Метод Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода

Конюшенко, Валерий Вячеславович

Метод Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Конюшенко, Валерий Вячеславович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Метод Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода»

Автореферат диссертации на тему "Метод Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода"

На правахрукописи

МЕТОД ГАЛЕРКИНА В ТЕОРИИ ПЛОСКОГО НЕРЕГУЛЯРНОГО ВОЛНОВОДА

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математичеких наук, профессор В.П. Моденов.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. Б. Самохин, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник В.В. Лопушенко

Ведущая организация:

Московская государственная академия приборостроения и информатики (МГАГГО)

Защита состоится 2004 г. в на заседании Диссертационного

совета К 501.001.17 при Московском государственном университете им. MJ3. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, ГСП-2, Ленинские горы д. 1, МГУ, Физический факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан

2004г.

Учёный секретарь диссертационого совета,

доктор физико-математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Исследование коротковолновой части сантиметрового и миллиметрового диапазона привело к изучению новых волноводных явлений, в частности резонансных. В этом диапазоне волн очень важным является требование к точности проводимых расчетов. Размеры волноводных неоднородностей становятся сравнимы с длиной волны, вследствие чего важную роль играет анализ высших типов волн и их взаимодействий, что не может быть описано достаточно точно с помощью асимптотических методов. Поэтому на первый план выходит разработка и обоснование методов решения волноводных задач в строгой электродинамической постановке. Математическая модель часто гораздо глубже эксперимента позволяет раскрыть и исследовать свойства физического объекта, получить количественные характеристики, что позволяет практически полностью исключить проектное экспериментирование и снизить время разработок.

Не умаляя роли и значения физического эксперимента, следует отметить, что информация, полученная в результате расчетов на ЭВМ, как решение строгой электродинамической задачи, часто оказывается значительно полнее соответствующих данных физического эксперимента.

В последнее время теория волноводов интенсивно развивается, о чем, в частности, свидетельствует огромное количество научных работ по исследованию различных волноведущих систем и разработке методов расчета этих систем.

Ряд важнейших вопросов математической теории волноводов был разработан А.Н. Тихоновым и А.А. Самарским, Г.В. Кисунько, П.Е. Краснушкиным, Л.А. Вайнштейном, Б.З. Каценеленбаумом, А.Г. Свешниковым и др.

Типичная математическая постановка краевых задач теории волноводов заключается в нахождении решения дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющего граничным условиям и условиям излучения на бесконечности. В общем случае все три оператора, определяющие уравнение, граничные условия и условия излучения, могут быть несамосопряженными.

В случае если оператор, задающий граничные условия является самосопряженным, то и спектральная задача, как правило, тоже является самосопряженной, её собственные функции ортогональны и образуют базис в соответствующем данной задаче функциональном пространстве.

Если оператор, задающий граничные условия в исходной электродинамической

краевой задаче является несамосопряженным и 4 а

также является несамосопряженной.

I БИБЛИОТЕКА |

- -г——*

Граничное условие третьею рода с малым по модулю комплексным параметром называется "слабо несамосопряженным" граничным условием.

Одним из примеров такой модели является модель импедансного волновода. Она позволяет с единых позиций исследовать самые различные неконсервативные волноведущие системы (волноводы с неидеальной проводимостью стенок, спиральные, гофрированные и гребенчатые волноводы и т.д.). Наряду с классическими импедансными граничными условиями Щукина-Леонтовича существуют и условия, заменяющие электродинамические условия на моделируемых поверхностях. Эти импедансные условия в общем случае являются несамосопряженными.

Математическое моделирование волноводов на основе эквивалентных граничных импедансных условий потребовало создания и разработки эффективных математических методов решения возникающих при этом несамосопряженных краевых задач.

Повышенный интерес к частично заполненным волноводам объясняется тем, что, изменяя вид заполнения и диэлектрическую или магнитную проницаемость заполняемого материала, можно в широких пределах управлять различными характеристиками волноведущей системы (постоянной распространения, критическими длинами волн, распределением потока энергии и т.д). Данная возможность является принципиальной основой для конструирования миниатюрных и широкополосных устройств СВЧ диапазона.

В тоже время наиболее интересная с физической точки зрения область исследования находится вблизи резонансной частоты, где наиболее сильно сказывается неоднородность заполнения и потери, возникающие в неоднородности и стенках волновода. Все это требует строгого, с учетом потерь, решения соответствующей электродинамической задачи.

В данной работе рассматривалась задача дифракции в плоском волноводе с нерегулярностями двух видов: неоднородным диэлектрическим заполнением и импедансными разрывными граничными условиями на поверхности волновода.

Таким образом, актуальным является разработка математических методов решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными "слабо несамосопряженными" граничными условиями третьего рода и переменными коэффициентами.

Цель диссертационной работы является исследование:

— математическими методами краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными несамосопряжеиными граничными условиями и переменными коэффициентами;

- постоянных распространения плоского градиентного волновода;

— импедансной модели сверхпроводников на примере открытого конфокального резонатора с цилиндрическими зеркалами.

Основные положения, выносимые на защиту:

- модифицированные, с учетом условия Мейкснера, схемы метода Галеркина, ориентированные на решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными несамосопряженными граничными условиями третьего рода и с переменными коэффициентами;

— математическое обоснование, численное исследование и практическая реализация на примере рассмотренной краевой задачи предложенных схем метода Галеркина;

— применение решения данной краевой задачи при математическом моделировании электромагнитных колебаний в плоском волноводе с неоднородным диэлектрическим заполнением и импедансными граничными условиями;

- схема ортогонального метода Галеркина и импедансная модель сверхпроводников в решении задачи на собственные значения для плоского градиентного волновода со сверхпроводящей стенкой;

- исследование импедансной модели сверхпроводящих пленок в задаче расчета открытых резонаторов, образованных цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы из материалов конечной проводимости.

Научная и практическая зпачимость данной работы вытекает из актуальности темы и полученных результатов. Поставлена и решена математическая задача дифракции электромагнитного поля в плоском нерегулярном волноводе с импедансной границей и диэлектрическим заполнением. Для решения этой задачи предложены и обоснованы модифицированные схемы неполного и ортогонального методов Галеркина с учетом условия Мейкснера в точках разрыва граничных условий.

Впервые рассмотрена схема ортогонального метода Галеркина при решении задачи на собственные значения плоского градиентного волновода с импедансной стенкой.

соответствующих физических объектов. Работа может найти применение в теории

импедансной модели плоского волновода с диэлектрическим заполнением, которая описывает широкий класс физических явлений (волноводно-резонансиых, диссипативно-резонансных, аномально малого поглощения, переходного излучения, фазовой коррекции и

др.).

Достоверность и обоснованность результатов. Предлагаемые в диссертации вычислительные методы математически строго обосновываются. При практической реализации этих методов точность вычислений контролировалась. Некоторые из полученных результатов сравнивались с экспериментальными и численными данными, полученными другими авторами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международных и Всероссийских конференциях и семинарах:

• IV Всероссийская научно-техническая конференция "Состояние и проблемы технических измерений". Москва. Декабрь. 1997.

• Пятая Всероссийская Научная Конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-5. Екатеринбург. Апрель 1999.

• VI Международная научно-техническая конференция "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ". Самара Сентябрь. 1999.

а также на семинарах кафедры математики.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введепия, трех глав и заключения. Она содержит 102 страниц, список литературы из 126 наименований и 34 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ

Первая глава диссертации посвящена исследованию модифицированной схемы неполного метода Галеркина' в теории плоского нерегулярного волновода.

В первом параграфе этой главы рассмотрена строгая постановка задачи дифракции электромагнитных волн в плоском нерегулярном волноводе, с импедансными граничными условиями и диэлектрической неоднородностью, с учетом выполнения проекционных условий сшивания, обеспечивающих как непрерывность полей, так и выполнение условия Мейкснера (ограниченности поля вблизи особой точки).

