Метод периодических составляющих с стохастических задачах механики композитов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

... - ' " ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД УРАЛЬСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

ПАНЬКОВ АНДРЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ

МЕТОД ПЕРИОДИЧЕСКИХ ООСТАВЛЯЩИХ В СТОХАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ КОМПОЗИТОВ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого

твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ДСи__-I

Пермь, 1993

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете

Научные руководители: доктор физико-математических

наук, профессор Сохолкин D.B.;

кандидат физико-математических наук, доцент Тавкинов A.A.

Официальные оппоненты:

доктор технических неук, профессор, член-корреспондент Академии технических наук Российской Федерации Колмогоров Г.5.

кандидат физико-математических наук, доцент Пестренин В.М.

Ведущая организация:

Уральский научно-исследовательский институт композиционных материалов

Защита состоится II ноября 1993 г. на заседании специализированного Совета K003.60.0I по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Институте механики сплошных сред УрО РАН (614061, ГСП, г.Пермь, ул. Королева,!) в 10 час.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан "10" октября_ 1993 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО СОВЕТА кандидат технических наук

Березин И.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Композиты благодаря своим высоким удельным физико-механическим свойствам находят широкое применение в различных областях науки и техники. Поведение и свойства композита обуславливаются сложным взаимодействием большого числа элементов, составляющих структуру материала.

Работа посвящена развитию методов решения стохастических краевых задач механики композитов, к постановке которых приводят задачи прогнозирования поведения и свойств композитов с учетом таких мало изученных параметров реальных структур как разулорадоченность и статистический разброс формы, размеров, физико-механических свойств элементов структуры. Особенность таких краевых задач состоит в том, что они стохастически нелинейны и коэффициенты дифференциального оператора являются случайными быстро осциллирующими функциями пространственных координат.

Сформировались два независимых подхода к решению стохастических краевых задач - детерминистический (на основе регуляризации структуры или на основе расчета реализаций искомого стохастического решения) и стохастический, на основе теории случайных функций. Работа выполнена в рамках стохастического подхода, преимущества которого, например, - это возможное применение его не только для простейших случайных структур, но и для сложных, например, многофазных матричных или кластерных случайных структур, а также способность непосредственного расчета статистических характеристик искомого решения, а не через расчет большого числа его реализаций.

Актуальность развития новых методов на основе теории случайных функций обуславливается перспективностью, принципиальными возможностями и необходимостью повышения точности существующих методов стохастического подхода.

В диссертационной работе на примере композитов с простейшими случайными структурами представлен метод решения стохастических краевых задач - метод периодических составляющих, который объединил хорошо развитые методы решений периодических задач со спецификой и принципиальными возможностями стохастичес-

ких методов механики композитов.

Работа выполнена в соответствии с планами научно-технических работ Пермского государственного технического университета по темам: № ГР 0186.0052768 "Деформирование и разрушение композиционных материалов и конструкций" (1986-1990 гг.)и № ГР 0188.0065727 "Разработка новых методов осреднения нелинейных задач микромеханики композитов и их применение для прогнозирования свойств, надежности и оптимального проектирования конструкций" (1988-1990 гг.)

Цель и задача. Целью диссертационной работы является развитие современных методов решения стохастических краевых задач теории упругости композитов. В рамках поставленной цели были определены следующие основные задачи: а) разработать новые модели математического описания случайных структур композитов; б) разработать метод решения стохастических краевых задач, позволяющие вычислять эффективные упругие свойства с учетом степени разупорядоченности структуры и осуществить анализ стохастических неоднородных полей напряжений и деформаций в элементах структуры квазипериодических композитов; в) исслодовать численно влияние параметров разупорядоченности квазипериодических структур на эффективные упругие свойства и стохастические поля напряжений вблизи межфазных поверхностей однонаправленных волокнистых композитов.

Научная новизна: I. Исследованы свойства и осуществлен расчет новых статистических характеристик структуры квазипериодических композитов; 2. Впервые получены решения стохастической краевой задачи в корреляционном, сингулярном и обобщенном сингулярном приближениях метода периодических составляющих. Решения для тензора эффективных упругих свойств квазипериодических композитов в сингулярном и обобщенном сингулярном приближениях сведены к известным решениям механики композитов г периодической и случайной структурами и содержат новый параметр, отражающий степень разупорядоченности структуры; 3. Разработан новый модернизированный метод периодических составляющих, позволяющий существенно повысить точность анализа неоднородных стохастических полей деформирования в элементах структуры квазипериодических композитов. В корреляционном приближении задача расчета этих полей сведена к решению задачи

теории упругости на ячейке в однородной среде.

