватить как можно более широкий спектр возможных природных ситуаций. В тоже время, использованная для описания локальных неоднородностей нижней ионосферы, как и земной поверхности, импедансная модель, позволила применить, развитые в работе методы, и получить новые результаты и для задач о распространении земной волны (точнее, рассмотренные задачи надо называть задачами распространения с учетом неоднородностей земной поверхности), которые остаются предметом внимания исследователей уже на протяжении почти столетия [222]. Это было продемонстрировано в п.2.2, п.2.3, п.3.1 и п.3.2, причем везде, кроме п.3.1, в отличие от классической проблемы о распространении земной волны [222, 223] постановка, решение и исследование модельных задач производилось с учетом влияния ионосферы.

Два фактора определяют внутреннее единство диссертации. Во-первых, это импедансная модель локально неоднородного волноводного канала Земля-ионосфера, описанная в главе 1. В рамках этой модели осуществляется постановка математических задач теории распространения радиоволн во всех главах диссертации. Модель позволяет перейти от задачи распространения в трехмерно неоднородном полупространстве над земной поверхностью, характеризуемом, различными над каждой точкой этой поверхности вертикальными профилями концентрации и частоты соударений электронов, к задаче в волноводном канале, свойства стенок которого, описываются неоднородным по площади поверхностным импедансом, скалярным или тензорным в зависимости от рассматриваемой задачи. Вторым фактором, определяющим единство подходов к решению рассмотренных в диссертации модельных задач теории распространения радиоволн, является использование метода интегральных уравнений, как для анализа малых в масштабе длины трассы распространения, так и произвольных в своих геометрических размерах, неоднородностей.

Исследования в этих рамках (импедансная модель и постановка задачи, приводящая к интегральным уравнениям) относительно малых неоднородностей позволили опробовать и утвердиться в плодотворности идеи использования в качестве функции Грина - вектора Герца соответствующей регулярной волноводной задачи. Такая функция Грина обеспечила переход от интегральных уравнений с интегралами в бесконечных пределах к уравнениям с интегралами, распространенными только по поверхности неоднородности. В дальнейшем выявился ещё один положительный момент такого преобразования - тем самым из рассмотрения исключалась область резкого изменения функций поля в области скачка импеданса при переходе через границу неоднородности. Решения в этом случае интегральных уравнений на первом шаге метода последовательных приближений (оценки области применимости которого были получены) позволили описать возмущенные локальной неоднородностью поля и выявили основные закономерности поведения функций поля в зависимости от геометрических характеристик неоднородности. В этом приближении (малых неоднородностей) была обоснована правомочность скалярного подхода, пренебрегающего деполяризацией электромагнитного поля при рассеянии на трехмерной неоднородности, для определения возмущения первичной компоненты поля. На основании полученных результатов был сделан вывод о том, что в задаче с неоднородностью в виде усеченного цилиндра, основное влияние на поле в точке наблюдения оказывает опустившееся (поднявшееся) в полость (из полости) волновода основание цилиндрического возмущения, а не его боковая поверхность. Этот результат был использован в главе 4 при построении решения уже векторной задачи с неоднородностью аналогичной формы и произвольных размеров. В этом же приближении малых в масштабе длины трассы распространения неоднородностей был проведен расчет возмущения электромагнитного поля, наблюдавшегося в ходе эксперимента по активному воздействию на ионосферу мощным КВ радиоизлучением. Хорошее совпадение рассчитанных величин с опубликованными в литературе экспериментальными данными подтвердило правильность методики построения импедансной модели, гипотезы о применимости её в случае, когда линейные размеры неоднородности меньше длины волны (в вакууме) распространяющегося сигнала, а также продемонстрировало работоспособность вычислительных алгоритмов, реализующих развитые теоретические построения.

Все отмеченные результаты были использованы при разработке метода исследования волновых полей в задачах распространения в приземном волноводе с локальными неоднородностями произвольных размеров, в том числе и по обеим координатам в горизонтальной плоскости. Во второй и третьей главах было рассмотрено скалярное приближение граничной электродинамической задачи, при котором пренебрегалось деполяризацией поля при отражении от трехмерной неоднородности. В искомых функциях поля были выделены быстро осциллирующие части, и они были представлены в виде произведения новой искомой функции -функции ослабления, на множитель, описывающий поле диполя (в дальней зоне) вблизи идеально проводящей плоскости. Путем асимптотического по параметру /гг»1 интегрирования по поперечной к трассе распространения координате с точностью 0(1/1гг) двумерные интегральные уравнения для функций ослабления были преобразованы в одномерные, контуром интегрирования для которых является геометрический контур неоднородности, а подынтегральная функция определяется значениями поля на контуре неоднородности и на проекции на поверхность, содержащую неоднородность, геодезической, соединяющей источник и точку наблюдения. Такое преобразование требует введения естественной при исследовании волновых полей, создаваемых точечными источниками, эллиптической системы координат в плоскости стенок волновода (для случая плоской модели волноводного канала), а для случая сферической модели - эллиптической системы координат на сфере. Некоторые аналитические решения такого одномерного уравнения приводятся в главе 2. Они позволили получить новые результаты в классической задаче о береговой рефракции и выяснить, что полученное нами одномерное интегральное уравнение, в отличие от известных ранее, учитывает не только "преломление" поля при переходе через границу раздела сред с разными импедансами, но и отражение поля, в том числе назад, с учетом геометрии такой границы.

