Распространение электромагнитных волн в областях, содержащих угловые точки тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

. £ СтИ ¿Ц

На правах рукописи

003052121

Лобанов Владимир Николаевич

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ОБЛАСТЯХ, СОДЕРЖАЩИХ УГЛОВЫЕ ТОЧКИ

Специальность: 01.04.03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт - Петербург 2006

003052121

Работа выполнена на кафедре радиофизики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Макаров Глеб Иванович Официальные оппоненты - доктор физико-магматических наук,

профессор Черепанов Андрей Сергеевич кандидат физико-математических наук, доцент Живулин Виктор Александрович

Ведущая организация - Санкт-Петербургский Государственный Морской Технический Университет.

Защита состоится «

мин на заседании

диссертационного совета Д 212.232.44 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу:

199034, г. Санкт-Петербург, Унизерсигетская наб., 7/9, СПбГУ. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Автореферат диссертации разослан » Л^ 200_7^ г.

Ученый секретарь диссертационного совета Кандидат физико-математических наук

Й- С.

:.Т. Рыбачек

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работа посвящена исследованию различных методов решения задач дифракции электромагнитных волн при наличии угловых точек в области распространения.

Актуальнос ть проблемы.

При решении задач дифракции часто приходится рассматривать области, содержащие угловые точки. Это необходимо при исследовании большого числа практических вопросов, касающихся распространения волн в неоднородных волноводах, генерации и передачи СВЧ сигналов, радиолокации и т.п. Наличие угловых точек создает дополнительные сложности при нахождении поля. Особенность этих задач состоит в следующем. Метод частичных областей (МЧО), который обычно применяют для решения задач распространения, состоит в представлении полей в виде суммы собственных функций оператора, которые вполне регулярны. В то же время известно, что в угловых точках некоторые составляющие полей обращаются в бесконечность. Следовательно, ряд, которым представлено поле (или его производная), в таких точках должен расходиться. Поэтому матрицы систем уравнений, получаемых в результате применения МЧО, оказываются нерегулярными, и решение таких систем стандартными .методами усечсния невозможно: процесс редукции не схолится к правильному решению, или требует наложения дополнительных условий на метод усечения. Из вышесказанного следует, что эффективный метод решения должен учитывать особенность поля на ребре.

Первые работы, в которых сингулярные задачи были рассмотрены как отдельно стоящий класс задач дифракции, начали появляться в 60-70х годах прошлого века [1,2]. В дальнейшем, в связи с возросшей необходимостью решения практических задач, к этому направлению обратились многие авторы [3,4].

Центральным местом каждого метода является способ, которым производится регуляризация исходных уравнений. Наиболее часто используются различные методы обращения сингулярной части оператора - например, метод обращения разностной части матричного оператора [4], метод полуобращения оператора Гельмгольца [5], а также метод квазистатической функции Грина [б]. В некоторых методах используется знание поведения функции вблизи сингулярной точки - это метод прямого усечения и метод вычетов [1]. Довольно редко, но порой чрезвычайно эффективно возможно строгое решение сингулярной системы, что позволяет избежать трудностей, связанных с невозможностью ее усечения. К таким методам можно отнести метод задачи Римана-Гильберта [3].

Методы решения сингулярных задач можно условно поделить на численные, полуаналитические и аналитические. Критерии такого разделения очевидны: чем больше параметров задачи входят в конечную формулу в аналитическом виде, тем ближе рассматриваемый метод к аналитическим. Если же часть или вся конфигурация рассматривается в интегральном виде, без возможности явно наблюдать зависимость решения от геометрии системы, то мы имеем дело с полуаналитическим или чисто численным методом. Естественно, что чисто аналитические методы применимы только во вполне определенных конфигурациях, и с трудом могут быть распространены на хотя бы даже немного более сложные структуры. Поэтому, наиболее интересными в плане дальнейшего развития представляются полуаналитические методы - т.е. методы, сочетающие в себе гибкость численных методов с наглядностью анализа. Их совершенствование может преследовать одну из двух целей: во-первых, поиск возможности анализировать и синтезировать более сложные системы, а во-вторых. - оптимизация численной часть метода, позволяющая учитывать меньше членов ряда, коэффициентов разложения и т.д. Обе цели важны и заслуживают отдельного внимания.

4

В настоящее время накопилось довольно большое число различных методов, позволяющих эффективно решать задачи дифракции для тех или иных конфигураций области распространения. Однако порой довольно сложно определить, какой метод (или даже какой класс методов) лучше всего подходит для исследования конкретной системы.

Большинство авторов ограничиваются каким-то одним характерным классом задач, для решения которых эффективно применяется конкретный метод регуляризации. При этом обычно не дается анализ конфигураций, которые могут быть исследованы данным методом. Поэтому представляет интерес решение разнородных задач, для каждой из которых требуется применение своего метода решения.

Цель работы.

Целью работы является изучение существующих методов регуляризации для анализа их особенностей и области применения. Находятся решения уравнения Гельмгольца в областях с угловыми точками, поля в которых ранее не рассматривались. В младших приближениях решения представлены в аналитическом виде, допускающем извлечение физических следствий.

Научная новизна.

Исследована дифракция плоских волн, а также поле диполя в волноводах с перегородками, диафрагмами, ступеньками и диэлектрическим заполнением. Распространение волн в волноводе с перегородкой и искривленной верхней стенкой, дифракция плоской волны на двух диафрагмах, рассеяние на ветвлении волновода с различными значениями диэлектрической проницаемости (в т.ч. и комплексной), а также задача о частично заполненном цилиндре ранее не являлись предметом исследований.

Научная и практическая ценность работы.

Исследованы разнородные задачи распространения волн в областях, содержащих угловые точки. Для каждой задачи подобран эффективный метод решения, позволяющий найти решение в аналитическом или полуаналитическом виде. Эти решения могут быть использованы при анализе различных волноводных устройств, а также при рассмотрении задач возбуждения л распространения волн в реальных конфигурациях.

