Новые методы исследования волновых полей в угловых областях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

у\ о сг/:

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На права? рукописи

ОСИПОВ Андрей Викторович

НОВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ

01.04.03 — радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в отделе радиофизики Научно- исследовательского института физики при Санкт-Петербургском государственном университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор К.А.БАРСУКОВ доктор физико-математических наук, профессор В.С.БУЛДЫРЕВ доктор физико-математических наук, профессор Д.П.КОУЗОВ

Ведущая организация: Московский энергетический институт

Защита диссертации состоится v" .кЗ^^Й^^!— 1996 г.

в ___ч. мин.. на заседании диссертационного совета

Д.063.57.ЗС по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034. Санкт-Петербург. Университетская наб.. д. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан ''„J^L" 1995 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета С.Т.РЫБАЧЕК

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке новых теоретических .методов исследования волновых полей, возбуждаемых гармоническими во времени источниками в открытых областях пространства. границы которых имеют ребра, т.е. линии, на которых скачком изменяется кривизна граничной поверхности, ее материальные свойства, или то и другое вместе. Представлен комплекс теоретических результатов, которые позволяют корректно формулировать задачу дифракции на клине или системе соприкасающихся клиньев, сводить ее к однозначно разрешимым линейным интегральным уравнениям, полз'чать и исследовать их приближенные решения, учитывая в результате в полной мере и математически обоснованными способами реальные отражающие свойства граничных поверхностей, например наличие поглощающего покрытия или конечную толщину скин-слоя. Основные типы клиновидных структур, рассмотренных в диссертации, показаны на стр.13.

Актуальность темы. Решение многих важных прикладных проблем радиофизики, акустики, оптики, сейсмологии, связано с рассмотрением процессов распространения и дифракции волн в структурах, которые содержат несколько соприкасающихся между собой клиньев с общим ребром и различными значениями постоянных, характеризующих протекание волновых процессов (секториально неоднородные среды). Простейшим примером такой структуры служит один из ключевых объектов оптической и микроволновой техники - диэлектрическая призма с показателем преломления, отличным от показателя преломления окружающей среды. Среди задач данного класса также можно назвать расчет распространения электромагнитных волн над местностью со сложным рельефом и в городских условиях, снижение уровня радиолокационного рассеяния от объектов сложной формы и больших волновых размеров, синтез антенн с оптимальными характеристиками. построение без-эховых измерительных камер, конструирование устройств СВЧ. и многие другие.

С математической точки зрения содержательное рассмотрение проблем, названных выше, требует решения эталонной (или кано-

нической) задачи - задачи дифракции на клине или, в общем случае. на системе клиновидных тел с общим ребром. Ее решение дает возможность описать два принципиальных момента, связанных со свойствами волновых полей в открытых областях с нерегулярными границами : сингулярность компонент электромагнитного поля на ребре и образование уходящей на бесконечность рассеянной волны. ( краевой волны ) убывающей по закону О ((кг обусловленной дифракцией падающего поля на изломе граничной поверхности. Эта задача является классической, достаточно сказать, что именно от нее, с работ А.Пуанкаре и А.Зоммерфельда по дифракции на идеально проводящем экране, берет свое начало строгая математическая теория дифракции, но несмотря на свою почти столетнюю историю ее решение в общем случае до сих пор не найдено.

Особое место клина в ряду других канонических геометрий (полупространства, цилиндра или сферы) связано с тем, что попытка отказаться от гипотезы об идеально отражающих свойствах граничной поверхности и учесть ее реальные материальные свойства приводит к качественному з^сложнению задачи, обычно делая невозможным ее замкнутое решение. Например метод интегралов Зоммерфельда при попытке учесть строгие соотношения непрерывности касательных компонент поля на границах клина приводит к сложным системам функциональных уравнений с переменными коэффициентами и нелинейными смещениями в аргументах искомых функций, которые не только не решаются ни в явном виде, ни приближенно, но даже их редукция к линейным задачам представляет серьезные трудности. Все имеющиеся в литературе точные решения задачи о секториальных средах либо относятся к случаю равных скоростей (включая задачи электро - и магнитостатики, в которых можно считать, что скорости во всех секторах одинаковы и равны ос), когда возможно разделение переменных, либо справедливы лишь для некоторых прямоугольных геометрий, когда значения углов при вершинах клиньев строго фиксированы, и обязательно присутствуют идеально отражающие границы, либо, наконец, представляют собой некоторые частные решения уравнения Гельмгольца. не удовлетворяющие какому-либо из условий задачи (как правило, условию на ребре или на бесконечности).

Прикладная значимость и математическая нерешенность проблемы дифракции в секториальных средах стимулировали появление большого количества новых численных и аналитических методов исследования. С помощью численных методов, основанных главным образом на методе поверхностных интегральных уравнений, были выполнены инженерные расчеты для таких важных в прикладном отношении структур, как диэлектрическая призма или клин с диэлектрическим покрытием. Однако ввиду открытого характера задач и сингулярного поведения компонент поля на ребре эти методы должны были существенно опираться на некоторые априорные гипотезы о свойствах разыскиваемых решений, такие, например, как быстрое убывание нерегулярной составляющей при удалении от ребра, мейкснеровская особенность на ребре и т.п.. справедливость которых может быть установлена лишь при аналитическом рассмотрении модельных задач. Кроме того, численные результаты не дают качественных оценок роли тех или иных параметров задачи.

Аналитические исследования закономерностей, свойственных волновым процессам в клиновидных структурах, проводились в основном с помощью приближенных методов "физического уровня строгости". Среди них наиболее часто использовались варианты методов геометрической и физической оптики, параболического уравнения, некоторые методы теории нерегулярных волноводов, а также метод приближенных импедансных граничных условий, введенный в классической работе Г.А.Гринберга и В.А.Фока, посвященной явлению береговой рефракции радиоволн. Все эти методы, упрощая расчеты полей и позволяя во многих случаях находить явные выражения для решений, тем не менее вносят трудно контролируемые погрешности, что часто ставит под сомнение их практическую ценность.

Таким образом, возникает необходимость разработки таких методов исследования задач дифракции в секториальных средах, которые, будучи математически строгими, с одной стороны сохраняли бы возможность точного решения численными методами, а с другой - при определенных значениях параметров задач указывали бы способы построения обоснованных приближенных решений. Современное состояние проблемы ясно показывает, что решение задачи о клине требует не только особого внимания к математи-

ческому аппарату и з'глубленной разработки существующих методов математической теории дифракции, но и привлечения новых идей и концепций, без чего любое дальнейшее продвижение оказывается невозможным.

