Дифракция на импедансном клине в анизотропной плазме тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТЕРЕЩЕНКО ПАВЕЛ ЕВГЕНЬЕВИЧ

ДИФРАКЦИЯ НА ИМПЕДАНСНОМ КЛИНЕ В АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ

Специальность 01.04.03 - радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте радиофизики Санкт-Петербургского государственного университета.

Научные руководители: кандидат физико-математических наук

Авдеев Алексей Дмитриевич , кандидат физико-математических наук, профессор Новиков Валентин Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Куницын Вячеслав Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор Черкашин Юрий Николаевич

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Защита состоится в 7*5" часов на за-

седании диссертационного совета Д 212.232.44 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9, СПбГУ, аудитория ^

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени М. Горького СПбГУ.

Автореферат разослан года.

Ученый секретарь диссертационного совета „__Рыбачек С. Т.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию задачи дифракции плоской и цилиндрической электромагнитных волн на импедансном клине, помещенном в анизотропную плазму. Аналитическое решение строится отличным от ранее используемых методом, основанном на представлении функции Грина в виде ряда нормальных волн. Из функции Грина в виде ряда нормальных волн получены решения задач дифракции плоской и цилиндрической волн в интегральном виде. Для специальной функции, входящей в выражение для краевой волны и эталонного интеграла для двукратного интеграла Зоммерфельда, разработаны эффективные алгоритмы, удобные для расчетов. Выражения для полей приведены к наглядному виду, показывающему вклад отдельных частей (компонент) поля и удобному для численного анализа. По ним произведены расчеты, как составляющих, так и полного поля.

Актуальность темы.

Для моделирования работы радиолокационного оборудования часто необходимо знать точные значения полей в широком диапазоне частот и свойств поверхности уголкового отражателя, использующегося в качестве модельного элемента для реальных устройств в радиолокации. Поэтому проблема дифракции волн на клиновидных объектах, помещенных в изотропную или анизотропную среду, привлекла к себе внимание исследователей еще в 60-х годах и количество публикаций на эту тему не уменьшается к настоящему времени. К подобной задаче часто можно свести многие прикладные проблемы радиофизики, акустики и оптики, например распространив радиоволн над поверхностью со скачками диэлектрических свойств, отражение волн от сложных структур и т.д..

Первые строгие результаты для дифракции на полуплоскости были получены в конце XIX века А. Зоммерфельдом, который развил теорию построения решения задач дифракции в виде интеграла по контуру в комплексной плоскости, из которого легко получить асимптотики для кг 2> 1. Этот метод в середине прошлого века обобщил Г.Д. Малюжинец, сведя проблему дифракции на клиновидных областях к решению специальных функциональных уравнений. С начала 60-х годов в Сибирском физико-техническом институте М.С. Бобровниковым и другими проводились исследования двумерной дифракции электромагнитных волн в угловых областях. Их итогом являются решения задач дифракции плоской и цилиндрической волн на импедансном клине в анизотропной плазме. Однако авторы ограничились лишь нахождением ядра в интегралах Малюжинца-Зоммерфельда и исследовали реше-

ния только при отдельных сочетаниях параметров задач, при которых удавалось избавиться от специальной функции, входящей в подынтегральное выражение. Таким образом, несмотря на большое число работ посвященных задаче дифракции цилиндрической волны на импеданс-ном клине, полного точного аналитического и численного исследования проблемы не было произведено.

В 1997 году вышла статья А.Д. Авдеева о дифракции на клине в изотропной плазме, в которой был предложен новый метод построения решений функциональных уравнений, дополняющий схему построения решения Зоммерфельда-Малюжинца. Главным достоинством этого метода является то, что его общая схема применима к другим задачам дифракции на клиновидных структурах. Поэтому этот подход был использован в настоящей диссертации для задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме.

Цель настоящей работы. Решение задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме, приведение его к виду, удобному для анализа и расчетов при произвольных параметрах задачи, а так же анализ полученных результатов.

На защиту выносятся:

• Представление функции Грина задачи дифракции цилиндрической волны, возбуждаемой нитью магнитного тока, на импедансном клине в анизотропной плазме, анизотропия которой вызвана направленным вдоль ребра клина магнитным полем, в виде ряда нормальных волн.

• Интегральное представление решения задачи дифракции плоской волны на импедансном клине в анизотропной плазме, его анализ и построение равномерной асимптотики краевой волны.

• Расчеты значений полей и их качественный анализ, включая обнаруженный эффект возрастания начальной амплитуды компоненты #2 поверхностных волн с ростом внешнего магнитного поля.

• Интегральное представление решения задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме и физический смысл составляющих его членов.

• Схема построения равномерной асимптотики для задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме, включая метод расчета двойного интеграла Зоммер-

:4Р

фельда с полюсом вблизи седловой точки, основанный на использовании неполной функции Ханкеля.

• Алгоритмы для вычисления специальных функций, входящих в решение задачи дифракции как плоской, так и цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме.

Научная новизна:

1. Построено решение задачи цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме в виде ряда нормальных волн.

2. На основе данного ряда получены представления решения задачи дифракции плоской и цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме в виде, удобном для анализа и расчетов, рассмотрен физический смысл его членов.

3. Найдена равномерная асимптотика для краевой волны в задаче дифракции плоской волны на импедансном клине в анизотропной плазме, учитывающая влияние полюсов подынтегральной функции, приближающихся к контуру интегрирования.

4. Произведен анализ влияния внешнего магнитного поля на электромагнитное поле в задаче дифракции плоской волны на импедансном клине в анизотропной плазме при произвольной геометрии задачи, обнаружен эффект возрастания начальной амплитуды компоненты #г поверхностных волн с ростом внешнего магнитного поля.

5. Получено асимптотическое выражение для двойного интеграла Зоммерфельда с полюсом вблизи седловой точки.

6. Найдены оригинальные алгоритмы для вычисления специальных функций, входящих в решение.

Научная и практическая ценность. Решение задачи дифракции цилиндрической электромагнитной волны на импедансном клине, помещенном в анизотропную среду, можно использовать:

• для тестирования численных методик расчета реальных объектов,

• в геометрической теории дифракции,

• для моделирования реальных объектов - уголковых отражателей, границы суша-море и других подобных объектов со скачком проводимости.

Личный вклад автора. Автор принимал участие в постановке задачи, получил аналитическое решение и проанализировал полученные результаты.

Апробация работы и публикации.

Результаты исследований, представленных в работе, докладывались и обсуждались на конференциях: Математика в ВУЗе (Псков, 1997), Региональная ХХП1 конференция по распространению радиоволн (Санкт-Петербург, 1997), Региональная IV конференция по распространению радиоволн (Санкт-Петербург, 1998), Х-я межвузовская научно-технической конференция (Петродворец, 1999), Региональная V конференция по распространению радиоволн (Санкт-Петербург, 1998). Результаты работы отражены в восьми публикациях. Все изложенные в публикациях результаты получены автором самостоятельно или на равных правах с соавтором.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 100 наименований и двух приложений, содержит 144 страницы машинописного текста, включая 34 рисунка.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель , основные положения, выносимые на защиту, отмечена научная новизна и практическая ценность работы, кратко изложено содержание диссертации.

В главе 1 сформулирована математическая постановка задачи дифракции цилиндрической волны, возбужденной нитью магнитного тока направленного вдоль ребра клина, на импедансном клине в анизотропной плазме (Рис. 1), в виде уравнения Гельмгольца для компоненты поля Нг

ДЯг + к2Нг = Цтшеое/Еи (1)

где

{шр и)2 (шр ш)2 ,2

£1 = 1 - Т У 42 > £2 = ■ у / . £3 = 1- (о>р,ш)2

1 - {шс ш)2 ш/ыс - шс/и

Wp - плазменная частота, шс - циклотронная частота электронов, ш - частота падающего поля, с приближенными импедансными граничными условиями Леонтовича

cos в д д

- ¿-Я2 — sm&—Hz =F iksmcr±H2 — 0, ю = ±ф, (2)

г dip or

cosO = £\j\fi. sin0 = ie 2/Vs, sincr-i- =

Рис. 1: Геометрия задачи.