Проанализированы области применимости методов, даны рекомендации по выбору подходящего метода для решения задачи дифракции в определенных конфигурациях. Намечены пути развития известных методов с целью расширения их области применимости.

Апробация работы.

Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на IX, X и XI региональных конференциях по распространения радиоволн (СПб. 2003, 2004, 2005).

Публикации.

Промежуточные результаты, полученные в ходе работы над настоящей диссертацией, опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений общим объемом 115 стр. Работа содержит 24 рисунка. Библиография включает 66 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Настоящая работа состоит из четырех глав, посвященных исследованию методов решения сингулярных задач с целью получения аналитических или полуаналитических результатов. Решаются волноводные задачи разных типов: распространение волн в волноводах с перегородками, продольными ребрами, диэлектрическими вставками и их сочетаниями. Оценивается эффективность применяемых методов, класс характерных задач для каждого метода, границы его применимости.

Во введении проводится обзор рассматриваемой проблемы, обосновывается ее актуальность, приводится описание известных методов решения задач дифракции при наличии угловых точек. Содержится краткое описание работы и основные положения, выносимые па защиту.

В первой главе рассмотрен метод полуобращения, основанный на регуляризации оператора Гельмгольца. Преимуществом метода полуобращения является идеологическая прозрачность, возможность применения практически к любым структурам (главное условие - чтобы область распространения на бесконечности переходила в регулярный волновод), а также довольно простой вид нулевого и первого приближений. Кроме того, этот метод позволяет наиболее наглядно выразить особенность поля на ребре. Недостатки же - большие вычислительные сложности при получении второго и старших приближений и невозможность рассматривать структуры с неоднородным диэлектрическим заполнением. С помощью этого метода решается задача о дифракции поля вертикального диполя на тонкой перегородке в идеально проводящем волноводе.

В параграфе 1.1 содержится постановка задачи, получение уравнения Гельмгольца и его регуляризация с помощью конформного

7

преобразования области распространения (волновод с перегородкой и искривленной верхней стенкой) в плоский волновод. Это уравнение сводится к интегральному уравнению Фредгольма. Поскольку для решения этого уравнения применяется метод последовательных приближений, то для проверки его сходимости необходимо оценить норму интегрального оператора. Эта оценка проводится в параграфе 1.2, при этом показывается, что метод последовательных приближений применим при условии малости высоты перегородки по сравнению с высотой волновода и длиной волны. С учетом этого ограничения в параграфе 1.3 находится решение задачи в первом приближении. Анализ полученных результатов (параграф 1.4) показывает, что уже в нулевом приближении решение на ребре удовлетворяет условиям Мейкснера для полуплоскости. Отмечено, что в первом приближении искривление верхней стенки оказывает меньшее влияние на распространение, чем перегородка.

Во второй главе продолжается рассмотрение задачи о перегородке более сложным методом. Это позволяет решить ее для волновода с плоской верхней стенкой и без ограничений, введенных в первой главе. Используется метод квазистатической функции Грина (МКФГ). Он более сложен идеологически, чем метод полуобращения, однако применим к большему числу структур, и приводит к регулярной, быстро сходящейся системе линейных уравнений.

В параграфе 2.1 формулируется задача: дифракция плоских волн ТЕ и ТМ на перегородке в плоском волноводе. С использованием метода частичных областей, получается система линейных уравнений, которая регуляризуется с помощью функции Грина уравнения Лапласа, удовлетворяющей тем же граничным условиям, что исходное уравнение Гельмгольца. Для регуляризации искомое поле умножается на нормальную производную функции Грина, а производная поля - на саму функцию Грина, и второе вычитается из первого, после чего проводится

8

обычное сшивание полученной функции. Показано, что эта процедура эквивалентна обращению оператора Лапласа. Интегральные выражения для коэффициентов полученных регулярных систем уравнений находятся в параграфе 2.2.

В параграфе 2.3 предложен метод выражения коэффициентов системы уравнений в виде конечных рядов, что позволяет находить несколько первых приближений решения в аналитическом виде. Сами решения обсуждаются в параграфе 2.4. Показано, что в одномодовом волноводе уже второе приближение имеет хорошую точность (поправка в третьем приближении не превышает 5%). В параграфе 2.5 обсуждается область применения МКФГ и возможности его дальнейшего развития.

В третьей главе решается задача о дифракции плоской волны на двух последовательно расположенных диафрагмах в плоском волноводе. Для этого применены метод задачи Римана-Гильберта (МЗРГ) и матричный метод. В параграфе 3.1 приводится постановка задачи -дифракция нормальной волны на диафрагме в плоском идеально проводящем волноводе - и выводится регулярная система уравнений для нахождения коэффициентов отражения и прохождения. При использовании МЗРГ эти коэффициенты представляются в виде коэффициентов разложения некоторой функции, значения которой на дуге окружности известны, в ряд Лорана, затем с помощью метода Римана-Гильберта эта функция восстанавливается на всей окружности, и искомые коэффициенты находятся путем разложения ее в ряд Фурье. При этом получается система линейных уравнений, регулярность которой обеспечивается тем, что фактически исходная нерегулярная система уравнений, полученная методом частичных областей, строго решается.

В параграфе 3.2 показано, что коэффициенты линейной системы могут быть представлены в виде конечных сумм полиномов Лежандра, и система может быть приближенно решена методом усечения.

Дифракция на двух диафрагмах рассмотрена в параграфе 3.3 - с помощью матричного метода находится решение для двух дифрагм, используя полученное ранее решение для одной. Исследуется вопрос о влиянии местных волн в мсждиафрагмснной части волновода на перераспределение энергии между падающим и отраженным полем: показано, что чем меньше расстояние между перегородками, тем больше уравнений надо учитывать, поскольку влияние местных волн более существенно. В параграфе 3.4 обсуждаются достоинства и недостатки метода, а также область его эффективного применения.