Другой аспект проблемы связан с тем, что даже в тех случаях. когда решение известно, как правило в виде интегралов или рядов, содержащих специальные функции, его исследование и преобразование к форме, позволяющей проследить качественную зависимость от того или другого параметра задачи, связано с существенными математическими трудностями. Такая ситуация сложилась для одного из самых сильных результатов в теории дифракции на клине - точного решения задачи дифракции на импедансном клине, полученного Г.Д.Малюжинцем еще в начале 50-х годов. Оно было представлено контурным интегралом в комплексной плоскости в терминах новой специальной функции. и его внешняя сложность послужила причиной того, что в прикладных исследованиях вместо него использовались решения, полученные методом Винера-Хопфа. несмотря на то, что их применимость принципиально ограничена задачами с прямоугольной геометрией.

Иель работы состоит в: 1) разработке физически и математически обоснованных методов постановки, решения и исследования решений задач дифракции в угловых областях: 2) построении точных и приближенных решений новых задач; 3) доведении полученных решений до простых формул, позволяющих извлекать физические следствия и выявлять качественные закономерности, свойственные волновым полям в секториальных средах вблизи и вдали от ребра при различных соотношениях между материальными и геометрическими параметрами задачи.

Методика исследования основывается на использовании точных уравнений электромагнитного поля и исследовании их строгими математическими методами. В диссертации рассматриваются задачи для скалярных двумерных гармонических по времени полей, когда в каждой элементарной угловой области ищется одна функция и(г. двух переменных, которая удовлетворяет уравнению Гельмгольца и представляет собой поперечную к

плоскости падения компоненту электрического или магнитного поля. Последовательно исследуются возможности, предоставляемые при решении задач данного класса различными методами математической теории волн, такими как классические методы интегралов Зоммерфельда - Малюжинца. интегрального преобразования Конторовича - Лебедева, Винера-Хопфа-Фока. краевой задачи Римана-Гильберта, метод Мейкснера. метод приближенных граничных условий высокого порядка и некоторые другие. Как правило, каждый из перечисленных выше методов предварительно модифицируется, чтобы сделать его максимально приспособленным для решения рассматриваемых в диссертации задач. Так интегральное преобразование Конторовича - Лебедева рассматривается на основе принципа погашаемости Фока - Малюжинца: используется связь интегралов Зоммерфельда - Малюжинца с интегральным преобразованием Лапласа и теорией аналитических функций комплексного переменного: методы Винера-Хопфа-Фока и краевой задачи Римана-Гильберта включаются в схему метода полуобращения оператора задачи: ряды Мейкснера пополняются логарифмическими членами и т.д. Устанавливаются также взаимные связи между всеми этими, казалось бы принципиально разными, подходами к решению задач дифракции в угловых областях.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Разработан новый метод исследования волновых полей в произвольных системах соприкасающихся секториально расположенных клиньев. Согласно этому методу при постановке задачи используется принцип предельного поглощения Фока - Малюжинца, и решение ищется в виде модифицированных интегралов Конторовича - Лебедева, обобщенных на функции не равные нулю в начале координат: после нахождения точного или приближенного решения оно может быть преобразовано к виду рядов бесселевых функций или интегралов Зоммерфельда. удобных для описания его свойств соответственно вблизи ребра или в дальней зоне.

2. Построена система однозначно разрешимых линейных сингулярных интегральных уравнений для функции Грина задачи дифракции в произвольной секториальной среде и описана схема их

преобразования к интегральным уравнениям второго рода с гладкими ядрами. Представлено трансцендентное уравнение, определяющее характер особенности сингулярных компонент электромагнитного поля на ребре произвольной системы соприкасающихся клиньев. Определена область применимости метода Мейкс-нера и путем пополнения рядов Мейкснера логарифмическими членами осуществлено его обобщение на случай структур, содержащих клинья с углами при вершинах рационально кратными тг, когда разложения Мейкснера в стандартной форме степенных рядов не существуют. Задача дифракции на диэлектрическом клине сведена к двум несвязанным однозначно разрешимым интегральным уравнениям второго рода с неособыми ядрами.

3. Развит эффективный метод решения задач дифракции в системах соприкасающихся прямоугольных клиньев, предполагающий разбиение клиновидной структуры на две частичные области. в каждой из которых волновое поле записывается или в виде интеграла Фурье, если среда, заполняющая данную частичную область, однородна, или в виде разложения по спектральным функциям некоторого обыкновенного дифференциального оператора второго порядка с разрывным коэффициентом, которое обобщает интеграл плоских волн на случай, когда свойства среды изменяются скачком на некоторой плоскости.

4. Представлено решение задачи дифракции на полупространстве, образованном двумя соприкасающимися прямоугольными клиньями, путем сведения ее к одному фредгольмовскому интегральном}' уравнению второго рода с гладким ядром относительно преобразования Фурье для поля в однородном полупространстве. При различных соотношениях между материальными параметрами структуры построены приближенные решения этого уравнения, которые использованы для исследования нескольких физически интересных задач (распространение над трассой со скачком электрических свойств подстилающей поверхности; излучение нитевидного источника, помещенного в четверть- пространство с сильным поглощением; дифракция на прямоугольном диэлектрическом клине).

5. Разработаны новые методы постановки и решения задач дифракции в клиновидной области при граничных условиях высокого порядка. Постановка электромагнитной гранично-контактной

задачи дифракции на клине включает в себя : а) моделирование материальных свойств граничных поверхностей с помощью краевых условий высокого порядка при сохранении свойства физической пассивности граней клина б) вывод контактных условий путем интегрирования уравнений Максвелла в окрестности ребра с помощью мейкснеровских разложений или интегральных теорем в) математическую формулировку задачи, гарантирующую единственность решения и удовлетворение им соотношения взаимности. Представлено обобщение техники Малюжинца и Тужилина на случай граничных условий произвольного порядка.

6. Построены и исследованы решения двух новых задач :

- задачи дифракции плоской звуковой волны на угловом сочленении двух тонких упругих пластин, находящихся в одностороннем контакте с акустической средой :

- задачи дифракции плоской электромагнитной волны на составной клиновидной структуре, которая представляет собой либо идеально проводящий клин покрытый слоем диэлектрического или ферромагнтного материала, либо клин с поглощающими гранями. когда можно пренебречь волнами, прошедшими через него насквозь.

