Парные сумматорные и сингулярные интегральные уравнения в задачах дифракции: теория и численные методы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Р Г Б ОД

На правах рукописи

. МАИ 139*1

ГАНДЕЛЬ Юрий Владимирович ,

ПАРНЫЕ СУММАТОРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ: ТЕОРИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

01.04.03 — радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ХАРЬКОВ 1994

Диссертация является рукописью.

Работа выполнена в Харьковском государственном университете.

Официальные оппоненты:

— доктор фнзнко-математнческнх наук, профессор, начальник. отделения Национального научного центра «Харьковский физико-технический институт Хижняк Николай Антонович;

— доктор физико-математических наук, профессор Харьковского военного университета Сухаревский Илья Владимирович;

— доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ■ НИИ ядерных проблем при Белорусском государственном университете Слепян Григорий Яковлевич.

Ведущая организация — Радиоастрономический институт ЛИ Украины.

Защита состоится * /О, ¿-//-¿Р/^^? 1994 г. в час. на заседании специализированного ученого совета Д 02.01.07 Харьковского государственного университета (310077, , г., Харьков, пл. , Свободы, 4,

ауД-3 ~9 )• ' ' '"•' '

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке X Г У.

Лигореферат разослан « С> » 1994 I.

Учений секретарь ежчшализироваппого ученог совета

Чеботарев В. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Стремительное развитие математического • моделирования с применением. ЭШ в электродинамике и радиофизике •/для численного анализа электромагнитных полей при рассеянии и дифракции, для расчета устройств СВЧ и ускорительной техники/ зачастую опережает работу по строгому обоснованию как выбора самих, математических моделей, так и применяемых при их реализации вычислительных процедур. Поэтому остаются весьма актуальными, с одной стороны, построение математических моделей в электродинамике и радиофизике на базе строгой теории злектромагнети-. зма, с другой - исследование и обоснование ' соответствующих дискретных математических моделей, используемых для численного анализа электромагнитных полей, а также оценка погрешности этих моделей и устойчивости применяемых вычислительных процедур. При решении задач дифракции особенно, актуальны эти проблемы в средневолновом диапазоне, где, как правило, неприменимы ни аналитические методы, работающие в длинноволновом диапазоне, ни асимптотические, с успехом применяемые в коротковолновом диапазоне.

Построение достаточно общих и строго обоснованных численных методов решения возможно более широкого класса модельных задач актуально еще и-потому, что создает предпосылки для использования их в качестве эталонных при расширительной трактовке применимости разработанных на основе этих методов дискретных математических моделей реальных задач электродинамики и радиофизики. Проведение на их основе численного эксперимента дает возможность определить практические границы применимости построенных математических моделей. . -

Математические модели широкого.класса задач теории дифрак-

ции - смешанные краевые задачи для уравнения Г.ельмгольца, их решение методом Фурье приводит к парным уравнениям - интегральны!,1 в случае непрерывного спектра й сумматорным в случае дискретного. Сведение парных уравнений к уравнению Фредгольма второго рода самый распространенный способ решения смешанных кра- : евых задач математической физики. В последние годы в связи с бурным развитием численных методов решения сингулярных интегральных уравнений в вычислительной физике все большее внимание уделяется математическим моделям, основанным на сингулярных интегральным уравнениях /СИУ/. Среди методов построения такта моделей особое место занимают методы дискретных .особенностей /ВДО/. Их эвристической основой является метод дискретных вихрей /МДВ/ С.М. Белоцерковского в аэродинамике. После строгого обоснования И.К. Лифановым ВДВ как численного метода решения СШ открылись новые возможности обобщения этого метода, приме- • нения разработанной вычислительной техники к новым классам задач.

• Задачи дифракции на решетках - классическая математическая модель, на которой отрабатывались и отрабатываются многие• численно-аналитические и численные методы решения задач акустики, электродинамики'и радиофизики. Предлагаемый в работе новый под-• ход к решению задач дифракции на решетках из конечного числа лент, многоэлементных периодических решетках, 'а также ленточных диафрагмах в волноводах, основанный на сведении парных интегральных и парных сумматорных.уравнений к СИУ, открыл широкие возможности для построения новых дискретных математических моде-_лей краевых задач электродинамики.

Цель работы'- построение строгой теории парных интеграль-

4

ных и парных сумматорных уравнений на базе СИУ., обоснование приближенного численного метода их решения и построение на этой основе математических моделей широкого класса задач электродинамики, радиофизики,- краевых задач математической физики.

