Прогнозирование макроскопических свойств пьезоактивных композитов стохастической структуры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Макроскопические свойства пьезоактивных композитов

1.1. Постановка задачи.

1.2. Метод условных моментных функций

1.3. Плоские волны.

1.4. Динамические макроскопические характеристики

1.5. Распространение макроскопических волн.

ГЛАВА П. Распространение макроскопических волн в пьезоактивных композитах слоистой структуры

2.1. Определение динамических макроскопических характеристик слоистых композитов

2.2. Фазовая и групповая скорости, коэффициенты рассеяния.

2.3. Распространение волн без учета рассеяния энергии.

2.4. Распространение макроскопических волн вдоль слоев.

2.5. Макроскопические постоянные слоистых пьезоактивных композитов . v.

ГЛАВА Ш. Распространение макроскопических волн в пьезоактивных композитах волокнистой структуры.

3.1. Определение динамических макроскопических характеристик волокнистых композитов

3.2. Распространение волн без учета рассеяния энергии.

3.3. Макроскопические волны в упругих композитах с изотропными компонентами

3.4. Макроскопические постоянные волокнистых пьезоактивных композитов

ГЛАВА 1У. Макроскопические постоянные пьезоактивных композитов зернистой структуры

4.1. Макроскопические постоянные пьезоактивных композитов.

4.2. Пьезоэлектрические композиты

4.3. Пьезомагнитные композиты с изотропными включениями.

4.4. Предельные переходы: макроскопические постоянные слоистых и волокнистых композитов

Современный прогресс в ультразвуковой технике, и в частности гидроакустики, в значительной мере связан с созданием новых пьезоактивных [ 86] (пьезоэлектрических и пьезомагнит-ных) материалов. Здесь исследования, направленные на поиск новых материалов, связаны с двумя основными направлениями: I) улучшение химического состава пьезокерамики и режимов технологии ее изготовления [ 21, 79, 82, ИЗ, 114] ; 2) армирование пьезокерамики высокомодульными включениями [82] различной формы, что особенно связано с повышением прочности мощных источников ультразвука. При этом распределение включений (слоев, непрерывных поликристаллических и дискретных монокристальных волокон [ 38, 66, 72, 80] ) в силу технологических причин может носить как регулярный, так и случайный характер.

В решении этой проблемы наряду с экспериментальными исследованиями важное значение занимают теоретические методы расчета, позволяющие прогнозировать различные свойства композитов по известным физико-механическим и геометрическим параметрам компонент и тем самым вести целенаправленный поиск композитной, структуры, которая оптимальным образом сочетала бы в себе требуемые физико-механические свойства и в то же время удовлетворяла экономическим требованиям. При этом наличие теоретических методов прогнозирования позволяет значительно сократить число экспериментов, которые для современных пьезоактивных композитных материалов в большинстве случаев являются дорогостоящими.

Теоретические методы расчета пьезоактивных композитов представляют собой синтез соответствующих методов механики упругих композитных сред и моделей деформирования упругих тел с учетом связности электрических и магнитных полей. Важный вклад в развитие этого направления внесли работы таких ученых как: В.В.Болотина, Г.А.Ванина, В.Т.Гринченко, А.Н.Гузя, А.А.Ильшина, В.Г.Карнаухова, Я.С.Подстригача, Л.И.Седова,

A.Ф.Улитко, Л.П.Хорошуна, Т.Д.Шермергора, Н.А.Шульги и целого ряда других как советских, так и зарубежных ученых.

Проявлением возрастающего интереса к теоретическим методам расчета композитных материалов является выход в последнее время монографий: В.В.Болотина и Ю.Н.Новичкова [9] , Г.А.Ванина [12] , С.Д.Волкова и В.П.Ставрова [20] , А.Н.Гузя и

B.Т.Головчана [ 28] , Д.М.Карпиноса, Л.И.Тучинского и Л.Р.Выш-такова[37] , Р.Кристенсена [42] , А.К.Малмейстера, В.П.Таму-жа и Г.А.Тетерса [5б] , Л.П.Хорошуна и Б.П.Маслова [ 101 ] , Л.П.Хорошуна и А.С.Щербакова [l04] , Т.Д.Шермергора [Юб] , Н.А.Шульги [ 107] , Дж.Маккоя [ 122 ] , а также обобщающих многотомных изданий под общей редакцией А.Н.Гузя[ 28] и Л.Браутма-на и Р.Крока [ 40 ] .

В механике неоднородных сред для определения различных свойств композитных структур условно выделяют два подхода, связанных с характером распределения неоднородностей в композитных материалах - это детерминированный и статистический. В детерминированном подходе важным условием является регулярность распределения включений, что на основе определенных предположений позволяет детерминированно учесть взаимодействие огромного числа включений. Этот подход позволяет решать задачи на основе точной трехмерной постановке. В статистическом подходе важным условием является случайность распределения включений и учет взаимодействия огромного числа включений проводится статистическими методами. Определение свойств композитов в таком подходе в конечном итоге сводится к проблеме многих тел, точное решение которой возможно лишь в простейших случаях. Поэтому при рассмотрении более сложных случаев предлагались различные приближенные теории такие как: корреляционное, одноточечное и сингулярное приближение, метод условных моментных функций и ряд других.

