Дифракция коротких волн на поверхностях с обобщенными импедансными граничными условиями, имеющими разрывные коэффициенты тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

1 Обобщенные импедансные граничные условия с разрывными коэффициентами

1.1 Вывод граничных условий, моделирующих тонкий диэлектрический слой, лежащий на поверхности проводника.

1.2 Вывод контактных условий, моделирующих стык двух тонких слоев.

1.3 Теорема единственности.

2 Модельные задачи дифракции с одной точкой контакта

2.1 Дифракция плоской электромагнитной волны на стыке двух однородных полупространств.

2.1.1 Решение задачи.

2.1.2 Контактное условие. Регуляризация интегралов

2.1.3 Асимптотическое исследование решения

2.2 Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на круговой спирали с одной точкой контакта

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Решение задачи.

2.2.3 Контактное условие.

2.3 Исследование решения задачи дифракции цилиндрической волны на спирали с одной точкой контакта

2.4 Коротковолновая асимптотика волнового поля в задаче дифракции на гладкой выпуклой кривой с одной точкой контакта.

А Асимптотические представления цилиндрических функций

В последнее время широкий интерес исследователей вызывают задачи дифракции на телах с граничными условиями, содержащими, помимо самого поля и его нормальной производной, касательные производные поля различных порядков. В наиболее общей форме граничные условия такого типа, в плоских задачах, могут быть записаны в виде где s — координата вдоль границы, п — нормальная к границе координата, Щ)2 — дифференциальные операторы, являющиеся по

В точках разрыва коэффициентов операторов Li и L2 ставятся дополнительные условия где векторы v и w составлены из предельных значений касательных производных функции и слева и справа от точки разрыва соответственно, а матрицы А и В определяются физическими свойствами контакта.

1) линомами по — с коэффициентами, зависящими от s. as д

Av — Вги,

2)

Граничные условия (1) называются обобщенными импеданс-ными граничными условиями (ОБИГУ), а условия (2) в точке разрыва — контактными условиями (КУ). В работах В.Н. Красильни-кова [1], Д.П. Коузова [2] и других исследователей задачи с условиями (1), (2) получили название гранично-контактных задач.

Задачи дифракции акустических волн с граничными условием (1) активно изучаются в последние 20 лет. В электродинамике подобные задачи стали рассматриваться особенно интенсивно в последнее время, и это связано с появлением композитных электромагнитных покрытий и широким применением в промышленности и научных исследованиях лазерной техники. Актуальность указанной тематики в электродинамике подтверждается нарастающим потоком публикаций за рубежом, особенно в США [3], [4], [5].

Цель настоящей работы:

• вывести ОБИГУ (1) на поверхности тонкого диэлектрического слоя, лежащего на металлической подложке

• вывести контактные условия (2), моделирующие стык двух тонких диэлектрических слоев на металлической подложке

• построить решения модельных, скалярных задач дифракции с ОБИГУ, содержащими одну точку разрыва коэффициентов в случае прямолинейной и круговой границы

• провести асимптотическое исследование волнового поля и в частности получить формулы для волны соскальзывания в задаче с круговой границей

• на основе анализа высокочастотной асимптотики решений модельных задач указать вид асимптотического разложения (анзатц) для волнового поля в гранично-контактной задаче дифракции на произвольной выпуклой кривой с одной точкой контакта

В скалярных задачах дифракции на поверхности идеально отражающих тел выполняются классические краевые условия Дирихле или Неймана. М.А. Леонтовичем [6] и С.М. Рытовым [7] было показано, что на поверхности сильно поглощающих тел с большой степенью точности выполняется краевое условие третьего рода, или импедансное краевое условие, получившее название условия Леонтовича и позволившее при решении задач дифракции исключить из рассмотрения волновое поле в поглощающем теле.

В работах [8], [9] были получены краевые условия, обобщающие условия Леонтовича и получившие название обобщенных импедансных граничных условий (ОБИГУ). Вывод ОБИГУ на поверхности поглощающего тела основан на асимптотическом разложении поля внутри поглощающего тела по малому параметру, пропорциональному глубине проникновения поля в поглощающее тело. При этом в [8] предполагается, что глубина проникновения поля внутрь отражающего тела мала по сравнению с длиной волны падающего поля, а в [9] это предположение заменено более слабым: глубина проникновения поля внутрь отражающего тела мала по сравнению с его характерными размерами. Однако в последней работе рассмотрен лишь случай отражения плоской волны от кругового поглощающего цилиндра и результат получен лишь в первом приближении. В работах [10], [11] были получены ОБИГУ в произвольном приближении, на поверхности хорошо поглощающего тела для скалярной и векторной задачи дифракции. В этих работах предполагалось, что глубина проникновения поля внутрь отражающего тела мала по сравнению с длиной волны в вакууме.