Методы исследования: функционально аналитические с использованием теории операторов в гильбертовом пространстве и теории аппроксимации /конструктивной теории 'функций/; численно-аналитические с использованием интерполяционных квадратур для несобственных и сингулярных интегралов; эвристические с использованием численного эксперимента для определения практических гра-тЬ, применимости разработанных строгих вычислительных методов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

I. Единый численно-аналитический метод решения парных сум-маторных и парных интегральных уравнений задач дифракции слект-ромагнитных волн на многоэлементных решетках, состоящий в сведении парных уравнений к СИУ на.системе отрезков и обосновании прямого метода их численного решения с использованием'МДО.

1.1. Сведение к СИУ парных интегральных уравнения задач дифракции Е - и Н - поляризованных волн на решетках из конечного числа идеально проводящих бесконечно тонких лент, лежащих в одной плоскости /первая и вторая краевые задачи/.1.2. Сведение к СИУ третьей и четвертой'краевых задач на ограниченных решетках.

1.3. Сведение к СИУ. парных сумматорных уравнений задач дифракции Е - и Н - поляризованных волн на многоэлементных периодических 'решетках, из идеально проводящих бесконесно тонких лент /первая и вторая краевые задачи, периодический случай/.

1.4. Сведение к СИУ третьей и четвертой краевых задач на периодических решетках.

■ ' 1.5. Сведение к СИУ парных сумматорных уравнений задач дифракции на ленточных диафрагмах в плоских волноводах.

1.6. Построение и обоснование численного метода решения парных интегральных и парных сумматорных уравнений на базе МДО, оценка погрешности метода.

1.7. Выделены широкие классы краевых задач электродинамики, приводящие к парным интегральным и парным сумматорным уравнениям, которые с помощью разработанной аналитической техники сводятся к СИУ первого рода на системе отрезков; описаны функциональные классы, в которых рассматриваемые парные уравнения эквивалентны соответствующим СИУ.

2. Математические модели в электродинамике на базе теории парных уравнений, СИУ и МДО.

2.1. Математическая.модель для учета толщина лент в задачах • дифракции на многоэлементных решетках и численный эксперимент на

ее основе.

2.2. Математические модели для расчета дифракции волн на ступеньке в плоском волноводе, на системе ступенчатых расширений в плоском волноводе ив волноводе кругового сечения, на периодически повторяющейся системе кольцевых диафрагм в волноводе

' кругового сечения.

2.3. Численный метод решения систем СИУ на всей оси .и новый подход к численному анализу дифракции электромагнитных волн на волноведущих структурах. Численный эксперимент: исследование задачи дифракции плоской монохроматической волны на диэлектриг ческом и идеально проводящем прямоугольных клиньях с общей

гранью.

2.4. Дискретная математическая модель /на базе нового подхода к решению систем СИУ на всей оси /для расчета электронно-микроскопического контраста и анализа физико-механических свойств тонких пленок в микроэлектронике.

2.5. Дискретная математическая модель на основе МДО для вычисления собственных плазменных частот в системе' сдвоенных проводящих каналов.

3. Обоснование метода дискретных токов - варианта МДО - численного решения СИУ двумерных краевых задач дифракции электромагнитных волн на системе замкнутых и разомкнутых проводящих цилиндрических поверхностей.

3.1. Дискретизация по МДО систем СИУ с ядрами Гильберта и Коши, а также дополнительных условий общего вида; регуляризация по Лифанову и доказательство разрешимости СЛАУ.

3.2. Оценка скорости сходимости приближенного решения системы СИУ к точному в метрике специально построенных гильбертовых пространств и на этой основе получение равномерных оценок отклонения приближенных значений физических характеристик электромагнитного поля от точных.

4. Численно-аналитический метод решения парных интегральных уравнений задач дифракции на круговом диске и его строгое обоснование. - '

4.1. Аналитические выражения для поля на диске и в дальней зоне через решение интегрального уравнения Ахиезера.

4.2. Сведение уравнения Ахиезера к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с экспоненциальным ядром и его приближенное решение.

.■'•■' 7 '

4.3. Построение приближенных решений парных интегральных уравнений и численный анализ рассеянных и дифрагированных полей, оценка погрешности метода.

5. Построение и строгое обоснование метода дискретных зарядов - варианта МДО - 'численного решения основной задачи электростатики проводников.

Результаты диссертационной работы составляют содержание нового научного направления "Метод дискретных особенностей в задачах электродинамики".

Научная новизна. В работу включены только оригинальные результаты. Впервые теория парных интегральных и парных сумматор-ных уравнений строится на основе СИУ; впервые получено .СИУ задач дифракции волн на многоэлементных решетках, причем изучены все четыре краевые задачи для уравнения Гельмгольца как в случае ограниченных так и периодических решеток.

Впервые дано строгое обоснование МДО для решения задач дифракции волн на цилиндрических структурах.