7. Разработаны методы исследования решения Г.Л. Малюжинца для импедансного клина и выполнен анализ этого решения (новые представления для функции Сф(а). асимптотическая структура волнового поля в узкой клиновидной области с импе-дансными граничными условиями, коротковолновые асимптотики вблизи граней клина, низкочастотные разложения). Выведены новые представления функции Грина импедансной клиновидной области, справедливые при произвольном соотношении между координатами источника и точки наблюдения, которые использованы для исследования физически интересных задач (затенение цилиндрической волны клиновидным барьером; излучение линейной антенны, расположенной вблизи ребра импедансного клина).

Перечисленные выше результаты являются новыми и получены впервые.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в работе результаты могут быть использованы в прикладных и те-

оретических исследованиях дифракции, распространения, излучения и рассеяния электромагнитных и акустических волн в открытых областях с нерегулярными границами. Асимптотические представления решений в дальней зоне, как решения эталонной задачи, включаются в различные версии коротковолновой теории дифракции и на этой основе распространяются на широкий круг прикладных проблем, связанных с дифракцией волн на протяженных телах с кромками и линиями, на которых материальные свойства границы изменяются скачком. Низкочастотные разложения предоставляют возможность приближенного описания свойств волновых полей вблизи ребер диэлектрических, феррит-ных и импедансных поверхностей, а также могут закладываться в численные алгоритмы, использующие информацию о характере сингулярности компонент поля на ребре моделируемой структуры. Регулярные интегральные уравнения, выводимые в диссертации путем строгого обращения сингулярной части оператора задачи, обещают стать исходным пунктом в разработке эффективных численных схем для инженерных расчеюв. Решения двумерных задач дифракции в секториально неоднородных средах, полученные в работе, допускают непосредственное обобщение на пространственные задачи акустики; трехмерные задачи электромагнитной теории как правило носят существенно векторный характер и требуют особого рассмотрения, которое, однако, необходимо должно базироваться на результатах решения скалярных задач.

Апробация работы. Результаты, содержащиеся в диссертации, докладывались на XXIV Генеральной ассамблее международного радиосоюза URSI (Kyoto, 1993). на Пятой международной конференции по математическим методам в электромагнитной теории (ММЕТ'94, Харьков, 1994), на международном симпозиуме по антеннам (JINA'94, Nice, 1994), на международном симпозиуме URSI по электромагнитной теории (Санкт-Петербург, 1995), на международном съезде по антеннам и распространению (IEEE -APS Int. Symposium and USNC/URSI Radio Science Meeting. Newport Beach. California, 1995), на XI Всесоюзной акустической конференции (Москва. 1991), на международной конференции по борьбе с шумом и вибрацией (Noise"93. Санкт-Петербург, 1993), на 127 съез-

де Американского акустического общества (Cambridge, 1994), на Третьем международном конгрессе по воздушному и структурному звз'ку (Montreal. 1994), на выездном научном совещании Научного совета АН СССР по проблеме "Акустика" по теме "Колебания и излучение механических структур" (Ленинград, пос. Репино, 1991). на международном семинаре Эйлеровского математического института по асимптотическим методам в теории распространения волн (Санкт-Петербург, 1993), на международных Днях дифракции (Ленинград, 1991; Санкт-Петербург, 1992, 1993, 1994. 1995), на семинарах кафедры радиофизики Санкт-Петербургского госз'дарственного университета, в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова РАН, на семинарах по математической акустике при Восточно-европейской ассоциации акустиков, на объединенном семинаре по распространению волн (NOAA Environmental Research Laborator3', Institute for Télécommunication Sciences, Department of Electrical and Computer Engineering at University of Colorado, Boulder, USA), a также в лаборатории излз'чения электромагнитных волн Мичиганского згни-верситета (Radiation Laboratorv, Department of Electrical Engineering and Computer Science. University of Michigan, USA).

Часть результатов, представленных в диссертации, была получена в рамках исследований, поддержанных грантами Госз'дарственного комитета РФ по высшемз' образованию и Международного наз'чного фонда (ISF). Некоторые резл-льтаты использовались при проведении НИР "Защита" и "Аномалия" в центральном на\'чно-исследовательском инститз'те "Морфизприбор" (Санкт-Петербург). В 1994 г. результаты исследований в области теории дифракции на импедансном клине были удостоены премии Европейской академии (президент - проф. A. Birdgen, председатель клз'ба российских членов - акад. В. Скулачев) для молодых ученых России.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 26 публикациях, список которых приведен в заключительной части автореферата.

Стрзтсгура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы и параграфы, за-

ключения, трех приложений и списка цитированной литературы из 598 наименований. Общий объем диссертации - 306 страниц текста шрифтом 12р1.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Содержательная часть диссертации включает четыре главы, каждая из которых состоит из нескольких разделов и параграфов, объединенных типом рассматриваемой клиновидной структуры и используемым методом исследования. Текст диссертации дополнен тремя приложениями, которые содержат важные для основного изложения результаты, способ получения которых не связан с методами, специфическими для угловых областей.

Глава I посвящена задаче дифракции в произвольной системе секториально расположенных соприкасающихся клиньев [1, 9, 13] (рис.1). В качестве метода решения используется подход, который может рассматриваться как модификация метода Кон-торовича - Лебедева на основе принципа погашаемости Фока-Малюжинца. Решения ищутся в виде интегралов, содержащих функции Ханкеля мнимого значка и комплексного аргумента, но в отличие от метода Конторовича - Лебедева уравнения для трансформант получаются путем подстановки этих интегралов в условия сшивания на границах раздела секторов, а не проектированием уравнения Гельмгольца по системе функций что открывает возможность непосредственного рассмотрения решений. не равных нулю в начале координат, если в точке и = 0 понимать интегралы Конторовича - Лебедева в смысле главного значения. Трудности со сходимостью этих интегралов при и —» ±эс обходятся здесь благодаря тому, что в соответствии с принципом погашаемости при построении решений волновые числа во всех секторах предполагаются чисто мнимыми, а источники полей расположенными на конечных расстояниях от ребра структуры. После того как решения найдены, от этих ограничений можно освободиться, путем преобразования интегралов Конторовича - Лебедева к интегралам Зоммерфельда или суммам цилиндрических функций с последующим аналитическим продолжением по волновым числам и устремлением источников на ос. если последнее требуется. Именно в использовании различных форм

(6N'M'n)

(e;, К)

(е'з.И'з)

представления решений и заключается важная особенность развиваемого здесь подхода. В результате получается гибкая техника. смысл которой состоит в том, что строить решение оказывается проще в виде интегралов Конторовича - Лебедева, так как при этом для трансформант сразу же получаются линейные интегральные уравнения (что выгодно отличает данный подход от метода интегралов Зоммерфельда), а исследовать - в виде интегралов Зоммерфельда или рядов цилиндрических функций, поскольку первые удобны для расчетов и асимптотических оценок при кг —> ос, а вторые - при кг —* 0 (все сказанное, разумеется, не исключает возможности использования при анализе решений и исходной формы - интегралов Конторовича - Лебедева).

