Дифракция акустических и электромагнитных волн в клиновидных и конусовидных областях с граничными условиями импедансного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

лялинов

Михаил Анатольевич

Дифракция акустических и электромагнитных волн в клиновидных и конусовидных

областях с граничными условиями импедансного типа

Специальность 01.01.03: математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург

2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного факультета

Официальные оппоненты

д.ф.-м.н., профессор Боровиков Владимир Андреевич д.ф.-м.н., профессор Григорьева Наталья Серафимовна д ф.-м.н., профессор Попов Алексей Владимирович

Ведущая организация: С.-Петербургское отделение Математического Института им. В.А.Стеклова

Защита состоится 17 февраля 2005 года в 15.00 на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034 Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9, ауд. 85.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. Горького СПбГУ.

Автореферат разослан 5 января 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор А.К.Щекин

Общая характеристика работы.

В широком круге задач математической теории дифракции и распространения волн изучение канонических задач для рассеивателей с ребром или конической точкой, поверхность которых описывается импедансными граничными условиями (условиями третьего рода) и их обобщениями, играет особую роль. Такие канонические задачи имеют ключевое значение при использовании геометрической теории дифракции и ее модификаций, так как являются вполне реалистичными, а с другой стороны на основе принципа локальности доставляют возможность использования дифракционных коэффициентов, называемых также диаграммами рассеяния, найденных в модельной задаче, для гораздо более общих ситуаций инженерной и исследовательской практики.1*4

Некоторые важные канонические задачи, такие как дифракция на импедансном клине при нормальном падении плоской волны на ребро или дифракция на круговом конусе с идеальными условиями, могут быть решены явно. Однако, подавляющий класс задач в этой области не допускает явного решения. Тем не менее, применение разнообразных методов математической физики и математической теории дифракции как ее части позволяет получить эффективное "решение"задачи в следующем смысле. Удается построить удовлетворительную математическую модель дифракционных явлений (изучить соответствующую краевую задачу), исследовать ее аналитически и численно, используя разнообразный арсенал методов математической физики. На этом пути получение соответствующих интегральных представлений, исследование их свойств, обеспечение возможности эффективного вычисления того или иного дифракционного коэффициента или коэффициента возбуждения, изучение новых дифракционных эффектов являются наиболее значимыми результатами исследования.

Очевидно, чем сложнее физическая модель, например, применяемые граничные условия, тем разнообразнее и сложнее дифракционные явления в рассматриваемых канонических задачах. Представляется, что построение соответствующей математически обоснованной теории и развитие новых методов для изучения таких более сложных и вместе с тем реалистичных задач теории дифракции является актуальной задачей.

Целью диссертации является разработка новых подходов для всестороннего и строгого исследования целого круга канонических задач дифракции акустических и электромагнитных волн в клиновидных или конусовидных областях с условиями импедансного типа на границе, получение эффективных (асимптотических или точных) формул для решений задач, изучение свойств решений и их применение для расчетов полей. В отличие от явно решаемых моделей изучаются более сложные канонические задачи (главы 1,2,3,4) в клиновидной или конусовидной области, которые, по-видимому, не допускают явного решения. Кроме того, рассмотрена за-

'Заметим, что диаграмма рассеяния является одним из основных объектов изучения и в математической теории рассеяния.

дача дифракции волны на равномерно расширяющихся гладких объектах (глава 5). Такая задача, хотя и выглядит как задача другого типа, сводится, по-существу, к исследованию задачи для волиового уравнения между двумя конусами в пространстве Минковского.

Для достижения поставленной цели представляется разумным

• сформулировать замкнутые постановки задач рассеяния волн в клиновидных и конусовидных областях с граничными условиями импедансного типа и доказать единственность их решения

• предложить интегральные представления для решения (типа интегралов Зо-ммерфельда, Конторовича-Лебедева, Фурье и т п ) с целью неполного отделения естественно выделенной (радиальной) переменной

• изучить задачи для трансформант (спектральных функций), входящих в интегральные представления и зависящих от угловых переменных, в частности, задачи для векторных функциональных (разностных) уравнений в специальных классах функций, либо краевые задачи для оператора типа Лапласа-Бельтрами на области единичной сферы (или псевдосферы в Гл. 5) с нелокальными (или локальными) краевыми условиями на границе

• провести редукцию упомянутых задач к интегрально-функциональным, интегральным и т.п. уравнениям, использовав или разработав адекватные для их исследования подходы

• на основе интегральных представлений изучить координатные асимптотики (те. асимптотики волнового поля на больших расстояниях от сингулярной точки границы) решения задач рассеяния

• получить явные (например, в квадратурах) представления для дифракционных коэффициентов или коэффициентов возбуждения волн через спектральные функции

• изучить физические следствия аналитических результатов и привести некоторые расчеты, демонстрирующие эффективность аналитических результатов

При изучении задач в клиновидной области разумно различать задачи трех уровней сложности. Это более простые задачи типа задачи Малюжинца, допускающие решения в квадратурах. Второй круг задач состоит из тех, что сводятся к векторным функционально-разностным (ФР) уравнениям, те. не имеют в общем случае явного решения (например, из-за сложных граничных условий), однако, задачи являются односкоростными (волновое число в уравнениях одно и то же). Наконец, наиболее трудными являются задачи с двумя скоростями в клиновидных областях, когда сложность и разнообразие волновых процессов, появляющиеся в том числе

из-за сингулярной точки границы, увеличиваются возможностью распространения волн с двумя различными скоростями. При этом аналитические трудности исследования задач естественным образом возрастают в соответствии с разнообразием и сложностью волновых процессов.

Примерно также можно классифицировать и задачи дифракции в конусовидных областях.

В данной работе мы изучаем задачи второго уровня сложности. Оказывается, что такие задачи не только реалистичны, но являются вполне содержательными и с аналитической точки зрения.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из Введения, пяти глав и Приложений к ним, Заключения и списка литературы из 172 названии. Общий объем работы - 304 страниц, включая 22 рисунка и список литературы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры высшей математики и математической физики физического факультета СПбГУ, на семинаре по теории дифракции и распространения волн в Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова, на городском математическом семинаре им. В.И.Смирнова, на международных симпозиумах по электромагнитной теории (Стокгольм, 1989; Сидней, 1992; СПетербург, 1995; Салоники, 1998), на 10-ом Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн, (Винница, 1990), на международных семинарах День Дифракции 1995-2003 гг., на симпозиуме по индустриальной и прикладной математике, (1С1АМ'99). на конференции по математическим задачам рассеяния волн на клиньях и конусах, а также других канонических структурах, (Манчестер, 1999) и других. Содержание диссертации.

Во Введении указано место работы в теории дифракции и распространения волн, сформулированы цели и результаты работы, кратко описано содержание работы, приведены положения, выносимые на защиту.

Обзор известных результатов, постановки задач и содержание работы по Главам.

До последнего времени не ослабевает интерес к исследованию канонических задач рассеяния электромагнитных и акустических волн в угловых или клиновидных областях. История соответствующих задач начинается с классических работ А Пуанкаре и А.Зоммерфельда по дифракции на идеально проводящем клине.

В задаче дифракции в клиновидной области с импедансными граничными условиями принципиально новые результаты в 1950е годы были связаны с именем Г.Д. Малюжинца. Далее развитие методов исследования задач дифракции в клиновидных областях проходило в различных направлениях.

Изучались довольно сложные клиновидные области с различными граничными условиями в электромагнитных задачах. Г.И.Макаров, А.В.Осипов и А.П.Созонов рассматривали некоторые новые интегральные уравнения в прозрачной клиновидной области, исследовали дифракцию цилиндрической волны на прямоугольной клино-

видной структуре. А.В.Осипов (1995) предложил подход к исследованию распространения волн в секториальной среде. В работах A.D.Rawlins'a (1977) S.Berntsen'a (1983), J.Keller'a и L.Kaminetzky развиты различные строгие методы по исследованию электромагнитной задачи дифракции в угловой области.

В последнее время возродился интерес к подходу, восходящему к работам R. Jost'a (а также S.Albeverio) и основанному на исследовании функционально-разностного (ФР) уравнения в дифракции в клиновидной области посредством его редукции к более простым уравнениям, но на некоторой римановой поверхности. На этом пути иногда удается получить и явные решения ( Т.В.А. Senior, S.Legaut, а также C.Demetrescu и др.) для ФР уравнений второго порядка при специальных значениях параметров. Однако, представляется естественным подход (М.А.Лялинов), основанный на дальнейшей редукции ФР уравнений второго порядка к фредгольмовым интегральным уравнениям и их полном исследовании (см. Гл. 2).

В связи с аналитической теорией разностных уравнений второго порядка, локальный вариант которой развивался Дж.Биркгоффом параллельно аналитической теории дифференциальных уравнений, необходимо отметить серию работ В.С.Буслаева и А.А.Федотова [1995-2001], в которой получены достаточно общие результаты для модельных уравнений с периодическими коэффициентами.

Часто приходится говорить не столько о методах получения решения ФР уравнений сколько о развитии заведомо приближенных и численных методов для исходных краевых задач в клине, например, таких как метод параболического уравнения (Г.Д. Малюжинец, А.В. Попов, N.Y. Zhu и др.) Стоит отметить, что строгое оправдание метода параболического уравнения в задачах дифракции в клиновидной области на настоящее время отсутствует, хотя метод успешно применялся в ряде конкретных задач.

Параллельно был достигнут несомненный прогресс в задаче дифракции волн в упругом клине. Недавние продвижения связаны с именами Б.В. Будаева, А.К. Gautesen'a, G.Lebeau, В.В.Камоцкого, В.М.Бабича и других. Достаточно нод]к>бное и строгое исследование задач дифракции на тонких идеально проводящих экранах предложено в работах А.С.Ильинского и Ю.Г.Смирнова.

В первой части Главы 1 приведены известные сведения, касающиеся свойств интегралов Зоммерфельда, а также скалярных функционально-разностных уравнений. Этот материал является классическим и его изложение сопровождается разве что некоторыми методическими новшествами. Описанные результаты многократно используются на протяжении первых четырех глав работы.

В случае обычных импедансных граничных условий электромагнитная задача дифракции вне клина может быть расщеплена на две скалярных для ТМ,ТЕ поляризаций в случае нормального падения плоской волны на ребро и, значит, может быть решена явно. Если такое расщепление невозможно, решение задачи значительно осложняется. К задачам такого типа относится задача дифракции на клине с анизотропными поверхностными импедансами.

Пусть введена полярная система координат (г,ф) вне клина с углом раскрыва 2Ф. Полярная ось ОЕ направлена вдоль ребра клина. Направление падения плоской волны

ортогонально к ребру клина. Электромагнитное поле выражается через компоненты Ег и Нг, которые не зависят от г-координаты. Неизвестные Ег и Нг удовлетворяют уравнению Гельмгольца в области

ЛЕг + Ь? Ех = О, Д Нг + к2Нг = О

(2)

да д итд 'зпттлпгт

(3)

на обеих сторонах и £>2 клина, где ец и /¿о это материальные постоянные среды вне клина, и) угловая частота, а элементы матрицы {7^}, ] = 1, 2 определяются свойствами анизотропных покрытий клина [Курушин и др., 1975]. Граничные условия (3) могут быть переписаны в более удобной форме

(4)

где матрица В3 = { условно называется матрицей анизотропного импеданса.