Построены математические модели на основе теории парных уравнений и ВДО для расчета параметров волноведущих структур.

Дано строгое обоснование численного решения МДО основной задачи электростатики цилиндрических проводников.

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации теоретических результатов гарантируется тем, что они получены строгими математическими методами. Численные результаты, полученные при решении эталонных и модельных задач методами дискретных особенностей и предложенными в работе их модификациями, хо-.,р.ршо согласуются с известными точными решениями, а также с ре-

Г

зультатами, найденными другими методами, и экспериментальными

данными.

Теоретическая к практическая значимость работы состоит в .построении новой теории парных интегральных и сумматорных уравнений широкого класса задач дифракции.электромагнитных волн; строгом обосновании численного метода дискретных особенностей решения двумерных задач электростатики проводников и задач дифракции на системах цилиндрических проводников.

Полученные "при изучении парных уравнений представления полей в виде сингулярных интегралов позволили разработать единообразный подход к построению математических моделей широкого класса прикладных задач электродинамики и радиофизики, а предложенные модификации МДО служат основой для численного анализа электромагнитных полей. •

' Полученные в диссертационной работе результаты открывают новые возможности для исследования спектральных свойств полосковых и щелевых линий передачи, расчета их параметров.

Результаты работы послужили основой спецкурсов, которые читаются студентам механико-математического факультета, специализирующимся по математической физике, вычислительной математике и механике: "Численный метод дискретных особенностей в .задачах электродинамики", "Парные и сингулярные интегральные уравнения теории дифракции и методы их численного решения"; Изданы учебные пособия по этим курсам.

. Результаты работы использованы в курсовых и дипломных работах, а такяе в кандидатских диссертациях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзных симпозиумах: "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" /г. Харьков - 1983, 1985, 1987, 1989 г.г.; г. Одесса - 1991 г./; по дифракции и распространению волн /г. Тбилиси - 1964 г.; г. Харьков - 1967 г.; г.Ле- . нинград - 1970 г./; на конференциях: "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" /Черноголовка - 1979, 1981, 1983, 1985, 1У87, 1969 г.г./; "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения" /г. Одесса - 1987 г./; "Численные методы, основанные на решении сингулярных интегральных уравнений" /ВЦ СО АН СССР, ИВВАЙУ, г. Иркутск, 1984 г./; "Эффективные численные методы решения краевых задач механики твердого деформируемого тела" /г. Харьков - 1989 г./; на рабочих совещаниях "Метод граничных' интегральных уравнений. Задачи, алгоритмы, программная реализация" в Научно-исследовательском ВЦ АН СССР /г. Пущино на Оке -1985, 1986, 1987 г.г./; на Всесоюзной научной сессии, посвященной дню радио /г. Москва - 1991 г./; на Всесоюзном научно-техническом семинаре "Математическое моделирование и создание САПР для расчета, анализа и синтеза антенно-фидерных систем и их элементов" /г. Ростов - 1990 г./; на I Украинском симпозиуме "Физика и техника Ш и СУЕММ радиоволн" /г. Харьков - 1992 г./; на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" /г. Самара - 1992 г./; на Международной конференции памяти акад. М.П. Кравчука /г. Киев - 1992 г./; на Международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" /г. Харьков - 1993 г./; на Всесоюзных семинарах в ЦАГИ, руководитель проф. С.М. Белоцерковский /г. Москва/; в

ВВИА, руководитель проф. И.К. Лифанов /г. Москва/; на семинаре в ИРЭ АН Украины, руководитель акад. В.П. Шестопалов /г. Харьков/; на семина в РИ АН Украины, руководитель акад. Л.Н. Литви-ненко /г. Харьков/; на семинаре по вычислительной математике ИФТТ АН-СССР, руководитель проф. Ю.П. Боглаев /Черноголовка Моск. обл./; на семинаре по интегральным уравнениям в ИППММ АН Украины, руководитель проф. Ю.И. Черский /г. Львов/; на семинаре фак ВМиК МГУ, руководители проф. Е.В. Захаров и проф. И.К. Лифанов /г. Москва/; на республиканском семинаре "Эффективные методы решения задач математической физики", руководитель проф. В.ф. Щербина /г. Харьков/.