Разработка алгоритма решения полученного одномерного интегрального уравнения, сочетающего в себе прямое обращение основной части (типа Вольтерра) интегрального оператора с последовательными приближениями для определения поля на границах неоднородности, придала законченный вид развитому в диссертации численно-аналитическому методу решения трехмерных локально нерегулярных задач теории распространения волн. На его основе впервые получены и исследованы, для начала в скалярном приближении, поля точечного источника в волноводе с крупномасштабной неоднородностью, как не выступающей за пределы поверхности стенки волновода, так и нарушающей геометрическую регулярность поверхности волноводной стенки и представлявшей собой часть поверхности эллипсоида, опустившегося (поднявшегося) в полость (из полости) волновода. Развитый метод с одинаковым успехом применим как для плоской, так и для сферической моделей волноводного канала Земля-ионосфера, что было продемонстрировано в п.3.2.

В общем случае векторной трехмерной локально нерегулярной задачи развиваемый метод был распространен на систему связанных интегральных уравнений для компонент электромагнитного поля. Решение системы было получено в диагональном приближении. Необходимо отметить, что обобщение на векторный случай не тривиально, оно потребовало новых, отличающихся от известных в литературе, импедансных условий для нормальных к границам производных векторов поля, условий, отражающих трехмерную природу исследуемой неоднородности.

Плюс к этому, различный характер взаимодействия ионосферной плазмы с ТМ и ТЕ компонентами электромагнитного поля вынудил, даже без учета влияния магнитного поля Земли, рассматривать ионосферный импеданс в виде тензора второго ранга, диагональные элементы которого не равны. Дополнительных пояснений потребовала и модель возмущения в виде усеченного цилиндра, опустившегося (поднявшегося) в полость (из полости) волновода. В результате, решение векторной задачи позволило оценить деполяризацию поля при рассеянии на трехмерной неоднородности и показать, что этот эффект выражен сильнее для неоднородности, имеющей вертикальный профиль поверхности.

Все модельные задачи, рассмотренные в диссертации, доведены до численных результатов, которые представлены в виде графиков. Это потребовало разработки вычислительных алгоритмов, написания и отладки программ, реализующих такие алгоритмы. Большое количество проведенных численных расчетов показывает значимость трехмерных эффектов при распространении радиоволн в приземном волноводе.

Автор надеется, что результаты, полученные в диссертации, позволяют сделать ещё один шаг на пути решения одной из сложнейших проблем теории распространения электромагнитных волн - задачи о распространении радиоволн в реальных земных условиях. Диссертация реализует программу исследований, начатую более десяти лет тому назад, в основе которой лежало стремление к строгому математическому рассмотрению физической задачи определения низкочастотных электромагнитных полей в волноводном канале Земля-ионосфера в условиях локального возмущения нижней ионосферы. Приношу свою глубокую благодарность профессору Г.И.Макарову, чей глубокий математический подход к изучению прикладных проблем радиофизики в немалой степени способствовал формированию методологии данного исследования. Автор благодарен В.В.Новикову, взявшему на себя труд рецензировать диссертацию и сделавшему ряд полезных замечаний, а также В.В.Кириллову за полезное обсуждение основных результатов работы.

Для численной реализации методик, алгоритмов и методов, разработанных в ходе работы над проблемой и описанных в данной диссертации, были созданы программы на языке FORTRAN, в работе над которыми автору помогали Тепа E.JL и Агапов В.В., которым автор искренне признателен.

1. Bernhardt P.A., Price K.M., Crary J.H. Periodic fluctuations in the Earth-ionosphere waveguide.// J. Geophys. Res. 1981. V.86. No. A4. P.2461-2466.

2. Владиморов B.C. Уравнения математической физики. 5 изд. М. 1987.

3. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Минаев Д.В., Сычкова A.B. Расчет диэлектрических волноведущих систем конечно-разностным методом.// Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. №5. С.804-815.

4. Щукин А.Н. Распространение радиоволн. М.: Связьиздат. 1940. 400с.

5. Wait J.R. Electromagnetic waves in stratified medium. Pergamon Press. 1962. 372p.

6. Краснушкин U.E., Яблочкин H.A. Теория распространения сверхдлинных волн. ВЦ АН СССР. М. 1963. 94с.

7. Baños A. Dipole radiation in the presence of a conducting half space. Pergamon Press. 1966.

8. Алъперт Я.Л., Гусева Э.Г., Флигель Д.С. Распространение низкочастотных электромагнитных волн в волноводе Земля-ионосфера. М.: Наука. 1967. 123с.

9. Макаров Г.И., Новиков В.В. Четыре лекции по теории распространения радиоволн. Л.: Изд-во ЛГУ. 1972. 137с.

10. Шендеров E.JI. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение. 1972.

11. Galejs J. Terrestrial propagation of long electromagnetic waves. New York. Pergamon. 1972.

12. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука. 1973. 343с.

13. Budden K.G. The propagation of radio waves. Cambridge University Press. 1985.

14. Макаров Г.И., Новиков В.В., Рыбачек С. Т. Распространение электромагнитных волн над земной поверхностью. М.: Наука. 1991. 196с.

15. Макаров Г.И., Новиков В.В., Рыбачек С.Т. Распространение радиоволн в волноводном канале Земля-ионосфера и в ионосфере. М.: Наука. 1994. 152с.

16. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир. 1974. 323с.

17. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Т.1. М.: Мир. 1978. 547с.

18. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Т.2. М.: Мир. 1978. 555с.

19. Левин Л. Теория волноводов. Методы решения волноводных задач. М.: Радио и связь. 1981. 312с.

20. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение. 1989. 304с.

21. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М. 1961. 216с.

22. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М. 1972. 456с.

23. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск. Наука техника. 1968. 582с.

24. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений М.: Мир. 1987. 311с.

25. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехтеоретиздат. 1953. 415с.

26. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Т2. M.-JL: ГИИТЛ. 1951. 554с.

27. Хеш X., Мауэ А., Вестпфалъ К. Теория дифракции М. Мир.: 1964. 428с.

28. Kleinman R.E., Roach G.F. Boundary integral equations for the three-dimensional Hemholtz equation.// SIAM Review. 1974. V.16. No.2. P.214-236.

29. Kleinman R.E. Low frequency electromagnetic scattering.// Reprinted from "Electromagnetic Scattering". Academic Press. NY., San Francisco, London. 1978. 28p.

30. Kleinman R.E., van den Berg P.M. Iterative methods for solving integral equations.// Radio Sei. 1991. V.26. No.l. P. 175-181.

31. Самохин А.Б. Объемные сингулярные интегральные уравнения и задачи дифракции в локальных средах.// Распространения и дифракция волн. Межвед. сб. М. 1988. С.90-101.

32. Самохин А.Б. Низкочастотное рассеяние электромагнитных волн на трехмерных диэлектрических телах.// Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. №2. С.219-225.

33. Самохин А.Б. Интегральные уравнения электродинамики трехмерных структур и итерационные методы их решения.// Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. №8. С.1345-1369.

34. Галишникова Т.Н., Ильинский A.C. Численные методы в задачах дифракции. М.: Изд-во МГУ. 1987. 208с.

35. Брызгало СЛ., Jlepep A.M. Метод полуобращений для решения задач дифракции на неоднородных диэлектрических телах.// Радиотехника и электроника. 1998. Т.43. №2. С.157-165.

36. Дмитренко А.Г., Мукомолов А.И., Фисанов В.В. Численный метод решения задач электромагнитного рассеяния на трехмерном киральном теле.// Радиотехника и электроника. 1998. Т.43. №8. С.910-914.

37. Джураев АД. Метод сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука. 1987. 416с.

38. Волътерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1982. 304с.

39. Михлин С.Г., Смолицкий К.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука. 1965. 383с.

40. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука. 1968. 448с.

41. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2. Л., М.: Гостехиздат. 1948. 622с.

42. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма. М., Л.: Гостехиздат, 1948. 539с.

43. Фштенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Т.1. М.: Наука. 1969. 608с.

44. Griinberg G.A. Theory of the coastal refraction of electromagnetic waves.// J. of Phys. 1942. V.6.No.5.P.l85-209.

45. Гринберг Г.А. К теории так называемой береговой рефракции электромагнитных волн.// Журн. эксп. и теор. Физ. 1944. Т. 14. С.84-111.

46. Wiener N., Hopf Е. Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen.// Sitz. Akad. Wiss. Berlin. 1931. P.696-706.

47. Reissner E. On a class of singular integral equations.// J. Math. Phys. MIT. 1941. V.20. P.219-223.

48. Фок B.A. О некоторых интегральных уравнениях математической физики.// Докл. АН СССР. 1942. Т.36. №4-5. С. 147-151.

49. Фок В.А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики.// Матем. Сборн. 1944. Т.14(56). С.3-48.

50. Гринберг Г.А., Фок В.А. К теории береговой рефракции электромагнитных волн.// Исследования по распространению волн. Сб.2. М.: Изд-во АН СССР. 1948. С.69-96.

51. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Сов. Радио. 1970. 517с.

52. Heins A., Feshbach Н. Diffraction by a semi-infinite metallic sheet.// Proc. of Royal Society. 1954. V.A213. P.436-458.

53. Вайнштейн JI.А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Сов. Радио. 1966. 437с.

54. Bazar J., Karp S.N. Propagation of plane electromagnetic waves past a shoreline.// J. Res. NBS. 1962. V.D66. P.319-334.

55. Clemmow P.C. Radio propagation over a flat earth across a boundary separating two different media.// Philos. Trans. Roy. Soc. London. 1953. V.A246. No.905. P. 1-55.

56. Weill G. Etude d'un problème de diffraction des ondes électromagnétiques de surface. Application a la théorie de l'antenne diélectrique.// Annales de radioélectricité. 1955. V.10. P.228-255.

57. Кузнецов Ю.А. Дифракция плоской электромагнитной волны на импедансной ступеньке.// Радиотехн. и электрон. 1963. Т.8. С.1385-1388.

58. Не ins А.Е., Feshbach H. On the coupling of two half planes.// Proceedings of the 5th symposium in applied mathematics of the American Mathematical society. NY: McGraw-Hill. 1954. P.75-87.

59. Habault D. Sound propagation above an inhomogeneous plane: boundary integral equation methods.// J. Sound and Vibration. 1985. V.100. No.l. P.55-67.

60. Clemmow P.C. Radio propagation over a flat earth across a boundary separating two different media.// Philos. Trans. Roy. Soc. London. 1953. V.A246. No.905. P. 1-55.

61. Тренев H. Г. Дифракция поверхностных электромагнитных волн на импедансной ступеньке.// Радиотехн. и электрон. 1958. Т.З. №1. С.27-37.

62. Kay A.F. Scattering of surface wave by a discontinuity in reactance.// IRE Trans. AP. 1959. V.7.P.22-31.

63. Kane J. The efficiency of launching surface waves on a reactive half plane by an arbitrary antenna.// IRE Trans. AP. 1960. V.8. P.500-507.

64. Naghieh M., Hayek S.I. Diffraction of a point source by two impedance covered half planes.// J. Acoust. Soc. Amer. 1981. V.69. P.629-637.

65. Мышкин В.Г. Дифракция скалярной поверхностной волны, наклонно падающей на границу между импедансными полуплоскостями.// Акуст. Журн. 1966. Т. 12. Вып.3.с.351-354.