Элементы матрицы В3 выражаются через Если 612 = ¿>21 = 0, рассматриваемая задача расщепляется на две независимых для каждой поляризации, и классическое решение может быть построено в явной форме. Равенство внедиагональных элементов матрицы В нулю соответствует случаю т/ц = = 0 в граничном условии (3), т.е. отсутствию взаимности. Компоненты должны удовлетворять условию

Мейкснера

где постоянные. Наконец, необходимо сформулировать условие на бес-

конечности Так как мы рассматриваем дифракцию плоской волны на

неограниченном рассеивателе, условие на бесконечности принимает вид

\Ег(г,<р) - Е\ - Е1)| < ехр(—а1ш/:г), а > О, |Я,(г,¥>) - Щ - Щ\ < ехр(-а1т*т), г -> оо, 1т(к) > О,

где Е£ и - плоские волны, отраженные от в в соответствии с геометрической оптикой. Выражения для Е% и вычисляются явно в соответствии с граничными условиями (3), а - положительная постоянная. Решение задачи при положительных волновых числах интерпретируется в смысле принципа предельного поглощения, ^ (^ =0. В данной Главе мы не рассматриваем содержательные вопросы обоснования принципа предельного поглощения (т.е. существование и единственность предельного решения), оставляя обсуждение соответствующих вопросов до следующей Главы.

С использованием стандартного подхода, основанного на формуле Грина, легко доказать единственность решения.

Предложение. Если вещественная часть матрицы анизотропного импеданса неотрицательна

и, если классическое решение (1)-(7) существует, то оно единственно.

С помощью техники интегралов Зоммерфельда и теоремы Малюжинца эта задача редуцирована к системе функционально разностных (ФР) уравнений для пары неизвестных функций. Можно показать, что система может быть сведена к матричной задаче Римана-Гильберта и, следовательно, не решается явно в общем случае. Мы не используем такую редукцию, вместо этого система функциональных уравнений исследуется непосредственно.

Система ФР уравнений с помощью техники "обращения"некоторых разностных операторов из параграфа 2 редуцируется к системе линейных (интегрально-разностных) уравнений второго рода в весовом пространстве Л,)(П£) вектор - фу н к^ийЬе гу-лярных в полосе, включающей мнимую ось. Справедливо следующее предложение: Предложение. Для того, чтобы пара функции из Д|(Пе) была решением задачи для системы ФР уравнений необходимо и достаточно, чтобы эти функции удовлетворяли системе линейных уравнений

1т В3 > 0, 3 = 1,2

(7)

(8)

где К\ и К2 линейные операторы в Д;(П£), определенные равенствами t 4 [R dT { (-1Г+1к?(т)(<Гт(т,г) - Om(T,V„))

WK*) =

( t(T-\ sinr —

(-1ГФ)

t (—T - (-1)тФ)

(K3t)(z) =

-1 )m sin \m -sinr - (-1)"> sin Xm

Ш LdT { -

( Si'

i(r - (~1)тФ)

+

t (—T - (-1)тФ)

. sinr - (-l)msin0m -sinr - (-l)msin6 Ст(т, z) = sin/iT/ [cos/tr + (—l)msinji2], /I = 1Г/2Ф

для \Re(z)\ < Ф. Если Ф < \Re(z)\ < Ф + e, то для построения продолжения выражений (9) из П на более широкую полосу Пе, мы используем процедуру аналитического продолжения S-интегралов из первой главы. Интегрирование в (9) проводится по мнимой оси.

Доказана ограниченность операторов в уравнениях, причем К\2 не являются компактными.

В случае существования малого параметра (параметр взаимности) операторы оказываются сжимающими и удается построить решение этих уравнений в виде сходящихся рядов Неймана.

Традиционные асимптотические методы применяются к интегралам Зоммерфель-да, что, в частности, позволяет получить локальные и равномерные (в терминах интеграла Френеля) по углу формулы для примесной поляризации рассеянного поля. Приведен пример расчета волны примесной поляризации.

В следующем параграфе ставится и исследуется задача дифракции плоской волны, падающей наклонно на ребро клина с анизотропным поверхностным импедансом. Постановка задачи аналогична указанной выше.

Грани клина совпадают с полуплоскостями <р = ±Ф, где 0 < Ф < Ж. Пусть гармоническая (т.е. с зависимостью от времени fi-'"1) плоская электромагнитная волна произвольной поляризации освещает клин с направления (во, v?o)i где 0 < ва < V и |у5о| < Ф- Так 2-компоненты падающего поля имеют вид

[ZoH'z(r,ip\ z) Ei(r,tp]z)\ =Uaexp[—ik'0rсоя(у? — t^o) + ik"z\ С/о = [tfio Uw\l , fco = fcosin0o, fco = fcoCOS0Q.

(10)

Мы обозначим волновое число и внутренний импеданс однородной изотропной среды, окружающей клин, через - комплексные амплитуды электриче-

ской и магнитной компонент параллельных ребру.

Мы ищем г-компоненты полного поля, учитывая, что остальные компоненты могут быть выражены через них с помощью уравнений Максвелла. Компоненты поля вдоль ребра могут быть представлены в виде

\гвНг{г,</>; г) Е,(г, п г)]т = Щг, *>)ехр(г^'г), Щг, ч>) = [^(г, <р) Щ{г,¥>)]г. (11)

Вектор-функция II(г, ц>) удовлетворяет уравнению Гельмгольца в угловой области \ч>\ < Ф,0 < г

1 а / я \ 1 яг

1.М2

гдг \Г&г)+г*

Щг,<р) = О-

и граничным условиям на сторонах клина

причем

(12)

(13)

(14)

Здесь а*к для j,k=: 1,2- нормированные (на 2о) элементы матриц тензорного импеданса на грани ¡р = ±Ф. Мы рассмотрим случай а/"2 = а^ =: 2], а["2 = о^ =: 7,2 для формального упрощения, общий случай изучается аналогично. Наложим условия пассивности граней (энергия поглощается на гранях клина)

КеА >0.

(15)

Электромагнитное поле выражается через 1}\ и компоненты, которые удовлетворяют условию Мейкснсра

иг = согШ, + О((к0г)% и2 = сашЛ + О((к0гУ), г > 0

(16)

и условиям на бесконечности (волновое число имеет малую положительную мнимую часть, т.е. ко + гк, где к > 0)

№-иг,и2-Щ°)Т\<се-

а > 0

(17)

равномерно по углу, где из полного поля вычли его геометрооптическую часть, явное выражение для которой находится элементарными методами. Считаем, что угол раствора клина 2Ф > 7Г, 0 < < тг/2. Мы строим классическое решение задачи.

Доказана единственность классического решения задачи.

Выделены случаи специального типа поверхностного импеданса, когда задача допускает явное решение в квадратурах, сведением к скалярным ФР уравнениям. Этот случай соответствует возможности сведения системы ФР уравнений к виду с "треугольной "матрицей.

Последний параграф посвящен решению указанной задачи с помощью метода возмущений при условии наличия малых параметров в задаче: почти нормальное и почти касательное падение волны на ребро. Основной целью здесь является построение относительно простых явных выражений для дифракционных коэффициентов, тогда как обоснование метода возмущений не приводится, ввиду того, что такое обоснование во многом повторяет подробно описанную процедуру в предыдущей задаче. Предложены приближенные выражения для дифракционных коэффициентов.

В Главе 2 развивается метод решения задач дифракции в угловых областях, связанный с редукцией ФР уравнений (типа векторных уравнений Малюжинца) к разностным уравнениям второго порядка, а затем к интегральным уравнениям фред-гольмова типа. В частности, рассматриваются две задачи. В качестве первого содержательного примера исследуется задача дифракции на клине, внешность которого разделена пополам тонкой диэлектрической полуплоскостью.

Пусть электрическая компонента электромагнитного поля удовлетворяет уравнению Гельмгольца в угловой области < Ф, г > О

(Д+ 0, (18)

граничному условию на абсолютно проводящей грани клина <р = Ф

£г(г,Ф) = 0, (19)

так называемым условиям полупрозрачности2' на линии </> = 0 (предполагается е-""1 зависимость от времени)

1 9 F го^р

1 д F г aifi

+ ikyfEi + E;] = o, (2Q)

№ - Е~\ = О,

где Уз ~ нормированный на 1/Z0 поверхностный адмитанс, Zq - импеданс свободного пространства, предельные значения с сверху и снизу от линии <р = 0, г > 0, и импедансному граничному условию на второй грани клина <р = — Ф

-■¿г-Ег + i~Ez = 0, (21)

г dip г)

11 - нормированный (на Zq) поверхностный импеданс. Считаем выполненными условия Мейкснера

< const г', ¿>1/4 \дгЕг\ < const/"1

равномерно по if,^ и условия на бесконечности. Это, в частности, означает, что пол-

2'Известно, что тонкий диэлектрический слой может быть моделирован двусторонними граничными условиями, которые получаются в результате стандартной процедуры асимптотического разложения волнового поля по соответствующему малому параметру. Можно показать, чго 6 = тг/'4Ф в нашем случае.

ное электромагнитное поле принадлежит энергетическому классу решений. Мы строим классическое решение задачи дважды непрерывно дифференцируемое в области решение, имеющее непрерывные производные на гладкой части границы. Введем sint? = 2/s/2, 0 < Ret? < я/2, siripi = if1, 0 < Retfi < тг/2. Строгие неравенства означают поглощение энергии на гранях.

В качестве условий на бесконечности мы используем условия типа принципа предельного поглощения. При малой положительной мнимой части к волнового числа k = fco + in, ко > 0 и неизлучающих гранях клиньев несложно доказать теорему единственности.

Пусть Ег при г —> оо удовлетворяет оценке

Шг, <р) - Е?(г, <р)\ < const (еГ"КГ) (22)

равномерно по <р, а > 0, причем E3°{r, i^) геометрооптическая часть поля, которая

элементарно находится до решения задачи и является суммой падающей и отраженных волн в соответствии с геометрической оптикой. Падающая волна имеет вид

E\{r,<¿>) - Е0 ехр[—ifcr cos(v? — ^о)]- (23)

Если волновое число имеет положительную мнимую часть, то условия па бесконечности сводятся к оценке (22), означающей экспоненциальное убывание рассеянного поля. В этих условиях задача имеет единственное решение.

В случае положительных волновых чисел и поглощающих граней клиновидной области решение удовлетворяет условиям излучения

2

ds О, ñ -+ оо, (24)

где и = Ez — Ef, Sr дуга большого радиуса, и - разность полного и геометрооптиче-

ского поля. В этих условиях также доказывается теорема единственности. Если одна из граней реактивна, то есть поглощение отсутствует, то при определенном знаке мнимой части импеданса условия излучения модифицируются, так как вдоль грани может распространяться поверхностная волна.

