Высокочастотная дифракция на цилиндрических поверхностях с обобщенными импедансными граничными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1 ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ АСИМПТОТИКА ВОЛНОВОГО ПОЛЯ, РАССЕЯННОГО БЕЗМОМЕНТНОЙ КРУГОВОЙ ОБОЛОЧКОЙ

1.1 Постановка задачи для оболочки произвольного сечения

1.2 Переход к безразмерным переменным.

1.3 Построение точного решения для круговой оболочки в виде интеграла.

1.4 Асимптотическое исследование подинтегральных функций

1.5 Построение асимптотики интеграла вдали от критического луча.

1.6 Равномерная асимптотика волнового поля во всей освещенной области.

2 ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ АСИМПТОТИКА ВОЛНОВОГО ПОЛЯ В ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ НА ТОНКОЙ УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

2.1 Подстановка анзатца в уравнение Гельмгольца и в граничное условие.

2.2 Определение неизвестных функций анзатца гд и

2.3 Определение неизвестных функций анзатца г^и^.

2.4 Исследование боковой волны в старшем приближении

3 ДИФРАКЦИЯ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НА ОБОЛОЧКЕ, ОПИСЫВАЕМОЙ УРАВНЕНИЯМИ КИРХГОФА-ЛЯВА

3.1 Исходные уравнения.

3.2 Вывод граничного условия

3.3 Построение асимптотического решения.

4 БОКОВЫЕ ВОЛНЫ В ЗАДАЧАХ С ОБОБЩЕННЫМИ ИМПЕДАНСНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

4.1 Постановка задачи дифракции с ОбИГУ и теорема единственности

4.2 Боковая волна в задаче дифракции с ОбИГУ и условия ее существования.

4.3 Поверхностные волны.

В последние десятилетия широкий интерес исследователей вызывают задачи дифракции на телах с обобщенными импедансными граничными условиями (ОбИГУ), содержащими, помимо нормальной производной и самого поля, касательные производные высокого порядка. В наиболее общей форме граничные условия такого типа для цилиндрической поверхности могут быть записаны в виде

1 (з, д/дз) ди/дп\8 = Ь2 (з, д/дз) и\3, (1) где в — координата вдоль границы сечения цилиндрической поверхности 5, п — нормальная к границе координата, Ь^ — дифференциальные операторы, являющиеся полиномами по д/дв с коэффициентами, зависящими от в.

Диссертация посвящена высокочастотным дифракционным задачам с неклассическими граничными условиями вида (1). Рассматриваемая задача дифракции состоит в построении высокочастотной асимптотики решения уравнения Гельмгольца при обобщенном импедансном граничном условии (1) и условиях излучения на бесконечности. Цель работы:

- вывести граничные условия, описывающие взаимодействие акустической волны с безмоментной оболочкой и с тонкой упругой оболочкой, описываемой уравнениями Кирхгофа-Лява;

- найти в освещенной области высокочастотную асимптотику волнового поля, рассеянного безмоментной оболочкой и оболочкой Кирхгофа-Лява;

- получить условия на коэффициенты ОбИГУ, при которых возбуждается боковая или поверхностная волна.

Задачи дифракции акустических волн на тонких упругих пластинах и оболочках активно изучаются в последние 30 лет. Для пластины ¿2 = 1, ¿1 = дА/дзА + На оболочке вид и порядок дифференциальных операторов Ь\ и 1/2 зависит от того, какая модель оболочки используется. В первых двух главах рассмотрена безмоментная оболочка, для нее операторы Ь\ и ¿2 имеют второй порядок. В третьей главе выведено граничное условие для оболочки, описываемой уравнениями Кирхгофа-Лява, которое содержит касательные производные вплоть до шестого порядка.

Имеется большое число работ, посвященных изучению колебаний свободных оболочек (например, [1], [2] и цитированная там литература, [3]), оболочек, заполненных жидкостью^ и оболочек, погруженных в жидкость ([4] - [10]).