В работе [12] получены обобщенные граничные условия на поверхности диэлектрического слоя, лежащего на металлической подложке в случае скалярной задачи дифракции. За малый параметр принято отношение толщины слоя диэлектрика к длине падающей волны.

В первой главе настоящей работы выводятся ОБИГУ моделирующие тонкий диэлектрический слой, лежащий на поверхности проводника, в случае векторной задачи дифракции. Вывод граничных условий основан на асимптотическом разложении поля в диэлектрическом слое по малому параметру — отношению толщины слоя диэлектрика к длине падающей волны.

Контактные условия (2) определяются физическими процессами, происходящими в точках разрыва коэффициентов ОБИГУ.

В теории упругости контактные условия выводятся из механических законов сохранения [2]. В электродинамике контактные условия могут быть получены при асимптотическом исследовании точнорешаемых модельных задач. В работе [12] получены контактные условия, описывающие бесконечно тонкий идеальный проводник, разделяющий два различных импедансных покрытия. В первой главе настоящей работы предложен новый способ нахождения контактных условий, моделирующих стык двух тонких покрытий, основанный на замене скачкообразного поведения коэффициентов ОБИГУ непрерывным изменением на некотором малом промежутке, с последующим предельным переходом к нулевой длине промежутка. Идея такого способа получения контактных условий принадлежит Р. Фейнману. В книге [13] аналогичным способом выводятся граничные условия для векторов электромагнитного поля на стыке двух диэлектриков.

В первой главе, также, доказана теорема, которая утверждает, что если в точках контакта потребовать выполнения полученных контактных условий, то, при некоторых ограничениях на коэффициенты ОБИГУ, скалярная задача дифракции имеет единственное решение. Аналогичное доказательство единственности решения для задачи с граничными условиями Дирихле или Неймана проведено в [14].

Решение гранично-контактных задач дифракции сопряжено с большими трудностями. Для плоских границ, используя метод Винера-Хопфа, можно построить решение в квадратурах.

Для границ произвольной формы построить точное решение гранично-контактных задач не удается. Приходится либо использовать численные методы и с помощью компьютера находить приближенное решение задачи, либо использовать асимптотические методы.

Решения основных гранично-контактных задач акустики с плоскими границами получены в работах Д.П. Коузова. В работах [15] и [16] решены гранично-контактные задачи о дифракции плоской и цилиндрической гидроакустической волны на стыке двух плоских упругих пластин, являющихся продолжением одна другой.

Во второй главе диссертации решена задача дифракции плоской электромагнитной волны на полупространстве, разделенным вертикальной границей. Среды, заполняющие две части полупространства, моделируются обобщенными импедансными граничными условиями второго порядка с постоянными коэффициентами. В точке разрыва коэффициентов ОБИГУ ставятся контактные условия полученные в первой главе.

Если точка контакта двух различных ОБИГУ расположена на произвольной выпуклой границе, то из физических соображений ясно, что точка контакта будет излучать волну, которая распространяется вдоль границы. Для того, чтобы найти решение, соответствующее такой волне, выяснить как на это решение влияет кривизна границы и контактные условия, необходимо решить гранично-контактную задачу с криволинейной границей. Модельной задачей дифракции на выпуклой границе с одной точкой контакта, является задача о дифракции цилиндрической волны на круговой бесконечной спирали с одной точкой контакта, расположенной на бесконечнолистной римановой поверхности логарифмического типа1.

Во второй главе построено решение задача дифракции цилиндрической волны на круговой спирали. На круговой спирали ставятся ОБИГУ, содержащие касательные к спирали производные второго порядка, имеющие одну точку контакта. Решение этой задачи получено в квадратурах методом Винера-Хопфа. Во второй главе, также, найдена высокочастотная асимптотика полученного решения. Точка контакта порождает в освещенную область цилиндрическую волну, а в область тени — волну соскальзывания. Волна соскальзывания распространяется от точки контакта вдоль границы и соскальзывает в точку наблюдения по касательному к границе лучу. При этом волна соскальзывания экспоненциально затухает при распространении вдоль поверхности тела.

