Применение теории катастроф для исследования пространственно-временных фокусировок тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Пространственно-временные фокусировки волновых полей в диспергирующих средах.

§1.1. Постановка задачи.

§1.2. Лучевое решение задачи о распространении нестационарного излучения в диспергирующих средах.

§1.3. Интегральное решение задачи о распространении нестационарного излучения в диспергирующих средах.

ГЛАВА 2. Классификация пространственно-временных фокусировок.

§2.1. Общие принципы построения классификации.

§2.2. Необходимые и достаточные условия образования катастроф.

§2.3. Классификация пространственно-временных фокусировок на основе классификации пространственных и временных частей.

ГЛАВА 3. Математическое моделирование структуры электромагнитного излучения в областях трехмерных пространственно-временных фокусировок.

§3.1. Численное моделирование амплитудной и фазовой структуры частотно-модулированных радиоимпульсов.

§3.2. Равномерные асимптотики пространственно-временных полей в областях трехмерных фокусировок.

§3.3. Методы расчета специальных функций волновых катастроф.

§3.4. Исследование структуры специальной функции волновой катастрофы основной особенности Pg.

Актуальность проблемы. Применение теории особенностей дифференцируемых отображений (теории катастроф) для решения задач о распространении и фокусировке нестационарного электромагнитного излучения является новым и перспективным направлением теории дифракции и распространения радиоволн. Основным инструментом решения задач распространения и дифракции электромагнитных волн являются асимптотические методы, в первую очередь лучевые, оперирующие с такими понятиями, как лагранже-во многообразие и бихарактеристики. При проектировании лагранжева многообразия из фазового в конфигурационное пространство возникают огибающие лучевых семейств (каустики), имеющие особые линии и точки. В волновой физике каустики и их особенности соответствуют областям фокусировки полей и могут быть интерпретированы как особенности дифференцируемых отображений (катастрофы). Именно в этих областях лучевые методы и, в первую очередь, метод геометрической оптики (ГО) неприменимы.

До настоящего времени систематические исследования устойчивых фокусировок волновых полей с использованием теории катастроф проводились применительно к стационарным задачам. Сейчас эту проблему можно считать решенной, поскольку объединение канонического оператора В.П. Маслова (КОМ) [1-7] и теории катастроф [8-15] позволило рассчитать атласы каустик в окрестности особых точек, разработать алгоритмы расчета специальных функций основных волновых катастроф (СВК) коранга один и два, построить равномерные асимптотические решения, описывающие стационарную фокусировку волновых полей в окрестности каустик и их особенностей и построить методы определения коэффициентов подобия: аргументов СВК и коэффициентов асимптотических разложений [16-26]. Впоследствии методы теории катастроф были применены для равномерного описания фокусировки волн при дифракции на проводящих телах [27-30]. Таким образом, к настоящему времени сформировалось новое научное направление в исследовании волновых процессов — волновая теория катастроф.

Аналогичные проблемы имеют место при решении задач о распространении и фокусировке видео- и радиоимпульсов в диспергирующих средах. Простейшие временные фокусировки нестационарного излучения рассматривались в работах P.M. Льюиса, JL Фелсена, Ю.А. Кравцова, Ю.И. Орлова, А.П. Анютина и других [31-39]. Были разработаны основные принципы пространственно-временной геометрической оптики (ПВГО) и пространственно-временной геометрической теории дифракции (ПВГТД) [40-49].

Важной, но слабо исследованной проблемой, являются трехмерные пространственно-временные фокусировки в плазме: их классификация и математическое моделирование амплитудно-фазовой структуры электромагнитных полей. Особое значение рассматриваемой проблемы объясняется тем, что за счет сочетания двумерной пространственной фокусировки и компрессии импульса, обусловленной частотной модуляцией электромагнитного излучения, можно получить структурно-устойчивую фокусировку очень высокого порядка. Такие области со сложной дифракционной структурой поля и высокой интенсивностью возникают при распространении радиоволн в ионосфере Земли, а также при распространении лазерного электромагнитного излучения в лабораторной плазме. Проблема описания электромагнитных полей в областях структурно устойчивых фокусировок тесна связана с разработкой методов локализации в пространстве-времени потоков излучения и создания устройств, обеспечивающих сверхфокусировку излучения, что является актуальной проблемой. Успех применения теории особенностей дифференцируемых отображений (теории катастроф) к задачам распространения и дифракции волн в стационарных задачах позволил надеяться на успех аналогичного подхода к четырехмерным пространственно-временным задачам.