Решение задач о колебаниях оболочек вызывает большие трудности в связи со сложностью уравнений, описывающих процесс их колебаний. Для оболочек простой формы (пластин, круговых цилиндрических и сферических оболочек) можно построить решение в виде рядов или интегралов, содержащих специальные функции.

Для оболочек произвольной формы построить точное решение не удается. Более того, даже для оболочек простой формы такое решение часто имеет сложный вид, что затрудняет его анализ. Приходится либо использовать численные методы и с помощью компьютера находить приближенное численное решение задачи, либо использовать асимптотические методы.

Решения различных дифракционных задач, помимо отраженной волны, часто содержит волны других типов. Например, различные виды поверхностных волн.

В работе [11] дан обзор поверхностных волн в акустике. Поверхностная волна характеризуется тем, что ее амплитуда убывает по экспоненциальному закону при удалении от границы, вдоль которой она распространяется. Скорость поверхностной волны меньше, чем скорость волн в свободном пространстве. Типичным и давно известным примером поверхностных волн является волна Рэлея, распространяющаяся вдоль свободной границы твердого тела.

К поверхностным волнам относятся волны изгибного типа, возникающие при дифракции акустических волн на пластинах и оболочках. В работе [4] приведены результаты численных расчетов, выполненных для стальной цилиндрической оболочки, погруженной в воду, и приведены экспериментальные данные, касающиеся изгибных волн. В работе [5] формулы для изгибной волны при дифракции на произвольной трехмерной оболочке получены лучевым методом.

Поскольку изгибные волны, связанные с поперечными колебаниями оболочки, к настоящему времени изучены достаточно полно, в настоящей работе основное внимание уделено волнам, связанным с продольными колебаниями.

В отличии от поперечных волн, продольные колебания распространяются по оболочке, погруженной в жидкость, практически с той же скоростью, что и по оболочке в вакууме. Поэтому во многих случаях скорость этих волн превышает скорость звука в среде.

В различных задачах дифракции, как стационарных, так и нестационарных, если скорость волны в среде меньше скорости волны в препятствии, наблюдались волны, опережающие отраженную волну. Часть пути соответствующих лучей проходило по самому препятствию. Существование таких волн соответствует известному принципу Ферма: это самый быстрый путь от источника до точки наблюдения, если часть пути может проходить по препятствию. К сожалению, для волн такого типа в отечественной литературе не существует общепринятого термина. Например, в работах [12], [13] и [14] они называются боковыми (этого термина будем придерживаться в дальнейшем), в [15], [16], [20] они называются головными волнами, встречаются и другие названия.

Впервые волны такого типа были описаны Л.М. Бреховских. В его монографии [12] рассмотрена стационарная задача об отражении сферических волн от плоской границы раздела жидких или газообразных сред. Построенная в этой работе точная теория позволяет проследить, как при переходе из области до угла полного внутреннего отражения в область углов, больших угла полного внутреннего отражения, от фронта отраженной волны ответвляется фронт боковой волны. Получены асимптотические формулы для боковой волны в окрестности угла полного внутреннего отражения и вдали от него. Равномерные относительно точки наблюдения формулы, содержащие обобщенные функции Эйри, для этой задачи приведены в статье [17].

В диссертации [15] получены асимптотические формулы для "головной волны интерференционного типа"в случае криволинейной границы раздела сред.

В работе [18] описаны подобные волны (в нестационарной задаче), возникающие при дифракции плоской волны на сплошном упругом цилиндре, там они названы "волнами типа шепчущей галереи".

Первые экспериментальные данные, касающиеся головных волн, связанных с продольными колебаниями тонких пластин и оболочек, впервые описаны в работе Л.М. Лямшева [16]: "Исследуя подробно отражение звука тонкими ограниченными пластинками в направлении, противоположном падающей волне, мы обнаружили новый вид незеркального отражения, обусловленного продольными волнами в пластинке, который имел место для значительно меньших углов падения, чем незеркальное отражение, связанное с изгибными волнами. Ю.М. Сухаревский указал на то, что новый вид незеркального отражения, вероятно, связан с возникновением в пластинке под действием падающей волны продольных волн, поскольку при тех углах, при которых наблюдалось новое незеркальное отражение, фазовая скорость падающей волны в воде вдоль пластинки была равна скорости продольных волн в пластинке."