Публикации. Основанью результаты диссертации опубликованы в 36 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссератции.'Диссератция 'состоит из введения, семи глав, приложения, заключения И списка литературы. Общий обьем диссертации 359 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. '

Во введении обоснована актуальность исследований, проводимых в диссертации, дан обзор литературы, сформулирована цель работы, кратко изложено содержание диссератции и описаны основные результаты. ... •

В первой главе доказана эквивалентность парных' интегральных ■ уравнений задач дифракции Е - и Н - поляризованной волны на плоской ограниченной решетке из идеально проводящих бесконечно тонких лент сингулярному интегральному уравнению первого рода на . системе отрезков, в выделенном классе функций. Разработанный

И-

при этом аналитический аппарат позволил провести сведение к СИУ не только указанных первой к второй краевых задач для уравнения Гельмгольца, но и получить СИУ третьей и четвертой краевых задач.

Выделены и изучены более общие классы парных интегральных уравнений /а затем и их дискретных аналогов - парных сумматор-ных уравнений/ сводящихся к СИУ первого рода на системе отрезков. Поскольку речь идет о парных уравнениях корректных краевых задач математической теории дифракции эти уравнения однозначно разрешимы в соответствующих классах функций, определяемых условием на ребре.

Вводятся обозначения

.т.

Рассматривается парное интегральное уравнение вида

оо

^С(Х)еа?о1% =0, уеСЬ ш

— оо оо

е{аУс/г /^Х (2)

где , у £ Иг заданная гладкая функция, ~ 'за-

данная функция, причем существует отличный от нуля предел

Жт \/М —]/(«>) фО

и абсолютно сходится к гладкой функции интеграл о

/в частности, к парному уравнению вида (1) - (2) при сводится задача дифракции Н - поляризованной электромагнитной волны на плоской решетке из конечного числа идеально проводящих лент/. Доказан следующий результат. Решение парного интегрального уравнения (1) - (2) представляется в виде

С(Я) - ¿7^, л <? <э)

Ж/

а функция Р(^), должна и может быть найдена из СИУ пер-

вого рода на системе отрезков

А * л

в классе функций, удовлетворяющих дополнительным условиям

а7 ■

сужения которых ^СЩ) • £ на интервалы 1у~ (с?^ ^) ,

^—^ч/рПЬ имеют вид

.—, (6)

где гладкие функции.

Далее строится теория парного интегрального уравнения вида

со

5 № & ^ Щ) & = х «о

— Со "

где заданная функция /'^^/'удовлетворяет условиям: существует отличный от нуля предел

= УН

у-ы-са

и абсолютно сходится к гладкой функции интеграл

^¡{•щ УМ - -уг ]/(?)} ¿¿г с/Л о

/в частности, к парному уравнению (7) - (8) сводится задача дифракции Е - поляризованной электромагнитной волны на плоской, решетке из конечного числа идеально проводящих лент

Доказано, что решение парного интегрального уравнения (7) -(8) представляется в виде

Ш - -Ь \ (9)

х

где функция • ^ ^^ Д°лжна и может быть найдена из СКУ

первого рода

Л У X

V» - ___

14 •

с дополнительными условиями

X

Н-М — яг^р ^ Я > V - фиксированная

точка

интервала ) , и сужения • ^бХу функ-

ции имеют представления {'б) .

К сингулярному интегральному уравнение на системе отрезков сведены третья и четвертая краевые задачи для ограниченных решеток с использованием аналитической техники, развитой при изучении парных уравнений (и - (2) и (7) - (В).

Во второй главе рассматриваются дискретные аналоги парных интегральных уравнений первой главы - парные сумматорные уравнения задач дифракции электромагнитных волн на периодических многоэлементных реаетках. Сведение этих задач к СИУ первого рода на системе отрезков проведено не только для первой и второй краевых задач /случаи Е - и Н - поляризации, ленты идеально проводящие/, но.и для третьей и четвертой краевых задач.

Еыделены и изучены парные сумматорные уравнения достаточно широкого класса периодических задач дифракции волн, сводящихся к СИУ первого рода на системе отрезков. Вводятся обозначения

т,

<... <

г<

'40.

Рассматривается парное стаматорное уравнение

ОО .

¿с ^2)

/2=-аз

СО

где

заданная гладкая функция, > Ж

задано, причем существует отличный от нуля предел

п->оо

и абсолютно сходится к гладкой функции ряд оа

ос

Л—/

/в частности к парному уравнению вида С12) - (13) при сводятся задачи дифракции и Е - и Н - поляризованных волн на периодической многоэлемен'тной решетке из идеально проводящих . лент в случае ортогонального падения/.

Доказано, что решение парного сумматорного уравнения (12) -(13) представляется в виде

С — -рг—г е~С/7&~'/-с/&у "-¿Ж 04)

ос- '

а функция О) , должна и может быть найдена из СИУ

первого рода на системе отрезков г

ОС у-в- &и ъ

где

с дополнительными условиями ft

f-fa) причем для сужения ^bj функции

на интервалы

— С0^?; fy ) * имеют место представления,

аналогичные (6).