Математическая задача заключается в нахождении решения уравнения Гельмгольца

в полосе - в общем случае, комплекснозначная кусочно-

непрерывная функция координат, равная 1 вне участка 0 ^ г < </. Это решение должно удовлетворять:

граничным условиям Дирихле на верхней и нижней границах за исключением конечного участкП Х = 1', 0<2<</:

: 0,

г<0\г>с1

а^ + и\х=1 =0, 0<г<(1, (|а|«1),

(2)

дх

где - приведенный импеданс (заданная комплекснозначная функция координаты

¡к

условиям сопряжения, заключающимся в требовании непрерывности функции ы(х,7.) и её нормальной производной на линиях разрыва е(х,г) и на границах нерегулярного

М2=0=0'

[—1 л ^ = о, 0<*</,

условиям Мейкснера в особых точках

(3)

1 Свешников Л-Г. Неполный метод Галеркина//ДАН СССР. - 1977. - Т.236, №5. - С.1076-1079.

1ш! 1т Г и—-—(II = 0, где С0 - например, окружность радиуса р с центром в особой

р-* 0 ср дп *

условиям на бесконечности:

и{х,г) = Аех оЦу

'лО

(*)+ I Ллсхр(-1>„2)(!)п(л)

и(х,2) = Вехр(-1>в0г)9>п0(д:)+ ехрО^г)^^) ,

: < 0;

где {(

рп(0) = 0, ^(0 = 0;

нных функций задачи Штурма-Лиувилля:

Яп,Т„ - коэффициенты отражения и прохождения нормальных воли. При этом условия Мсйкснеоа эквивалентны следующим условиям

о&

гГ—I

(4)

(5)

Таким образом, математическая задача сводится к нахождению решения ы(х,7) уравнения Гельмгольца (1) в прямоугольнике {0 < X </,0 < г < <1} с условиями (2-5). При этом приближенное решение ищется в виде

Ы,

л=1 "

При этом коэффициенты удовлетворяют следующему уравнению

(6)

(7)

Условия проекционного сшивания, обеспечивающие выполнение условий Мейкснера, записываются следующим образом:

точке

I (8)

Тогда условия проекционного сшивания переходят в парциальные условия в сечениях г = О и 2 = <1.

Для коэффициентов получаем краевую задачу для системы обыкновенных

дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

<Р" м N л/ 1Вш(:А);

т я—1 л

(т = 1,...,ЛГ),

(10)

тя 2 * i2 2'r , ч . . ля* , 2 „ц и ,.ntml?

тта

плх

где

t2-Jf

/о1' ' / / Г ' / " /

Обсуждение условий Мейкснера проводится впервые. Следуя логике работ А.Г. Свешникова и A.C. Ильинского2 получаем энергетическое соотношение для точного и приближенного решений:

2 Ильинский А.С., Свешников А.Г. Метод исследования нерегулярных волноводов с импедансными граничными условиями//ДАМ СССР.- 1967.-Т. 176, №2. - С. 255-258.

2|{Уп |Я„(0)|2 +Гп I •?„(</) |2}+Гл0 1^л0(0)-2^|2 +гл0 |5п0(</)-2Д|2 +

= 4Ул0М|2ч4Гл0|Д|2.

Таким образом имеет место следующая теорема.

Теорема. Решение задачи (1-5) существует и единственно, при этом приближенное решение, построенное по модифицированной схеме неполного метода Галеркина (6-10), сходится к точному в пространстве •

Отличительпая особенность модифицированной схемы неполного метода Галеркина заключается в разложении решения по собственным функциям волновода с идеальными стенками.

В третьем параграфе на примере задачи с неоднородным заполнением проведено сравнение с экспериментальными и численными данными, полученными другими методами (метод интегральных уравнений, метод нормальных волн). В ходе численного эксперимента изучалось влияние поглощения в диэлектрике на распределение поля внутри и вне его, а также влияние поглощения на резонансные свойства таких систем.

На Рис.1 представлен график зависимости коэффициента пропускания

(в дБ) от частоты при различных значениях мнимой части

диэлектрической проницаемости кремния (0, 0.01, 0.1) для плоского волновода (/ = 20мм) с включением • из кремния (г = 9.6) в виде квадрата (10 мм 10 мм), находящегося на расстоянии 4 мм от стенки.

Было изучено влияние потерь в полупроводнике на частотную резонансную кривую коэффициентов отражения и прохождения. Полученные результаты позволяют сделать вывод о возможности модуляции сигнала на заданной резонансной частоте путем изменения электродинамической характеристики полупроводника - мнимой части диэлектрической проницаемости, например, фотовоздействием.

(И)

гпрош = 101^7|

Зависимость коэффициента пропускания от частоты при различных значениях lm ■

■20 ;

-25 ,

-30 |

11ТЦ

Рис.1

Другая часть численного моделирования была посвящена волноводному электромагнитному зондированию биообъектов. Проблемы, связанные с исследованием взаимодействия электромагнитного поля с биообъектами, являются актуальными как для биоэнергоинформатики, так и для современной практики биомедицинских исследований и лечебно-диагностических технологий.

Метод волноводного электромагнитного зондирования (ВЭМЗ) биообъекта использует принцип аэродинамической трубы (волновода) и основан на анализе различной способности биологических тканей поглощать и рассеивать электромагнитное поле, определяемой основной физической величиной биообъекта - комплексной диэлектрической проницаемостью.

Диэлектрическая проницаемость является, в общем случае, кусочно-гладкой, комплекснозначной функцией координат. Каждой такой функции соответствует определенная картина электромагнитного поля (линий уровня) внутри и вне биообъекта. И обратно: по рассчитанному или измеренному электромагнитному полю вблизи биообъекта можно, например, найти распределение диэлектрической проницаемости биообъекта и сравнить с функциональной нормой.

Таким образом, результаты исследования методом ВЭМЗ позволяют изучить пространственное распределение диэлектрической проницаемости биообъекта, а также сделать вывод о степени поглощения мощности СВЧ поля облучения в биологических тканях и другой диагностической информации, содержащейся в характеристиках рассеянного электромагнитного поля.

В данной работе метод ВЭМЗ применялся для волноводов прямоугольного поперечного сечения миллиметрового диапазона. Рассматривался случай диэлектрического

включения в форме цилиндра с образующей, параллельной узким стенкам волновода, и высотой, равной расстоянию между широкими стенками волновода.

Для численного решения на ПЭВМ соответствующей краевой задачи использовался проекционный метод Галеркина, позволяющий проводить расчеты для произвольной переменной диэлектрической проницаемости в сечении, перпендикулярном оси цилиндрического заполнения.

При анализе биообъекта рассматривался плоский волновод (/ = 20тт), заполненный на конечном участке его длины биологической средой с диэлектрической

проницаемостью (что соответствует диэлектрической проницаемости костной

ткани). Внутри данной среды помещалось однородное тело- с диэлектрической проницаемостью , равной диэлектрической проницаемости воды, в форме

прямоугольника (размером 6.67 на 1.67 тт), большая сторона* которого совпадает с границей г = 0.

Рис.2

Зондирование рассматриваемого биообъекта проводилось нормальными волнами

Рис. 3 Рис- 4

На рис. 3, 4 приведены линии уровня функции [u(x,z)j , определяющие мощность

СВЧ поля, соответственно для случаев симметричного и асимметричного расположения

диэлектрического тела, что позволяет исследовать влияние положения диэлектрического тела на распределение мощности электромагнитного поля внутри и вне биообъекта.

Рис. 4, 5, 6 характеризуют влияние Ьп^ на характер распределения поля внутри и вне биообъекта при асимметричном расположении.

На рис. 5, б приводятся кривые распределения мощности СВЧ поля вне биообъекта,

О 10 20 О 10 20

х,

Рис. 5 Рис. б

Как видно из этих рисунков с уменьшением 1т £ ^ величина максимумов кривых

увеличивается, а относительная величина этих максимумов уменьшается.

Результаты данного математического моделирования были подтверждены численными данными, полученными методом интегральных уравнений.

Математическим моделированием установлена возможность исследования свойств биологического объекта по распределению электромагнитного поля внутри и вне биообъекта, помещенного в волновод.

Метод ВЭМЗ может найти применение при изучении гидратации широкого класса биообъектов и органических веществ, при диагностике заболеваний внутренних органов методом компьютерной электроструктурографии, в гипертермии, СВЧ-терапии и т.п.

Изучение свойств таких объектов, как биообъекты и полупроводники, представляющих повышенный интерес для физических приложений, показало возможность их эффективного изучения волноводно-резонансиыми методами, рассмотренными в диссертации.