В разделе 1.1 после изложения основных фактов, связанных с преобразованием Конторовича - Лебедева, проводится обобщение интегралов Конторовича - Лебедева на функции, не равные нулю при 7' = 0, и обсуждается характер сходимости этих интегралов. Затем рассматриваются способы редукции интегралов Конторовича - Лебедева к интегралам Зоммерфельда и суммам цилиндрических функций, а также формулируются принципы предлагаемого метода исследования задач дифракции в сек-ториальных средах. Основные его моменты прослеживаются на примере задачи для угловой области с граничными условиями Неймана. Анализ сходимости интегралов Конторовича-Лебедева осуществляется с помощью асимптотических разложений цилиндрических функций, вид которых в случае комплексных аргумента и значка обсуждается в Приложении А.

С помощью разработанной модификации метода Конторовича-Лебедева могут рассматриваться клиновидные структуры самого общего вида, например, содержащие произвольное количество соприкасающихся между собой клиньев. Редукция стационарной задачи дифракции поля нитевидного источника в системе из Аг соприкасающихся клиньев к одномерным линейным интегральным уравнениям описывается в разделе 1.2. Показывается, что задача сводится к системе из 2АГ сингулярных интегральных уравнений типа Коши. эквивалентной регулярной системе из двух интегральных уравнений второго рода с гладкими ядрами. Определяются типы структур, когда эта последняя система расщепляется на два несвязанных уравнения, сводится всего к одному ин-

тегральному уравнению, допускает явное решение. Рассматриваются аналитические свойства решений интегральных уравнений и тем самым определяется вид модовых разложений волновых полей в секториально неоднородных средах. Обсуждается возможность описания решений в окрестности ребра с помощью степенных рядов - рядов Мейкснера: показывается, что при определенных значениях геометрических и материальных параметров клиновидной структуры эти ряды должны быть пополнены логарифмическими членами. Доказывается теорема единственности.

При сшивании на границах раздела сред решений, представленных интегралами Конторовича - Лебедева, возникает необходимость переразложения системы функций {Н^^кпГ)} по системе функций {Я^(Лтг)}, где кп, кт - волновые числа в смежных секторах структуры. Аналитические свойства коэффициента переразложения. как функции комплексных переменных ¡л и и, играют ключевую роль при построении интегральных уравнений для трансформант интегралов Конторовича - Лебедева. Исследованию этих свойств посвящено Приложение Б.

В разделе 1.3 метод интегралов Конторовича - Лебедева применяется к скалярной задаче дифракции электромагнитных волн на клине конечной проводимости. На первом этапе путем сшивания полей на границах раздела секторов задача сводится к двум несвязанным сингулярным уравнениям с ядрами типа Коши. На втором этапе они преобразуются к интегральным уравнениям второго рода с ядрами, не имеющими полюсов, т.е. осуществляется регуляризация. Построенные уравнения исследуются в различных предельных случаях; как следствие, для решений всех основных задач с разделяющимися переменными получаются представления в виде интегралов Конторовича - Лебедева. Рассматриваются аналитические свойства решений интегральных уравнений; показано, что решения являются мероморфными функциями и имеют полюсы, обеспечивающие мейкснеровскую особенность компонент поля на ребре. Отмечается, что при близких значениях скоростей волн в клине и окружающем пространстве или при условии "контрастности" электрических свойств соприкасающихся сред интегральные члены в уравнениях оказываются пропорциональными малым параметрам, что открывает возможность построения решения задачи методом последовательных прибли-

жений.

Глава II посвящена рассмотрению задачи с прямоугольной геометрией, для решения которой развивается техника, сочетающая метод частичных областей и метод типа Винера-Хопфа-Фока [2, 8. 10. 22] (рис.2). Структура представляет собой два полупространства, одно из которых в свою очередь состоит из двух соприкасающихся прямоугольных клиньев. Осуществляется строгое решение задачи путем удовлетворения всем требуемым условиям сшивания на границах раздела сред. Оба клина объединяются в одну частичную область, внутри которой волновое поле записывается в виде разложения по собственным функциям сплошного спектра дифференциального оператора с разрывным коэффициентом, которое обобщает разложение в интеграл Фурье (параграф 2.1.1). В параграфе 2.1.2 после сшивания касательных компонент электромагнитного поля на границе раздела полупространств задача дифракции поля нитевидного источника в прямоугольной клиновидной структуре приводится к системе из двух сингулярных интегральных уравнений относительно одной функции - преобразования Фурье для поля, рассеянного в однородное полупространство, и затем к эквивалентной им системе интегро-функцйональных уравнений.

Регуляризация этой системы требует решения матричной краевой задачи Римана с нелинейными смещениями в аргументах двз'Х искомых функций, каждая из которых должна обладать определенными свойствами аналитичности. В кандидатской диссер-£ации автора были рассмотрены способы приближенной регуляризации задачи или использующие специальный вид свободных членов системы сингулярных интегральных уравнений, или основании е на полуобращении краевой задачи, без членов с нелинейными смещениями. В разделе 2.2 развивается новая теория, основанная на полном обращении сингулярной части оператора путем точного решения вспомогательной матричной краевой задачи Римана. В результате задача дифракции сводится всего к одному интегральному уравнению фредгольмовского типа с относительно простым ядром вместо шести сингулярных интегральных уравнений типа Коши или эквивалентной им системы из двух интегральных уравнений Фредгольма, но с более сложными ядрами, к которым приводятся задачи данного класса с помощью общей

теории, применимой при произвольных углах раствора клиньев, которая описывается в первой главе диссертации. Достигнутое упрощение обусловлено в конечном счете использованием специальной математической техники, опирающейся на иной математический аппарат (интегралы типа Фурье вместо интегралов Кон-торовича - Лебедева), область применимости которого ограничена структурами с прямоугольной геометрией, но для которых он оказывается более эффективным, чем общий подход, не учитывающий специфику задачи.

В параграфе 2.2.1 осуществляется обращение сингулярной части оператора задачи путем решения матричной краевой задачи Римана и выводится интегральное уравнение второго рода с гладким ядром, записанное относительно преобразования Фурье полного поля на границе раздела частичных областей. В параграфе 2.2.2 проверяется соответствие этого уравнения известным предельным случаям и исследуются его общие свойства. Устанавливается однозначная разрешимость в классе функций, удовлетворяющих условию на ребре, и оценивается норма интегрального оператора, что позволяет очертить круг значений материальных параметров сред, когда возможно решение интегрального уравнения в виде рядов Неймана. Показано, что точное решение интегрального уравнения имеет на ребре сингулярность, в точности совпадающую с мейкснеровской. несмотря на то. что для данной структуры ряды Мейкснера в стандартной форме не существуют.

