Задачи дифракции в областях с бесконечными кусочно гладкими границами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГО од

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНЖЕРСИТЕ'Г кмени М.В.ЛОМОНОСОВА

физический факультет

на правах рукописи АБГЛДЦАЕВ СЕРГЕЯ ЧСЛАКОВИЧ

УДК 517.946:535.4

ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИЙ В ОБЛАСТЯМ С БЕСКОНЕЧНЫМИ КУСОЧНО ГЛАДКИМИ ГРАНИЦАМИ

01.01.03. - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1993

Работа выполнена в Московском Государственном университете ю М.В.Ломоносова на физическом факультете.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук В.И.Моденов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук,профессор А.Б.Самохин;

Кандидат физико-ыатематическ наук Т.Н. Галишникова

Ведущая организация: Московский государственный институт электроники и математики

Защита диссертации состоится

в час. 90 мин. на заседании Специализированного совета N2 отделения экспериментальной и теоретической физики К 053. 05. 18 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские Горы, физический факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ. _

Автореферат разослан " " 1993г.

Ученый секретарь Специализированного совета

К 053. 05. £8 ^ ^¿рс^01 - П. А. Поляка:

доктор физико-математических*'' наук , ц

/

Общая характеристика работы.

Актуальность. При проектировании широкого класса электродинамических систем требуется моделировать физические явления в областях с бесконечными 1*усочно гладкими границами. Такие задачи возникают, в частности при со здании современных антенно-волно-водных систем с различной областью применения, например, электродинамических систем сверхбыстрой обработки информации: фотоуп-равляемых антенн, аттенюаторов, модуляторов, фильтров, полноводных трансформаторов и так далее. Для управления электромагнитным полем в таких системах необходимо исследование влияние на характеристики поля различных параметров ачтенио-земноводной электродинамической системы. !Зо многих устройства;: управление электромагнитным полем осуществляется путем изменения геометрии, например, угла раскрыва рупорной антенны, или изменением эквивалентного импеданса стенок, путем установки на них различных периодических структур с изменяемыми параметрами: решеток, гофра и так далее. На поле модно также влиять изменением характеристик заполнения, например, изменением свойств полупроводникового галол-нения при фотовоздейстзии. Последнее может найти применение в современных системах сверхбыстрой обработки информации на интегральных схемах СВЧ.

Таким образом, является актуальней проблема создания уни-персалькых алгоритмов расчета антенно-полноводных систем с неоднородным заполнением, имтюдаискыми п нерегулярными границами. Эти алгоритмы такяе составляют основу для решения обратных задач, например, в интенсивно разгивагдихся в последнее время прикладных областях медицины - гипертермии, КВЧ-терапии и так , далее.

Решение данной прсблеш приводит к необходимости исследования специального класса краевых задач математической физики, возникающих при математическом моделировании явлений волноводко-го распространения и дифракции электромагнитных волн на диэлектрических неоднородностях в областях с бесконечней кусочно гладкими границами.

Характерной особенностью таких задач являете? необходимость рассмотрения обобщенного репения и постановка условий излучения на бесконечности. Для построения единственного реЕэния' применяется принцип предельного поглощения, который в каждом случае

требует особого рассмотрения.

Центральное место при математическом обосновании численны; алгоритмов занимает доказательство сходимости приближенных реве ний к точным. Алгоритм, применяемый для решения рассматриваемы: в диссертации краевых вадач, является обобщением известного, ос нованного на применении неполного метода Галергаша с полуобраще нием в граничном условии. Сходимость этого алгоритма ранее н исзг¿девалась и поэтому нуздается в строгом математическом обос новации.

Пелью диссертационной работы является:

- определение, доказательство существования и единственное ти "обобщенного решения неоднородных уравнений Гельмгольца Максвелла с переменными коэффициентами в области с бесконечным кусочно гладкими границами, характерных для широкого класса кра евых вадач дифракции;

- обобщение, математическое обоснование численного алгорит ма, основанного на применении неполного метода Галеркина с полу обращением в'граничном условии;

- Применение этого алгоритма для исследования электромаг нитнэго излучения из открытого конца нерегулярного волновода неоднородным диэлектрическим заполнением и импедансной боковой поверхностью.