Для описания полей в четырехмерных областях необходимо найти соответствующую геометрии задачи особенность (катастрофу) и выразить поле через специальные функции данной волновой катастрофы, то есть построить равномерную асимптотику. Поэтому задача классификации типов трехмерных фокусировок четырехмерных волновых полей, определения связи между типом катастрофы и конфигурацией каустических поверхностей и построения равномерного асимптотического описания поля является актуальной проблемой.

Целью диссертационной работы является разработка теории пространственно-временных устойчивых фокусировок волновых полей методами теории основных катастроф, исследование и классификация их типов и математическое моделирование амплитудно-фазовой структуры полей в трехмерных фокальных областях.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в развитии нового направления применения теории катастроф к решению волновых радиофизических задач, а именно, к рассмотрению трехмерных пространственно-временных фокусировок электромагнитных полей. Получены следующие новые результаты:

1. Классифицированы типы трехмерных фокусировок волновых полей, возникающих при распространении волн в неоднородных средах в соответствии с классификацией основных катастроф. Для особенностей с разделяющимися пространственными и временными частями получены схемы подчинений (примыканий), устанавливающие иерархию особенностей.

2. Исследованы условия образования пространственно-временных фокусировок коранга три в зависимости от характера частотной модуляции радиоимпульсов и пространственной структуры начального волнового фронта б в диспергирующих средах (в холодной ионосферной плазме).

3. Построены равномерные асимптотические решения волновых задач в рассматриваемых областях в форме асимптотических разложений по интегралам специального вида (СВК) и их первым производным с коэффициентами в виде асимптотически сходящихся рядов.

4. Исследованы новые классы специальных функций — СВК, отвечающие трехмерным фокусировкам. Получены канонические дифференциальные уравнения; развит новый метод расчета таких СВК и их первых производных, входящих в асимптотические разложения, основанный на сведении канонических уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений; исследованы амплитудные структуры СВК.

5. Численно исследована амплитудная и фазовая структура частотно-модулированного радиоимпульса в фокальных областях, отвечающих трехмерным катастрофам с различной кратностью и с различными типами пространственной фокусировки.

Практическая значимость работы. Полученные в работе результаты могут быть применены в широком круге задач физики плазмы (лабораторной и ионосферной), оптики и радиофизики. В частности, они могут быть использованы при создании устройств, формирующих направленное сверхсфокуси-рованное электромагнитное излучение, а также при оптимизации антенных устройств, обеспечивающих радиосвязь и радиолокацию в условии прохождения радиоимпульсов через ионосферную плазму.

Научная достоверность и обоснованность результатов и выводов работы подтверждается тем, что они получены математически корректными методами. Во всех предельных случаях результаты работы согласуются с результатами, полученными с помощью других известных асимптотических или точных методов, а при численном сопоставлении отличие невелико и хорошо согласуется с оценкой погрешности предложенных в работе асимптотических методов.

На защиту выносится:

1. Теория пространственно-временных фокусировок типа катастроф коранга три, возникающих в диспергирующей среде при совместной пространственной фокусировке искривленного волнового фронта и временной фокусировке частотно-модулированного радиоимпульса.

2. Классификация типов устойчивых трехмерных фокусировок с распадающимися пространственными и временными частями, основанная на теории особенностей дифференцируемых отображений с ограничениями на возможные преобразования координат: а) список нормальных форм и возмущений трехмерных катастроф, а также список их особенностей; б) схема примыканий таких катастроф, позволяющая определить типы фокусировок.

