Многоточечные приближения высших порядков стохастической краевой задачи упругости композитов со случайной структурой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

005005182

На правах рукописи

Ташкинов Михаил Анатольевич

МНОГОТОЧЕЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ СТОХАСТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ УПРУГОСТИ КОМПОЗИТОВ СО СЛУЧАЙНОЙ СТРУКТУРОЙ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 8 ЛЕК ?011

Пермь - 2011

005005182

Работа выполнена на кафедре механики композиционных материалов и конструкций ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор В.Э. Вильдеман

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор В.П. Радченко

Доктор физико-математических наук, профессор И.Н. Шардаков

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный

университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Защита диссертации состоится 22 декабря 2011 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д.004.012.01 в Институте механики сплошных сред УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН

Автореферат разослан «2-1 » ноября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

И.К. Березин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Композиционные материалы широко применяются при проектировании высокотехнологичных конструкций и механизмов. Современные методы позволяют получать материалы со спектром уникальных характеристик, которые можно определять на стадии проектирования за счет выбора типов структуры композитов и физико-механических свойств компонентов. Для каждой конструкции может быть разработан материал, соответствующий ее назначению и условиям эксплуатации.

Актуальным является развитие таких моделей в механике композиционных материалов и конструкций, которые позволяют вычислять параметры полей деформирования для каждой фазы композита, что необходимо для предсказания механизмов деформирования и разрушения в зависимости от геометрических параметров конструкции, условий нагружения и структуры материала, а также для оценки надежности и выработки рекомендаций при проектировании материалов и конструкций.

Значительное место среди композиционных материалов занимают структурно-неоднородные материалы, состоящие из включений, случайным образом расположенных в матрице. Для исследования подобных стохастически армированных композитов используются статистические методы, основанные на применении теории случайных функций. Преимущества таких методов в том, что они позволяют учитывать такой важный фактор реальной структуры композитов, как случайность взаимного расположения компонентов и статистический разброс их свойств. Таким образом, решается задача определения характеристик стохастических полей напряжений и деформаций в элементах структуры композита по известным статистическим свойствам структуры и условиям нагружения.

Характеристики структурных полей деформирования микронеоднородных сред могут быть определены из решения стохастических краевых задач, в которых уравнения и граничные условия содержат случайные величины. Статистическую информацию о структуре, например, в виде многоточечных моментных функций, можно получить, используя образцы композита или модель случайной структуры.

В большинстве работ при описании стохастических структур ограничиваются моментными функциями, как правило, второго порядка. В статистической механике композиционных материалов до сих пор остается открытым вопрос о более полном учете взаимодействия компонент. В данной работе рассматриваются приближения высших порядков в рамках краевых задач, в которых необходимым является учет не только моментных функций второго порядка, но и третьего, четвертого и пятого порядков, что позволяет более полно описывать случайную структуру композитов.

Целью работы является развитие методов исследования полей структурных напряжений и деформаций в композиционных материалах со случайной структурой на основе разработки и реализации методик построения решений статистически нелинейных краевых задач в многоточечных приближениях с использованием моментных функций высших порядков.

Основные задачи исследования:

- вывод аналитических выражений для решения стохастических краевых задач теории упругости при помощи метода функций Грина с использованием процедуры последовательных приближений;

- получение выражений для моментов структурных напряжений и деформаций первого и второго порядков;

- построение и аппроксимация моментных функций высших порядков для синтезированных объемных полидисперсных стохастических структур со сферическими включениями;

- расчет статистических характеристик полей напряжений и деформаций при различных видах макрооднородного напряженно-деформированного состояния;

- анализ статистических характеристик полей напряжений и деформаций в зависимости от структурных параметров и вида макроскопического напряженно-деформированного состояния.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Получены новые результаты построения и аппроксимации многоточечных моментных функций (до пятого порядков) для неоднородных полидисперсных структур со сферическими включениями.

2. Впервые на основе решения краевой задачи во втором приближении выведены аналитические выражения для средних значений, условных и безусловных моментов второго порядка полей деформирования с учетом реального вида моментных функций для неоднородных структур.

3. Получены новые численные результаты для статистических характеристик полей деформирования матричных пористых композитов в случае всестороннего растяжения, чистого сдвига и одноосного нагружения.

4. Впервые произведено сопоставление численных результатов для статистических характеристик в первом приближении решения краевой задачи, где используются моментные функции до третьего порядка, с результатами во втором приближении, получаемом с использованием моментных функций до пятого порядка.

Обоснованность и достоверность результатов. Содержащиеся в работе положения и выводы подтверждены сопоставлением результатов, полученных

на основе различных методик и приближений, а также сравнением для некоторых частных случаев результатов работы с частными точными решениями и известными приближенными результатами других авторов.

Практическая значимость работы состоит в создании научных основ для оценки прочности и надежности материалов и конструкций. Разработанные модели структуры и методы решения стохастических краевых задач механики композитов могут быть использованы для сравнительного анализа влияния различных структурных параметров на статистические характеристики полей напряжений с целью создания материалов с заранее заданным комплексом свойств и оценки вероятностей разрушения.

Результаты диссертационной работы в виде математических моделей, методов, алгоритмов, методик расчетов и оформленные в виде программного кода в среде Wolfram Mathematica, могут быть использованы научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, занимающимися разработкой и проектированием композиционных материалов и конструкций из них.

