Краевые и угловые катастрофы в задачах дифракции и распространения волн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

РГБ

1 3 Ш\р >

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Крюковский Андрей Сергеевич

КРАЕВЫЕ И УГЛОВЫЕ КАТАСТРОФЫ В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН.

01.04.03. - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На прапах рукописи УДК 537.87; 621.371

Кргокопскнй Андрей Сергеевич

КРАЕВЫЕ И УГЛОВЫЕ КАТАСТРОФЫ В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН.

01.04.03. - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте. Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор

ЛУКИН Дмитрий Сергеевич

Официальные оппоненты:

академик Российской АН, профессор, доктор физико-математических наук

МАСЛОВ Виктор Павлович; профессор, доктор физико-математических наук

ПИРОГОВ Юрий Андреевич; профессор, доктор физико-математических наук

ЧЕРКАШИН Юрий Николаевич.

Ведущая организация - Акционерное общество "Радиофизика"

18-04, 1996 , в и

Защита состоится " ' V ■ У" 1996 г. в /е> часов на заседании специализированного совета Д 053.05.39 по радиофизике, оптике, акустике и лазерной физике при Московском Государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет. •

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ. у О п 2

Автореферат разослан " 7/С » с/С/. 1996 г.

Ученый секретарь /

Специализированного совета Д 053.05.39,//? кандидат физико-математических наук, доцент

1 ¡У^ръШ^ Королев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Применение различных асимптотических методов для решения задач дифракции и распространения волн получило широкое распространение во многих областях физики. Это связано в первую очередь с возможностью получения решения поставленной задачи в тех случаях, когда неприменимы другие аналитические или численные методы, а также с наличием развитого математического аппарата построения асимптотических разложений по большому параметру решений дифференциальных, псевдодифференциальных и интегральных уравнении математической физики и с хорошей физической интерпретацией полученного решения. Наиболее известным асимптотическим методом является приближение геометрической оптики (ГО) с его аналоги в других областях физики (метод ВКБ в квантовой механике, метод геометрической акустики и т.д.). Решение задачи в рамках метода ГО, ищется в виде произведения быстроосциллирующей экспоненты и асимптотического ряда по обратным степеням большого параметра задачи. Таким большим параметром, как правило, является отношение характерного размера задачи к длине волны. Полученная методом ГО асимптотика решения тем ближе к точному решению задачи, чем больше данное отношение. Однако величина большого параметра не единственное ограничение на применимость ГО приближения и других лучевых методов решения волновых задач. Метод ГО становится неприменимым в областях фокусировок волновых полей, в частности, в областях структурно-устойчивых фокусировок, соответствующих особенностям каустических поверхностен. Такие области со сложной дифракционной структурой поля и высокой интенсивностью возникают в различных радиофизических задачах: при распространении радиоволн в ионосфере Земли и других планет, дифракции СВЧ-излучения на плазменных образованиях и телах неправильной формы, дифракции лазерного излучения на неоднородностях среды распространения, различных оптических системах. Исследованию структуры пол ей в фокальных областях посвящено большое число работ, в которых рассматривались проблемы образования локализованных в пространстве и времени фокусировок волновых полей, для чего было необходимо описать структуру поля в областях многолучевости, п окрестносгн каустик, когда обычный ГО метод неприменим. Решение последней задачи было получено на основе объединения метода канонического оператора Маслова (КОМ)1 и теории особенностей дифференцируемых отображений^. Установлено соответствие между различными конфигурациями каустических поверхностен и типами

'Маслон В.П. Теория возмущений и асимптотические методы,- М.: МГУ, 1965. 553 е.-

гАрнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений: классификация критических точек, каустик л волновых фронтов. М.: Наука. 1982. 304с.

топологических особенностей, введены специальные функции волновых катастроф - СВК3 (см. также [5,6] к цитируемую в них литературу). Показано, что волновое поле в фокальной области может быть описано равномерно по параметрам задачи через СВК с высокой степенью точности. Полученные таким образом выражения являются асимптотическими разложениями решения задачи по большому параметру, и задача сводится к вычислению коэффициентов асимптотического разложения и аргументов спецфункций.

Другим существенным недостатком приближения геометрической оптики является отсутствие решения задачи в области геометрической тени, обусловленной наличием тел в среде распространения. Этот недостаток устраняет другой лучевой метод - метод геометрической теории дифракции (ГТД)4. В рамках ГТД считается, что любая неоднородность среды распространения, за исключением бесконечно «дифференцируемых плавных неоднородностей, является источником дополнительного семейства волн (краевых, угловых, поверхностных, волн соскальзывания и т.д.). Методы ГТД позволяют получить решеиия и обласш теки н учесть влияние границ среды распространения в области света. Тем не менее, как и для метода геометрической оптики, существует проблема построения решения в областях фокусировок, а также в окрестности границы "свет-тень".