Если композитный материал представляет собой микронеоднородную среду (т.е. его размеры значительно превосходят характерные размеры армирующих включений: толщин слоев, диаметров волокон и т.д.), то в таких случаях микронеоднородный композит заменяется ему эквивалентной однородной средой, свойства которой описываются макроскопическими (иногда их называют эффективными, приведенными или интегральными) характеристиками, в которых отражается характер неоднородности реальной структуры и вид внешних нагрузок. К таким характеристикам можно отнести макроскопические постоянные, макроскопический волновой вектор и некоторые другие. Поэтому одной из центральных задач механики как упругих, так и пьезоактивных микронеоднородных сред является определение этих макроскопических характеристик, установление их зависимости от физико-механических свойств компонент, внутренней геометрии (формы, размеров и характера распределения включений) композита и вида внешних нагрузок.

Простейшие методы определения макроскопических постоянных микронеоднородных сред были предложены в работах В.Фойгта[12б] и АРейсса [123] , которые вводили соответственно гипотезы об однородности в теле деформаций (метод Фойгта) и напряжений (метод Рейсса). Оба метода являются довольно приближенными и устанавливают лишь вилку, внутри которой находятся истинные значения макроскопических постоянных. В последствии З.Хашин и С.Штрикман [П7] на основе вариационных принципов существенно сузили вилку Фойгта-Рейсса. В-работах Р.Хилла[пв] , С.К. Канауна [ 34] и других для определения макроскопических постоянных неоднородных сред использовался метод самосогласования. В статье М.А.Кривоглаза и А.С.Черевко [4l] предлагалось ви-риальное разложение, где в качестве малого параметра бралась концентрация одной из компонент.

Исследованию распространения волн в регулярно-слоистых композитах посвящены работы Л.М.Бреховских [п] , Н.А.Шульги [ 107, 108] , Н.А.Шульги и В.М.Антоненко [i, 109] , Сана, Ахенбаха и Германа [75, 76 ] , Све [ 77] и ряд других работ [116, 124] . При этом для решения волновых уравнений использовались различные методы. Так в работе [ II ] использовалась теорема Флоке для дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В работе [ 107] краевая задача сводилась к бесконечной системе алгебраических уравнений и их решение проводилось на основе теории конечноразностных уравнений. В работе [7б] предлагалась теория эффективных жесткостей. Статья [ 124] посвящена экспериментальным исследованиям зон запирания упругих волн.

В работе А.Н.Гузя [ 24] на основе вариационных принципов предложена методика изучения динамических процессов в композитных материалах с начальными напряжениями, на основе которой были определены макроскопические постоянные [25-27] и исследовано распространение упругих волн [30, 45-47] в регулярно-слоистых композитах с начальными напряжениями.

Строгой трехмерной теории распространения и дифракции упругих волн в регулярно-волокнистых и зернистых композитах посвящены монографии А.Н.Гузя и В.Т.Головчана[ 28] , А.Н.Гузя, В.Д.Кубенко и М.А.Черевко [ 29] . Различным приближенным теориям распространения упругих волн в регулярно-волокнистых композитах посвящены работы [ 2, 115, 120] и другие. В статьях [71, 83 ] приведены результаты экспериментальных исследований по дисперсии упругих волн в таких композитах.

Развитию теории композитных сред с различной степенью упорядоченности структуры посвящены работы Г.А.Ванина [12-19]. В монографии [12] на основе метода теории функций комплексного переменного исследованы различные макроскопические физико-механические (упругие, реологические, теплофизические, диффузионные, электромагнитные и другие) характеристики регулярно-волокнистых композитов. На основе развитой теории в работе [ 13] определены макрокопические электромагнитные постоянные анизотропных диэлектриков, в работе [15] предложена методика определения различных макроскопических термогальваномаг-нитных коэффициентов, а в статьях [16, 17] определены макроскопические постоянные продольного сдвига в регулярно-волокнистых пьезоэлектрических композитах. В статье [ 14] предложен новый метод учета взаимодействия в композитной среде, в котором потенциал взаимодействия представляется в виде суммы потенциалов, каждый из которых учитывает различную степень взаимодействия между компонентами. На основе предложенного метода в статьях [18, 19] развивается статистическая теория однонаправленных волокнистых композитов с учетом дисперсии свойств и геометрических параметров волокон и матрицы, несовершенств в фазах и на межфазных границах, дефектов в упаковке.

В работе И.М.Лифшица и Л.Н.Розенцвейга [ 53 ] , одной из первых, выполненных в статистической постановке, исследованы макроскопические постоянные поликристаллов. В ней дана постановка задачи, сформулированы стохастические уравнения равновесия и граничные условия. Макроскопические постоянные находятся в корреляционном приближении. Рассмотрена также одномерная задача, когда среда имеет слоистую структуру. В дальнейшем корреляционное приближение для определения макроскопических постоянных композитов развивалось в работах А.Г.Фокина и Т.Д.Шермергора [ 89] и Л.П.Хорошуна [92] .