Методы, рассматриваемые в первых трех главах, довольно эффективны для многих конфигураций. Однако все они не допускают наличия диэлектрического заполнения в области распространения. Это накладывает существенные ограничения на область их использования. Четвертая глава посвящена методу полуобращения сингулярной части матричного оператора, позволяющему решать несколько более сложные задачи, в том числе с наличием диэлектрика. Решение задачи этим методом состоит из двух этапов. На первом этапе поле слева и справа от препятствия представляется в виде суммы нормальных волн, и сшивается с помощью метода частичных областей. Вследствие наличия угловой точки, получаемая при этом линейная система обладает матрицей с неограниченной нормой. Поэтому на втором этапе матрица этой системы разбивается на две - регулярную и явно обращаемую нерегулярную. После обращения нерегулярной части остается регулярная система линейных уравнений, которую можно с любой требуемой точностью решить методом усечения.

В параграфе 4.1 рассматривается плоский волновод, разделяющийся на две части, заполненные диэлектриками с различной диэлектрической проницаемостью (в том числе комплексной). Сшивание полей слева и справа от ветвлеггия волновода приводит к нерегулярной системе линейных уравнений. Нерегулярная часть этой системы

10

обращается с помощью метода вычетов, позволяющего найти точное решение задачи дифракции на ветвлении пустого волновода. После этого уравнение решается методом усечения, и получаются численные результаты. Исследован вопрос о перераспределении энергии падающей волны между ветвями волновода, построены графики.

В параграфе 4.2 решается задача о дифракции волн в двумерном волноводе с симметричной ямой, частично заполненной диэлектриком. При этом значительная сложность заключается в поиске собственных чисел для нормальных волн частично заполненного волновода: определяющее их трансцендентное уравнение решается в работе приближенно при условии проницаемости заполняющего диэлектрика близкой к единице. Нерегулярная часть системы, получаемой для этой задачи методом частичных областей, обращается также с использованием точного решения задачи о пустом ветвлении. Получены численные значения поля для различных параметров волновода.

В параграфе 4.3 рассматривается трехмерная конфигурация: дифракция волны, распространяющейся из центра заполненного диэлектриком цилиндрического углубления в волноводе с радиальной симметрией. Система линейных уравнений, полученная методом частичных областей, принципиально не отличается от системы в параграфе 4.2, и решается аналогично. Получены численные результаты, построены графики, отражающие зависимость амплитуды прошедших волн от величины углубления.

В заключении обсуждаются исследованные методы, даются краткие рекомендации по тому, какими критериями можно руководствоваться при выборе метода решения той или иной сингулярной задачи.

В приложениях приводятся доказательства вспомогательных утверждений, включение которых в основной текст нежелательно вследствие их громоздкости.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Решение задачи о дифракции волн на перегородках в плоском волноводе и волноводе с искривленной верхней стенкой. Получены регулярные системы уравнений, допускающие усечение. В первых приближениях решение найдено в аналитическом виде. Использовались метод полуобращетщя и метод квазистатической функции Грина.

2. Использование метода Римана-Гильберта для исследования дифракции плоской волны на двух последовательно расположенных диафрагмах. Получены аналитические решения, исследована зависимость коэффициентов прохождения волн от расстояния между диафрагмами для различных конфигураций.

3. Применение метода обращения сингулярной части оператора для решения задач дифракции при наличии диэлектриков. Исследована дифракция волн на ветвлении плоского волновода, заполненного диэлектриками с различной проницаемостью. Получено решение задачи о распространении волн из центра заполненного диэлектриком углубления в плоском волноводе и трехмерном волноводе с цилиндрической геометрией.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Макаров Г.И., Лобанов В.Н. Задачи дифракции в волноводах с сингулярными точками на границе. // Вестник СПбГУ. - 2002. -Сер.4, Вып. 3 (№ 20). - С. 3-13.

2. Макаров Г.И., Лобанов В.Н. Дифракция на перегородках и диафрагмах: методы задачи Римапа-Гильберта и матричный. // Вестник СПбГУ. - 2003. - Сер.4, Вып. 4 (№ 28). - С. 81-86.

3. Макаров Г.И., Лобанов В.Н. Дифракция волн в волноводе с диафрагмами. // Региональная IX конференция но распространению радиоволн - СПб, 2003. - С.8-9.

4. Лобанов В.Н., Макаров Г.И. Дифракция волн в волноводе с ветвлениями и диэлектрическим заполнением. // Региональная X конференция по распространению радиоволн - СПб, 2004. - С.4-5.

5. Лобанов В.Н., Макаров Г.И. Дифракция электромагнитных волн в волноводе с частичным заполнением, содержащем углы. // Региональная XI конференция по распространению радиоволн -СПб, 2005.-С.11-13.

6. Makarov G. I.,Lobanov V. N. Propagation of electromagnetic waves in a longitudinally inhomogeneous waveguide at the presence of singular points.//Int.J.Geomagn.Aeron., Vol. 6, No. 3, G13002,

doi: 10.1029/2005GI00013 3, 2006

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Мипра P., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. /Пер. с англ. под ред. Г.В.Вознесенского. - М.: Мир, 1974. - 327 С.

2. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. - М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 279 С.

3. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. - Харьков, 1971.-400 С.

4. Шестопалов В.П., Марченко В.А., Масалов С.А. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции. - Киев: Наукова думка, 1984. - 296 С.

5. Майсон Е.С., Макаров Г.И. Метод обращения для оператора Гельмгольца в сингулярных задачах. // Вестник СПбГУ. - 1996. -Сер.4. Вып.З (№ 18). - С. 78-72.

6. Вербицкий И.Л., Каменский С.Н. Применение обобщенного проекционного метода к расчету ступенчатого сочленения волноводов. // РиЭ, 1992, т.37(7), - С.1202-1211.

Подписано в печать 18.01.2007 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ №431.

Отпечатано в ООО «Издательство "ЛЕМА"»

199004, Россия, Санкт-Петербург, В.О., Средний пр., д.24, тел./факс: 323-67-74 e-mail: izd_lema@mail.ru

3Введение

16Глава

34Глава

69Глава

82Глава

Настоящая работа посвящена исследованию полуаналитических методов решения задач распространения электромагнитных волн при наличии в области распространения угловых точек разного типа. Необходимость отдельного рассмотрения таких задач обусловлена, во-первых, распространенностью подобных конфигураций (действительно, в большинстве теоретических и практических задач область, в которой распространяются электромагнитные волны, содержит в себе углы, ребра, изломы и т.п.), а во-вторых, специфичностью проблем, возникающих при их решении. Таким образом, методы решения таких задач в некотором смысле кардинально отличаются от прочих задач распространения.