Апробация. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- на 10-м Всероссийском Съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, 2011 г., Нижний Новгород;

- на Конференции по прикладной механике и материалам (МсМАТ-2011), проводимой Американским сообществом инженеров-механиков (ASME), 2011 г., Чикаго, США;

- на Второй международной конференции по моделированию материалов (1СММ'02), 2011 г., Париж, Франция;

- на 20-ом Международном семинаре по вычислительной механике материалов (IWCMM'20), 2010 г., Лафборо, Великобритания;

- на XVII Зимней школе по механике сплошных сред, 2011 г., Пермь;

- на Первой международной научной конференции «Достижения в механике взаимодействия и мультимасштабной механике» (AIMM'10), 2010г., Джеджу, Южная Корея;

- на XIII Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации», 2011 г., Пермь;

- на X Международной конференции «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах» (НРС'2010), 2010 г., Пермь;

- на XX Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 2011 г., Пермь;

- на XVII Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 2008 г., Пермь;

- на XVI Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 2007 г., Пермь;

Работа целиком докладывалась на научных семинарах:

- кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского политехнического университета, руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Соколкин.

- кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета, руководитель - доктор физико-математических наук, профессор П.В. Трусов.

- Института механики сплошных сред УрО РАН, руководитель - академик РАН В.П. Матвеенко.

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР по грантам Российского фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ 11-01-96030-р_урап_а, проект РФФИ 10-08-96062-р_урал_а, проект РФФИ 0808-00702).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ, основные приведены в списке [1-13], в том числе 4 в изданиях из перечня ВАК [3-6].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Работа содержит 17 рисунков, 12 таблиц. Общий объем диссертационной работы - 110 страниц. Библиография включает 107 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность, сформированы цели и основные задачи работы, полученные в ней новые научные результаты, ее новизна, практическая ценность, приведены сведения об апробации работы, представлено краткое содержание глав диссертации.

В первой главе рассмотрены вопросы исследования композитов со случайной структурой с использованием структурно-феноменологического подхода. Приведен краткий обзор основных статистических методов решения стохастических краевых задач механики композитов. Даны описания некоторых известных алгоритмов моделирования геометрии трехмерных матричных неоднородных структур.

Вторая глава посвящена построению многоточечных моментных функций для синтезированных трехмерных неоднородных структур.

Рассмотрены объемные полидисперсные структуры со сферическими включениями. Для получения реализаций геометрии структуры матричных

двухкомпонентных композитов используется следующий алгоритм. Ограниченная область кубической формы случайным образом по равномерному закону распределения заполняется точками, которые являются центрами сфер. Каждой такой точке ставится в соответствие радиус сферы, который может быть как постоянным для каждой сферы, так и генерироваться по равномерному закону распределения случайным образом в пределах установленного интервала. Ставится условие, что пересечение сфер недопустимо. Были использованы три метода, позволяющие синтезировать структуры с отсутствием пересечения между сферами: удаление пересекающихся сфер; перемещение пересекающихся сфер; уменьшение радиуса пересекающихся сфер.

В работе осуществлен синтез семи типов неоднородных структур композитов с различной объемной долей включений р = 0.15, 0.20, 0.25, 0.30, различным минимальным и максимальным радиусом включений, осредненным минимальным расстоянием между центрами включений.

На рис. 1 приведено графическое представление некоторых исследуемых неоднородных структур с одинаковой объемной долей р, отличающихся минимальным гш;п и максимальным гшах радиусами включений, а также количеством включений N.

в г

Рис 1. Визуализации моделей структур с объемной долей р = 0.20 и различной дисперсностью: а) = 8, гтах = 8, N = 747; б) гтЬ =4,^=18, N = 530; в) ^ = 4, гтах = 12, N = 1047 ; г) гт1п = 4, ^ = 8, Л^ = 2088;

Геометрия случайной структуры двухфазного композита описывается с помощью индикаторной функции Л(г):

мп= ' ' . (1)

10.? е vu

где V, - область, занимаемая включениями, VM - область, занимаемая матрицей, г -радиус-вектор.

Пульсация случайной индикаторной функции в точке определяется как разница между значением индикаторной функции в данной точке и осредненным значением функции:

Л'(г) = Л(г)-{Л(г)). (2)

Если Л(г) - статистически однородная и изотропная функция, {Л{г„)) -р- const, р - объемная доля включений.

Выражение для п -точечной моментной функции п -го порядка имеет следующий вид:

= ((Mr) "(Я(г)»(Л(/9 -(Я(^)»...(Я(гя) - (Л(г„)))) = (3)

= {(МГ)-р){МЮ-Р)-(МГя)-Р)}-

Значения моментной функции в зависимости от шага \гт — гп\ вычисляются сеточными методами. Синтезированный фрагмент структуры разбивается сеткой с шагом h = 0)davg, где davg - средний диаметр включений. В узлах сетки

проверяется наличие матрицы или включения, индикаторной функции присваивается значение, соответственно, 0 или 1. Для получения значения моментной функции и-го порядка задаются расстояния \гт— гп\. Для всех пар узлов сетки, отстающих друг от друга на данные расстояния, вычисляются произведения /Г(7)/Г(^)...Л'(?;) и делятся на количество пар узловых точек.

При вычислении значений моментных функций все расстояния между точками принимаются одинаковыми и увеличивающимися пропорционально. Для этого моментные функции второго и четвертого порядка строятся на кубической сетке, функции третьего порядка - на гексагональной сетке, для построения моментных функций пятого порядка используется кубическая центрированная сетка. Используются моментные функции, нормированные по оси ординат на центральный момент D.

Построены графики моментных функций до пятого порядка. Установлено и проиллюстрировано влияние объемной доли включений, а также дисперсности структуры на графики моментных функций.