Вторая глава посвящена применению ортогонального метода для решения

задачи на собственные значения плоского градиентного волновода с импедансной границей.-.

Первый параграф этой главы посвящен использованию ортогонального метода Галеркина для решения краевых задач теории волноводов с несамосопряженными

1 Моденов В.П. Метод Галеркина в несамосопряженных краевых задачах теории волноводов // ЖВММФ. — 1987.-Т27,№1-C.144-I49.

граничными условиями. Исследуются свойства собственных функций краевых задач для оператора Штурма-Лиувилля с несамосопряженным граничным условиям третьего рода:

(12)

При выполнении условия невырожденности спектра собственных значений в комплексном пространстве с псевдоскалярным произведением имеют место следующие свойства собственных функций: ортогональность, отличие от нуля

квадрата псевдо нормы

2(1 + а2Л$)

базисность,

равносходимость. В силу базисное™ собственных функций каждая функция /(х) е /^(О,/) единственным образом разлагается в ряд по собственным функциям

¿1(Хп,Х„)

(13)

Этот ряд является равномерно равносходящимся с рядом Фурье функции /(%) по собственным функциям <Рц{х) соответствующей (при а = 0) самосопряженной краевой задачи4

(14)

Условие невырожденности спектра собственных значений определяет класс рассматриваемых задач, которые мы будем называть "слабо несамосопряженными".

Для нахождения собственных значений используется ДП-метод5, предложенный и развитый В.П. Моденовым. Этот метод основан на идее введения параметра и дифференцирования по этому параметру. При этом задача нахождения собстветшх значений сводится к задаче Коши для дифференциального уравнения с производной по параметру и алгебраической правой частью.

4 Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. - Киев: Наук. Думка. - 1977. - 329с.

' Моденов В.П. Дифференциально—параметрический метод // ДАН СССР. - 1987. - Т. 296, №3. - С.536-538.

Второй параграф второй главы посвящен построению схемы ортогонального метода Галеркина в задаче па собственные значения в теории плоского градиентного диэлектрического волновода с импедансной границей.

Постоянная распространения является одной из важнейших характеристик волноведущих электродинамических устройств. Поэтому, разработке методов еб расчета уделяется повышенное внимание. В основе многих методов лежит решение трансцендентного уравнения, что для сложных волноведущих систем связано с определенными трудностями. Поэтому, весьма перспективным оказывается использование различных проекционных методов. В данной работе применяется ортогональный метод Галеркина. Математическая задача заключается в нахождении собственных значений краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в полосе, с условием первого рода на ее нижней границе и "слабо несамосопряженным" условием третьего рода на верхней границе этой полосы.

Решение краевой задачи проводилось ортогональным методом Галеркина. Приближенное решение искалось в виде конечного разложения по системе N собственных функций несамосопряженной краевой задачи Штурма-Лиувилля, собственные значения которой находились дифференциально-параметрическим методом (ДП-метод). Задача сводилась СЛАУ и к нахождению собственных значений матрицы размером NxN (где N -число учитываемых мод).

или (15)

где С - столбец неопределенных коэффициентов размерности заданная матрица

размером ЛГлгЛи А = -у2 - столбец искомых собственных значений.

Решение по методу Галеркина сравнивалось с решением дисперсионного уравнения методом Ньютона для волновода со слоем из поликора и сверхпроводящей стенкой.

Таблица 1

Постоянные Метод Метод

распространения Ньютона Галеркина

1.0181+1.0071 -10"51 1.0215+1.0015-10~51

У2 1.5038-10"5+3.18021 1.5042-10-5+3.17781

Ь 2.158210"5+5.51271 2.1590-10"5+5.51121

Численный эксперимент показал, как хорошую внутреннюю сходимость ортогонального метода Галеркина, так и совпадение, с высокой точностью, полученных этим методом численных результатов с решением дисперсионного уравнения. В тоже время необходимо отметить, что в отличие от схем решения дисперсионных уравнений, применение схемы ортогонального метода Галеркина дает возможность рассчитывать постоянные распространения в волноводах с кусочно-непрерывным заполнением. Это позволяет сделать вывод о возможности эффективного использования ортогонального метода Галеркина для расчета импедансных волноводов с диэлектрическим или иным заполнением, где сверхпроводящая стенка представлена через поверхностный импеданс сверхпроводника.

Третий параграф второй главы посвящен исследованию импедансной модели сверхпроводноков на примере задачи о собственных значениях открытого конфокального резонатора с цилиндрическими зеркалами конечной проводимости. Данная работа была проведена совместно с В.Ф. Кравченко и Д.Г. Афониным [10]. Автор участвовал в теоретическом решении поставленной задачи, численной реализации и моделировании, анализе полученных результатов, а также частично в проведении физического эксперимента.

Сверхпроводящие волноводы и открытые резонаторы широко применяются в целом ряде приборов СВЧ техники. Использование СП систем позволяет осуществлять передачу

энергии практически без потерь и искажений на значительные расстояния, конструировать

микроволновые стандарты частоты на основе твердотельных и вакуумных генераторов . Важной задачей является отыскание параметров и характеристик реальных волноводов, открытых резонансных структур, имеющих стенки, изготовленные из нормально проводящего материала с напыленным слоем сверхпроводника, сверхпроводящие стенки конечной толщины с учетом просачивания поля и сравнение полученных результатов с результатами для волноводов, резонаторов, имеющих массивные СИ стенки и зеркала.

В работе рассмотрены колебания в открытых резонаторах, образованных софокусными цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы из материалов с конечной

6 Кравченко В.Ф., Казаров А Б. Поверхностный импеданс сверхпроводников и его применение в физике и технике // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи зарубежной радиоэлектроники. - 1997, №11. - С. 59-78.

проводимостью; для резонаторов с одно- и многослойными зеркальными покрытиями из нормально, низко- и высокотемпературных сверхпроводящих материалов получены и рассчитаны соотношения для спектра, добротности резонатора, распределения поля в резонансном объеме и плотности квазиповерхностного тока на зеркалах. Численные результаты для нормально проводящего металла сравнивались с экспериментом, выполненным на Физическом факультете МГУ (на кафедре радиофизики), и показали адекватность рассматриваемой модели.

Третья глава посвящена модифицированной схеме ортогонального метода Галеркина для решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными несамосопряженными граничными условиями третьего рода и переменными коэффициентами.

Постановка данной задачи эквивалента задаче, поставленной при рассмотрении схемы неполного метода Галеркина (1-5), для которой доказаны теоремы существования и единственности. Особенностью данной схемы является, с одной стороны, разложение решения но собственным функциям "слабо несамосопряженной" краевой задачи Штурма-Лиувилля (удовлетворяющим граничным условиям)

(16)

а с другой стороны, строгий учет условий Мейкснера в особых точках. Последние следуют из выполнения условий проекционного сшивания:

(17)

Таким образом для коэффициентов разложения получаем краевую задачу для системы

обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

(19)

В силу базисности системы функций "слабо несамосопряженной краевой задачи Штурма-Лиувилля, существования и единственности решения данной задачи имеет место следующая теорема.

Теорема. Решение задачи (1-5), построенное по схеме ортогонального метода Галеркина, и(х,г) = £ С^{г)Хп(х), существует, единственно и является равномерно

равносходящимся4 с решением, построенным по схеме неполного метода Галеркина,

«(*.*)= 1 ДИМ*) =

Ыт Бир

М-**>о<х </

N N

Е С (г)Х (х)- I 5 М] п п п п

Л = 1 Л=1

= 0.

(20)

В третьем параграфе этой главы проведены численные эксперименты. Данные, рассчитанные по схеме неполного метода Галеркина, сравнивались с данными, полученными по схеме ортогонального метода Галеркина. Наличие импеданса (рассматривался импеданс сверхпроводника) заметно сказывается в области резонанса. При этом значения, полученные двумя различными методами, совпадают с высокой точностью, что свидетельствует о достоверности результатов.

Рассматривался плоский волновод с включением из поликора в

виде квадрата (10 мм х\0мм), находящегося на расстоянии 4мм от идеально проводящей стенки. На верхней стенке волновода на конечном участке длины, соответствующем

включению, заданы импедансные граничные условия а = —1.30-10 +1-5.92-10 . На рис.7 приведен график функции (кривая 1), представляющей зависимость коэффициента.