Первые работы, в которых сингулярные задачи были рассмотрены как отдельно стоящий класс задач дифракции, начали появляться в 60-70х годах [1, 2, 3]. В дальнейшем, в связи с возросшей необходимостью решения практических задач, к этому направлению обратились многие авторы [4-7]. В настоящее время накопилось довольно большое число различных методов, позволяющих эффективно решать задачи дифракции для тех или иных конфигураций области распространения. Однако порой довольно сложно определить, какой метод (или даже какой класс методов) лучше всего подходит для исследования конкретной системы. Чтобы понять это, надо быть хорошо знакомым с различными методами, видеть их связь между собой, их сходства и различия. Многие, весьма далекие друг от друга методы, используют одну и ту же идею, и наоборот -похожие по построению решения методы имеют совершенно разные теоретические основания. Можно сказать, что назрела необходимость подробной и четкой классификации сингулярных задач, с указанием и обоснованием того, как надо искать решение для определенной области (класса областей) распространения. Данная работа посвящена именно исследованию методов решения сингулярных задач, их связи между собой, достоинств и недостатков.

Подавляющее большинство методов решения сингулярных задач так или иначе связаны с методом частичных областей (МЧО). МЧО заключается в сшивании тангенциальных компонент полей на границах частичных областей с углами (на которые разбивается исходная область), с последующим проектированием полученных функциональных уравнений на некоторое полное пространство функций и переходом к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Дальнейшие действия связаны с редукцией полученных линейных систем и их решением (численным или аналитическим). Основная проблема, связанная с сингулярностью - нерегулярность полученной бесконечной системы: ее матричный оператор не является ограниченным в /2, и корректное усечение невозможно.

Из вышесказанного следует, что эффективный метод решения должен учитывать особенность поля вблизи ребра. Часто используются различные методы обращения сингулярной части оператора - например, метод обращения разностной части матричного оператора [8], метод полуобращения [9], а также метод квазистатической функции Грина [10]. В некоторых методах используется знание поведения функции вблизи сингулярной точки - это метод прямого усечения и метод вычетов [2]. Довольно редко, но порой чрезвычайно эффективно возможно строгое решение сингулярной системы, что позволяет избежать трудностей, связанных с невозможностью ее усечения. К таким методам можно отнести метод задачи Римана-Гильберта[4].

Кроме вышеприведенной классификации, методы также можно условно поделить на численные, полуаналитические и аналитические. Критерии такого разделения очевидны: чем больше параметров задачи входят в конечную формулу в аналитическом виде, тем ближе рассматриваемый метод к аналитическим. Если же часть или вся конфигурация рассматривается в интегральном виде, без возможности явно наблюдать зависимость решения от геометрии системы, то мы имеем дело с полуаналитическим или чисто численным методом. Естественно, что чисто аналитические методы применимы только во вполне определенных конфигурациях, и с трудом могут быть распространены на хотя бы даже немного более сложные структуры. В то же время универсальность численных методов в некоторой степени компенсирует их «ненаглядность» - невозможность явно увидеть влияние тех или иных факторов на распространение, а также невозможность прямых вычислений при наличии углов на поверхности области. Пожалуй, наиболее интересными в плане дальнейшего развития представляются полуаналитические методы - т.е. методы, сочетающие в себе гибкость численных методов с наглядностью анализа. Их совершенствование может преследовать одну из двух целей: во-первых, они позволяют анализировать и синтезировать довольно сложные системы, а во-вторых, -оптимизировать численные методы, позволяя учитывать меньше членов ряда, коэффициентов разложения и т.д. и т.п. Обе цели важны и заслуживают отдельного внимания.

ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ

Обращение разностной части оператора

Идейная сторона данного метода основана на методе частичного обращения оператора задачи и состоит в выделении и обращении сингулярной части матричных операторов бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, к которым первоначально сводятся многие задачи теории дифракции. Общей чертой этих нерегулярных СЛАУ является то, что главные части соответствующих операторов представляют собой матрицы с так называемым ядром «типа свертки», которые могут быть обращены в явном виде [8]. Используя это, а также аналитические решения некоторых других канонических СЛАУ с тем же разностным матричным оператором, краевые задачи удается свести к обращению корректных систем уравнений второго рода. Тип регуляризующего матричного оператора зависит от класса рассматриваемой структуры. В некоординатных задачах (таких, как сочленение двух волноводов под некоторым (не прямым) углом, наклонные перегородки) оператор с разностной частью порождается сшиванием полей через нерегулярный треугольный район, в координатных (конфигурации, где все углы прямые), - при сшивании полей на двух характерных подинтервалах полной области. Обращаемая в явном виде часть решения задачи не связана прямо с сингулярностью поля на том или ином ребре структуры, а значит, и не так жестко ограничивает класс возможных конфигураций. Последовательное использование регуляризирующих операций позволяет свести исходные СЛАУ-1, в общем случае состоящие из нескольких подсистем, к последовательности матричных уравнений второго рода, причем их количество и вид матричных операторов определяются конфигурацией конкретной краевой задачи. Найденные таким образом решения не только допускают обоснование процедур нахождения приближенных численных решений, но и в силу их быстрой сходимости дают эффективный инструмент анализа широкого класса задач теории дифракции.