В последующих трех разделах с помощью приближенного решения интегрального уравнения проведено исследование свойств волнового поля в структуре при разных способах его возбуждения и при различных соотношениях между материальными параметрами сред. В разделе 2.3 рассматривается поведение нормальной компоненты электрического поля на границе раздела полупространств при условий, что комплексные диэлектрические проницаемости клиньев велики по сравнению с диэлектрической проницаемостью однородного полупространства. Приближенное решение интегрального уравнения, полученного в разделе 2.2, исследовано аналитически вблизи и вдали от ребра и численно в промежуточной зоне. Показано, что вклад "подземных'' волн, возбуждаемых на ребре падающим полем, пренебрежимо мал на

любом расстоянии от неоднородности, что обосновывает применимость в задачах этого класса приближенных импедансных граничных условий, которые принципиально не учитывают подземных волн. В разделе 2.4 при дополнительном условии контрастности электрических свойств клиньев представлен асимптотический анализ волнового поля от нитевидного источника, помещенного в сильно поглощающее неоднородное полупространство. Выделено восемь каналов излучения электромагнитной энергии в верхнее однородное полупространство и показано, что при определенных условиях поле носит существенно негеометрооптиче-ский характер. Рассмотрению частного случая прямоугольной структуры, когда материальные свойства клиньев близки, посвящен раздел 2.5, где исследуется приближенное решение задачи дифракции плоской электромагнитной волны на прямоугольном диэлектрическом клине.

В главе III в качестве средства решения задач дифракции в клиновидной области с краевыми условиями высокого порядка выбраны интегралы Зоммерфельда, которые в задачах данного класса оказываются более эффективными, чем интегралы Конто-ровича - Лебедева. Техника Г.Д.Малюжинца и А.А.Тужилина, предложенная для решения акз'стических задач дифракции на тонкой упругой полуплоскости с граничными условиями пятого порядка и в клиновидной области с краевыми условиями третьего порядка, распространяется на задачу дифракции звуковой волны на угловом сочленении двух тонких упругих полу бесконечных пластин (рис.3) и на электромагнитную задачу дифракции на клине с проницаемыми гранями, моделируемыми с помощью граничных условий высокого порядка (рис.4, о). Основные результаты, представленные в данной главе, изложены в работах [11, 12, 14] и докладах [17, 18, 19, 24].

В разделе 3.1 рассматриваются основные допущения, сопровождающие решение задач дифракции в угловых областях методом интегралов Зоммерфельда, а также классы функций, которые могут быть представлены в виде этих интегралов. В параграфе 3.1.1 анализируется теорема Г.Д.Малюжинца об обращении интеграла Зоммерфельда. В параграфе 3.1.2 устанавливается связь интеграла Зоммерфельда и формулы его обращения ( преобразование Малюжинца ) с преобразованием Лапласа, что позво-

ляет уточнить формулировку теоремы об обращении интеграла Зоммерфельда и дать ее доказательство, основываясь на теореме Лиувилля для аналитических функций. Показана эквивалентность преобразований Лапласа и Малюжинца при использовании в интеграле Зоммерфельда контура в виде "узкой" петли. Следствием эквивалентности является следующее утверждение: если некоторая функция допускает прямое и обратное преобразования Лапласа, то она может быть представлена интегралом Зоммерфельда. Последнее очерчивает область применимости метода интегралов Зоммерфельда и является одним из основных результатов параграфов 3.1.1 и 3.1.2.

Связь преобразований Малюжинца и Конторовича - Лебедева обсуждается в параграфе 3.1.3. В отличие от работ Малюжинца, где был дан формальный вывод основных соотношений, здесь основное внимание уделяется возникающим в процессе перехода от интегралов Зоммерфельда к интегралам Конторовича - Лебедева дополнительным ограничениям на свойства представляемых функций. Важным результатом является получение формулы. связывающей трансформанты интегралов Зоммерфельда и Конторовича - Лебедева для функции-оригинала, не равной нулю в начале координат. В качестве примера, иллюстрирующего использование этой формулы, берется решение задачи дифракции плоской волны на клине с граничными условиями Неймана.

Родство указанных трех преобразований (Лапласа. Малюжинца, Конторовича - Лебедева) и, соответственно, основанных на них методов решения задач дифракции представляется существенным обстоятельством, которое открывает возможность непосредственного использования теоретических и прикладных результатов, полученных для каждого из них. При анализе решений, записанных в виде интегралов Зоммерфельда, можно опереться на широкий круг численных и аналитических методов операционного исчисления. С другой стороны, при асимптотическом исследовании интегралов Конторовича - Лебедева может оказаться полезной предварительная редукция к форме интегралов Зоммерфельда. которые хорошо приспособлены для построения коротковолновых асимптотик.

В разделе 3.2 строится точное аналитическое решение двумерной задачи дифракции плоской гармонической звуковой волны

внутри угловой области, заполненной акустической средой, границами которой являются тонкие упругие полубесконечные пластины. скрепленные вдоль их общей прямолинейной кромки и отделяющие акустическую среду от вакуума. Рассматриваются из-гибные движения пластин, моделируемые в приближении Кирхгофа с помощью граничных условий пятого порядка. Величина угла между пластинами и характер их скрепления могут быть произвольными. В параграфе 3.2.1 представлено общее решение задачи, которое содержит восемь неопределенных постоянных; при произвольном выборе этих постоянных решение удовлетворяет уравнению Гельмгольца внутри з'гловой области, краевым условиям на пластинах, условию на ребре, и обеспечивает выделение заданного падающего поля при г —» +оо. В параграфе 3.2.2 показано, что определение постоянных сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, которые вытекают из условия ограниченности рассеянного поля на бесконечности и гранично-контактных условий, фиксирующих кинематический и динамический режимы на линии скрепления пластин. Для нескольких, наиболее часто встречающихся типов контакта (жесткое защемление, шарнирное соединение, жесткий спай), представлены явные выражения для постоянных.

