Решение некоторых сингулярных задач математической теории дифракции методами Фурье и потенциалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Хусаинова Эндже Джаудатовна

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ МЕТОДАМИ ФУРЬЕ И ПОТЕНЦИАЛОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Казань — 2004

Работа, выполнена на кафедре математического анализа Казанского государственного педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Мухлисов Фоат Габдуллович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Кожанов Александр Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент Бурмистров Борис Николаевич

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится 30 сентября 2004 года в 1600 часов на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, д. 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан августа 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент Е.К.

Липачев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи теории дифракции на протяжении многих лет привлекают внимание специалистов в области дифференциальных уравнений с частными производными. Необходимость изучения таких задач обусловлена многочисленными их: приложениями в физике, механике сплошных сред, геофизике, океанографии, медицине и т.д. В приложениях также могут возникать задачи дифракции для уравнения Гельмгольца с сингулярным оператором Бесселя, названные нами сингулярными задачами дифракции. Методы исследования сингулярных задач дифракции существенно отличаются от методов исследования задач дифракции. Так, например, потенциалы для сингулярной задачи дифракции строятся с помощью оператора обобщенного сдвига, который представляет собой линейный интегральный оператор, не имеющий обратного. Это обстоятельство порождает отличия в вопросах обоснования и в доказательствах, связанных со сдвигом. Это и обосновывает актуальность выбранного направления исследований.

Для обеспечения единственности решения краевых задач для эллиптических уравнений в неограниченных областях, кроме условий на границе области, необходимо задавать условия на бесконечности. Эти условия, называемые "условиями излучения", для уравнения Гельмгольца впервые были найдены А. Зоммерфельдом. Доказательство принципа излучения для уравнения Гельмгольца было указано в 1933 году В. Д. Купрадзе. Условия излучения и теоремы единственности для уравнения Гельмгольца стали предметом изучения в работах большого круга авторов (Д. 3. Авазашвили, И. Н. Ве-куа, Н. Preudenthal, F. Rellich и др.). В этих работах рассматриваются граничные задачи в бесконечных областях, когда среда занимает внешность некоторой ограниченной области. Теорема единственности решения задачи математической теории дифракции для беско-

нечиых областей с границей, простирающейся в бесконечность, впервые была доказана Ф. Г. Мухлисовым..

Среди методов решения краевых задач для эллиптических, уравнений с оператором Бесселя серьезного внимания заслуживает метод потенциалов, поскольку с помощью правильно подобранных потенциалов сингулярная задача может быть сведена к регулярной системе интегральных уравнений. Поверхностные потенциалы, построенные Н. Раджабовым, оказались достаточными при полном исследовании основных краевых задач для сингулярного уравнения.

Дх.и + ВХри = 0, (1)

где Д^ - ¿>р ~ оператор Лапласа, х' = Х2, хр_1),

ВХр = + ^ — оператор Бесселя, при условиях, когда нехарактеристическая часть границы есть гиперповерхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. Метод потенциалов

неоднократно применялся разными авторами к решению краевых задач для эллиптических уравнений как второго порядка, так и высших порядков и систем. Соответствующие работы, обзор которых имеется в литературе (51. Б. Лопатинский, О. И. Панич и др.), хорошо известны. Впервые Ф. Г. Мухлисову метод потенциалов удалось применить к решению сингулярной задачи дифракции с условиями Сопряжения на конечной границе раздела областей.

Целью настоящей работы является доказательство существования единственного решения сингулярных задач математической теории дифракции с условиями сопряжения на конечных и полубесконечных границах раздела областей, а также с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей границей.

Методы исследования. В работе применяются методы клас-

сической теории потенциала, теории функций действительной переменной, теории функций комплексной переменной, дифференциальных и интегральных уравнений, методы интегральных преобразований и разделения переменных (Фурье).

Научная новизна.

1. Доказательство единственности решения сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на п конечных и полубесконечных границах раздела областей.

2. Доказательство существования решения сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на п конечных границах раздела областей методом потенциалов.

3. Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей нехарактеристической границей.

4. Решение сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на двух параллельных полупрямых, на двух полубесконечиых кривых и на т концентрических полуокружностях.

Теоретическая и практическая значимость. Данная работа содержит теоретический материал. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории дифракции и найти приложение в теории краевых задач для эллиптических уравнений с оператором Бесселя, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера.