Далее с помощью метода Зоммерфельда-Малюжинца введены два класса решений однородного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющие граничным условиям (2):

• Нормальные волны, ограниченные на ребре

(г, <р) = !ехр(гкг соБо)[5(а + <р - тг) ещ>(1цт(а + <р- ф))-1+

—5(7г — а + ^з) ехр(г/лт(а - <р + ф))]<1а, (3)

цт=п(тп + 1)/2ф, т = 0,1,..., оо, где контур 7+ идет из точки —тг/2 + гоо в точку 37г/2 + гоо и расположен выше особенностей подынтегральной функции (Рис. 2).

• Нормальные волны, ограниченные на бесконечности

ит(.г>4>)- I ещ>(гкгсова)[3~г(а + (р)ехр({цт(а +¡р - ф))-

I (4)

-¿Г^-а + (р) ехр(щт(а -<р + Ф))]<1а,

где контур интегрирования 7_ (Рис. 2) соединяет точки -7г/2+гоо и 7г/2 — гоо, проходя по мнимой оси в полосе

11та| < тах(| 1т(а+ Т 6% 11т(<7_ ± 0)|),

в которой расположены нули подынтегральной функции.

Рис. 2: Контуры интегрирования.

В этих выражениях функции 5 и 5 являются комбинациями из восьми функций, удовлетворяющих уравнению

ХФ(г + 2ф) = соз(г/2)Хф{г - 2ф), (5)

называемых в дальнейшем функциями Бобровникова.

Затем показана полнота системы нормальных волн и доказан ряд их свойств, из которых вытекает возможность построения функции Грина в виде ряда нормальных волн. Найдены необходимые нормирующие

константы и получена функция Грина задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме в виде ряда по нормальным волнам

1 °°

'ТбтФ ^ е~™'1'"ип(г' (Пь уо)> г< г0, G{r,tp,r0,<p0) = (6)

-77—- J2 е~™"Пип (Г> (П>, Vo), Г > П),

^ 71=0

где уз), являются решениями задачи (1) в виде (3)- (4), а й*(г,<р) - решениями задачи (1) с граничными условиями (2), в которых в заменено на —б1, что эквивалентно изменению направления внешнего магнитного поля на противоположное.

В главе 2 анализируется специальная функция Бобровникова (5), входящая в решение задачи (б), и из множества возможных выделяются алгоритмы, удобные для расчета ее значений. Вблизи вещественной оси предлагается использовать интегральное представление функции Бобровникова

оо

о

а вдали - разложения в виде рядов Фурье

л<р\ I > -г8жр 2пр 24 \q р)

(8)

у^ (--1)"ехр(±тг) ± . (-l)mexp(±iqmz/p)

, ,, 2nsm(wpn/q) ¿-1 2msm(nqm/p) '

п=1 ,пф1д 4 ' m=l,TO5¿¡? '

где р и g взаимно простые натуральные числа, верхний и нижний знаки отвечают, соответственно, верхней и нижней полуплоскости. Приведены оценки верхнего предела в интеграле (7) и числа членов ряда (8), необходимые для проведения расчетов с заданной точностью.

Также получены выражения для производных функции Бобровникова, которые используются для выделения вычетов в полюсах этой функции.

Рис. 3: Зависимость логарифма начальной амплитуды поверхностной волны на ребре прямоугольного клина от 1т<г+ и 1т 0 при сг_ =г 0, <ро — тг/2, Iletr+ =0.

В главе 3 исследован предельный переход к задаче дифракции плоской волны на импедансном клине. Произведено суммирование ряда для функции Грина. Затем с целью приведения решения к виду, удобному для анализа и расчетов, сделано его преобразование. Выделены отдельные компоненты поля: геометрооптическая часть, поверхностные волны и краевая волна. Построена равномерная асимптотика выражения для краевой волны с учетом полюсов вблизи контура интегрирования. По полученным формулам произведены расчеты полей и показан вклад отдельных компонент в полное поле для различных параметров задачи. Выявлен экспоненциальный рост поверхностных волн с ростом внешнего магнитного поля (Рис. 3) и показано влияние параметров задачи на амплитуды поверхностных волн, коэффициенты отражения, краевую волну и полное поле. При этом отмечена компенсация разрывов в поверностных волнах краевой волной (Рис. 4). Отмечается влияние краевой волны на полное поле (Рис. 5), и, соответственно, необходимость ее учета в теневой и полутеневой областях.

Йе<7+

Рис. 4: Амплитуды поверхностной волны а+ -1, краевой волны Uc - 2 , и их суммы - 3 в зависимости от Recr+ при ô = 0, Im= —0.4, = 0, ¿> = 3/4 7Г, = = Ф-, кг = 5.

Рис. 5' Сравнение результатов вычисления амплитуды полного поля |С7| (2) и поля без краевой волны (1) в зависимости от угла наблюдения <р <ро = тг/2, 0 = 0, сг+ = —0.4г, <т_ = 0.0, ф = 3/4 тг, кг = 10.

В главе 4 вначале произведено суммирование ряда для функции Грина задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме при источнике, находящемся на ребре клина. Далее произведено суммирование ряда для функции Грина задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме в случае произвольно расположенного источника. В результате получено интегральное представление функции Грина. После этого решение приведено к удобному для анализа виду. С этой целью деформированы контуры интегрирования в перевальные в три этапа: сначала в двукратном интеграле Зоммерфельда деформировался контур интегрирования внутреннего интеграла, затем внешнего, после чего в выделившихся однократных интегралах Зоммерфельда деформировались контуры интегрирования. В результате преобразования выражений, содержащих выделившиеся в процессе деформации вычеты, получившееся решение приобрело вид с простым физическим смыслом каждого члена. Произведено сравнение итоговых результатов с ранее известными частными решениями: дифракции цилиндрической волны с источником на ребре клина, дифракции цилиндрической волны в изотропном случае. При этом отмечены неточности в ранее опубликованных работах других авторов.

Глава 5 посвящена построению равномерной асимптотики для волнового поля при дифракции цилиндрической волны на импедансном клине. Эта задача сводится к нахождению асимптотик однократных интегралов Зоммерфельда и асимптотики краевой волны, задаваемой двукратным интегралом Зоммерфельда. Показано, что эталонный интеграл для краевой волны выражается через неполную функцию Хан-келя

При этом отмечена неточность во втором члене асимптотики двукратного интеграла Зоммерфельда в ранее опубликованной работе А.Д. Авдеева.

Ддя вычисления неполной функции Ханкеля найдено асимптотическое представление

оо

УГ^а Г 3 2(1 + сг)А Х +4(1+£Г)

/0(А,сг) = 1 /ехр(-гА(1 - <т))(1 - Ф(ехр(-гтг/4) ~ <т))].

и приведены алгоритмы для ее вычисления с необходимой точностью при произвольных значениях параметров.

В приложении А рассмотрены полюсы специальной функции (5), пересекаемые при деформации контура интегрирования в перевальный контур.

В Приложении Б произведено сравнение результатов, полученных в диссертации, с точным решением задачи дифракции плоской волны на двух соприкасающихся прямоугольных диэлектрических клиньях. Сделан предварительный вывод о границах применимости импедансной постановки задачи в этом случае.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, которые в кратком виде можно сформулировать следующим образом:

1. Построено решение задачи дифракции цилиндрической электромагнитной волны на импедансном клине в анизотропной плазме в виде, удобном как для физического анализа, так и для проведения численных расчетов. Для контурных интегралов, входящих в решение, в том числе и для двукратных интегралов Зоммерфельда, описывающих краевую волну, получены асимптотические представления, справедливые для любых значений импедансов граней и большего или равного ж угла раскрыва клина.