Дифракция электромагнитных волн на клине, свойства боковых поверхностей которого описываются с помощью граничных условий, уточняющих импедансные условия Леонтовича, рассматривается в разделе 3.3. В отличие от родственных задач акустики, для которых хорошо известны способы моделирования материальных границ раздела с помощью граничных условий высокого порядка и методы их корректной математической постановки, соответствующий раздел электромагнитной теории еще только развивается. Поэтому параграф 3.3.1 специально посвящен формулировке электромагнитных гранично-контактных задач дифракции на клине. Ее необходимыми этапами являются. во-первых, моделирование материальных границ раздела с помощью подходящих граничных условий высокого порядка и. во-вторых, задание совокупности дополнительных условий (гранично-контактные условия в акустике), которые бы адекватно описывали устройство моделируемой структуры на ребре и обеспечивали бы единственное решение задачи, удовлетворяющее со-

отношению взаимности.

Коэффициенты в операторах граничных условий выбираются в зависимости от свойств моделируемой границы и к настоящему времени разработано несколько возможных способов их определения (см. Обзор литературы). В параграфе 3.3.1 рассмотрено два типа клиновидных структур - идеально проводящий клин, покрытый слоем диэлектрика, и составной клин с поглощающими гранями, - для моделирования которых выбран метод рациональных аппроксимаций спектрального импеданса, причем особое внимание обращено на корректное описание свойства физической пассивности границы раздела (основные принципы этого способа постановки граничных условий, изложенные в публикациях [21, 25], представлены в Приложении В). Затем рассмотрены контактные условия, которые необходимы для замкнутой постановки задачи дифракции. Показано, что из теоремы единственности и принципа взаимности вытекает набор общих ограничений на вид контактных условий. Для частного слз'чая граничных згсло-вий третьего порядка получено трехпараметрическое семейство контактных з'словий, которые независимо от конкретных значений этих параметров обеспечивают единственность и взаимность решения соответствующей гранично-контактной задачи. Значения параметров в контактных условиях определяются констрз'ктив-ными особенностями рассматриваемой клиновидной структуры вблизи ребра, отражая, например, характер сопряжения слоев, покрывающих противоположные грани клина (без зазора, с воз-дЗ'шным зазором, с проводящей вставкой и т.д.).

В параграфе 3.3.2 построено общее решение задачи дифракции в зтловой области с граничными З'словиями произвольного порядка. Показано, что для однозначного определения решения задачи требз'ется епПге((Лг+ 4- Аг_ — 1)/2) контактных з'словий, что согласуется с реззгльтатами исследований прямоугольных структур методом Винера-Хопфа-Фока. Аналитический вид общего решения зависит от расположения на комплексной плоскости \тлов Брюстера, ассоциированных с каждой из граней, меняясь в зависимости от того, сколько из них лежит в правой полз'плоскости и сколько в левой. С помощью важного тождества, которое доказывается в Приложении В, задается показать, что, например, в случае граничных з'словий нечетного порядка, когда для каждой

из граней имеется соответствующее нечетное число комплексных углов Брюстера, в правой полуплоскости их должно быть на один больше, чем в левой, если граница раздела является физически пассивной. Это соотношение обобщает известное условие на вещественную часть импеданса поверхности 11е в > 0 и однозначно фиксирует аналитическую форму общего решения задачи.

В параграфе 3.3.3 описывается схема определения конкретной формы контактных условий. На примере двух конфигураций (идеально проводящий клин с покрытием и поглощающий диэлектрический клин), моделируемых с помощью граничных условий третьего порядка, описаны две схемы вывода контактных условий, основанных на прямом интегрировании уравнений Максвелла вблизи ребра: с помощью теоремы Стокса (клин с покрытием) или разложения в ряды Мейкснера (поглощающий клин). Полученные контактные условия оказываются частными случаями трех-параметрического семейства, введенного в параграфе 3.3.1, поэтому решения соответствующих задач должны быть единственными и удовлетворять соотношению взаимности. Подстановка общего решения в контактные условия приводит к замкнутому решению электромагнитной гранично-контактной задачи дифракции в виде интеграла Зоммерфельда.

В параграфе 3.3.4 это решение исследуется асимптотически в дальней зоне, где кг 1. Представлена полная система равномерных асимптотических формул, справедливых на границах скачков лучевых полей: дается физическая интерпретация членов асимптотических формул. Вид асимптотических выражений не зависит от используемых граничных и гранично-контактных условий, поэтом}- результаты этого параграфа носят универсальный характер и непосредственно могут использоваться в других родственных задачах, например для описания решения задачи дифракции на угловом сочленении упругих пластин, которое было получено в предыдущем разделе диссертации.

Глава IV посвящена задаче дифракции на клине с импеданс-ными граничными условиями Леонтовича (рис.6). Модель импе-дансного клина включает в себя как частные случаи целый набор канонических структур теории дифракции (полуплоскость, клин, плоскость со скачком поверхностного импеданса, клиновидное углубление) и поэтому может служить в качестве единой

основы для исследований рассеяния электромагнитных волн на протяженных телах сложной формы, распространения радиоволн над местностью со сложным рельефом и в городских условиях, а также при расчете антенн и интерпретации антенных измерений. Точное решение соответствующей математической задачи было найдено в начале 50-х годов Г.Д.Малюжинцем. Данная глава диссертации представляет результаты теоретических исследований, посвященных дальнейшему анализу решения Г.Д. Малюжинца, выводу удобных приближенных формул и новых представлений для этого решения, а также построению на его основе решений более сложных задач. Основное содержание главы опубликовано в статьях [4, 5, 6, 7, 15] и докладах [16, 20, 23, 26].

Раздел 4.1 представляет новые способы аппроксимации специальной функции Малюжинца Гф(;), которые позволяют достаточно просто, но вместе с тем с высокой точностью, вычислять'ее значения для произвольных комплексных значений аргумента с. В настоящее время известно несколько способов вычисления функции Малюжинца (см. Обзор литературы), однако представленные в литературе алгоритмы, либо сложны и громоздки (двойные ряды), либо обеспечивают сравнительно невысокую (порядка нескольких процентов) точность вычисления с'ф(г) при произвольных значениях 1т с. Между тем при расчетах волновых полей. например, с помощью равномерных асимптотических формул, как правило требуется повышенная точность, так как вблизи линий разрывов лучевого поля вычисления сопровождаются потерей точности. Кроме того, в последующие члены асимптотических разложений входят производные от функции Малюжинца и их расчет, например по конечно-разностным формулам, также требует как можно большего количества значащих цифр для значений Гф(;). Представлено два алгоритма, первый из которых обеспечивает относительную погрешность расчета функции Малюжинца менее Ю-4, а второй менее 3 • 10-Е1 на всей комплексной плоскости аргумента. Ключевым результатом данного раздела является разложение логарифма функции ¡.'ф(г) в ряд экспоненциальных функций, сходимость которого тем быстрее, чем больше 1т

В разделе 4.2 для описания волнового поля, образующегося при дифракции плоской волны на импедансном клине, выводится

равномерная асимптотическая формула, справедливая одновременно на границах тени для прямой и отраженной волн и учитывающая перераспределение энергии вблизи импедансной поверхности. С математической точки зрения это означает, что при асимптотическом вычислении интеграла Малюжинца учитывается возможность приближения к седловым точкам сразу трех полюсов подынтегрального выражения. Результаты раздела обобщают асимптотики, известные в литературе только при дополнительном условии, что точка наблюдения располагается непосредственно на грани клина. Представлены численные данные, характеризующие влияние высоты подъема точечного излучателя над гранью клина на уровень диаграммы направленности в скользящем направлении, а также зависимость распределения поля на грани клина от ее импеданса и удаления излучателя от ребра.