Модифицированный метод вычетов

Модифицированный метод вычетов (ММВ) [2] также опирается на регуляризацию систем уравнений, полученных с помощью МЧО. Однако, в отличие от предыдущего метода, в ММВ строится функция, вычеты которой дают решение всей системы, а не только ее канонической части с чисто разностным оператором. При этом правильное поведение полученного решения на ребре обеспечивается за счет выбора этой функции: особенность поля на ребре определяется характером поведения искомой функции. Выбрав соответствующую функцию, мы можем добиться выполнения условий Мейкснера. Как показано в [8], поскольку ММВ более детально, чем метод обращения разностной части оператора, учитывает особенность данной задачи, он обеспечивает несколько более высокую точность расчетов, но существенно уступает в общности и алгоритмичности. К недостаткам метода относится также сложность численной процедуры вычисления матричных элементов системы, решения которой определяют параметры искомой функции, что делает получение каких-либо аналитических результатов весьма затруднительным. Применение этого метода оправдано в основном только в волноводах с прямыми углами.

Прямое усечение

Как и ММВ, Метод прямого усечения [2] основан на знании правильной особенности поля в сингулярной точке. Как мы уже упоминали, простая редукция систем, получаемых в результате применения МЧО к сингулярным задачам, невозможна, поскольку их оператор не обладает свойствами конечности и непрерывности. Однако, если известен характер поведения поля на ребре, то существует способ корректного усечения системы таким образом, что полученное решение будет удовлетворять условиям Мейкснера [1,2]. Оказывается, что характер поведения поля определяется скоростью убывания коэффициентов разложения по нормальным волнам, которая, в свою очередь, зависит от того, сколько уравнений мы возьмем. Так, например, если взять систему для пустого разветвленного волновода, то для получения правильного решения отношение числа уравнений, взятого в двух системах, должно быть равно отношению толщин волноводов.

Метод квазистатической функции Грина

Метод квазистатической функции Грина (МКФГ), разработанный в [10, 11] и модифицированный в [12-14], является полуаналитическим методом решения задач дифракции в волноводах с кусочно-непрерывными границами. Метод основан на регуляризации матричного оператора бесконечной системы с помощью функции Грина оператора Лапласа с исходными граничными условиями. Волновод разбивается на ряд частичных областей. В каждой из них строится полная система функций, и поле в каждой подобласти ищется как линейная комбинация этих функций. Затем с помощью функции Грина осуществляется «обобщенное» сшивание (приравниваются не сами поля, а их произведения с функцией Грина и ее производными). Проектирование полученных функциональных уравнений на некоторую полную систему функций приводит к регулярной бесконечной алгебраической системе. Такая система допускает редукцию, причем имеет в ряде случаев хорошую сходимость. Матричными элементами будут двукратные интегралы, содержащие функцию Грина и функции, на которые проектируются функциональные уравнения. Преимуществами метода является достаточно широкий класс решаемых задач, быстрая сходимость, независимость матричных интегралов от частоты. Кроме того, в некоторых случаях удается получить достаточно простые аналитические выражения зависимости коэффициентов распространения от параметров задачи.

В принципе, данный метод можно применять и к решению некоординатных задач - но в этом случае мы сталкиваемся с серьезным препятствием: сложностью сшивания нормальных волн на границе разных областей. Однако ценой увеличений кратности матричных интегралов

14] или их числа [15] эту трудность можно преодолеть, и таким образом значительно расширить границы применимости метода (к сожалению, за счет его эффективности). Еще одно ограничение связано с тем, что МКФГ обеспечивает регуляризацию только в окрестности сингулярной (угловой) точки, но не на бесконечности. Поэтому важным моментом является выбор правильной системы функций для проектирования функциональных уравнений. В ряде случаев это затруднительно или невозможно, особенно на сочленении областей различной формы. Основной трудностью метода является вычисление матричных элементов. Кроме того, серьезным ограничением является невозможность применения метода при наличии диэлектрического заполнения в области распространения.

Полуобращение

Помимо методов, основанных на МЧО, существуют и другие - один из них, метод полуобращения (МПО), также рассматривается в данной работе.

МПО, впервые использованный в 1996 году [9], основан на обращении сингулярной части оператора Гельмгольца. С помощью конформного преобразования исходный волновод, граница которого содержит сингулярные точки, переводится в волновод с гладкими границами. Эта процедура устраняет сингулярность, связанную с оператором Лапласа. Дальнейшее решение основано на использовании функции Грина и формулы Кирхгофа: мы получаем интегральное уравнение, которое является уравнением Фредгольма II рода. При условии малости нормы ядра (<1) полученного интегрального оператора удобно применить метод последовательных приближений.

К достоинствам метода можно отнести простоту получения нулевого приближения для практически произвольной области, а также выделение особенности (в решении) в явном виде (особенность будет определяться исключительно коэффициентом Ламэ конформного преобразования). К недостаткам - ограничения на параметры задачи, связанные с требованием малости нормы интегрального оператора, большие сложности интегрирования по площади уже для первого приближения (растущие по мере усложнения вида конформного преобразования), и, как следствие, большие сложности получения второго и старших приближений.

Метод Винера-Хопфа-Фока

Метод ВХФ [3] также не опирается на МЧО - т.е. не состоит в регуляризации сингулярной СЛАУ. Он основан на преобразовании Фурье, которое используется для сведения краевой задачи к интегральному уравнению, которое затем преобразуется в уравнение на комплексной плоскости а, где а- переменная Фурье. При этом мы получаем одно уравнение для двух неизвестных функций, которые вводятся в процессе формулировки задачи. Ключевым исходным пунктом для построения решения этим методом является формулировка задачи в виде интегрального уравнения с полубесконечными пределами. Соответственно, применение его ограничено довольно узким классом задач (однако в данном методе мы не ограничены необходимостью рассмотрения только идеально проводящих поверхностей: его можно применять, например, к решению задач о дифракции на стыке подложек с разной диэлектрической проницаемостью - классическая задача береговой дифракции). Существует также модификация метода ВХФ, позволяющая решать более сложные задачи [19]