3. Равномерные асимптотические разложения по специальным функциям волновых катастроф (СВК) и их первым производным в областях фокусировок, соответствующих совместной фокусировке пространственных и временных лучей.

4. Исследование трехмерных специальных функций волновых катастроф: а) канонические дифференциальные уравнения, решениями которых являются СВК коранга три; б) математическое моделирование амплитудной структуры СВК образующей основной особенности Р^.

5. Результаты численного моделирования структуры частотно-модулированного радиоимпульса в фокальных областях, отвечающих трехмерным катастрофам с различной кратностью и с различными типами про8 странственной фокусировки.

Публикации и апробация работы. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, из них 3 статьи в междуведомственных сборниках МФТИ и одна в журнале "Радиотехника и электроника". Материалы диссертационной работы докладывались на XVIII Всесоюзных научных конференциях по распространению радиоволн (1996 г.); на XI Всероссийской школе по дифракции и распространению волн (1998 г.); на LII Всероссийской научной сессии научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. А.С.Попова (г.Москва, 1997 г.), на XXVIII Международной научной конференции по теории и технике антенн (Москва, 1998 г.), на XIX Всероссийской научной конференции «Распространение радиоволн» (Казань, 1999) и неоднократно обсуждались на научных семинарах МФТИ.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 123 страницах и включает в себя 16 рисунков и 3 таблицы. Список цитированной литературы содержит 83 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Для изучения и описания трехмерных пространственно-временных фокусировок электромагнитных полей развито новое направление применения теории волновых катастроф. Получены следующие новые результаты:

1. Выполнена классификация типов трехмерных фокусировок волновых полей, возникающих при распространении волн в неоднородных диспергирующих средах в на основе классификации основных катастроф. Для особенностей с разделяющимися пространственными и временными частями построена схема примыканий, устанавливающая связь между особенностями.

2. Определены условия образования пространственно-временных фокусировок коранга три в зависимости от характера частотной модуляции радиоимпульсов и пространственной структуры начального волнового фронта в диспергирующих средах (в холодной ионосферной плазме).

3. Построены равномерные асимптотические решения волновых задач в рассматриваемых областях в форме асимптотических разложений по интегралам специального вида (СВК) и их первым производным с коэффициентами в виде асимптотически сходящихся рядов.

4. Исследованы специальные функции волновых катастроф — СВК, конфигурации критических точек которых соответствуют трехмерным пространственно-временным фокусировкам. Построены канонические дифференциальные уравнения; развит метод расчета таких СВК и их первых производных, входящих в асимптотические разложения, основанный на приведении канонических уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений; исследованы амплитудные структуры СВК.

5. Выполнено численное моделирование амплитудной и фазовой структур частотно-модулированного радиоимпульса в фокальных областях, отвечающих трехмерным катастрофам с различной кратностью и с различными типами пространственной фокусировки. Проанализирована тонкая структура радиоимпульса в окрестности особой фокальной точки. Разработан алгоритм расчета трехкратных быстро осциллирующих интегралов с близко расположенными стационарными точками фазы.

1. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: МГУ, 1965. 553 с.

2. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 543 с.

3. Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука. 1987. 408 с.

4. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука. 1987. 544 с.

5. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука. 1977. 384 с.

6. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука. 1976. 292 с.

7. Мищенко A.C., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. М.: Наука. 1978. 352 с.

8. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений: классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука. 1982. 304 с.

9. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир. 1984. Т.2. 285 с.

10. Ю.Арнольд В.И. Особенности гладких отображений. // УМН, 1968. Т. 23.1. Вып. 1. С. 3 -44.

11. П.Арнольд В.И. Нормальные формы для функций вблизи вырожденных критических точек, группа Вейля для А , D и Е и лагранжевы особенности. // Функц. анализ и его прилож., 1972. Т.6. Вып.4. С.3-25.

12. Арнольд В.И. Интегралы от быстроосциллирующих функций и особенности проектирования лагранжевых многообразий. // Функц. анализ и его прилож., 1972. Т. 6. Вып. 3. С. 61 62.