66. Миронов В.Л., Мышкин В.Г. Дифракция наклонно падающей поверхностной волны на импедансной ступеньке.// Радиотехн. и электрон. 1967. Т. 12. №7. С.1211-1219.

67. Калинин Ю.К. Некоторые вопросы распространения радиоволн над неоднородной сферической поверхностью Земли.// Труды ИЗМИР АН. 1960. Вып. 17. С.50-129.

68. Макаров Г.И., Яневич Ю.М. Поле точечного источника над импедансной кусочно-однородной поверхностью.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып.9. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1969. С.103-117.

69. Макаров Г.И., Соколов В.Е. Об отражении и преобразовании нормальных волн на границе областей с различными импедансами.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып.19. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1983. С.141-152.

70. Wait J.R. Oblique propagation of ground waves across a coastline. 1.// J. Res. NBS. 1963. V.D67. P.617-624.

71. Wait JR. Mode conversion of VLF radio waves at land-sea boundary.// IEEE Trans. 1969. V.AP-17. No.3. P.216-220.

72. Smith R. Mode conversion coefficients in the Earth-ionosphere waveguide for VLF propagation below a horizontally stratified, anisotropic ionosphere.// J. Atmos. Terr. Phys. 1977. V.39. P.539-543.

73. Басс Ф.Г., Слепян Г.Я., Слепян А.Я. К теории береговой рефракции электромагнитных волн.// ДАН СССР. 1991. Т.317. №1. С.82-85.

74. Соловьёв О.В. К теории береговой рефракции в случае волноводной задачи.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1993. Т.36. №1. С.37-50.

75. Соловьёв О.В. К задаче о береговой рефракции в импедансном волноводе.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1995. Т.38. №11. С.1168-1176.

76. Леонтович М.А. О приближенных граничных условиях для электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел.// В кн.: Исследования по распространению волн. Сб.2. М.: Изд-во АН СССР. 1948. С.5-96.

77. Макаров Г.И., Созонов А.П. Дифракция электромагнитных волн на прямоугольной клиновидной структуре.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1984. Т.27. №4. С.481-489.

78. Макаров Г.И., Созонов А.П. Электромагнитное поле в прямоугольной клиновидной структуре.// Вестник ЛГУ. Сер.4: Физика и химия. 1985. Вып.1. С.96-99.

79. Макаров Г.И., Созонов А.П. Рассеяние цилиндрической волны прямоугольным клином.// Вестник ЛГУ. Сер.4: Физика и химия. 1985. №25. С.85-87.

80. Осипов A.B. Дифракция волн TM-поляризации на прямоугольной клиновидной структуре.// Вестник ЛГУ. Сер.4: Физика и химия. 1986. Вып.З. С.44-53.

81. Осипов A.B. О методе квазиполного обращения в задаче дифракции электромагнитных волн на прямоугольной клиновидной структуре.// Вестник ЛГУ. Сер.4: Физика и химия. 1986. Вып.4. С.86-88.

82. Фок В.А. Законы отражения Френеля и законы дифракции.// УФН. 1948. Т.36. №3. С.308-329.

83. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Импедансные граничные условия и их применение для расчета поглощения электромагнитных волн в проводящих средах (обзор).// Радиотехн. и электрон. 1990. Т.35. №6. С.1121-1139.

84. Калинин Ю.К., Фейнберг E.JJ. Распространение земной волны над неоднородной сферической поверхностью.// Радиотехн. и электрон. 1958. Т.З. №9. С.1122-1132.

85. Фейнберг E.JI. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. М.: Наука. 1961. 546с.

86. Furutzu К. On the theory of radio wave propagation over an inhomogeneous earth.// J. Res. NBS. 1963. V.67D. No.l. P.39-62.

87. Соколов B.E., Федорова JI.A. К вопросу о распространении радиоволн вдоль кусочно-однородной земной поверхности.// Вопросы радиоэлектроники. Серия ОТ. Вып.4. 1974. С.23-28.

88. Wait J.R. Recent analytical investigations of electromagnetic ground wave propagation over inhomogeneous earth models.// Proc. IEEE. 1974. V.62. No.8. P.1061-1072.

89. Wait J.R., Spies K.P. Integral equation approach to the radiation from a vertical antenna over an inhomogeneous ground plane.// Radio Sci. 1970. V.5. No.l. P.73-79.

90. Новиков В. В., Соловьёв Ю. H. О точности трассового приближения для радиоволн СДВ диапазона в плавно нерегулярном сферическом волноводе.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып.27. С.-П.: Изд-во С.-Петербургского. ун-та. 1997. С.26-32.

91. Hujford G.A. An integral equation approach to the problem of wave propagation over an irregular surface.// Quart. Appl. Math. 1952. V.9. No.4. P.391-404.

92. Ott R.H., Berry L.A. An alternative integral equation for propagation over irregular terrain.//Radio Sci. 1970. V.5. No.3. P.767-771.

93. Ott R.H. An alternative integral equation for propagation over irregular terrain, 2.11 Radio Sci. 1971. V.6. No.4. P.429-435.

94. Johler J.R., Berry L.A. Loran-D phase correction over inhomogeneous irregular terrain.// In ESSA Techn. Rep. 1ER 59/ITSA. 1967. P.56.

95. Berry L.A. Radio propagation over a gaussian-shaped ridge.// IEEE Trans. 1967. V.AP-15. No.5. P.701-703.

96. Проскурин Е.П., Пылаев A.A., Тихомиров Н.П., Штейнберг А.А. Распространение радиоволн над электрически и геометрически неоднородными трассами.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып. 18. Л.: Изд-во Ленингр. унта. 1981. С.171-183.