Апробация работы. Основные результаты диссертационное работы докладывались и обсуждались: на 2-й Летней Школе по механике деформируемого твердого тела (Куйбышев,23-28 мая 1989 г.), на Всесоюзной научно-технической конференции "Повышение качества и надежности продукции, программного обеспечения ЭВМ и технических средств обучения" (Куйбышев,19-21 сентября 1989 г.), на 9-й Зимней Школе по механике сплошных сред (Пермь,26 января -3 февраля 1991 г.)» не 27-й научно-технической конференции по результатам научно-исследовательских работ, выполненных в ЛермПИ в 1988-1990 гг. (Пермь,18-30 апреля 1991 г.), на 3-й научно-технической конференции "Математическое моделирование з процессах производства и переработки полимерных материалов" (Пермь,14-15 апреля 1992 г.), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (Самара,24-31 мвя 1992 г.), на научном семинаре по механике композитов кафедры "Механика композиционных материалов и конструкций" ПермГТУ (руководитель семинара д-р фиэ.-мат.наук, профессор Ю.В.Соколкин,1989-1993 гг.).

Публикации. Содержание диссертационной работы отражено в семи опубликованных работах.

Достоверность результатов основана на том, что они получены как решение соответствующей стохастической краевой задачи и на использовании для ее решения апробированных методов механики композитов с периодической и случайной структурами. Дан анализ я доказательство использованного для решения задачи неочевидного свойства статистических характеристик структуры квазипериодических композитов. Использованы лишь известные апробированные предположения к гипотззы статистической механики композитов. Хорошая точность результатов подтвередена их сравнением с соответствующими точными аналитическими решениями и с известными численными решениями других авторов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глаз, заключения и списка использованной литературы, что составляет в общем 99 страниц. В работу включены 18 рисунков и I таблица, которые размещены на отдельных листах по месту ссылок внутри основного текста. Список литературы содержит 120 наименований.

СОДЕШКИЕ РАБОТЫ

Во введении дана краткая характеристика диссертационной работы, сформулирована цель исследований и дана аннотация содержания глав работы.

В первой главе на основе краткого литературного обзора рассмотрены основные модели случайных структур и современные методы решения стохастических краевых задач механики композитов, близких к периодическим, и методов решения задач теории упругости для квазипериодических композитов. Обоснована актуальность разработки новых методов механики композитов, комплексно учитывающих степень разупорадоченности, вариации-формы, размеров и физико-механических свойств и сильную неоднородность полей деформирования в элементах структуры.

Во второй главе рассмотрена структурно-феноменологическая модель упругого деформирования композита со случайной структурой. Было принято, что макрооднородное деформирование области композита V обеспечивает выполнение условий однородности и эргодичности стохастических полей напряжений и деформаций.

Рассмотрены простейшие двухфазные квазипериодические модели, когда форма и размер включений детерминированы, а их случайные положения заданы вероятностным законом только для вектора а случайных отклонений центров от узлов известной периодической решетки, например, как на рис. 1,а. Было принято,

Рис. I. Кзазипериодические структуры

что включения не могут выйти за границы ячеек и реализацию структуры композита можно представить совокупностью независимых реализаций соответствующей ячейки квазипериодичности. Случайное поле упругих свойств квазипериодического

композита представлено через индикаторную функцию включений ы(г) , для которой очевидно, что предел ы(г) = со"(г) есть периодическая функция, <«>«<«/>=v, _ величина относительного объемного содержания включений в композите (величины, относящиеся к периодической среде, обозначаем индексом р , <...> --- оператор осреднения). Установлена зависимость

Ь>(Г) - tí'if-ÓJ (I)

между индикаторными функциями и ар для кавдой ячейки квя-зипериодической структуры. Доказано, что отношение смешанного центрального момента (со'")""' > к центральному моменту <(а')°> есть величина, не зависящая от порядка п. и названная коэффициентом периодичности р , расчетная формула имеет вид

v

' W'