13. Арнольд В.И. Замечание о методе стационарной фазы и числах Кокстера. // УМН, 1973. Т. 28. № 5. С. 17 44.

14. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. / Пер. с англ. А. В. Чернавского. М.: Мир, 1980. 600 с.

15. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: ФАЗИС, 1996. 334 с.

16. Лукин Д.С., Палкин Е.А. Численный канонический метод в задачах дифракции и распространения электромагнитных волн в неоднородных средах. М.: МФТИ. 1982. 159 с.

17. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Равномерные асимптотики интегралов от быстроосциллирующих функций с вырожденными седловыми точками. Препринт / ИРЭ АН СССР. М.,1984. № 41(413). 75 с.

18. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Специальные функции волновых катастроф. Препринт / ИРЭ АН СССР. М., 1984. № 43 (415).75 с.

19. Крюковский A.C. Необходимые и достаточные условия образования основных волновых катастроф с корангом, равным двум. // Распространение и дифракция электромагнитных волн. Междувед. сб. / М.: МФТИ, 1993. С. 4-19.

20. Крюковский A.C., Растягаев Д.В. Исследование устойчивых фокусировок, возникающих при нарушении симметрии волнового фронта. // Дифракция и распространение электромагнитных волн. Междувед. сб./ М.: МФТИ, 1993. С.20-37.

21. Крюковский A.C., Растягаев Д.В. Классификация оптических аберраций в рамках теории волновых катастроф. // Электромагнитные волны и электронные системы. 1997. Т.2. № 1. С.24-30.

22. Duistermaat J.J. Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unfolding of singularities. // Communie, on Pure and Appl. Math., 1974, 27, (2), pp. 207 -281.

23. Крюковский A.C. Метод обыкновенных дифференциальных уравнений для расчета специальных функций волновых катастроф. // Дифракция и распространение электромагнитных и акустических волн. Междувед. сб. / М.: МФТИ, 1992. С.29-48.

24. Ипатов Е.Б., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Численные методы расчетаспециальных функций волновых катастроф. // ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25. № 2. С. 224 236.

25. Ипатов Е.Б., ПалкинЕ.А. Канонические асимптотические решения уравнения Гельмгольца в областях устойчивой фокусировки. // Труды МФТИ, серия "Общая и молекулярная физика". / МФТИ. М., 1979. Вып. 11. С. 26-30.

26. Крюковский A.C. Локальные равномерные асимптотики волновых полей в окрестности основных и краевых каспоидных каустик. // Радиотехника и электроника. 1996. Т.41. № 1. С.59-65.

27. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А., Растягаев Д.В. Теория катастроф в проблемах стационарной и нестационарной дифракции. // Труды X школы-семинара по дифракции и распространению волн. 0715.02.93. /М.: МФТИ. 1993. С. 36-111.

28. Крюковский A.C., Лукин Д.С. Построение равномерной геометрической теории дифракции методами краевых и угловых катастроф. (Обзор) // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43. № 9. С. 1-16.

29. Крюковский A.C., Лукин Д.С. Краевые и угловые катастрофы в равномерной геометрической теории дифракции. Учебное пособие. М.: МФТИ, 1999. 101 с.

30. Ипатов Е.Б., Крюковский A.C., Лукин Д.С., Растягаев Д.В. Исследование дифракции сходящейся скалярной волны на проводящем экране. // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39 . № 4. С.538-547.

31. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука. 1980. 304 с.

32. Анютин А.П. Об отражении AM и 4M сигналов от неоднородной плазмы. // Распространение радиоволн в ионосфере. М.: ИЗМИР АН СССР. 1978. С.29-36.

33. Анютин А.П. Асимптотическая теория распространения радиосигналов в неоднородной плазме. // Распространение радиоволн в ионосфере. М.:

34. ИЗМИР АН СССР. 1978. С.29-36.

35. Фельсен J1., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. / Пер. с англ. М.Л.Левина. М.: Мир. 1978.