пропускания %прош ~ от частоты для случая идеальной стенки в области

резонансной частоты. Эта функция имеет локальный экстремум при f 3 9.33 ГГц

Частотная зависимость коэффициента пропускания 9 3310 9.3311 9.3312 9.3313 9 3314 9.3315 9.3316 9.3317 9.331В

Г. ГГц

Рис.7

Вместе с кривой 1, соответствующей волноводу с идеальными стенками, приведены кривые для случая импедансной стенки. Наличие импеданса заметно сказывается в области резонанса и приводит к сглаживанию резонансной кривой. Кривая 2 получена с помощью модифицированной схемы неполного метода Галеркина, а кривая 3 представляет расчет по модифицированной схеме ортогонального метода Галеркина. Кривые 2 и 3 совпадают с высокой точностью.

Далее, рассмотрены резонансные свойства плоского волновода со сверхпроводящей стенкой. Изучалось влияние поверхностного импеданса сверхпроводника на резонансную частотную кривую коэффициента пропускания при дифракции на диэлектрической неоднородности.

Исследованные резонансные свойства плоского волновода со сверхпроводящей боковой поверхностью позволяют сделать вывод о возможности модуляции сигнала на резонансной частоте путем изменения характеристик сверхпроводника.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертации, полученные автором лично:

предложены модифицированные (с учетом выполнения условий Мейкснера) схемы неполного и ортогонального методов Галеркина, ориентированные на решение краевых задач для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными несамосопряжешшми граничными условиями и с переменными коэффициентами.

предложенные схемы математически обоснованы: доказано существование, единственность и сходимость приближенного решения, полученного по модифицированной схеме неполного метода Галеркина, к точному, а также равносходимость решений, построенных по двум модифицированным схемам метода Галеркина.

на основе этих схем разработаны и реализованы, в виде ЭВМ программ, алгоритмы численного решения рассматриваемой краевой задачи. используя результаты. решения данной задачи, исследованы некоторые физические. свойства полупроводников, диэлектриков, биообъектов и сверхпроводников.

схема ортогонального метода Галеркина применена при решении задачи на собственные значения для плоского градиентного волновода с несамосопряженным граничным условием импедансного вида, моделирующим сверхпроводящую стенку волновода, на. основе имиедансной модели сверхпроводников. и совместно:

проведено исследование импедансной модели сверхпроводников на примере задачи расчета открытых резонаторов, образованных цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы из материалов конечной проводимости и проиллюстрирована адекватность математической модели реальному физическому эксперименту.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Моденов В.П., Конюшенко В.В. Метод Галеркина в задаче волноводного электромагнитного зондирования биообъектов // Электромагнитные волны и электронные системы. - 1998. - Т.З, №4. - С.43-46.

2. V.P. Modenov, V.V. Konyushenko. Galerkin's Method in the Problem of Waveguide Electromagnetic Probing of Bioobjects // Electromagnetic Waves & Electronic Systems. -1997. - Vol.2, No.6. - pp.51-54.

3. Моденов В.П., Конюшенко В.В. Ортогональный метод Галеркина в теории плоского импедансного волновода с кусочно-непрерывным заполнением // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. - 1999. - Т.7, №2. - С.16-17.

4. Конюшенко В.В., Моденов В.П. Метод расчета плоского нерегулярного волновода с импедансным разрывным граничным условием // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптического диапазона. - 2002. - №1. - С. 21-25.

5. Моденов В.П., Конюшенко В.В. Резонансные свойства плоского волновода со сверхпроводящей стенкой // Электромагнитные волны и электронные системы. -1999.-Т.4,№2.-С.66-69.

6. Конюшенко В.В., Моденов В.П. Вычисление постоянных распространения волн плоского градиентного диэлектрического волновода с импедансной границей // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. - 2000. - №4. -С.36-37.

7. Моденов В.П., Конюшенко В.В. Математическое моделирование в волноводном методе диэлектрометрии биообъектов // в кн.: Состояние и проблемы технических измерений. Тезисы докл. IV Всероссийской научно-технической конференции. М.: МГТУ.-1997.-С.92-93.

8. Конюшенко В.В. Волноводный метод в исследовании свойств биообъектов и сверхпроводников // в кн. Пятая Всероссийская Научная Конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-5. Сб. тезисов. Екатеринбург: УрГУ. - 1999. -С.318-320.

9. Моденов В.П., Трошина И.К., Конюшенко В.В. Математическое моделирование волноводного электромагнитного зондирования биологических объектов // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. - 2002. -№5-6. - С.67-72.

10. Афонин Д.Г., Кравченко В.Ф., Конюшенко В.В. Открытые конфокальные резонаторы с цилиндрическими зеркалами и конечной проводимостью // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. - 2000. - №4. - С.48-60.

И.Конюшснко В.В., Моденов В.П. Ортогональный метод Галеркина для решения уравнения Гельмгольца в полосе с разрывным несамосопряженным граничным условием // Вестник Московского университета. Сер. 3. Физика. Астрономия. - 2003. -№ 1.-С.19-21.

ООП МГУ. Заказ 14. Тираж 80

>- 250 0

РНБ Русский фонд

2004-4 27938

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Конюшенко, Валерий Вячеславович

Введение.

Глава I. Модифицированная схема неполного метода Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода.

§1. Математическая постановка модифицированной схемы неполного метода Галеркина.

§2. Существование и единственность решения.

§3. Результаты численного моделирования.

Глава II. Схема ортогонального метода Галеркина в решении задачи на собственные значения плоского нерегулярного волновода.

§1. Свойства собственных значений и собственных функций несамосопряженной краевой задачи Штурма-Лиувилля.

§2. Задача на собственные значения.

§3. Сверхпроводящие открытые резонаторы с софокусными цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы.

Глава III. Модифицированная схема ортогонального метода Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода.

§1. Построение схемы ортогонального метода Галеркина.

§2. Существование, единственность и равносходимость решения, построенного по схеме ортогонального метода Галеркина.

Введение диссертация по математике, на тему "Метод Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода"

Теория нерегулярных волноводов получила свое развитие с середины 5 Ох годов, когда появилась потребность в теоретических и экспериментальных исследованиях радиолокационной техники и освоении дециметрового и сантиметрового диапазона волн. Результаты этих работ позволили создать основу для дальнейших исследований в радиофизике, электронике, оптике, акустике [1-9]. В них приведены сведения о собственных волнах волноводов различных сечений, приближенные и строгие схемы расчета, теория и свойства многополюсников.

Исследование коротковолновой части сантиметрового и миллиметрового диапазона привело к изучению новых волноводных явлений, в частности резонансных. В этом диапазоне волн очень важным является требование к точности проводимых расчетов. Размеры волноводных неоднородностей становятся сравнимы с длиной волны, вследствие чего важную роль играет анализ высших типов волн и их взаимодействий, что не может быть описано достаточно точно с помощью асимптотических методов [1-10]. Поэтому на первый план выходит разработка и обоснование методов решения волноводных задач в строгой электродинамической постановке. Математическая модель часто гораздо глубже эксперимента позволяет раскрыть и исследовать свойства физического объекта, получить количественные характеристики, что позволяет практически полностью исключить проектное экспериментирование и снизить время разработок.

Ряд важнейших вопросов математической теории волноводов был разработан А.Н. Тихоновым и A.A. Самарским [11,30], Г.В. Кисунько [2], П.Е. Краснушкиным [29], Л.А. Вайнштейном [10,12], Б.З. Каценеленбаумом [13-19], А.Г. Свешниковым [20-28] и др.

Основная идея большинства математических методов решения краевых задач теории волноводов содержится в работах Релея и состоит в разложении искомого решения по собственным функциям (нормальным волнам [29]) соответствующих спектральных задач и решении полученных алгебраических или дифференциальных уравнений для коэффициентов этих разложений.

Фундаментальную роль в теории волноводов играет теорема о полноте системы ТЕ и ТМ волн регулярного волновода, доказанная Тихоновым А.Н. и Самарским A.A. ([11,30]). Эта система функций выражается через собственные функции оператора Лапласа и используется в качестве базисной.