* к

гак как очевидно, что одноточечный момент <ы(а ) > = -в ¿onít(k) . Величина характеризует упорядоченность кзази-периодической структуры, ее геометрический смысл: если квазипериодическую структуру мысленно наложить на периодическую, тогда величине относительного объемного содержания пересечений включений в области V и есть vff , в общем случае vff еСу*-, v, j . Таким образом, установлено, что коэффициент периодичности р при фиксированном значении относительного объемного содержания включений • vy есть функция от характеристики упорядоченности v<f, в предельных случаях имеем: р - I, когда vu » у, , например, если /а/ = 0 и р = 0, когда vfl например, для структуры типа "статистическая смесь", у которой полностью отсутствует корреляция мевду реализациями физико-механических свойств в различных точках среды. Приведен расчет коэффициента периодичности р для композитов с однонаправленной волокнистой и ориентированной пластинчатой структурами.

Приведена постановка стохастической краевой задачи теории упругости для области у композита с квазипериодической структурой относительно поля перемещений иЛг) , в которой коэффициенты с1 -тп (?) дифференциального оператора - квазипериодические быстро осциллирующие функции координат, кинематические граничные условия соответствовали малой однородной деформации композита.

Рассмотрено решение стохастической краевой задачи методом периодических составляющих, основные моменты которого: а) выбор некоторой вспомогательной периодической структуры, наиболее близкой к заданной случайной структуре; б) решение стохастической краевой задачи для заданной случайной структуры через поиск поправок к известному решению для периодической структуры; в) вычисление поправок как решения дополнительной вспомогательной краевой задачи с однородными граничными условиями. Таким образом, метод периодических составляющих основан на выделении из коэффициентов и искомого поля перемещений Ч;(г) , соответственно, периодических коэффициентов с."-• „ (?)

ь р + ^¿тп

и решения и. (г) коаевой задачи для композита с периодической структурой. Геометрия областей и граничные условия первой и второй краевых задач, соответственно, эквивалентны. Осуществлен переход от стохастической краевой задачи с неоднородными граничными условиями для поля перемещений и¿(г) к краевой задаче с однородными граничными условиями и далее к интегро-дифферзн-циалоному уравнению по методу функций Грина для искомого поля отклонений и"-(г) . Решение стохастической краевой задачи рас-сматривелось на достаточном удалении от границы, поэтому составляющая функции Грина, связанная с геометрией границы,не учитывалась, была использована известная функция Грина однородной среды сравнения.

Решение стохастической краевой задачи представлено е виде ряда, были рассмотрены различные приближения этого решения: корреляционное приближение, которое учитывает лишь первый члгн этого рада, сингулярное и обобщенное сингулярное приближения, которые соответствуют суммированию всех членов рада, но лишь с учетом одноточечных статистических характеристик случайной структуры композита, так как последние два приближения основаны

на учете у второй производной функции Грина лишь составляющей, которая, как сомножитель, содержит обобщенную дельта-функцию. Сингулярное приближение является частным случаем обобщенного сингулярного приближения, когда тензор упругих свойств среды сравнения равен осредненному тензору

В сингулярном и обобщенном сингулярном приближениях решение для тензора эффзктивных упругих свойств квазипериодического композита получено в виде

Г* Л. г.*сп . ,1 _,оЬсс{ „"1С)

СЧ~>п = Р * «'Р> где р и - параметры квазипориодической структуры:

коэффициент периодичности и тензор анизотропии разулорядочен-ности включений; и саЬЫ ~ известные тензоры упруги:;

свойств композитов, соответственно, с периодической структурой и типа "статистическая смесь" (в сингулярном или обобщенном сингулярном приближениях). Для частного случая, когда включения в квазипериодической структуре композита разупорядочены изотропным образом получена более простая формула

-рс*/? * (1~Р> г**-' ■ С3)

Дан численный анализ влияния степени разупорядоченности элементов структуры на эффективные упругие свойства композитов с однонаправленными волокнами и ориентированными, пластинчатыми порами и сравнение численных результатов с известными решениями других авторов (пример расчета на рис. 2, когда модуль сдвига и коэффициент Пуассона матрицы и волокон композита, соответственно I ГПа, 0,39 и 20 Ша и 0,2; для матрицы перистого композита - б ГПа и 0,25). Формула (3) позволяет сравнительно просто производить оценку влияния степени пазупорядоченностл включений на эффективные упругие свойства композитов, может быть обобщена и на неквазипериодические композиты и необходимо отметить, что коэффициент периодичности р - это не эмпирический (или подгоночный) коэффициент, а структурный параметр, который для заданной разупорядоченной структуры рассчитывается по формуле (2).

