Квазипериодические решения граничных задач и задач сопряжения для уравнений теории упругости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Осипов Евгений Александрович

Квазипериодические решения граничных задач и задач сопряжения для уравнений теории упругости

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 ДПР 201

Казань - 2014

005547488

005547488

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Плещинский Николай Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Деревенский Владислав Павлович доктор физико-математических наук, профессор

Ильинский Анатолий Серафимович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО

"Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова"

Защита состоится 5 июня 2014 г. в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 в Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г.Казань, ул. Кремлевская, 35, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Лобачевского Казанского федерального университета.

Автореферат разослан 04 апреля 2014 г. /У

Ученый секретарь диссертационного //

совета канд. физ.-мат. наук, доцент (у Е.К. Липачёв

Общая характеристика работы

В диссертации исследуются граничные задачи и задачи сопряжения для систем уравнений с частными производными, к которым приводятся некоторые задачи теории распространения и дифракции гармонических упругих волн в плоскослоистых средах с периодическими системами неоднородностей типа трещин, отслоений или тонких включений.

Цель работы

Основная цель диссертации - разработать методы сведения граничных задач и задач сопряжения к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (Б СЛАУ) или интегральным уравнениям, на основе которых могут быть построены алгоритмы численного решения задач дифракции упругих волн на периодических системах дефектов в слоистых упругих средах.

Актуальность темы

Задачам дифракции электромагнитных и упругих волн на препятствиях различной природы посвящено много публикаций1,2. Достаточно полно исследованы задачи дифракции электромагнитных волн на периодических решетках3.

1Галишникова Т.Н., Ильинский A.C. Численные методы в задачах дифракции. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 208 с.

2Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. - Киев:

Наукова думка, 1978. - 308 с.

3Шестопалов В.П., Литвиненко JI.H., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. - Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1973. - 288 с.

Граничные задачи и задачи сопряжения для уравнений теории упругости являются более сложными, чем их электродинамические аналоги. Задачи теории упругости на периодических решетках исследованы в меньшей степени. Внимание к ним возросло в последние годы4.

С практической точки зрения исследование этих задач представляет большой интерес. Полученные результаты могут быть использованы для повышения точности расчетов в процессах дифракции упругих волн на периодических системах трещин композитных материалов, при исследовании рассеивания сейсмических волн на неоднородностях в слоистых пластах, при определении физико-механических свойств материалов5.

Методы исследования

При исследовании граничных задач и задач сопряжения для уравнений теории упругости использовались: метод разложения в ряды Флоке, метод сведения к парным сумматорным функциональным уравнениям (ПСФУ) и метод регуляризации ПСФУ с помощью интегрально-сумматорного тождества6. Такое тождество представляет собой необходимое и достаточное условие разрешимости вспомогательной переопределенной граничной задачи.

4Block J., Кеег L. Periodic contact problems in plane elasticity // Journal of

Mechanics of Materials and Structures, - 3, - (7). - 2008. - P. 1207-1237.

5Солдатенков И.А. Периодическая контактная задача плоской теории упругости. Учет трения, износа и сцепления // ПММ. - 2013. - Т. 77. - Вып. 2. - С. 337-351.

®Плещинский Н.Б., Тумаков Д.Н. Метод частичных областей для скалярных координатных задач дифракции электромагнитных волн в классах обобщенных функций // Препринт 2000-1. - Казань: Казанск. матем. об-во, 2000. - 50 с.

Научная новизна

В диссертации разработана новая методика сведения граничных задач и задач сопряжения для уравнений динамической теории упругости при наличии периодических систем дефектов. Метод регуляризации ПСФУ с помощью интегрально-сумматорного тождества распространен на задачи теории упругости, как в двумерном, так и в трехмерном случае.

Достоверность результатов работы

Все утверждения диссертации получены строгими математическими методами. Решения некоторых простых задач построены аналитически в явном виде. Задачи дифракции и задачи сопряжения сведены к ПСФУ в стандартной форме и с помощью интегрально-сумматорных тождеств сведены к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения искомых функций по гармоникам Флоке. Приближенные решения таких систем могут быть получены методом усечения. Для регулярных БСЛАУ с аналогичными свойствами доказано7, что при определенном соотношении между параметрами усечения последовательность решений конечных СЛАУ сходится к точному решению БСЛАУ.

Практическое значение работы

Результаты, полученные в диссертации, носят в основном теоретический характер. В тоже время, построенные методы и алгорит-

7Плещинский Н.Б., Тумаков Д.Н. Метод частичных областей ... С. 37.