Построенная асимптотика позволяет указать вид асимптотического разложения волнового поля (анзатц) для задачи дифракции на произвольной выпуклой кривой с одной точкой контакта.

1 Многолистная поверхность в задаче дифракции на цилиндре впервые была введена в [17] (см. также [18])

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Buldyrev V.S., Tanchenko А.Р., Nonclassical boundary and contact conditions for a body covered with dielectric layer., Proc. of the international Seminar "Day on Diffraction 95", 1995, pp. 48-52

2. Булдырев B.C., Танченко А.П., Гранично-контактные условия в электродинамике. Рассеяние плоской электромагнитной волны на стыке двух однородных хорошо поглощающих полупространств., Журнал Выч. Мат. и Мат. физики, 1999, т.39, №12, стр. 1981-1990

3. Булдырев B.C., Танченко А.П., Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на круговой бесконечно-листной спирали с одной точкой контакта., Электронный журнал "Исследовано в России", 2003, т.6, стр. 431-443. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/003.pdf

Заключение

В данной работе получены следующие результаты:

1. выведены обобщенные импедансные граничные условия (ОБИГУ), моделирующие поверхность тонкого диэлектрического слоя, лежащего на металлической подложке

2. найдены контактные условия, моделирующие стык двух тонких диэлектрических слоев на металлической подложке

3. построены решения модельных, скалярных задач дифракции с ОБИГУ, содержащими одну точку разрыва коэффициентов в случае прямолинейной и круговой границы

4. проведено асимптотическое исследование волнового поля и в частности получены формулы для волны соскальзывания в задаче с круговой границей

5. на основе анализа высокочастотной асимптотики решений модельных задач указан вид асимптотического разложения (анзатц) для волнового поля в гранично-контактной задаче дифракции на произвольной выпуклой кривой с одной точкой контакта

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В. С. Булдыреву за непосредственное участие, помощь и содействие в подготовке этой работы.

Большую пользу при написании настоящей работы принесли мне замечания и советы участников общегородского семинара по математической теории дифракции.

1. Иванов ИЗ., Красильников В.Н., Влияние ребра жесткости на отражение плоской звуковой волны от пластины.,

2. Сб. Дифракция и излучение волн, Изд. Ленингр. ун-та, 1965, вып. 4.

3. Коузов Д.П., Граничено-контактные задачи акустики (система пластина-жидкость)., Диссертация на соискание уч. ст. д. ф.-м. н., Акуст. инст. АН СССР. 1986г

4. Rojas R.G., Ly Н.С., Pathak Р.Н., Electromagnetic plane wave diffraction by a planar janction of two thin dielectric/ferrite half planes., Radio Sci., vol.26, 1991

5. Senior T.B.A., Generalized boundary and transition conditions and the question of uniqueness., Radio Sci., vol.27, 1992

6. Senior T.B.A., Volakis J.L., Approimate boundary conditions in electrodinamics., v.41, of IEE Electromagnetic wave series, London:Inst.Electrical Engrs, 1995

7. Леонтович M. А., О приближенных граничных условиях для электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел., Исследования по распространению радиоволн Под ред. Б.А. Введенского М., 1948, ч.2

8. Рытое С.М., Расчет скин-эффекта методом возмущений., Журн. экспер. и теор. физ., 1940, т. 10, вып.2

9. Кравченко А.Г., О высокочастотной дифракции на хорошо проводящих телах., Радиотехн. и электроника, 1973, т.18, №1

10. Langolois P., Boivin A., New conditions for exact limits for electromagnetic field at the surfaces of absorbing materials., Canadian J. Phys., 1963, vol.61 №1-2-3

11. Булдырев B.C., Лялинов M.A., Асимтотическое граничное условие на поверхности поглощающего тела., Вестник ЛГУ, 1987, №4 вып.2

12. Булдырев B.C. Лялинов М.А. Асимптотическая теория отражения электромагнитного излучения умеренно и хорошо проводящими телами Записки ученых семинаром ПО-МИ, 1992, №22 т.203

13. Андронов И.В., Белинский Б.П., Булдырев B.C., Лялинов М.А., Задачи электродинамики и акустики с ОБИГУ, имеющими разрывные коэффициентыили дефектные точки., Труды X школы-семинара по дифракции и распространению волн, М., 1993

14. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике., М.: Мир, 1977

15. Смирнов В.И., Курс высшей математики., Госизд. Техтеор. лит. M.-JL, том.4, 1951

16. Коузов Д.П., Дифракция плоской гидроакустической волны на стыке двух упругих пластин., ПММ, т.27, №3, 1963

17. Коузов Д.П., Дифракция цилиндрической гидроакустической волны на стыке двух полубесконечных пластин., ПММ., 1969 т.ЗЗ, №2

18. Малюжинец Г. Д., Некоторые обобщения метода отражений в теории дифракции., Автореф. докторск. диссертации, Изд. АН СССР, 1950.