В разделе 4.3 рассматриваются особенности асимптотической структуры строгого решения задачи дифракции плоской волны в импедансной клиновидной области, угол раскрыва которой является малым. В отличие от случая внешнего клина асимптотики волновых полей для внутреннего импедансного клина почти не изучались, и достаточно детальные результаты имеются только при условии, что на гранях поставлены граничные условия Дирихле или Неймана (см. Обзор литературы). Метод исследования состоит в том, что в интеграле Зоммерфельда-Малюжинца осуществляется деформация контура интегрирования на пути наискорейшего спуска, причем особое внимание уделяется вычетам в полюсах подынтегрального выражения. Показывается, что в случае. если угол раствора клиновидной области достаточно мал, то кроме хорошо известных полюсов, вычеты в которых описывают поверхностные волны и волны геометрической оптики, необходимо учитывать и некоторые новые полюсы, ранее в литературе не рассматривавшиеся. Формулируются условия появления дополнительных слагаемых в асимптотическом представлении поля, исследуются их свойства и дается физическая интерпретация, как-многократно переотраженных поверхностных волн. Для амплитудных коэффициентов волн геометрической оптики, которые в рамках теории Малюжинца получаются в виде отношений специальных функций Гф(а) от разных аргументов, приводится общее выражение, содержащее произведения коэффициентов отражения

от импедансных плоскостей.

Раздел 4.4 посвящен преобразованию точного решения задачи дифракции на импедавсном клине к виду рядов бесселевых функций или рядов по степеням расстояния от ребра, которые имеют преимущество перед интегральной формой записи, если решение рассматривается при малых или умеренных значениях кг, так как в этих частях пространства асимптотические методы вычисления интеграла Малюжинца не работают, а численное интегрирование сопряжено с рядом трудностей, которые вызваны неограниченностью контура интегрирования, сложной структурой полюсов подынтегрального выражения, а также необходимостью многократного вычисления специальных функций, входящих в ядро. Заметим, что в случае граничных условий первого и второго рода представления в виде рядов могут быть получены непосредственно путем разделения переменных. В отличие от результатов известных в литературе здесь рассмотрен общий случай произвольных импедансов сторон, и представления в виде рядов получаются непосредственно из интеграла Малюжинца. Идея построений сводится к разложению трансформанты интеграла в ряды экспоненциальных функций с последующим почленным применением интегрального представления функции Бесселя. Найденные в результате формулы являются точными и соответствуют всем известным предельным случаям.

Кроме рядов бесселевых функций в данном разделе диссертации рассматриваются представления решения в виде рядов по степеням кг - так называемых рядов Мейкснера. При малых кг первые члены этих рядов дают простые аналитические выражения для волнового поля в окрестности ребра. Исследованы свойства рядов для различных импедансов сторон и углов раствора области. Показано, что они изменяют свою аналитическую структуру, если угол полураствора области может быть записан как Ф = ттп/(2(2?п — 1)), где п. т - натуральные числа. При этом в рядах цилиндрических функций появляются слагаемые, содержащие производные функций Бесселя по значку, а в рядах Мейкснера - логарифмические члены. Последний результат подтверждает выводы общей теории (см. Главу I) о необходимости пополнения рядов Мейкснера членами со степенями 1п(/;г) при определенных углах раствора области. Для важных частных случаев

импедансной полуплоскости и плоскости со скачком поверхностного импеданса аналитическая структура видоизмененных рядов Мейкснрра приводится полностью. Отмечается также, что наи-

7Г

большую степень сингулярности, как (Ат) 4Ф , компоненты поля обнарл'живают на ребре клина, у которого на одной из сторон поставлены условия Дирихле.

Целью раздела 4.5 является вывод удобных и строгих формул для функции Грина импедансной угловой области, которые позволили бы при произвольном расположении источника и точки наблюдения относительно друг друга и ребра области эффективно исследовать волновые поля, возникающие при дифракции цилиндрических волн на импедансных клиновидных препятствиях. В отличие от случая идеально отражающих граней клина, функция Грина угловой области с импедансными краевыми условиями, исследована значительно меньше, в основном из-за необходимости рассматривать сложные двойные интегралы, содержащие специальные функции (функции Малюжинца). Исключение составляют лишь случай возбуждения угловой области линейным источником на ее ребре, когда решение дается однократной квадратурой, и случай прямоугольной геометрии (плоскость со скачком поверхностного импеданса, прямоугольный клин, импе-дансная полуплоскость), когда возможно применение математических методов типа Винера-Хопфа-Фока (см. Обзор литературы). Обычный способ построения функции Грина предполагает интегрирование решения для плоских волн и приводит к представлению в виде двухкратного интеграла в комплексной плоскости, однако, как показано в параграфе 4.5.1, непосредственное интегрирование решения Малюжинца возможно только при условии, что точка наблюдения располагается в области, затененной клином.

Метод решения, развиваемый в разделе 4.5 состоит в том, что интеграл Малюжинца предварительно преобразуется к форме, которая допускает корректное интегрирование по спектру плоских волн. Предложено две таких формы записи плосковолнового решения - в виде интеграла по контуру наискорейшего спуска (параграф 4.5.1) и виде рядов бесселевых функций (параграф 4.5.3).