2. Приведены эффективные алгоритмы вычисления функции Бобров-никова и неполной функции Ханкеля, входящих в решение, без ограничений на их аргументы.

3. Исследована предельная задача о дифракции плоской электромагнитной волны. Представлены аналитические выражения, описывающие корректную равномерную асимптотику краевой волны. Выполнены численные расчеты, показывающие поведение и величину отдельных составляющих поля. В частности, обнаружен рост амплитуды поверхностных волн с увеличением внешнего магнитного поля.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Авдеев А. Д., Терещенко П.Е. О вычислении специальной функции задачи дифракции на клине в анизотропной плазме // Математика в ВУЗе. Труды международной научно-методической конференции. Псков. 1997. С. 209.

2. Авдеев А. Д., Терещенко П.Е. Дифракция плоской волны на им-педансном клино в анизотропной плазме // Региональная ХХШ конференция по распространению радиоволн. СПб. 1997. С. 5.

3. Avdeev A. D., Tereshchenko Р.Е. Plane wave diffraction by impedance wedge in anisotropic plasma // International Symposium on Electromagnetic Theory. Proceedings. Greece. 1998. Vol. 1. P. 399-401.

4. Авдеев А. Д., Терещенко П.Е. Об асимптотике краевой волны в задаче дифракции цилиндрической волны на клине / / Региональная IV конференция по распространению радиоволн. СПб. 1998. С. 8.

5. Авдеев А. Д., Терещенко П.Е. О вычислении полутеневых полей в задаче дифракции цилиндрической волны на клине // Тезисы Х-й межвузовской научно-технической конференции. Часть 1. "Военная радиоэлектроника: опыт использования и проблемы подготовки специалистов. "Военно-морской институт радиоэлектроники. Петродворец, 1999. с. 217-219.

6. Авдеев А. Д., Терещенко П.Е. Распространение волн вдоль граней клина. Региональная V конференция по распространению радиоволн. СПб. 1999. С. 7.

7. Авдеев А. Д. , Терещенко П.Е. Дифракция плоской волны на клине в анизотропной плазме // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 4. Физика, химия. 2001. Вып. 2 (№12). С. 2131.

8. Терещенко П. Е. Метод нормальных волн в решении задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме. Апатиты; изд. Кольского научного центра РАН. 2004. 93 с.

ЗАО «Издательско-редакционное предприятие «ЭХО» Санкт-Петербург, ул. Восстания, 19, тел.: 279-43-60 Объем 1 усл. п. л. Отпечатано 10.11.2005 г. Тираж 100 экз. Заказ 356.

1 9 9 7(1

РЫБ Русский фонд

2006-4 22768

Введение

Тема исследования и общая характеристика работы.

Обзор литературы.

Публикация материалов диссертации и ее краткое содержание

Положения, выносимые на защиту.

1 Представление функции Грина задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине, помещенном в анизотропную плазму, в виде ряда по нормальным волнам

1.1 Уравнение Гельмгольца с граничными условиями импедансного типа

1.2 Определение нормальных волн.

1.3 Функция Грина задачи дифракции на импедансном клине в виде ряда нормальных волн.

2 Анализ и представление функции Бобровникова, входящей в решение задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине

3 Дифракция плоской электромагнитной волны на импедансном клине в анизотропной среде

3.1 Суммирование ряда нормальных волн.

3.2 Предельный переход к изотропной задаче.

3.3 Преобразование решения к виду, удобному для анализа 44 3.3.1 Деформация контура интегрирования.

3.3.2 Выделение полюсов тригонометрических множителей

3.3.3 Выделение полюсов специальных функций

3.3.4 Преобразование решения методом эталонного интеграла

3.4 Полное выражение для решения задачи дифракции плоской волны и физический смысл его членов

3.5 Равномерная асимптотическая формула для краевой волны в дальней зоне с учетом полюсов вблизи контура интегрирования.

3.6 Предельный переход к задаче дифракции плоской волны на идеально проводящей полуплоскости в изотропной среде.

3.7 Анализ решения на основе численного моделирования

3.7.1 Границы применимости асимптотического приближения и роль краевой волны.

3.7.2 Экспоненциальный рост амплитуды поверхностных волн в анизотропных средах.

3.7.3 Вклад отдельных компонент в полное поле

4 Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на ^ импедансном клине в анизотропной среде

4.1 Источник на ребре клина.

4.2 Суммирование ряда нормальных волн.

4.3 Преобразование решения к виду, удобному для анализа 86 4.3.1 Первый этап преобразования.

4.3.2 Второй этап преобразования.

4.3.3 Третий этап преобразования.

4.4 Физический смысл членов решения задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине.

4.5 Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на импедансном клине в изотропной плазме.

5 Схема построения равномерной асимптотики для задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме

5.1 Асимптотическое выражение для пространственной части поля.

5.2 Выделение полюсов, находящихся вблизи контура интегрирования в выражении, описывающем краевую волну

5.3 Неполная функция Ханкеля

5.3.1 Разложение модифицированной неполной функции Ханкеля при больших Л.

5.3.2 Представление модифицированной неполной функции Ханкеля при малых Л

5.3.3 Численное интегрирование модифицированной неполной функции Ханкеля

5.3.4 Алгоритм вычисления модифицированной неполной функции Ханкеля.

Тема исследования и общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию задачи дифракции плоской и цилиндрической электромагнитных волн на импедансном клине, помещенном в анизотропную среду. К подобной задаче часто можно свести многие прикладные проблемы радиофизики, акустики и оптики, например распространие радиоволн над поверхностью со скачками диэлектрических свойств, отражение волн от от сложных структур и т.д. В работе построено аналитическое решение и проведены расчеты полей, а так же оценены границы применимости различных приближений.

Аналитическое решение строится отличным от ранее используемых методом , основанном на представлении функции Грина в виде ряда нормальных волн [1]. Под нормальными волнами подразумеваются решения однородного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющие импедансным граничным условиям на гранях клина. При этом использованы нормальные волны двух типов: ограниченные на ребре и удовлетворяющие условию излучения. Из функции Грина в виде ряда нормальных волн получены интегральные решения задач дифракции плоской и цилиндрической волн. Для специальной функции, входящей в выражение для краевой волны и эталонного интеграла для двукратного интеграла Зоммерфельда, разработаны эффективные алгоритмы, удобные для расчетов. Выражения для полей приведены к наглядному виду, показывающему вклад отдельных частей (компонент) поля, и удобному для численного анализа. По ним произведены расчеты как составляющих так и полного поля. Эти результаты также использовались для сравнения импедансной постановки задачи дифракции плоской волны на плоскости со скачком импеданса и строгого решения задачи дифракции плоской волны на двух соприкасающихся прямоугольных диэлектрических клиньях [27].

Диссертация содержит необходимые формулы и методики для расчета всех компонент поля, включая геометрооптическую часть, поверхностные волны и краевую волну, для произвольных угла раствора клина, расположения источника и точки наблюдения. Полученные результаты могут быть обобщены на широкий класс задач, включая систему соприкасающихся клиньев.

Обзор литературы

Для моделирования работы радиолокационного оборудования часто необходимо знать точные значения полей в широком диапазоне частот и свойств поверхности уголкового отражателя, использующегося в качестве модельного элемента для реальных устройств в радиолокации [2, 3]. Поэтому проблема дифракции волн на клиновидных объектах, помещенных в изотропную или анизотропную среду, привлекла к себе внимание исследователей еще в 60-х годах и количество публикаций на эту тему не уменьшается к настоящему времени [4, 5].

Существует много подходов к математической формулировке проблемы. Из них наиболее полно изучены задачи дифракции полей простейшего вида - плоские, цилиндрические и сферические волны - на простых структурах (плоскость, полуплоскость, клинья с определенными растворам) в тех случаях, когда возможно провести разделение переменных в уравнениях Максвелла и свести задачу к скалярному уравнению Гельмгольца.