В работах В.А.Ломакина [ 54, 55] для решения стохастических уравнений равновесия предложен метод малого параметра, который дает возможность представить решение через статистические характеристики поля упругих постоянных. В случае малой неоднородности, когда можно ограничиться моментами второго порядка, решение совпадает с корреляционным приближением.

Методы вычисления макроскопических постоянных, основанные на предположении малости флуктуаций физико-механических свойств, дают хорошие результаты лишь для слабо неоднородных сред. Однако в реальных композитных материалах, в частности пьезоактивных, различия физико-механических свойств компонент может быть весьма существенным. Для определения макроскопических свойств композитов с сильно отличающимися свойствами компонент необходимо учитывать высшие приближения теории случайных функций. Важным этапом в этом направлении явились работы В.В.Болотина и В.Н.Москаленко [ 6-8] , А.Г.Фокина и Т.Д.Шермергора [90, 91] , Л.П.Хорошуна [92 , 93 ] и некоторые другие [31, 81, 119] .

В работах В.В.Болотина и В.Н.Москаленко [ 6-8] предполагалось, что статистические моменты зависят лишь от расстояния между точками, что позволило провести интегрирование момент-ных уравнений и окончательный результат представить в компактной форме. Определены макроскопические коэффициенты теплопроводности, диффузии и упругие постоянные.

В работах А.Г.Фокина и Т.Д.Шермергора [90] и Т.Д.Шермергора [ 106 ] определение макроскопических постоянных основывалось на перенормировке операторного уравнения равновесия и представление решения в виде операторного ряда, который при удержании сингулярных составляющих производных функций Грина, преобразовывался в числовой.

В работе Л.П.Хорошуна [92] пренебрегается угловыми составляющими в моментных функциях, что позволяет замкнуть бесконечную систему алгебраических уравнений относительно одноточечных моментов, не проводя суммирование рядов.

Перечисленные выше методы, учитывающие высшие приближения теории случайных функций, исходят из разных предпосылок. Однако в конечном итоге, при вычислении макроскопических постоянных, все они используют условие малости флуктуаций случайных полей в пределах компонент.

В работах Л.П.Хорошуна [94, 95] предложен метод вычисления макроскопических постоянных, базирующийся на аппарате теории условных моментных функций, в котором заранее предполагается малость флуктуаций случайных полей в пределах компонент. Это позволяет замкнуть цепочку уравнений, выполнить в них интегрирование и свести задачу к системе линейных алгебраических уравнений относительно одноточечных условных моментов. Предложенный метод оказался эффективным при исследовании макроскопических свойств стохастических композитов с усложненными физическими и геометрическими свойствами компонент. Так, в статье Б.П.Маслова [ 571 данный метод применялся для определения макроскопических постоянных стохастических композитов с анизотропными эллипсоидальными включениями, а в статье Л.П.Хорошуна и Б.П.Маслова [98] для композитов, пространственно армированных короткими волокнами. В работах Л.П.Хорошуна и Б.П.Маслова [ 99, 100] указанный метод применялся для и. определения макроскопических постоянных слоистых и волокнистых пьезоэлектрических композитов стохастической структуры. В статьях Б.П.Маслова [60, 59] и Б.П.Маслова и Л.П.Хорошуна [641 метод условных моментов применялся для нахождения макроскопических свойств стохастических композитов с начальными деформациями, с геометрически и физически нелинейными свойствами компонент.

Исследованию распространения упругих волн в стохастически неоднородных средах посвящены работы [49, 52, 58, 61, 87, 88, 96, 105, 106, II0-II2, 121, 122] и ряд других.

В статье И.М.Лифшица и Г.Д.Пархомовского [ 52] в корреляционном приближении найдена дисперсия и коэффициент рассеяния упругих волн в поликристаллах. Задача сводилась к вычислению динамических макроскопических постоянных, которые зависят от частоты внешней нагрузки и в динамической области имеют существенно комплексный характер. На базе осредненных уравнений движения находился волновой вектор макроскопической волны: действительная часть устанавливала закон дисперсии, мнимая часть коэффициент рассеяния. Рассматривались предельные случаи длинных и коротких волн. В дальнейшем указанный подход развивался в работах А.А.Усова и Т.Д.Шермерго-ра для исследования дисперсии и рассеяния упругих волн в пьезоэлектрических поликристаллах [ 87] и композитных материалах [ 88] . Несколько иные подходы для исследования распространения упругих волн в композитных средах использовались в работах А.М.Левина [ 49] и А.В.Чигарева [105] .

Работы Б.М.Шумана [ II0-II2] посвящены изучению распространения, дисперсии и рассеянию упругих волн в средах со случайными неоднородностями. В работе [ НО] решается задача о распространении продольных и поперечных волн в слабо неоднородных композитах. Определяются коэффициенты рассеяния для сред с мелко- и крупномасштабными неоднородностями. В статьях [ III, 112] исследуется рассеяние волн на случайных шероховатостях.

В работах Б.П.Маслова [ 58, 61] изучено распространение и рассеяние упругих волн в стохастических композитах, армированных разориентированными волокнами. Динамические макроскопические характеристики найдены в приближении метода условных моментных функций. Исследованы скорость распространения и коэффициенты рассеяния продольных и поперечных упругих волн от механических свойств компонент, их концентрации, частоты, а также от начальных напряжений.