Статьи [19], [20] посвящены систематическому изучению нестационарных интерференционных явлений в средах, состоящих из плоскопараллельных слоев, возбуждаемых произвольным точечным источником колебаний. Полученные в этих работах формулы хорошо согласуются с экспериментами, результаты которых опубликованы в работе [13]. Б.Н. Ивакиным были экспериментально исследованы низкочастотные головные, отраженные и преломленные волны, а также изгибные колебания. В его работе [13] описывается распространение ультразвуковых волн в бассейне с водой, в которую погружались латунные листы различной толщины. В этих опытах регистрировалась симметричная относительно слоя головная волна, связанная с поперечными колебаниями слоя.

В отличие от изгибных волн ([5], с. 113), для которых вид асимптотики зависит от величины аИ/Х2 (а — характерный линейный размер оболочки, Н — ее толщина, Л — длина волны), которая может принимать значения как много больше, так и много меньше единицы, или порядка единицы, асимптотика боковой волны и методы ее построения не различаются для этих случаев.

Построению высокочастотных асимптотических формул для боковых волн в задачах дифракции на цилиндрических оболочках уделено основное внимание в первых трех главах диссертации. В четвертой главе рассмотрен вопрос о существовании боковых волн в некоторых задачах электродинамики.

В первой главе поставлена задача для безмоментной выпуклой цилиндрической оболочки и, в качестве модельной, исследована задача дифракции на безмоментной круговой цилиндрической оболочке. Рассматриваемая задача состоит в отыскании решения уравнения

АИ + к2и = -А5(х - ®оЖу - Уо), У) € л \Iiit 5, (2) где и — потенциал скорости V частиц среды (V = gí:s^,dU), (хо,уо) — координаты источника, к = ш/со — волновое число {ш — круговая частота волнового поля, со — скорость звука в жидкости), А — постоянная величина той же размерности, что и С/, характеризующая интенсивность источника.

На поверхности цилиндра функция и должна удовлетворять граничному условию:

ЯТТ гаду, (3) дп в обеспечивающему непрерывность нормальных составляющих скоростей частиц среды и оболочки. В условии (3) 811 /дп — производная по внешней нормали к 5", ш — нормальное смещение частиц оболочки в проекции на внутреннюю нормаль.

На бесконечности при г = ^/х2 + у2 —оо волновое поле должно удовлетворять условиям излучения: эи 1ки = о оо.

4) дг " ~ '

Для того, чтобы исключить из граничного условия (3) неизвестную функцию и), привлечем уравнения колебаний цилиндрической оболочки. В качестве координаты точки на контуре 5 выберем длину дуги в, тангенциальное смещение частиц оболочки обозначим через V. В принятых обозначениях система безмоментных уравнений колебаний оболочки имеет вид:

2 д2 2 д ! - с ——Н дз2 дз 2

-из V — рН

-1 9

5)

2 г>-1 " 2 о—2 2 с К —г; — с К гп = —из т дв X п рк

Здесь р — плотность материала оболочки, /г — ее толщина, (рк — поверхностная плотность оболочки), Е р{ 1 - М2) скорость распространения продольной волны по оболочке (Е и ¡1 — модуль Юнга и коэффициент Пуассона), причем будем считать, что с > со, К = Щв) — ее радиус кривизны, 0 < Я, < оо, Х8 и Хп — тангенциальная и нормальная составляющие действующей на оболочку внешней силы, отнесенной к единице площади. В нашем случае этой силой является давление жидкости (или газа) на оболочку, поэтому

Х8 = 0, Хп=р = гизр0и \Б ,

6) где ро — плотность среды (жидкости или газа). Равенства (5) и (б) приводят к граничному условию на контуре 5:

Урк дп) дп и 0.