97. Ott R.H., Vogler L.E., Hujford G.A. Ground wave propagation over irregular inhomogeneous terrain: comparisons of calculations and measurements.// IEEE Trans. V.AP-27. No.3. P.284-286.

98. Kerroum K., Amri A., Chandezon J., Fontaine J. Propagation d'impulsions électromagnétiques au-dessus d'un terrain irrégulier ou non homogène.// Ann. Telecommun. 1988. V.43. No.l 1-12. P.665-674.

99. Forget P., Broche P. A study of VHF radio wave propagation over a water surface of variable conductivity.//Radio Sci. 1991. V.26. No.5. P.1229-1237.

100. Ott R.H. RING: An integral equation algorithm for HF-VHF radio wave propagation over irregular, inhomogeneous terrain.//Radio Sci. 1992. V.27. No.6. P.867-882.

101. Bremmer H. The extension of Sommerfeld's formula for the propagation of radio waves over a flat earth to different conductivities of soil.// Physica. 1954. V.20. No.8. P.441-460.

102. Durnin J., Bertoni H.L. Acoustic propagation over ground having inhomogeneous surface impedance.// J. Acoust. Soc. Amer. 1981. V.70. No.3. P.852-859.

103. Chaudler-Wilde S.N., Hothersall D.C. Sound propagation above an inhomogeneous impedance plane.// J. Sound and Vibr. 1985. V.98. No.4. P.475-491.

104. Wait J.R. Mixed-path ground wave propagation 1. Short distances.// J. Res. NBS. 1956. V.D57. P.l-15.

105. Власов C.H., Таланов В.И. Параболическое уравнение в теории распространения волн.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1995. Т.38. №1-2. С.3-19.

106. Pappert R.A. Effects of a large patch of sporadic-E on night-time propagation at lower ELF.// J. Atmos. Terr. Phys. 1980. V.42. No.5. P.417-425.

107. Савченко П.П. Исследование возмущений длинноволновых радиосигналов, связанных с индуцированным высыпанием энергичных электронов.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1997. Т.40. №4. С.472-478.

108. Dowden R.L., Adams C.D. Dependence of Trimpi characteristics on the location of the receiver site.// Abstracts of XXVth General Assembly of the URSI, Lille, France, Aug.28-Sept.5. 1996. P.410.

109. WolfT.G., Inan U.S. Path-dependent properties of subionospheric VLF amplitude and phase perturbations associated with lightning.// J. Geophys. Res. 1990. V.95. No.A12. P.20997-21015.

110. Bernhardt P.A. Changes in electromagnetic properties of the upper atmosphere due to rocket effluents.// J. of Spacecraft and Rockets. 1981.V.18. No.3. P.248-253.

111. Mendillo M. Modification of the ionosphere by large space vehicles.// Adv. Space Res. 1982. V.2. No.3. P.150-159.

112. Zinn J., Sutherland C.D., Stone S.N., Duncan L.M., Behnke R. Ionospheric effects of rocket exhaust products HEAO-C, Skylab.// J. Atmos. Terr. Phys. 1982. V.44. No.12. P.l 143-1171.

113. Благовещенская Н.Ф., Выставной B.M. и др. Модификация ионосферы, вызванная запуском космического корабля серии SHUTTLE 28.09.88.// Геомагнетизм и аэрономия. 1990. Т.ЗО. №3. С.512-515.

114. Fitzgerald Т.J., Carlos R.C. Effects of 450-kg surface explosions on HF radio reflection from the E-layer.// Radio Sci. 1997. V.32. No.l. P.l69-180.

115. Pashin A.B., Belova E.G., Lyatsky W.B. Magnetic pulsation generation by powerful ground-based transmitter.// J. Atmos. Terr. Phys. 1995. V.57. No.2. P.245-252.

116. Gordon W.E., Duncan L.M. Solar power satellites and telecommunications.// Radio Sci. 1983. V18. No.3. P.291-298.

117. Rush C.M., Violette E.J., EspelandR.H., Caroll J.C., Allen K.C. Performance of VLF, LF and MF telecommunication systems in a simulated satellite power system environment ascertained by experimental means.// Radio Sci. 1981. V.16. No.2. P.219-234.

118. Козлов С.И., Смирнова H.B. Методы и средства создания искусственных образований в околоземной среде и оценка характеристик возникающих возмущений.// Космические исследования. 1992. Т.30. №4. С.495-523.

119. Bernhardt Р.A., Rodrigues P., Siefring C.L. Field-aligned dynamics of chemically induced perturbations to the ionosphere.// J. Geophys. Res. 1991. V.96. N0.A8. P.13887-13900.

120. Meltz G., Rush C.M., Violette E.J. Simulation of D and E region high-power microwave heating with HF ionospheric modification experiments.// Radio Sci. 1982. V.17. No.3. P.701-715.

121. Bernhardt P.A., Scales W.A., Grach S.M., Keroshtin A.N., Kotik D.S., Polyakov S.V. Excitation of artificial airglow by high-power radio waves from the "SURA" ionospheric heating facility.// Geophys. Res. Lett. 1991. V.18. N0.8. P.1477-1480.

122. Dowden R.L., Adams C.D.D., Rietveld M.T., Stubbe P., Корка H. Phase and amplitude perturbations on subionospheric signals produced by a moving patch of artificially heated ionosphere.// J. Geophys. Res. 1991. V.96. No.Al. P.239-248.

123. Milikh G.M., Freeman M.J., Duncan L.M. First estimates of HF-induced modifications of the Z)-region by the HF Active Auroral Research Program Facility.// Radio Sci. 1994. V.29. N0.6. P.1355-1362.