Одной из первых работ по построению решения, пусть и приближенного, дифракции на идеально проводящей полуплоскости или призме была работа Пуанкаре [б], в которой использовалось представление поля в виде рядов цилиндрических функций. В дальнейшем Макдо-нальд в работах [7, 8] обобщил метод Пуанкаре и получил строгие решения задач дифракции плоских, цилиндрических и сферических волн на клине с граничными условиями Дирихле и Неймана.

Спустя два года после публикации работы Пуанкаре первые строгие результаты для дифракции на полуплоскости были получены Зом-мерфельдом [28], который развил теорию построения решения задач дифракции в виде интеграла по контуру в комплексной плоскости, из которого легко получить асимптотики для kr 1 [29].

Для клина с идеально проводящими гранями в [9, 10] был использован метод мнимых источников, с помощью которого, в случае если угол раствора клина можно представить в виде рационально дроби т/п, решение можно представить в виде суммы полей истинного источника и 2п — 1 мнимых. При использовании этого метода в решении отсутствуют краевые волны. Благодаря своей простоте, этот метод, с уточненным законом отражения, учитывающем граничные условия, используется и сейчас. Например, в [3, 11] получены выражения для полного поля электромагнитной волны в раскрывах двугранной структуры с взаимно перпендикулярными бесконечно протяженными проводящими гранями, включая трехмерный случай [11]. Также для задачи дифракции на клине, как показали Вайнштейн и Уфимцев [12], можно применять лучевой метод.

В предельном случае, когда клин переходит в полуплоскость, возможно использование преобразования Фурье и теории аналитических функций. Преобразование Фурье применяется к уравнению Гельмголь-ца [13], а граничные условия накладываются на плоские волны, из которых состоит решение. В конечном итоге получаются функциональные уравнения для функций в комплексной плоскости, решаемые по методу Винера-Хопфа-Фока или методом факторизации [14, 15]. Первым исследованием, связанным с применением метода Винера-Хопфа-Фока, была работа [16], в которой исследовалось нормальное падение плоской волны на металлическую полуплоскость. В дальнейшем в работе [17] эти результаты были обобщены на случай произвольного угла падения. В последующие годы этот метод был распространен на случай дифракции электромагнитных волн, излучаемых расположенными параллельно ребру полуплоскости нитями тока и диполями, на идеально проводящей полуплоскости [18], анизотропной импедансной полуплоскости [19, 20], клине с одинаковыми импедансами на гранях, помещенном в анизотропную плазму [21]. Из последних работ следует отметить [22], в которой строится решение задачи дифракции плоской волны на импедансном клине, при этом выделяются отдельные части полного поля: отраженные волны, поверхностные и краевая волна. Однако методом Винера-Хопфа-Фока можно получить решения только для задач с прямоугольной геометрией (плоскость, полуплоскость, прямоугольный клин).

Другим направлением, отличным от представления решения в виде рядов, являются построение решения уравнения Гельмгольца с помощью интегральных преобразований Конторовича-Лебедева [23, 24]. С их использованием построено решение задачи дифракции цилиндрической волны в интегральном виде на идеально проводящей полуплоскости [23], а также на идеально поглощающем [25], идеально проводящем [26], диэлектрическом [27] клине и клине с граничными условиями высокого порядка [27]. Эти решения, как показано в [23], могут быть преобразованы в ряд по функциям Бесселя и сведены к результатам, полученным вышеуказанными методами. Альтернативным типом интегрального преобразования является преобразование Зоммерфельда-Малюжинца [29, 30]. При этом, как показано в [23], нетрудно перейти от интегралов Зоммерфельда к рядам и интегралам Конторовича-Лебедева [26]. А в [41] доказано, что формулы из обобщенной геометрической теории дифракции переходят в соответствующие решения, полученные методом Зоммерфельда-Малюжинца.

Хотя существует еще множество способов решения задачи дифракции на клиновидной структуре, включая довольно нетрадиционные, например с использованием волновой теории катастроф [78], рассмотрим подробнее метод Малюжинца, как наиболее близкий к теме настоящее диссертации.

В своих работах Малюжинец обобщил метод Зоммерфельда для описания волнового поля в угловых областях с заданными им-педансами на гранях, произведя исследование свойств интеграла Зоммерфельда-Малюжинца [30, 32, 33, 34]. В результате он доказал ряд теорем, предложив систематический подход для нахождения неизвестной подынтегральной функции, основанный на свойстве регулярности этой функции в определенных областях и ее четности. Таким образом Малюжинец свел проблему дифракции на клиновидных областях к решению специальных функциональных уравнений.

На основе работ Малюжинца исследователями был построен ряд решений задач дифракции на импедансных клиновидных структурах, в частности в работе [35] приведено решение для импедансной полуплоскости, а в [4] исследован случай падения плоской волны на диэлектрический клин с граничными условиями из [36], аналогич-^ ные результаты получены в [37]. Для случая падения плоской волны на импедансный клин в [38] на основе метода Малюжинца получены асимптотики, не являющиеся равномерными. В [39] методом Зоммерфельда-Малюжинца строится решение задачи дифракции на анизотропном импедансном клине с прилегающей к нему идеально проводящей плоскостью.

По формулам Малюжинца производились численные расчеты полей. В [40] проанализировано поведение дифракционной части поля в ^ зависимости от комплексных значений импеданса клина и угла падения волны при больших расстояниях от клина, допускающих использование асимптотик, подсчитан поперечник обратного рассеяния в зависимости от значений комплексного импеданса граней при различных углах падения плоской волны. Однако при этом импеданс считался одинаковым для обеих граней, а при вычислении функции Малюжинца, входящей в решение, автор не привел погрешности алгоритмов.

С начала 60-х годов в Сибирском физико-техническом институте проводились исследования двумерной дифракции электромагнитных волн в угловых областях [42, 43, 44, 45]. Их итогом является монография [46], в которой приведены решения задач дифракции плоской и цилиндрической волн на импедансном клине в анизотропной плазме. Однако авторы ограничились нахождением ядра в интегралах Малюжинца-Зоммерфельда [42, 46] и исследовали решения только при отдельных сочетаниях параметров задач, при которых удавалось избавиться от специальной функции, входящей в подынтегральное выражение, которую в дальнейшем будем именовать, по аналогии с функцией Малюжинца [34], функцией Бобровникова. Таким способом было построено решение для источника на ребре идеально проводящей полуплоскости в анизотропной плазме [43], решение о возбуждении в анизотропной плазме плоскости со скачком импеданса линейным источником, расположенным в области скачка, как частный случае источника на ребре клина [44], решение задачи дифракции плоских волн на клине с одинаковыми импедансами на обеих гранях и углом раствора 2ф = 7г/(1+2п), где п - целое число [45] Кроме того, схема решения функциональных уравнений, использованная Бобровниковым, Фисано-вым и другими, является полуэмпирической.

На основе решения Бобровникова рядом авторов были рассмотрены такие задачи, как дифракция плоской волны на полуплоскости с одинаковыми импедансами на обеих сторонах, помещенной в анизотропную плазму, включая попытку построения равномерной асимптотики [47], на прямоугольном клине с одинаковыми импедансами на обеих гранях, помещенном в анизотропную плазму [48], поле щелевого излучателя на ребре импедансного клина с углом раствора 2ф = 37г/2 в анизотропной плазме [49], дифракция плоской волны на плоскости со ступенькой импеданса в анизотропной плазме, с численным исследованием полученных результатов [50],

В 1997 году вышла статья Авдеева [1] о дифракции на клине в изотропной плазме, в которой был предложен новый метод построения решений функциональных уравнений, дополняющий схему построения решения Зоммерфельда-Малюжинца. Главным достоинством этого метода является то, что его общая схема применима к другим задачам дифракции на клиновидных структурах, что было сделано в настоящей диссертации для задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме.