Обзоры работ, посвященных определению макроскопических постоянных и распространению упругих волн в микронеоднородных средах с регулярной структурой, приведены в [3, 40, 42, 65, 107] , а со случайной структурой в [65, 97, 101, 106, 121, 122 ] и других.

Из проведенного анализа литературы следует, что в настоящее время задачам определения макроскопических свойств микронеоднородных упругих сред посвящено значительное число работ, в которых предлагаются различные модели, подходы и методы решения. Однако применительно к пьезоактивным (пьезоэлектрическим и пьезомагнитным) микронёоднородным средам таких работ значительно меньше, что свидетельствует о недостаточно полном исследовании вопросов, связанных с определением макроскопических постоянных и распространением упругих волн в пьезоактивных композитах.

Краткая аннотация диссертационной работы

Целью настоящей работы является построение методики определения динамических макроскопических характеристик пьезоактивных композитов стохастической структуры, и на ее основе исследование макроскопических динамических и статических свойств стохастических пьезоактивных слоистых, волокнистых и зернистых композитов с трансверсально изотропными компонентами.

На защиту выносятся следующие вопросы:

- Постановка и решение задачи о распространении плоских гармонических упругих волн в стохастических пьезоактивных композитах, армированных однонаправленными эллипсоидальными трансверсально изотропными волокнами.

- Исследование распространения упругих волн в стохастических слоистых пьезоактивных композитах с трансверсально изотропными компонентами, определение зависимости фазовой и групповой скорости и коэффициентов рассеяния продольных и поперечных макроскопических упругих волн от физико-механических свойств компонент, их концентрации и отношения длины волны к толщине армирующих слоев.

- Исследование распространения упругих волн в стохастических волокнистых пьезоактивных композитах с трансверсально изотропными компонентами, определение зависимости фазовой и групповой скорости продольных и поперечных макроскопических упругих волн от физико-механических свойств компонент, их концентрации и отношения длины волны к диаметру армирующих волокон.

- Определение макроскопических постоянных стохастических пьезоактивных композитов, армированных однонаправленными эллипсоидальными трансверсально изотропными волокнами, исследование их зависимости от физико-механических свойств компонент, концентрации и формы армирующих эллипсоидальных волокон.

Научная новизна и значимость результатов исследований. В работе развит метод условных моментных функций применительно к случаю динамического нагружения стохастических пьезоак-тивных композитов, на основе которого впервые решены задачи и раскрыты основные закономерности распространения, дисперсии и рассеяния упругих волн в слоистых и волокнистых пьезоактив-ных композитах, а также впервые определены и исследованы основные свойства макроскопических постоянных пьезоактивных композитов с однонаправленными эллипсоидальными включениями.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием достаточно строгого и обоснованного метода условных моментных функций, вычислениями на ЭВМ с контролируемой точностью и достаточно хорошим совпадением некоторых частных результатов с имеющимися точными решениями для регулярных структур.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе на основе метода условных моментных функций построена методика изучения динамического деформирования пьезоактивных (пьезоэлектрических и пьезомагнитных) композитных сред стохастической структуры и исследованы основные закономерности макроскопического поведения слоистых, однонаправленно-волокнистых и зернистых композитов при динамических и статических нагружениях. Основные результаты работы заключаются в следующем:

1) Дана постановка и предложена методика решения задач об определении динамических макроскопических характеристик и распространении плоских гармонических упругих волн для стохастических пьезоактивных композитов с трансверсально изотропными матрицей и эллипсоидальными включениями;

2) На основе полученных данных

- Изучено распространение, дисперсия и рассеяние плоских гармонических упругих волн в слоистых пьезоактивных композитах с трансверсально-изотропными компонентами, исследована зависимость фазовой и групповой скорости и коэффициентов рассеяния продольных и поперечных макроскопических упругих волн от упругих, электромагнитных и пьезоактивных постоянных компонент, их концентрации и частоты внешнего поля;

- Изучено распространение и дисперсия плоских гармонических упругих волн в однонаправленно-волокнистых пьезоактивных композитах с трансверсальн® изотропными компонентами, исследована зависимость фазовой и групповой скорости продольных и поперечных макроскопических упругих волн от упругих, электромагнитных и пьезоактивных постоянных компонент, их концентрации и частоты внешнего поля;

- Определены макроскопические упругие, электромагнитные и пьезоактивные постоянные пьезоактивных композитов, армированных однонаправленными короткими эллипсоидальными транс-версально изотропными включениями, исследована их зависимость от упругих, электромагнитных и пьезоактивных постоянных компонент, их концентрации и формы эллипсоидальных волокон.

В результате выполненных исследований можно, в частности, сделать такие выводы:

- Метод условных моментных функций позволяет решать динамические задачи для стохастических композитов в длинноволновом приближении.

- Динамические макроскопические характеристики дают возможность описывать явления распространения, дисперсии и рассеяния волн, а также определять макроскопические постоянные для микронеоднородных стохастических композитов.