Исследована возможность аппроксимации моментных функций высших порядков выражением:

йп){г,гх,г2,...,г„) = ех р

к

а 18 у

СОБ

у(2)

С

V

V <"« у

(4)

где Х„ - сумма модулей разницы всевозможных комбинаций радиус-векторов без повторений слагаемых, £(п2) - сумма квадратов модулей разницы всевозможных комбинаций радиус-векторов без повторений слагаемых, п -порядок моментной функции. Коэффициенты аппроксимирующего выражения вычисляются методом смешанных градиентов.

№№10 0.8

0.6

0.4

о.:

р-0.20— р-Ю.2

-р=0.30

0.5

1,0

А г

1.5

Рис. 2. Двухточечная нормированная корреляционная функция для структур с разной объемной долей.

ГГ(г,гх) ы 0.8

Аг

Рис. 3. Сравнения графиков корреляционной функции: сеточной и аппроксимированной выражением (5).

Показано, что выражение (4) с достаточной точностью аппроксимирует моментные функции порядка выше третьего, однако результат аппроксимации им корреляционных функций не является удовлетворительным. Были

исследованы возможности аппроксимации корреляционных функций тремя различными зависимостями, из которых была выбрана следующая:

/л2,(?.п) = ехР

\г-гл

-с,

сое

а^

+ с3 эга

ауё у

(5)

Для моментных функций от второго до пятого порядков приведены значения коэффициентов для рассматриваемых структур. Показано, что графики моментных функций, построенных на сетке, и соответствующие им графики аппроксимирующих выражений совпадают в мере, достаточной для использования предложенных аппроксимирующих выражений в решении стохастических краевых задач.

В третьей главе приводится постановка и решение стохастической краевой задачи теории упругости.

При решении краевой задачи принимаются следующие гипотезы: физические и геометрические величины, описывающие свойства композита, считаются статистически однородными и эргодическими случайными полями; материалы компонентов композита являются упругими, однородными; адгезия между материалами компонентов по границам раздела предполагается идеальной; массовые силы не учитываются; рассматриваются малые деформации; среда обладает свойством макроскопической однородности.

Краевая задача теории упругости для композитов со случайной структурой в некоторой области V записывается следующим образом:

= 0, (6)

£<,(г)=\{ии(?) + «„(?))> (7)

^{г) = С1)и{г)ек,(г), (8)

(9)

где С1]Ы (г) - тензор структурных модулей упругости, £* = ец, е1} - компоненты

постоянного произвольно заданного симметричного тензора малых макродеформаций, rJ - координаты точек поверхности тела. На межфазной

поверхности выполняются условия идеального контакта

и,(/)=и,(М\

<ч=<ч

Макроскопические деформации и напряжения определяются путем осреднения по элементарному макрообъему V:

Поля структурных модулей упругости и поля перемещений представляются в виде средней составляющей и пульсации:

ст{?) = {с^ + с:]к1{г), «Д?Н«,(г)> + И;(г). (11)

Так как средняя составляющая перемещений (и,(г)) известна из граничных условий (9), краевая задача решается относительно пульсаций перемещений и%г).

С помощью принятых гипотез и после математических преобразований система уравнений краевой задачи принимает вид

({ст)«'кЛГ))ч =-[Ст(г)ек, + с;й(Я)<д?)],у. (12)

Обозначив за тензор Ри .(г) выражение в квадратных скобках правой части, уравнение (12) формально можно рассматривать как краевую задачу теории упругости для однородного тела с тензором модулей упругости (с^ и

перемещениями и'к (?), обусловленными действием случайных объемных сил

Решение уравнения (12) находится с помощью метода функций Грина. В общем виде для неизвестного поля и'(г) имеем интегро-дифференциальное уравнение, записанное в рекуррентном виде:

= ¡0^. (г Я )\с'т1М (п)еы + С'тМ (г^Г 00

.Л (13)

где С,.т (г,^) - функция Грина, X - приближение, в котором решается задача.

В первом приближении пульсации перемещений в правой части принимаются равными нулю. Последовательные приближения решения стохастической краевой задачи получаются путем подстановки в правую часть уравнения (13) решений в предыдущем приближении. Рассматриваются решения задачи в первом и втором приближениях:

(14)

= ¿'(¡О

(15)

где разность тензоров структурных модулей упругости включений и матрицы обозначена как постоянный тензор СтМ = С'тМ - С„м.

Решение интегро-дифференциального уравнения в первом или втором приближении используется для получения статистических характеристик полей деформирования. В качестве искомых статистических характеристик рассматриваются средние значения и дисперсии полей напряжений и деформаций в компонентах композита.

Приводятся общие формулы для условных (т.е. при условии вычисления в одном из компонентов) моментов полей деформирования:

(16)

+ + (17)

где Лс(г) - индикаторная функция, которая принимает значение 1, если

радиус-вектор г находится в компоненте с, и равна 0 во всех остальных случаях. Аналогично записываются выражения для средних и дисперсий пульсаций напряжений в компонентах.

Показано, что для нахождения статистических характеристик в компонентах необходимы три безусловных момента: {^{г)е'ар{г)^,

Приводится аналитический вид функции Грина для изотропного тензора модулей упругости (С^.

Рассмотрены две методики получения формул для искомых моментов с использованием решений краевой задачи. В первом случае моменты вычисляются с использованием решений задачи в том виде, в котором оно записано в выражениях (14) и (15). При этом под интегралом остаются первые производные функции Грина и производные моментных функций. Во втором случае используется операция свертки Стилтьеса и в подынтегральном выражении остаются вторые производные функции Грина и моментные функции без производной.

Аналитические выражения для моментов {^'¡¡{г)е'ар{г)^, (Я'(г)е'^ (г)} и (Л'(г)£^(г)£'ф(г )^ записываются с помощью обеих вышеописанных методик - в первом и, впервые, во втором приближении решения краевой задачи.