Эффективным методом решения краевых задач теории волноводов с самосопряженными граничными условиями является широко известный метод поперечных сечений, развитый в работах Каценеленбаума [13-19]. Его основная идея состоит в том, что поле в любом сечении нерегулярного участка представляется в виде бесконечной суммы полей волн обоих направлений, которые могут распространяться в так называемом волноводе сравнения - в регулярном волноводе того же сечения и с тем же распределением электрической и магнитной проницаемости по сечению. Коэффициенты этого разложения являются функциями продольной координаты и удовлетворяют бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Таким образом, трехмерная электродинамическая задача для нерегулярного волновода сводится к двухмерной задаче о полях в регулярном волноводе и одномерной задаче - к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

А.Г. Свешниковым был предложен и математически обоснован неполный метод Галеркина [28], который может быть применен для широкого класса несамосопряженных краевых задач. В применении к решению задач теории нерегулярных волноводов этот метод является модификацией метода поперечных сечений [23,25].

В этой схеме поперечные компоненты электромагнитного поля разлагаются по полной системе вектор-функций, соответствующих поперечным компонентам нормальных волн пустого волновода того же сечения, а продольные выражаются через поперечные. Таким образом, решение краевой задачи для уравнения в частных производных сводится к краевой задаче для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для коэффициентов разложения.

Конечно-разностные методы и метод конечных элементов [31] используются, когда трудно найти собственные волны для разложения полей, например в резонаторах сложной формы.

В особый класс выделяются волноводные задачи, имеющие особые точки (например ребра, разветвления, скачки поверхностей или граничных условий и т.д.). Эти задачи имеют важное значение, т.к. описывают такие физические устройства, как: волноводные излучатели, переходы, фильтры, фазовращатели др. В этом случае компоненты электромагнитного поля имеют сингулярную особенность в окрестности особой точки [8,32-43,49].

Методы решения таких задач делятся на численно-аналитические [8,10,32,43,46] и прямые [41,43-45].

Аналитические методы применяются для решения координатных и ряда некоординатных задач с кусочно-линейными границами, где все собственные функции частичных областей (круг, прямоугольник, отрезок) выписываются в явном виде. Эти методы основаны на использовании преобразования Фурье и методах теории функций комплексного переменного. Некоторые примеры аналитических методов: метод вычетов и модифицированный метод вычетов (ММВ)[32,44], метод факторизации и метод Винера-Хопфа [32,46], аналитический метод полу обращения (МПО)[44].

К прямым методам относятся: метод интегральных уравнений, метод частичных областей (МЧО) и вариационные методы.

Метод частичных областей (МЧО) [34,40,41,43,45,48,49], широко применяемый для решения многих волноводных задач дифракции, заключается в переходе к системе линейных алгебраических уравнений второго порядка, который осуществляется путем наложения классических или проекционных условий сшивания на тангенциальные компоненты полей на границе частичных областей. После переразложения полей по системам функций, полных в соседних частичных областях, исходная система функциональных уравнений приводит к бесконечной исходной системе линейных алгебраических уравнений второго порядка с несколькими подсистемами. После исключения подстановкой некоторых подсистем получается окончательная СЛАУ-П с матричными коэффициентами в виде рядов и одна или несколько пересчетных формул для амплитуд исключенных волн.

Условия проекционного сшивания обеспечивают непрерывность потока вектора Умова-Пойтинга, то есть обеспечивают выполнение условия Мейкснера в особой точке. Впервые эта схема была применена Г.В. Кисунько в 1947 году [49].

Следует отметить, что в задачах с частичными областями также применяются специальные базисы, учитывающие вид решения в окрестности особой точке в явном виде [50-52]. В этом случае поле, например, аппроксимируется рядами Фурье по полиномам Гегенбауэра и Чебышева.

Если оператор, задающий граничные условия в исходной электродинамической краевой задаче является несамосопряженным, то и соответствующая спектральная задача также является несамосопряженной. Граничное условие третьего рода с малым по модулю комплексным параметром называется "слабо несамосопряженным" граничным условием.

Одним из примеров такой модели является модель импедансного волновода. Она позволяет с единых позиций исследовать самые различные неконсервативные волноведущие системы (волноводы с неидеальной проводимостью стенок, спиральные, гофрированные и гребенчатые волноводы и т.д.). Наряду с классическими импедансными граничными условиями Щукина-Леонтовича [53] существуют и условия, заменяющие электродинамические условия на моделируемых поверхностях [19,54,55]. Эти импедансные условия в общем случае являются "слабо несамосопряженными".

Математическое моделирование волноводов на основе эквивалентных граничных импедансных условий потребовало создания и разработки эффективных математических методов решения, возникающих при этом несамосопряженных краевых задач.

Методы решения волноводных задач с импедансными граничными условиями по идеологии близки к методам решения задач без импедансных условий, рассмотренных выше.

В работах Б.З. Каценеленбаума данная задача решается путем последовательного разложения полей в ряд по степеням малой величины, являющейся комплексным волновым сопротивлением материала стенок волновода [14].

Другой подход заключается в разложении решения по собственным волнам волновода той же формы, но без импедансных граничных условий [56-59], далее развитый в работе [55]. В этом случае импедансные граничные условия выполняются в среднем.

Метод интегральных преобразований [55, 60] сводит задачу к интегральному уравнению с особенностью.

Еще один метод решения состоит в разложении решения по собственным функциям особого вида, имеющим необходимую особенность в окрестности особой точки.

Ортогональный метод Галеркина, предложенный В.П. Моденовым [61,62], позволяет решать широкий класс волноводных задач. Его особенность заключается в разложении решения по собственным функциям, строго удовлетворяющим граничным условиям.

Целью данной работы было решение задачи дифракции в плоском волноводе с нерегулярностями двух видов: неоднородным диэлектрическим заполнением и импедансными граничными условиями на поверхности волновода.

Повышенный интерес к частично заполненным волноводам объясняется тем, что, изменяя вид заполнения и диэлектрическую или магнитную проницаемость заполняемого материала, можно в широких пределах управлять различными характеристиками волноведущей системы (постоянной распространения, критическими длинами волн, распределением потока энергии и т.д.). Данная возможность является принципиальной основой для конструирования миниатюрных и широкополосных устройств СВЧ диапазона.

Физическими объектами исследования были выбраны полупроводники, биообъекты (диэлектрики с комплекснозначной диэлектрической проницаемостью) и сверхпроводники.

Цель диссертационной работы исследование:

- математическими методами краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными несамосопряженными граничными условиями и переменными коэффициентами;

- постоянных распространения плоского градиентного волновода;

- импедансной модели сверхпроводников на примере открытого конфокального резонатора с цилиндрическими зеркалами.

Основные положения, выносимые на защиту:

- математическое обоснование, численное исследование и практическая реализация на примере рассмотренной краевой задачи предложенных схем метода Галеркина;

- применение решения данной краевой задачи при математическом моделировании электромагнитных колебаний в плоском волноводе с неоднородным диэлектрическим заполнением и импедансными граничными условиями;

- схема ортогонального метода Галеркина и импедансная модель сверхпроводников в решении задачи на собственные значения для плоского градиентоного волновода со сверхпроводящей стенкой;

Научная и практическая значимость данной работы вытекает из актуальности темы и полученных результатов. Поставлена и решена математическая задача дифракции электромагнитного поля в плоском нерегулярном волноводе с импедансной границей и диэлектрическим заполнением. Для решения этой задачи предложены и обоснованы модифицированные схемы неполного и ортогонального методов Галеркина с учетом условия Мейкснера в точках разрыва граничных условий.

Приведенные в диссертации модифицированные схемы метода Галеркина могут быть применены на практике для решения задач дифракции в плоском волноводе с неоднородным заполнением и импедансными граничными условиями. Численные результаты математического моделирования представляют физический интерес и позволяют сделать вывод как о возможности изучения свойств различных физических объектов, таких как биообъекты, полупроводники, сверхпроводники в волноводах, так и о возможности изменения выходных характеристик таких устройств путем изменения свойств соответствующих физических объектов. Работа может найти применение в теории импедансной модели плоского волновода с диэлектрическим заполнением, которая описывает широкий класс физических явлений (волноводно-резонансных, диссипативно-резонансных, аномально малого поглощения, переходного излучения, фазовой коррекции и др.).