- Симметрия тензоров динамических макроскопических характеристик ниже симметрии тензоров соответствующих макроскопических постоянных.

- С увеличением частоты фазовая скорость продольных волн в слоистых и волокнистых композитах уменьшается.

- Наличие пьезоэффекта может вносить большой вклад на величину и характер дисперсии упругих волн.

- Форма армирующих включений существенно влияет на величину макроскопических постоянных, что дает возможность управлять физико-механическими свойствами композита.

- В связанных пьезоактивных задачах большинство макроскопических постоянных одновременно зависят от упругих, электромагнитных и пьезоактивных постоянных компонент.

- Сравнение некоторых частных результатов с существующими точными решениями для регулярных композитов дает хорошее совпадение, что говорит о правомерности применения полученных формул в практических инженерных расчетах.

1. Антоненко В.М., Шульга Н.А. Распространение объемных волн сдвига в ортотропных слоистых композитах. - Механика композит. материалов, 1982, № 1. с. 145-149.

2. Ахенбах, Германн. Дисперсия свободных гармонических волн в армированных волокнами составных материалах. Ракетная техн. и космонавтика, 1968, № 10, с. 10-16.

3. Бабич И.Ю., Гузь А.Н., Шульга Н.А. Исследование динамики и устойчивости композитных материалов в трехмерной постановке: Обзор. Прикл. механика, 1982, 18, № I, с. 3-27.

4. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях. В кн.: Физическая акустика. Т. I, ч. А /Под ред. У.Мэзона. -М.: Мир, 1966, с. 204-326.

5. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1982. - 352 с.

6. Болотин В.В., Москаленко В.Н. Макроскопические коэффициенты теплопроводности и диффузии в микронеоднородных твердых телах. Журн. прикл. механики и техн. физики, 1967, № 6, с. 7-13.

7. Болотин В.В., Москаленко В.Н. Задача об определении упругих постоянных микронеоднородной среды. Журн. прикл. механики и техн. физики, 1968, № I, с. 66-72.

8. Болотин В.В., Москаленко В.Н. К расчету макроскопических постоянных сильно изотропных композитных материалов. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1969, № 3, с. I06-III.

9. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

10. Борисейко В.А., Гринченко В.Т., Улитко АЛ. Соотношение электроупругости для пьезоэлектрических оболочек вращения. Прикл. механика, 1976, 12, № 2, с. 26-33.

11. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Изд-во АН СССР, 1957. - 502 с.

12. Ван Фо Фы Г.А. Теория армированных материалов. Киев: Наук, думка, 1971. - 230 с.

13. Ванин Г.А. Интегральные параметры электромагнитного поля в волокнистых анизотропных диэлектриках. Прикл. механика, 1976, 12, № 2, с. 3-12.

14. Ванин Г.А. Новый метод учета взаимодействия в теории композиционных систем. Докл. АН УССР. Сер. А, 1976, № 4, с. 321-324.

15. Ванин Г.А. К основам теории термогальваномагнитных явлений в армированных средах. Докл. АН УССР. Сер. А, 1976, № 7, с. 609-612.

16. Ванин Г.А. Интегральные параметры при продольном сдвиге композиционной пьезоэлектрической среды. Докл. АН УССР. Сер. А, 1977, № 10, с. 894-897.

17. Ванин Г.А. К теории пьезо- и упругооптических эффектов при продольном сдвиге в волокнистых средах с несовершенствами. Докл. АН УССР. Сер. А, 1977, № 12, с. 1078-1082.

18. Ванин Г.А. Статистическая теория волокнистых сред. Механика композит, материалов, 1982, № 6, с. 1043-1050.

19. Ванин Г.А. К основам теории композиционных материалов с неупорядоченной структурой. Прикл. механика, 1983, 19, № 3, с. 9-18.

20. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. Минск: Изд-во БГУ, 1978. - 206 с.

21. Глозман И.А. Пьезокерамика. М.: Энергия, 1967. - 272 с.

22. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. - 524 с.

23. Гузь А.Н. Об определении приведенных упругих постоянных композитных слоистых материалов с начальными напряжениями. Докл. АН УССР. Сер. А, 1975, № 2, с. 216-219.

24. Гузь О.М. Про вплив початкових напружень на наведен1 характеристики композитних матер1ал1в. Доп. АН УРСР. Сер. А, 1973, № 12, с. IIII-III3.

25. Гузь О.М. Про зведення композитних матер1ал1в з початко-вими напруженнями. Доп. АН УРСР. Сер. А, 1974, № II, с. 989-992.

26. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных областях. Киев: Наук, думка, 1972. - 256 с.

27. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наук, думка, 1978. - 308 с.

28. Гузь А.Н., Ле Минь Кхань. Распространение волн в композитных материалах с большими начальными деформациями. -Прикл. механика, 1976, 12, № I, с. 2-II.

29. Ермаков Г.А., Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Эффективные модули упругости материалов, армированных анизотропными волокнами. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1974, № 4, с. 110—117.

30. Желудев И.С. Симметрия и ее применения. М.: Атомиздат, 1976. - 288 с.

31. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978. - 288 с.