Успех применения теории * особенностей дифференцируемых отображений (теории катастроф) к задачам распространения и дифракции волн в плавно неоднородных средах без границ позволил надеяться на успех аналогичного подхода к задачам с границами. Для описания полей в области границы "свет-тень" (предельного ГО луча) необходимо найти соответствующую геометрии задачи особенность (катастрофу) и выразить поле через специальные функции данной волновой катастрофы. При таком подходе задача сводится к топологической части - нахождению типа особенности (чем определяется и соответствующие СВК), и асимптотической • - нахождению коэффициентов асимптотического разложения и аргументов спецфункций. До применения теории катастроф, в литературе, посвященной равномерной ГТД и равномерной пространственно-временной ГТД (ПВГТД), такие решения были известны лишь в простейших случаях. Поэтому задача классификации типов фокусировок вторичных волновых полей, определения связи между типом катастрофы и конфигурацией каустических поверхностей как первичных, так и вторичных волн в окрестностях границ "свет-тень" и построения равномерного асимптотического описания поля в сложных переходных областях, когда другие лучевые методы становятся неприменимыми, являегся актуальной проблемой геометрической теории дифракции.

'Лукин Д.С., Палшн Е.А. Численный канонический метод в задачах дифракции и распространения электромагнитных ноли в неоднородных средах. М.: МФТИ. 1982. 159 с.

'Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. М.: Связь, 1978. 248 с.

Целью диссертационной работы являлось построение новых методов геометрической теории дифракции, которые равномерно описывали бы дифракционную структуру волновых полей в областях совместной фокусировки первичных (геометрооптических) полей и дифракционных, вторичных (краевых, угловых и так далее) полей, как в случае стационарной ГТД, так и в случае пространственно-временной ГТД. Для реализации этой общей задачи автору необходимо было решить следующие проблемы:

1. Установить соответствие между типом краевой, угловой и обобщенной краевой катастрофы и типом фокусировки волнового поля;

2. Провести классификацию угловых катастроф малой модальности, реально возникающих в задачах стационарной • и нестационарной дифракции и распространения волн;

3. Построить равномерные асимптотические разложения многократных быстроосЦиллирующих интегралов, критическими точками которых являются как седловые (стационарные) точки фазы интегранты, так и седловые точки ее сужения на границу области интегрирования, по специальным функциям основных, краевых и угловых катастроф;

4. Исследовать свойства краевых н угловых СВК (ряды, дифференциальные уравнения, асимптотики), их амплитудно-фазовую структуру, разработать методы расчета краевых и угловых СВК, их аргументов и коэффициентов асимптотических разложений;

5. Проанализировать ряд модельных задач стационарной и нестационарной теории дифракции, в которых возникают, фокусировки волновых полей типа краевых и угловых катастроф.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации. Сформулировано и обосновано новое направление в теории дифракции и распространения волн, которое базируется на концепции краевых и угловых катастроф. Основное содержание нового направления заключается в следующем:

1. Классифицированы типы дифракционной структуры волновых полей в областях фокусировок, возникающих при стационарной и нестационарной дифракции и распространении волн в неоднородных средах в соответствии с классификацией краевых, угловых и обобщенных краевых катастроф. Получены дифференциальные необходимые и достаточные условия образования краевых и угловых катастроф.

2. Получена полная классификация уни- и бимодальных угловых катастроф и огораживающих особенностей. Вычислены нормальные формы и возмущения универсальных деформаций этих особенностей, найдены схемы подчинении (примыканий), устанавливающие связь особенностей более высокого порядка с особенностями более низкого.

3. Построены равномерные асимптотические решения задач 1ТД {или ПВПГД) в областях совместной фокусировки основных ГО лучей, краевых лучей (и угловых лучей) в виде интегралов специального вида -

э спецфункций краевых и угловых катастроф (СВК). С этой целью:

а) построены разномерные асимптотики многократных интегралов от быстроосциллирующих функций, критическими точками которых являются седловые (стационарные) точки фазы интегранты и ее сужения на границу области интегрирования;

б) введены и исследованы новые классы специальных функций -краевые и угловые СВК: вычислены их разложения в степенные ряды; получены канонические дифференциальные уравнения; предложен новый метод расчета краевых и угловых СВК и их первых производных, входящих в асимптотические разложения, основанный на сведении канонических уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений; исследованы амплитудные и фазовые структуры СВК;

в) построены методы (локальный и метод седловых точек) для определения коэффициентов асимптотических разложений, а также аргументов краевых и угловых СВК (то есть функциональных модулей и коэффициентов при возмущениях).

4. Решен ряд модельных задач, иллюстрирующих применение волновой теории краевых и угловых катастроф к вопросам дифракции и распространения волн в средах с частотной дисперсией:

а) исследована стационарная дифракция волн на телах с криволинейными кромками (содержащими угловую точку), исследована дифракция волны на последовательно расположенных телах с криволинейными кромками;

б) исследована пространственно-временная дифракция частотно-модулированного сигнала на металлическом теле с криволинейными кромками, помещенном в плазму.

Практическая значимость работы. Предложенные в работе равномерные асимптотические методы ГТД и ПВГТД позволяют описывать фокусировку волновых полей при дифракции на телах с криволинейными кромками (возможно имеющими точки излома - угловые точки), на нескольких последовательно расположенных телах с кромками, а также пространственно-временную фокусировку частотно-модулированного радиоимпульса как в однородной плазме при дифракции на телах с кромками, так и в случае распространения радио- и видеоимпульсов в неоднородной плазме. Рассматриваемые вопросы важны в задачах электромагнитной совместимости радиотехнических устройств, при конструировании различных коротковолновых одно- и многозеркальных антенных систем, гибридных зеркальных и линзовых антенн, при изучении дисперсии радио- и видеоимпульсов в различных каналах ионосферной связи и при радиозондировании.