Научная новизна и практическая значимость. Для определен ного класса'многосвязных областей с бесконечными кусочно глади-ми границами, рассматриваемых в теории дифракции, докушаны тес ремы существования и единственности обобщенных решений краевь задач для неоднородных уравнений Гельмгольца и Максвелла с пере менньш коэффициентами.'

Дано математическое обоснование численного алгоритма решс ния задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическс неоднородности в полубесконечном волноводе и импедансной боковс поверхностью. /

Практическое значение имеет созданный на основе этого алге ритма комплекс ЕЗМ-программ.

Апробация работы Результаты диссертационной работы доклад; вались на 6-ой Межгосударственной школе-семинаре "Техника, тео] математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обрабо'

ки информации (ССОИ) на объемных интегральных схемах (ОИС) СВЧ и КВЧ" (г. Калининград м.о., 1992), на межрегиональной научно-технической конференции "Перспективы развития антенно-фидерной техники и ее элементной базы" (г. Суздаль, 1S9L), на Всероссийской школе-семинаре "Физика и применение микроволн" (к. Красновидосо, м.о., 1993), а также на научно-исследовательском семинаре МГУ "Численные методы электродинамики".

Публикации. По результатам выполненной работы имеется 7 публикаций.

Структура и объем работы, диссертация имеет 1®) страниц текста, включающего введение, четыре глаг.ы, заключение, список

литературы из 80 названий, А приложения, 17 рисунков, и 1 таблицу.

Содержание работы .

.Во введении дан обзор литературы по рассматриваемому кругу вопросов, сформулированы цели и задачи диссертации, noicasana научная новизна и практическая ценность работы, кратко излагается содержание диссертации.

Первая глава посвящена постановке краевой задачи для уравнения Г'ельмгольца и ее исследованию.

Рассматривается область 2. , являющаяся подмножеством двумерного евклидова пространства R^ , имеющая неограниченное дополнение. Вне круга достаточно большого радиуса R q , область представляет из себя совокупность конечного, числа К цилиндричес- , kmx-2j (^{Л-'/^Ь конечного числа £ "расширяющихся выходов на бесконечность. "Расширяющийся" выход является одно-связным множеством'С гладкой границей, и если ввести в нем локальную полярную систему координат, то вне круга достаточно большого радиуса радиус-вектор и вектор внешней нормали в точках границы расширяющегося выхода образуют угол с неположительным косинусом.

Область внутри круга радиусаможет Срть многосвязной, а ее граница иметь конечное число точек нарушения .гладкости Каждая особая точка имеет достаточно малую окрестность, пересечение которой с областью является частью открытого угла с вершиной з .

этой точке, либо существует некоторое диффесморфное отображение этого пересечения на часть открытого угла. Данная классификация особых точек позволяет использовать весовые пространства для описании поведения решений в окрестностях особых точек.

Во втором параграфе, в области 2 , формулируется краевая задача для уравнения Гельмгольца.

z-i)»i-r, ьп, r»ö;

Kj - вещественное число,

К* - комплекснозначная функция с комплексной мнимой частью. Функция f может иметь неограниченный носитель

supp/c90fl9 2p~-Ö 2j; JelJSJHL (ЦНА-Л 4 л 1 1

- банахово пространство функций с нормой

' fr+zftufdS,

Ставятся граничниз условия в смысле следов и условия на бесконечности

& - ¿(X+AlU/U'+tifte^J-W-J'

дЪ 1 1:

/

; (3)

1 -«4M,

(4)

В этом же параграфе дается определение оператора краевой задачи (1) -(4) в L,(Я). схема построения решения такая: сначала находится единственное■решение е , а затем при

1/

меняется принцип предельного поглощения. В связи с этим дается jes определения решения.

Определение 1 Решением краевой задачи (1),(2) в области Ü? ipn комплексном Z, называется функция ив L¿(S¡ , удовлетвори-ощая ураш'.снмю (1) и граничному условию (2).

Определение 2 Решением краевой задачи (1),(2) в Q при ве-дественном Z= 0 , называется функция из пространства WjfSj, удовлетворяющая (1),(2),.(3),(4).

Здесь W£(9) - линейное топологическое пространство; элементами которого являются 'функции, лринадгежздие (^Нб), Vfi>0) V¿- > 0 , где Q- часть области 2 внутри круга радиуса R за вычетом окрестностей особых точек радиуса £ . Его топология задается счетной системой полунорм [¡¡U¡ IVf(2^ ,j|.