Метод задачи Римана-Гильберта

Иногда оказывается возможным точно решить сингулярную систему матричных уравнений, в результате чего можно обойти препятствие, связанное с невозможностью редукции подобных систем. Это хорошо иллюстрирует метод задачи Римана-Гильберта. Следуя этому методу, коэффициенты прохождения нормальных волн представляются в виде коэффициентов разложения в ряд некоторых двух вспомогательных функций, регулярных соответственно внутри и вне единичной окружности. Тогда, согласно уравнениям сшивания, эти функции будут совпадать на некоторых дугах единичной окружности; кроме того, известна их сумма на остальной части окружности. При этом получается, что аналитическое продолжение разности этих функций даст нам искомое решение. Задача Римана-Гильберта состоит в отыскании выражения для этой разности, выполняющегося на всей единичной окружности. Ее решение представляется [20] в виде интеграла по контуру, охватывающему дуги единичной окружности. Из этого представления с помощью обратного преобразования Фурье получается система линейных уравнений второго рода. При этом, поскольку исходная нерегулярная система решается точно в виде квадратур, то полученная система является регулярной. Кроме того, ее матричные элементы представляются в виде конечных сумм полиномов Лежандра, что существенно облегчает вычисления. К преимуществам этого метода относятся получение быстро сходящейся системы уравнений, а также получение матричных коэффициентов этой системы в явном виде. Однако данный метод применим только к ограниченному классу систем: в-основном к расчету решеток или диафрагм в регулярном волноводе.

Заслуживают упоминания работы [23-25], в которых МЗРГ применяется к трехмерным конфигурациям - конус со щелями, цилиндр со щелями и т.п. Используя интегральное преобразование Канторовича-Лебедева, авторы приводят систему линейных уравнений, полученную сшиванием полей на криволинейной границе, к виду, совпадающему с системой уравнений для плоской решетки, которая легко решается данным методом.

Метод моментов

Говоря о методах обращения сингулярных операторов, стоит упомянуть еще один метод решения задач подобного рода, который приводит к регулярной системе уравнений непосредственно после сшивания [26-31]. Регулярность системы в этом методе обеспечивается правильным выбором системы функций, на которые проектируются функциональные уравнения. Эти функции должны иметь ту же особенность на ребре, что и поле, - в этом случае после проектирования мы получаем регулярную систему уравнений. Основная сложность этого метода заключается в сложности нахождения системы функций, обладающих нужной особенностью, каждая конфигурация требует особенного подхода, и универсального алгоритма не существует.

Структура работы

Настоящая работа состоит из четырех глав, посвященных исследованию методов решения сингулярных задач с целью получения аналитических или полуаналитических результатов. Решаются волноводные задачи разных типов: перегородки, продольные ребра, диэлектрические вставки и их сочетания. Оценивается эффективность применяемых методов, класс характерных задач для каждого метода, границы его применимости.

В первой главе рассмотрен метод полуобращения, основанный на регуляризации оператора Гельмгольца. Преимуществом полуобращения является идеологическая прозрачность, возможность применения практически к любым структурам (главное условие - чтобы область распространения на бесконечности переходила в регулярный волновод), а также довольно простой вид нулевого и первого приближений. Кроме того, этот метод позволяет наиболее наглядно выразить особенность поля на ребре. Недостатки же - большие вычислительные сложности при получении второго и старших приближений и невозможность рассматривать структуры с неоднородным диэлектрическим заполнением. С помощью этого метода решается задача о тонкой перегородке в волноводе - метод полуобращения требует введения ограничений на высоту перегородки (малость по сравнению с шириной волновода и длиной волны).

Во второй и третьей главах продолжается рассмотрение задачи о перегородке более сложными методами. Это позволяет решить ее без ограничений, введенных в первой главе, а кроме того, рассмотреть более общую задачу о дифракции на диафрагме в плоском волноводе. Используются МКФГ и МЗРГ. Они более сложны идеологически, чем полуобращение, однако применимы к большему числу структур, и приводят к регулярной, быстро сходящейся линейной системе уравнений. С помощью МКФГ решается задача о перегородке, а с помощью МЗРГ -задача о диафрагме. Затем с помощью метода обобщенных матриц рассеяния этот результат применяется к системе из нескольких диафрагм. Исследуется вопрос о влиянии местных волн в междиафрагменной части волновода на перераспределение энергии между падающим и отраженным полем.

Методы, рассматриваемые в первых трех главах, довольно эффективны для многих конфигураций. Однако все они не допускают наличия диэлектрического заполнения в области распространения. Это накладывает существенные ограничения на область их использования. Четвертая глава посвящена методам, позволяющим решать несколько более сложные задачи, в том числе с наличием диэлектрика. С помощью метода полуобращения решается задача о ветвлении волновода, о сочленении волноводов, один из которых частично заполнен диэлектриком, а также о поле диполя, расположенного в центре «ямы», заполненной диэлектриком. Последняя задача решена в том числе и для трехмерного случая (цилиндрическая яма в волноводе, состоящем из двух плоскостей).

В заключении обсуждаются основные полученные результаты. В работе используется система единиц СИ и рассматриваются поля с зависимостью от времени е'ш.

Промежуточные результаты, полученные в ходе работы над настоящей диссертацией, опубликованы в [32, 33], и представлены в виде докладов на IX, X и XI региональных конференциях по распространению радиоволн (СПб, 2003, 2004,2005) [34, 35,65].

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Решение задачи о дифракции волн на перегородках в плоском волноводе и волноводе с искривленной верхней стенкой. Получены регулярные системы уравнений, допускающие усечение. В первых приближениях решение найдено в аналитическом виде. Использовались метод полуобращения и метод квазистатической функции Грина.

2. Использование метода Римана-Гильберта для исследования дифракции плоской волны на двух последовательно расположенных диафрагмах. Получены аналитические решения, исследована зависимость коэффициентов прохождения волн от расстояния между диафрагмами для различных конфигураций.

3. Применение метода обращения сингулярной части оператора для решения задач дифракции при наличии диэлектриков. Исследована дифракция волн на ветвлении плоского волновода, заполненного диэлектриками с различной проницаемостью. Получено решение задачи о распространении волн из центра заполненного диэлектриком углубления в плоском волноводе и трехмерном волноводе с цилиндрической геометрией.