32. Канаун С.К. Метод самосогласованного поля в задаче об эффективных свойствах упругого композита. Журн. прикл. механики и техн. физики, 1975, № 4, с. 194-203.

33. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Термомеханическое поведение вязкоупругих пьезокерамических тел при гармонических возбуждениях. В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций. Вып. 20. - Киев: Наук, думка, 1980, с. 6-10.

34. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф., Новикова A.M. Геометрически нелинейная теория вязкоупругих многослойных пьезокерамических пластин и оболочек. Прикл. механика, 1983, 19,10, с. 71-77.

35. Карпинос Д.М., Тучинский Л.И., Вышняков Л.Р. Новые композиционные материалы. Киев: Высшая школа, 1977. - 312 с.

36. Келли А. Высокопрочные материалы. М.: Мир, 1976. - 261с.

37. Коломиец Г.А., Улитко А.3>. Связанные электроупругие колебания пьезокерамических тел. В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций. Вып. 8. - Киев: Наук, думка, 1969, с. 15-24.

38. Композиционные материалы: В 8-ми т. /Под ред. Л.Браутмана и Р.Крока. Т. 2. Механика композиционных материалов /Под ред. Г.Сендецки. М.: Мир, 1978. - 564 с.

39. Кривоглаз М.А., Черевко А.С. Об упругих модулях твердой смеси. Физ. металлов и металловед., 1959, № 2, с. 161165.

40. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 336 с.

41. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практические применения. М.: ИЛ, 1949. - 719 с.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. -М.: ГИТТЛ, 1959. 532 с.

43. Ле Минь Кхань. Распространение волн вдоль слоев в слоистых несжимаемых материалах с начальными деформациями. -Прикл. механика, 1976, 12, № 12, с. 69-72.

44. Ле Минь Кхань. Распространение волн вдоль слоев в слоистых сжимаемых материалах с начальными деформациями. -Прикл. механика, 1977, 13, № 9, с. 21-26.

45. Ле Минь Кхань. Волны, распространяющиеся под углом к слоям в среде с начальными деформациями. Прикл. механика, 1979, 15, № 3, с. 24-29.

46. Левин В.М. О связи между математическими ожиданиями напряжений и деформаций в упругих микронеоднородных средах. -Прикл. математика и механика, 1971, 35, с. 744-750.

47. Левин В.М. Скорость распространения и затухание длинноволновых упругих колебаний в композитных средах. В кн.: Исследования по упругости и пластичности. - Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1976, вып. II, с. 46-59.

48. Лещенко П.В. Распространение упругих волн в пьезоэлектрических композитах стохастической структуры. В кн.: Ш конф. мол. ученых и специал. по механике композитных материалов (Рига). Тезисы докладов. - Рига: Зинатне, 1981, с. II0-III.

49. Лещенко П.В. Распространение упругих волн в пьезомагнит-ных композитах стохастической структуры. В кн.: Тр. 9 науч. конф. мол. ученых Ин-та мех. АН УССР. Киев, 18-19 нояб., 1981. Киев, 1982, с. I4I-I45. ВИНИТИ, № 2644-82. Деп. 27.05.82.

50. Лифшиц И.М., Пархомовский Г.Д. К теории распространения ультразвуковых волн в поликристаллах. Журн. эксперим. итеор. физики, 1950, 20, № 2, с. 175-182.

51. Лифшиц И.М., Розенцвег Л.Н. К теории упругих свойств поликристаллов. Журн. эксперим. и теор. физики, 1946, 16, № II, с. 967-980.

52. Ломакин В.А. 0 деформировании микронеоднородных упругих тел. Прикл. математика и механика, 1965, 29, № 5,с. 883-893.

53. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. - 140 с.

54. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. - 572 с.

55. Маслов Б.П. Упругие свойства материалов, армированных анизотропными короткими волокнами. Прикл. механика, 1978, 14, № I, с. I2I-I24.

56. Маслов Б.П. Динамические свойства композиционных материалов стохастической структуры. Прикл. механика, 1978, 14, № 10, с. 35-40.

57. Маслов Б.П. Эффективные постоянные в теории геометрически нелинейных твердых тел. Прикл. механика, 198I, 17, № 5, с. 45-50.

58. Маслов Б.П. Приведенные постоянные композитных материалов с начальными деформациями. Прикл. механика, 1981, 17,9, с. 57-63.

59. Маслов Б.П. Приведенные динамические характеристики композитных материалов с начальными напряжениями. Прикл. механика, 1982, 18, № 6, с. 75-80.

60. Маслов Б.П., Лещенко П.В. Прогнозирование электроупругих свойств пьезоэлектрической керамики, упрочненной однонаправленными дискретными волокнами. В кн.: Труды П

61. Респ. конф. молодых ученых по механике (Киев). Киев: Наук, думка, 1979, с. 137-139.

62. Маслов Б.П., Лещенко П.В. Прогнозирование эффективных свойств пьезомагнитной керамики, упрочненной дискретными волокнами. Прикл. механика, 1981, 17, № 8, с. II4-II8.

63. Маслов Б.П., Хорошун Л.П. Эффективные характеристики упругих, физически нелинейных неоднородных сред. Изв.