Достоверность и обоснованность результатов. Предлагаемые в диссертации математические методы математически строго обосновываются. При практической реализации этих методов точность вычислений контролировалась. Многие из полученных результатов сравнивались с экспериментами и численными данными, полученными другими методами [67-70].

IV Всероссийская научно-техническая конференция "Состояние и проблемы технических измерений". Москва. Декабрь. 1997.

Пятая Всероссийская Научная Конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-5. Екатеринбург. Апрель 1999.

VI Международная научно-техническая конференция "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ". Самара. Сентябрь. 1999. а также на семинарах кафедры математики.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата

70,82,83,89,96,97,100,114,115,129,130].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Она содержит 102 стр., список литературы из 126 наименований, включая 11 публикаций автора.

Заключение диссертации по теме "Математическая физика"

Основные результаты диссертации, полученные автором лично:

- предложены модифицированные (с учетом выполнения условий Мейкснера) схемы неполного и ортогонального методов Галеркина, ориентированные на решение краевых задач для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными несамосопряженными граничными условиями и с переменными коэффициентами;

- предложенные схемы математически обоснованы: доказано существование, единственность и сходимость приближенного решения, полученного по модифицированной схеме неполного метода Галеркина, к точному, а также равносходимость решений, построенных по двум модифицированным схемам метода Галеркина;

- на основе этих схем разработаны и реализованы, в виде ЭВМ программ, алгоритмы численного решения рассматриваемой краевой задачи;

- используя результаты решения данной задачи, исследованы некоторые физические свойства полупроводников, диэлектриков, биообъектов и сверхпроводников;

- схема ортогонального метода Галеркина применена при решении задачи на собственные значения для плоского градиентного волновода с несамосопряженным граничным условием импедансного вида, моделирующим сверхпроводящую стенку волновода, на основе импедансной модели сверхпроводников; и совместно:

- проведено исследование импедансной модели сверхпроводников на примере задачи расчета открытых резонаторов, образованных цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы из материалов конечной проводимости и проиллюстрирована адекватность математической модели реальному физическому эксперименту.

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору В.П. Моденову за научное руководство и поддержку.

Заключение.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Конюшенко, Валерий Вячеславович, Москва

1. Введенский Б.А., Аренберг А.Г. Радиоволноводы. - М.; JL: Гостехиздат. - 1946. - 191с.

2. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем. JL: Изд-во Воен. Краснознам. Акад. Связи. - 1949. - 426с.

3. Теория линий передачи сверхвысоких частот: пер. с англ. / Под ред. А.И. Шпунтова: В 2-х т. М.: Сов. Радио. - 1951. - Т. 1-2.

4. Ширман Я.Д. Радиоволноводы и объемные резонаторы. М.: Связьиздат. - 1959. - 386 с.

5. Харвей JI. Техника сверхвысоких частот: пер. с англ. / Под ред. В.И. Сушкевича: В 2-х т. М.: Сов. Радио. - 1965. - Т. 1-2.

6. Альтман Д.Л. Устройства сверхвысоких частот: Пер. с англ. / Под ред. И.В. Лебедева. М.: Мир. - 1968. - 488 с.

7. Швингер Ю. Неоднородности в волноводах (конспект лекций): Пер. с англ. / Под ред. П.Ш. Фридберга // Зарубежная радиоэлектроника. -1970. -№3.- С. 3-106.

8. Левин Л. Теория волноводов. Методы решения волноводных задач: Пер с англ. / Под ред. В.И. Вольмана. М.: Радио и связь. - 1981. -312 с.

9. Справочник по волноводам: Пер.с англ. / Под ред. Я.Н. Фельда. М.: Сов. Радио. - 1952. - 431 с.

10. Ю.Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь. - 1988. - 440с.

11. Самарский A.A., Тихонов А.Н. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ // Ж. вычислительной физики. — 1948. -Т.28, вып.7. С.959-970.

12. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М.: Сов. Радио. - 1973. - 215 с.

13. Каценеленбаум Б.З. О распространении электромагнитных волн вдоль бесконечных диэлектрических цилиндров на низких частотах // ДАН СССР. Т.58, №7. - С.1317-1321.

14. Каценеленбаум Б.З. Волноводы с неидеальными стенками // Докл. АН СССР. 1953. - Т.88, №1. - С.37.

15. Каценеленбаум Б.З. Нерегулярные волноводы с медленно меняющимися параметрами // Докл. АН СССР. 1955. - 102, №4. -С.711.

16. Каценеленбаум Б.З. К общей теории нерегулярных волноводов // Докл. АН СССР. 1957. - 116, №2. - С.203.

17. Каценеленбаум Б.З. Нерегулярные волноводы с переменным диэлектрическим заполнением // Радиотехника и электроника. 1958.- 3, №7. С.890.

18. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: Изд-во АН СССР. - 1961.- 216с.

19. Каценеленбаум Б.З. Высокочастотная электродинамика. М.: Наука. -1966.-240с.

20. Свешников А.Г. Нерегулярные волноводы // Изв. вузов. Радиофизика.- 1959.-2, №5.- С.720.

21. Свешников А.Г. Возбуждение нерегулярных волноводов // Науч. Докл. Высшей школы, физ-матем. Науки. 1959. - №2. - С. 162.

22. Свешников А.Г. К обоснованию метода расчета нерегулярных волноводов//ЖВММФ.- 1963.-Т.3,№1,-С. 170-179.

23. Свешников А.Г. К обоснованию метода расчета распространения .электромагнитных колебаний в нерегулярных волноводах // ЖВММФ.- 1963. Т.З, №2. - С. 314-327.

24. Свешников А.Г., Котик И.П., Чернышов Ю.С. Об одном методе расчета согласований плоских волноводов // Вычисл. Методы и программир. 1962. - вып.1. - С.234-245.

25. Свешников А.Г., Ильинский A.C., Котик И.П. Распространение колебаний в нерегулярных волноводах с боковой поверхностью сложной формы // Вычисл. Методы и программир. . 1965. - вып.З. -С.329-363.

26. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Метод Галеркина в задачах о рассеянии волн в полых системах // Вестник Моск. ун-та, Сер 3 Физика. Астрономия. 1968. - №4. - С. 69-79.

27. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Интегральные уравнения I первого рода в задачах о рассеянии волн в полых направляющих системах // Вестник Моск. ун-та, Сер.З Физика. Астрономия. 1968. - №6. - С. 19-26.

28. Свешников А.Г. Неполный метод Галеркина // ДАН СССР. 1977. -Т.236, №5. - С. 1076-1079

29. Краснушкин П.Е. Метод нормальных волн в применении к волноводам // Вестн. Моск. Ун-та. 1946, - №2. - С.5-9.

30. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука. 1977. - 736с.

31. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука. - 1983. - 616 с.

32. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов: пер. с англ. под ред. Г.В. Воскресенского. М.: Мир. - 1974. - 327с.

33. Ильинский A.C. Прямой метод расчета периодических структур // ЖФММФ.- 1973.-Т.13,№1.-С. 119-126.

34. Веселов Г.И., Темнов В.М. О решении некоторых систем уравнений в электродинамике и явлении «относительной сходимости» // Радиотехника и электроника. 1981. -№10. - С. 2034-2043.

35. Кириленко A.A., Рудь Л.А., Шестопалов В.П. Рассеяние волн на изломе волновода // Радиотехника и электроника. 1974. - 19, №4. -С.687-696.

36. Кириленко A.A. Метод полуобращения в задаче о линейном волноводном переходе // Докл. АН СССР. 1979. - 247, №6. - С.1359-1358.

37. Кириленко A.A., Яшина Н.П. К строгому расчету матриц рассеяния на ступеньке в волноводе // Радиотехника / Харьк. Ун-т. 1975. - вып. 34.- С.166-170.

38. Кириленко A.A., Шестопалов В.П., Яшина Н.П. Строгое решение задачи о скачке поперечного сечения круглого волновода // ЖВММФ.- 1977. 17, №6. - С.1482-1493.