Решение задачи ищется в виде интегралов Зоммерфельда

Ez(kr,<ß)=~: / Si (« +уз) exp(-iír cos л) da, уб [(1-/)Ф,(2-/)Ф], 1 = 1,2. (25) Im J i

В условиях положительности мнимой части волнового числа, с помощью интеграла Зоммерфельда задача редуцируется к системе ФР уравнений, а затем к разностному уравнению второго рода для одной из двух спектральных функций, вторая

í \4:~iku

JsJ &

находится по явным формулам. Разностное уравнение второго рода имеет вид

решаемое в специальном классе меромофных функций.

Разностное уравнение преобразуется к упрощенному виду - с постоянными коэффициентами в левой части. Для этого используется специальная функция, обобщающая функцию Малюжинца. Обращением разностного оператора задача сводится к фредгольмову интегральному уравнению, которое оказывается однозначно разрешимым. Для этого, в частности, используется теорема единственности решения задачи при

Легко прослеживается предельный переход к решению с положительными волновыми числами. Справедливы утверждения

Предложение (предельное поглощение) Если д, не зависят от волнового числа, 0 < Re -д < 7г/2, 0 < ReOt < 7г/2, то существует поточечный предел Щк„г,р) = Hm«_o+i?3((fco + i'i)r, ¥>) решения задачи, и он определен формулой (25), где к = fco вещественно. Предельное выражение решает уравнение Гельмгольца, удовлетворяет граничным условиям и условиям Мейкснера, удовлетворяет интегральным условиям излучения Зоммерфе.льда.

Теорема (единственности) Пусть к > 0, 0 < Red < тг/2, 0 < Re@\ < ir/2, классическое решение задачи (18)-(21) удовлетворяет условиям Мейкснера и условиям излучения (24)- Тогда, если решение существует, то оно единственно.

Таким образом, так как предельное решение задачи удовлетворяет интегральному условию излучения Зоммерфельда, в силу теоремы единственности это приводит к обоснованию принципа предельного поглощения в данной задаче.

Как один из этапов обоснования, построена равномерная по углу асимптотика дальнего поля, которая представляет наибольший интерес в теории дифракции. Представлены также некоторые результаты расчетов.

Совершенно аналогичная программа реализована в последнем параграфе главы при исследовании задачи рассеяния плоской волны, наклонно падающей на ребро импедансного клина, которая, по-существу, уже рассматривалась в первой главе при определенных ограничениях на параметры. В этой главе предлагаемый метод позволяет избавиться от всех ограничений, связанных с применимостью метода возмущений и, тем самым, решить задачу в общей ситуации, обосновав при этом принцип предельного поглощения.

Как промежуточный результат получены равномерны? асимптотики для дифракционных коэффициентов, изучено явление Вейля-Ван-дер-Поля.

В последнее время очевиден существенный прогресс в исследовании такой важной канонической задачи как дифракция на идеальном конусе. В работах В.А.Боровикова,

D.S.Jones'a, В.П.Смышляева, В.М.Бабича и его сотрудников, а также ряда других исследователей, изучение этой ключевой задачи приобрело такой уровень, что задачу можно считать решенной в смысле, описанном выше.

Задача дифракции электромагнитных или акустических волн на импедансном конусе оказывается существенно более сложной, чем соответствующая задача для идеального конуса. Это видно уже из того, что даже для кругового конуса явного решения найти не удается. Первые оригинальные результаты в этой канонической задаче получены лишь недавно J.-M.L. Bernard'oM [1997] для кругового конуса. В электромагнитной задаче используются аналогичные подходы. В работе (Bernard, Lyalinov; 2004, электромагнитная задача) использованы также идеи в задаче с идеальными условиями о сведении задачи к спектральной задаче на сфере. Последовательное оправдание решения скалярной и векторной задач, вычисление координатных асимптотик, а также другие вопросы изучаются в работах (М.А.Лялинов 2003а; 2003b) и в данной диссертации. Выражения для дифракционных коэффициентов в случае узкого конуса для скалярной и электромагнитной задач обсуждаются в работах (Bernard, Lyalinov 1999; 2000; 2001)

Задачи дифракции акустических и электромагнитных волн в конусовидной области исследуются в Главах 3 и 4 соответственно.

В Главе 3 исследуется задача рассеяния плоской4) акустической волны на выпуклом импедансном конусе.

Пусть коническая поверхность С вырезает область Е на единичной сфере S2 с центром О в вершине конуса. Точки Wo = (t?o> Vo) и w = (t?, ф) на единичной сфере соответствуют направлению падения плоской волны U'(kr, ш, и>а) и точке наблюдения г , и = г/г. Считаем, что плоская волна целиком освещает поверхность конуса. Пусть в(и,Шо) геодезическое расстояние между ш и wo па сфере, к • волновое число, тогда

fji = e-ikrcmi(u,u0) t к =П/с. (27)

Гармоническая зависимость от времени e~'at здесь и в дальнейшем опускается. Рассеянное поле и(кг,ш,ша) удовлетворяет уравнению Гельмгольца

в сумме с падающим полем граничному условию d(U + U*)

дп

(A + e)U = 0, (28)

условию

ikr¡ (U + £/')

с

= 0, (29)

о

где п - внутренняя нормаль к С, r¡ - импеданс. Мы считаем, что Reí) >0 , т.е коническая поверхность является поглощающей, если не оговорено противное. В вершине

4'В отличие от случая точечного источника, представления для поля при падении плоской волны задаются однократными, а не двукратными интегралами Конторовича-Лебедева, что технически проще при исследовании задачи.

конуса решение U удовлетворяет условию Мейкснера

и = О (гЛ) , г = О {гн) , К > -1/2 (30)

равномерно по угловым переменным, что обеспечивает локальную интегрируемость плотности энергии. Также выполнено условие

Inn'fc

s,

гк j ^Uds —» 0, € —* 0, (31)

означающее, что поток энергии через сферу радиуса е стремится к нулю при е —* 0. Считаем, что конус острый, т.е. Е принадлежит полусфере в 52, и выпуклый. Предложение 1.

Пусть к > 0, Яег) > 0, классическое решение однородной (II' = 0) задачи дифракции на конусе, кроме прочего, удовлетворяет условиям излучения

JsJ дг

0, R -> оо, (32)

где Sr сфера радиуса R с центром в вершине конуса, тогда (7 = 0.

В случае, когда рассеянное поле не удовлетворяет этому условию излучения, именно, для плоской падающей волны, в работе описаны асимптотики волнового поля вдали от вершины. При определенных условиях на параметры задачи для волновых чисел, имеющих положительную мнимую часть, демонстрируется единственность решения и в этой ситуации.

Для плоской падающей волны, рассеянное поле ищется в виде интеграла типа Конторовича-Лебедева (КЛ)

U(kr,u, ио) = —т= / i/sin wи„(ш, dv, (33)

гУ27г J-¡oo y/(-ikr)

где u„(u!, Wo) спектральная функция, удовлетворяющая задаче:

Предположим, что uy(uJ,Ut¡) дважды непрерывно дифференцируемая функция ш = (0, ф), где (9, 'у) - сферические координаты в S2\S , и имеет непрерывную производную на границе а для любых и, принадлежащих полосе Пг = {v : |Rei/| < 1 + ¿} ,

ди

5 > 0 малое. Кроме того, uv четная и регулярная в Пл вместе с производной ,

""ы а

где Л'и - внутренняя нормаль к <т, лежащая в касательной плоскости к S2. Будем считать, что и„ решает спектральную задачу для уравнения

(Дш + (и2 - 1/4)) и„(и,и>„) = 0 (34)

с граничным условием

dU„.

dNu

зи^-i

= (-2 u)r¡U

(35)

1

Ü — ии+и],, Лш - оператор Лапласа - Бельтрами на сфере S2, Д„, = t-q dg (sin

—тт dí, и'и - известная функция, sin в " J

Для сходимости интегрального представления uv(u), Wo) должна экспоненциально

убывать для всех и € 52\Е, точнее, мы потребуем, чтобы выполнялись оценки в

П,

kl*

\uju.ua)\ < Const:-;т-!-т—тт, при e'ÍU.Uo)>тг, /С>0, (36)

|cos[(jr + e)vj|

е > О некоторое малое положительное число. При 0'{и, о?о) < т считаем, что

kl*1

wo) | < Const ■

, К! >-1/2,

|cos[l/ö'(w,wo)]| ^(w.wo) = mins&7 (?(u,s) + 0(s,wo)) •

(37)

Справедливо следующее утверждение дня классического решения задачи (отделение радиальной переменной). Предложение 2.

Пусть спектральная функция ии{ш, Шо) является решением спектральной задачи в классе функций, описанном выше. Тогда, если

в'(ш,шо) > 1Г/2 + |arg(-¿fc)| , |arg(—¿fc)| < тг/2,

(38)

интегральное представление КЛ для (/ является классическим решением уравнения Гельмгольца, удовлетворяет граничному условию, условию Мейкснера и при кг —* оо в "оазисе"(в'(ш,ио) > ж) имеет асимптотику

где

2 firx>

D(utuо) = -г I и sin itv Wo) du

1 J-too

(39)

(40)

диаграмма рассеяния.

Удобно исследовать эквивалентную задачу для спектральной функции

Предложение. Для того, чтобы функция и„(и>,Шо) решала задачу в описанном выше классе функций, необходимо и достаточно, чтобы она была решением уравнения (34) и удовлетворяла условию

дии

где

dNw

Аиу

t sin(?rf) u„\a dt COs(7Ti') f CDs(nt)

(41)

-1Г

2

Во втором параграфе наряду с доказательством Предложений показана единственность решения спектральной задачи, а также предложено интегральное представление для решения справедливое без ограничений (38)

U(kr,U),U!o)

y—ikv

(42)

где причем концы интегрирования в интеграле справа могут быть

проведены параллельно вещественной оси, охватывая особенности, если особенности и„(и,01о) по v находятся в некоторой полосе вдоль этой оси. Последнее обстоятельство следует из свойств

Лемма. Интегральное представление (42) является аналитическим продолжением представления КЛ на положительные значения к и любые uj С S2 \

Третий параграф посвящен изучению разрешимости задачи для спектральной функции в случае кругового конуса. Решение ищется неполным разделением угловых переменных в виде ряда Фурье. Для коэффициентов ряда получено интегральное уравнение (см. также Bernard; 1997), проведено его полное исследование (однозначная разрешимость в Lp(0,1)), исследована сходимость ряда. Интегральное уравнение для произвольного выпуклого конуса обсуждается в Приложении к Главе.

В четвертом параграфе интегральное представление КЛ преобразуется к интегралу Зоммерфельда и изучаются некоторые свойства (область регулярности) и задачи для трансформант.

Особенности трансформант отвечают различным компонентам координатной асимптотики рассеянного поля: это полюса и точки ветвления. Точки ветвления дают вклад в асимптотику дальнего поля при деформации контура в перевальный и определяют отраженную волну (5-й параграф).

