Статистические характеристики волновых пучков при наклонном освещении мутной среды тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

г» Г г; П НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 1 1 ! им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

АИСТОВ Андрей Валентинович

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛНОВЫХ ПУЧКОВ ПРИ НАКЛОННОМ ОСВЕЩЕНИИ МУТНОЙ СРЕДЫ

01.04.03 — Радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород, 1994

На правах рукописи

Работа выполнена на радиофизическом факультете Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. Г. Гавриленко.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Тамойкин; кандидат физико-математических наук, зав. отделом ИПФ РАН Л. С. Долин.

Ведущая организация: Московский инженерно-физический институт.

Защита диссертации состоится « ^ » ¿х._1994 г.

Жна заседании диссертационного совета К 063.77.03 по радиофизике при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского (г. Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 4, ауд. "2-&1.).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского. Автореферат разослан «_ УС_1994 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

В. В. Черепенников.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время бурное развитие средств связи, а также методов дистанционного зондирования и обнаружения различных природных и искусственных образований, неразрывно связано с необходимостью дальнейшего изучения особенностей распространения электромагнитного излучения в случайно-неоднородных средах. Актуальность данного исследования обусловлена тем, что столь различные на первый взгляд среды, как атмосферные облака, морская вода, космическая плазма, биологические ткани, фотографические материалы и т.п., при соответствующем выборе длины волны излучения обладают весьма схожими рассеивающими свойствами. Это позволяет использовать универсальные приемы при исследовании статистических характеристик волн, испытавших влияние хаотических неоднородностей сред различной физической природы. Знание этих характеристик, в свою очередь, является весьма актуальным при разработке способов увеличения помехозащищенности систем связи, при повышении эффективности работы различного рода диагностирующих, локационных и наблюдательных систем.

В качестве примера можно привести использование информации о флуктуациях параметров волн в целях диагностики турбулентных сред при радиопросвечивании, широко применяемом в настоящее время для изучения околосолнечной, межпланетной и ионосферной плазм. Электромагнитное излучение оптического диапазона широко используется в океанографических исследованиях. Знание особенностей распространения электромагнитных волн в рассеивающих средах очень важно при разработке различных систем подводного оптического наблюдения. Рассеивающие свойства, аналогичные морским, но по отношению к излучению, лежащему в ближнем ИК диапазоне, имеют биологические ткани животных и человека. Вместе с этим, относительно высокая проникающая способность ИК излучения в ткани позволяет использовать оптические методы для контроля внутренних органов животных.

Во многих практических приложениях на статистические характеристики волновых полей оказывает значительное влияние регулярное поглощение. В сильнопоглощающих случайно-неоднородных средах Стак называемых, мутных средах) распространение волн приобретает новые по сравнению с прозрачной средой специфические черты. В связи с этим, теоретическое решение задачи о влиянии диссипации

на статистические характеристики излучения различной природы, прошедшего через случайные среды, имеет важное значение для понимания ряда явлений, встречавшихся при разработке вышеперечисленных научных проблем.

В настоящее время решение этой задачи еще далеко от полного завершения. Так, недостаточно исследованы особенности переноса излучения в мутных средах, характерные для случая наклонного освещения их границы. Эта задача сложнее более подробно изученного случая нормального падения лучей на поверхность среды. До сих пор отсутствует достаточно универсальная методика расчета волновых полей в поглотавших анизотропно рассеивавших средах в условиях сильно выраженной асимметрии задачи. Поэтому, такие практически важные вопросы, как расчет усредненного углового и пространственного распределений яркости в волновом пучке конечной ширины, изучение особенностей импульсного наклонного зондирования, а также статистические характеристики излучения на больших глубинах, при переходе к, так называемому, глубинному режиму, рассмотрены в опубликованных работах других авторов недостаточно подробно и точно.

Цель работы. В связи с этим, целью диссертационной работы является систематический анализ влияния диссипации и рассеивающих свойств среды на статистические характеристики принимаемого излучения и их эволюцию с глубиной при наклонном освещении поверхности пучком конечной ширины, в общем случае, нестационарным.