39. Кириленко A.A., Сенкевич С.Л. Сравнение эффективности различных алгоритмов расчета ступенчатых неоднородностей в волноводах. -Харьков. 1982. - 37с. - (Препринт / АН УССР. Ин-т радиофизики и электроники.; №258).

40. Ильинский A.C., Фоменко Е.Ю. Исследование бесконечномерных систем линейных алгебраических уравнений II рода в волноводных задачах дифракции // ЖФММФ. 1991. - Т.31, №3. - С. 339-351.

41. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука. - 1967. - 460с.

42. Никольский В.В. Проекционные методы в электродинамике. Прикл. Электродинамика. - 1977. - вып.1.

43. Веселов Г.И., Темнов В.М. Метод частичных областей для дифракционных задач с некоординатными границами // Изв. Вызов. Радиофизика. 1984. - 28, №7. - С.919-928.

44. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: Изд-во иностр. лит-ры. - 1962. -279с.

45. Никольский В.В. Электродинамика и распространение волн. М.: Наука. - 1973. - 608с.

46. Ильинский A.C. Прямой метод расчета периодических структур // ЖВММФ.- 1973. Т. 13, №1.-С.119-126.

47. Кисунько Г.В. К теории распространения электромагнитных волн в трубах со скачкообразно меняющимися сечениями // ДАН СССР. -1947. Т.58, №8. - С.1653-1656.

48. Веселов Г.И., Платонов Н.И., Слесарев Е.С. Об учете особенностей электромагнитных полей в методе частичных областей // Радиотехника. -1980. Т.35, №5. - С.27-34.

49. Губский Д.С., Ляпин В.П., Синявский Г.П. Электродинамический расчет параметров диафрагмированного стыка круглых волноводов // Радиотехника и электроника. 1984. - Т.29, №1. - С. 12-19.

50. Фельд Я.Н. Диафрагма в волноводе произвольного сечения // Радиотехника и электроника. 1978. - Т.23, №1. - С. 1-6.

51. Леонтович М.А. О приближенных граничных условиях для электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел // Исследования по распространению радиоволн, вып.2. М. - Л.: Изд-во АН СССР. - 1948,-С.7-16.

52. Нефедов Е.И., Сивов А.Н. Электродинамика периодических структур. М.: Наука. - 1977. - 208с.

53. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: Изд-во МГУ. — 1983. -231с.

54. Машковцев Б.М., Цибизов Б.Г., Емелин Б.Ф. Теория волноводов. М. -Л.: Наука. 1966

55. Аркадакский С.С., Цикин Б.Г. // Радиотехника и электроника. 1975. -20.-С. 2113-2120.

56. Свешников А.Г., Ильинский А.С. Метод исследования плоских волноводов с импедансными граничными условиями и резким изменением боковой поверхности // Вычислительные методы и программирование, Вып. 13. -М.: Изв-во МГУ. 1969. - С. 27-33.

57. Ильинский А.С., Свешников А.Г. Метод исследования нерегулярных волноводов с импедансными граничными условиями // Доклады АН СССР. 1967. - Т. 176, №2. - С. 255-258.

58. Нечанов В.А., Советкин В.Ю. Рассеяние электромагнитной волны участком импедансной неоднородности на боковой стенке прямоугольного волновода // Изв. Вузов. Радиофизика. 1995. - Т.38, №10. - С.1083.

59. Моденов В.П. Математическая теория импедансных волноводов // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1996. - Т.4, №.3. - С. 101105.

60. Моденов В.П. Метод Галеркина в несамосопряженных краевых задачах теории волноводов // ЖВММФ. 1987. - Т.27, №1 - С. 144149.

61. Bass F.G., Freilikher V.D. Prosentsov V.V. Wave propagation in planar nonlinear waveguides with nonlinear boundary conditions // Physics Letters A. -2001. -279. -pp.87-93.

62. Foglietti V., Cianci E., Pezzetta D., Sibilia C., Marangoni M., Osellame R.„ Ramponi R. Fabrication of band-gap structures in planar nonlinear waveguides for second harmonic generation // Microelectronic Engineering. 2003. - 67-68. - pp. 742-748.

63. Remley K.A., Weisshaar A. Impedance boundary method of moments for efficient analysis of lossy and leaky planar waveguide structures // Optics Communication. 1996. - 129. - pp. 33-37.

64. Hachisuka K. et al. Development of wearable intra-body communication devices // Sensors and Actuators A. 2003. - 105. - pp. 109-115.

65. Борщевский B.B., Колесников B.C., Моденов В.П., Пирогов Ю.А. Резонансные свойства диэлектрической призмы в прямоугольном волноводе // Радиотехника. 1985. - №2. - С.78-79.

66. Богданов Ф.Г. Дифракция волны Ню на произвольном диэлектрическом стержне // Радиотехника и электроника. 1963. -Т.28, №5. - С. 876-880.

67. Моденов В.П., Трошина И.К. Метод интегральных уравнений в задачах волноводной биоинформатики // Вестник Моск. ун-та, Сер.З Физика, Астрономия. 2000, №5. - С. 17-21.

68. Моденов В.П., Трошина И.К., Конюшенко В.В. Математическое моделирование волноводного электромагнитного зондирования биологических объектов // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. 2002. - №5-6. - С.67-72.

69. Нефедов Е.И., Протопопов А. А., Семенцов А.Н., Яшин А. А. Взаимодействие физических полей с живым веществом. Монорафия/ Под общей редакцией Хадарцева. Тула: Изд-во ТулГУ. 1995.

70. Моденов В.П. Волноводно-резонансный метод СВЧ-диэлектрометрии // Вестник новых медицинских технологий. 1996. - Т.З, №1. - С. 1719.

71. Mizushina S., Xiang Y., Sugiura Т. A Large Waveguide Applicator for Deep Regional Hyperthermia // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. -1986. V.MTT-34, #5. - pp.644-648.

72. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. -Киев: Наук. Думка. 1977. - 329с.

73. Моденов В.П. Дифференциально—параметрический метод // ДАН СССР. 1987. - Т. 296, №3. - С.536-538.

74. Моденов В.П. О расчете методом Галеркина постоянных распространения в круглом волноводе с ферритовым стержнем // Вычислительные методы и программирование (Численные методы в задачах электродинамики). Изд-во МГУ. 1973. - Вып. XX. - С.50-58.

75. Менде Ф.Ф., Спицын И.С. Поверхностный импеданс сверхпроводников. Киев. Наукова Думка. - 1985.- 240с.

76. Wolf I., Ma J-G. Modeling the Microwave Properties of Superconductors // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1995. - vol.43, #5.-pp. 1053-1059.

77. Wolf I., Ma J-G. Electromagnetics in High-Tc Superconductors // IEEE MTT. April 1996. - vol.44, no.4. - pp.537-542.

78. Кравченко В.Ф., Казаров А.Б. Поверхностный импеданс сверхпроводников и его применение в физике и технике // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи зарубежной радиоэлектроники. 1997, №11.-С. 59-78.

79. Моденов В.П., Конюшен ко В.В. Метод Галеркина в задаче волноводного электромагнитного зондирования биообъектов // Электромагнитные волны и электронные системы. 1998. - Т.З, №4. -С.43-46.

80. V.P. Modenov, V.V. Konyushenko. Galerkin's Method in the Problem of Waveguide Electromagnetic Probing of Bioobjects // Electromagnetic Waves & Electronic Systems. -1997. Vol.2, No.6. - pp.51-54.

81. Валитов P.A., Дюбко С.Ф., Камышан B.B. и др. Техника субмиллиметровых волн / Под ред. P.A. Валитова. М.: Сов. радио. -1969.

82. Богомолов Г.Д. Электроника больших мощностей. Сб. 3,- М.: Наука. -1964.

83. Кравченко В.Ф., Казаров А.Б. Взаимодействие электромагнитных волн с пленкой из высокотемпературного сверхпроводника, расположенной на подложке // Радиотехника. 1996. - №8. - С.47-50.

84. Вайнштейн J1.A. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Сов. радио. - 1966.

85. Бойд Дж., Гордон Дж. Конфокальный резонатор со многими типами колебаний для квантовых генераторов миллиметрового и оптического диапазонов // Сб. Лазеры. М.: Ин. лит-ры. - 1963. - С.363-384.