Научная достоверность и обоснованность результатов и выводов работы подтверждается тем, что они получены математически корректными методами. Во всех предельных случаях результаты работы согласуются с результатами, полученными с помощью других известных асимптотических или точных методов, а при численном сопоставлении

отличие невелико и хорошо согласуется с оценкой погрешности предложенных в работе асимптотических методов. Ряд теоретических результатов подтверждается сравнением с известными экспериментальными данными.

На защиту выносится:

Новое направление: применение теории краевых и угловых катастроф для решения задач дифракции и распространения волн в неоднородных средах. В рамках этого направления получены следующие результаты:

1. Построены равномерные асимптотические разложения по специальным функциям волновых катастроф (СВК) и их первым производным в областях краевых, угловых и обобщенных краевых катастроф, соответствующих совместной фокусировке геометрооптических, краевых и угловых лучей.

2. Выполнена классификация типов устойчивых угловых фокусировок, основанная на теории особенностей дифференцируемых отображений с ограничениями на возможные преобразования координат.

а) Получен полный список нормальных форм и возмущений уни- и бимодальных угловых катастроф, а также список огораживающих их особенностей.

б) Построена схема примыканий угловых катастроф, позволяющая определить типы фокусировок, возникающие при распадении сложного фокуса.

Дана физическая интерпретация типа угловой катастрофы.

3. Построены дифференциальные необходимые и достаточные условия образования краевых и угловых катастроф, позволяющие определить положение центра дифракционной структуры (фокуса) в пространстве (-времени).

4. Введены и исследованы новые классы специальных функций -краевые и угловые специальные функции волновых катастроф.

а). Получены канонические дифференциальные. уравнения, решениями которых являются СВК, и разложения СВК в ряды Тейлора.

б). Построены равномерные по большому параметру задачи разложения угловых СВК в точке образования катастрофы.

в). Предложен и реализован метод расчета краевых и угловых СВК, основанный на сведении канонических уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

г). Исследована амплитудно-фазовая структура краевых и угловых

СВК.

5. Теория краевых и угловых катастроф применена для решения ряда модельных задач. Исследована амплитудная структура поля в областях образования краевых и угловых катастроф:

а) при дифракции плоской волны на искривленном экране с угловой точкой;

б) при дифракции частотно-модулированного импульса на проводящем экране в диспергирующей среде.

Личный вклад автора. Диссертация является обобщением работ автора, касающихся применения теории краевых и угловых катастроф к вопросам дифракции и pacnpociранения волн за период с 1984 по 1994 год. В диссертацию также вошли некоторые результаты, полученные автором ранее, но имеющие прямое отношение к теме. Основная часть результатов получена автором лично. В совместных работах с научным консультантом Д.С.Лукиным и коллегой Е.А.Палкиным соавторы в равной мере участвовали в постановке задачи, а в последующих исследованиях (начиная с 1985 года) основной вклад в вопросах, касающихся темы диссертационной работы, принадлежит. автору. Работы, посвященные расчету полей в окрестности краевых катастроф типа i?;V+1 и C(V+1, были выполнены

совместно с Е.Б.Ипатовым, которому принадлежат оригинальные методы расчета специальных функций этих особенностей, причем алгоритмы расчета СВК особенностей Cv+1 разрабатывались совместно. Некоторые операторы систем канонических уравнений и коэффициенты разложения рядов Тейлора для краевых н угловых СВК были получены автором совместно с Е.А. Палкиным. Другие совместные работы, относящиеся к теме диссертации, выполнялись по инициативе автора и под его руководством.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались на XIII, XIV, XV, XVI Всесоюзных научных конференциях по распространению радиоволн (1981, 1984, 1987, 1990 гг.); на IX и X Всесоюзных симпозиумах по дифракции и распространению волн (1985, 1990 гг.); на IV, IX Всесоюзных и X Международной школах по дифракции и распространению волн ((984, ¡988, 1993 гг.); на XXXV, XXXVII, XL, XLII, XLIV Всесоюзных и XLIII Всероссийской научных сессиях научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. А.С.Попова (г.Москва, 1980, 1982, 1985, 1987, 1989,1993 гг.), на II и III Всесоюзных семинарах НТО РЭС им. А.С.Попова (1989, 1990 гг.); на XXII Генеральной ассамблеи URSI (1990 г.), на семинаре по электромагнитной теории (Japan, OFSET-90, 1990 г.); на Международном симпозиуме по антеннам и распространению волн (ISAP92, Sapporo, Japan); на XXVII научной конференции по теории и технике антенн (Москва, 1994 г.).

Результаты работы обсуждались на научных семинарах МФТИ, ЛГУ, МЭИ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 50 печатных работ; список основных публикаций приводится в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, шести приложений и списка литературы. Работа изложена на 383 страницах и включает в себя 70 рисунков и 25 таблиц. Список цитированной литературы содержит 274 наименования.