Таким образом, в настоящее время, наиболее простой и лучше всего изученный способ решения дифракционных задач на клиновидных структурах в случае возможности сведения уравнений Максвелла к скалярному уравнению Гельмгольца, сводится к четырем шагам:

• Выбору граничных условий.

• Построению решения по методу Зоммерфельда-Малюжинца-Авдеева в виде двукратного интеграла Зоммерфельда-Малюжинца.

• Вычислению специальной функции типа функции Малюжинца.

• Вычислению однократных и двукратных интегралов Малюжинца-Зоммерфельда с полюсом вблизи седловой точки.

Существует несколько подходов к выбору граничных условий, но наиболее простым из них является использование приближенных им-педансных граничных условий Леонтовича [31]. Введение приближенных импедансных граничных условий Леонтовича вместо точных граничных условий позволяет оперировать только величинами, характеризующими поле во внешней среде [31].

Построение решений дифракционных задач с использованием им-педансной постановки позволяет рассмотривать произвольную геометрию для широкого класса задач, избежав ряда проблем, возникающих при строгом решении задачи дифракции цилиндрической волны в структурах с клиновидными границами раздела сред методом Конторовича-Лебедева [27], а именно, необходимости применять цилиндрические функции с комплексными значениями аргумента и значка и вычисления производных функций Бесселя. При этом исходные уравнения мало меняются и можно использовать один метод решения для многих задач. Эти достоинства способствовали тому, что и в современных работах по дифракции на клиновидной области широко используется импедансная постановка.

V; Главным недостатком импедансной постановки задачи дифракции на клине является некорректность использования импедансного подхода вблизи ребра клина. Однако, как показано в работе [69], существуют лишь небольшие различия для поля на малых расстояниях от ребра клина {кг < 1), вычисленного в импедансной постановке, по сравнении с соответствующими результатами в точной постановке для полуплоскости с диэлектрическим покрытием [70] за исключением малой области вокруг ребра. В [71] рассматривается излучение щелевой антенны под покрытием, т.е. дифракция на импедансной плоскости поля линейного источника, расположенного на плоскости. Решение строится в импедансной постановке с помощью интегрального уравнения Поклингтона с точным сингулярным ядром, отмечается хорошее совпадение теории с эксперементом.

Построение решения по методу Зоммерфельда-Малюжинца в виде двукратного интеграла Зоммерфельда-Малюжинца для изотропной среды проведено в работах [1, 46], а для анизотропной - в [46, 51]. В этих публикациях приведены решения задачи дифракции плоской [1, 46, 51] и цилиндрической [1, 46] волн в виде интегралов Зоммерфельда-Малюжинца, а также представление для функции Грина в виде ряда нормальных волн [1, 51]. Альтернативный подход с использованием интегралов Конторовича-Лебедева рассмотрен в [26].

В связи с тем, что формальное решение задачи дифракции в виде интеграла Зоммерфельда-Малюжинца известно довольно давно, внимание большого числа исследователей было привлечено к исследованию функций Бобровникова и Малюжинца. До настоящего времени выходят работы, в которых для построения решений задач дифракции на угловых областях, используются различные аппроксимации этих функций. Одной из первых была работа [52], в которой авторы предложили искать значение функции Малюжинца, используя ее интегральное представление [34], в котором подынтегральная функция разлагалась в ряд. Несмотря на громоздкость данного алгоритма, авторы привели таблицы для функции Малюжинца с абсолютной ошибкой, оцениваемой авторами как 1 х Ю-5, для диапазона углов клина 0.01 < ф < 7г. Однако в этой работе не рассмотрены вопросы оценки ошибок и выбора необходимого числа членов для достижения требуемой точности, а оценка погрешности приведена только на основании численной сходимости алгоритма, что не всегда верно. В [53] произведен обзор различных аппроксимаций функции Малюжинца для малых и больших значений аргумента. Среди них авторы выделяют собственную аппроксимацию, верную для диапазона углов раствора клина 7г/2 < ф < 7г, которая основана на усечении области интегрирования и применении 5-ти точечной формулы прямоугольников. Она дает для значений аргумента 0 < 1т л < 11 точность не хуже 0.5%, что может быть недостаточно для системы соприкасающихся клиньев или анизотропной среды, при наличии которой в решение входит комбинация из шестнадцати функций Малюжинца. Более удачной следует признать аппроксимацию из [54], также основанную на интегральном представлении функции Малюжинца. В этой работе автор произвел замену подынтегральной функции на близкую, чтобы интеграл считался аналитически, и определил погрешность такой аппроксимации. В результате он получил возможность вычисления функции Малюжинца для углов раствора клина 0.14 < ф < -к и значении мнимой части аргумента от 0 до 15 с погрешностью меньшей 5 х Ю-3. Другой способ вычисления функции Малюжинца на всей комплексной плоскости рассмотрен в работе [55]. При больших значениях аргумента функции Малюжинца она представляется в виде ряда экспонент, сходимость которого возрастает с ростом аргумента, а вблизи вещественной оси - раскладывается в ряд Тейлора или квадратурную формулу Лагерра, при этом достигается погрешность расчета до Зх 10~9. Позднее данный метод был развит в [56]. Следует особо выделить работу Авдеева [57], в которой представлены наиболее удобные разложения для функции Бобровникова, сходные с представлениями из [55] для функции Малюжинца, в дальнейшем использованными в настоящей диссертации.

Вычисление двукратного интеграла Зоммерфельда-Малюжинца сводится к деформации контура интегрирования в перевальный, выделению вычетов полюсах, пересекаемых при этой деформации, построению асимптотик для дальней зоны и численному интегрированию получившихся одно и двухкратных интегралов в ближней зоне.

Для однократного интеграла Зоммерфельда с полюсом вблизи сед-ловой точки существует несколько работ, как по численному интегрированию, так и по построению асимптотик. Построение асимптотик сводится, в основном, к двум способам. Первый из них был предложен в [58] и развит в [59]. При этом способе построения асимптотики однократного интеграла Зоммерфельда подынтегральная особенность выводится из под интеграла путем преобразования интеграла в сумму интеграла от регулярной функции и интеграла вероятности. Далее строится асимптотика интеграла от регулярной функции стандартными методами стационарной фазы или перевала. Другой способ базируется на работе Паули [60] и был позднее развит в работе [61]. В этом случае производится преобразование подынтегральной функции, разложение ее в ряд Тейлора вблизи седловой точки и затем выделяются особенности в виде интеграла вероятности. Первым способом были построены асимптотики в работе [62], вторым - в [65]. Для вычисления однократных интегралов Зоммерфельда существует несколько аппроксимаций, позволяющих свести эти интегралы к интегралам по конечному промежутку, ряд таких наиболее удачных аппроксимаций, с оценками погрешности, изложены в обзоре [66].

Способы асимптотического вычисления двукратных интегралов Зоммерфельда известны достаточно давно. Наиболее универсальный предложен Каратыгиным и Розановым в работах [18, 67, 68] и связан с использование теоремы Остроградского-Гаусса для сведения двойных интегралов к однократным, но подобные способы не применимы к двойным интегралам с полюсом подынтегральной функции вблизи седловой точки. Построение неравномерной асимптотики для двукратных интегралов Зоммерфельда с полюсом вблизи седловой точки не представляет большого труда. Обобщение метода стационарной фазы на этот случай можно найти в работе [63], однако наиболее привлекательным для численного моделирования является механизм построения равномерных асимптотик двукратных интегралов Зоммерфельда из работы Авдеева [77], на основе которого в данной диссертации предложена методика асимптотического вычисления двукратного интеграла Зоммерфельда.

Подводя итог, сформулируем выводы, которые следуют из обзора литературы:

• Задача дифракции цилиндрической волны на импедансном клине не потеряла своей актуальности.