7)

Граничное условие (7) отличается от классических тем, что помимо самой функции и ее нормальной производной содержит еще и касательную производную второго порядка. Тем самым рассматриваемая задача принадлежит к новому классу дифракционных задач, который начал рассматриваться лишь в последний десятилетия.

Точное решение Л(М) задачи (2), (4), (7) получено методом разделения переменных в виде контурного интеграла, который преобразуется в сумму двух интегралов и(м) = и0{м) + и1{м), первый из которых Щ (М) описывает волновое поле, прошедшее от источника до точки наблюдения угловое расстояние меньшее 7Г, второй интеграл 11\{М) описывает волновые поля, прошедшие угловые расстояния большие 7г, т. е. обогнувшие оболочку не менее одного раза, и в работе не рассматривается.

Подинтегральная функция интеграла 1/о(М) выражается через функции Ханкеля. Заменяя цилиндрические функции их асимптотиками при больших значениях д = ка (а — радиус кругового сечения оболочки), получаем интеграл вида и0(М) = 11Р(СМу^М<1(. (8)

Фазовая функция интеграла (8) имеет в освещенной области две перевальные точки Сг(М) и Вклад в асимптотику интеграла и$(М) перевальной точки (¿(М) дает прямую волну. Седловая точка СДМ) соответствует отраженной волне, (,\{М) — ётв, где в — угол, под которым отражается от оболочки луч, приходящий в точку наблюдения М. Однако подинтегральная функция (в отличие от задач с классическими граничными условиями) имеет простой полюс £*, расположенный в (?-2-окрестности точки С, — 1-, гДе 7 = со/с — отношение скорости распространения волны в среде к скорости распространения продольной волны в оболочке. Поэтому асимптотика рассеянного волнового поля содержит помимо падающей и отраженной волны (первое и второе слагаемые в равенстве (9), боковую волну (третье слагаемое в (9): егтг/4 егдДо егтг/4 е*«/(С0

2л/2тт у/Що (г)

9)

Функция фЦгдД/)1/2) в третьем слагаемом — специальная функция типа интеграла Френеля:

2» »

1 +

А 6

Величина

А/ = / (со - / (С) стоящая в аргументе функции ф, является разностью между оптической длиной пути отраженной и боковой волны. Полученное асимптотическое разложение для волнового поля равномерно в освещенной области и обеспечивает непрерывное смыкание отраженной и боковой волн.

Решение (9) модельной задачи позволило указать вид асимптотического разложения (или анзатца) для волнового поля в задаче дифракции акустической цилиндрической волны на выпуклой оболочке произвольной формы:

1 00 Г]. 1 с» А .

Щ = ещтс—== £ + е"™-^ £

V-гЧ )=о (-«?) У ~1Ч >=о (-»?)

10)

Н?) ¿=оН?У

V® = е±^/4, где Cj — коэффициенты разложения падающей волны (г / 4) Н(р(дтс),

С 1 Г (! + ,?•) гс — эйконал падающей волны (расстояние от источника до точки наблюдения) , Г — гамма-функция. Подлежащие определению эйконалы тд и тв отраженной и боковой волн и коэффициенты Aj и Bj асимптотических разложений отраженной и боковой волны, а также аргумент функции Q, предполагаются бесконечно дифференцируемыми.

Во второй главе определяются неизвестные функции, входящие в анзатц (10). Подставляя анзатц (10) в уравнение Гельмгольца (2) и граничное условие (7) и приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях большого параметра q, получаем уравнения эйконала для функций та и 7~в, уравнения переноса для коэффициентов Aj и Bj, и граничные условия для них. Уравнения для коэффициентов Ао, Во, стоящих при старших степенях большого параметра q, решены в лучевых координатах, для остальных коэффициентов указан путь их построения. Построенные для волнового поля, рассеянного оболочкой, равномерные в освещенной области асимптотические разложения по обратным степеням частоты позволяют проследить формирование в окрестности критического луча боковой волны, возникающей в окружающей среде за счет распространения колебаний по оболочке. Вдали от критического луча полученные формулы описывают существующие порознь отраженную и боковую волну. Проведен физический анализ главных членов полученных асимптотических разложений.