Научная новизна работы заключается как в постановке некоторых не рассматривавшихся ранее задач, так и в полученных в ней оригинальных результатах. В частности, в работе впервые:

1) показано, что при наклонном освещении поглощающей анизотропно рассеивающей среды волновым пучком ширина распределения пространственной облученности в горизонтальном сечении пучка и усредненного в этом сечении углового распределения лучевой интенсивности может увеличиваться с ростом показателя поглощения среды; установлено, что этот эффект выражен сильнее в средах с индикатрисой, плавно спадающей в области больших углов рассеяния;

2) исследован случай импульсного наклонного освещения по-

верхности мутной среды ограниченным пучком; при этом выяснено, что поглощение наиболее сильно искажает временные характеристики поля, зарегистрированные протяженным приемником; при этом, время прихода максимума сигнала на заданную глубину оказывается меньшим, чем в непоглощащей среде, а его длительность возрастает с увеличением показателя поглощения среды;

3) анализируется форма угловой диаграммы яркости при наклонном освещении сильнспоглощаюшей среды; показано, что в среде с полидисперсным характером неоднородностей форма диаграммы в переходной к глубинному режиму излучения области сильно отличается от гауссовой;

4) показано, что формирование асимптотического (глубинного) режима излучения при наклонном освещении границы анизотропно рассеивающей поглощающей среды существенно отличается от случая нормального падения освещающего пучка; выяснено, что в сильнопо-глещаюцей среде в процессе приближения к глубинному режиму ширина угловой диаграммы яркости меняется немонотонно и может заметно превышать свое асимптотическое значение.

Практическая ценность. Полученные в работе результата могут быть использованы:

- при исследовании рассеивающих свсЗств мутньгх сред СИК зондировании атмосферных облаков и тканей животных);

- при разработке систем подводного оптического наблюдения;

- для объяснения светового режима в океане при естественном и искусственном освещении его поверхности.

Апробация результатов. Материалы диссертации были представлены на XII Межреспубликанском симпозиуме по распространение лазерного излучения в атмосфере и водных средах СТомск, 1993), XVII конференции по распространению радиоволн (Ульяновск, 1993), Международном совещании по распространению волн в случайных средах СБеаШе, 1992), докладывались на Международной научной школе - семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" (Нижний Новгород, 1992), Международной летней школе по физике космической плазмы (на борту теплохода, следующего по маршруту Ниений Новгород - Васильсурск - Москва - Нижний Новгород, 1993), IX научной конференции молодых ученых и специалистов Волго-Вятского региона (Горький, 1990), научной конференции ГГУ по итогам

научно-исследовательских работ за 1989 год (Горький, 1990), научных конференциях ННГУ по радиофизике (Нижний Новгород, 1992; 1993), семинарах ННГУ и НИРФИ, а также опубликованы в работах 11-113.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 132 страницы, в том числе 93 страницы основного текста, 38 рисунков, список литературы из 133 наименований.

СОДЕРЖАЩЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определены его цели и задачи, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание работы.

Первая глава посвящена аналитическому исследованию.прост-ранственно-углового распределения и временной зависимости интенсивности волнового поля в анизотропно рассеивающей поглощающей среде при наклонном освещении ее поверхности пучком конечной ширины. Здесь и далее поглощение в среде считается регулярным, среда - статистически однородной, стационарной, изотропной; энергия волнового поля лежит в узком спектральном интервале. В главе исследуется влияние поглощения и формы индикатрисы рассеяния на ряд статистических характеристик интенсивности распространяющегося в среде излучения в условиях ярко выраженной асимметрии задачи. Анализ выполнен в рамках феноменологической теории переноса излучения.

В параграфе 1.1 предложена методика решения уравнения переноса излучения в малоугловом приближении (раздел 1.1.1), удобная для анализа ряда особенностей распространения излучения в мутной среде при наклонном падении слаборасходящегося стационарного волнового пучка на ее границу. В рассмотренном приближении пространственно-угловое распределение лучевой интенсивности описывается гауссовой функцией. Полученное выражение справедливо вплоть до области начала активной перестройки тела яркости пучка, пока угловые гармоники поля мало отклоняются от направления преломленных на границе лучей:

сг * z* </> « 2 cos*& , (1)

где а - показатель рассеяния, и - показатель поглощения, г -

глубина погружения приемника, <рг> - средний квадрат угла однократного рассеяния, & - угол преломления оси освещающего пучка на границе среды.

В разделе 1.1.2 анализируется ряд фотометрических характеристик излучения. В частности, исследуется угловое распределение лучевой интенсивности, усредненное в сечении пучка, параллельном поверхности среды. Полученное выражение подтверждает известный факт поворота углового распределения в сторону нормали к поверхности с ростом глубины погружения в мутную среду при ее наклонном освещении. Наряду с этим, показано, что в этих условиях увеличение регулярного поглощения в среде приводит к дополнительному размытии волнового поля. При наклонном освещении границы угловая диаграмма яркости на заданной глубине в анизотропно рассе-ивапщей поглощающей среде оказывается более широкой, чем в не-поглощающей с теми же рассеивающими свойствами, на той же глубине. Эффект уширения усиливается с ростом угла преломления излучения на поверхности среды и с уменьшением скорости спадания индикатрисы рассеяния в области больших углов.