Благодарности. Автор выражает сердечную признательность своему научному консультанту, заведующему кафедры ФМПВП, профессору Д.С.Лукнну за постоянное внимание и поддержку работы; доценту

Е.А.Палкину, чье плодотворное сотрудничество оказало автору неоценимую помощь, и с.н.с. Е.Б.Ипатову, совместно с которым автор выполнил некоторые работы по вычислению специальных функций каспоидных краевых катастроф. Выражаю глубокую благодарность Д.В.Растягаеву, выполнившему совместно со мной ряд последних исследований и оказавшему большую помощь в оформлении материалов диссертации.

Автор выражает особую благодарность Е.Ю.Чилингир (Жирухиной) и Т.В. Дорохиной, внесшим также большой вклад в оформление диссертационной работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована цель работы, ее новизна и основные результаты, полученные автором. Определено место работы в ряду современных исследований и ее актуальность для экспериментального и теоретического изучения дифракционной структуры волновых полей в фокальных областях, расположенных вблизи пространственных (и пространственно-временных) границ "свет-тень". Кратко излагается содержание диссертационной работы.

Первая глава "Применение специальных функций для равномерного асимптотического описания волновых полей в областях краевых и угловых фокусировок в задачах дифракции и распространения воли" содержит обзор литературы, посвященной теоретическому исследованию дифракционной структуры волновых полей асимптотическими методами. Основное внимание уделено работам, так или иначе связанным с проблемой равномерного асимптотического описания фокусировки волновых полей вблизи границ "свет-тень".

Первый параграф посвящен неравномерным методам стационарной и пространственно-временной ГТД. ГТД является обобщением метода ГО для решения ддач дифракции и распространения волн. В рамках этой теории помимо вклада обычных геометрооптических лучей аддитивно учитывается вклад вторичных лучевых семейств (краевых, угловых, лучей соскальзывания и т.д.). Источником дополнительных лучей является всякое нарушение однородности среды распространения, за исключением бесконечно дифференцируемых плавных неоднородностей. В теории дифракции рассматриваются краевые и угловые семейства лучей, вызванные наличием пространственных и (или) временных границ и разрывов в среде распространения (проводящих экранов и тел с криволинейными кромками и угловыми точками, временных границ, связанных с началом и концом видео- и. радио импульсов и т.д.). Существенным недостатком метода геометрической теории дифракции является неравномерность полученного асимптотического решения. Зонами неприменимости ГТД являются:

а). Фокальные (каустические) области одного или нескольких лучевых семейств задачи.

б). Области, примыкающие к границам "свет-тень" лучевых семейств как первичного поля (основные ГО лучи),так и вторичных дифракционных полей (краевые, угловые лучи и т.д.).

Для устранения этих недостатков неравномерной ГТД (и его частного случая - метода ГО) в течение последних 40 лет успешно развивались равномерные методы ГТД. Обзору работ этого направления посвящены последующие параграфы настоящей главы.

Второй параграф касается применения теории основных волновых катастроф для описания структурно-устойчивых фокусировок излучения в однородных и плавно неоднородных средах в случаях, когда фокусировка обусловлена только каким либо одним лучевым семейством (как правило речь идет о ГО лучах, хотя эти же результаты позволяют описывать и фокусировку, например, краевых лучей, но вдали от предельного ГО-луча). Применение методов волновой теории катастроф позволяет построить равномерную асимптотику решения задачи в окрестности каустик и их особенностей, в зонах каустической тени и исправить недостатки лучевых методов, сохранив при этом наглядность ГО. Однако основных волновых катастроф недостаточно, чтобы описать фокусировку волновых полей в окрестности границ "свет-тень " лучевых семейств.

В третьем параграфе обсуждаются равномерные асимптотики волновых полей в окрестности границ "свет-тень ", когда краевые лучи не имеют каустик. ^Известно, что если огибающие ГО лучевого семейства образуют вблизи границ "свет-тень " каустики каспоидного типа, то поля в таких областях описываются "неполными функциями Энри ". В частном случае, когда первичное поле.не фокусируется, равномерная асимптотика поля выражается через интегралы Френеля. С точки зрения волновой теории катастроф такие особенности соответствуют каспоидной серии

Нами проведено исследование полей в окрестности особенностей серии и сопоставлены результаты расчета методами неравномерной и равномерной ГТД, физической оптики (приближение Кирхгофа) и физической теории дифракции [29].

Четвертый параграф посвящен фокусировке краевых лучей в окрестности ГО границы "свет-тень", когда ГО лучи не образуют каустик. Равномерные асимптотики волновых поДЫ могут быть представлены через "многомерные обобщенные функции Эйри". В случае, когда и краевые лучи не образуют каустик, равномерная асимптотика поля опять-таки выражаются через интеграл Френеля. Согласно волновой теории катастроф, каспоидные особые каустики краевых лучей вблизи ГО границы "свег-тень" соответствуют особенностям серии СЛ ^ • '

В пятом параграфе рассматриваются задачи дифракции, в которых помимо семейства краевых лучей возникаю! также угловые лучи. В

отсутствии каустик всех четырех лучевых семейств (ГО, двух краевых и углового) равномерные асимптотики полей выражаются через обобщенный интеграл Френеля. С точки зрения теории угловых волновых катастроф такая особенность дифракционной структуры поля соответствует

катастрофе А? а(Л1,А1,А1,А1).