Для вычисления этих особенностей в пятом параграфе используется естественная связь асимптотики спектральной функции и ее преобразования Фурье. При этом асимптотика спектральной функции находится формально с помощью лучевых соображений. Задача для зависит от в уравнении типа Лапласа-Бельтрами квазиклассическим образом задача решается на сфере с отверстием и нелокальным (по ) граничным условием.

Вклад полюсов, поверхностные волны и коэффициенты их возбуждения, а также явление Вейля-Ван-дер-Поля обсуждаются в 6-ом параграфе. Явление Вейля-Ван-дер-Поля имеег асимптотическое происхождение и соответствует возможности слияния полюса трансформанты Зоммерфельда и точки перевала при асимптотической оценке интеграла. В соответствующем приповерхностном пограничном слое порядка 0((Ат)_1^2) по углу, описываемом интегралом Френеля, происходит интерференция поверхностной и сферической волн, распространяющихся с близкими скоростями.

Интегральные представления типа Абеля-Пуассона для дифракционного коэффициента для области, засвеченной отраженными лучами, выведены в 7-ом параграфе. Установлена их связь с аналитическим продолжением трансформанты Зо-ммерфельда.

Методом сшивания локальных разложений построены (параграф 8) первые два члена формальной асимптотики дифракционного коэффициента для узкого конуса, которые зависят от интегральных характеристик рассеивателя.

Приложения к главе посвящены некоторому вспомогательному техническому ма-тгриалу или дополнительным замечаниям к основному тексту.

В Главе 4 мы исследуем дифракцию плоской падающей электромагнитной волны на выпуклом конусе с анизотропными импедансными граничными условиями на поверхности.

Волновое поле удовлетворяет уравнениям Максвелла

-ПсЕ = ю1(г0П), гкгйН = ШЕ, ¿XV Е = 0, сНу Я = О,

условиям Мейкснера в вершине конуса

(43)

(44)

где 5е - сфера малого радиуса г с центром в вершине, N - внутренняя нормаль к сфере и * означает комплексное сопряжение, - скалярное произведение в Условие (45) подразумевает, что поток энергии через сферу радиуса е исчезает в пределе. Считаем, что плотность энергии локально интегрируема

/

(\Е\2 + \г;,Н\2)<1у < сом!,.

(46)

На границе конуса С выполнены условия с анизотропным поверхностным импедансом. Конус С предполагается гладким вне вершины, т.е. из С2,

где г, s обозначают радиальную и ортогональные к радиальной касательные к поверхности С компоненты поля. Матрица

- матрица нормированного поверхностного анизотропного импеданса. Предполагается, что вещественная часть этой матрицы положительно определена

ШЛ > 0. (48)

Обратимся к условиям излучения на бесконечности. Мы используем их интегральную форму

ал ~ J\Е-еглг0Н\2<18 -» 0, ра := J\гпН+ егЛЕ\2(1з -» 0 при Я-> оо, (49)

где - часть сферы радиуса Я, расположенная вне конуса, ег = г/|г|.

В этих условиях показано, что классическое решение задачи, если существует, то только одно.

В следующем параграфе обсуждаются условия излучения в случае падения плоской волны, а также некоторые следствия условий Мейкснера. В третьем параграфе вводятся потенциалы Дебая

Ё = ег(с%(ги) + к?ги) + + Л ст,

= ст((%(гь) + к2гу) + г~1Уидт(гу) - ikVшu Л ег, ^

С<р 8Шб<"

и доя iгax формулируется краевая задача. В частности, справедливо

Предложение 3. Пусть потенциалы (и, и) являются классическими решениями (из С2) уравнения, Гелъмгольца

Ли + к2и = 0, (51)

Ау + к2у = 0 (52)

в области вне конуса. Если, кроме того, потенциалы в гладких точках границы удовлетворяют условиям

где V = г; + V', и = и + и%, потенциалы падающей волны), тогда полное по-

ле, построенное по формулам Дебая, является классическим решением уравнений Максвелла и удовлетворяет анизотропным граничным условиям, связаны с элементами матрицы анизотропного импеданса.

Обсуждается связь свойств потенциалов с условиями Мейкснера и с условиями на бесконечности.

В четвертом параграфе вводятся представления типа КЛ для потенциалов и формулируется задача для спектральных функций. Спектральные функции дщь(ш, Шц, и) решают уравнения типа Лапласа-Бельтрами на сфере с отверстием

+ ("2-1/4)Л., = 0, (54)

а дщ„(ш, Шо, 1/2) решают аналогичное уравнение с и = 1/2, удовлетворяют граничным условиям

\ [(<?« + 91) (V +1) - [ди + д'и) {V -1)] I +

+а-

'21 (V2 - 1/4) дЫ 5 г д

1 2 97

Оь + й)|>>

(Л + Й)(" + 1) + (Л 4"ЛИ"- 1)

(// + 1/2)

(и —1/2)

\ [(Л+Й) (•' + !)" (Л + Й) («'-!)] |„ +

(55)

¿. а 12

-1'9 ~а21Ш

(«У.+ <&)("+!) (9»+9и)(у- 1) («/ + 1/2) + (1/-1/2)

для V ф ±1/2, и принадлежат классу мероморфных функций по спектральной переменной, экспоненциально убывающих на мнимой бесконечности, д'и<1 известны и определяются падающей волной.

В пятом параграфе на основе интегральных представлений выведены асимптотические выражения для дифракционных коэффициентов в случае узкого конуса в области, где в дальнем поле присутствует только сферическая волна от вершины [а^сов/З + ацвт/?] вшдвтдо

= 1„

4тг

(СОБ в + СОв во)'

(1 + 0 (/32к^/?0)) ,

4тг (сое 9 + соя (?о)

- длина контура границы отверстия Е в сфере S2,f}- угол, определяющий поляризацию падающей волны, малый параметр, . В частном случае изотропного импедансного конуса приходим к известному результату [Bernard, Lyalmov, 2004], 021 = —1 /Z, а\2 — Z, (¡22 = ви = 0.

Шестой параграф посвящен редукции краевой задачи для спектральных функций к фредгольмовым интегральным уравнениям. Неполным разделением угловых переменных, приходим к системе ФР уравнений для коэффициентов ряда Фурье.

Система ФР уравнений преобразуется к системе интегральных уравнений второго рода, нагруженной двумя линейными соотношениями. Показано, что при определенных условиях полученные уравнения обладают фредгольмовым свойством в оператор в уравнениях представим в виде суммы ограниченно обратимого и компактного. Этот результат получен методами исследования, близкими к использованным в скалярной задаче.

В седьмом параграфе рассматривается частный случай изотропного импеданса, причем получены численные результаты для дифракционных коэффициентов в случае осесимметричного падения плоской волны. Как и в предыдущем параграфе выведены нагруженные фредгольмовы интегральные уравнения, построена схема дискретизации для их численного решения, представлены результаты расчета.

Вычисления асимптотики дальнего поля аналогичны скалярному случаю главы 4 и основаны на редукции интегралов Конторовича-Лебедева к интегралам Зоммер-фельда (параграф 8). Обсуждается асимптотика дальнего поля вблизи границы области, освещенной отраженными лучами, и оазисом, в так называемой переходной зоне. Асимптотика описывается в терминах функций параболического цилиндра.

В девятом параграфе изучается вопрос о возникновении электромагнитных поверхностных волн рэлеевского типа. Для этого, исследуются полюсы трансформант Зоммерфельда, которые могут быть захвачены при при деформации контура в перевальные. Хотя результаты аналогичны скалярному случаю, существует принципиальное отличие, состоящее в том, что электромагнитные поверхностные волны существуют всегда. Тип этих волн - электрический или магнитный, определяется знаком мнимой части поверхностного импеданса. Для осесимметричного случая получены выражения для коэффициентов возбуждения.

В последнем пункте параграфа кратко обсуждаются интегральные представления типа Абеля-Пуассона для дифракционных коэффициентов в области, засвеченной отраженными лучами.

Приложения к главе посвящены вспомогательным или техническим вопросам, используемым в основном тексте.

Еще один круг задач, рассматриваемых в диссертационной работе, связан с изучением возмущения плоской волны равномерно расширяющимися гладкими объектами (цилиндрами, сферами) с граничными условиями Дирихле, Неймана или импеданс-ными.

Среди работ математического характера, примыкающих к данной тематике, отме-

тим работу С.Л.Соболева (1942), в которой рассматриваются корректные постановки задач и некоторые оценки решения волнового уравнения внутри области с подвижными границами.

В 1960-1970е годы появилась серия работ В.Н.Красильникова и В.А.Класса, посвященная изучению рассеяния электромагнитных волн сферой (цилиндром) с изменяющимся радиусом. Основные результаты приведены в монографии (Красильни-ков; 1996). Аналогичная задача исследовалась в работах ^Т.ЬаЬш'а (1968) и М.А.Лялино (1994,1999), В.М.Бабича и М.А.Лялинова (1998).

В Главе 5 исследуется класс задач дифракции волн на равномерно расширяющихся гладких объектах.

Во вводном параграфе к главе кратко обсуждаются некоторые известные работы, описывается круг задач, в которых может быть использованы развиваемые подходы. В следующем параграфе представлена мотивированная постановка задач с различными граничными условиями на расширяющейся поверхности.

Волновое поле удовлетворяет уравнению

(57)

и — V + и',

и'(т,х,у) = е "

= Р-*{т-у)

невозмущенная волна.

На расширяющемся цилиндре (контуре его поперечного сечения) 5Т = [(®,2/) : фиксировано, выполнено импедансное граничное условие

(Щди ди\ дт + 8п)

= 0, Ио

£

(58)

либо условия Дирихле или Неймана.

Возмущенное волновое поле удовлетворяет начальным условиям

(59)

(60)

которые означают, что полное поле в начальный момент времени совпа-

дает с невозмущённой волной везде, кроме линии (точки) х — у — 0 возникновения расширяющегося цилиндра (контура), так как решение не зависит от

В последующие моменты времени т > 0 волна возмущения занимает область между фронтом х2 ■+ у2 = т2 ( Т фиксировано) и контуром 5Т С К2. Таким образом,

решение v(t, X, у) отлично от нуля между двумя конусами - световым Е и конусом S, представляющим расширяющийся цилиндр в пространстве Минковского.

Точка X — у = т = 0 является сингулярной (конической) точкой решения и. Естественно описать поведение решения и в окрестности сингулярной точки условием типа Мейкснера в вершине

тг / (|VIvtf + \dTv\2) dxdy -» 0, то —» 0, (61)

1 J П(щ)

где П(го) Ct2- область между конусами S и S в момент времени т = То.

Решение и(г, х, у) равно нулю при х2 + у2 > т2, т > 0 и справедлива асимптотика

v(r,x,y) = т> О,

г- Vx2Ty2-»0+ .

В частности, это позволяет с помощью формулы Кирхгоффа перейти к задаче для волнового уравнения между конусами (световым и конической поверхностью S) в пространстве Минковского. В задаче с граничным условием Дирихле необходимо это условие несколько изменить.

Ищется классическое решение волнового уравнения в области, удовлетворяются граничным условиям и условию типа Мейкснера.