Аналогичным образом проанализировано влияние параметров среды на распределение пространственно" облученности в параллельной поверхности плоскости при наклонном освещении среды узким пучком. Выяснено, что в рассмотренной задаче диссипация излучения в среде приводит и к пространственному размытию волнового пучка. Это расплывание пучка, так же, как и уширение угловой диаграммы яркости, значительно увеличивается с увеличением угла преломления пучка на границе и с уменьшением скорости спадания индикатрисы в области больших углов рассеяния.

Далее в разделе 1.1.2 получено выражение для углового распределения лучевой интенсивности на оси пучка. Под осью пучка понимается геометрическое место точек, в которых наблюдается максимум пространственной облученности в параллельном поверхности сечении пучка. Полученное выражение позволило вывести условия, при выполнении которых начальная пространственная ширина пучка не влияет на ширину угловой диаграммы яркости, измеренной точечным источником на фиксированной глубине. Анализ показывает, что описанные выше "аномальные" эффекты имеют место, если значение глубины погружения приемника излучения не превышает величину порядка начальной ширины пучка.

В параграфе 1.2 описанная до этого методика распространена

на случай нестационарного волнового пучка. Предполагается, что импульсная зависимость интенсивности от времени в падающем на границу раздела пучке описывается гауссовой функцией. В разделе 1.2.1 получено удобное для анализа выражение для зависящей от времени лучевой интенсивности в мутной среде. В рассмотренном приближении распределение записывается в виде многомерной гауссовой функции.

В разделе 1.2.2 проанализированы временные характеристики принимаемого на фиксированной глубине сигнала. Если проинтегрировать пространственно-временное распределение интенсивности излучения по плоскости, параллельной поверхности среды, то обнаруживается сильная зависимость усредненного таким способом сигнала от поглощающих свойств среды при асимметричных граничных условиях. В частности, рост показателя поглощения среды приводит к увеличению дисперсии времени прихода рассеянного излучения на заданную глубину. Соответствующее среднее время прихода оказывается существенно меньшим, чем в непоглощаюцей среде. Описываемые эффекты значительно усиливаются с увеличением вероятности однократного рассеяния излучения на большие углы.

Хорошо известное явление поворота тела яркости пучка в сторону нормали к поверхности среды ограничивает применимость описываемых в первой главе теоретических результатов лишь начальным интервалом глубин (1). Одним из способов изучения дальнейшей эволюции излучения в среде является численное моделирование.

Во второй главе приведены результаты численного моделирования Сметодом Монте-Карло) распространения света в океаноподобных средах и модельной среде с гауссовой индикатрисой рассеяния. Углы преломления излучения на границе не превышают 30°.

В параграфе 2.1 численно исследовано влияние поглощающих и рассеивающих свойств среды на форму и параметры углового распределения лучевой интенсивности. Моделировалось освещение поверхности плоской волной. Установлено, что возможность наблюдения хаотизирующего воздействия поглощения в большой степени зависит от скорости спадания "хвостов" индикатрисы рассеяния. Так, например, если в среде с быстро спадающей (гауссовой) индикатрисой "аномальное" уширение углового распределения интенсивности при выбранном соотношении между показателем рассеяния и поглощения (минимальное значение вероятности выживания фотона Л = а/Са+х) равнялось 0,2) заметить практически не удается, то в среде со

степенной индикатрисой рассеяния в некотором интервале глубин совершенно отчетливо наблюдается увеличение ширины угловой диаграммы яркости с ростом показателя поглощения среды. Причем, сказанное относится в первую очередь к распределению интенсивности в плоскости падения. Эффекты в перпендикулярной плоскости выражены гораздо слабее.

Численный подход, кроме того, дал возможность исследовать эволюцию углового распределения во всем интервале глубин, вплоть до асимптотического (глубинного) режима. Обнаружено, что при степенном виде индикатрисы рассеяния в сильнопоглощащей среде ( Л = 0,2 ) дисперсия углового распределения интенсивности в плоскости падения в процессе погружения в глубь среди проходит через максимум и далее, уменьшаясь, стремится к своему глубинному значению. Этот переход сопровождается сильным изменением формы (возникновением асимметрии) углового распределения интенсивности в плоскости падения.

В параграфе 2.2 описано численное исследование пространственной освещенности в сечении пучка, параллельном-поверхности среды. Начальная ширина пучка считалась пренебрежимо малой. Установлено, что в среде с относительно плавно спадающей в области больших углов степенной индикатрисой рассеяния при переходе к глубинному режиму излучения дисперсия пространственного распределения интенсивности в плоскости падения существенно растет с увеличением показателя поглощения среды.