мы нахождения решений для исследованных в работе задач могут быть использованы при расчетах перемещений и напряжений упругого поля в слоистых средах. Результаты, полученные для двумерных задач сопряжения в слоистых областях, могут быть применены при решении задач геологоразведки.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на Четвертой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2005" (Казань, 16-18 декабря 2005 г.), на Пятой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2006" (Казань, 16-18 декабря 2006 г.), на Итоговой научно-образовательной конференции студентов Казанского государственного университета 2006 года (Казань, 25-30 января 2007 г.), на Всероссийской конференции "СамДиф-2009" (Самара, 29 июня - 2 июля 2009 г.), на Четвертой Всероссийской молодежной научно-инновационной школе "Математика и математическое моделирование" (Саров, 19-22 апреля 2010 г.), на Российской летней школе "Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики" (Казань-Яльчик, 6-10 сентября 2010 г.), на Девятой молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2010" (Казань, 1-6 октября 2010 г.), на Пятой Всероссийской молодежной научно-инновационной школе "Математика и математическое моделирование" (Саров, 11-14 апреля 2011 г.), на международной конференции "Days on Diffraction'2011" (Санкт-Петербург, 30 мая-3 июня, 2011 г.), на тридцать втором международном форуме 'Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS)" (Москва, 19-23 ав-

густа, 2012 г.), на четырнадцатой международной конференции "Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (ММЕТ)" (Харьков, 28-30 августа, 2012 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе две статьи в издании из списка ВАК и две статьи в периодических рецензируемых изданиях, индексируемых в базе данных "Scopus".

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения. Общий объем работы - 90 страниц. В списке используемой литературы 74 наименования.

Краткое содержание работы

Первая глава диссертации посвящена граничным задачам для системы уравнений плоской теории упругости в полуплоскости в классе функций, гармонически зависящих от времени и квазипериодических по одной из пространственных координат. В §1 построено общее квазипериодическое решение системы уравнений для коэффициентов Флоке и выделены четыре типа частных решений -элементарные гармоники Флоке. В §2 для каждой элементарной гармоники найдены выражения компонент среднего значения вектора Умова-Пойнтинга. Введено понятие ориентированной волны и показано, что первая и третья гармоники положительно ориентированы по отношению к границе полуплоскости, а вторая и четвер-

тая - отрицательно ориентированы. Установлено, что для упругой ориентированной квазипериодической волны поток энергии через период равен сумме потоков энергии через период отдельных гармоник.

В §3 рассмотрены различные варианты задачи дифракции упругой квазипериодической волны на периодической системе дефектов, размещенных на границе упругой полуплоскости. Такие задачи сводятся к граничным задачам для системы уравнений плоской теории упругости, решения которых отыскиваются в классе положительно ориентированных решений. Решения, уходящие от системы дефектов в полуплоскость, интерпретируются как отраженные от границы волны. Показано, что если упругая полуплоскость находится в полном контакте с жестким основанием вдоль всей границы (или скользит без трения по основанию), то в отраженной волне содержатся гармоники Флоке с теми же номерами, что у падающей волны.

Первый вариант граничных условий задачи дифракции упругой волны на периодической системе дефектов имеет следующий физический смысл: полуплоскость находилась в полном контакте с жестким основанием (на ЛГ), но отслоилась от него и скользит без трения вдоль дефектов (на М). Доказано, что такая задача дифракции сводится к ПСФУ вида

+оо

£ = О,

Т1— — СО +00

Спе^пх = £>3е^8Х, хеМ.

п=—оо

Именно такая форма ПСФУ в диссертации называется стандарт-

ной.

С помощью интегрально-сумматорного тождества парное сум-маторное уравнение преобразовано в Б СЛАУ вида

_ ^ +оо +оо ^

1Ск~ у ^ 7пСп —/п_т«/т_)с = В318-к, к = 0,±1,...

' /771

п=—оо ТТХ——оо '

где 1к = У е'^й, Л = Л = 0,±1,...

.М л"

Показано, что парное уравнение сводится к интегральному уравнению с логарифмической особенностью в ядре. Второй вариант граничных условий: дефекты представляют собой участки свободной границы. Этот случай более сложный. Установлено, что смешанная граничная задача также сводится к ПСФУ в стандартной форме, но векторному.

В §4 получены условия разрешимости переопределенной граничной задачи для системы уравнений теории упругости в полуплоскости. Установлено, что построенное ранее вспомогательное интегрально-сумматорное тождество является одной из форм условия разрешимости переопределенной задачи. С помощью условия разрешимости переопределенной задачи показано, что задача дифракции упругой волны на отслоениях упругой полуплоскости от жесткого основания может иметь только одно решение. Доказано, что решение задачи дифракции упругой квазипериодической волны на периодической системе неоднородностей, размещенных на границе упругой полуплоскости, может быть только квазипериодической функцией.