36. Анютин А.П., Орлов Ю.И. Равномерная асимптотика поля прямоугольных радиоимпульсов в магнитоактивной плазме. // Изв. ВУЗов (Радиофизика). 1976. Т. 19. №3. С. 335 -341.

37. Анютин А.П., Орлов Ю.И. Об особенностях искажений радиосигналов в неоднородном линейном слое плазмы. // Изв. ВУЗов (Радиофизика). 1976. Т. 19. №4. С. 495-504.

38. Орлов Ю.И., Анютин А.П. О модификации лучевого метода в теории распространения радиосигналов в неоднородных диспергирующих средах. //Изв. ВУЗов (Радиофизика). 1974. Т.17. № 9. С.1369-1377.

39. Felsen L.B. Transients in Dispersive Media. Part 1, Theory. IEEE Trans, on AP, 1969, Vol. AP-17, № 2, p.191-200.

40. Felsen L.B. Solution near wavefront of transient field in inhomogeneous dispersive media. // ШЕЕ Trans, on Ant. and Prop. 1972. AP-20. № 2. P.219-221.

41. Кравцов Ю.А., Островский Л.А., Степанов H.C. Геометрическая оптика неоднородных и нестационарных диспергирующих сред. // ТИИЭР, 1974. Т. 62. №Ц. с. 91-112.

42. Анютин А.П., Орлов Ю.И. Пространственно-временная геометрическая теория дифракции частотно-модулированных радиосигналов в однородной диспергирующей среде. // Радиотехника и электроника. 1977. Т. 22, №10, С. 2082-2090.

43. Вайнштейн В.А. Аналитический сигнал в теории нестационарных колебаний и волн. // Сб. Математические вопросы теории распространения волн. М.: ИРЭ АН СССР, 1979. С. 6-47.

44. Lewis R.M. Asymptotic Theory of Transients. // Electromagnetic Wave Theory. Part 2. Ed. J.Brown. / New York: Pergamon Press, 1967. P. 845-869.

45. Орлов Ю.И., Федоров H.H. Об искажениях радиоимпульсов в однородных диспергирующих средах. Труды МЭИ, 1981, вып. 539, С. 26-31.

46. Анютин А.П. Асимптотическая теория распространения радиосигналов в неоднородной плазме. // Распространение радиоволн в ионосфере. / М.: ИЗМИР АН СССР, 1978. С. 19 28.

47. Анютин А.П. ВГТД видеосигналов в однородной среде. // XIII Всесоюзная конференция по распространению радиоволн, Горький, 1981 / М.: Наука,1981. Часть 2. С. 251 -254.

48. Анютин А.П. Равномерная модификация метода ВГТД в случае произвольной диспергирующей среды и каустик ВГО и ВГТД лучей. // Дифракция и распространение волн. Междувед. сб. / М.: МФТИ, 1985. С. 32 36.

49. Анютин А.П., Боровиков В.А. Равномерные асимптотики интегралов от быстроосциллирующих функций с особенностями внеэкспоненциального множителя. Препринт / ИРЭ АН СССР. М., 1984, № 42 (414). 54 с.

50. Анютин А.П., Кинбер Б.Е. Некоторые обобщения и приложения ВГТД. // Тез. докл. VIII Всесоюзн. симпоз. по дифракции и распространению волн. 1981 г., Львов. /М.:ИРЭ АН СССР, 1981. Т.З. С.276-279.

51. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука,1982. 620 с.

52. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. 2-е изд. М.: Наука, 1967. 684 с.

53. Гершман Б.Н., Ерухимов Л.М., Яшин Ю.Я. Волновые явления в ионосфере и космической плазме. М.: Наука. 1984. 392 с.

54. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотический методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука. 1972. 456 с.

55. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука. 1973. 344 с.

56. Вайнштейн Л.А. Распространение импульсов. УФН, 1976. Т. 118, №2, С. 339-367.

57. Лукин А.А., Черкашин Ю.Н. Лучевой и Фурье-методы исследования распространения импульсов в регулярных средах. // Сб. Распространение декаметровых радиоволн. М.: ИЗМИР АН, 1975, С. 126-164.