В третьей главе построена высокочастотная асимптотика акустического волнового поля, рассеянного тонкой упругой оболочкой, описываемой уравнениями Кирхгофа-Лява: г/ + R^w)' + V + R^v)" = -k\v,

И)

R~\v' + R-'w) - -(«/ + R-'v)'" = -kîw - -IL-,

12 c^ph

UJ где R(s) — радиус кривизны, h — толщина оболочки, k\ =--волновое с число для продольных колебаний, ph — поверхностная плотность оболочки.

Граничное условие, которое должно выполняться для потенциала скорости частиц жидкости на поверхности оболочки, выводится на основе уравнений (11).

Относительно функций v я w система (11) представляет собой систему дифференциальных уравнений, в которую входят производные функции v до третьего порядка и производные функции w до четвертого порядка. Если кривизна оболочки постоянна = а-1 = const, т. е. в случае круга, коэффициенты в левой части системы (11) являются постоянными величинами, и тогда легко исключить из нее тангенциальное смещение оболочки v. Если после этого функции w и р выразить через поле U по формулам (3) и (6), то получим искомое граничное условие на поверхности оболочки: д2 d(qs) 2 ик -TflJ- br'vf) +

12) д-2 + - = О, гдеп-^- „-Ы

А П~ ркк' 12 'Я~ка"

Уравнение (12) представляет собой граничное условие для волнового поля и в случае круговой оболочки. Заметим, что при 5 = 0 оно совпадает с граничным условием (7) для безмоментной круговой цилиндрической оболочки, рассмотренной в первой главе.

Однако для оболочки произвольного сечения, поскольку в этом случае в систему (11) входят уравнения 3-го и 4-го порядков с переменными коэффициентами, исключить функцию V и записать граничное условие в виде одного равенства технически сложно. В диссертации граничное условие для волнового и выписано в виде последовательности нескольких формул, которые позволяют установить характерные черты граничного условия: граничное условие в случае оболочки Кирхгофа-Лява содержит саму функцию С/", ее производную по нормали 311 /дп и касательные производные вплоть до шестого порядка. Граничное условие является линейным, коэффициенты при функции и и ее производных зависят от кривизны оболочки Ег1^), а также от параметров д, 7, г]. По параметру 6 коэффициенты граничного условия имеют порядки от до ¿>10: по параметру ^ — от (1/^)° до (1/#)22, только четные порядки. Полагая ^ 1, сохраним в граничном условии только слагаемые, имеющие порядки (1/д)° и (1/д)2. Тогда граничное условие запишется в виде

Л2 + я^я) -Ф- ¿7 "Ч4)) + д{дзУ У

13) <Г2 - 257"244) + ¿27~24б)) + «Г4«^) 0. 5

Здесь — дифференциальный оператор 4-го порядка по дв, причем Ь\{и) = О (и) при q —>■ оо. Если положить <5 = 0, оно переходит в граничное условие (7) для безмоментной оболочки.

Далее исследование проводится по схеме, разработанной для безмоментной оболочки: строится решение для круговой оболочки и на его основе конструируется анзатц (10), описывающий волновое поле, рассеянное оболочкой произвольного сечения и, наконец, указывается методика определения функций, входящих в анзатц. Полученные формулы позволяют выполнить численные расчеты и исследовать физические свойства рассеянного поля.

В электродинамике задачи с обобщенными импедансными граничными условиями вида (1), Ь\ = 1, привлекли внимание особенно в последнее время, и это связано с появлением композитных электромагнитных покрытий и широким применением в промышленности и научных исследованиях лазерной техники. Актуальность указанной тематики в электродинамике подтверждается нарастающим потоком публикаций за рубежом, особенно в США (например, [21]). Задачам с ОбИГУ, имеющим вид, типичный для задач электродинамики, посвящена четвертая глава диссертации.

В четвертой главе рассмотрена задача дифракции с граничным условием следующего вида: ди дп 2

Коэффициенты «(в), предполагаются комплексными функциями.