Во второй главе рассмотрены задачи сопряжения для системы уравнений плоской теории упругости в плоскослоистой среде. 06-

щая постановка задачи дана в §5. На прямых, разделяющих плоскость на полосы и две полуплоскости, задаются условия сопряжения: условия непрерывности перемещений и напряжений, или смешанные условия при наличии дефектов. В качестве дефектов выбраны периодические системы жестких пластин или трещин. В §6 сведена к парному сумматорному функциональному уравнению, к интегральным уравнениям и БСЛАУ задача сопряжения в случае, когда полный контакт двух упругих полуплоскостей нарушен вдоль периодической системы отслоений, вдоль которых полуплоскости скользят без трения относительно друг друга. Парное уравнение, интегральные уравнения и БСЛАУ имеют точно такую же форму, что и в граничных задачах для полуплоскости.

Показано, как использовать векторные представления общих решений системы уравнений теории упругости при исследовании задач сопряжения двух полуплоскостей. Такой подход имеет существенные преимущества в случае, когда условия сопряжения иные: полный контакт полуплоскостей на периодической системе дефектов и жесткий контакт с экранами вдоль остальной части общей границы. Установлено, что такая задача сопряжения сводится к векторному ПСФУ вида

+оо

£ Сг,е'£,"ж = -ц<2>. хеЛГ,

п=—оо

+оо

2 [82,„Ь1^ - <31,пР^] спе*ь«х = 0, хеМ,

п=—оо

где сп - неизвестный вектор.

В §7 рассмотрен случай, когда слоистая плоскость разделена на три и большее число частей. Отличие состоит в том, что в реше-

нии системы уравнений теории упругости в полосе, ограниченной по поперечной координате, содержатся слагаемые и положительной и отрицательной ориентации. Подробно рассмотрены две задачи. Во-первых, задача дифракции упругой волны на упругом слое, расположенном на жестком основании, при наличии периодической системы дефектов на границе слоя и основания. Как и при сопряжении двух упругих плоскостей, решение задачи дифракции ищется в виде суммы решений двух подзадач. Первая подзадача - задача об отражении упругой волны от слоя, лежащего на жестком основании (без дефектов). Вторая подзадача - задача о возмущении упругого поля в слоистой среде от дефектов. Решение первой подзадачи построено в явном виде, а второй подзадачи сведено к ПСФУ в стандартной форме. Во-вторых, в §7 рассмотрена задача дифракции упругой волны на периодической системе дефектов, размещенных между двумя упругими слоями, покоящимися на жестком основании. Показано, как может быть получено векторное ПСФУ в стандартной форме.

Задача сопряжения для системы уравнений плоской теории упругости в многослойной среде в самом общем случае также может быть сведена к векторному ПСФУ в стандартной форме. Сформулированы три правила, которые рекомендуется использовать при решении разрывных периодических задач сопряжения.

В третьей главе рассмотрены граничные задачи для системы уравнений трехмерной теории упругости в полупространстве в классе двоякопериодических функций. В §8 получено общее решение системы уравнений для коэффициентов Флоке квазипериодического по двум переменным упругого поля. Выделены шесть типов элемен-

тарных волн Флоке. В §9 из системы уравнений трехмерной теории упругости выведена связь между плотностью энергии и плотностью потока энергии (закон сохранения энергии). Введено понятие ориентированной волны.

В §10 подробно рассмотрены основные граничные задачи для системы уравнений теории упругости в классе квазипериодических ориентированных решений в полупространстве, к которым сводятся задачи об отражении упругой волны от границы упругого полупространства при различных условиях взаимодействия полупространства с основанием. Найдены условия разрешимости двух переопределенных граничных задач. В первой задаче на границе полупространства задается шесть граничных условий - для всех компонент вектора перемещений и трех компонент тензора напряжений. Во второй переопределенной задаче рассматриваются только четыре граничные функции.

Показано, что различные варианты задачи дифракции упругой волны на двоякопериодической системе дефектов, размещенных на границе упругого полупространства, сводятся к ПСФУ или в скалярной, или в векторной форме.

Построено интегрально-сумматорное тождество для случая двух пространственных переменных, с помощью которого ПСФУ преобразуется к БСЛАУ относительно коэффициентов Флоке отраженной волны. В §10 кратко рассмотрен один частный случай задачи сопряжения двух упругих полупространств - задача об отражении и преломлении упругой волны на плоской границе раздела сред.