В третьем параграфе доказан! ■ '

Теорема 1 Решение краевой задачи для уравнения Гельмгзльца в £ в смысле определения 1 существует и единственно.

• Теорема 2 Теорема единственности. Пусть í~¿ . Тогда. ecmJsQ , то и Ц= 0 . Здесь Fz - пространство решений пс определения 1.

Следующая теорема доказана для случая граничных условии

и-0

Теорема 3 (Принцип предельного поглощения) Пусть г в /-? - Vr-i-r, У>о, Г>о[;л > о;

Тогда з '^¿(Qj существует предел ^¿¿^Íi-q^* , где ^ . Здесь, - пространство решений з смысле определения 2; уЦ, - собственное значение задачи Штурма-Лиувклля для поперечного сечения j-волвопода.

Вторая глава посвящена постановке краевой аздачи для системы уравнений Максвелла и се исследованию.

Рассматривается неограниченная область, являвшаяся подмножеством трехмерного евкяздового прострапстра, ■ имеющая неограниченное дополнение. Вне шара достачочно большого радиуса Ro область представляет собой совокупность конечного числа К цилиндрических Sj(j' и конечного числа L ксикческкх Qj (j - К* i У) вы-

ходов на бесконечность. Область Я0 внутри лйра радиуса Ro может быть многосвязной, а ее граница содержать гладкое ребро. Для хая- . дей точки ребра существует ее малая окрестность и такое диффео.- •

морфное отображение, что при этом отображении пересечение области Яй и окрестности переходит с часть клина-угла, образованного дву мя плоскостями.

В области 2. формулируется краевая задача для системы уравн ний Максвелла. _ _ __

гоЬЕ-Ш2 нН^о (5)

_ ^ (б)

Ч -у : . - ^

си^Н-о (?)

ч сЦг£Ё-0

■ У (8)

!У

где 51/рр/с:

^¿>/^1 - вещественные числа, с0 - эрмитовы тензоры,

£ /Л0 - комплекснозначные функции с постоярной мнимой частью,' Стглятся однородные граничные условия в смысле следов:

/.пх£] = 0, х.ед2

1 -1 ' (9)

и условия излучения на бесконечности:

£,■ _ 1 »01

. здесь £-ц, Н-п - нормальные волны в волноводах Формулируется определение оператора краевой задачи (5)-(9) в

¿>¿(2). Схема ностроениг решения такая же, как и в первой главе. Дается два определения решения:

Определение 3 Решением краевой задачи (5)-(9) в 2 при комплексном Ъ называется функция, принадлежащая ¿, (Я) и удовлетворяющая (5)-(9).

Определение 4 Реаением краевой задачи (5)-(9) в 2 при^вещественном Е = Л >0 , называется функция, принадлежащая (2) и удовлетворяюидя(5)-(9),(10),(11). _

В третьем параграфе доказывается теорема существования и единственности решения в смысле Определения 3, теорема единственности решения в смысле определения 4, и обосновывается принцип предельного поглощения.

Теорема 4 (Принцип предельного поглощения)

Пусть £ е Л/+=/2 = $>0, ¿>0 >

-,К] «г (=6г ■ г г

Тогда в (¡/¿(2) существует предел ¿¿гп Ил и &л.

2-' Х + с-0

Здесь (Зг - пространство решений в смысле определения 3,

- пространство решений в смысле определения 4, линейное топологическое пространство, аналоггч-

I ное пространству первой глады,

- собственное значение оператора Лаплпоа первой

и второй краевой задачи для поперечного сечения 3-го волновода. В третьей главе рассматриваются задачи дифракции для полубесконечных волноводов. Получить аналитическое решение в замюту-той форме в общем случае нерегулярного волновода не удается, и поэтому важна разработка методов получения приближенного решения. Одним из таких методов является неполный метод Галеокина с полуобращением в граничном условии. Для его обоснования необходимо исследовать задачу возбуждения открытого конца регулярного волновода источником с кократаным носителем (рис.1)

В области рассматривается краевая

задача для уравнения Г-льмгольца.

¿Ц+КЦ=}, (Х,г)е2 .

II = о , Мед9\{0<,0г\

Л

О.

кирру

V

г

О.

Рис. 1.

Рис. 2.