В четвертой главе содержатся результаты численных расчетов статистических характеристик полей деформирования в компонентах композита для различных случаев макроскопического напряженно-деформированного состояния, дано описание численных методов, используемых для расчета, а также приведены некоторые априорные оценки и точные решения для частных случаев.

Все численные расчеты реализованы в виде программного кода в среде Wolfram Mathematica с использованием параллельных алгоритмов.

Рассматриваются пористые композиты. Упругие константы матрицы задаются через модуль Юнга и коэффициент Пуассона следующим образом: ЕК1 =2x10" МПа, vM=0.3. Приводятся новые численные результаты для средних значений и дисперсий полей деформирования в компонентах в случае всестороннего растяжения, чистого сдвига и одноосного нагружения для семи типов структур различной дисперсности с объемной долей включений = 0.15, 0.20, 0.25, 0.30, описание которых дано в разделе 2.

В таблице 1 представлены статистические характеристики для структур с объемной долей /> = 0.15, 0.20, 0.25, 0.30 при чистом сдвиге, вычисленные во втором приближении решения стохастической краевой задачи.

Таблица 1. Статистические характеристики полей деформирования для структур с различной объемной долей включений при чистом сдвиге

Статистические р = 0.15 р = 0.20 р = 0.25 р = 0.30

характеристики

Средние деформации, хЮ"6 <^12 >М 0.98991 0.98507 0.98078 0.97561

Средние напряжения, МПа <^12 >М 0.13254 0.12535 0.11805 0.11070

Дисперсии деформаций, х10~14

В матрице <£п£п >м =< £г1£г1 >Л/ 0.28793 0.38102 0.47795 0.61877

< ^12^12 "'м 1.78269 2.32009 2.90176 3.79986

^ ^13^13 ^23^23 •'и 1.25770 1.67277 2.08542 2.68656

^ сззсзз ^м 0.00130 0.00192 0.00155 0.00032

Дисперсии напряжений, МПа2 х 1 (Г2

В матрице <°па[ 1 >,,=< СЦО'П >Л/ 0.01219 0.01195 0.01041 0.00869

< СТ12СГ|2 >М 0.04742 0.09379 0.15996 0.23979

<СГ13С7П >М=<0'23(Т23 >М 0.01459 0.01431 0.01238 0.01022

< >м 0.00334 0.00332 0.00285 0.00230

Коэффициенты вариации

Т/(М) 0.1348 0.1622 0.1737 0.1998

у{М) а 0.1642 0.2508 0.3388 0.4424

Проведен сравнительный анализ влияния объемной доли, дисперсности структуры на статистические характеристики. Показано, что дисперсность включений в структурах с одинаковой объемной долей оказывает влияние на дисперсии полей деформирования в компонентах, однако средние значения полей деформирования от дисперсности структуры не зависят.

Для частного случая пористых композитов выписано точное решение для средних напряжений в матрице. Записаны выражения для средних деформаций в матрице через эффективные модули упругости и заданный тензор макродеформаций. Из полученных на основе решения стохастической краевой задачи выражений для средних величин полей деформирования в компонентах вычисляются эффективные упругие константы материала.

Представлено сравнение некоторых полученных результатов с работами других авторов.

В заключении изложены основные результаты диссертационной работы.

1. Впервые построено второе приближение решения стохастической краевой задачи теории упругости структурно-неоднородных сред с использованием метода функций Грина.

2. Получены выражения для условных и безусловных моментов первого и второго порядка полей напряжений и деформаций с использованием решения краевой задачи в первых и вторых производных функции Грина с учетом явного вида структурных многоточечных моментных функций высших порядков для синтезированных структур.

3. Произведен синтез неоднородных матричных структур со сферическими включениями, для которых были построены многоточечные моментные функции от второго до пятого порядков. Предложен новый вид аппроксимирующих выражений для моментных функций, коэффициенты которых найдены для структур с различной объемной долей и дисперсностью включений.

4. Разработан программный комплекс в пакете Wolfram Mathematica, позволяющий синтезировать реализации случайных структур с заданными параметрами, строить моментные функции высших порядков для них, вычислять статистические характеристики полей деформирования на основе решения стохастической краевой задачи теории упругости с применением параллельных вычислений.

5. Получены новые численные результаты для статистических характеристик полей деформирования в компонентах пористых матричных композитов со сферическими включениями при различных видах макрооднородного напряженно-деформированного состояния.

6. Произведен анализ влияния геометрических параметров структуры композита, таких как дисперсность и объемная доля включений на результаты расчета средних значений и дисперсий полей напряжений и деформаций.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Ташкинов М.А. Приближение второго порядка для краевой задачи о чистом сдвиге матричного композита со случайными включениями // Молодежная наука Прикамья: сборник научных трудов. Перм. гос. техн. ун-т. — Пермь, 2008.—Вып. 9.-С. 185-188.

2. Ташкинов М.А., Евлампиева Н.В. Получение выражений для приближения второго порядка краевой задачи упругости матричного композита со случайными включениями в случае чистого сдвига // Молодежная наука Прикамья: сборник научных трудов. Перм. гос. техн. ун-т. — Пермь, 2009. — Вып. 10, —С. 67-68.

3. Ташкинов М.А., Вильдеман В.Э., Михайлова Н.В. Метод последовательных приближений в стохастической краевой задаче теории упругости структурно-неоднородных сред // Механика композиционных материалов и конструкций, 2010. —Т.16. —№ 3. — С. 369-384.