• Полного точного аналитического и численного исследования проблемы не было произведено. В частности не было построено равномерной асимптотики для краевой волны, не были учтены все полюса вблизи контура интегрирования, не было исследовано влияние магнитного поля, не было приведено алгоритма для вычисления функции Бобровникова с любой степенью точности на всей комплексной плоскости, а также не рассмотрен ряд других важных особенностей, существенных для иследования задачи.

Публикация материалов диссертации и ее краткое содержание

Большинство результатов, представленных в диссертации являются новыми и оригинальными. Они опубликованы в статье [51], монографии [80], тезисах и трудах конференций и симпозиумов [79, 81, 82, 83, 84, 85], доложены на конференциях [79, 81, 83, 84, 85].

Содержательная часть работы состоит из шести глав, каждая из которых содержит несколько пунктов и подпунктов, представляющих собой отдельные аспекты общей задачи.

В главе 1 сформулировано математическое описание задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме в виде уравнения Гельмгольца с приближенными импеданс-ными граничными условиями Леонтовича, даны определения нормальных волн, ограниченных на ребре и на бесконечности, и методы их нахождения с помощью интегралов Зоммерфельда-Малюжинца. Получены выражения для нормальных волн, показана их ограниченность на ребре и на бесконечности. Затем показана полнота их системы и доказан ряд свойств системы нормальных волн, из которых вытекает возможность построения функции Грина в виде ряда нормальных волн. Далее, основываясь на свойствах этих волн, найдены необходимые нормирующие константы и получена функция Грина задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме в виде ряда по нормальным волнам.

В главе 2 анализируется специальная функция Бобровникова, входящая в решение, и из множества возможных выделяются алгоритмы, удобные для расчета ее значений. Вблизи вещественной оси предлагается использовать интегральное представление функции Бобровникова, а вдали - разложения в виде рядов Фурье. Также получены выражения для ее производных, необходимые для выделения вычетов в полюсах этой функции.

В главе 3 исследован предельный переход к задаче дифракции плоской волны на импедансном клине. Произведено суммирование ряда для функции Грина. Для сравнения полученного результата с ранее известными произведен предельный переход к изотропной задаче. Затем с целью приведения к виду, удобному для анализа и расчетов, произведено преобразование решения задачи дифракции плоской волны. Выделены отдельные компоненты поля: геометрооптическая часть, поверхностные волны и краевая волна. Построена равномерная асимптотика выражения для краевой волны с учетом полюсов вблизи контура интегрирования. По полученным формулам произведены расчеты полей и показан вклад отдельных компонент в полное поле для различных параметров задачи. Выявлен экспоненциальный рост поверхностных волн с ростом внешнего магнитного поля и показано влияние параметров задачи на амплитуды поверхностных волн, коэффициенты отражения, краевую волну и полное поле. При этом отмечено влияние краевой волны на полное поле, и соответственно необходимость ее учета в теневой и полутеневой областях.

В главе 4 вначале произведено суммирование ряда для функции Грина задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме при источнике на ребре клина. Выполнен предельный переход к изотропной задаче. Далее произведено суммирование ряда для функции Грина задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме в случае произвольно расположенного источника. В результате получено интегральное представление функции Грина. После этого решение приведено к удобному для анализа виду. С этой целью деформированы контуры интегрирования в перевальные в три этапа: сначала в двукратном интеграле Зоммерфельда деформировался контур интегрирования внутреннего интеграла, затем внешнего, после чего деформировались контуры интегрирования в однократных интегралах Зоммерфельда. После преобразования выражений, содержащих выделившиеся в процессе деформации вычеты, получившееся решение приобрело вид с простым физическим смыслом каждого члена. Произведено сравнение итоговых результатов с ранее известными частными решениями: дифракции цилиндрической волны с источником на ребре клина, дифракции цилиндрической волны в изотропном случае. При этом отмечены неточности в работах [1] и [27].

Глава 5 посвящена построению равномерной асимптотики для волнового поля при дифракции цилиндрической волны на импедансном клине. Эта задача сводится к нахождению асимптотик для однократных интегралов Зоммерфельда и асимптотики краевой волны, задаваемой двукратным интегралом Зоммерфельда. Показано, что эталонный интеграл для краевой волны выражается через неполную функцию Ханкеля [77]. При этом отмечена неточность во втором члене асимптотики двукратного интеграла Зоммерфельда в работе [77]. Показана важность вычисления неполной функции Ханкеля, дано ее асимптотическое представление и приведены алгоритмы для ее вычисления с необходимой точностью при произвольных значениях параметров. Проведены исследования, необходимые для построения равномерной асимптотики краевой волны, выделены особенности, которые необходимо учитывать при построении равномерной асимптотики по методу, изложенному в пункте 3.5.

В приложении А рассмотрены полюсы специальной функции пересекаемые при деформации контура интегрирования в перевальный.

Сравнение результатов с точным решением задачи дифракции плоской волны на двух соприкасающихся прямоугольных диэлектрических клиньях [27] и предварительные выводы о границах применимости в этом случае импедансной постановки задачи приведены в Приложении Б.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты.

• Представление функции Грина задачи дифракции цилиндрической волны, возбуждаемой нитью магнитного тока, на импедансном клине в анизотропной плазме, анизотропия которой вызвана направленным вдоль ребра клина магнитным полем, в виде ряда нормальных волн.

• Интегральное представление решения задачи дифракции плоской волны на импедансном клине в анизотропной плазме, его анализ и построение равномерной асимптотики краевой волны.

• Расчеты значений полей и их качественный анализ, включая обнаруженный эффект возрастания начальной амплитуды компоненты Нг поверхностных волн с ростом внешнего магнитного поля.

• Интегральное представление решения задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме и физический смысл составляющих его членов.

• Схема построения равномерной асимптотики для задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме, включая метод расчета двойного интеграла Зоммерфельда с полюсом вблизи седловой точки, основанный на использовании неполной функции Ханкеля.

• Алгоритмы для вычисления специальных функций, входящих в решение задачи дифракции как плоской, так и цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме.

Заключение

В диссертации сформулирован новый подход к определению функции Грина задачи дифракции цилиндрической волны, возбужденной направленной вдоль ребра клина нитью магнитного тока, на импеданс-ном клине в анизотропной плазме, основанный на методе нормальных волн. Он является продолжением метода Зоммерфельда-Малюжинца, дополняя его единой схемой решения разностных уравнений, к которым сводится построение функции Грина.

В результате проделанной работы в диссертации удалось построить решение задачи дифракции цилиндрической электромагнитной волны на импедансном клине в анизотропной плазме в виде удобном как для физического анализа, так и для проведения численных расчетов. Для контурных интегралов, входящих в решение, в том числе и для двукратных интегралов Зоммерфельда, описывающих краевую волну, даны асимптотические представления, справедливые для любых значений импедансов граней и большего или равного 7г угла раскрыва клина.

Наиболее полно исследована предельная задача о дифракции плоской электромагнитной волны. Представлены аналитические выражения, описывающие корректную равномерную асимптотику краевой волны.

Приведены эффективные алгоритмы вычисления специальной функциии Бобровникова, входящей в решение, без ограничений на ее аргументы.

Выполнены численные расчеты, показывающие поведение и величину отдельных составляющих поля. В частности, обнаружен рост амплитуды поверхностных волн с увеличением внешнего магнитного поля.

Далее методика, использованная при анализе интегральных представлений поля в задаче дифракции плоской волны, обобщена для случая дифракции цилиндрической волны. В работе подготовлено все необходимое для расчетов возникающих на практике задачу связаных с дифракцией цилиндрической волны: решение представлено в виде однократных и двукратных интегралов по контурам наибыстрейшего спуска, а для функций, описывающих асимптотическое представление этих интегралов, даны алгоритмы их вычислений и продемонстрирована эффективность их использования.

Рассмотреный в работе подход может быть полезен и при решении более сложных задач. В частности в задаче о соприкасающихся клиньях, в которой при определенных углах раствора клиньев известны или могут быть найдены интегральные представления нормальных волн [98].