124. Stubbe P. Review of ionospheric modification experiments at Tromsu./ J. Atmos. Terr. Phys. 1996. V.58. No.3. P.349-368.

125. Soloviev О. V., Agapov V. V. An asymptotic three-dimensional technique to study radio wave propagation in the presence of a localized perturbation of environment.// Radio Sci. 1997. V.32. No.2. P.515-524.

126. Crombie D.D. The effects of a small local change in phase velocity on the propagation of a VLF radio signal.// Radio Sci. J. Research NBS/USNC URSI. 1964. V.68D. N0.6. P.709-715.

127. Wait J.R. On-phase changes in very low frequency propagation induced by an ionospheric depression of finite extent.// J. Geophys. Res. 1964. V.69. No.A3. P.441-445.

128. Field E.C., Joiner R.G. An integral-equation approach to long-wave propagation in a nonstratified Earth-ionosphere waveguide.// Radio Sci. 1979. V.14. N0.6. P. 10571068.

129. Field E.C., Joiner R.G. Effects of lateral ionospheric gradients on ELF propagation.// Radio Sci. 1982. V.17. No.3. P.693-700.

130. Николаенко А.П. Учет ближних полей в задаче о локальной неоднородности высоты промежутка Земля-ионосфера.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1990. Т.ЗЗ. №1. С.12-16.

131. Николаенко А.П. О влиянии локальной неоднородности ионосферы на распространение СНЧ радиоволн.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1984. Т.27. №10. С.1227—1237.

132. Nikolaenko А.P. ELF radio wave propagation in a locally nonuniform Earth-ionosphere cavity.//Radio Sci. 1994. V.29. No.5. P.l 187-1199.

133. Соловьёв O.B. О влиянии локальной неоднородности ионосферы на поле вертикального электрического диполя.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1985. Т.28. №10. С.1236-1245.

134. Poulsen W.L., Bell T.F., Inan U.S. Three-dimensional modelling of subionospheric VLF propagation in the presence of localized D region perturbations associated with lightning.//J. Geophys. Res. 1990. V.95. No.A3. P.2355-2366.

135. Пылаев А.А., Тихомиров Н.П. Функция ослабления над сферической Землей с неоднородным по площади импедансом.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып.18. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1981. С.155-164.

136. Пылаев А.А., Репина Л.К., Тихомиров Н.П. Оценка точности прогнозирования поля земной волны. В кн.: Распространение километровых и более длинных радиоволн. Алма-Ата.: Изд-во "Наука" КазССР. 1986. С.23-26.

137. Лутченко А.А., Лутченко Л.Н., Тихомиров Н.П. Влияние береговой линии на поле в нерегулярном изотропном сферическом волноводе.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып.23. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1990. С.51-58.

138. Field Е.С. Low-frequency ground wave propagation over narrow terrain features.// ШЕЕ Trans. Antennas Propagation. 1982. V.AP-30. No.5. P.831-836.

139. King R.J., Tsukamoto W.I. Ground wave propagation across semi-infinite strips and islands on a flat earth.// Radio Sci. 1966. V.l. No.7. P.775-788.

140. Соловьёв O.B. О применимости скалярного приближения в задаче о распространении радиоволн в локально-неоднородном волноводе.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1987. Т.30. №11. С.1321-1328.

141. King, R.J. Physical modelling of electromagnetic wave propagation over the earth.// Radio Sci. 1982. V.l7. No.5. P.l 103-1116.

142. Кириллов В.В. Двумерная теория распространения электромагнитных волн СНЧ-диапазона в волноводном канале Земля-ионосфера.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1996. Т.39. №9. С.1103-1113.

143. Кириллов В.В Двумерная теория распространения электромагнитных волн СНЧ-и КНЧ-диапазонов в волноводном канале Земля-ионосфера.// Космическая радиофизика. 1998. Вып.З. С. 16-25.

144. Poulsen W.L., Inan U.S., Bell T.F. A multiple-mode three-dimensional model of VLF propagation in the Earth-ionosphere waveguide in the presence of localized D region perturbations.// J. Geophys. Res. 1993. V.98. No.A2. P. 1705-1717.

145. Макаров Г.И., Новиков В.В. Распространение электромагнитных волн в импедансных плоском и сферическом волноводах. 4.1. Построение решения.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып.7. JL: Изд-во Ленингр. унта. 1968. С.19-33.

146. Макаров Г.И., Новиков В.В. Распространение электромагнитных волн в импедансных плоском и сферическом волноводах. 4.2.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып.7. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1968. С.34-65.

147. Макаров Г.И., Новиков В.В., Рыбачек С. Т. Распространение электромагнитных волн в сферическом импедансном волноводе. Ч.З.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып.9. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1969. С.3-64.

148. Wait J.R. Concise theory of radio transmission in the Earth-ionosphere wave guide.// Review of Geophysics and Space Physics. 1978. V.16. No.3. P.320-326.

149. Ledinegg E., Papousek W., Schnizer B. Fictitious surface admittance along the lower boundary of the ionosphere for an arbitrary geomagnetic field.// АЕЬ. 1979. Band 33. Heft 7/8. P.278-284.

150. Papousek W. Tensorielle oberflflchenimpedanz der unteren ionosphnrengrenze bei beliebiger richtung des erdmagnetfedes.// АЕЬ. 1981. Band 35. Heft 11. P.440-444.

151. Кириллов В.В. Области, существенные при отражении электромагнитных волн от неоднородных проводящих слоев.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып.16. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1978. С.99-118..