Основная часть параграфа посвящена вычислению оценок типа (62) для задач в пространствах Минковского в случае задач для волнового уравнения, а также

уравнений Максвелла. Используются классы однородных решений волнового уравнения для изучения решения в окрестности фронта. В случае уравнений Максвелла для редукции к волновому уравнению использованы нестационарные потенциалы Дебая.

Дта импедансных условий (или Неймана) в третьем параграфе доказана единственность классических решений с помощью энергетических соображений.

В 4-ом параграфе решение для волны возмущения ищется отделением псевдора-дильной переменной,

оо

t'(ro,0,v) = Е»? «*»(*.¥>) (63)

т=0

и формулируется спектральная задача для оператора ЛачласагБельтрами на псевдосфере Я (верхняя полость гиперболида) с отверстием Е, вырезанным конусом S

По^ш - \nVm = о, Am = т(т +1), m = 0,1,..., (64)

v™ las = -p—(coshtf - sinhêcosip)m |ag (65)

для условия Дирихле на £.5' С этой задачей связывается естественный самосопряженный оператор, а задача однозначно разрешима для указанных значений Ат. Здесь становится очевидной связь с соответствующей спектральной задачей для импеданс-ного конуса, хотя соответствующее граничное условие проще - оно локально.

Задача для неспектральных значений параметра т, с помощью потенциала двойного слоя, сводится к интегральному уравнению второго рода с непрерывным ядром. Оценки ядра показывают, что свойства уравнения не ухудшаются с ростом параметра.

В осесимметричном случае (круговой конус S) решение находится полным разделением переменных в терминах функций Лежандра. Приведены некоторые результаты расчетов волны возмущения.

В пятом параграфе получен старший член формальной асимптотики решения задачи для медленно расширяющейся поверхности для условий Дирихле и импедансно-го. Асимптотика решения строится на основе сшивания локальных асимптотических разложений для эллиптических уравнений на многообразии с малым отверстием. В обоих случаях старший член зависит от интегральных характеристик рассеивателя (винеровская емкость и длина контура соответственно).

В последнем параграфе построена модель типа потенциала нулевого радиуса для задачи Дирихле на основе стандартной техники самосопряженных расширений. По-существу, задача сводится к самосопряженному расширению некоторого обыкновенного дифференциального оператора, а неизвестный в рамках теории параметр расширения находится сравнением с асимптотическим решением задачи. Приложения к главе посвящены вопросам физического обоснования постановки задач, а также выводу сингулярного интегрального уравнения, соответствующего спектральной задаче с импедансными условиями.

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Научная новизна и практическая ценность.

Основные новые результаты, полученные в работе, состоят в следующем

1. Предложены корректные постановки задач дифракции в угловой области и доказаны теоремы единственности решений на основе интегрального варианта условий излучения Зоммерфельда. С помощью интегралов Зоммерфельда задача сведена к системе ФР уравнений в адекватном классе функций. Для случая, когда задача дифракции в клиновидной области имеет естественный малый параметр, векторная система ФР уравнений преобразована к системе интегрально-функциональных уравнений в некотором пространстве и доказаны сжимающие свойства операторов. Решение уравнений построено в виде сходящихся рядов Неймана. Получены координатные асимптотики и вычислены

5)Для импедангного краевого условия возникает так называемая задача с косой производной, соответствующее сингулярное интегральное уравнение выведено в Приложении к Главе.

приближенные выражения для дифракционных коэффициентов, выведено выражение для волны примесной поляризации (клин с анизотропными условиями на гранях), а также приближенные выражения для дифракционных коэффициентов (наклонное падение на импедансный клин).

2. Для сложных клиновидных областей (в случае общего положения, когда малые параметры в задаче отсутствуют) с граничными условиями импедансного типа предложена замкнутая постановка задачи при положительных волновых числах (с интегральными условиями излучения Зоммерфельда) и при волновых числах, имеющих малую мнимую часть. Доказаны теоремы единственности и существования, обоснован принцип предельного поглощения (гл 2). Для достижения этих результатов использован новый в теории дифракции подход, основанный на редукции системы ФР уравнений в некотором классе мероморфных функций к разностному уравнению второго порядка, а затем к интегральному уравнению фредгольмова типа. Доказана однозначная разрешимость последнего и построена численная схема его решения. Выведены равномерные по углу координатные асимптотики решения. Приведены результаты численного моделирования.

3. В задаче дифракции на пассивном выпуклом имиедансном конусе (гл. 3) доказана теорема единственности классического решения при освещении компактным источником при положительных волновых числах. Для плоской падающей волны, на основе интегралов Конторовича-Лебедева (КЛ) задача редуцирована к краевой задаче для оператора типа Лапласа-Бельтрами на единичной сфере с отверстием, вырезанным конусом, и нелокальными граничными условиями для спектральных функций. Тем самым, предложено обобщение подхода, использованного для идеальных условий, на случай импедансных условий. Выделен класс мероморфных функций, в котором задача спектральной функции имеет единственное решение. Существование доказано для случая кругового конуса дополнительным неполным разделением угловых переменных. Для коэффициентов Фурье получено и исследовано интегральное уравнение второго рода в На основе метода полуобращения доказана однозначная разрешимость уравнения и сходимость ряда Фурье. Интегралы КЛ для решения преобразованы к интегралам Зоммерфельда с целью построения координатных асимптотик решения. Изучены особенности трансформант Зо-ммерфельда. Построены координатные асимптотики решения, предложены выражения для дифракционных коэффициентов, описаны условия возникновения и вычислены "поверхностные"волны вблизи импедансной поверхности конуса. Изучено явление Вейля-Ван-дер-Поля. Для случая узкого импедансного конуса вычислены старший член и первая поправка формальной асимптотики дифракционного коэффициента в области, не засвеченной отраженными лучами.

4. Предложена постановка и доказана единственность классического решения электромагнитной задачи рассеяния волн на выпуклом конусе с анизотропным пассивным поверхностным импедансом при положительных волновых числах (гл. 4). С использованием потенциалов Дебая задача рассеяния сведена к задаче для уравнения Гельмгольца для пары скалярных потенциалов и сложных (анизотропных) граничных условий импедансного типа на границе конуса. Посредством интегральных представлений КЛ выведена задача для пары спектральных функций, удовлетворяющих уравнениям типа Лапласа-Бельтрами на единичной сфере с отверстием и нелокальными связанными граничными условиями на границе. В случае кругового конуса неполным разделением угловых переменных построена задача для системы ФР уравнений второго порядка для коэффициентов Фурье, которая обобщает систему в случае изотропного импеданса. Система преобразуется к нагруженным (т.е. с дополнительными алгебраическими линейными уравнениями) интегральным уравнениям, для которых доказана их фредгольмовость. Для случая изотропного импеданса предложена численная схема решения интегральных уравнений и для осесимметричной ситуации получены численные результаты для дифракционных коэффициентов в области, не засвеченной отраженными лучами. С использованием связи интегралов КЛ и Зоммерфельда выведены координатные асимптотики, для чего изучены особенности трансформант Зоммерфельда. В неравномерной асимптотике выделены сферическая волна от вершины, волна, отраженная от конуса по законам геометрической оптики, поверхностные волны (случаи электрического и магнитного типов поверхностных волн). Вычислен старший член асимптотики волнового поля в окрестности сингулярных направлений в терминах функций параболического цилиндра. Получены старшие члены формальной асимптотики для дифракционных коэффициентов в области, не засвеченной отраженными лучами, в случае узкого конуса с анизотропным поверхностным импедансом.

5. Предложены замкнутые постановки задач рассеяния плоской волны равномерно расширяющимся гладким телом (цилиндр, сфера), возникающим в некоторый начальный момент времени (гл. 5). Для классического решения доказаны теоремы единственности, изучено поведение решения в окрестности фронта волны возмущения. (Изучаются случаи идеальных и импедансных граничных условий.) Решение строится отделением псевдорадиальной переменной, устанавливается связь со спектральной задачей для оператора типа Лапласа-Бельтрами на псевдосфере с отверстием. Задача для спектральной функции (на псевдосфере с отверстием) сведена к интегральному уравнению теории потенциала двойного слоя (условие Дирихле) со стандартными свойствами интегрального оператора. Для осесимметричного случая решение задачи получено разделением переменных явно в терминах функций Лежандра. При малой отно-

сительной скорости расширения цилиндра получена формальная асимптотика решения, а также для условий Дирихле на основе теории самосопряженных расширений построена модель задачи типа потенциала нулевого радиуса.

Аналитические подходы, разработанные в главах 3,4, нашли свое применение в задаче электромагнитной дифракции на полупрозрачной конической поверхности, а также в скалярной задаче дифракции на прозрачном конусе (М.А.Лялинов; 2003).6)

Полученные результаты могут быть использованы в качестве ключевых блоков при построении теории распространения волн и в более сложных, чем рассмотренные, задачах. На основе принципа локальности в высокочастотной теории распространения волн дифракционные коэффициенты в изученных канонических задачах могут быть применены для создания равномерных вариантов асимптотической теории в сложных областях, имеющих ребра или конические точки импедансной границы. Обычно, создание компьютерных алгоритмов, основанных на такого рода асимптотических формулах, не вызывает серьезных трудностей. При этом соответствующие программы обладают надежностью и относительным быстродействием, а полученные численные результаты допускают однозначную физическую интерпретацию.

Таким образом, в работе развит единый математически обоснованный подход к исследованию достаточно широкого класса канонических задач, не допускающих явного решения, в клиновидных или конусовидных областях с граничными условиями импедансного типа. Предлагаемый подход обобщает известные методы для идеальных граничных условий (а также для случая явного решения некоторых задач с импедансными условиями) и дает новые возможности для изучения более сложных канонических задач с импедансными граничными условиями.

Положения, выносимые на защиту.

• Развит единый математически обоснованный подход к изучению канонических задач, не допускающих явного решения, в клиновидных или конусовидных областях с граничными условиями импедансного типа. Предлагаемый подход обобщает известные методы на более сложные канонические задачи с импе-дансными граничными условиями.

• В частности, разработан способ вычисления дифракционных коэффициентов в клиновидных областях с граничными условиями импедансного типа на основе редукции разностных уравнений второго порядка к интегральным. Предложен и обоснован принцип предельного поглощения для такого класса задач.

• Предложен метод возмущений и его обоснование для решения спаренных функциональных уравнений Малюжинца в задачах дифракции в клиновидных областях для сложных (анизотропных) граничных условий. Построены равномерные асимптотики дальнего поля. Предложены приближенные формулы для дифракционных коэффициентов.

Соответствующие результаты не приведены в диссертационной работе.

• Построена математически обоснованная теория волновых явлений (на основе неполного разделения переменных) для задач дифракции в конусовидной области с граничными условиями импедансного типа.

• Вычислены дифракционные коэффициенты в задачах дифракции акустических и электромагнитных волн на выпуклом импедансном конусе. Получена асимптотика дифракционных коэффициентов для узкого конуса и исследована структура волнового поля вдали от вершины.

• Предложена теория поверхностных волн рэлеевского типа, распространяющихся от вершины импедансного конуса и изучены условия возникновения явления Вейля-Ван-дер-Поля.