В акустических задачах наличие в граничном условии касательных производных приводило к возникновению боковой волны. Основная цель данной главы — указать условия появления подобных волн в задачах дифракции с граничным условием (14), типичным для задач электродинамики.

Исследование рассеянного поля проводится по той же схеме, что и для оболочки. Сначала рассматривается задача дифракции для круга с постоянными значениями коэффициентов а, /3, 7. Строится точное решение в виде интеграла. Уравнение, определяющее полюс подинтегральной функции, с точностью до 0(д-1) в этом случае имеет вид: л/1 - С2 + а + (3(2 + 7С4 + 0(д~1) = 0. (15)

Если уравнение (15) имеет корень £*, расположенный в области

0 < Не< < 1 - е, б > 0, 0 < 1шС < 6 = О (д~1/2), (16) то при вычислении по методу перевала интеграла, аналогичного интегралу (8), появится дополнительный член типа третьего слагаемого в формуле (9), соответствующий боковой волне. При отсутствии корня уравнения (15), удовлетворяющего условиям (16), в освещенной области будут только прямая и отраженная волна.

Таким образом, для существования боковой волны комплексные коэффициенты а = а' + ia", /3 = (3' +1(3", 7 = 7'+ ¿7" должны быть такими, чтобы уравнение (15) выполнялось для некоторого С* = t-\-i8, Ь € (0,1 —б) и 0 < 6 = 0(ц~1!2). Уравнение (15) эквивалентно двум вещественным равенствам: v/Ггг2 + а' + г2/3' + ¿у = о, (17) а" + Ь2/3" + *У + 6 = 0. (18)

Фиксируя в равенстве (17) значение параметра t,0 < t < 1-е, получаем в трехмерном пространстве (а', (3', 7') плоскость отсекающую на координатных осях отрезки —л/1 — ¿2; —\Л — ¿2/£2 и — л/1 — Совокупность этих плоскостей образует в пространстве (а', /3',7') трехмерную область и ^

0,1-е)

Аналогично уравнению (18) при фиксированных t и 6 в трехмерном пространстве (а", ß",j") отвечает плоскость отсекающая на осях координат положительные отрезки S, S/t2 и S/t4, S = 0{q~1!2).

При t £ (0,1 — б) и при всевозможных значениях S (0 < S < Сд-1/2), получаем семейство плоскостей, которые заполняют в пространстве а", ß", 7" область n" - U t е (0,1-е), О < S < Cq~2.

Во втором разделе четвертой главы показано, что в задаче дифракции с граничным условием, имеющим вид (14) с какими-то конкретными значениями коэффициентов а, ß и 7, боковая волна существует, если точка (Rea, Keß, Re7) принадлежит области Q', а точка (Ima, Im/3, Inry) — области Q".

Далее этот результат обобщен на случай произвольной выпуклой цилиндрической поверхности и на случай, когда коэффициенты a, ß, 7 являются функциями длины дуги s.

В начале четвертой главы доказана теорема единственности для задачи дифракции (2), (4), (14) для значений a, /3, 7 с неотрицательными вещественными частями (Rea; > 0, Re/3 > 0, Re7 > 0). Это множество не пересекается с областью О'. Это означает, что если коэффициенты а, ß, 7 удовлетворяют условиям доказанной теоремы единственности, то рассеянное волновое поле не будет содержать боковую волну. Однако возможно, что существуют физически осмысленные электромагнитные задачи, в которых a, ß и 7 принадлежат области О' (хотя и не удовлетворяют условиям Rea > 0, Keß > 0, Re7 > 0) и, тем самым, в которых существует боковая волна.

В заключении главы рассмотрен вопрос о существовании поверхностных волн. В дисперсионном уравнении, написанном для произвольных значений a, /3, 7, параметр £ пробегает значения в области, соответствующей поверхностным волнам, и таким образом описаны области в пространствах (Rea, Re/3, Re7) и (Ima, Im/3, Im7), для которых существу

17 ет поверхностная волна.