1. Авдеев А.Д. Нормальные волны и функция Грина импедансного клина // Проблемы дифракции и распространения волн. 1997. Выпуск 27. С. 195-213.

2. Кобак В.О. Радиолокационные отражатели. Под ред. О.Н. Леоньтьевского. М.: Сов. радио. 1975. 148 с.

3. Кириленко A.A. Чумаченко В.П. Дифракция на идеальнопрово-дящем уголковом отражателе // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1991. Т. 34. № 1. С. 58-61.

4. Demetrescu С. Constantinov С.С. Mehler M.J. Diffraction by а right-angled resistive wedge 11 Radio Sei. 1998. V. 33. № 1. P.39-53.

5. Мартынов H.A. Мироненко Г. Н. Кирьянов О. Е. Оценка границ применимости импедансных граничных условий в задаче дифракции электромагнитной волны на проводящей кромке с покрытием // Радиотехника. 2000. № 6. С. 77-78.

6. Ротсагё Н. Sur la polarisation par diffraction // Acta Math. 1892. V. 16. P. 297-339.

7. Macdonald H.M. Electric Waves. Cambridge. 1902. 514 p.

8. Macdonald H.M. A class of diffraction problems // Proc. Lond. Math. Soc. 1915. V. 14. P. 410-427.

9. Bromwich T.J. Diffraction of waves by a wedge // Proc. Lond. Math. Soc. 1915. V. 14. P. 450-463.

10. Herglotz G. Die Greensche Funktion der Wellengleichung für eine Keilförmige Begrenzung // Math. Ann. 1952. Bd. 124. S. 219-234.

11. Пилягин B.B. Дифракция плоской волны на уголковых структурах с взаимно перпендикулярными бесконечно протяженными проводящими гранями // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42. № 7. С. 777-781.

12. Вайнштейн JI.А., Уфимцев П.Я. Виртуальные лучи в задаче дифракции на клине // Радиотехника и электроника. 1982. № 4. С. 625-633.

13. Jones D.S. A simplifying technique in the solution of a class of diffraction problems // Quart. J. Math. 1952. V. 3. P. 189-196.

14. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: ИЛ. 1962. 279 с.

15. Вайнштейн Л. А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Наука. 1977. 640 с.

16. Senior Т.В.А. Diffraction by a semi-infinity metallic sheet 11 Proc. R. Soc. London. 1952. Ser. A. № 213. P. 36-458.

17. Senior T.B.A. Diffraction by an imperfectly conducting half-plane at oblique incidence // Appl. Sei. Res. 1959. Ser. B. № 8. P. 35-61.

18. Конторович М.И., Каратыгин B.A., Розов B.A. Асимптотическое вычисление двойного интеграла при произвольно распо-ложеной стационарной точке // Тр. ЛПИ. Радиофизика. 1972. № 327. С. 142-146.

19. Senior Т.В.А., Legant S.R. Diffraction by anisotropic impedance halp-plane at skew incidence // Electromagnetics. 1988. V. 18. P. 207-225.

20. Lüneburg E., Serberst F. Diffraction of an obliquely incident plane wave by a two-face impedance half plane: Wiener-Hopf approach // Radio Science. 2000. V. 35. № 6. P. 1361-1374.

21. Pelosi G., Manara G., Nepa P. A UTD solution for the scattering by a wedge with anisotropic impedance faces: skew incidence case // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1998. V. 46. № 4. P. 579-588.

22. Shimoda M., Iwaki R., Miyoshi M., Matsuda T. Wiener-Hopf analysis of the diffraction by an impedance wedge: The case of E polarization // IEICE Trans, on Electr. 2001. V. 7. № 10. P. 853-860.

23. Конторович М.И., Лебедев H.H. Об одном методе решения некотрых задач теории дифракции и родственных ей проблем // Журн. экспер. и теор. физики. 1938. Т. 8. Вып. 10-11. С. 1192— 1206.

24. Лебедев H.H., Конторович М.И. О применении формул обращения к решению некотрых задач электродинамики // Журн. экспер. и теор. физики. 1939. Т. 9. С. 729-741.

25. Фелсен Л., Маркувец Н. Излучение и рассеяние волн. Т. 2. М.: Наука. 1978. 555 с.

26. Авдеев А.Д., Грудский СМ. О модифицированном преобразовании Конторовича-Лебедева и его применении к задаче дифракции цилиндрической волны на идеально проводящем клине // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. № 7. С. 1081-1089.

27. Осипов А. В. Новые методы исследования волновых полей в угловых областях: диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. СПБ., 1995. 306 с.

28. Sommerfeld А. Zur mathematischen Theorie der Beugungserscheinungen // Göttinger Nachr. 1894. P. 338-342.

29. Зоммерфельд А. Теория дифракции. В кн. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Л.М. ОНТИ 1937. Гл. 20 С. 849-902.

30. Малюжинец Г.Д. Возбуждение, отражение и излучение поверхностных волн на клине с заданными импедансами граней // Докл. АН СССР. 1958. Т. 121. № 3. С. 436-439.

31. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука. 1957. 342 с.

32. Малюжинец Г.Д. Излучение звука колеблющимся гранями клина // Акустический журнал. 1955. Т. 1. Вып. 3. С. 226-234.

33. Малюжинец Г.Д. Формулы обращения для интеграла Зомер-фельда // Докл. АН СССР. 1958. Т. 118. № 6. С. 1099-1102

34. Малюжинец Г.Д. Интегралы Зомерфельда и их приложения. Л.: ДНИИ Румб. 1981. 125 с.

35. Bucci О.М., Franceschetti G. Electromagnetiong scattering by a half plane with two impedances // Radio Sci. V. 11. № 1. P. 49-59, 1976.

36. Senior T.B.A., Volakis J.L. Approximate Boundary Conditions in Electromagnetics. IEE Press. Stevenage, UK. 1995. 356 p.

37. Лихачев B.M. Рассеивание электромагнитных волн гранями радиопрозрачных клиновидных структур // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43. № П. С. 1296-1300.

38. Lyalinov М.А. Diffraction of a plane wave by a wedge with thin material coatings // Radio Science. 1996. V. 31. № 6. P. 1721-1731.

39. Manara G., Nepa P. Electromagnetic diffraction of an obliquely incident plane wave by a right-angled anisotropic impedance wedge with a perfectly conducting face // IEEE Trans, on Ant. and Prop. 2000. V. 48. № 4. P. 547-555.

40. Мальцев В.П. Дифракция плоской электромагнитной волны на клине с комплексным импедансом граней // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42. №10. С. 1161-1168.

41. Tiberio R., Pelosi G.t Manara G., Pathak P.H. High-frequency scattering from a wedge with impedance faces illuminated by a line sorce. Part I: Diffraction // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1989. Vol. 37. №2. P. 212-218.

42. Бобровников M.C., Старовойтова P.П. Дифракция цилиндрических волн на импедансном клине // Изв. вузов. Физика. 1963. № 6. С. 168-176.

43. Бобровников М.С. Щелевой излучатель на ребре клина в анизотропной плазме // Изв. Вузов. Физика. 1967. №12. С. 13-17.

44. Бобровников М.С. Дифракция цилиндрических волн на идеально проводящем клине в анизотропной плазме // Изв. Вузов. Физика. 1968. №11. С. 119-124.

45. Бобровников М.С. Дифракция плоских волн на импедансном клине в анизотропной плазме // Изв. Вузов. Физика. 1972. №3. С. 80-86.

46. Бобровников М.С., Фисанов В.В. Дифракция волн в угловых областях. Томск: изд-во ТГУ. 1988. 246 с.

47. Фисанов В.В. Дифракция цилиндрических волн на полуплоскости в анизотропной плазме // Изв. Вузов. Физика. 1968. №10. С.70-75.

48. Фисанов В.В. Дифракция поверхностной волны на прямоугольном клине в анизотропной плазме // Изв. Вузов. Физика. 1970. №9. С.150-151.