Проведено сведение к СИУ первого рода на системе отрезков парных сумматорных уравнений задач дифракции волн на ленточных диафрагмах в плоском волноводе

ай

УАл cosncp = о, ye CJ6 / -g^JO

4 f*1CCS пр = fob

<x>

n=o

oo

/г=Т '

и их обобщений, а также парных сумматорных уравнений задач дифракции волн на периодической многоэлементной решетке при наклонном падении.

Широкий класс краевых задач теории дифракции волн приводит к рассмотренным парным интегральным и парным сумматорным урав-. нениям. С постановок конкретных задач такого•рода, обладающих

17

плоской или цилиндрической симметрией, начинается третья глава. Это задачи дифракции электромагнитных волн на ограниченных и периодических многоэлементных экранированных решетках, краевые' задачи для уравнения Гельмгольца в областях, граница которых состоит из систем колец на поверхности прямого кругового цилиндра. Бо всех случаях выписаны явные представления для функций \/(, которые входят в выражения для регулярных ядер . СИУ.

Описаны схемы ¡.'ДО численного решения СИУ на системе отрезков с дополнительными условиями первого /задачи (4) -.(5), (15) - (16) / и второго типа /задача (10) - (II) /, причем во всех случаях решение ищется в виде, определяемом представлениями (6) . Детально анализируется вопрос о вычислении матричных элементов СЛАУ, которые являются.значениями ядер СИУ в фиксированных точках.

Строгое обоснование МДО проведено для систем СИУ на отрезке [-1,1] /с соответствующими дополнительными условиями/, эквивалентных рассматриваемым задачам:

Л м-

"г у .

с дополнительными условиями первого типа:

—С

или второго типа:

О,

(18)

т /

+7/¡^н" ■««

Здесь -^ГУ,;, (■&) ,

известные гладкие функции.

Дискретизация задачи (IV) , (18) проведена интерполяционными методами с использованием гауссовых квадратур, теоретико функциональными методами исследован вопрос об однозначной разрешимости полученной СЛАУ и дана оценка скорости сходимости приближенных решений к точному в метрике специально построенных гильбертовых пространств.

Задача (I?) , (19)

/с дополнительными условиями второго типа/ являет частным случаем проблемы, детально изученной в пятой главе.

Далее, через приближенные решения СИУ выражаются /с использованием гауссовых квадратур/ приближенные решения'парных уравнений и соответствующих задач дифракции. Получены'простые формулы для приближенных значений1, интегральных характеристик рассеянных и дифрагированных полей и дана оценка скорости сходимости приближенных значений к точным.

В четвертой главе построены математические модели ряда задач электродинамики и радиофизики на базе аналитического аппарата, ' разработанного при сведении парных уравнений к СНУ, а также численного ЬЩО. Это краевые задачи дифракции на решетках'из металлических брусьев, на конечном числе щелей в проводящем слое,

на ступенчатых неоднородностях в плоском волноводе, на системах расширений в плоском волноводе и волноводе кругового сечения, на периодически повторяющихся системах диафрагм. Во всех случаях получены граничные СИУ и указаны схемы МДО для их численного решения.

Построен оригинальный численный метод - модификация ВДО -для решения СИУ и их систем на всей оси и на его основе предложен новый подход к численному анализу дифракции электромагнитных волн на структурах с перпендикулярными границами.

Впервые используется МДО для решения спектральных задач. Подстроена дискретная математическая модель для вычисления собственных плазменных частот в системе сдвоенных проводящих каналов.

Эффективность предложенных математических моделей проверялась в численных экспериментах, результаты в виде графиков и таблиц приводятся.

Пятая глава посвящена математическим вопросам метода дискретных особенностей в двумерных задачах дифракции электромагнитных волн. Дано строгое обоснование численного решения системы СИУ с ядрами Гильберта и Коши, к которым приводит задача дифракции на цилиндрических структурах /направляющие цилиндрических поверхностей - замкнутые и разомкнутые гладкие кривые, которые лежат в конечной части плоскости и не пересекаются/.

Речь идет о системе СИУ вида

% \

V (20)

. 2Х

о

т

/ т у. С У ± \уг/ +

-V

<5

/72-

с дополнительными условиями оР

У-......

¿1

/77г . /ЛГ

^Щфф +

V

ГЦ, /

___ />ад

^ •/

т./ '

о

^ ' » ~ известные гладкие функции / .й®-- пе-

• /у ' /

риодические по у> и уо /, удовлетворяющие некоторым естественным условиям, в частности, для функций ^,"

....