4. Ташкинов М.А. Многоточечные моментные функции структурных свойств полидисперсных композитов II Вестн. Сам. гос. техн. ун-та, серия Физ.-мат. науки, 2011. — №2(23). — С. 74-82

5. Ташкинов М.А., Михайлова Н.В. Многоточечные приближения высших порядков в краевой задаче упругости полидисперсных композитов со случайной структурой // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011. — № 4 (4), — С. 1799-1800.

6. Tashkinov М.А, Wildemann V.E., Mikhailova N.V. Method of successive approximations in stochastic elastic boundary value problem for structurally heterogenous materials И Computational Materials Science, Volume 52, Issue 1 (doi:10.1016/j.commatsci.2011.04.025).

7. Ташкинов М.А. Вычисление статистических характеристик полей напряжений и деформаций в композиционных материалах с использованием параллельных вычислений в программной среде Mathematica 7 // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах (НРС-2010): Материалы X Межд. конф. / Суперкомпьютерный консорциум ун-в России; Перм. гос. техн. ун-т. —Пермь: Изд-во ПГТУ, 2010. — Т.2., - С. 266268.

8. Ташкинов М.А., Вильдеман В.Э. Многоточечные приближения высших порядков в краевой задаче упругости полидисперсных структурно-неоднородных сред // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 28 фев. - 3 мар. 2011г. Тез. докл. - Пермь-Екатеринбург, 2011, - С. 308.

9. Ташкинов М.А., Михайлова Н.В. Многоточечные приближения высших порядков в краевой задаче упругости полидисперсных композитов со случайной структурой // Современные методы механики. X Всеросс. съезд по фунд.пробл. теор. и прикл. механики. Вторая Всеросс. шк. мол. ученых-

механиков. Тез. докл. (Нижний Новгород, 24—30 августа 2011 г.). - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2011.-С. 168-169.

10. Ташкинов М.А., Вильдеман В.Э., Михайлова Н.В. Многоточечные приближения высших порядков в стохастической краевой задаче теории упругости структурно-неоднородных сред // Математическое моделирование в естественных науках: тез. докл. 20-й Всерос. шк.-конф. мол. ученых и студентов / Перм. нац. иссл. политехи, ун-т. — Пермь : Изд-во ПНИПУ, 2011. — С. 95.

11. Tashkinov М. Method of Successive Approximations in Stochastic Elastic Boundary Value Problem for Structurally Heterogenous Materials // The Proceedings of the First International Conference on Advances in Interaction and Multiscale Mechanics (А1ММД0), May 31 - June 2,2010, Jeju, Korea. - P. 114.

12. Tashkinov M.A, Wildemann V.E., Mikhailova N.V. Method of Successive Approximations in Elastic Boundary Value Problem for Random Structure Composites // 20th International Workshop on Computational Mechanics of Materials, Book of Abstracts, 08-10 September 2010, Loughborough, UK. - P. 9091.

13. Tashkinov M. High Order Multipoint Correlation Functions in Stochastic Elastic Boundary Value Problem for Polydisperse Composites with Random Structure // 2nd International Conference on Material Modelling, Book of abstracts, August 31 - September 2,2011, Paris, France. - P. 236.

Подписано в печать 17.11.2011 г. Формат 60 х 90/16. Набор компьютерный. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 2388/2011.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательства Пермского национального исследовательского политехнического университета. Адрес: 614990, г. Пермь, пр-т Комсомольский, 29, к. 113. Тел. (342)219-80-33

ВВЕДЕНИЕ.

1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ УПРУГОСТИ КОМПОЗИТОВ СО СЛУЧАЙНОЙ СТРУКТУРОЙ. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСОВ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1 Статистические модели композитов со случайной структурой.

1.2 Методы решения стохастических краевых задач теории упругости.

1.3 Моделирование геометрии случайных неоднородных структур.

Актуальность проблемы. Композиционные материалы широко применяются при проектировании высокотехнологичных конструкций и механизмов. Современные методы позволяют получать материалы со спектром уникальных характеристик, которые можно определять на стадии проектирования за счет выбора типов структуры композитов и физико-механических свойств компонентов. Для каждой конструкции может быть разработан материал, соответствующий ее назначению и условиям эксплуатации.

Актуальным является развитие таких моделей в механике композиционных материалов и конструкций, которые позволяют вычислять параметры полей деформирования для каждой фазы композита, что необходимо для предсказания механизмов деформирования и разрушения в зависимости от геометрических параметров конструкции, условий нагружения и структуры материала, а также для оценки надежности и выработки рекомендаций при проектировании материалов и конструкций.

Значительное место среди композиционных материалов занимают структурно-неоднородные материалы, состоящие из включений, случайным образом расположенных в матрице. Для исследования подобных стохастически армированных композитов используются статистические методы, основанные на применении теории случайных функций. Преимущества таких методов в том, что они позволяют учитывать такой важный фактор реальной структуры композитов, как случайность взаимного расположения компонентов и статистический разброс их свойств. Таким образом, решается задача определения характеристик стохастических полей напряжений и деформаций в элементах структуры композита по известным статистическим свойствам структуры и условиям нагружения.

Характеристики структурных полей деформирования микронеоднородных сред могут быть определены из решения стохастических краевых задач, в которых уравнения и граничные условия содержат случайные величины. Статистическую информацию о структуре, например, в виде многоточечных моментных функций, можно получить, используя образцы композита или модель случайной структуры.

В большинстве работ при описании стохастических структур ограничиваются моментными функциями, как правило, второго порядка. В статистической механике композиционных материалов до сих пор остается открытым вопрос о более полном учете взаимодействия компонент. В данной работе рассматриваются приближения высших порядков в рамках краевых задач, в которых необходимым является учет не только моментных функций второго порядка, но и третьего, четвертого и пятого порядков, что позволяет более полно описывать случайную структуру композитов.