152. Кириллов В.В. Некоторый метод расчета поля СДВ вертикального электрического диполя в волноводном канале Земля-ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып. 17. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1979. С.57-76.

153. Кириллов В.В. Приближенный расчет отражения волн от неоднородного поглощающего полупространства.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып.11. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1971. С.129-142.

154. Budden K.G. Radio waves in the ionosphere. Cambridge. 1961. 542p.

155. Краснушкин U.E., Байбулатов Р.Б. Вычисление волновых чисел нормальных волн в сферически-слоистых анизотропных средах методом пересчета импеданса.//Докл. АН СССР. 1968. Т.182. №2. С.294-297.

156. Галюк Ю.П., Иванов В.И. Определение характеристик распространения СДВ полей в волноводе Земля неоднородная по высоте анизотропная ионосфера.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып. 16. Л.: Изд-во Ленингр. унта. 1978. С.148-153.

157. Галюк Ю.П., Кириллов В.В. Эффективные высоты ионосферы и импедансная модель волновода в диапазоне СНЧ СДВ.// В кн.: Распространение километровых и более длинных радиоволн (Тезисы докл. XVII Межвед. семинара по распр. радиоволн). Томск. 1991. С.47-49.

158. Блиох П.В., Николаенко А.П., Филиппов Ю.Ф. Глобальные электромагнитные резонансы в полости Земля-ионосфера. Киев.: Наукова думка. 1977. 200с.

159. Иткина М.А., Котик Д. С., Кротова З.Н. и др. Нагрев нижней ионосферы коротковолновым радиоизлучением.// Препринт НИРФИ № 162. Горький. 1983. 52с.

160. Соловьёв О.В. Влияние искусственного нагрева ионосферы на поле СДВ сигнала.// Изв. ВУЗов Радиофизика. 1988. Т.31. №2. С.240-241.

161. Barr R., Rie tve Id M. T., Корка H., Stubbe P. Effect of a heated patch of auroral ionosphere on VLF-radio wave propagation.// Nature. 1984. V.309. No.5968. P.534-536.

162. Соловьёв O.B. К оценке поля в импедансном плоском волноводе с локальной неоднородностью, расположенной над источником.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1987. Т.30. №7. С.896-905.

163. Соловьёв О.В. О влиянии локальной неоднородности ионосферы на поле вертикального магнитного диполя.//Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1989. Т.32. №11. С.1335-1342.

164. Соловьёв О.В. К решению локально-нерегулярной волноводной задачи.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1990. Т.ЗЗ. №9. С.1078-1087.

165. Соловьёв О. В. К оценке поля в импедансном плоском волноводе с локальной геометрической неоднородностью I.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1991. Т.34. №8. С.908-918.

166. Соловьёв О.В. К оценке поля в импедансном плоском волноводе с локальной геометрической неоднородностью П.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1992. Т.35. №6-7. С.569-578.

167. Соловьёв О.В. К решению векторной трехмерной локально-нерегулярной волноводной задачи.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1995. Т.38. №8. С.785-803.

168. Соловьёв О.В., Агапов В.В. Расчет СДВ полей в волноводе с трехмерной локальной неоднородностью.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1995. Т.38. №12. С.1312-1321.

169. Соловьёв О.В. Распространение низкочастотных радиоволн в возмущенном трехмерной крупномасштабной неоднородностью приземном волноводе.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1998. Т.41. №5. С.588-604.

170. Соловьёв О.В. О прогнозировании распространения радиоволн в локально неоднородном волноводе.// В кн.: Распространение километровых и более длинных радиоволн. Алма-Ата.: Наука. 1986. С.30-33.

171. Соловьёв О.В. Локальная неоднородность над источником в импедансном плоском волноводе.// В кн.: Распространение радиоволн километрового диапазона. Апатиты. 1987. С.52-55.

172. Соловьёв О.В. К решению задачи распространения волн в локально нерегулярном волноводе.// В кн.: Низкочастотный волновод "Земля-ионосфера". Алма-Ата.: Гылым. 1991. С.7-10.

173. Соловьёв О.В. К вопросу о прогнозировании волноводного распространения радиоволн в условиях локально возмущенной ионосферы.// XIV Всес. конф. по распр. радиоволн. Л. 1984. Тез. докл. 4.1. М.: Наука. 1984. С. 129-131.

174. Соловьёв О.В., Тепа Е.Л. Расчет влияния искусственного нагрева ионосферы на поле вертикального электрического диполя.// XII Межвед. семинар по распр. километровых и более длинных радиоволн. Красноярск. 1986. Тез. докл. С. 1315.

175. Соловьёв О.В. О влиянии искусственного нагрева ионосферы на СДВ поле вертикального магнитного диполя.// XIII Межвед. семинар по распр. километровых и более длинных радиоволн. Харьков. 1987. Тез. докл. С.34-35.

176. Соловьёв О.В. К решению трехмерной нерегулярной волноводной задачи.// XVI Всес. конф. по распр. радиоволн. Харьков, окт. 1990. Тез. докл. 4.1. С.269.

177. Соловьёв О.В. Задача о береговой рефракции в плоском импедансном волноводе.// XVIII Межвед. семинар по распр. километровых и более длинных радиоволн. С. Петербург. 1992. Тез. докл. Улан-Удэ. 1992. С.8-9.

178. Агапов В.В., Соловьёв О.В. О влиянии трехмерной ионосферной неоднородности на поле точечного источника в приземном волноводе.// XVII Всерос. конф. по распространению радиоволн. Ульяновск, 21-24 сент.1993. Тез. докл. Секции 6, 7, 8. С.96.