В шестом параграфе рассматриваются равномерные интегральные асимптотические методы, в которых решение задачи строится в виде интеграла по некоторой области от произведения медленно меняющейся функции и быстроосциллирующей экспоненты - бысгроосциллнругощего интеграла (БОИ). Примерами таких интегральных решений могут служить метод канонического оператора В.П. _Маслова, интегральная формула Кирхгофа, интерференционный интеграл Ю.И. Орлова и ряд других. В задачах дифракции это как правило многократные интегралы, непосредственное вычисление которых весьма затруднительно. Поэтому возникает необходимость получения асимптотического разложения интегрального представления по большому параметру. Стандартный метод стационарных точек и метод седловых точек (иначе, метод перевала) неприменим:

а) когда несколько седловых точек фазы сливаются в одну;

б) когда седповая точка фазы совпадает с седловой точкой сужения фазовой функции на границу области интегрирования.

Волновая теория краевых и угловых катастроф, излагаемая в последующих главах, позволяет исправить эти недостатки и построить равномерные по параметрам задачи асимптотические разложения в окрестности вырожденных седловых точек, расположенных вблизи границы области интегрирования.

Во второй глапе диссертации рассматривается проблема равномерного асимптотического описания волновых полей в областях совместной фокусировки двух лучевых семейств: первичных (ГО) лучей и вторичных (краевых) лучей. Первый параграф посвящен классификации краевых катастроф и соответствующих им особенностей волновых полей, приводятся таблицы нормальных форм и возмущений универсальных деформаций краевых катастроф, схемы подчинений (примыканий), позволяющие проследить распадение особенности более высокого порядка на подчиненные (более простые) краевые катастрофы.

Во втором параграфе сформулированы необходимые и достаточные дифференциальные условия образования краевых катастроф, которые позволяют определять положение центральной точки особенности.

Третий параграф посвящен методам вычисления функциональных модулей и коэффициентов универсальных деформаций. Рассматриваются два подхода: метод седловых точек и метод степенных рядов (локальный).

Четвертый параграф является центральным в данной главе. В нем изложен метод построения равномерных асимптотик быстроосциллирующих многократных интегралов, в случаях, когда вырожденная седловая точка фазы китегранты оказывается вблизи

седловых точек (возможно вырожденных) сужения фазовой функции на границу области интегрирования. Равномерная асимптотика строится в виде разложения по краевым СхЖ, их первым производным и основным СВК, отвечающим особенностям сужения фазовой функции на границу (край).

Пятый параграф посвящен методам определения коэффициентов асимптотического разложения. Рассматриваются два подхода: метод глобальной асимптотики, соответствующий методу седловых точек для определения коэффициентов универсальной деформации, и метод локальной асимптотики, соответствующей методу степенных рядов.

Для определения коэффициентов асимптотического разложения очень полезным оказывается также метод асимптотического сшивания равномерных и неравномерных асимптотик, тесно связанный с методом глобальной асимптотики.

В шестом параграфе обсуждается зависимость параметров универсальной деформации и коэффициентов асимптотического разложения от параметра асимптотического разложения, который в стационарных задачах без частотной дисперсии среды обычно пропорционален частоте излучения. Поэтому здесь и далее такая зависимость называется "частотной".

Наконец, в последнем седьмом параграфе этой главы рассмотрены примеры задач дифракции, в которых возникают краевые катастрофы: стационарная дифракция волны на проводящем экране с гладкой криволинейной кромкой и пространственно-временная амплитудно-фазовая структура частотно-модулированного сигнала в плазме с учетом влияния фильтра приемного устройства.

В третьей главе диссертации рассматривается проблема равномерного асимптотического описания волновых полей в областях совместной фокусировки четырех лучевых семейств: первичных (ГО) лучей и вторичных (двух краевых и углового) лучей. Структура этой главы аналогична предыдущей.

В первом параграфе построена классификация уни- и бимодальных угловых катастроф и огораживающих их особенностей, соответствующих особым дифракционным структурам волновых полей. Угловые катастрофы (также как и основные, краевые, обобщенные краевые катастрофы) характеризуются универсальными деформациями:

где х - внутренние переменные, а, - функциональные модули, к, -

коэффициенты универсальной деформации, ср^ - нормальная форма,

линейная по а„ <р? (О.) - возмущения, 2 = 2,)- тип

особенности, Ь - коразмерность. Компоненты символа I - типы особенностей нее.к четырех лучевых семейств - основные катастрофы.

Приводятся таблицы нормальных форм и возмущений универсальных деформаций угловых катастроф, схемы подчинений (примыканий), позволяющие проследить распадение особенности более высокого порядка иа подчиненные (более простые) угловые катастрофы.

Необходимые и достаточные дифференциальные условия образования угловых катастроф получены во втором параграфе.

Третий параграф посвящен методам вычисления функциональных модулей и коэффициентов универсальных деформаций: методу седловых точек и методу степенных рядов. Оба подхода основаны на использовании тождества

ДФ(п,г) = 8 + /'?(4,аД) , (2)

где Л » 1 - параметр асимптотического разложения, Ф(т},г) - фазовая функция, г|; - внутренние параметры задачи, г} - координаты физического пространства. В методе седловых точек в тождество (2) подставляются значения векторов п, £ в седловых точках функций Ф и и ее сужений, после чего необходимо решать нелинейную систему алгебраических уравнений. В методе степенных рядов для вычисления а и X тождество (2) и его сужения дифференцируются необходимое число раз в центральной особой точке рассматриваемой катастрофы.