Основные результаты диссертации

1. Для граничных задач и задач сопряжения для системы уравнений плоской теории упругости, к которым приводятся задачи теории распространения и дифракции гармонических упругих волн в слоистых средах с периодическими системами неоднородностей, разработан метод сведения к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений.

2. Доказана теорема единственности решения задачи дифракции упругой волны на отслоении упругой полуплоскости от жесткого основания. Установлено, что решение задачи дифракции упругой квазипериодической волны на периодической системе неоднородностей на границе полуплоскости может быть только квазипериодической волной.

3. Построены решения основных граничных задач для системы уравнений пространственной теории упругости в классе функций, квазипериодических по двум переменным. Найдены условия разрешимости двух переопределенных граничных задач.

4. Показано, что задачи дифракции упругой волны на двоякопе-риодических системах дефектов, размещенных на границе упругого полупространства, сводятся к скалярным или векторным парным сумматорным функциональным уравнениям.

Список публикаций по теме диссертации

1. Осипов Е.А. Задача дифракции упругой волны на периодической системе дефектов. / Е.А. Осипов // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Материалы молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2006 ". - Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва, 2006. - С. 175-176.

2. Осипов Е.А. Задача дифракции упругой волны на периодической системе дефектов. / Е.А. Осипов // Итоговая науч.-образоват. конф. студентов Казанск. гос. ун-та 2006 года: Тезисы докл. / - Казанск. гос. ун-т. Казань, 2006. - С. 59.

3. Осипов Е.А. О задачах дифракции упругих волн на периодических системах дефектов в слоистой среде / Е.А. Осипов // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Материалы молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения -2005 ". - Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва, 2005. - Т. 31.

- С. 120-121.

4. Осипов Е.А. Сумматорные и интегральные уравнения двоя-копериодических задач дифракции упругих волн в пространстве // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Девятой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2010 ". - Казань: Изд-во Казанск. матем. об-во, 2010.

- Т. 40. - С. 250-255.

5. Осипов Е.А. О периодических задачах дифракции упругих волн в многослойной среде // Тезисы докладов конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения ". СамДиф - 2009.

- Самара: Из-во "Универс групп ", 2009. - С. 45-46.

6. Осипов Е.А., Сагатдииова A.M. Пространственные периодические задачи дифракции упругих волн // Сборник материалов Пятой Всероссийской научно-инновационной школы. - Саров: Альфа, 2011. - С. 93-95.

7. Осипов Е.А. Сумматорные и интегральные уравнения двоя-копериодических задач дифракции упругих волн в пространстве // Труды Российской летней школы "Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики ". - Казань: Изд-во "Фолиантъ ", 2010. - С. 66-74.

8. Осипов Е.А., Плещинский Н.Б. Сумматорные и интегральные уравнения периодических задач дифракции упругих волн на дефектах в слоистых средах // Известия вузов. Математика, 2008.

- №9. - С. 76-82.

9. Осипов Е.А. Энергетические характеристики упругой волны для периодических задач теории упругости // Сборник материалов Четвертой Всероссийской научно-инновационной школы. - Саров: Альфа, 2010. - С. 93-95.

10. Плещинская И.Е., Плещинский Н.Б., Осипов Е.А. Упругие свойства слоистого композита, ослабленного периодической системой трещин // Вестник Казанск. гос. технол. ун-та, 2012. - №3.

- С. 82-85.

11. Aleksandrova I.L., Osipov Е.А., Pleshchinskii N.B., Rogozhin P.A. On problems of electromagnetic wave diffraction on periodical sets of heterogeneities in the layered media // 2012 Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET 2012.

- Kharkiv, Ukraine, August 28-30, 2012. - P. 455-458. - ISBN: 978-14673-4479-1.

12. Aleksandrova I.L., Osipov E.A., Pleshchinskii N.B., Rogozhin P.A. Wave diffraction problems on periodical sets of heterogeneities in the stratified media // Proceedings of PIERS 2012 in Moscow. -Moscow, August 19-23, 2012. - P. 435-439. - ISSN 1559-9450.

13. Osipov E. A. Periodic problems of diffraction of an elastic wave in space // Abstracts of international conference "Days on Diffraction'20H". - SPb: Universitas Petropolitana MDCCXXIV, 2011. - P. 84-85.

Подписано в печать 03.04.2014. Бумага офсетная. Печать цифровая. Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Times New Roman». Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ 28/4

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского университета

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел. (843) 233-73-59, 233-73-28