179. Соловьёв О. В. О влиянии на поле точечного источника гладкой выпуклой трехмерной неоднородности одной из стенок приземного волновода.// XVIII Всерос. конф. по распр. радиоволн. С. Петербург, 17-19 сент. 1996. Тез. докл. М.: Наука. 1996. Т.1. С.76-77.

180. Soloviev О. V. On the Solution to the Propagation Problem for the Three-dimensional Irregular Waveguide.// XXIIIth General Assembly of the URSI. Prague. Czechoslovakia. 28 Aug. 5 Sept. 1990. Abstracts. Vol.2. P.413.

181. Soloviev O.V Effect of a Patch of Ionosphere Illuminated by a Powerful HF

182. Transmitter on VLF Radio Wave Propagation.// XXIV General Assembly of the URSI. Kyoto. Japan. Aug.25-Sept.2, 1993. Abstracts. P.639.

183. Soloviev O.V. Effects of field depolarization originating on VLF scattering from 3D ionosphere perturbation.// XXV General Assembly of the URSI. Lille, France, Aug. 28- Sept. 5,1996. Abstracts. P.504.

184. Agapov V.V., Soloviev O.V. The scattering of VLF radio waves from large-scalexLlocalized inhomogeneity of the Earth-ionosphere waveguide.// XXV General Assembly of the URSI. Lille, France, Aug. 28- Sept. 5, 1996. Abstracts. P.504.

185. Soloviev O.V, Agapov V.V. Theoretical assessment of Trimpi effects based on thethsolution of the 3D problem of subionospheric VLF propagation.// XXV General Assembly of the URSI. Lille, France, Aug. 28- Sept. 5,1996. Abstracts. P.697.

186. Соловьёв О.В. Подход к решению задачи распространения радиоволн в волноводе с локальной трехмерной анизотропной нерегулярностью.// Региональная XXIII конф. по распр. радиоволн. С. Петербург, 28-29 сент. 1997. Тез. докл. С.27.

187. Соловьёв О.В. Оценка эффекта деполяризации при рассеянии электромагнитного поля на трехмерной крупномасштабной неоднородности нижней ионосферы.// Региональная XXIV конф. по распр. радиоволн. С. Петербург, 27-28 сент. 1998. Тез. докл. С.7.

188. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: Наука. 1961. 216с.

189. Мальцев Н.Е. Некоторые модификации метода поперечных сечений.// Акуст. журн. 1970. Т.16. №1. С.102-109.

190. Авдеев А.Д. Метод поперечных сечений в произвольных криволинейных координатах и высшие моды плавно нерегулярных волноводов.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып.21. JL: Изд-во Ленингр. ун-та. 1987. С. 18-43.

191. Николаенко А.П. Влияние ближних полей на дифракцию СНЧ радиоволны на локальной неоднородности ионосферы.// XII Межвед. семинар по распр.километровых и более длинных радиоволн. Красноярск. 1986. Тез. докл. С.84-86.

192. Макаров Г.И., Федорова JI.A. Метод многократно отраженных волн в задаче о распространении электромагнитных волн в регулярных волноводах. (Обзор).// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1982. Т.25. №12. С.1384-1409.

193. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Под ред. Абрамовича М., Стиган И. М.: Наука. 1979. 832 с.

194. Макаров Г.И., Новиков В.В. Распространение электромагнитных волн в импедансных плоском и сферическом волноводах.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып.7. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1968. С.19-65.

195. Соловьёв О.В. Поле вертикального электрического диполя в анизотропном плоском волноводе.// Проблемы дифракции и распространения волн. Вып. 16. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1978. С.32-57.

196. Гелъфанд ИМ., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз. 1959. 470с.

197. Barr R., RietveldМ.Т., Stubbe Р., Корка Н. The diffraction of VLF radio waves by a patch of ionosphere illuminated by a powerful HF transmitter.// J. Geophys. Res. 1985. V.90. No. A3. P.2861-2875.

198. Самохин А.Б. Дифракция электромагнитных волн на локально-неоднородном теле и сингулярные интегральные уравнения.// Ж. вычисл. матем. и мат. физики. 1992. Т.32. №5. С.772-787.

199. Пересада В.П. К вопросу о вычислении интегралов в конечных пределах от функций с быстропеременной фазой.//Радиотехника. 1957. Т.12. №9. С.12-19.

200. Соловьёв О.В. Деполяризация электромагнитного поля при рассеянии на трехмерной крупномасштабной неоднородности нижней ионосферы// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1999. Т.42. №5. С.418-430.

201. Wagner С. On the numerical solution of Volterra integral equations.// J. Math. Phys. 1954. V.32. №4. P.289-301.

202. Wait J.R. Electromagnetic scattering from a vertical column of ionization in the Earth-ionosphere waveguide.// IEEE Trans. 1991. V.AP-39. No.7. P.1051-1054.

203. Wait JR. Low frequency electromagnetic scattering from an Island.// IEEE Trans. 1992. V.AP-40. No.4. P.439-449.

204. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления T.III. -М.: Наука. 1969. 656с.

205. Senior T.B.A., Volakis J.L. Generalized impedance boundary conditions in scattering.// Proc. IEEE. 1991. V.79. No.10. P.1413-1420.

206. Pazynin L.A. On wave propagation over a plane surface of variable conductivity.// Proc. of the International Conference on Math. Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov: 7-10 sept. 1994. P.290-293.

207. Wait J.R. The ancient and modern history of EM ground-wave propagation.// IEEE Antennas and Propagation Magazine. 1998. V.40. No.5. P.7-24.

208. IEEE Std. 211-1990 (R 1997), IEEE Standard Definitions of Terms for Radio Wave Propagation.