49. Петров Э.С., Миказан П.С. Щелевой излучатель на ребре им-педансного клина в анизотропной плазме // В кн.: Исследование узлов и компонентов радиотехнических устройств. Рига. 1979. С. 67-74.

50. Петров Э.С., Миказан П.С., Семеняко Я.И. Возбуждение поверхностных волн на плоскости со ступенькой импеданса в анизотропной плазме // В кн.: Исследование узлов и компонентов радиотехнических устройств. Рига. 1979. С. 75-83.

51. Авдеев А. Д., Терещенко П.Е. Дифракция плоской волны на клине в анизотропной плазме // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 4. Физика, химия. 2001. Вып. 2 (№12). С. 21-31.

52. Завадский В.Ю., Сахарова М.П. О применении специальной функции фф(г) в задачах дифракции волн в клиновидных областях // Акустический журнал 1967. Т. 8. №1. С. 60-69.

53. Herman M.I., Volaks J.L., Senior T.B.A. Analytic expressions for a function occuring in diffraction theor // IEEE Trans. 1987. V. AP-35. №9. P. 1083-1086.

54. Костюк А.В. Вычисление функции Малюжинца в задаче дифракции электомагнитных волн на клине с импедансными гранями // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, №10, С. 11611168.

55. Осипов А.В. Вычисление функции Малюжинца в комплексной плоскости // Акустический журнал. 1990. Т. 32. №11. С. 116-121.

56. Aidi М., Lavergnat J. Approximation of the Maliuzhinets function // Journal of Elec. Waves and Appl. 1996. V. 10. № 10. P.1395-1411.

57. Авдеев А.Д. О специальной функции задачи дифракции на клине в анизотропной плазме // Радиотехника и электроника. 1994. Т.39. № 6. С.885-888.

58. Van der Waerden B.L. On the method of saddle points // Appl. Sci. 1958. B2. P. 33-35.

59. Фелсен JI., Марку виц H. Излучение и рассеяние волн. Т. 2. М.: Наука. 1978. 555 с.

60. Pauli W. On asymptotic series for functions in the theory of diffraction of light // Phys. Rev. 1938 V. 54. P. 924-931.

61. Clemmnow P.C. Some extensions to the method of integrals by steepest descents // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1950. №3. P.• 241-256.

62. Kouyoumjian R.G., Pathak P.H. A uniform geometrical theory of diffraction for an edge in a perfectly conducting surface // Proc. IEEE. 1974. Vol. 62. №11. P. 1448-1461.

63. Боровиков B.A., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. М.: Наука. 1978. 247 с.о140

64. Ahluwalia D.S., Lewis R.M., Boersma /. Uniform asymptotic theory of diffraction by a plane screen // SIAM J.AppI. Math. 1968. Vol. 16. №4. P. 783-807.

65. Boersma J., Rahmat-Samit Y. Comparison of two leading uniform theories of edge diffraction with the exact uniform asymptotic solution // Radio Sci. 1980. Vol. 15. №6. P. 1179-1194.

66. Michalski K.A. Extrapolation methods for Sommerfeld integral tails // IEEE Trans, on Anten. and Prop. 1998. V. 46. № 10. P. 1405-1418.

67. Конторович М.И., Каратыгин В.А., Розов B.A. Метод стационарной фазы для интеграла в конечных пределах с произвольно расположеной стационарной точкой // Ж. вычисл. матем. и физ. 1970. № 2. С. 300-312.

68. Конторович М.И., Каратыгин В.А., Розов В.А. Метод стационарной фазы для двойного интеграла с произвольно расположеной седловой точкой // Ж. вычисл. матем. и физ. 1972. Т. 12. № 6. С. 3191-1405.

69. Ярмахов И.Г. Исследование дифракции электромагнитных волн на идеально проводящем и импедансном клине со скругленной кромкой // Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36. №10. С. 1887-1890.

70. Jin J.M., Liepa V.V. A numerical technique for computing TM scattering by coated wedges and half-planes // Electromagnetics. 1989. V. 9. № 2. P. 201-214.

71. Данильчук B.JI. Модельная задача расчета щелевой антенны под покрытием // Радиотехника. 2000. № 9. С. 12-15.

72. Ильинский А.С., Слкпян Г.Д. Импедансные граничные условия и их применение для расчета поглощения электромагнитных волн в проводящих средах // Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35. Вып. 6. С. 145-170.

73. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. М.: И.Л. 1937. 996 с.

74. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука. 1970. 855 с.

75. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука. 1987. 544 с.

76. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.: Наука. 1953. 379 с.

77. Авдеев А.Д. Равномерная асимптотика двухкратного интеграла Зоммерфельда с полюсом вблизи седловой точки // Проблемы дифракции и распространения волн. 1997. Вып. 27. СПб. С. 214222.

78. Крюковский A.C., Лукин Д.С. Построение равномерной геометрической теории дифракции методами краевых и угловых катастроф // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43. № И. С. 1296-1300.

79. Авдеев А. Д., Терещенко П.Е. О вычислении специальной функции задачи дифракции на клине в анизотропной плазме // Математика в ВУЗе. Труды международной научно-методической конференции. Псков. 1997. С. 209.

80. Терещенко П. Е. Метод нормальных волн в решении задачи дифракции цилиндрической волны на импедансном клине в анизотропной плазме. Апатиты; изд. Кольского научного центра РАН. 2004. 93 с.

81. Avdeev A. D., Tereshchenko P.E. Plane wave diffraction by impedance wedge in anisotropic plasma // International Symposium on Electromagnetic Theory. Proceedings. Greece. 1998. Vol. 1. P. 399-401.

82. Авдеев А. Д., Терещенко П.Е. Дифракция плоской волны на им-педансном клине в анизотропной плазме // Региональная XXIII конференция по распространению радиоволн. СПб. 1997. С. 5.

83. Авдеев А. Д., Терещенко П.Е. Об асимптотике краевой волны в задаче дифракции цилиндрической волны на клине // Региональная IV конференция по распространинию радиоволн. СПб. 1998. С. 8.

84. Авдеев А. Д., Терещенко П.Е. Распространение волн вдоль граней клина. Региональная V конференция по распространению радиоволн. СПб. 1999. С. 7.

85. Виноградова М. Б., Руденко О.В., Сухорукое А. Л. Теория волн. М.: Наука. 1979. 256 с.

86. Петрашень Г.И., Николаев Б.Г., Коузов Д.П. О методе рядов в теории дифракции волн от плоских угловых областей // Учен, зап. ЛГУ. 1958. №246. С. 5-70.

87. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука. 1962. 1100 с.

88. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука. 1968. 324 с.

89. Копсон Э. Асимптотческие разложения. М.: Наука. 1966. 159 с.

90. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы в теории волноводов. М.: Мир. 1974. 327 с.

91. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 3. Ч. 2. М.: Наука. 1974. 672 с.

92. Корн Т., Корн Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука. 1978. 832 с.

93. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука. 1970. 855 с

94. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Пер. с англ. М.А. Абрамовиц, Д. Липман, А. Мак Нищ. Под ред. М.А. Абрамовица, И. Сти-ган. М.: 1979. 830 с.

95. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука. 1966.

96. Завадская М. П., Старавойтова Р. П. Краевые волны в решении Г. Д. Малюжинца для импедансного клина // Акуст. журн. 1988. т. 34. №1. С. 75-79.

97. Авдеев А. Д. Некотрые точные решения задачи о двух соприкасающихся клиньях // Тезисы докладов XI Всесоюзной акустической конференции. Секция А. М., 1991. С. 95-98.

98. Макаров Г.И. Новиков В.В. Рыбачек С.Т. Распространение электромагнитных волн над земной поверхностью. М.: Наука. 1991. 196 с.

99. Крылов В. И., Шульгина А. Т. Справочная книга по численному интегрированию. М.: Наука. 1966. 370 с.