Анализ точности результатов расчета по формуле (3) показал, например, что для однонаправленного волокнистого композита с квазипериодической структурой максимальная погрешность резуль-

0,2 0,^0,6 0,8

О 0,20,1,0,00,8!

Рис. 2. Эффективные упру1'Ие свойства композитов с однонаправленными волокнами (а) и ориентированными пластинчатыми порами (б)

татов расчета эффективных технических упругих постоянных составила 5 %. В частном случае, когда модули сдвига матрицы и волокон равны между собой (среда Хилла) решение по формуле (3) вырождается в известное точное аналитическое решение. Необходимо отметить, что в общем случае точность решения (3) может быть повышена через вычисление поправок к нзй, учитывающих регулярную составляющую второй производной функции Грина.

В третьей главе разработан модифицированный метод периодических составляющих, позволяющий существенно повысить точность анализа неоднородных стохастических полей напряжений и деформаций в элементах структуры, квазипериодических композитов.

Рассмотрено решение известной стохастической краевой задачи для квазипериодического композита в реализациях. Для каждой ячейки композита было установлено равенство (I), из которо-

го следует равенство вида

с, . (г)

4 ¿»ЯП

"¿,/лл

(г-а) , но для

искомого решения и^г) аналогичное соответствие не выполняется и. (?) »¿(Г-л) , поэтому предложено решение и£(г) представить как сумму известной и неизвестной составляющих

и. (г) = и'(г-л) * ~ (Г)

и свести поставленную стохастическую краевую задачу для поля и-(г) к вспомогательной краевой задаче с однородными граничными условиями для полл отклонений г). Таким образом, основное отличие модернизированного метода ст известного метода периодических составляющих состоит в различии выбора нулевого приближения, которое в модернизированном методе можно наглядно представить (для всей области V ) совокупностью фрагментарных решений, вьщеленнкх обобщенными ячейками из известного решения и ¿(г) для композита с периодической структурой и расположенных в соответствующих ячейках квазипериодического композита (рис. 3)

О) С)

Рис. 3. Схема соответствия ячеек квазипериодическиго композита (а) обобщенным ячейкам композита с периодической структурой (б)

Граница £ -ой обобщенной ячейки образована параллельным переносом на вектор -а границы I -ой ячейки периодической решетки.

Расчетная схема для определения искомого поля отклонений , например, в центральной ячейке фрагмента на рис. 4,а в корреляционном приближении модернизированного метода представлена на рис. 4,6, для которой обобщенные усилия, рзспреде-

ГПв. <

0,5

/ я

1 / \ /

V. / У 1

ГПа. 1

0,5

-1800 -90°

90° 180°

-НЭООО ^—

-0,5 а)

а;

Рис. 4. Результаты срввнешя напряжений в матрице вблизи межфазной границы ячейки с точным решением для композита, модули сдвига волокон и матрицы которого равны между собой . - точное решение -- реыение корреляционного прибляжания модернизированного метода периодичзскнх составляющих в - периодическое решение

ленные по границе ячейки $1 .определены как невязка уравнения равновесия квазипериодической среды для заданного в области V нулевого приближения поля перемещений. Для представленной на рис. 4.6 расчетной схемы было использовано предположение о том, что смещение какого-либо одного включения в периодической структуре изменит поля деформирования лишь в ячейке этого зключения и в снежных с ней ячейках.