Апробация работы. Данные результаты обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Казанского государственного педагогического университета (руководитель - профессор Мух-лисов Ф. Г.). Основные результаты работы докладывались на международной научной конференции. "Спектральная теория диффе-

ренциальных операторов и смежные вопросы"(Стерлитамак, 1998), международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", посвященной 40 - летию мехмата КГУ (Казань, 2000), Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 2000), посвященном памяти М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2000), одиннадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые зада-чи"(Самара, 2001), научной конференции "Проблемы современной математики", посвященной 125 — летию Казанского государственного педагогического университета (Казань, 2001), тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003), научно - практических итоговых конференциях в Казанском государственном университете и Казанском государственном педагогическом университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-9].

Структура и объем работы. Диссертация содержит 105 страниц и состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы из 55 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении дается обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, излагается краткое содержание работы, а также сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

Первая глава диссертации посвящена вопросам единственности решений сингулярных задач дифракции с граничными условиями типа четности на характеристической части границы.

В §1 методом разделения переменных строятся частные решения

уравнения

Ави + Х2и ~ 0, к > О,

где А в = X) + в полупространстве хр > 0 р - мерного евклидова пространства, удовлетворяющие на бесконечности условиям излучения. В §2 рассматривается сингулярная задача дифракции: найти четные по хр решения уравнений

+ XjUj =0(j = l,n+ 1), к > 0,

(2)

в областях соответственно Т^ (j = 1,п + 1), удовлетворяющих на ГШ (j = 1,п) условиям сопряжения

1 ди+

а2 дщ Щ+1 дщ и при К —> оо условиям излучения

uj ~ "j+i = МО, 1 ^ = Ч>№ U = М)

(3)

J |un+1|2z£dS+ = 0(l),

/

5+

ди

n+l

дг

— i'An+iun+l

xkpdS+ = о(1).

(4)

Здесь Г^ 0 = 1,п) — конечные попарно непересекающиеся гиперповерхности, разбивающие полупространство Е+ = {(11,12,.. .хр) 6 Ер : хр > 0} на п + 1 частей А] - аф^ а, >0, > 0 — параметры среды, /,(£), - заданные на Г^' непрерьшные и четные по переменной £р функции.

Доказывается единственность решения задачи (2) - (4).

В §3 доказывается единственность решения сингулярной задачи дифракции в случае, когда п непересекающиеся полубесконечные

гиперповерхности Г^) = 1,п) разбивают полупространство Е+ на ' п + 1 частей.

§4 посвящен задаче дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей нехарактеристической границей. Общей границей Г1 для областей Т^ Ц = 1,п +1) служит гиперплоскость хр-1 = —а1 (01 > 0) в полупространстве Е+. Задача ставится следующим образом. Требуется найти четные по хр решения уравнений (2) в областях соответственноТ^ (3 — 1,п+ 1), удовлетворяющие на Г^ (} = 1,п) условиям сопряжения (3), на общей границе Гх граничным условиям

и при Я оо условиям излучения

К+1|афИ£ = 0(1),

(5)

/I

/

дип+1 дг

(6)

гДе — 5д Ер хр-1 > -01}. Доказывается

единственность решения поставленной задачи.

Вторая глава диссертации посвящена вопросам существования решения сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей.

В §1 рассматривается сингулярная задача дифракции: найти четные по Х3 решения уравнений

Дяи, + А^ = 0У = 1~?) (7)

в областях соответственно Т^ (] — 1, 4), удовлетворяющие на Г^ (у = 1,3) условиям сопряжения

i dut i duj+1 .

—jrr - ---jh- = 4>M) 0 = 1, 3),

ctj OTl£ dj+1 ощ и при R—too условиям излучения

\u4\^dSt = 0(l),

I

s+

0я

du 4 ~dr

t\4W4

= 0(1).

(9)

Решение задачи (7) - (9) ищется в виде

ui(z) =aiWn(x, /ii) + ai Vu (i, ц2),

u2(x) = a2W2i{x, Hi)+a2V,2i(x, (¿2) + a2W22(x, ц3) + a2V22{x, p4), u3(x) = a3W32{x, цз) + a3V32{x, щ) + a3W33{x, Hb) + a3V33{x, fiQ), щ(х) = a4W43(a:, Ць) + a4Vr43(x, цв).

Здесь

г") r<>)

(г = 1,4, j = 1,3, / = 1,3) — поверхностные потенциалы типа потенциалов соответственно простого и двойного слоев с плотностями ц2j и /X21-I) имеющие на границах Г^ (j = 1,3) такие же предельные значения, что и их аналоги для уравнения (1), и, удовлетворяющие на бесконечности условиям излучения (9),

*

£<(*> О - Ск J ^i(/v)sinfc_1 у? d<p,

Mr) := h (t)W1>(v) j i»

— фундаментальные решения уравнений (7),

Pv = (I»1' " if + *s + Й " 2*з£з cos<^)* .