В переходной к глубинному режиму области наблюдается сильное искажение формы (отклонение от гауссовой) прос"ранственного распределения интенсивности излучения в плоскости падения.

В параграфе 2.3 приведены результаты статистического моделирования процесса распространения излучения в среде со степенной индикатрисой рассеяния при освещении поверхности среды пучками различной ширины. Проанализирована эволюция с ростом глубины погружения статистических характеристик (первого момента и дисперсии) угловой диаграммы яркости, измеренной приемником малых размеров на первоначальной оси пучка и в центре тяжести распределения пространственной освещенности в сечении пучка, параллельном поверхности среды (координата центра тяжести вычислялась для узкого пучка). Моделирование показало, что описанные выше (параграфы 1.1, 2.1) "аномальные" эффекты могут наблюдаться при локально« наблюдении лишь на глубинах порядка начальной ширины

пучка. При наблюдении углового распределения при помощи протяженного приемного устройства, расположенного в плоскости, параллельной границе среды, начальная ширина пучка не играет роли и распределение совпадает с тем, что имеет место для плоской освещающей волны.

Одним из существенных недостатков проведения исследования методом Монте-Карло является необходимость больших затрат машинного времени. Поэтому актуальной остается задача аналитического описания перехода излучения к глубинному режиму.

В третьей главе на основе уравнения переноса излучения, записанного в малоугловом приближении для случая существенно наклонного освещения полубесконечной мутной среды плоской волной, получена система дифференциальных уравнений, позволяющая вычислить статистические моменты С до третьего включительно) углового распределения лучевой интенсивности.

В параграфе 3.1 приведен вывод данной системы и указаны ограничения на ее применимость. В параграфе 3.2 приводятся результаты численного решения системы и их сравнение с полученными моделированием методом Монте-Карло. Рассмотренная методика позволяет достаточно точно вычислить угловые моменты лучевой интенсивности С включая их значения в глубинном режиме излучения) для среды с одномасштабной (гауссовой) индикатрисой рассеяния. В. случае небольших углов преломления излучения на границе результаты хорошо согласуются с полученными другими авторами аналитически в приближении, эквивалентном по точности малоугловому диффузионному приближению. "Аномальные" эффекты, описанные в первых двух главах, начинают проявляться в сильнопоглощащей среде при увеличении угла преломления излучения на границе (больше 30°). Сильггопоглощаюцей в даяном случае названа среда, в которой величина показателя поглощения превосходит величину показателя рассеяния. Кроме демонстрации возможности наблюдения "аномальных" эффектов, предложенная методика позволяет вычислить центральный момант третьего порядка, описывающий асимметрию угловой диаграммы яркости.

В заключении сформулированы основные результаты, полученныо в диссертационной работе.

В приложении приведено описание использованных в ходе исследований алгоритмов численного моделирования процесса распространения излучения в мутной среде методом Монте-Карло.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получено аналитическое выражение для пространственно-углового распределения лучевой интенсивности волнового пучка в анизотропно рассеивающей поглощающей среде, справедливое в области малоуглового многократного рассеяния при наклонном освещении границы. На его основе исследованы явления смещения и "аномального" уширения пространственной облученности в горизонтальном сечении пучка и усредненного в этом сечении углового распределения лучевой интенсивности.

Показано, что при наклонном освещении границы ширина данных распределений в некотором интервале глубин увеличивается с ростом показателя поглощения среды при прочих равных условиях. Этот эффект выражен сильнее в средах с рассеянием, описываемым индикатрисами с плавно спадающими "хвостами" в области больших углов.

2. Аналитически показано, что при наклонном импульсном освещении поверхности мутной среды ограниченным волновым пучком поглощение наиболее сильно искажает временные характеристики поля, зарегистрированные протяженным приемником. При этом, время прихода максимума сигнала на заданную глубину оказывается меньшим, чем в непоглощающей среде, а его длительность возрастает с увеличением показателя поглощения среды.

3. Методом численного статистического моделирования показано, что при наклонном освещении сильнопоглощающей среды с полидисперсным характером неоднородностей форма углово" диаграммы яркости и пространственной облученности в горизонтальном сечении пучка в переходной к глубинному режиму излучения области сильно отличается от гауссовой.