Структура контуров интегрирования в интегральном предста-

влении функции Грина делает его особенно удобным для проведения асимптотических оценок при к —> +зс. В параграфе 4.5.2 для случая внешнего клина (Ф > тг/2) на основе этого представления выписываются старшие члены коротковолновой асимптотики, в которой, по сравнению с результатами известными в литературе. снимаются ограничения на соотношения между координатами источника и точки наблюдения, уточняются выражения для фазовых множителей, а при написании амплитудных коэффициентов учитывается связь специальных функций Малюжинца с коэффициентами отражения от импедансной плоскости. Приводится также равномерная на границе тени прямой волны асимптотика решения, которая в области тени переходит в известную неравномерную формул}'. Равномерная асимптотика записывается в виде, принятом в равномерной асимптотической теории дифракции (PAT). Получающаяся простая асимптотическая формула используется для расчета ослабления, вносимого клиновидным импедансным препятствием при распространении над ним цилиндрической электромагнитной волны.

Представления в виде рядов бесселевых функций позволяют исследовать дополнительные случаи, когда один или оба параметра кг, кто оказываются малыми. В параграфе 4.5.3 из}гчены свойства коэффициентов рядов и показано, как выводятся приближенные формулы при различных соотношениях между этими параметрами. Приводятся результаты расчетов эффективности линейной антенны с током, расположенной на ребре импедансного клина, по сравнению со случаем, когда та же антенна размещается над плоским экраном с тем же значением импеданса поверхности.

Основные публикации по теме диссертации

[1] Макаров Г.И., Осипов A.B. Об асимптотических представлениях Лебая для цилиндрических функций // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 4 : Физика и химия. 1987. Вып.2. С.47-52.

[2] Макаров Г.И.. Осипов А.В. Дифракция цилиндрической волны на прямоугольной клиновидной структуре // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 4: Физика и химия. 1989. Вып. 1. С. 31-36.

[3] Макаров Г.И., Осипов A.B., Созонов А.П. Об одном интегральном уравнении в теории дифракции волн в клиновидных областях // Изв. вузов. Радиофизика. 1989. Т. 32. N11. С. 1398-1403.

[4] Осипов A.B. Вычисление функции Малюжинца в комплексной области // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 1. С. 116-121.

[5] Осипов A.B. Равномерная асимптотическая формула для вычисления акустического поля вблизи грани импедансного клина // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 2. С. 332-337.

[6] Осипов A.B. Об асимптотическом представлении акустического поля в узкой угловой области с импедансными границами // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 3. С. 516-522.

[7] Осипов A.B. О дифракции плоской волны в угловой области с импедансными граничными условиями // Акуст. журн. 1991. Т. 37. Вып. 4. С. 733-740.

[8] Осипов A.B. Дифракция электромагнитных волн ТМ поляризации на полупространстве со скачком электрических свойств // Проблемы дифракции и распространения волн. Вып. 24. СПб. : Изд-во СПбГУ. 1992. С.61-85.

[9] Осипов A.B. О задачах дифракции гармонических волн в сек-ториально неоднородных средах // Вестн. С.-Петербургского ун-та. Сер.4 : Физика, химия. 1993. Вып. 2. С. 10-21.

[10] Осипов A.B. Дифракция волн в системе соприкасающихся прямоугольных клиньев // Вестн. С.-Петербургского ун-та. Сер.4 : Физика, химия. 1993. Вып. 3. С. 15-26.

[11] Осипов А.В. О двумерных задачах дифракции на клине при граничных условиях высокого порядка // Вестн. С.-Петербургского ун-та. Сер.4 : Физика, химия. 1993. Вып. 4. С. 81-85.

[12] Осипов А.В. Преобразование Малюжинца и метод интегралов Зоммерфельда в теории дифракции волн в угловых областях // Проблемы дифракции и распространения волн. Вып. 25. СПб.: Изд-во СПбГУ. 1993. С.148-173.

[13] Осипов А.В. О методе интегралов Конторовича-Лебедева в задачах дифракции волн в секториальных средах // Проблемы дифракции и распространения волн. Вып. 25. СПб.: Изд-во СПбГУ. 1993. С.173-218.

[14] Osipov A.V. General solution for a class of diffraction problems // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. Y.27. P.L27-L32.

[15] Осипов А.В. О дифракции цилиндрических волн на импеданс-ном клине // Радиотехн. и электрон. 1995. N G. С.880-889.

[1С] Осипов А.В. Новое представление точного решения в задаче дифракции на импедансном клине //XI Всес. акуст. конф. М. 1991. Сборник докл. Секция А. С.91-94.

[17] Осипов А.В. Об одном обобщении решения Г.Д.Малюжинца для угловой области с неидеально отражающими границами // Межд. конф. по борьбе с шумом и вибрацией "Noise-93". С.-Петербург. Май 31- Июнь 3. 1993. Доклады. С.90-94.

[18] Osipov A.V. Plane wave scattering by an arbitrary coated wedge: asymptotics // The 24-tli General Assembly of URSI, Kyoto. Japan. August 25 - September 3. Abstracts. P.C3.

[19] Osipov A. V. Plane wave scattering by an arbitrary coated wedge: general solution // The 24-th General Assembly of URSI, Kyoto. Japan. August 25 - September 3. Abstracts. P.G92.

[20] Osipov A.V. On sound diffraction by an impedance wedge // The 127-th Meeting of the Acoustical Society of America. Cambridge. USA. June 6 - 10. 1994. J. Acoust. Soc. Amer. Vol.95. No 5. Pt.2. P.2839.

[21] Osipov A. V. On formulation of the high-order boundary conditions for stratified media // The 3-d Int. Congress on Air- and Structure-born Sound and Vibration, Montreal, Canada, June 13 -15, 1994. Proceedings. P.1635-1G42.

[22] Osipov A. V. Electromagnetic diffraction by a system of coupled rectangular wedges: efficient solution via the semi-inversion method // The 5-th Int. Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov, Ukraine, September 7 - 10, 1994. Proceedings. P.282-285.

[23] Osipov A. V. Green's function for an impedance wedge and its application to some antenna problems // Int. Symposium on Antennas (JINA '94), Nice, France, November 8 - 10, 1994. Proceedings. P.270-273.

[24] Osipov A. V. Electromagnetic scattering by an arbitrary-angle wedge with penetrable faces: analytical treatment using higher- order boundary conditions // The 15-th triennial URSI Symposium on Electromagnetic Theory. St.Petersburg, Russia. May 23 - 26, 1995. Proceedings. P.510-512.

[25] Osipov A. V. The theory and some prospective applications of the spectral impedance approach in the media interface analysis // Int. Seminar "Day on Diffraction' 95". St.Petersburg. Russia. May 29 -June 2. 1995. Abstracts. P.31-32.

[26] Osipov A.V. Towards applied adaptation of the Malvuzhinets' solution 11 IEEE / AP-S Int. Symposium and USXC/URSI Radio Science Meeting. Newport Beach, California, USA, June 18-23. 1995. URSI Digest. P. 157.