4.4 Выводы

Исследовав метод обращения сингулярной части оператора, можно сделать вывод, что он обладает наиболее широкой областью применения по сравнению с ранее рассмотренными методами. Наиболее важной особенностью является то, что с его помощью можно решать задачи при наличии неоднородного диэлектрического заполнения в области распространения. Кроме того, метод не накладывает ограничений на геометрию задачи - необходимо только представление СЛАУ, полученных в результате сшивания, в виде, допускающем выделение сингулярной части. В число конфигураций, поле в которых может быть найдено данным методом, входят различного рода ветвления, сочленения волноводов, а также соединения волноводов под различными углами, наклонные перегородки в плоском волноводе, и многие другие [8]. Главным недостатком метода является сложность получения решения в аналитическом виде - бесконечные произведения и большое число последовательно решаемых систем уравнений не позволяют найти простые выражения для полей.

Дальнейшее развитие метода может быть связано с поиском новых явно обращаемых бесконечных систем, которые можно выделять из исходных систем для их регуляризации.

Заключение

В представленной работе рассмотрены различные задачи дифракции в волноводах, содержащих угловые точки. Исследованы различные методы регуляризации, определены классы задач, для которых они наиболее эффективны. Получены выражения для полей в волноводах с диафрагмами, ветвлениями, в том числе содержащими диэлектрики, решена задача о поле в волноводе с радиальной симметрией и частичным диэлектрическим заполнением. Найдены оптимальные методы регуляризации для различных конфигураций волноводов.

Одной из целей диссертации была классификация методов регуляризации по эффективности их применения к той или иной задаче. Показано, что для конфигураций с некоординатными границами, подчиняющимися простым конформным преобразованиям, наиболее эффективным является метрд полуобращения. Для различного рода перегородок (продольных и поперечных) в плоском волноводе эффективно применение метода квазистатической функции Грина. Метод задачи Римана-Гильберта может давать быстро сходящуюся систему уравнений при условии неизменности ширины волновода по обе стороны от рассеивающего препятствия. Если же в результате сшивания полей методом частичных областей мы получаем систему типа свертки, то такую систему, как правило, можно решить методом обращения сингулярной части оператора. При этом решающую роль в применимости метода играют не столько геометрические особенности конфигурации, сколько специфический вид полученной систему уравнений. Поэтому этот метод возможно применять в том числе и к трехмерным задачам. Кроме того, с его помощью можно находить поля в областях с неоднородным диэлектрическим заполнением.

1. Mexiner J. The behavior of electromagnetic fields at edges // Tech. Rpt. EM-72, NY: 1.st.Math.Sci., NY University, 1954.

2. Миттра P., Ли С. Аналитические методы теории волноводов /Пер. с англ. под ред. Г.В.Вознесенского. М.: Мир, 1974. 327 с.

3. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 279 с.

4. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Харьков, 1971.400 с.

5. Агранович З.С., Марченко В.А., Шестопалов В.П. Дифракция электромагнитных волн на плоских ленточных решетках // ЖЭТФ, 1962, 32(№4), с. 381-394

6. Вычислительные методы в электродинамике /под ред, Р.Миттры. М.: Мир, 1977.485 с.

7. Кириленко А.А., Рудь Л.А. Дифракция волн на наклонной границе диэлектрических сред в прямоугольном волноводе // РиЭ, 1977, 22 №10, с. 2057-2067.

8. Шестопалов В.П., Марченко В.А., Масалов С.А. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции. Киев: Наукова думка, 1984. 296 с.

9. Майсон Е.С., Макаров Г.И. Метод обращения для оператора Гельмгольца в сингулярных задачах // Вестн. С.-Петерб. ун-та, Сер.4: Физика, химия. 1996. Вып.З (№ 18). С. 78-72.

10. Ю.Вербицкий И.Л., Каменский С.Н. Применение обобщенного проекционного метода к расчету ступенчатого сочленения волноводов //РиЭ, 1992, т.37(7), с.1202-1211.

11. П.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 542 с.

12. Коноров Д.П., Макаров Г.И. Дифракция электромагнитных волн в плоских волноводах с границами, содержащими ребра // Проблемы дифракции и распространения волн. Л., 1987. Вып. 21. С. 54-68.

13. Коноров Д.П. Дифракция электромагнитных волн в тонких волноводах с границами, содержащими ребра. Дис. . к.ф.-м.н. ЛГУ. Л. 1988.

14. Коноров Д.П., Макаров Г.И., Самсонов Н.Л. Дифракция электромагнитных волн в плоских волноводах с границами, содержащими ребра// Вестн. ЛГУ, Сер. 4 1989, Вып 4(25), с.76-81.

15. Макаров Г.И., Хидекель В.А. Дифракция электромагнитных волн на ступенчатом сочленении плоских волноводов // Проблемы дифракции и распространения волн. Л., 1989. Вып.22. С. 55-75.

16. Майсон Е.С., Макаров Г.И. Поле дипольного источника в области, содержащей угловые точки // Вестн. С.-Петерб. ун-та, Сер.4: Физика, химия. 1996. Вып.З (№ 11).

17. Майсон Е.С., Макаров Г.И. О влиянии границы, содержащей сингулярные точки, на входное сопротивление антенны // XVIII Всероссийская конференция по распространению радиоволн. Тезисы докладов, т.1, с.57-58.

18. Майсон Е.С., Макаров Г.И. Метод полуобращения для уравнения Гельмгольца в сингулярных граничных задачах // Вестн. С.-Петерб. ун-та, Сер.4: Физика, химия. 1996. Вып. 3 (№ 18). С. 78-72.

19. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Сов.радио, 1966. 431 с.

20. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 599 с.

21. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963. 640 с.

22. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 295 с.

23. Дорошенко В.А., Кравченко В.Ф. Рассеяние плоских электромагнитных волн на конусе с продольными щелями // РиЭ, 2001, т.46(3), с.296-303.

24. Дорошенко В.А., Кравченко В.Ф. Рассеяние поля электрического диполя на конусе с продольными щелями // РиЭ, 2000, т.45(7), с.792

25. Дорошенко В.А., Кравченко В.Ф. Возбуждение конической щелевой антенны // РиЭ, 2001, т.46(8), с. 954-960

26. Ильинский А.С. Прямой метод расчета периодических структур // ЖВММФ. 1973. Т.13 №1, с. 119-126.

27. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: ИПРЖ «Радиотехника», 1996.

28. Веселов Г.И., Платонов Н.И., Слесарев Е.С. Об учете особенностей электромагнитного поля в методе частичных областей // Радиотехника, 1980, т.35(5), с.27-34.

29. Jlepep A.M., Рейзенкинд Я.А, Следков В.А. Анализ планарных резонаторов произвольной формы на основании метода Галеркина с базисом, учитывающим особенность на ребре // РиЭ, 2000, т.45(3), с. 261-269.

30. Лерер A.M. Дифракция электромагнитного импульса на металлической полоске и полосковой решетке // РиЭ, 2001, т.46(1), с.23-26.

31. Воробьев С.Н., Просвирнин С.Л. Метод моментов в задаче дифракции на ленте // РиЭ. 1985, т.30(1), с.238-239.

32. Макаров Г.И., Лобанов В.Н. Задачи дифракции в волноводах с сингулярными точками на границе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер.4: Физика, химия. 2002. Вып. 3 (№ 20). С. 3-13.

33. Макаров Г.И., Лобанов В.Н. Дифракция на перегородках и диафрагмах: методы задачи Римана-Гильберта и матричный //

34. Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер.4: Физика, химия. 2003. Вып. 4 (№ 28). С. 81-86.

35. Макаров Г.И., Лобанов В.Н. Дифракция волн в волноводе с диафрагмами // Региональная IX конференция по распространению радиоволн, СПб, 2003. с.8-9.

36. Лобанов В.Н., Макаров Г.И. Дифракция волн в волноводе с ветвлениями и диэлектрическим заполнением // Региональная X конференция по распространению радиоволн, СПб, 2004. с.4-5.

37. Вербицкий И.Л. Обобщенный проекционный метод // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294, № 1. С. 72-75.

38. Кошпаренок В.Н., Шестопалов В.П. Метод частичного обращения оператора для сумматорных функциональных уравнений с ядром в виде периодических функций Матье // Докл. АН СССР, 1978, т.239 №4. С.811-814.

39. Шестопалов В.П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. Киев: Наукова думка, 1983.252 с.

40. Кириленко А.А., Шестопалов В.П., Яшина Н.П. Строгое решение задачи о скачке поперечного сечения круглого волновода // Журнал вычисл. математики и мат. физики, 1977,17, №6, с. 1482-1493.

41. Рудь Л.А. Об особенности численного решения некоторых систем уравнений первого рода// Радиотехника, 1975. вып. 34. с. 17-20.

42. Литвиненко Л.Н., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. Харьков.: изд-во ХГУ, 1978.287 с.

43. Кинбер Б.Е. Об учете многократных дифракций методом матриц рассеяния // Радиотехника и радиоэлектроника, 1964, т.9, № 9. С.1594-1606.

44. По дольский Е.Н. Математические вопросы теории дифракции на плоской периодической решетке: Автореф. канд. дис. Харьков, 1967.

45. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифракции // Первая летняя матем. школа. Киев, 1964. т.1. С. 189-247.

46. Carleman Т. Sur la resolution de certaines equations integrals //Arcive for maf., astr., fys. 1922. Bd. 16, № 26, P.l 12-151.

47. Ляпин В.П. и др. Дифракция волн на сдвигах прямоугольных волноводов //РиЭ, 1990, т.35(7), с. 1432-1438.

48. Бобровников М.С, Фисанов В.В. Дифракция волн в угловых областях. Томск: изд-во Томского ун-та, 1988.246 с.

49. Архипенко С.А., Макаров Г.И. // Проблемы дифракции и распространения волн, вып. 22,1989.

50. Lewin L. Reflection at the junction of an inhomogeneously loaded waveguide, Proc. Copenhagen URSI Symposium on Electromagnetic Waves, Pergamon Press, NY, 1963.

51. Галишникова Т.Н., Ильинский A.C. Численные методы в задачах дифракции. М.:изд. МГУ, 1987.

52. Мериакри В.В., Никитин И.П. Частотно-селективные свойства двухслойной диэлектрической решетки // РиЭ, 2000, т.45(9), с. 10891091.

53. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

54. Канторович JI.B. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

55. Кириленко А.А., Рудь JI.A., Шестопалов В.П. Рассеяние волн на изломе волновода // Радиотехника и электроника, 1974, 19, №4, с.687-696.

56. Кириленко А.А. Теория приложения метода полуобращения для внутренних задач прикладной электродинамики: Автореф. Дис. Д-ра физ-мат наук. Харьков, 1980.

57. Лавреньев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.

58. Масалов С.А., Сиренко Ю.К., Шестопалов В.П. О применении метода усечения к некоторым бесконечным системам уравнений // Докл. АН УССР. Сер. А, 1977, №6, с.539-543.

59. Макаров Г.И., Осипов А.В. К вопросу о структуре рядов Мейкснера // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1986, т.29, с.714-720.

60. Агапов В.В., Макаров Г.И. Некоординатные задачи дифракции электромагнитных волн в волноводах с сингулярными границами // Вестник ЛГУ, вып.1 сер.4(4), 1991.

61. Архипенко С.А., Козина О.Г. Электромагнитное поле в плоском тонком волноводе с проводящим заполнением // Проблемы дифракции и распространения волн. 1983. Вып.19. С.216-232.

62. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974. 296 с.

63. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Советское радио, 1957.581 с.

64. Кириленко А.А., Масалов С.А., Шестопалов В.П. Дифракция волн на ленточной решетке типа «жалюзи» // Жур. вычисл. математики и мат. физики, 1972,12, №2, с.413-428.

65. Ахиезер Н.И., Газман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1978. 206 с.

66. Лобанов В.Н., Макаров Г.И. Дифракция электромагнитных волн в волноводе с частичным заполнением, содержащем углы // Региональная XI конференция по распространению радиоволн, СПб, 2005. с.11-13.

67. Ильин И.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа, ч. II. М.: Наука, 1980.447 с.