В четвертом параграфе изложен метод построения равномерных асимптотик быстроосциллирующих многократных интегралов в случаях, когда вырожденная седловая точка фазы илтегранты оказывается вблизи седловых точек (возможно вырожденных)' сужений фазовой функции на границы облэспг интегрирования и на угловую точку. Равномерная асимптотика строится в виде разложения по угловым СВК, их первым производным, краевым и основным СВК, отвечающим особенностям сужений фазовой функции. Она имеет вид:

(3)

М-

QI

/,/+14

(4)

*=2 dSk_y

где £0 = % = ,ЕГ) , 1=1.2 ; îj = Er, причем

■КО 1

(5)

/«оЛ

£.

коэффициенты асимптотического разложения, I ' - СВК (/=0 - угловые; j-l,2 - краевые; j=3 - основные), a Sj - аргументы СВК, состоящие из

компонент векторов <3 и X.

Пятый параграф посвящен методам определения коэффициентов асимптотического разложения: методу глобальной асимптотики, соответствующему методу седдовых точек для определения коэффициентов универсальной деформации, и методу локальной асимптотики, соответствующему методу степенных рядов.

В шестом параграфе обсуждается "частотная" зависимость параметров универсальной деформации и коэффициентов асимптотического разложения от параметра Ь асимптотического разложения.

Наконец, в последнем седьмом параграфе этой главы рассмотрены примеры задач дифракции, в которых возникают угловые катастрофы: стационарная дифракция волны на проводящем экране с угловой точкой, двух последовательных экранах и дифракция частотно-модулированного радиоимпульса на проводящем экране с гладкой криволинейной кромкой.

Четвертая глава диссертации посвящена построению равномерных асимптотик волновых, полей в областях, где взаимодействуют 2* лучевых семейств, то есть существует луч, принадлежащий сразу всем 2У лучевым . семействам - основные катастрофы, - краевые катастрофы, \-2 -угловые катастрофы). При этом каждое из рассматриваемых лучевых семейств может иметь особые каустики. В теории равномерных асимптотик быстроосциллируюших интегралов обобщенные краевые катастрофы . соответствуют случаю, когда область интегрирования имеет вид:

в = Я= . (6)

В первом параграфе обсуждается структура универсальной деформации обобщенных краевых катастроф и методы определения функциональных модулей и коэффициентов универсальных деформаций. Символ Г, определяющий тип особенности, состой г теперь из 2" символов, каждый из которых соответствует обобщенной катастрофе со своей кратностью. Поэтому система уравнений для определения параметров

универсальной деформации может быть разбита на 2У подсистем, которые необходимо решать последовательно, начиная с сужения самого высокого порядка. Во втором параграфе получены выражения для равномерных асимптотик в случаях обобщенных краевых катастроф порядка V. Асимптотика состоит теперь не из четырех (как в (3)), а из 2" слагаемых вида (4). В третьем параграфе рассмотрены примеры физических задач, в которых возникают обобщенные краевые катастрофы: стационарная дифракция на V параллельных экранах и дифракция полубесконечного радиосигнала на экране с угловым вырезом в плазме.

Последняя питая глава диссертационной работы посвящена специальным функциям волновых катастроф с ограничениями (СВК) и их производным, имеющим вид многократных быстроосциллируюших интегралов:

4-СО -КО +00 -НО

О 0 —оо -со

хехр|/^|,аД)} (7)

Обсуждаются свойстпа СВК: интегральные представления, системы дифференциальных канонических уравнений (§ 1), степенные ряды и равномерные асимптотические разложения, полученные методом регуляризации, (§ 2) и амплитудно-фазовые структуры (§ 3). В четвертом параграфе рассматривается метод обыкновенных дифференциальных уравнений расчета краевых и угловых СВК, который позволяет избежать прямого вычисления многократных интегралов. Вместо этого необходимо решать систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида:

(¡IV (¡Ш ¿к, ч

¿1 У (¡к; ¿1 У (¡к; Л V '

где ^ = П( - линейные функции своих аргументов. Именно

этим методом были рассчитаны амплитудно-фазовые структуры некоторых краевых и угловых СВК в сложных случаях (см. рис. 1,2).

Для упрощения изложения справочный материал, а также некоторые громоздкие математические результаты вынесены в приложения.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

Предложено и обосновано новое научное направление в теории дифракции и распространения волн, базирующиеся на теории особенностей дифференцируемых отображений с ограничениями: волновая теория краевых и угловых катастроф. Основное содержание нового направления заключается в следующем:

1. Установлено соответствие между пространственными и пространственно-временными структурно-связанными фокусировками первичных и вторичных (дифракционных) волновых полей с одной стороны и особенностями дифференцируемых отображений с ограничениями типа симметрий (краевыми, угловыми, обобщенными краевым катастрофами) с другой стороны. Получены дифференциальные необходимые и достаточные условия образования краевых и угловых вол новых катастроф того или иного типа;

2. Построена классификация унимодальных, бимодальных угловых катастроф и огораживающих их особенностей; получен полный список таких особенностей, их универсальные деформации; определены' коранг, коразмерность и кратность для каждой особенности; построены схемы подчинений (примыкании), устанавливающие иерархию внутри класса угловых катастроф;