• Описаны корректная постановка задачи и процедура вычисления волны возмущения от равномерно расширяющегося гладкого объекта. Выведена формальная асимптотика решения задачи для медленного расширения поверхности.

Список основных публикаций по теме диссертации

1. J.M.L. Bernard and M A. Lyalmov, The leading asymptotic term for the scattering diagram in the problem of diffraction by a narrow circular impedance cone, J. Phys. A: Math. Gen. 29, (1999).

2. J.-M. L. Bernard and M A. Lyalmov, Diffraction of acoustic waves by an impedance cone of an arbitrary cross-section, Wave Motion, 33, 155-181. (2001).

3. J.M L. Bernard and M.A. Lyalmov, "The leading asymptotic term for the scattering diagram by a narrow impedance cone", Proceedings of the IEEE APS conference of Salt Lake City, pp. 398-401,(2000).

4. J.M L. Bernard and MA. Lyalmov, "Spectral domain solution and asymptotics for the diffraction by an impedance cone ", IEEE Trans. AP, Vol. 49, 12, pp 1633-1637 (2001).

5. J.-M.L. Bernard, M.A. Lyalmov, Electromagnetic scattering by a smooth convex impedance cone, IMA Journ. Appl Math., 96,(June), 285-333, (2004).

6. Buldyrev V.S , M A. Lyahnov, Mathematical methods in modern electromagnetic diffraction theory, V.1, Intern, monographs on advanced electromagnetics, Science House, Tokyo, 2001.

7. Лялинов, M. A , Дифракция плоской электромагнитной волны, падающей наклонно на ребро импедансного клина Зап. Научн Сем. Петербург. Отдел. Ма-тем. Инст. Стеклова), 264, Матем. вопр. теории распр. волн. 29,189-196, 2000.

8. M.A. Lyalinov, N.Y. Zhu, Diffraction of a skewly incident plane wave by an anisotropic impedance wedge—a class of exactly solvable cases, Wave Motion, 30, 275-288,1999.

9. M.A. Lyalinov, Explicit solvability of a class of Mahuzhinets functional equations, J. Phys. A, Math. Gen., V. 30, L797-L802 (1997).

10. M.A. Lyalinov, N.Y. Zhu, A solution procedure for second order difference equations and its application to electromagnetic wave diffraction m a wedge shaped region, Proc. Royal Soc. London, 459 , 3159-3180 (2003).

11. Ljalmov M. A., Scattering of a plane wave by a cylinder with uniformly increasing radius, IEEE Trans. Antennas Propagat, Vol. 42(11), 1574-1577, 1994.

12. Lyalmov, M. A., On one approach to an electromagnetic diffraction problems m a wedge shaped region, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 27, L183-L189,1994.

13. Лялинов, М. А., Метод возмущений в электромагнитных векторных задачах дифракции на клине, Зап. Научн. Сем. Петербург. Отдел. Матем. Пнет. Стек-лова), 230, Матем. воггр. теории распр волн 25, 138-156, 1995.

14. Лялинов, М. А. и Л. Г. Вардапетян, Дифракция плоской электромагнитной волны на клине с диэлектрическим покрытием при наклонном падении на ребро, Зап. Научн. Сем. Петербург. Отд. Матем. Инст. Стеклова), 218, Матем. вопр. теории распростр. волн, 24, 72-95, 1991; translation in J. Math. Sci. (New York), 86(3), 2705-2720, 1997.

15. Lyalinov, M. A., Explicit solvability of a class of Mahuzhinets equations with matrix coefficients, J. Phys. A: Math. Gen, 30, L797-L802, 1997.

16 Лялинов, М. А., Рассеяние волн расширяющимся контуром, Зап. Научн. Сем. Петербург. Отд. Матем. Инст. Стеклова), 257, Матем. вопр. теории распростр. воли, 28, 149-156, 1999

17. Лялинов, М. А., Дифракция плоской волны на импедансном конусе, Зап. Научн. Сем. Петербург. Отд. Матем. Инст. Стеклова), 297, Матем. вопр. теории распростр. волн, 32, 191-215, 2003.

18. Lyalinov M.A., Surface waves in the vicinity of an impedance cone, Proc. of the Intern. Semm. Days on Diffraction 2003, S.Petersburg, pp. 142-150, 2003.

19. Лялинов, М. А., Об интегральном уравнении в задаче дифракции плоской волны на прозрачном круговом конусе, Зап. Научн. Сем. Петербург. Отд. Матем. Инст. Стеклова), 308, Матем. вопр. теории распростр. волн, 33, 101-123, 2004.

Подписано к печати 30.10.2004 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 2 усл. п. л. Тираж 120 экз. Заказ 3396. Отпечатано в отделе оперативной полграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

»-"6 14

0 ВВЕДЕНИЕ

1 Метод возмущений в дифракции на клине

1.1 Интегралы Зоммерфельда и теорема Малюжинца

1.1.1 Асимптотический анализ интеграла.

I 1.1.2 О падающей и поверхностных волнах.

1.1.3 О поведении интегралов Зоммерфельда вблизи вершины

1.2 Функционально-разностные уравнения.

1.2.1 Общая теория ФР уравнений (Малюжинца).

1.2.2 Функция Малюжинца и ее основные свойства.

1.2.3 Решение однородных уравнений.

1.2.4 Решение неоднородных уравнений.

1.2.5 Модифицированное преобразование Фурье и ¿>-интегралы

1.2.6 Непосредственное использование интегралов.

1.3 Дифракция плоской электромагнитной волны на клине с анизотропными поверхностными импедансами

1.3.1 Введение.

1.3.2 Формулировка задачи и сведение к системе линейных уравнений второго рода.

1.3.3 Метод'возмущений

1.3.4 Равномерная асимптотика дальнего поля и результаты расчета волны примесной поляризации.

1.4 Задача дифракции плоской волны, наклонно падающей на ребро клина с анизотропным импедансом

1.4.1 Формулировка задачи.

1.4.2 О единственности решения.

1.4.3 Предварительная редукция задачи.

1.4.4 Случаи точного решения.

1.4.5 Равномерная асимптотика решения.

1.4.6 Частные случаи.

1.5 Метод возмущений в задаче дифракции наклонно падающей плоской волны на ребро импедансного клина.

1.5.1 Почти скользящее к ребру падение, sin в0 <С 1.

1.5.2 Дифракционные коэффициенты.

1.5.3 Почти нормальное падение, cosflo 1.

Разностные уравнения и дифракция на клине

2.1 Дифракция плоской волны на тонкой диэлектрической полуплоскости, разделяющей внешность импедансного клина.

2.1.1 Введение.

2.1.2 Постановка задачи.

2.2 О существовании и единственности решения.

2.2.1 Редукция задачи

2.3 Разностное уравнение второго порядка.

2.4 Фредгольмово интегральное уравнение второго рода.

2.5 Аналитическое продолжение и особенности спектральных функций. Асимптотика решения при г —> оо.

2.5.1 Аналитическое продолжение. Вычисление полюсов и вычетов в

2.5.2 Неравномерная и равномерная по углу асимптотика дальнего поля.

2.5.3 Принцип предельного поглощения.

2.6 Результаты численного моделирования.

2.6.1 Вычисление спектральных функций

2.6.2 Результаты расчета дальнего поля

2.7 Наклонное падение на ребро импедансного клина.

2.7.1 Постановка задачи

2.7.2 Функциональные уравнения.

2.7.3 Об особенностях спектральных функций в полосе П(—7Г —Ф, 7Г+Ф)

2.7.4 Преобразование уравнений (2.68),(2.69).

2.7.5 Сведение к интегральным уравнениям.

2.7.6 Определение постоянных.

2.7.7 Неравномерная и равномерная асимптотика решения и явление Вейля-Ван-дер-Поля для клиновидной области.

Дифракция акустических волн на выпуклом импедансном конусе

3.1 Дифракция плоской волны на выпуклом импедансном конусе.

3.2 Классическое решение задачи.

3.2.1 О единственности классического решения.

3.2.2 Рассеяние плоской волны и интегральное представление для решения

3.3 Краевая задача для спектральной функции и^ш, loq)

3.3.1 Существование и единственность. Круговой конус.

3.4 Представление решения интегралами Зоммерфельда

3.4.1 Аналитические свойства Ф(а,^,ш0), Ф(а,и>,и>0).

3.4.2 Задачи для трансформант Зоммерфельда.

3.5 Координатная асимптотика в задаче дифракции плоской волны на и мпедансном конусе.

3.5.1 Асимптотика волнового поля в "оазисе", к >

3.5.2 Область, освещенная отраженными лучами.

3.5.3 Лучевое разложение для спектральной функции.

3.5.4 Вычисление сингулярности Ф для вещественных а.

3.5.5 Координатная асимптотика вне "оазиса". Отраженная волна

3.6 Поверхностные волны. Осесимметричное падение на круговой импе-дансный конус.

3.6.1 Поведение Ф(а, со, ш0) в окрестности полюса и выражение для поверхностной волны.

3.6.2 Поверхностная волна как лучевое решение.

3.6.3 Явление Вейля-Ван-дер-Поля.

3.7 Формулы для дифракционных коэффициентов в области в'(и>,ш0) < ж и представления в форме интегралов Абеля-Пуассона.

3.8 Дифракция на узком импедансном конусе. Асимптотика диаграммы рассеяния. . .-.

3.8.1 Сшивание асимптотик.

3.8.2 Задачи для старших членов и первых поправок.

3.8.3 Вычисление Vi и B2j

3.8.4 Основная формула для дифракционного коэффициента в случае узкого конуса.

5.2 Поле волны возмущения.248

5.2.1 Постановка задачи с плоской невозмущенной волной.248

5.2.2 Задача Дирихле вМз и метод Смирнова-Соболева.