Результаты работы докладывались на 15-ом Международном симпозиуме по электромагнитной теории, проводимом международным радиофизическим союзом (URSI) в 1995 году, на международном семинаре День дифракции (Day on Diffraction) в 1997 и 1998 годах, на XXVI летней школе ученых-механиков, организованной институтом машиноведения РАН и научным советом по проблемам машиноведения и технологических процессов РАН в 1998 году, а также на научных семинарах физического факультета СПбГУ, ПОМИ РАН и СПбГМТУ.

По теме диссертации опубликовано б работ, из них две статьи и тезисы к четырем докладам на конференциях. Основные результаты первой главы опубликованы в работе [22], второй главы — в [23], третьей — в [24] и [25], четвертой — в [26] и [27].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задачи дифракции с ОбИГУ представляют большой интерес для многих задач теории упругости и электродинамики.

В настоящей работе выведено граничное условие для оболочки, описываемой уравнениями Кирхгофа-Лява, построено точное решение задачи для круга в виде интеграла, построена высокочастотная асимптотика решения для произвольного выпуклого цилиндра, выяснены условия на коэффициенты ОбИГУ, при которых существует боковая или поверхностная волна.

На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Граничное условие для акустического поля в плоской задаче дифракции на тонкой упругой оболочке, описываемой уравнениями Кирхгофа-Лява.

2. Асимптотическое представление волнового поля, рассеянного без-моментной оболочкой и оболочкой Кирхгофа-Лява, в освещенной области и его физическая интерпретация.

3. Условия на коэффициенты ОбИГУ, при которых возбуждается боковая или поверхностная волна.

Я глубоко признательна моему научному руководителю В. С. Бул-дыреву за постоянное внимание, ценные указания и поддержку.

Большую пользу при написании настоящей работы принесли мне замечания и советы участников семинаров ПОМИ РАН и Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №96-02-17089, №99-02-16844).

1. Гольденвейзер A.JL, Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.:Наука, 1979. 390 с.

2. Товстик П.Е., Устойчивость тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1995. 310 с.

3. Krotov А.V., Tovstic Р.Е. Asymptotically Double Natural Frequencies of Thin Elliptical Cylindrical Shell Vibrations. //Day on Diffraction. St.Petersburg. 1997. c. 128-134.

4. Лиходаева E.A., Шендеров Е.Л. Переферические волны, возникающие при дифракции плоской звуковой волны на тонкой цилиндрической оболочке.//Акустический журнал, 1971, т. 17, No. 1, с. 79-84.

5. Качалов А.П. Лучевой метод для изгибных колебаний оболочки, погружённой в жидкость.//Записки научных семинаров ЛОМИ. т. 62, вып. 8. Наука. Л. 1976. с. 111-123.

6. Качалов А.П. Некоторые формулы для задачи дифракции на выпуклой оболочке.//Записки научных семинаров ЛОМИ. т. 62, вып. 8, Наука. Л. 1976. с. 124-125.

7. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение. 1989, 304 с.

8. Булдырев B.C. Нестационарная дифракция звуковых волн на мембранной цилиндрической оболочке.//Вестник ЛГУ №4, вып. 1. 1959, с. 30-42.

9. Лямшев Л.M. Об одном способе решения задачи излучения звука тонкими упругими оболочками и пластинами.//Акустический журнал. 1959. т. 5, No. 1, с. 122-124.

10. Вялышев А.И., Рыбак С.А., Тартаковский Б.Д. К вопросу о применении теоремы взаимности для определения звуковых полей упругих оболочек.//Акустический журнал, 1978, т. 24, No. 4, с. 611-612.

11. Бреховских Л.М. Поверхностные волны в акустике. //Акустический журнал, 1959, т. 5, No. 1, с. 4-13.

12. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М. 1973. 344 с.

13. Ивакин Б.Н. Головные, проходящие и другие волны в'случае твёрдого слоя в жидкости. //Труды Геофизического института. №35(162). Из-во АН СССР. 1956. с. 88-115

14. Красильников В.Н., Тюхнин A.B. О боковой волне в случае горячей плазмы, ограниченной идеально проводящим экраном.//Проблемы дифракции и распостранения волн. вып. 27. Из-во СПбГУ. 1997. с. 227-229.