4. Показано, что формирование асимптотического, глубинного режима излучения при наклонном освещении границы существенно отличается от случая нормального падения освещающего пучка. Выяснено, что в сильнопоглощающей среде в процессе приближения к глубинному режиму ширина угловой диаграммы яркости меняется немонотонно и может заметно превышать свое асимптотическое значение.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Аистов А.В., Петров С.С. Численное исследование угловой структуры наклонно падающего светового поля в мутной среде с сильно анизотропным рассеянием// IX научная конференция молодых ученых и специалистов Волго-Вятского региона. Тезисы докладов. - Горький, 1959.^ Ч. 2,- С. 70.

2. Аистов А. В., Гавряленко В.Г., Петров С. С. Об эволюции углового распределения света, рассеянного на поглощающей анизотропной среде// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана.-1991,- Т. 27, N 3.- С. 297-303.

3. Аистов А.В., Гавриленко В.Г., Петроъ С.С. О формировании светового поля в сильно поглошающей анизотропно рассеивающей среде при наклонном падении ограниченного пучка// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1992. - Т. 28, N 2. - С. 166-171.

4. Aistov А. V., Gavrilenko V. G. Evolution of light beam at slant illumination of absorbing turbid medium// Dynamic anc} stochastic wave phenomena. Proceedings of the International Scientific School-Seminar in the University of Nizhny Novgorod, 1-14 June 1992.- Nizhny Novgorod, 1992.- P. 150-151.

5. Aistov A. V., Gavrilenko V.G. , Petrov S.S. Wave beam statistical characteristics in strongly absorbing chaotic medium at inclined angle to the boundary// Scintillation. International Meeting for Wave Propagation in Random Media, August 3-7, 1992. Meeting Digest.- Seattle, 1992.- Author index T. 5.

6. Aistov A.V., Gavrilenko V.G. Transformation of angular spectrum of wave power in collisiorial turbulent negnetoactive plasma// Plasma in Space. Proceedings of the International Summer School in Space Plasma Physics. Held onboard the ship "Turgenev" on the Volga, Russia. 31 May - 11 June 1993.-Uppsala, 1993. - P. 40.

7. Аистов А.В., Гавриленко В.Г. 0 влиянии поглощения на угловой спектр лазерного излучения при наклонном освещении анизотропно рассеивающей среды// XII Межреспубликанский симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах. Тезисы докладов, - Томск, 1993,- С. 48.

8. Аистов А.В., Гавриленко В. Г. Численный анализ простран-

ственно-углового распределения интенсивности света при наклонном освещении мутной среды// Научная конференция по радиофизике. Материалы конференции.- Нижний Новгород, 1993.-С. 51.

9. Аистов А.В., Гавриленко В.Г. Особенности углового распределения света в мутной среде при наклонном освещении границы коллимированным пучком// XVII конференция по распространение радиоволн, 21-24 сент. 1993 г. Тезисы докладов.- Ульяновск, 1393.- Секции 3,4,5.- С. 47.

10. Аистов А.В., Гавриленко В. Г. Об особенностях распространения светового импульса в мутной среде при наклонном падении пучка на ее границу// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана.- 1992. - Т. 28. N 6. - С. 599-603.

И.Аистов A.B., Гавриленко В.Г. 0 влиянии поглощения на параметры светового импульса в анизотропно'рассеивающей среде при наклонном освещении границы// Научная конференция по радиофизике. Материалы конференции. - Нижний Новгород, 1993. - С. 3.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ П0ГЛ0ЩАЩЕИ СРЕДЕ В ПРИБЛИЖЕНИИ МАЛОУГЛОВОГО МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ

1.1. Формирование распределения лучевой инте"сивностн в сильнопоглощавщей анизотропно рассеивающей среде при наклонном освещении ее поверхности, стационарным волновым пучком

1.1.1. Пространственно-угловое распределение лучевой интенсивности

1.1.2. Анализ эффектов, вызванных наличием поглощения при асимметрии задачи

1.2. Особенности распространения импульсного сигнала • в мутной среде при наклонном освещении ее

поверхности волновым пучком конечной ширины

1.2.1. Выражение для зависящей от времени лучевой интенсивности

1.2.2. Влияние поглощения на интегральные

характеристики лучевой интенсивности ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В МУТНОЙ СРЕДЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

2.1. Эволюция углового распределения лучевой интенсивности в мутной среде при наклонном освещении ее поверхности плоской волной

2.2. Пространственная освещенность в сечении пучка параллельном поверхности среды

2.3. Зависимость интегральных параметров углового распределения лучевой интенсивности от выбора точки наблюдения и начальной ширины пучка

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ УГЛОВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛУЧЕВОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ В МУТНОЙ СРЕДЕ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ

3.1. Система уравнений для угловых моментов лучевой интенсивности

3.2. Численное решение системы для моментов % обсуждение результатов

Заключение Приложение Литература