Задача Неймана.250

5.2.3 Импедансное условие.253

5.2.4 Задачи Дирихле и Неймана между конусами в М4.254

5.2.5 Рассеяние плоской электромагнитной волны равномерно расширяющейся абсолютно проводящей сферой.256

5.3 Единственность решения.258

5.3.1 Единственность для импедансного условия .259

5.4 Решение задачи в Мз.260

5.4.1 Отделение псевдорадиальной переменной и спектральная задача 260

5.4.2 Уравнение теории потенциала.262

5.4.3 Граничное импедансное условие для спектральной функции . . 263

5.4.4 Осесимметричный случай.263

5.4.5 Разделение переменных для импедансного граничного условия . 266

5.5 Рассеяние волн медленно расширяющимся цилиндром.268

5.5.1 Асимптотическое решение.269

5.5.2 Асимптотика для медленно расширяющегося импедансного цилиндра .274

5.6 Модельная задача. Условие Дирихле.276

5.7 Приложение 1. К постановке задачи о расширяющемся цилиндре в электромагнитной теории.279

5.7.1 Граничные условия.281

5.8 Приложение 2. Редукция спектральной задачи к сингулярному интегральному уравнению в случае импедансного цилиндра.282

5.9 Заключение.284

Литература

284

Глава О

ВВЕДЕНИЕ

Общая характеристика работы. В широком круге задач математической теории дифракции и распространения волн изучение канонических задач для рассеивателей с ребром или конической точкой, поверхность которых описывается импедансными граничными условиями (условиями третьего рода) и их обобщениями, играет особую роль. Такие канонические задачи имеют ключевое значение при использовании геометрической теории дифракции и ее модификаций, так как являются вполне реалистичными, а с другой стороны на основе принципа локальности доставляют возможность использования дифракционных коэффициентов, называемых также диаграммами рассеяния, найденных в модельной задаче, для гораздо более общих ситуаций инженерной и исследовательской практики.1)

Некоторые важные канонические задачи, такие как дифракция на импедансном клине при нормальном падении плоской волны на ребро или дифракция на круговом конусе с идеальными условиями, могут быть решены явно. Однако, подавляющий класс задач в этой области не допускает явного решения. Тем не менее, применение разнообразных методов математической физики и математической теории дифракции как ее части позволяет получить эффективное "решение"задачи в следующем смысле. Удается построить удовлетворительную математическую модель дифракционных явлений (изучить соответствующую краевую задачу), исследовать ее аналитически и численно, используя разнообразный арсенал методов математической физики. На этом пути получение соответствующих интегральных представлений, исследование их свойств, обеспечение возможности эффективного вычисления того или иного дифракционного коэффициента или коэффициента возбуждения, изучение новых дифракционных эффектов являются наиболее значимыми результатами исследования.

Очевидно, чем сложнее физическая модель, например, применяемые граничные условия, тем разнообразнее и сложнее дифракционные явления в рассматриваемых Заметим, что диаграмма рассеяния является одним из основных объектов изучения и в математической теории рассеяния. канонических задачах. Представляется, что построение соответствующей математически обоснованной теории и развитие новых методов для изучения таких более сложных и вместе с тем реалистичных задач теории дифракции является актуальной задачей.

Целью диссертации является разработка новых подходов для всестороннего и строгого исследования целого круга канонических задач дифракции акустических и электромагнитных волн в клиновидных или конусовидных областях с условиями импедансного типа на границе, получение эффективных (асимптотических или точных) формул для решений задач, изучение свойств решений и их применение для расчетов полей. В отличие от явно решаемых моделей изучаются более сложные канонические задачи (главы 1,2,3,4) в клиновидной или конусовидной области, которые, по-видимому, не допускают явного решения. Кроме того, рассмотрена задача дифракции волны на равномерно расширяющихся гладких объектах (глава 5). Такая задача, хотя и выглядит как задача другого типа, сводится, по-существу, к исследованию задачи для волнового уравнения между двумя конусами в пространстве Минковского.

Для достижения поставленной цели представляется разумным

• сформулировать замкнутые постановки задач рассеяния волн в клиновидных и конусовидных областях с граничными условиями импедансного типа и доказать единственность их решения

• предложить интегральные представления для решения (типа интегралов Зоммерфельда, Конторовича-Лебедева, Фурье и т.п.) с целью неполного отделения естественно выделенной (радиальной) переменной

• изучить задачи для трансформант (спектральных функций), входящих в,интегральные представления и зависящих от угловых переменных, в частности, задачи для векторных функциональных (разностных) уравнений в специальных классах функций, либо краевые задачи для оператора типа Лапласа-Бельтрами на области единичной сферы (или псевдосферы в Гл. 5) с нелокальными (или локальными) краевыми условиями на границе

• провести редукцию упомянутых задач к интегрально-функциональным, интегральным и т.п. уравнениям,, использовав или разработав адекватные для их исследования подходы

• на основе интегральных представлений изучить координатные асимптотики (т.е. асимптотики волнового поля на больших расстояниях от сингулярной точки границы) решения задач рассеяния

• получить явные (например, в квадратурах) представления для дифракционных коэффициентов или коэффициентов возбуждения волн через спектральные функции

• изучить физические следствия'аналитических результатов и привести некоторые расчеты, демонстрирующие эффективность аналитических результатов

При изучении задач в клиновидной области разумно различать задачи трех уровней сложности. Это более простые задачи типа задачи Малюжинца, допускающие решения в квадратурах. Второй круг задач состоит из тех, что сводятся к векторным функционально-разностным (ФР) уравнениям, т.е. не имеют в общем случае явного решения (например, из-за сложных граничных условий), однако, задачи являются односкоростными (волновое число в уравнениях одно и то же). Наконец, наиболее трудными являются задачи с двумя скоростями в клиновидных областях, когда сложность и разнообразие волновых процессов, появляющиеся в том числе из-за сингулярной точки границы, увеличиваются возможностью распространения волн с двумя различными скоростями. При этом аналитические трудности исследования задач естественным образом возрастают в соответствии с разнообразием и сложностью волновых процессов.

Примерно также можно классифицировать и задачи дифракции в конусовидных областях.

В данной работе мы изучаем задачи второго уровня сложности. Оказывается, что такие задачи не только реалистичны, но являются вполне содержательными и с аналитической точки зрения.

Структура и объем»диссертации. Работа состоит из Введения, пяти глав и Приложений к ним, Заключения и списка литературы из 172 названий. Общий объем работы - 304 страниц, включая 22 рисунка и список литературы.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

Предложены новые подходы для вычисления дифракционных коэффициентов в клиновидных и конусовидных областях с граничными условиями импедансного типа. Построена математически обоснованная теория волновых явлений для такого класса задач.

Предложен и обоснован метод возмущений для решения спаренных функциональных уравнений Малюжинца. Получены новые результаты для задач дифракции в угловых областях, не допускающих решение в квадратурах. Исследована асимптотика дальнего поля.

Предложен метод исследования одного класса задач дифракции в сложных угловых областях сведением задач для парных ФР уравнений к разностному уравнению второго порядка, а затем к фредгольмовым интегральным уравнениям. Доказана теорема единственности. Предложена эффективная схема их численного решения. Построена равномерная по углу асимптотика дальнего поля, в частности; описаны поверхностные волны, распространяющиеся от ребра клиновидной области, в условиях, когда задача не допускает явного решения в квадратурах. Обоснован принцип предельного поглощения для такого сорта задач.

Изучены волновые явления в задаче дифракции акустических волн на выпуклом импедансном конусе. Предложено обоснование решения задачи дифракции плоской волны. Получены выражения для дифракционного коэффициента для узкого конуса. Исследованы условия возникновения поверхностных волн рэлеевского типа и явления Вейля-Ван-дер-Поля.

Разработан метод вычисления электромагнитных дифракционных коэффициентов в задаче рассеяния плоской волны на конусе с анизотропным и изотропным поверхностным импедансом. Доказана теорема единственности. Построена система интегральных уравнений и предложена численная схема их решения для кругового конуса. Представлены результаты вычислений. Изучена асимптотика дифракционных коэффициентов для узкого конуса. Получены выражения для дальнего поля, в частности, для поверхностных волн рэлеевского типа. Построен старший член асимптотики волнового поля в переходной зоне вблизи границы области, освещенной отраженными лучами.

Исследован класс задач рассеяния плоской волны на равномерно расширяющемся гладком теле. Обсуждаются вопросы корректной постановки. Исследована асимптотика решения для медленного расширения и приведены формулы для волны возмущения. Проведены тестовые расчеты. Построена модель типа потенциала нулевого радиуса.

5.9 Заключение.

1. 1.D. Abrahams, J.В. Lawrie, Travelling waves on a membrane: reflection and transmission at a corner of arbitrary angle I, II. Proc. R. Soc. bond., A451, A452, 657-683, 1649-1677, 1995, 1996.

2. M. Abramowitz, I. Stegun et.al. Handbook of mathematical functions, Dover Publications (1972).

3. Ахиезер H.И. и И. M. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Москва, Наука, 1966.

4. S. Albeverio, Analytische Lôsung eines idealisierten Stripping- oder Beugungsproblems, Helv. Phys. Acta, 40, 1967, 135-184.

5. Andronov, I. V., Low-frequency models for fractures in composite electromagnetic coverings, Proc. of the 4-th International Seminar on Mathem. Methods in Electromagnetic Theory, 255-259, Test-Radio, Kharkov-Alushta, Ukraine, April, 1991.

6. Y.A. Antipov, "Diffraction of a plane wave by a circular cone with an impedance boundary condition", SIAM J. on Appl. Math., Vol.62, 4, pp. 1122-1152 (2002).

7. Y.A. Antipov, V.V.Silvestrov, "Second-order functional difference equations I. Method of Reimann-Hilbert problem on Riemann surfaces", Q. Jl. on Mech. and Appl. Math., Vol.57, 2, pp. 245-265 (2004).

8. A.D. Avdeev, On a special function in the problem of diffraction by a wedge in an anisotropic plasma, J. Commun. Techn. Electr., 39(10), 70-78, 1994.

9. Babich V. М. and V. S.Buldyrev, Asymptotic methods in short-wave length diffraction theory, Springer-Verlag, 1991.

10. Бабич B.M., B.C. Булдырев и И.А. Молотков, Пространственно-временной лучевой метод: линейные и нелинейные волны, Ленинград, Ленинградский университет, 1985.

11. Бабич В.М. и М.А. Лялинов, О рассеянии волн расширяющейся поверхностью, Записки Научн. Семинаров ПОМИ, Матем. Инст. им. В.А. Стеклова РАН, С. Петербургское Отделение, Вопросы теории распростр. волн, 27, Том 250, 35-49, 1998.

12. Бабич В.М., М.А. Лялинов, В.Э.Грикуров, Метод Зоммерфельда-Малюжинца в задачах дифракции, С.Петербург, С.Петербургский университет, 2004.

13. Бабич В.М. Скин-эффект в случае провода произвольного поперечного сечения, Записки Научн. Семинаров ПОМИ, Матем. Инст. им. В.А. Стеклова РАН, 128, Вопросы теории распростр. волн, 13, 13-20, 1983.

14. V.M. Babich, D.B. Dement'ev and B.A. Samokish, "On diffraction of high frequency waves by a cone of arbitrary shape", Wave Motion, 21, pp. 203-207 (1995).

15. V.M.Babich, V.P.Smyshlyaev, D.B.Dement'ev, B.A.Samokish, Numerical calculations of the diffraction coefficients for an arbitrary shaped perfectly conducting cone, IEEE trans. AP, 44(5), pp.740-747, (1996)

16. V.M. Babich, D.B. Dement'ev , B.A. Samokish and V.P. Smyshlyaev, "On evaluation of the diffraction coefficients for arbitrary 'non-singular' directions of a smooth convex cone", SI AM on Appl. Math., 60(2), pp. 536-573, (2000).

17. Бабич B.M., М.И. Иванов, Длинноволновые асимптотики в задачах рассеяния упругих волн, Записки Научн. Семин. ЛОМИ, 156, Математические вопросы теории распространения волн, 16, 6-19, 1986.

18. Белинский, Б. П., О единственности решения гранично-контактных задач акустики, Вестник Ленинградского университета, Метем, и Мех. N 13, 5-10, 1983.