Целью работы является развитие методов исследования полей структурных напряжений и деформаций в композиционных материалах со случайной структурой на основе разработки и реализации методик построения решений статистически нелинейных краевых задач в многоточечных приближениях с использованием моментных функций высших порядков.

Основные задачи исследования:

- вывод аналитических выражений для решения стохастических краевых задач теории упругости при помощи метода функций Грина с использованием процедуры последовательных приближений;

- получение выражений для моментов первого и второго порядков структурных напряжений и деформаций;

- построение и аппроксимация моментных функций высших порядков для синтезированных объемных полидисперсных стохастических структур со сферическими включениями;

- расчет статистических характеристик полей напряжений и деформаций при различных видах макрооднородного напряженно-деформированного состояния;

- анализ статистических характеристик полей напряжений и деформаций в зависимости от структурных параметров и вида макроскопического напряженно-деформированного состояния.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Получены новые результаты построения и аппроксимации многоточечных моментных функций (до пятого порядков) для неоднородных полидисперсных структур со сферическими включениями.

2. Впервые на основе решения краевой задачи во втором приближении выведены аналитические выражения для средних значений, условных и безусловных моментов второго порядка полей деформирования с учетом реального вида моментных функций для неоднородных структур.

3. Получены новые численные результаты для статистических характеристик полей деформирования матричных пористых композитов в случае всестороннего растяжения, чистого сдвига и одноосного нагружения.

4. Впервые произведено сопоставление численных результатов для статистических характеристик в первом приближении решения краевой задачи, где используются структурные моментные функции до третьего порядка, с результатами во втором приближении, получаемом с использованием структурных моментных функций до пятого порядка.

Обоснованность и достоверность результатов. Содержащиеся в работе положения и выводы подтверждены сопоставлением результатов, полученных на основе различных методик и приближений, а также сравнением для некоторых частных случаев результатов работы с частными точными решениями и известными приближенными результатами других авторов.

Практическая значимость работы состоит в создании научных основ для оценки прочности и надежности материалов и конструкций. Разработанные модели структуры и методы решения стохастических краевых задач механики композитов могут быть использованы для сравнительного анализа влияния различных структурных параметров на статистические характеристики полей напряжений с целью создания материалов с заранее заданным комплексом свойств и оценки вероятностей разрушения.

Результаты диссертационной работы в виде математических моделей, методов, алгоритмов, методик расчетов и оформленные в виде программного кода в среде Wolfram Mathematica, могут быть использованы научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, занимающимися разработкой и проектированием композиционных материалов и конструкций из них.

Апробация. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- на 10-м Всероссийском Съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, 2011 г., Нижний Новгород;

- на Конференции по прикладной механике и материалам (МсМАТ-2011), проводимой Американским сообществом инженеров-механиков (ASME), 2011 г., Чикаго, США;

- на Второй международной конференции по моделированию материалов (1СММ'02), 2011 г., Париж, Франция;

- на 20-ом Международном семинаре по вычислительной механике материалов (Г\¥СММ'20), 2010 г., Лафборо, Великобритания;

- на XVII Зимней школе по механике сплошных сред, 2011 г., Пермь;

- на Первой международной научной конференции «Достижения в механике взаимодействия и мультимасштабной механике» (А1ММ'10), 2010 г., Джеджу, Южная Корея;

- на XIII Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации», 2011 г., Пермь;

- на X Международной конференции «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах» (НРС'2010),

2010 г., Пермь;

- на XX Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках»,

2011 г., Пермь;

- на XVII Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 2008 г., Пермь;

- на XVI Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 2007 г., Пермь;

Работа целиком докладывалась на научных семинарах:

- кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского политехнического университета, руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Соколкин.

- кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета, руководитель - доктор физико-математических наук, профессор П.В. Трусов.

- Института механики сплошных сред УрО РАН, руководитель -академик РАН В.П. Матвеенко.

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР по грантам Российского фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ 11-01-96030-рурала, проект РФФИ 10-08-96062-рурала, проект РФФИ 0808-00702).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ [51-64, 103107], в том числе 4 в изданиях из перечня ВАК [54, 60, 64, 107].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Работа содержит 17 рисунков, 12 таблиц. Общий объем диссертационной работы - 110 страниц. Библиография включает 107 наименований.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Впервые построено второе приближение решения стохастической краевой задачи теории упругости структурно-неоднородных сред с использованием метода функций Грина.

2. Получены выражения для условных и безусловных моментов первого и второго порядка полей напряжений и деформаций с использованием решения краевой задачи в первых и вторых производных функции Грина с учетом явного вида структурных многоточечных моментных функций высших порядков для синтезированных структур.

3. Произведен синтез неоднородных матричных структур со сферическими включениями, для которых были построены многоточечные моментные функции от второго до пятого порядков. Предложен новый вид аппроксимирующих выражений для моментных функций, коэффициенты которых найдены для структур с различной объемной долей и дисперсностью включений.

4. Разработан программный комплекс в среде Wolfram Mathematica, позволяющий синтезировать реализации случайных структур с заданными параметрами, строить моментные функции высших порядков для них, вычислять статистические характеристики полей деформирования на основе решения стохастической краевой задачи теории упругости с применением параллельных вычислений.

5. Получены новые численные результаты для статистических характеристик полей деформирования в компонентах пористых матричных композитов со сферическими включениями при различных видах макрооднородного напряженно-деформированного состояния.

6. Произведен анализ влияния геометрических параметров структуры композита, таких как дисперсность и объемная доля включений на результаты расчета средних значений и дисперсий пульсаций полей напряжений и деформаций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аношкин А.Н., Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Поля микронапряжений и механические свойства разупорядоченных волокнистых композитов // Механика композитных материалов. 1990. - № 5. - С. 860-865.