Рассматриваемая система СИУ с указанными дополнительными условиями эквивалентна корректной краевой задаче теории дифракции, она однозначно- разрешима и речь идет о построении и строгом обосновании численного метода решения задачи. Корректная дискретная математическая модель строится интерполяционными методами с использованием лифановской регуляризации. Доказательство одно-'' значной разрешимости полученной СЛАУ и оценка скорости сходимости приближенных решений к точным проведены теоретико функциональными методами. Дана оценка погрешности дискретной математической модели двумерных задач теории дифракции.

Отметим, что при пу—О изученная система СИУ переходит в систему (II) , а дополнительные условия - в (19) , так что,'в частности, получено обоснование второй схемы МДО из третьей главы.

■ В шестой главе дано строгое обоснование численного метода, решения задач дифракции волн на круговом диске с использованием теории парных интегральных уравнений ' Н.И. Ахиезера, сводящей рассматриваемые задачи к интегральному уравнению второго- рода с вещественным симметричным ядром,чисто мнимым параметром

/здесь /С - волновое число, сС - радиус диска/.

Искомые поля выражаются через решение этого уравнения аналити-

22

чески, а его приближенное решение получено оригинальным численным методом, использующим то обстоятельство, что интегральный оператор в уравнении (24) является квадратом интегрального оператора с ядром ^/эгГ ^ ^^ , /5|<$/ . Дело сводится к решению двух интегральных уравнений, второго рода с ядром О, , замена которого вырадценным и использование соображений симметрии позволили построить эффективную вычислительную схему для решения уравнения (24) . Дана оценка скорости сходимости приближенных решений к точным. Было проведено вычисление полей на диске и в дальней зоне в широком диапазоне значений 32. с высокой точностью. Результаты вычислений сведены в таблицы и сравниваются с известными, полученными ассимпотическими методами.

В седьмой главе предложена дискретная математическая модель для решения основной задачи эдектростатики системы цилиндрических проводников на основе варианта МДО - метода дискретных зарядов. Рассматриваемые краевые задачи в-строгой постановке приводят к граничным СИУ вида (20) - (21) с дополнительными условиями '

** г' -

О '• "V' '

Это позволило провести обоснование метода дискретных зарядов функционально аналитическими методами, изложенными в пят;ой главе.

Предложены также математические модели электростатических задач с использованием разработанного' аналитического аппарата теории парных интегральных и сумматорных уравнений и вычисли—

тельных процедур МДО. Они могут быть использованы при расчете устройств экранировки, электростатической фокусировки пучков заряженных частиц в электронике СБЧ и ускорительной технике,исследовании характеристик полосковых и щелевых линий передачи.

В приложении построена математическая модель для исследования физико-механических свойств тонких пленок в 'микроэлектронике. Здесь задача расчета упругих полей дефектов кристалличо- • ской решетки сводится к системе четырех СИУ на всей оси, а их дискретизация произведена методом, предложенным в четвертой, главе.

В заключительном разделе намечены возможности распространения разработанных методов на более широкие классы задач электродинамики. Так указано, какие изменения следует внести в ядра СИУ задач дифракции на решетках в случае, когда, эти решетки расположены на границе двух различных изотропных однородных сред. Рассмотрен также случай, когда решетка лежит на анизотропном полупространстве: задача дифракции электромагнитных волн на решетке с поперечно намагниченным ферритом сведена к СИУ второго рода.

Предложен новый подход к численному анализу спектра полосковых и щелевых линии передачи. Он основан на сведении соответствующих краевых задач со спектральным параметром к СИУ /при этом используется техника, разработанная в первых двух главах/ и их дискретизации по одной из схем МДО. Это приводит к СЛАУ, коэффициенты которой - известные функции спектрального параметра,» Услррие нетривиальной разрешимости СЛАУ'и дает трансцендентное уравнение, которому удовлетворяют приближен-' ные величины первых собственных значений краевой задачи. .

В заключение отметим, что разработанные методы парных и сингулярных интегральных уравнений, парных сумматорных и сингулярных интегральных уравнений вместе с численным методом дискретных особенностей позволяют строить дискретные математические модели не только в электродинамаке, но и в других разделах математической и вычислительной физики.

Основные публикации по теме диссертации.

1. Гандель Ю.В. О парных рядах Фурье некоторых смешанных краевых задач математической физики // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. - Харьков: Вища школа, 1982.

- Вып. 38. - С. 16-18.

2. Гандель Ю.В. О парных интегральных уравнениях, приводящих к сингулярному интегральному уравнению на системе отрезков .// Теория функций, функциональный анализ и их приложения. -Харьков: Вида школа, 1983. - Вып. 40. ~ С. 33-36.

3. Гандель Ю.В., Забуга Т.Д. Численный метод дискретных особенностей в задачах дифракции волн на решетках / Харьк. ун-т.