3. Построены равномерные асимптотики волновых полей в дифракционных областях, соответствующих краевым, угловым.. и

обобщенным краевым катастрофам разных типов. Для этого исследованы равномерные асимптотики быстроосциллирующих интегралов с областями интегрирования вида (6), критическими точками -которых являются седлопые (стационарные) возможно вырожденные точки фазовой функции интеграиты и ее сужений различного порядка на границу области интегрирования. Окончательные выражения получены в виде асимптотических разложений по СВК, их первым производным, а также СВК сужений. Для определения коэффициентов асимптотических разложений, имеющих вид асимптотически сходящихся рядов (5), найдены цепочки^ рекуррентных соотношений. Разработаны методы вычисления аргументов СВК и коэффициентов асимптотических разложений: метод седловых точек (метод глобальной асимптотики) и метод степенных рядов (метод локальной асимптотики);

4. Изучены новые классы специальных функций: краевые и угловые СВК. Рассмотрены различные эквивалентные представления СВК: как решения систем каноническнх дифференциальных уравнений в частных производных, в виде многократных быстроосциллирующих интегралов, в виде степенных рядов (рядов Тейлора). Исследованы равномерные разложения СВК по большому параметру задачи в точке образования катастрофы. Предложен метод расчета краевых и угловых СВК путем сведения системы канонических уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, но уже как для самой СВК, так и ряда ее первых производных. Рассчитаны амплитудные и фазовые структуры краевых и угловых СВК;

5. Методами волновой теории краевых и угловых катастроф исследованы следующие радиофизические модельные задачи:

а). Дифракция стационарного сигнала на проводящем криволинейном экране, на экране с криволинейными кромками и угловым вырезом (изломом кромки), на серии последовательно расположенных экранах;

б). Дифракция нестационарного частотно-модулированного излучения на проводящем экране с криволинейными кромками в однородной плазме.

О

-го go го 4 о «о

.Рис. 1

АмплитудаСВКособенности K4¡, ( A,j = = 0 ; а = -1)

Рис.2

Амплитуда СВК А*, (а = -1)

X

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ОТРАЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ

ПУБЛИКАЦИЯХ

1. Крюковский А. С., Лукин Д. С. К вопросу о поле в окрестности каустического острия в ионосферном плазменном слое. // Радиотехника и электроника, 1981. Т. 26. № 6. С. 1121 - 1126.

2. Крюковский А, С., Лукин Д. С. Локальное асимптотическое описание электромагнитного поля в окрестности каустического острия в плоско-слоистой среде. // Вопросы дифракции электромагнитных волн. Междувед. сборник I МФТИ. М., 1982. С. 40 - 45.

3. Крюковский А. С., Лукин Д. С., Палкин Е. А. Численное сравнение асимптотических выражений для электромагнитного поля в окрестностях топологических особенностей типа складки и сборки // Вопросы дифракции электромагнитных волн. Междувед. сборник / МФТИ, М., 1982. С. 134 -137.

4. Крюковский А. С., Лукин Д. С. Локальная асимптотика быстроосциллирующих интегралов, описывающих волновое поле в областях фокусировки // Дифракция и распространение электромагнитных волн: Междувед. сб. / МФТИ. М., 1984. С. 39 - 53.

5. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Равномерные асимптотики интегралов от быстроосциллирующих функций с вырожденными седловыми точками: Препринт I ИРЭ АН СССР. М.,1984. №41(413). 75 с.

6. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Специальные функции волновых катастроф: Препринт/ИРЭ АН СССР. M., 1984. № 43 (415). 75с.

7. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Асимптотика волновых полей для сложных краевых каустик // Тез. докл. IX Всесоюзн. симпозиума по дифракции и распространению волн. 1985 г. Телавн / Тбилиси: ТГУ, 1985. Т. 1. С. 36 - 39.

8. Крюковский А. С., Лукин Д. С., Палкин Е. А. Применение теории краевых катастроф для_ построения равномерных асимптотик быстроосциллирующих интегралов // Дифракция и распространение волн. Междувед. сб. / МФТИ. М., 1985. С. 4 - 21.

9. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Численное сравнение двух асимптотических методов решения задач дифракции волн в плавнонеоднородных средах // Изв. MB и ССО СССР (Радиофизика). 1986. Т. 29. № 1. С. 79 - 88.

10. Ипатов Е.Б., Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Краевые катастрофы и асимптотики//ДАН СССР. 1986. Т.291. №4. С.823-827.

11. Kryukovsky A. S., Lukin D. S., Palkin Е. A. Uniform asymptotics Гог evaluating oscillatory edge integrals by methods of catastrophe theory // Soviet journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 1987. V. 2. № 4. P. 219-312.

12. Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Краевые н угловые катастрофы в задачах дифракции и распространения волн. Казань: Каз. авиационный ин-т, 1988. 199 с.

13. Жирухина Е.Ю., Крюковский А.С., Палкнн Е.А. Численное и экспериментальное исследование дифракции электромагнитной волны на экране с угловой точкой // Распространение и дифракция волн. Междувед. сб. / М.: МФТИ, 1988. С. 129 - 143.