19. Белинский, Б. П., Д. П. Коузов и В.Д. Чельцова, О дифракции акустической волны на пластинах, сочлененных под прямым углом, Прикл. Матем. и Механ., Том 37, 273-281, 1973.

20. Б.П. Белинский, Д.П. Коузов, В.Д. Чельцова, Рассеяние изгибной волны на Т-образном соединении упругих пластин, помещенных в жидкость. Труды VII Всесоюзной конференции по физической и технической акустике, Ленинград, 75-77, 1973.

21. Березин Ф. А. и Л. Д. Фаддеев, Замечание об операторе Шредингера с сингулярным потенциалом, ДАН СССР Том. 137(5), 1011-1014, 1961.

22. М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Л. Изд. ЛГУ, 1980.

23. М.Ш. Бирман, Три задачи теории сплошных сред в многогранниках, Записки Научн. Семин. ПОМИ им. В.А.Стеклова, Т.200, стр. 27-37, 1992.

24. Бродская А.Л., А.В. Попов и С.А. Хозиосский, Асимптотика волны, отраженной конусом в полутеневой зоне, 6-й Всесоюзный симозиум по дифракции и распространению волн, Т.1, 227-231, 1973.

25. Bernard, J. M. L., Diffraction by a metallic wedge covered with a dielectric material,. Wave motion. Vol. 9, 543-561, 1987.

26. J.-M.L. Bernard, Méthode analytique et transformées fonctionnelles pour la diffraction d'ondes par une singularité conique: équation intégrale de noyau non oscillant pour le cas d'impédance constante, rapport CEA-R-5764, Editions Dist-Saclay (1997).

27. J.M.L. Bernard, Diffraction at skew incidence by an anisotropic impedance wedge in electromagnetism theory: a new class of canonical cases, J. Phys. A, Math. Gen., V. 31, pp.595-613 (1998).

28. J.M.L. Bernard and M.A. Lyalinov, The leading asymptotic term for the scattering diagram in the problem of diffraction by a narrow circular impedance cone, J. Phys. A: Math. Gen. 29, (1999).

29. J.-M. L. Bernard and M.A. Lyalinov, Diffraction of acoustic waves by an impedance cone of an arbitrary cross-section, Wave Motion, 33, 2001, 155-181.

30. J.M.L. Bernard and M.A. Lyalinov, "The leading asymptotic term for the scattering diagram by a narrow impedance cone", Proceedings of the IEEE AP-S conference of Salt Lake City, pp. 398-401,(2000).

31. J.M.L. Bernard and M.A. Lyalinov, "Spectral domain solution and asymptotics for the diffraction by an impedance cone ", IEEE Trans. AP, Vol. 49, 12, pp.1633-1637 (2001).

32. J.-M.L. Bernard, M.A. Lyalinov, Electromagnetic scattering by a smooth convex impedance cone, IMA Journ. Appl. Math., 96, 285-333, (2004).

33. Berntsen, Sv., Diffraction of an electric polarized wave by a dielectric wedge, SIAM J. Appl. Math., 43(1), 186-211, 1983.

34. S. Blume and U. Uschkerat, "The Radar cross-section of the semiinfinite elliptic cone Numerical evaluation", Wave Motion, 22, pp. 311-326 (1995).

35. Благовещенский А.С. и К.К. Лаврентьев, Трехмерный лапласиан с граничными условиями на оси, Вестник Ленинградского Университета, N 1, 9-15, 1977.

36. М.С. Бобровников и В.В. Фисанов, Дифракция волн в угловых областях, Томск, Томский университет, 1988.

37. В.А. Боровиков, Дифракция на многоугольниках и многогранниках, Наука, Москва, (1966).

38. Borovikov, V. A. and В. Е. Kinber, Geometrical Theory of Diffraction, vol. 37 of IEE Electromagnetic waves series, The Institution of Electrical Engineers, London, 1994.

39. J.J. Bowman, T.B.A. Senior, L.E. Uslenghi Electromagnetic and acoustic scattering by simple shapes, North-Holl., Amsterdam (1969)

40. Brown, W. P., On the asymptotic behavior of electromagnetic fields scattered from convex cylinder near grazing incidence, J. Mathem. Analysis and Appl. Vol. 15(2), 355-385, 1966.

41. Bucci, О. M. and G. Franceschetti, Electromagnetic scattering by a half plane with two face impedances, Radio Sci. Vol. 11, 49-59, 1976.

42. Будаев, Б. В., Дифракция плоской электромагнитной волны на клиновидном включении, Записки Научн. Семин. ПОМИ РАН, 195, Математ. Вопросы Теории Распр. Волн, 21, 29-39, 1991.

43. Budaev В. V. and D. В. Bogy, Rayleigh wave scattering by a wedge, II, Wave Motion, 24(3), 307-314, 1996.

44. Budaev B.V., Diffraction by Wedges, Pitman research notes in mathematics series 322, Longmann, Essex, 1995.

45. Булдырев, В. С. и М. А. Лялинов, Асимптотическое граничное условие на поверхности поглощающего выпуклого тела, Вестник Ленинградского Университета, Физ. Хим., Вып.2(11), 10-16, 1987.

46. Buldyrev, V. S. and M. A. Lyalinov, The diffraction of optic radiation by metallic bodies: Asymptotic theory, Radio Sci. Vol. 27(2), 145-149, 1992.

47. Булдырев, B.C., M.A. Лялинов и др., Дифракция оптического излучения на металлических телах, Ж. Эксперим. и Теор. Физики. Том. 97(3), 733-744, 1990.

48. Buldyrev V.S., M.A. Lyalinov, Mathematical methods in modern electromagnetic diffraction theory, V.l, Intern, monographs on advanced electromagnetics, Science House, Tokyo, 2001.

49. Буслаев, B.C., Об асимптотическом поведении спектральных характеристик внешних задач для уравнения Шредингера, Известия АН СССР, Мат: Том. 9, 139-223, 1975.

50. V.S. Buslaev, A.A. Fedotov, On the difference equations with periodic coefficients, Adv. Theor. Math. Phys., 5, 1105-1168, 2001.

51. M. Cessenat Mathematical method in electromagnetism : linear theory and applications, World Scientific, 41 (1996).

52. J. Cheeger and M.E. Taylor, "Diffraction of waves by conical singularities", Comm. Pure Appl. Math., 35(3,4), pp.275-331, pp.487-529 (1982).

53. D. Colton, R. Kress, Integral equations method in scattering theory, Jone Wiley and Sons, New York, 1983.

54. J.-P. Croisille, G. Lebeau, Diffraction by an immersed elastic wedge, Lecture Notes in Math., 1723, Springer-Verlag, 1999.

55. С. Demetrescu, С.С. Constantinou, M.J. Mehler and B.V. Budaev, Diffraction by a resistive sheet attached to a two-sided impedance plane, Electromagnetics, 18, 315332, 1998.

56. C. Demetrescu, C.C. Constantinou and M.J. Mehler, Diffraction by a right-angled resistive wedge, Radio Science, 33, 39-53, 1998.

57. A. Dmitrieva et al, Extended Class of Dubrovin's equations related to the one-dimensional quantum three-body problem, Computers Math. Applic., 34(5/6), 1997, 571-585.

58. A. Erdelyi et. al. Tables of integral transforms, McGraw-Hill (1954).

59. Feinberg, E. L., On the propagation of the radio waves along an imperfect surface, J. Phys. USSR. Vol. 10, 410-418, 1946.

60. Федорюк, M.В., Метод перевала, Наука, Москва, 1987.

61. B. Felsen, "Plane wave scattering by small-angle cones", IRE Trans. Antennas Propagation, 5, pp.121-129, (1957).

62. B. Felsen, N. Marcuvitz Radiation and scattering of waves, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1973.

63. Fock, V. A., Electromagnetic Diffraction and Propagation Problems, Pergamon, Oxford, 1965.

64. M. Gaudin and B. Derrida, Solution exacte d'un problème modèle a trois corps. Étet lié, J. d. Physique 36, 1975, 1183-1197.

65. Глазман И.M., Прямые методы качественного анализа сингулярных дифференциальных операторов, Москва, Физматгиз, 1963.

66. Gradshteyn I.S. and Ryzhik I.M. Tables of Integrals, Series and Products (Academic Press) 1980.

67. Grikurov, V. E. and M. A. Lyalinov, Gaussian beam diffraction by a wedge with thin mateial coatings, Abstr. Trans. Black See Region Symposium on Appl. Electromagnetics, DISK-9, Metsovo, Epirus-Hellas, April 17-19, 1996.

68. Hoppe, D. J. and Y. Rahmat-Samii, Impedance Boundary Conditions in Electromagnetics, Taylor and Francis, Washington DC, 1995,

69. R. Jost, Lineare Differenzengleichungen mit periodischen Koeffizienten, Comm. Math. He.lv., 28, 1954, 173-185.

70. Ильин А. М., Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Москва, Наука, 1989.

71. Ильинский А.С. и Ю.Г. Смирнов, Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах, Радиотехника, Москва, 1996.

72. R. Jost, Mathematical analysis of a simple model for the stripping reaction, Z. Angew. Math. Phys., 6, 1955, 316-326.

73. D.S. Jones, The eigenvalues of V2u + Xu = 0 when the boundary conditions are given on semi-infinite domains, Proc. Camb. Phil. Soc., 49, 1953, p. 668.

74. D.S. Jones, "Scattering by a cone", Quaterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 50, pp. 499-523 (1997).

75. D.S. Jones, The theory of electromagnetism, Pergamon Press, London (1964).

76. Класс В.A., B.H. Красильников, К формальному решению задачи дифракции на сферах и цилиндрах с меняющимися во времени радиусами, Известия ВУЗов, Радиофизика, Т. 18, №12, стр. 1855, (1975).

77. I.V. Komarov, Various approaches to spectral problems for integrable systems in the QISM, Intern. J. of Modern Physics, A, 12(10), 79-87, 1997.

78. J.B. Keller, R.M. Lewis, B.D. Seckler,"Asymptotic solutions of some diffraction problems", Comm. Pure Appl. Math., 9, pp. 207-265, (1956).

79. B.B. Камотский, Вычисление некоторых интегралов, описывающих волновые поля Зап. Научн. Сем. С.Петербург. Отдел. Матем. Инст. Стеклова, Т. 257,стр. 44-55, (1999).

80. Kong J. A., Electromagnetic wave theory, John Willey and Sons, New York, 1986.

81. Коузов, Д.П., Дифракция плоской гидроакустической волны на соединении двух упругих пластин, Прикл. Матем. Механ. , Том 27(3), 806-815, 1963.

82. Красильников, В.Н., О решении некоторых гранично-контактных задач линейной гидродинамики, Прикл. Матем. Механ. , Том 25(4), 1961.

83. Красильников, В.Н., Параметрические волновые явления в классической электродинамике , С.Петербург, С.Петербургский университет, 1996.

84. Kouyoumjian, R. G. and P. Н. Pathak, A uniform geometrical theory of diffraction for an edge in a perfectly conducting surface, Proc. IEEE. Vol. 62, 1448-1461, 1974.92