- Харьков, 1983. - 31 с. - Деп. в УкрНИШТИ, & Г286 - Ук-83.

• Л '

4. Гандель Ю.В. ,',Лифанов И.К., Матвеев Л.Ф. . Численное решение

смешанных краевых задач математической физики, сводящихся к сингулярному интегральному уравнению на системе отрезков. -Препринт / Институт Теоретической и Экспериментальной Шиэи-■ ■ кн. - Москва, 1984. - № 174. - 55 с.

5. Гандель Ю.В.,' Полянская Т.С. Обоснование метода дискретных особенностей для систем сингулярных интегральных ' уравнений, к которым сводятся смешанные краевые задачи математической физики / Харьк. ун-т. - Харьков. - 1984. - 34 с. - Дэп. в УкрНИИНТИ, № 720. - Ук - 84. .

6. Гандель Ю.В. Метод дискретных особенностей в задачах электростатики и электродинамики / В кн.: Метод дискретных особенностей в задачах математической физики. Тезисы докладов П Всесоюзного симпозиума. - Харьков, 1985. - С. 30-31.

7. Гандель Ю.В. Метод дискретных особенностей в задачах электродинамики // Вопросы кибернетики. Москва: Изд. АН СССР. -1986. - № 124. - С. 166-183.

8. Гандель Ю.В., Наумов А.И., Соломенцева Н.М. -Численное решение сингулярного интегрального уравнения одной задачи дифракции на круговом цилиндре / В кн.: Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях'и их приложения. - М.: Изд. .ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1986. - С. 7-12.

9. Гандель Ю.В. Прямой численный метод решения сингулярных ин- . тегральных уравнений на всей оси/ В кн.: Ш Всесоюзный сим! позиум ."Методы дискретных особенностей в задачах математической физики и его роль в развитии численного эксперимента"

. Тезисы докладов; - Харьков, 1987. - С. 49-51.

• 10. Гандель Ю.В.■ Численное решение сингулярных интегральных уравнений.некоторых краевых' задач математической физики // Республ. научн. конф. "Диффер. и интегр. уравнения и их при-, ложения". Тезисы докладов. - Одесса, 1987. - С, 59-60.

11. Гандель Ю.В., Литвяков З.Н. Численное решение модельных задач электростатики методом дискретных особенностей // Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса. - М.: МГЗГИ, 1987. - Вып. 4. - С. 60-74.

12. Гандель Ю.В., Полянская Т.С. 0 численном решении двумерных задач электростатики проводников // Вестник Харьк. ун-та. » 33-1. - X.: Вища школа, 1989. - С. 36-42.

13. Гандель Ю.В., Полянская Т.О. К обоснованию метода дискретных особенностей для численного решения двумерных краевых задач электродинамики / В кн.: Методы дискретных особенностей' в задачах математической физики. Тезисы докладов 1У Всесоюзного симпозиума., Ч. I. Харьков, 1989. - С. 70-72.

14. Гандель Ю.В. Метод численного анализа упругих полей дефектов кристаллической решетки в пластинах конечной толщины / В кн.: Эффективные численные методы'решения краевых задач Механики твердого деформируемого' тела. Тезисы докладов республ. н.-т. конф., Ч. I. Харьков, 1989. - С; 67-69.

15. Гандель Ю.В., Соломенцева Д.М., Хорошун В.В. деленное исследование поляризационной восприимчивости многоэлемент-ньгх решеток / В сб.: Математическое моделирование и создание САПР для расчета, анализа и синтеза антенно-фидёрных систем и их элементов. Сб. тезисов Всесоюзного н.-т.' семинара. - Ростов, 1930. - С. 92.

16. Гандель Ю.В. Математическое моделирование методом дискретных особенностей в теории полосковых линий передачи / В сб.: Тезисы докладов У Всесоюзного симпозиума "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики". Ч. I.

- Одесса, 1991. - С. 5?-58.

17. Гандель Ю.В._, Хорошун В.В. Расчет основных параметров полосковых линий передачи методом дискретных особенностей /' В кн.: 46-я Всесоюзная научная сессия, посвященная дню радио. Тезисы докладов. - М.: Радио и связь, 1991. - С. 33.

18. Гандель Ю.В., Загинайлов Г.И. Об одном подходе к решению задач дифракции на структурах с перпендикулярными .границами / В кн.: I Украинский симпозиум "Физика и техника ММ и СУБММ радиоволн". Тезисы докладов. Ч..1. Харьков, 1991.

- С. 24-25.