Задача (7) - (9) сводится к системе интегральных уравнений Фред-гольма второго рода. На основе альтернативы Фредгольма доказывается однозначная разрешимость полученной системы.

В §2 методом потенциалов доказывается существование решения сингулярной задачи дифракции в случае, когда область = {х € Е^ : Х2 > 0} разбивается двумя конечными поверхностями Ляпунова Г^ и Г^, образующими с плоскостями хъ = 0 и хз = 0 прямой угол, на три части. Здесь £2 = 0 — нехарактеристическая общая граница.

В §3 результаты §1 обобщаются на случай, когда полупространство разбивается попарно непересекающимися п поверхностями Г(з) (j = l,n) на n + 1 частей.

В третьей главе находятся решения плоских сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на двух параллельных полупрямых, на двух полубесконечных кривых и на т концентрических полуокружностях.

В §1 рассматривается сингулярная задача дифракции с условиями сопряжения на двух параллельных полупрямых {х = 0, у > 0} и {х = а, у > 0} об отыскании четных по у решений уравнений

ABUj + Xjuj = 0, (10)

в областях соответственно Т^ (J — 1,3) удовлетворяющие на полупрямых {х = 0, у > 0}, {х = а, у > 0} условиям сопряжения

ut ~uJ+i = Ш)>

1 1 ди

3+1 _

дх

otj+l дх и при Д —> оо условиям излучения

= Ш С? = 1.2)

(П)

/I

с«>

ди}

уЧС+=о( 1) у = 1.3).

(12)

Здесь Сд = {(х,у) е ¿?2~ : х2 + у2 = Л2} — полуокружность, С^ = С^ПГ0); /;(у), <^,(у) е5в,5в- класс четных по у бесконечно дифференцируемых функций д{у), удовлетворяющих неравенству \В™д(у)\ < при всех и,т = 0,1,2,... .

Решение задачи (10) - (12) представляется в виде интегралов Фурье - Бесселя. Приводится подробное обоснование полученного решения.

В §2 рассмотрена плоская сингулярная задача дифракции об отыскании четных по у решений уравнений (10) в областях Т^ 0 = 1, 3) соответственно, удовлетворяющих на кривых Г^ = € :

X = Ч>1 {у), У > 0}, Г<2) = {(х,у) 6 : х = >р2{у), У > 0} без общих точек условиям сопряжения (11) и при Я -> оо условиям излучения (12). Решение задачи представляется в виде

.. • .00

из(х>У) = 22„г2(„ + 1) £ + В^"*) 12М1шУ),

где ] = ТГЗ; 7т — корни уравнения Л (у) = 0, = 2 .

Неопределенные коэффициенты А}тп, В;т определяются из бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Доказывается однозначная разрешимость системы;

В §3 рассматривается задача об отыскании решений уравнений (2) при 0 < к < 1, удовлетворяющие на концентрических полуокружностях С£, ] = 1,т с общим центром в начале координат и радиусами И3> условиям сопряжения (3), при К -> оо условиям излучения (4) и граничным условиям

из\у=о = 0 = 1,т + 1).

Решение этой задачи представляется в виде рядов Фурье по системе многочленов Якоби. Приводится обоснование полученного решения.

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Ф. Г. Мухлисову за оказанную помощь и ценные советы, которые он давал мне в период написания этой работы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Хусаинова Э. Д. О весовых краевых задачах для одного В -эллиптического уравнения / Э. Д. Хусаинова, Ф. Г. Мухлисов // Сборник науч. трудов междунар. науч. конф. "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы". — Ч. 1. — Стерлитамак, 1998. — С. 51-53.

2. Хусаинова Э. Д. Решение краевой задачи для одного В - эллиптического уравнения в бесконечной области / Э. Д. Хусаинова // Труды математического центра им Н. И. Лобачевского (Материалы Междунар. науч. конф. (Казань, 1.10-3.10.2000)). — Т. 5. — Казань: УНИПРЕСС, 2000. - С. 221-222.

3. Хусаинова Э. Д. Решение задачи типа Дирихле для одного В - эллиптического уравнения в области с бесконечной границей / Э. Д. Хусаинова // Тез. докл. Четвертого Сибир. конгр. по прикл. и индустр. математике (ИНПРИМ - 2000), посвящ. пам. М. А. Лаврентьева. Ч. 1. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики им. С. Л. Со-

болева СО РАН, 2000. - С. 87-89.