58. Андерсон Д. Дж, Аскне Ян И. X. Импульсы в сильнодиспергирующих средах. // ТИИЭР, 1974, Т. 62, № 11, С. 121-127.

59. Крюковский А.С., Растягаев Д.В., Вергизаев И.А. Трехмерные пространственно-временные фокусировки волновых полей типа катастроф. // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44. № 4. С. 455 462.

60. Stewart I. Applications of catastrophe theory to the physical sciences. // Physica

61. D. 1981. V.2. № 2. P. 245-305.

62. Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин E.A. Краевые и угловые катастрофы в задачах дифракции и распространения волн. Казань. КАИ. 1998. 199 с.

63. Вергизаев И.А., Крюковский А.С. Необходимые и достаточные условия образования основных волновых катастроф с корангами один и два в трехмерном пространстве. // Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. / М.: МФТИ, 1995. С. 39-46.

64. Крюковский А.С., Растягаев Д.В. О необходимых и достаточных условиях образования каспоидных катастроф. // Распространение и дифракция волн в неоднородных средах. Межвед.сб. /М.: МФТИ. 1989. С. 56-60.

65. Radiophyzika" 1998, pp. 169-171.

66. Крюковский A.C. Пространственно-временная трехмерная фокусировка электромагнитного излучения в диспергирующей среде. // Международная конференция. 50-я научная сессия, посвященная Дню Радио. Тезисы докладов. /М.: РНТО РЭС, 1995. Часть U.C. 7-8.

67. Платов Е.Б., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Численная реализация метода канонического оператора Маслова в задачах распространения коротких радиоволн в ионосфере Земли. // Изв. ВУЗов (Радиофизика). 1990. Т.ЗЗ. № 5. С.650-661.

68. Бабич В.М., Попов М.М. Метод суммирования гауссовых пучков. (Обзор) //Изв. вузов (Радиофизика). 1989. Т.39. № 2. С. 1447-1466.

69. Грикуров В.Э., ИпатовЕ.Б., Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Сопоставление эффективности двух методов расчета высокочастотных волновых полей. // Дифракция и распространение волн в неоднородных средах. Междувед.сборник / М.: МФТИ. 1987. С. 4 25.

70. Крюковский A.C., Палкин Е.А. К вопросу о точности метода суммирования гауссовых пучков. // Тез. докл. Научно-технического семинара "Распр. и дифракция электромагнитных волн в неоднородных средах". /М.: РНТО РЭС им. А.С.Попова, 1992, 34-38.

71. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Сопоставление интегральных асимптотических методов. // Труды X школы-семинара по дифракции и распространению волн. 7-15.02.1993. /М.: МФТИ. 1993. С.З- 35

72. Крюковский A.C., Растягаев Д.В. Асимптотическое разложение по большому параметру интегралов от быстроосциллирующих функций. // Вопросы дифракции и распространения волн. Сб. / М.: МФТИ, 1991. С.51-72.

73. Ziolkowski R.W. Exact solutions of the wave equation with complex source locations. //Jour. Math. Phys. 1985. V. 20, № 4, P. 861-863.

74. Wu T.T. Electromagnetic missiles. // Jour. Appl. Phys. 1985. V. 57, № 7. P. 2370-2373.

75. Качалов А.П., Попов M.M. Применение метода суммирования гауссовых пучков для расчета высокочастотных волновых полей. // ДАН СССР. 1981. Т. 258. №5. С. 1097-1100.

76. Грикуров В.Э., Ипатов Е.Б., Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Сопоставление эффективности двух методов расчета высокочастотных волновых полей. // Дифракция и распространение волн в неоднородных средах. Межведом, сб. /М.: МФТИ. 1987. С. 1-25.

77. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Численное сравнение двух асимптотических методов решения задач дифракции волн в плавно-неоднородных средах. // Изв. ВУЗов (Радиофизика). 1986. Т. 29. №1. С. 79-88.