64. АН СССР. Механика твердого тела, 1977, № 2, с. 149-154.

65. Механика композитных материалов и элементов конструкций: В 3-х т. /Под ред. А.Н.Гузя. Т. I. Механика материалов /Под ред. Л.П.Хорошуна. Киев: Наук, думка, 1982. - 368с.

66. Монокристальные волокна и армированные или материалы /Под ред. А.Т.Туманова. М.: Мир, 1973. - 464 с.

67. Най Дж. Физические свойства кристаллов. М.: Мир, 1967.- 388 с.

68. Новожилов В.В. О связи между математическими ожиданиями тензоров напряжений и деформаций в статистически изотропных однородных упругих телах. Прикл. математика и механика, 1970, 34, № I, с. 67-74.

69. Подстригач Я.С., Бурак Я.И., Гачкевич А.Р., Чернявская Л.В. Термоупругость электропроводных тел. Киев: Наук, думка, 1977. - 248 с.

70. Подстригач Я.С., Бурак Я.И., Кондрат В.Ф. Магнитотермо-упругость электропроводных тел. Киев: Наук, думка, 1982. - 296 с.

71. Попов Г. Экспериментальное исследование дисперсии волн, распространяющихся в волокнисто-армированных композитах.- Болгарская Академия наук. Теорет. и прикл. механика. -София, 1981, 12, № I, с. 63-68.

72. Порошковая металлургия. Спеченные и композиционные материалы /Под ред. В.Шатта. М.: Металлургия, 1983. - 520 с.

73. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1979. 744 с.

74. Савин Г.Н., Хорошун Л.П. К вопросу об упругих постоянных стохастически армированных материалов. В кн.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. - М.: Наука, 1972, с. 437-444.

75. Сан, Ахенбах, Герман. Гармонические волны в слоистой среде, распространяющиеся в направлении слоистости. -Тр. Амер. об-ва инж.-мех. Прикл. механика, 1968, 35, № 2, с. 86-88.

76. Сан, Ахенбах, Герман. Континуальная теория слоистой среды. Тр. Амер. об-ва инж.-мех. Прикл. механика, 1968, 35, № 3, с. 38-47.

77. Све. Гармонические волны распространяющиеся под углом к слоям многослойной среды. Тр. Амер. об-ва инж.-мех. Прикл. механика, 1971, 38, № 2, с. 182-194.

78. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983. Т. I. - 528 е., Т. 2. - 560 с.

79. Смажевская Е.Г., Фельдман Н.Б. Пьезоэлектрическая керамика. М.: Сов. радио, 1971. - 200 с.

80. Современные композиционные материалы /Под ред. Р.Браутма-на и Р.Крока, М.: Мир, 1970. - 672 с.

81. Ставров В.И., Долгих В.Я., Волков С.Д. Об упругих постоянных хаотически армированных пластиков. Механика полимеров, 1967, № 2, с. 259-265.

82. Сыркин П.Н. Пьезомагнитная керамика. Ленинград: Энергия, 1980. - 208 с.

83. Тошер, Гузельсу. Экспериментальное исследование дисперсии волн в волокнистом композиционном материале. Тр. Амер.об-ва инж.-мех. -Прикл. механика, 1972, 39, № I, с. 97-102.

84. Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвуковые методы в физике твердого тела. М.: Наука, 1972. - 308 с.

85. Улитко А.Ф. К теории электромеханического преобразования энергии в неравномерно деформируемых пьезокерамических телах. Прикл. механика, 1977, 13, № 10, с. II5-I23.

86. Ультразвуковые преобразователи /Под ред. Е.Кикуги. М.: Мир, 1972. - 424 с.

87. Усов А.А., Шермергор Т.Д. Рассеяние ультразвуковых волн в пьезоэлектрических поликристаллах тетрагональной симметрии. В кн.: Сб. научн. трудов по пробл. микроэлектроники. Физ. - матем. Серия, вып. 22, МИЭТ, 1976, с. 205209.

88. Усов А.А., Шермергор Т.Д. Дисперсия скорости и рассеяние поперечных ультразвуковых волн в композиционных материалах. Акуст. журнал, 1978, 24, с. 255-260.

89. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Упругие модули текстурирован-ных материалов. Инж. журн., Мех. твердого тела, 1967, № I, с. 129-133.

90. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Вычисление эффективных упругих модулей композиционных материалов с учетом многочастичных взаимодействий. Журн. прикл. механики и техн. физики, 1969, № I, с. 51-57.

91. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Упругие реологические характеристики волокнистых композиционных материалов. Изв.

92. АН СССР. Механика твердого тела, 1973, № 6, с. 123-129.

93. Хорошун Л.П. К теории изотропного деформирования упругих тел со случайными неоднородностями. Прикл. механика, 1967, 3, № 9, с. 12-19.

94. Хорошун Л.П. Статистическая теория деформирования однонаправленных волокнистых материалов. Прикл. механика, 1968, 4, № 7, с. 8-15.

95. Хорошун Л.П. Упругие свойства материалов, армированных однонаправленными короткими волокнами. Прикл. механика, 1972, 8, № 12, с. 86-92.