4. Хусаинова Э. Д. Решение задач типа Дирихле для одного В

- эллиптического уравнения в областях с бесконечными границами методом Фурье - Бесселя / Э. Д. Хусаинова / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000. - 16 с. — Деп. в ВИНИТИ 04.07.00, N 1858-ВОО.

5. Хусаинова Э. Д. Решение одной сингулярной задачи дифракции методом потенциалов / Э. Д. Хусаинова // Труды 11-й межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". — Ч. 3.

- СамГТУ, И АР. - Самара, 2001. - С. 129-132.

6. Хусаинова Э. Д. Решение одной сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на полусфере методом Фурье / Э. Д. Ху-саинова // Труды математического центра им Н. И. Лобачевского (Материалы Межвуз. науч. конф. (Казань, 22.10-24.10.2001)). — Т. 11. - Казань: УНИПРЕСС, 2001. - С. 278-281.

7. Хусаинова Э. Д. О некоторых сингулярных задачах дифракции с общей границей / Э. Д. Хусаинова // Известия вузов. Математика.

- 2002. - N 9(484). - С. 75-78.

8. Хусаинова Э. Д. Решение одной сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на двух полусферах методом Фурье / Э. Д. Хусаинова // Труды 13-й межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". — Ч. 3. — СамГТУ, ИАР. — Самара, 2003. - С. 164-167.

9. Хусаинова Э. Д. О потенциалах для одного сингулярного эллиптического уравнения / Э. Д. Хусаинова // Вопросы современной математики и информационных технологий в математическом образовании: Сборник науч. трудов молодых математиков КГПУ.

Казанский государственный педагогический университет, 2004. — С. 133-140.

Лицензия на полиграфическую деятельность №0128 от 08.06.98г. выдана Министерством информации и печати Республики Татарстан Подписано в печать 20.08.2004 г. Форм. бум. 60x84 1/16. Печ. л.0,75. Тираж 100. Заказ 180.

Минитипография института проблем информатики АН РТ 420012, Казань, ул.Чехова, 36.

»156 64

Введение

Глава 1. Единственность решения сингулярных задач дифракции с граничным условием типа четности на характеристической части границы

§1. О некоторых частных решениях уравнения

Гельмгольца с оператором Бесселя

§2. Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей. Теорема единственности

§3. Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на полубесконечных границах раздела областей. Теорема единственности

§4. Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей границей.

Теорема единственности.

Глава 2. Метод потенциала в вопросах существования решения сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей

§1. Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на трех конечных границах раздела областей методом потенциалов.

§2. Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с общей нехарактеристической границей

§3. Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на п конечных границах раздела областей.

Глава 3. О некоторых сингулярных задачах дифракции с общей границей

§1. Решение сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на двух параллельных полупрямых

§2.Решение сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на двух полубесконечных кривых

§3. Решение сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на т концентрических полуокружностях.

Явлением дифракции (от лат. — "¿¿//гас^ив" — разломанный) называется поведение волн различной природы в среде или средах, имеющих границы с теми или иными свойствами. Благодаря работам Пуанкаре и Зоммерфельда в конце девятнадцатого века стало ясно, что задачи теории дифракции — суть краевые задачи математической физики. Необходимость изучения таких задач обусловлена многочисленными их приложениями в физике, механике сплошных сред, геофизике, океанографии, медицине и др.(см., например, [37], [40]).

В приложениях также могут возникать задачи дифракции для уравнения Гельмгольца с оператором Бесселя, которые в дальнейшем и назовем сингулярными задачами дифракции. Например, осесиммет-рическая задача дифракции является частным случаем сингулярных задач дифракции.

Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с конечной границей хорошо изучены. Гораздо меньше изучены краевые задачи в областях с бесконечной границей. Это объясняется тем, что в этом случае методы теории потенциалов и Фурье сводят краевые задачи для эллиптических уравнений соответственно к интегральным уравнениям типа свертки и системам линейных алгебраических уравнений с бесконечным числом неизвестных, являющимися дискретными аналогами интегральных уравнений типа свертки. Подробный обзор работ по поводу интегральных уравнений типа свертки и бесконечной системы линейных алгебраических уравнений дан в монографии [10].