14. Ипатов Е.Б., Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Алгоритм расчета спецфункций краевых катастроф Cv+.. Амплитудно-фазовая структура интеграла Эйри-Френеля И Распространение и дифракция волн. Междувед. сб./М.:МФТИ, 1988. С. 144- 162.

15. Крюковский А.С., Растягаев Д.В. О необходимых и достаточных условиях образования каспоидных катастроф. // Распространение и дифракция волн в неоднородных средах. Междувед. сб. / М.:МФТИ, 1989. С.56-60.

16. Kryukovsky A. S., Lukin D. S., Palkin Е. A., Yagodov I.A. Asymptotic analysis of the structure of radio pulses emitted by limited aperture in plasma.// Abstracts XX! 1 General assembly of the International union of radio science/Prague:URSI. 1990. V.2.P.380

17. Kryukovsky A. S., Palkin E. A., Chelenger E.Yu. Construction of uniform asymptotics using the method of edge and corner catastrophes.// Abstracts XX11 General assembly of the International union of radio science / Prague: URSI. 1990. V.2. P. 393.

18. Крюковский A.C., Палкин E.A., Чилингир Е.Ю. Каспоидные углевые катастрофы в теории дифракции волн на металлических экранах // Тез. докл. X Всесоюзн. симпоз. по дифр. и распростр. волн. 1990. Винница/М..Физическое общество. Волны и дифракция-90. 1990. Т. 2. С.29-32.

19. Крюковский А.С., Растягаев Д.В. Классификация угловых катастроф ма' й модальности. // Вопросы дифракции и распространения волн. Междувед. сб./М.:МФТИ, 1990. С.4-16.

20. Kryukovsky A. S., Lukin D. S., Palkin Е. A. Method of Edge and Coner Catastrophes for Uniform Asymptotic Description of EM Waves Scattering and Diffraction by Boudaries of Complex Form// Papers of Technical Meeting on Electrical Engineers Theory . OFSET- 90. The Institute of Electrical Engineers of Japan. Fukuoka. Japan. 1990. P.109-118.

21. Крюковский А.С., Растягаев Д.В. Асимптотическое разложение по большему параметру интегралов от быстроосциллирующих функций. // Вопросы дифракции и распространения волн. Междувед. сб./ М.: МФТИ, 1991. С.51-72.

22. Крюковский А. С. Метод обыкновенных дифференциальных уравнений для расчета специальных функций волновых катастроф (СВК) // Дифракция и распространение электромагнитных и акустических волн. Междувед. сб. /М.: МФТИ. 1992. С.29-48.

23. Крюковский А. С., Растягаев Д. В. Классификация унимодальных н бимодальных угловых катастроф // Функциональный анализ и его приложения. 1992. Т.26. Вып.З. О. 77-79.

24. Kryukovsky A.S.,Rastyagaev D.V. The main terms of uniform asymptoics in the high order focal regions. //Proceedings of the 1992 International Symposium on Antennas and Propagation./ Sapporo. Japan. 1992. V.2. P.581-584.

25. Крюковский А. С., Лукин Д. С., Палкин Е. А., Растягаев Д. В. Теория катастроф в проблемах стационарной и нестационарной дифракции // Труды X школы - семинара по дифракции и распространению волн. 7-15.02.1993./М.: МФТИ. 1993. С. 36-111.

26. Крюковский А. С., Лукин Д. С., Палкин Е. А. Сопоставление интегральных асиптотнческнх методов //Труды X школы-семинара по дифракции и распространению волн. 7-15.02.1993./М.:МФТИ. 1993. С.З- 35.

27. Крюковский А.С., Растягаев Д.В. Исследование устойчивых фокусировок, возникающих при нарушении симметрии волнового фронта. // Дифракция и распространение электромагнитных волн. Междувед. сб./ М.:МФТИ, 1993. С.20-37.

28. Крюковский А.С. Необходимые и достаточные условия образования основных волновых катастроф с корангом, равным двум // Дифракция и распространение электромагнитных волн. Междувед. сб. /М.-.МФТИ, 1993. С. 4- 19.

29. Ипатов Е.Б., Крюковский А.С., Лукин Д.С., Растягаев Д.В. Исследование дифракции сходящейся скалярной волны на проводящем экране. //Радиотехника и электроника. 1994. Т.39. № 4.С.538-547.

30. Крюковский АС. Необходимые и достаточные условия образования краевых катастроф. // Проблемы дифракции и распространения волн. Междувед. сб./М.: МФТИ, 1994. С. 47 - 54.

31. Kryukovsky A.S., Rastyagaev D.V. Investigation of field structure in the neighbourhood of focus by means of the wave catastrophe method. //XXVII Scientific Conference on Antenna Theory and Technology./ Moscow: JSC "Radiophyzika". 1994. P. 244-247.

32. Ipatov E.B., Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Rastyagaev D.V. Numerical methods for calculation of special functions of corner wave catastrophes in diffraction problems. //The 15th Triennial International Symposium on Electromagnetic Theory./St.Petersburg, Russia: U.R.S.I. 1995. P. 419-421.

33. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин E.A. Равномерные асимптотики н угловые катастрофы. // Доклады РАН. 1995. Т.341. № 4 С. 456-459.

Ротапринт МФТИ. Подписано в печать 26.02.96. Заказ № / Тираж 100 экз.