%(*) е^2 №: г < ^ -<

П'4

£<0[

где К - вещественное число,

У/Л - любые конечные окрестности точек О1.2.

На участке 0) -й<х< Щ справедливо представление

реиения • у ? ^

(р V" Ст)°" •

Показывается, что наборы >\шли гуд/¿Ц,,,, Л у^ииею? склмые пределы в $= ¡К 2 при . Доказывая существо- "

ваниенеограничшного матричного оператора _Д.< , ставящего

в сответствие нвЗпу амплитуд набеганиях на открытый

конец волк, набор амплитуд, /Т„7~, отраженны:', волн. Доказано также что точка А- ~ */ не принадлежи? его точечному спектру к резольвентный оператор ('-А*!) 'непрерывен.

Второй параграф посвящен обобщению неполного метода Галеркииа на задачи дифракции для полубесконечнных волноводов, имеющих нерегулярный участок конечной длины (рис 2).

а

В области 9-где

внешняя к волноводу область, рассматривается краевая

■щ

вадача для уравнения Гелъыгольца.

ли + к(х>1)Ц-01 Мея где К(х.2)е1г(2Е); нШ-МА^Рв* ^

с граничными условиями первого или второго рода на внешней границе и границе регулярного волновода .

и - 0(Ш=0)} Мф1=т г фЦ*! -< ¿/)

и импедансным граничным условием на границах нерегулярного

уч7Ги+¿к к=о, {*••- «Л

ап (и)

с4г/ иШ = о, /> - йМ

у йП 'I ' ' ■ * (15)

где - конечные множества точек нарушения гладкости Ставятся условия изучения на бесконечности

¿/=1 /?й % (х) /| ?цх) 9Т

. (17)

и условия на ребре

и, УД £ }->£ (X) » где Г - любая конечная окрестность

точки множества $ С/ % 0 (, 02( (18)

Предполагается, что в каждом поперечном сечении в области при 2£ [Отрешение краевой задачи (12)-(18) имеет след. Доказывается единственность решения краевой задачи (12)-(18). Для получения приближенного решения в нерегулярном участке рассматривается стслдартная схема неполного метода Галеркина. Приближенное решение шлется в виде конечного разложения

п= I

ГД'"

и жхгаата удовлетворять интегральным соотношениям

-йМ

-а,р) ■ (21)

элементы оператора.?

Правые части тождества (19) подбираются таким образом, чтобы приближенное решение удовлетворяло тому же энергетическому тождест! что и точное. Граничное Условие (20) получаем при сшивании решения и его проиаводной в сечении 2-0. Граничное условие (21) получается следующим образом: рассматривается вспомогательной участок в виде отревка регулярного волновода конечной длины $ (рис.2), в сечении сшивается решение и его производная, амплитуды отраженных волк посредством оператора _Л_ выражаются через амплитуды набегающих волн, которые, в сбою очередь, исключается действием оператора(-Л. + Т) и рассматривается предельный переход при 3 0 . получаем граничное условие (22).

В области §¿7 в случае произвольного п приближенное решение может определяться как функция, удовлетворяюа;ая однородному уравнению Гельмгольца, условию излучения Зоммерфельда, условию на ребре и граничным условиям

и-й Н,Ю<*«1.и*-Ч

Если же мы учитываем только те п, для которых выполняется

" [ га,1111 • т

то приближенное решение во внешней области -¡-п/ можно определить в виде Ц"= л О.п'Ь)) » где Функция Сп является

решением задачи возбуждения открытого ганца регулярного волновода распространяющейся нормальной волной. Известно ее аналитическое выражение в интегральной форме.

Доказаны теоремы существования и единственности приближенного решения и его сходимости к точному. Сходимость понимается в следующем смысле: в лг # приближенное решение сходится к точному в норме , в области регулярного волновода существует покоординатная сходимость амплитуд нормальных волн, во внешней области интеграл | /И^/^З от квадрата модуля разностной функции Ц-Ц" где Сд - окружность в .£¡¡7 достаточно большого радиуса (рис.2)) стремится к нулю при //-* с»~ .