19. Гандель Ю.В. Теория парных интегральных уравнений Н.И. Ахиезера и задача дифракции, волн на круговом диске // Те-,

•. ория функций, ф/нкЦиональный анализ и их приложения. - X.: Вища школа, 1991. - Вып. 56. - С. 46-55. .

20. Гандель Ю.В. Спаренные интегральные уравнения и решение ■ некоторых .задач теории дифракции волн / В кн.: Третий Всесоюзный симпозиум по дифракции волн.-Тбилиси, 1964. Рефераты докладов.' - М.: Наука, 1964. - С. 51-52.

21. Гандель Ю.В. Задача о дифракции электромагнитных волн у кругового;отверстия в плоском экране // Радиотехника. , X., 1965. - Вып. I.'- С. 155-164.

22. Гандель Ю.В. О решении одного интегрального уравнения математической теории дифракции волн // Вестник Харьк. ун-та, серия мех.-матем.1970. - Т. 35. - С. 23-28.

23. Гандель Ю.В. . Интегральные уравнения некоторых аксиально 1 симметричных задач дифракции волн. У Всесоюзный симпозиум

по дифракции и распространению волн. Ленинград 13-17 июня . 1970. - Ленинград: Иэд-во ЛГУ, 1970. - С. 9.

24. Гандель Ю.В. Парные ряды Фурье-Бесселя и Дини краевых за- . дач для уравнения Гельмгольца / В кн.: Международная научная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции". Тезисы докладов. - Самара, 1992. - С. 67.

25. Гандель Ю.В. К теории парных рядов Фурье-Бесселя // Теория функций, функциональный анализ и их приложения.. - X.: Вища школа, 1970. - Вып. 12. - С. 59-69.

26. Гандель Ю.В. Замечание к теории'парных рядов Фурье-Бесселя // Теория функций, функциональный- анализ и их приложения. -

. X.: Вища школа, 1975. - Вып. 22. - С. 35-41.,

, » - ■

27. Gandel Xu.y._tmd Polyanskaya T.S. ' Systems of Singular Integral Equations of Certain Mixed Boundary - Value Problems of Mafcrematical Physios // Journal of Soviet Mathematics. •' New Xorlc, 1990. - Volume 48, Я 2. P. 114-152.

,28. .Gandel Tu.7. and Lifanov I.K. Solving the Singular Integral

Equations of the Hobin Problem // Jounal of Soviet Mathena-

- * '

tics. - New Tork, 1990. - Volume 48, N 5. P.. • 509-51*1. ■ " 29

29. Гандель Ю.В.' Сингулярные интегральные уравнения двумерных краевых задач электродинамики / В кн.: Международная научная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции". Тезисы докладов. - Самара, 1992. - С.. 68.

30. Гандель Ю.В. Приближение многочленами решений систем сингулярных интегральных уравнений двумерных задач математической физики / Тези М^жнародно! конференщ?, присвячено1 па-м'яТ1 акад. М.П. Кравчука. - Ки1в, 1992. - С. 40'.

31. Гандель Ю.В. ' Парные и сингулярные интегральные уравнения смешанных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полупространстве / В сб.: Республиканская конференция, .посвященная 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского. Тезисы докладов, Ч. 2. Одесса, 1992, - С.' 61-62.

t

32. Gandel Yu.V., Zaglnailov G.I. A new numerical method fco solve wide variety of diffraction problems / Proceedings -of

. ISAJP'92, V.1. - Sapporo, Japan, 1992. - P. 225-228,.

33. Гандель Ю.В. Математические модели в электродинамике на основе теории парных -уравнений ¿1 метода дискретных оссбен-

. ностей / В-кн.: Методы дискретных особенностей в задачах . математической физики. Тезисы Докладов У1 Международного '. симпозицма, Ч. I. Харьков, 1993, - С. 16-17.

34. Гандель Ю.В. Метод дискретных особенностей в задачах диф-

*

ракции волн на ограниченной ленточной решетке / Там же.. -С. 119-120.

35. Гандель 10. В., Полянская Т. С. Математические вопроси метода дискретных зарядов. Учебное пособие. Харьков: Изд. ХГУ, 1991. — 07 с.

■30. Гандель Ю. В., Еременко С. В., Полянская Т. С. Математические вопросы метода дискретных токоз. Обоснозание численного метода дискретных ос нг.с.оаеЯ решения двумерных задач дифракции электромагнитных поли: Учебное пособие. Ч. II. — Харьков: Изд. ХГУ, 1992.— ЛГ> г.

Ипзш. к печ. 0Г).04.94. Формат (>Öx81l/is. Бумага тип. "Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 100 экз. Зак. 715. Бесплатно.

Харьковское арендное полиграфическое предприятие. 310093, Харьков, ул. Свердлова, 115.