Краевые задачи как для эллиптических уравнений, так и для эллиптических уравнений с оператором Бесселя могут ставиться также в неограниченных областях. Однако в этом случае для обеспечения единственности решения, кроме условий на границе области необходимо задавать еще некоторые условия на бесконечности. Эти условия, называемые "условиями излучения", для уравнения Гельмгольца впервые были найдены А.Зоммерфельдом [55].

Доказательство принципа излучения для уравнения Гельмгольца было указано в 1933 году В.Д.Купрадзе [18]. Условия излучения и теоремы единственности для уравнения Гельмгольца стали предметом изучения в работах большого круга авторов [7, 8, 1, 23, 52, 53] и других. В этих работах рассматриваются граничные задачи в бесконечных областях, когда среда занимает внешность некоторой ограниченной области. Впервые теорема единственности решения сингулярной задачи дифракции для бесконечных областей с границей, простирающейся в бесконечность, была доказана Ф.Г.Мухлисовым [26].

Среди методов решения краевых задач для эллиптических уравнений с оператором Бесселя серьезного внимания заслуживает метод потенциалов, поскольку с помощью правильно подобранных потенциалов сингулярная задача может быть сведена к регулярной системе интегральных уравнений. Поверхностные потенциалы, построенные Н.Раджабовым [33], оказались достаточными при полном исследовании основных краевых задач для сингулярного уравнения ВХри = 0, (0.1) где Ах> = ^ — лапласиан, ВХр = ^ + ^^ — оператор Бесселя, з V р р при условиях, когда нехарактеристическая часть границы есть гиперповерхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол.

Метод потенциалов неоднократно применялся разными авторами к решению краевых задач для эллиптических уравнений как второго порядка, так и высших порядков и систем. Соответствующие работы, обзор которых имеется в литературе [21, 28, 29, 30, 31, 32], хорошо известны. Впервые Ф. Г. Мухлисову метод потенциалов удалось применить к решению сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на конечной границе раздела областей. В работе [26] предложен способ нахождения потенциалов, сводящих сингулярную задачу дифракции к регулярной системе интегральных уравнений.

Целью данной работы является изучение возможности распространения результатов Ф. Г. Мухлисова на другие задачи математической теории дифракции. Здесь доказываются теоремы единственности решений сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на конечных и полубесконечных границах раздела областей, а также с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей нехарактеристической границей. При решении сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на конечных и бесконечных границах раздела областей применяются методы Фурье и потенциалов.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Авазашвили Д. 3. Пространственная задача дифракции для электромагнитных колебаний / Д. 3. Авазашвили // Сообщения АН Грузинской ССР. - 1953. - N 14. - С. 321-328.

2. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. М.: Наука, 1973. - Т. 1. - 294 с.

3. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. М.: Наука, 1974. - Т. 2. - 295 с.

4. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

5. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. 161 с.

6. Вайнштейн Л. А. Теория дифракции и метод факторизации / Л. А. Вайнштейн. — М.: Сов. радио, 1966. — 430 с.

7. Векуа И. Н. О метагармонических функциях / И. Н. Векуа // Труды Тбилисского матем. ин-та АН Грузинской ССР. — 1943. — N 12. С. 105-174.

8. Векуа И. Н. О доказательстве некоторых теорем единственности, встречающихся в теории установившихся колебаний / И. Н. Векуа // ДАН СССР. Т. 80, N 3(1951). - С. 341-343.

9. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. — 4-е изд. — М.: Наука, 1981. — 512 с.

10. Гахов Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский.М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. 296 с.

11. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — М.: Физматгиз, 1963. — 1100 с.

12. Денисова М. Ю. Решение основной краевой задачи для В бигар-монического уравнения методом потенциалов / М. Ю. Денисова // Известия вузов. Математика. — 2001. — N 8(471). — С. 79-81.

13. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г.П.Акилов. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 752 с.

14. Кароль И. Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико гиперболического типа / И. Л. Кароль // Математический сборник - 1956. - Т. 38(80), N 3.- 0. 261 - 282.

15. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М. В. Келдыш // ДАН СССР. 1951. - Т. 77, N2.-0. 181 - 183.

16. Киприянов И. А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов / И. А. Киприянов // Дифференциальные уравнения.- 1971. Т. 7, N И. - С. 2066-2077.

17. Киприянов И. А. Фундаментальные решения В эллиптических уравнений / И. А. Киприянов, В. Н. Кононенко // Дифференциальные уравнения. - 1967. - Т. 3, N 1. - С. 114-129.

18. Купрадзе В. Д. О принципе излучения А. Зоммерфельда / В. Д. Купрадзе // ДАН СССР. 1934. - N 2. - С. 1-7.

19. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: учеб. для студентов университетов и вузов / Л. Д. Кудрявцев. В 3 т. — Т. 3. — 2-е изд., перераб. и доп. —М.: Высш. школа, 1989. — 352 е., ил.

20. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала / Н. С. Ландкоф. М.: Наука, 1966. - 513 с.

21. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям /Я. Б. Лопатинский // Укр. математический журнал. — 1953. — Т. 5, N 2. — С. 123-151.

22. Ляхов Л. Н. Весовые сферические функции и сингулярные псевдодифференциальные операторы / Л. Н. Ляхов // Дифференциальные уравнения. 1985. - Т. 21, N6.-0. 1020-1032.

23. Мецхваришвили Я. Г. О некоторых свойствах регулярных решений колебательного уравнения / Я. Г. Мецхваришвили // Труды Тбилисского ун-та (А). N 26(1945). - С. 13-22.

24. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных: учеб. пособие для вузов / С. Г. Михлин. — М.: Высш. школа, 1977. — 431 е., ил.

25. Мухлисов Ф. Г. Обобщенное решение задачи типа Дирихле для некоторых сингулярных эллиптических уравнений / Ф. Г. Мухлисов // Сибирский математический журнал. — 1990. — Т. 31, N 5.- С. 79-91.

26. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений // Дис. . д-ра физ.-мат. наук / Ф. Г. Мухлисов. — Казань, 1993. — 324 с.

27. Панич О. И. О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка / О. И. Панич // Математический сборник. — 1960. Т. 50, N 3.- 0. 335-368.

28. Панич О. И. Эквивалентная регуляризация краевых задач с помощью потенциалов / О. И. Панич // Докл. АН СССР. — 1969. — Т. 184, N 3.- 0. 554-557.

29. Панич О. И. О потенциальных представлениях решений краевых задач, приводящих к сопряженным псевдодифференциальным уравнениям на границе области / О. И. Панич // Краевые задачи для уравнений в частных производных. — Киев, 1979. — С. 88-92.

30. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М. М. Смирнов. — М.: Наука, 1966. — 292 с.

31. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка / М. М. Смирнов. — М.: Наука, 1964. — 206 с.

32. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. — М.: Высшая школа, 1985. — 304 с.

33. Солимено С. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения: пер. с англ. / С. Солимено, Б. Крозиньяни, П. Ди Порто. М.: Мир, 1989. - 664 е., ил.

34. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены / П. К. Суетин. М.: Наука, 1979. - 416 с.

35. Федорюк M.B. Асимптотика: Интегралы и ряды / М. В. Федорюк.М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 544 с.

36. Хенл X. Теория дифракции: пер. с нем. / X. Хенл, Ф. Мауэ, К. Вестпфаль; под ред. Г. Д. Малюжинца. — М.: Мир, 1964. — 428 с.

37. Хусаинова Э. Д. Решение одной сингулярной задачи дифракции методом потенциалов / Э. Д. Хусаинова // Труды одиннадц. меж-вуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". — Ч. 3. СамГТУ, ИАР. - Самара, 2001. - С. 129-132.

38. Хусаинова Э. Д. О некоторых сингулярных задачах дифракций с общей границей / Э. Д. Хусаинова // Известия вузов. Математика. 2002. - N 9(484). - С. 75-78.

39. Чернокожин Е. В. О разрешимости краевых задач для уравнения Гельмгольца в неограниченной области с некомпактной границейЕ. В. Чернокожин, Ю. В. Шестопалов // Дифференциальные уравнения. 1998, - Т. 34, N 4. - С. 546-553.

40. Янке Е. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы) / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. — М.: Наука, 1968. — 344 е., ил.

41. Freudenthal Н. Uber ein Beugungsproblem aus der electromagnetischen Lichttheorie / H. Freudenthal // Compositio Math. 1938. - N 6. - S. 221-227.

42. Magenes E. Sulla teorieadel Potenziale / E. Magenes // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1955. - N 24. - P. 510-522.

43. Reilich F. Uber das asymptotische Verhalten der Losungen von AU + XU = 0 in unendlichen Gebieten / F. Reilich //1 Ber. Deutsch. Math. Verein. 1943. - N 53. - S. 57-65.

44. Sommerfeld A. Die Greensche Funktion der Schwingungleichung / A. Sommerfeld // Jahresber. Deutsch. Math. Verein. 1912. - Bd 21, S. 309-353.