Четвертая глава посвящена алгоритмизации приближенного метода на основе неполного метода Галеркина и обсуждению численных результатов. Алгоритмизация метода проведена для задач излучения из открытого конца плоского нерегулярного волновода, осеснмметрич-ного нерегулярного волновода и трехмерного волновода. Интегральные соотношения неполного метода Галеркина приведены к краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дается вид коэффициентов этих уравнений. Приведены также |£срмулы коэффициентов отражения для компонент поля в задаче возбуждения открытого конца регулярного волновода распространяющейся"нормальной волной. Вывод этих формул базируется на методике определения коэффициентов отражения по току,созданной Л.А.Вайнштейном. Рассчитаны диаграммы направленности электромагнитного излучения из открытого конца регулярного плоского волновода, плоского рупора, плоского волновода с боковой поверхностью сложной формы. Исследовано влияние на диаграмму направленности неоднородного заполнения,поверхностного импеданса стенок и их геометрии. Приведены численные расчеты, подтверждающие внутреннюю сходимость метода. При числе N-8, удог-летворяющему условию (22) достаточно брать N-6,7 для того, чтобы

- 12 - .

относительное изменение диаграммы направленности в максимуме составляло 0,01 . При отсутствии потерь проверялся баланс энергии, его абсолютная точность составляла Ю-4. .МО-5.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации:

1. Доказаны теоремы о существовании и единственности обобщенного решения ь Ьг неоднородного уравнения Гельмгольца с переменными коэффициентами в неограниченной многосвязной области с негладкой границей. Обоснован принцип предельного поглощения. Аналогичные уравнения доказаны для системы уравнений Максвелла.

2. Рассмотрена задача об электромагнитном возбуждении полубес-копеччого волновода источником с компактны?.! носителем. Исследованы свойства матричного оператора рассеяния.

3. Доказана теорема единственности решения краевой задачи об электромагнитном излучении из открытого конца волновода с неоднородным диэлектрически:-.? заполнением, с нерегулярной чмпед&чснсй боковой поверхностью.

4. Дано математическое обоснование численного алгоритма рвения этой краевой .аадачи, построенного по схеме неполного метода Галеркина с полуобращением оператора в граничном условии.

5. Алгоритм реализован в виде программ на ЭВМ. Исследовано влияние на электромагнитное поле управляющих параметров.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. В.П.Моденов, С.И.Абгалдаев. Задача об излучении из открытого конца волновода с неоднородный заполнением и нерегулярными кмпэдансными стенками//Меквувовский сб. научных тр. "Автоматизированное проектирование устройств СВЧ".-М. -.Иад-во МИРЗА, 1991.-с. 120-127.

2. Абгалдаев С.И., Модекос В.П. Расчет управляемой рупорной антенны//3 кн.: Перспективы развития антенпо-фидерной техники и ее элементной баьы (с демонстрацией программ СА1Р).-М.: Изд-во Щ'П РНТОРЭС им. А.С.Попова.- 1992.-е.32.

3. Абгалдаев С.И., Моденов В.Б. Задача об излучении из отбытого конца нерегулярного волновода//В кн.:Техника, теория, математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки

информации (ССОЮ на объемных интегральных схемах (ОИС) СВЧ и КВЧ.-М.: Изд. МГП РНТОРЭС им. А.С.Попова,- 1992.-т.2.-с.241-242.

4. Абгалдаев С.И. Осеоимметричная задача об излучении из открытого конца нерегулярного волновода с импедансньши стен/сами и неоднородным заполнение.^//Ред. ж. Вестн. МГУ Физ., астрон.-М., 1992.-16 е.: ил.-Библиогр.:4 назв.-Рус,- Деп. в ВИНИТИ 15.С7.92

И 2323-В92.

5. Абгалдаев С.И. Трехмерная задача об излучении из открытого конца нерегулярного волновода с шпедансными стенками и анизотропным заполнением//Ред. к. Вестн. МГУ Физ., астрон.-М., 1992.-17 е.: ил.-Библиогр.:5 назв.-Рус,- Деп. в ВИНИТИ 15.07.92

N 2324-В92.

6. Абгалдаев С.И., Моденов В.П. Математическое моделирование электромагнитного излучения из рупора//Вестн. МГУ, Сер.З, Физика. Астрономия.-N5, 1993.-е. 43-46.

7. Абгалдаев С. И. Краевая задача для системы уравнений Максвелла в области с бесконечными кусочно гладкими границами// Деп. в ВИНИТИ 8.10.93, Ж2532-Б93, 29с.