96. Хорошун Л.П. Прогнозирование термоупругих свойств материалов, упрочненных однонаправленными дискретными волокнами. Прикл. механика, 1974, 10, № 12, с. 23-30.

97. Хорошун Л.П. К теории взаимопроникающих смесей. Прикл. механика, 1977, 13, № 10, с. 124-132.

98. Хорошун Л.П. Методы теории случайных функций в задачах о макроскопических свойствах микронеоднородных сред. -Прикл. механика, 1978, 14, №2, с. 3-17.

99. Хорошун Л.П., Маслов Б.П. Эффективные характеристики материалов, пространственно армированных короткими волокнами. Механика композит, материалов, 1979, № I, с. 3-9.

100. Хорошун Л.П., Маслов Б.П. Основы теории прогнозирования электромеханических свойств неоднородных пьезоэлектри-ков. Прикл. механика, 1979, 15, № 10, с. 3-8.

101. Хорошун Л.П., Маслов Б.П. К теории деформирования и разрушения неоднородных пьезоэлектриков случайной структуры. В кн.: Проблемы оптимизации и надежности в строительной механике. -М.: Стройиздат, 1979, с. 115—116.

102. Хорошун Л.П., Маслов Б.П. Методы автоматизированного расчета физико-механических постоянных композиционных материалов. Киев: Наук, думка, 1980. - 156 с.

103. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Лещенко П.В. Пьезомагнитные свойства керамики, армированной анизотропными короткими волокнами (усами). В кн.: Тезисы ХУ Всес. научного совещания по тепловым напряжениям в элементах конструкций

104. Канев). Киев: Наук, думка, 1980, с. 88.

105. Хорошун Л.П., Щербаков А.С. Прочность и деформативность арболита. Киев: Наук, думка, 1979. - 192 с.

106. Чигарев А.В. Распространение волн в упругой микронеоднородной среде. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1980, № 4, с. 128-135.

107. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред.- М.: Наука, 1977. 400 с.

108. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. Киев: Наук, думка, 1981. - 200 с.

109. Шульга Н.А. Распространение объемных волн сдвига произвольного направления в слоистых композитах. Прикл. механика, 1982, 18, № 3, с. 11-16.

110. Шульга Н.А., Антоненко В.М. Распространение волн поперек структуры многокомпонентного слоистого композита.- Прикл. механика, 1982, 18, № 2, с. II7-I20.

111. Шуман В.М. Распространение упругих волн в среде со случайными неоднородностями. Прикл. механика, 1968, 4,10, с. 6-13.

112. Шуман Б.М. Плоская задача о рассеянии упругих волн в среде со случайными неоднородностями. Прикл. механика, 1969, 5, № 3, с. 85-91.

113. Шуман Б.М. Распространение поперечной гармонической волны в пластине со статистически шероховатым круговым отверетием. Прикл. механика, 1972, 8, № II, с. II9-I23. ИЗ. Яффе Б., Кук У., Яффе Г. Пьезоэлектрическая керамика.- М.: Мир, 1974. 288 с.

114. Ъел^олсоа^ф. P'xd^asVvc CV\a*ac4a<^\cs115. (V\C ^oiveS'iw a ^ег-ЪеЦо*^1. HecVi

115. T. J., VUM.wva.wn G., Kau.( Я.Х. ъххмс.рго^о^аА'хО* \\f\ a рс-зАосЬсд!^ ^a^eieal \w<^wVU &осЦ oaaVx^oam \>2av\S , P\SK£. J. AppG.1. МссЦ p. VO-V^.

116. V\asV\* SV\4-'J\y.v\na\n S. F\ MOLT.Vcx.VxOvnoiC oup'ploaeVi •to -tW -tVxeoi^ o^ -tw ctasVic. (WtaxVvou'} ^ ^Uvp. A2?-V2>S.

117. H\U К. A -COVA^C-Uv^ WKWLo^ (Lov^yoo

118. S\k , J. . PVv^s ЛоЫл^Ъ^Д!1. N Ч y p . 1\Ъ- 212 .119. t. EflWic \™odU(U1. NiS, р.'мъ-ъгч.120. Lo2ol Hoi^ , \Mcx\ig.1.\ YACAoiG. vmOvVlVr. J. Cov^poS. Ma-iCi,

119. H^cWvVic^ D? Sotxols .TW UlWo(W<l/EcLH.&.HopV^SjMJ.S^e,^*. Pei^av^ov* P>HSS Tvxc.,

120. McCo^ J.J. Haclosc.op\c 'HSpowce о? cowUvw^

121. Pcuss A- cWi f^ve^S^cw^e v<m

122. Elv\\<1\vUiMe.-2. av^<z>X/ .Ma-tVu Ие-с^., S-MVS*.

123. C-Vi/., LeppeiwUe'i G.W. EX^WyuwM ve^Vctx-Ucm o^ dhspe.Wo\n fce.Ga.ViOMx* ^02. (a^iuicov^posi-Us.-T^oMs• ASME. 0. A^pfl. Hi, Ml , p.

124. Voi^Vt W, Лег U^sUUpV^k.-fceskv. TeuWi, ПП. ЪЫ S.