19. Friedlander F.G., Communs Pure and Appl. Math., 1954, 7, 4, 705

20. Хенл X., Теория дифракции., M., 1964

21. Рашевский П.К., Курс дифференциальной геометрии., М., 1956

22. Булдырев B.C., Танченко А.П., Гранично-контактные условия в электродинамике. Рассеяние плоской электромагнитной волны на стыке двух однородных хорошо поглощающих полупространств., Журнал Выч. Мат. и Мат. физики, 1999, т.39, №12

23. Макаров Г.И., Новиков В.В., Распространение электромагнитных волн над поверхностью с произвольным импедансом., Проблемы дифракции и распространения волн. I. Распространение радиоволн, JL: Издательство Ленинградского университета, 1962

24. Вайнштейн JI.A. Малюжинец Г.Д., Поперечная диффузия при дифракции на импедансном цилиндре большого радиуса., Радиотехн. и электроника, т.6, 1961, №8

25. Петрашень Г.И., Макаров Г.И., Смирнова Н.С., О асимптотических представлениях цилиндрических функций., Уч. записки ЛГУ, №170, 1953

26. Гахов Ф.Д., Краевые задачи., Наука, 1977

27. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А., Некоторые математические методы, применяемые в теории дифракции., В сб. I Всесоюз. школа-семинар по дифр. и распр. волн., 1968

28. Фок В.А., Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности., М.-Л. Из-во АН СССР, 1946

29. Фелсен Л., Марку виц Я., Излучение и рассеяние волн., т.1, М. Наука, 1978

30. Борн М., Вольф Э., Основы оптики., М., 1973

31. Бреховских JI.M., Поверхностные волны в акустике., Акустический журнал 1959 т.5 №1

32. Булдырев B.C., Метод эталонных задач в теории дифракции и распространения волню., Диссертация на соискание уч. ст. д. ф.-м. н., Л., 1969

33. Булдырев B.C., Гельфрейх Н.Г., Высокочастотная асимптотика волнового поля в задаче дифракции на тонкой упругой цилиндрической оболочке., Акустический журнал, 1996, т.42, №5

34. Булдырев B.C., Гельфрейх Н.Г., Высокочастотная асимптотика волнового поля в задаче дифракции на тонкой упругой цилиндрической оболочке произвольного сечения., Акустический журнал, 1996, т.42, №6

35. Булдырев B.C., Лялинов М.А., Асимтотическая теория отражения электромагнитного излучения умеренно и хорошо проводящими телами., Записки ученых семинаров ПОМИ, т.203, 1992

36. Булдырев B.C., Танченко А.П., Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на круговой бесконеч-нолистной спирали с одной точкой контакта., Электронный журнал "Исследовано в России", 3, 10-14, 2003. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/003.pdf

37. Красильников В.Н., Тюхин А.В., О боковой волне в случае горячей плазмы, ограниченной идеально проводящимэкраном., Проблемы дифракции и распространения волн, вып.27, из-во СПбГУ, 1997

38. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теория упругости., М. Наука, 1987

39. Леонтович М.А., Исследования по распространению радиоволн., Под ред. Б.А. Введенского, М., Изд. АН СССР, 1948

40. Малюжинец Г. Д. Возбуждение, отражение и излучение поверхностных волн на клине с заданными импедансами граней Докл. АН СССР., 1958, т.121, №3

41. Нобл Б., Метод Винера-Хопфа., ИИЛ, М., 1962

42. Федорюк М.В., Метод перевала., М. Наука, 1977

43. Buldyrev V. S., Tanchenko А. P., Nonclassical boundary and contact conditions for a body covered with dielectric layer., Proc. of the international Seminar "Day on Diffraction 95", 1995

44. Yanovskaya T.B., Uniform asymptotic representation of a field of reflected and head waves., Proc. Roy. Soc. Lond. A., 313, 1969