86. Моденов В.П., Конюшенко В.В. Ортогональный метод Галеркина в теории плоского импедансного волновода с кусочно-непрерывным заполнением // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1999. - Т.7, №2.-С. 16-17.

87. Кравченко В.Ф., Казаров А.Б. Сверхпроводящие открытые резонаторы с плоскими прямоугольными и круглыми зеркалами // Радиотехника. — 1997. №9. - С.21-27.

88. Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И., Тютюкин Р.Г. Определение электродинамических характеристик сверхпроводящего диска, возбуждаемого электрическим диполем // ДАН. 1997. - Т.353, №4. -С.472-477.

89. Nathan Newman and W. Gregory Lyons // Journal of Superconductivity. -1993.-vol.6.-pp. 119-160.

90. Афонин Д.Г., Дубровский B.B., Малышкин A.K. Автоматизированная установка для исследования электродинамических систем на базекомпьютера 1MB PC-XT // Приборы и техника эксперимента. 1993. -№5. - С.75-78

91. Афонин Д.Г. Открытые резонаторы в применении к диагностике твердого тела // Изд. РАН. Сер. Физическая. 1999. - Т.63, №10. -С. 1992-1997.

92. Шестопалов В.П. Физические основы миллиметровой и субмиллиметровой техники. 1 ч. Открытые резонансные системы. -Киев: Наук. Думка. 1985.

93. Конюшенко В.В., Моденов В.П. Метод расчета плоского нерегулярного волновода с импедансным разрывным граничным условием // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптического диапазона. 2002. - №1. - С. 21-25.

94. Моденов В.П., Конюшенко В.В. Резонансные свойства плоского волновода со сверхпроводящей стенкой // Электромагнитные волны и электронные системы. 1999. - Т.4, №2. - С.66-69.

95. Конюшенко В.В., Моденов В.П. Вычисление постоянных распространения волн плоского градиентного диэлектрического волновода с импедансной границей // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2000. - №4. - С.36-37.

96. Ильинский A.C. Распространение электромагнитных волн в нерегулярных волноводах переменного сечения. М.: Изд-во Моск. ун-та. - 1970.- 104с.

97. Шестопалов В.П., Шербак В.В. Неоднородности в прямоугольных волноводах. Емкостные препятствия // Радиотехника и электроника. 1965.-10, №6. - С. 1043-1056.

98. Шестопалов В.П., Щербак В.В. Матричные операторы в задачах дифракции // Изв. вузов. Радиофизика. 1968. - 11, №2. - С.285-305.

99. Гал JI.K., Украинец Н.И., Хижняк H.A. Рассеяние электромагнитных волн на диэлектрической вставке конечныхразмеров в прямоугольном волноводе // Журнал технической физики. -1980. 50, №8. - С.1585-1594.

100. Гладун В.В., Колесников B.C., Моденов В.П. Математическое моделирование явлений дифракции в волноводных металло-диэлектрических структурах. Препринт / Моск. ун-т. Физ. фак.; №22/1984.

101. Коробкин В.А., Пятак Н.И., Бабарика Л.И., Макеев Ю.Г. Определение параметров диэлектриков на СВЧ с помощью волноводно-диэлектрических резонаторов // Приборы и техника эксперимента. 1976. - 10, №9. - С.1414-1454.

102. Быков A.A., Ильинский A.C. Численный анализ диэлектрических резонансов в волноводе // Радиотехника и электроника. 1982. - 27, №9. - С.1830-1832.

103. Кириленко A.A. Об основных характеристиках и физической природе резонансов на «запертых» модах // Докл. АН УССР. Сер.А. -1978. №12. - С.1121-1125.

104. Кириленко A.A., Сенкевич С.Л. Сравнение эффективности четырех методов решения волноводных задач // Радиотехника и электроника. 1984. - 29, №6. - С. 1089-1097.

105. Кириленко A.A., Рудь Л.А. Дифракция волн на наклонной границе диэлектрических сред в прямоугольном волноводе // Радиотехника и электроника. 1977. - 22, №10. - С.2057-2067.

106. Кириленко A.A., Сенкевич С. Л. Резонансные явления в прямоугольных волноводах с двухслойными диэлектрическими вставками // В кн.: Физика и техника миллиметровых и субмиллиметровых волн. Киев: Наук. Думка. 1983. - С.91-99.

107. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Рассеяние волн в полых направляющих системах // Вестник Моск. ун-та, Сер.З Физика. Астрономия. 1969. - №1. - С. 15-20.

108. Капилевич Б.Ю., Трубехин Е.Р. Волноводно-диэлектрические фильтрующие структуры: Справочник. М.: Радио и связь. 1990. -272с.

109. Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И., Тютюкин Р.Г. // ДАН. 1997. -Т.353, №4. - С.472-477.

110. Быков A.A., Ильинский A.C., Свешников А.Г. Прямые методы расчета нерегулярных волноводов с неоднородным диэлектрическим заполнением // Вычислительные методы и программирование, Вып.36, М.: Изд-во Моск. ун-та. 1982. - С.52-84.

111. Моденов В.П., Конюшенко В.В. Математическое моделирование в волноводном методе диэлектрометрии биообъектов // в кн.: Состояние и проблемы технических измерений. Тезисы докл. IV Всероссийской научно-технической конференции. М.: МГТУ. 1997. -С.92-93.

112. Конюшенко В.В. Волноводный метод в исследовании свойств биообъектов и сверхпроводников // в кн. Пятая Всероссийская Научная Конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-5. Сб. тезисов. Екатеринбург: УрГУ. 1999. - С.318-320.

113. Моденов В.П., Трошина И.К. Метод интегральных уравнений в задачах волноводного электромагнитного зондирования биобъектов // Вестник новых медицинских технологий. 1998. - Т.5, №3-4. - С. 106108.

114. Крюкова Ю.Ю., Моденов В.П. Проекционный метод сшивания в теории плоского нерегулярного волновода // ЖВММФ. 2001. - Т.41, №9.-С. 1422-1428.

115. Шестопалов В.П., Кириленко A.A., Рудь JI.A. Резонансное рассеяние волн. Т.2, Волноводные неоднородности. Киев.: Наук. Думка. - 1986.-216с.

116. Асланиди К.Г., Моденов В.П. К обоснованию проекционного метода сшивания // Вестник Моск. ун-та, Сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика. 1993, №4. - С.24-30.

117. Асланиди К.Г., Моденов В.П. Проекционный метод сшивания в задаче о сочленении волноводов // ЖВММФ. 1992. - Т.32, №2. -С.277-284.

118. Моденов В.П., Свешников А.Г. Проекционный метод решения несамосопряженных краевых задач теории волноводов // Вестник Моск. ун-та, Сер.З, Физика. Астрономия. 1985. - Т.26, №2. - С.3-8.

119. Веселов Г.И., Темнов В.М. О применимости метода редукции при решении алгебраических систем в некоторых задачах дифракции // ЖВММФ. 1984. - Т.24, №9. - С.1381-1391.

120. Abbas Sayed Omar and Klaus Schunemann. Transmission Matrix Representation of Finline Discontinuities // IEEE TMTT. 1985. - Vol. MTT-33, No.9. - pp.765-770.

121. Dionne G.F. Ill IEEE Trans. Appl. Supercond. 1993. - v.3, # 1.

122. Диденко A.H. Сверхпроводящие волноводы и резонаторы. М.: Сов. Радио. - 1973.

123. Megahed М.А., El-Ghazaly S.M. Nonlinear Analysis of Microwave Superconductor Devices Using Full-Wave Electromagnetic Model // IEEE Transaction on Microwave Theory and Techniques. November 1995. -Vol. 43.No.ll.

124. Трунин M.P. Поверхностный импеданс монокристаллов ВТСП в микроволновом диапазоне // Успехи физических наук. 1998. - Т. 168, №9. - С.931-951.

125. Афонин Д.Г., Кравченко В.Ф., Конюшенко В.В. Открытые конфокальные резонаторы с цилиндрическими зеркалами и конечной проводимостью // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2000. - №4. - С.48-60.

126. Конюшенко В.В., Моденов В.П. Ортогональный метод Галеркина для решения уравнения Гельмгольца в полосе с разрывным несамосопряженным граничным условием // Вестник Московского университета. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2003. - №1. - С. 19-21.