2. Беран М.Дж. Применение статистических теорий для определения тепловых, электрических и магнитных свойств неоднородных материалов // Композиционные материалы: В 8 т. / Под общ. ред. Л. Браутмана и Р. Крока. -М.: Мир, 1978. Т. 2. - С. 242-286.

3. Богачев И.Н., Вайнштейн A.A., Волков С.Д. Статистическое металловедение. М.: Металлургия, 1984. - 176 с.

4. Болотин В.В., Москаленко В.К К расчету макроскопических постоянных сильно изотропных композиционных материалов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1967. - № 3. - С. 106-111.

5. Болотин В.В., Москаленко В.Н. Задача об определении упругих постоянных микронеоднородной среды // Журнал прикл. механики и техн. физики. 1968. - № 1. - С. 66-72.

6. Вайнштейн A.A., Мехонцева Д.М. Метод вычисления моментов третьего порядка механических свойств двухфазной среды // Сборник научных трудов Красноярского политехнического института. Красноярск: Изд-во Краснояр. политехи, ин-та, 1970. - С. 157-160.

7. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев: Наукова думка, 1985. - 302 с.

8. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1997.-288 с.

9. Волков С.Д., Долгих В.Я. К теории упругости микронеоднородных сред Н Сборник научных трудов Курганского машиностроительного института. Курган: Изд-во Кург. машиностр. ин-та, 1969. - Вып. 12. - С. 3-9.

10. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. Минск: Изд-во Белорус, гос. ун-та, 1978. - 208 с.

11. Волков С.С. Существование и единственность регений стозастических задач теории упругости // Расчет и оптимизация изделий машиностроения. -Свердловск, 1987.-С. 17-19.

12. Гаришин O.K. Геометрический синтез и исследование случайных структур // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. - С. 4881.

13. Евлампиева Н.В. Моментные функции для разреженных структур со сферическими и эллипсоидальными включениями // Молодежная наука Прикамья. 2001. - Вып. 1. - С. 56-64.

14. Евлампиева С.Е., Мошев В.В. Новый метод оценки эффективных свойств среды с хаотично расположенными включениями // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных материалов и конструкций. -Свердловск: УрО АН СССР, 1989. С. 22-26.

15. Ермаков Г.А., Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Эффективные модули упругости материалов, армированных анизотропными волокнами // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1974. - № 4. - С. 110-117.

16. Зайцев A.B. Условные и безусловные моменты случайной структуры однонаправленно армированных волокнистых композитов // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая): сб. статей: в 3 ч. Ч. 2. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2007. - С. 47-50.

17. Зайцев A.B. Моментные функций второго порядка случайной структуры однонаправленно армированных волокнистых композитов // Вестник

18. УГТУ-УПИ. Механика микронеоднородных материалов и разрушение. 2006. -№11 (82).-С. 161-167.

19. Зайцев A.B., Лукин A.B., Ташкинов A.A., Трефилов Н.В. Случайные структуры двухфазных композитов: синтез, закономерности, новая оценка характерных размеров представительных объемов // Математ. моделирование систем и процессов. 2004- Вып. 12. - С. 30-44.

20. Зайцев A.B., Покатаев Я.К. Новый метод построения моментных функций второго порядка случайной структуры полимербетонов // Вестник ПГТУ. Математ. моделирование систем и процессов. 2007. - Вып. 15. - С. 2845.

21. Зайцев A.B., Лукин A.B., Трефилов Н.В. Компьютерный синтез случайной структуры однонаправленно армированных волокнистых композитов // Молодежная наука Прикамья. 2001. - Вып. 1. - С. 78-87.

22. Иванов С.Г., Иванов Д.С. О новом методе построения корреляционных функций случайной структуры композитов // Механика микронеоднородных материалов и разрушение: тез. докл. V Всерос. конф. 2428 мар. 2008 г. Екатеринбург, 2008. - С. 161.

23. Калягин М.Ф., Волков С.Д. О законах распределения микроструктурных напряжений и деформаций // Проблемы прочности. 1973. -№ 11.-С. 21-25.

24. Композиционные материалы: в 8 т. Т. 2: Механика композиционных материалов / под ред. Дж. Сендецки. М.: Мир, 1978. - 563 с.

25. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. - 720 с.

26. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1984. — 336 с.

27. Лапшина И.Ф., В.М. Мендельсон, С.Д. Волков. Распределение напряжений и деформаций в компонентах композиционных материалов // Проблемы прочности. 1974. - № 12. - С. 31-35.

28. Ломакин В.А. О деформировании микронеоднородных упругих тел // Прикл. математика и механика. 1965. - Т. 29. - Вып. 5. - С. 888-893.

29. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. - 139 с.

30. Ломакин В.А., Кукса Л.В., Бахтин Ю.Н. Масштабный эффект упругих свойств поликристаллических материалов // Прикладная механика. 1982. - 18, №9.-С. 10-15.

31. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. К теории упругих свойств поликристаллов // Журнал эксперимент, и теорет. физики. 1946. -№ 16. -Вып. 11.-С. 967-980.

32. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. Поправка к статье «К теории упругих свойств поликристаллов» // Журнал эксперимент, и теорет. физики. 1951. - Т. 21.-Вып. 10.-С. 1184.

33. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченно упруго-анизотропной среды // Журнал эксперимент, и теорет. физики. -1947. -Т. 17. -Вып. 9. С.783.

34. Маслов Б.П. Нелинейные упругие свойства стохастически неоднородных сред // Прикл. механика. 1973. - Т. 9. - Вып. 8. - С. 91-95.