15. Булдырев B.C. Метод эталонных задач в теории дифракции и распостранения волн. Диссертация на соискание уч. ст. д. ф.-м. н. Л. 1969.

16. Лямшев Л.М. Отражение звука тонкими пластинками и оболочками в жидкости. Из-во АН СССР. 1955. 73 с.

17. Т.В. Yanovskaya. Uniform asymptotic representation of a field of reflected and head waves.//Proc. Roy. Soc. Lond. A. 313. 1969. c. 477-490.

18. Векслер H.Д., Рассеяние импульсов на упругих цилиндрах. Таллин: "Валгус". 1980. 180 с.

19. Молотков Л.А. О распостранении упругих волн в средах, содержащих тонкие плоско-параллельные слои.//Вопросы динамической теории распостранения сейсмических волн, сб. V. Из-во ЛГУ. 1961. с. 240-280.

20. Молотков Л.А. О распостранении низкочастотных колебаний в жидких полупропространствах, разделённых упругим тонким слоем./ /Вопросы динамической теории распостранения сейсмических волн, сб. V. Из-во ЛГУ. 1961. с. 281-302.

21. Senior Т.В.А., Volakis J.L. Approximate Boundary Conditions in Electromagnetic.//Vol.41 of IEE Electromagnetic wave series. The Institution of Electrical Engineers. London 1995.

22. Булдырев В. С., Гельфрейх Н. Г., Высокочастотная асимптотика волнового поля, рассеянного тонкой упругой круговой оболочкой.// Акустический журнал, 1996, том 42, No. 5, с. 604-608.

23. Булдырев В. С., Гельфрейх Н. Г., Высокочастотная асимптотика волнового поля в задаче дифракции на тонкой упругой цилиндрической оболочке произвольного сечения.//Акустический журнал, 1996, том 42, No. 6, с. 754-759.

24. Natalia G. Gelfreikh, High-Frequency Stationary Problem of Diffraction by a Thin Elastic Cylinder.//Proc. of the international Seminar "Day on Diffraction 98", 1998, pp 43-46.

25. Будырев B.C., Гельфрейх Н.Г. Высокочастотная стационарная дифракция на выпуклой цилиндрической оболочке.//Труды XXV-XXVI летних школ. Т. 2., стр. 325-332. 1998.

26. Buldyrev V. S., Gelfreikh N. G., Diffraction of Electromagnetic Waves on Obstacles Described by the Generalized Impedance Boundary Conditions, Proceedings of the 1995 International Symposium on Electromagnetic Theory, pp.507-509.

27. Buldyrev V. S., Gelfreikh N. G., The Head and Surface Waves for the Problem of Diffraction on Obstacles with GIBC.//Proc. of the international Seminar "Day on Diffraction 97", 1997, pp 48-52.

28. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: ГИТТЛ, 1953. 544 с.

29. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Некоторые математические методы, применяемые в теории дифракции//В сб.: I всесоюзная школа-семинар по дифракции и распространению волн. М.-Х., 1968. с. 3-92.

30. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.З. 4.2. М.: ГИТТЛ, 1953. 672 с.

31. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. T.l. М.: Наука, 1978. 620 с.

32. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Судпромгиз. Л. 1962. 430 с.

33. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. М.: Наука, 1972. 456 с.

34. Булдырев B.C., Лялинов М.А., Асимптотическое граничное условие на поверхности поглощающего тела.//Вестник ЛГУ. 1987. №4, вып. 2, с. 11-16.

35. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. IV. изд. 2. Госизд. Тех.-теор. лит. М.-Л. 1951, 804 с.

36. Макаров Г.И., Новиков В.В. Распространение электромагнитных волн над поверхностью с произвольным импедансом.//Проблемы дифракции и распространения волн. I. Распространение радиоволн. Л.: Издательство Ленинградского университета, 1962, с. 96-115.