Решение задач дифракции с условиями сопряжения на бесконечных границах раздела областей методами Фурье и потенциалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Единственность решения задач математической теории дифракции

1.1 О некоторых частных решениях уравнения Гельм-гольца.

1.2 Единственность решения задачи дифракции с условиями сопряжения на двух бесконечных границах раздела областей.

1.3 Единственность решения задачи дифракции с условиями сопряжения на трех границах раздела областей

1.4 Единственность решения задачи дифракции с условиями сопряжения на конечной и двух бесконечных границах раздела областей .

2 О некоторых достаточных условиях существования решения задач математическоё теории дифракции

2.1 Дифракция на двух параллельных прямых.

2.2 Дифракция на двух периодических кривых.

2.3 Дифракция на двух концентрических окружностях .

2.4 Дифракция на двух концентрических полуокружностях в полуплоскости.

3 Решение задач математической теории дифракции методом потенциалов

3.1 Метод потенциала в вопросах существования решения задачи дифракции с условиями сопряжения на конечной границе раздела областей.

3.2 Принцип предельного поглощения в вопросах существования решения задачи дифракции с условиями сопряжения на бесконечной границе раздела областей

3.3 Решение задачи дифракции с условиями сопряжения на двух бесконечных границах раздела областей методом потенциалов.

3.4 Решение задачи математической теории дифракции методом гриновых потенциалов.

Явлением дифракции (от лат. — "сШГгасШв" — разломанный) называется поведение волн различной природы в среде или средах, имеющих границы с теми или иными свойствами. Благодаря работам Пуанкаре и Зоммерфельда в конце девятнадцатого века стало ясно, что задачи теории дифракции — суть краевые задачи математической физики. Необходимость изучения таких задач обусловлена многочисленными их приложениями в физике, механике сплошных сред, геофизике, океанографии, медицине и др.(см., например, [33], [35]).

Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с конечной границей хорошо изучены. Гораздо меньше изучены краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с бесконечной границей. Это объясняется тем, что в этом случае методы теории потенциалов и Фурье сводят краевые задачи для эллиптических уравнений соответственно к интегральным уравнениям типа свертки и системам линейных алгебраических уравнений с бесконечным числом неизвестных, являющимися дискретными аналогами интегральных уравнений типа свертки. Подробный обзор работ по поводу интегральных уравнений типа свертки и бесконечной системы линейных алгебраических уравнений дан в монографии [5]. Кроме того, для обеспечения единственности решения краевых задач для эллиптических уравнений в областях с бесконечной границей необходимо задавать условия на бесконечности. Эти условия, называемые "условиями излучения" или "принципом излучения", для уравнения Гельмгольца Аи + Х2и = /, где / — достаточно гладкая финитная функция, были найдены А. Зоммерфельдом [41]. Доказательство принципа излучения для уравнения Гельмгольца было указано в 1933 году В. Д. Купрадзе [8]. Условия излучения и теоремы единственности для уравнения Гельмгольца стали предметом работ большого круга авторов [39, 37, 2, 3, 40, 1, 12] и других. В этих работах рассматриваются граничные задачи в бесконечных областях, когда среда занимает внешность некоторой ограниченной области. До недавнего времени не была доказана единственность решения задач математической теории дифракции с условиями сопряжения на бесконечных границах раздела областей. Впервые теорема единственности решения задачи математической теории дифракции для бесконечных областей с границей, простирающейся в бесконечность, была доказана Ф. Г. Мухлисо-вым [26].

Метод потенциалов неоднократно применялся разными авторами к решению краевых задач для эллиптических уравнений как второго порядка, так и высших порядков и систем. Соответствующие работы, обзор которых имеется в литературе [11, 28, 29, 30, 31, 32], хорошо известны. Впервые удалось применить метод потенциалов к решению задач дифракции с условиями сопряжения на конечной границе раздела областей Ф. Г. Мухлисову. В докторской диссертации Ф. Г. Мухлисова [26] предложен способ нахождения потенциалов, сводящих задачу дифракции к регулярной системе интегральных уравнений.

Целью данной работы является изучение возможности распространения указанных результатов Ф. Г. Мухлисова на другие задачи математической теории дифракции. Доказывается теорема единственности решения задачи математической теории дифракции с условиями сопряжения на двух и трех границах раздела областей. Применяются методы Фурье и потенциалов к решению задач математической теории дифракции с условиями сопряжения на бесконечных границах раздела областей.

Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе даются постановки задач математической теории дифракции и доказывается единственность решений этих задач. В 1.1 методом разделения переменных строятся некоторые частные решения уравнения Гельмгольца, удовлетворяющие на беско

1. Авазашвили Д. 3. Пространственная задача дифракции для электромагнитных колебаний // Сообщ. АН Грузинской ССР. — 14(1953). — С. 321-328.

2. Векуа И. Н. О метагармонических функциях // Труды Тбилисского матем. ин-та АН Грузинской ССР. — 12(1943). — С. 105-174.

3. Векуа И. Н. О доказательстве некоторых теорем единственности, встречающихся в теории установившихся колебаний / / ДАН СССР. — 80, №3(1951). — С. 341-343.

4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики.— 4-е изд.— М.: Наука, 1981.— 512 с.

5. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978.— 296 с.

6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Физматгиз, 1963. — 1100 е., ил.

7. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— 3-е изд., перераб.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.— 752 с.

8. Купрадзе В. Д. О принципе излучения А. Зоммерфельда // ДАН СССР. — №2(1934). С. 1-7.

9. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т. 3. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1989. — 352 е., ил.

10. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. — М.: Наука, 1966. — 513 с.

11. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. мат. журнал. — 1953. — Т.5, №2. — С. 123-151.

12. Мецхваришвили Я. Г. О некоторых свойствах регулярных решений колебательного уравнения // Труды Тбилисского ун-та (А). — №26(1945). — С. 13-22.

13. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных: Учеб. пособие для вузов. — М.: Высш. школа, 1977. — 431 е., ил.

14. Москалев Н. А. Задача дифракции с условиями сопряжения на конечной и бесконечных границах раздела областей // Тез. док. пятой науч. межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи" / И АРФ, СамГТУ.— Самара, 1995. — С.80.

15. Москалев Н. А., Мухлисов Ф. Г. Задача дифракции с условиями сопряжения на бесконечных границах раздела областей / / Тез. док. междунар. семинара "Дифференц. уравнения и их прил.", СамГУ. — Самара, 1995. — С.64.

16. Москалев Н. А., Мухлисов Ф. Г. О существовании решения задачи дифракции // Тр. восьмой науч. межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи." Ч.З.— СамГТУ, И АР. — Самара, 1998. — С.80 81.

17. Москалев Н. А., Мухлисов Ф. Г. Принцип предельного поглощения в вопросах существования решения задачи математической теории дифракции // Тр. 3 Междунар. конф. "Дифференц. уравнения и их прил.," Саранск, 19 21 мая, 1998.— Саранск, 1998. — С.219.

18. Москалев Н. А. Об одной задаче математической теории дифракции // Алгебра и анал.: Тез. докл. науч. школы — конф., посвящ. 100-летию со дня рожд. Б. М. Гагаева, Казань, 16 -22 июня, 1997. — Казань, 1997. — С. 153 154.

19. Москалев Н. А. О достаточных условиях существования решения одной задачи математической теории дифракции // Тез. докл. Сибир. конф. по неклас. урав. мат. физ. — Новосибирск, 1995. — С. 70.

20. Москалев Н. А. О единственности решения задачи математической теории дифракции / Казанский гос. пед. университет.— Казань, 1998. — 12с.— Библиогр.: 4 назв.— Деп. в ВИНИТИ 03.04.98, №1003 В 98.

21. Москалев Н. А. О некоторых достаточных условиях существования решения задачи математической теории дифракции / Казанский гос. пед. университет.— Казань, 1998. — 11с.— Библиогр.: 2 назв.— Деп. в ВИНИТИ 30.10.98, №3184 В 98.

22. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений: Дис. док.физ.-мат.наук. — Казань, 1993. — 324с.

23. Мухлисов Ф. Г. Решение некоторых краевых задач для полигармонического уравнения 2т го порядка методом теории линейных уравнений: Дис. канд.физ.-мат.наук. — Казань, 1970. — 125с.

24. Панич О. И. О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка // Матем. сб. 1960. Т.50, №3. — С.335-368.

25. Панич О. И. Решение основной краевой задачи для полигармонического уравнения четвертого порядка на плоскости методом потенциалов, 1-4 // Изв. вузов. Матем. — 1961. — №3. — С. 80-90; №4. — С. 66—77; №6. — С.89-96; 1962. — Ж. — С. 118-119.

26. Панич О. И. Решение системы уравнений Озейна для установившегося обтекания плоского контура потоком вязкой несжимаемой жидкости методом потенциалов, 1-3 // Изв. вузов. Матем. — 1962. — №3. — С. 98-110; №4. — С. 118-129; №6. — С. 73-84.

27. Панич О. И. Эквивалентная регуляризация краевых задач с помощью потенциалов // Докл. АН СССР. — 1969. — Т. 184, №3. — С. 554-557.

28. Панич О. И. О потенциальных представлениях решений краевых задач, приводящих к сопряженным псевдодифференциальным уравнениям на границе области // Краевые задачи для уравнений в частных производных. — Киев. — 1979. — С. 88-92.

29. Солимено С., Крозиньяни Б., Ди Порто П. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения: Пер. с англ. — М.: Мир, 1989. — 664 е., ил.

30. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).

31. Хенл X., Мауэ Ф., Вестпфаль К. Теория дифракции. — М.: Мир, 1964.

32. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы). — М.: Наука, 1968. — 344с., ил.

33. Freudenthal Н. Uber ein Beugungsproblem aus der elektromagnetischen Lichttheorie. Compositio Math. 6(1938), 221-227.

34. Knops R. J., Payne L. E. Uniqueness theorems in linear elasticity. Springer tracts in natural philosopy, vol. 19, Springer—Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1971.

35. Magenes E. Sulla teorieadel Potenziale. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 24(1955), 510-522.

36. Reilich F. Uber das asymptotische Verhalten der Losungen von AU + XU = 0 in unendlichen Gebieten.— 1 Ber. Deutsch. Math. Verein, 53 (1943), 57-65.