Дана оценка точности корреляционного приближения модернизированного метода периодических составляющих на основе сравнения результатов расчета напряжений в матрице, вблизи межфазной границы, в однонаправленных волокнистых композитах с точными аналитическими решениями: для случая малого относительного объемного содержания волокон и для случая, когда модули сдвига волокон и матрицы совпадают, а также с известными приближенными решениями, основанными на точном решении задачи для изолированного фрагмента квазипериодичзской структуры. На рис. 4,в представлены результаты решения одной из тестовых задач (для среды Хилла), когда композит (рис. 4,а) нагружен напряжением а* = I ГПа, относительное объемное содержание волокон V, а 0,545, модули Юнга матрицы и волокон, соответственно, 2,02 ГПа и 2,58 ГПа, модуль сдвига - I ГПа. Из представленного рисунка следует, что максимальная погрешность, например, для численных значений радиальных напряжений составила I %, что позволило учесть в расчете даже малые 6 %-ие отклонения искомого решения для ячейки квазипериодического композита от соответствующего периодического решения.

Представлен алгоритм построения функций плотностей вероятностей напряжений в наиболее нагруженных точхах межфазных поверхностей однонаправленных волокнистых композитов и дано прогнозирование относительного числа волокон, у которых окрестности этих поверхностей перешли на закритическуга стадию деформирования.

В заключении сформированы основные результаты диссертационной работы:

1. Исследованы свойства и осуществлен расчет статистических характеристик структуры квазипериодических композитов.

2. Получены решения стохастической краевой задачи ь корре-

ляционном. сингулярном и обобщенном сингуляном приближениях метода периодических составляющих. Решения для тензора эффективных упругих свойств квазипериодических композитов в сингулярном и обобщенном сингулярном приближениях сведены к известным решениям механики композитов с периодической и случайной структурами и содержат новый параметр, отражающий степень раз-упорядоченности структуры.

3. Разработан модифицированный метод периодических составляющих, позволяющий сушественно повысить точность анализа неоднородных стохастических полей деформирования в элементах структуры квазипериодических композитов. В корреляционном приближении задача расчета этих полей сведена к решению задачи теории упругости на ячейке в однородной среде.

4. Создана вычислительная программа для EC-I060, в которой задача для ячейки в однородной среде корреляционного приближения модернизированного метода периодических составляющих решена численно методом граничных элементов. Решены тестовые задачи: представлено сравнение численных результатов разработанной программы с известными точными аналитическими решениями для полей напряжений однонаправленных волокнистых композитов

со случайными структурами, подтверждена высокая точность метода.

Опубликованные работы:

1. Паньков A.A., Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Новые модели прогнозирования эффективных свойств композитов// Механика микронеоднородных структур.-Сведцловск:УрО АН СССР,19В8.-С.4-22.

2. Ташкинов A.A., Паньков A.A. Прогнозирование макросвойств материала с ориентированными пластинчатыми включениями// Реологическое поведение деформируемых сплошных сред.-Свердловск:

УрО АН СССР,1990.-С.33-40.

3. Паньков A.A., Ташкинов A.A. Сингулярное приближение метода периодических составляющих для квазипериодических композитных материалов// Деформирование и разрушение структурно-не-сднородных материлов.-Свердловск:УрО АН СССР,1992.-C.93-10I.

4. Аношкин А.Н., Паньков A.A. Статистическое моделирсвание и оценка прочности квазипериодических композитов/ Тезисы докл. Вгесоюзн. научно-технич. конференции "Повышение качества и надежности продукции, программного обеспечения ЭВМ и техниче1<их средств обучения", г.Куйбышев, 19-21 сенг. I9S9.-C.II-I2.

5. Паньков A.A. Методы осреднения стохастических краевых задач теории упругости композитов/ Тезисы докл. 27-й научно-технической конференции по результатам научно-исследовательских работ, выполненных в ПермПИ в 1988-1990 гг., г.Пермь,18-30 апр. I99I.-C.I45.

6. Пакьков A.A. Расчет упругих свойств и прочности композитов с разупордгоченными структурами методом периодических составляющих/ Тезисы до^к. 3-й научно-технической конференции "Математическое моделирование в процессах производства и переработки полимерных материалов", г.Пермь,14-15 апр. 1992.-С.39-40.

7. Пакьков A.A. Метод периодических составляющих в краевых задачах теории упругости композитов с разупордцоченными структурами/ Тезисы докл. меадународной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции", г.Самара, 24-31 мая 1992.-С.195.

Сдано в печать 27,9.93. Формат 60x84/16. Объем I п.л. Тира* 100. Заказ 1298.

Ротапринт Пермского государственного технического университета