35. Маслов Б.П. Концентрация напряжений в изотропной матрице, армированной анизотропными волокнами // Прикладная механика. 1987. - Т. 23.-№ 10.-С. 73-79.

36. Механиа композитных материалов и элементов конструкций: в 3 т. Т. 1: Механика материалов / А.Н. Гузь и др. Киев: Наукова думка, 1982. - 368 с.

37. Мошев В.В., Евлампиева С.Е. Влияние структурных особенностей на эффективные механические свойства зернистых композитов. 1. Плоская деформация // Механика композиционных материалов и конструкций. 1996. -Т. 2. -№ 1. - С. 6.

38. Паньков A.A. Статистическая механика пьезокомпозитов. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. -480 с.

39. Паньков A.A. Свойства и электроупругие поля композита с взаимообратной поляризацией пьезоактивных фаз // Физическая мезомеханика. -2008.-Т. 11,-№4. -С. 101-105.

40. Паньков A.A. Точные соотношения для дисперсий и корреляционных моментов деформаций в фазах двухфазных композитов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. - Т. 7. - № 1. - С. 82-89.

41. Паньков A.A., Соколкин Ю.В. Решение краевой задачи электроупругости для пьезоактивных композитов методом периодических составляющих // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. -Т. 8. - № 3. - С. 365-384.

42. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. — 336 с.

43. Савин Г.К, Хорошун Л.П К вопросу об упругих постоянных стохастически армированных материалов // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. - С. 437-444.

44. Соколкин Ю.В., Волкова Т.А. Многоточечные моментные функции распределения деформаций и напряжений в стохастических композитах // Механика композитных материалов. 1991. - № 4. - С. 662.

45. Соколкин Ю.В., Волкова Т.А. Расчет распределения деформаций и напряжений в зернистых композитах с учетом реальных моментных функций свойств микроструктуры // Механика композиционных материалов и конструкций. 1998. - Т. 4. - № 3. - С. 70-85.

46. Соколкин Ю.В., Паньков A.A. Сингулярное приближение метода периодических составляющих для дисперсий деформаций в фазах композита // Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. - Т. 7. - № 4. -С. 427-433.

47. Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел. М.: Наука, 1984. - 116 с.

48. Ставров В.П., Долгих В.Я., Волков С.Д. Об упругих постоянных хаотически армированных пластиков // Механика полимеров. 1967. - № 2. -С. 259-265.

49. Ташкинов М.А. Многоточечные моментные функции структурных свойств полидисперсных композитов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. - №2(23). - С. 74-82.

50. Ташкинов М.А. Приближение второго порядка для краевой задачи о чистом сдвиге матричного композита со случайными включениями // Молодежная наука Прикамья: сборник научных трудов / Перм. гос. техн. ун-т. — Пермь, 2008,— Вып. 9. С. 185-188.

51. Ташкинов М.А., Вильдеман В.Э. Многоточечные приближения высших порядков в краевой задаче упругости полидисперсных структурно-неоднородных сред // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред,

52. Пермь, 28 фев. 3 мар. 2011г. Тез. докл. - Пермь-Екатеринбург, 2011. - С. 308.

53. Ташкинов М.А., Вильдеман В.Э., Михайлова Н.В. Метод последовательных приближений в стохастической краевой задаче теории упругости структурно-неоднородных сред // Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. —Т.16. —№ 3. — С. 369-384.

54. Ташкинов М.А., Евлампиева Н.В. Метод последовательных приближений в краевой задаче упругости для композитов со случайной структурой // Математическое моделирование систем и процессов: сб. науч. тр. / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2008. -Спецвып.

55. Ташкинов М.А., Михайлова Н.В. Многоточечные приближения высших порядков в краевой задаче упругости полидисперсных композитов со случайной структурой // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. - № 4 (4), - С. 1799-1800.

56. Танкеева М.Г. Численные результаты расчёта средних значений и дисперсий структурных деформаций и напряжений в композитах /У Механика микронеоднородных структур / УрО АН СССР. Свердловск, 1988. - С. 53-58.

57. Фокин А.Г. Об использовании сингулярного приближения при решении задач статистической теории упругости // Журнал прикл. механики и техн. физики. 1972. -№ 1. - С. 98-102.

58. Фокин А.Г. Сингулярное приближение при расчете упругих свойств армированных систем // Механика полимеров. 1973. - № 3. - С. 502-506.

59. Фокин А.Г. Эффективные модули упругости механических смесей // Механика деформируемого твердого тела. Куйбышев: Изд-во Куйбышев, гос. ун-та, 1976. - Вып. 2. - С. 34-39.

60. Фокин А.Г, Шермергор Т.Д. К расчету упругих модулей неоднородных материалов // Механика полимеров. 1968. - № 4. - С. 58-63.

61. Фокин А.Г, Шермергор Т.Д. Вычисление эффективных модулей упругости композиционных материалов с учетом многочастичных взаимодействий // Журнал прикл. механики и техн. физики. 1969. - № 1. - С. 51-57.

62. Хилл Р. Теория механических свойств волокнистых композитных материалов // Механика: сб. перев. 1966. - 96. - №2. - С. 131-149.

63. Хорошун Л.П. Прогнозирование термоупругих свойств материалов, упрочненных однонаправленными дискретными волокнами // Прикл. механика. 1974. - Т. 10. - Вып. 12. - С. 23-30.

64. Хорошун Л.П. Методы случайных функций в задачах о макроскопических свойствах микронеоднородных сред // Прикл. механика. -1978. Т. 14. - Вып. 2. - С. 3-17.

65. Хорошун Л П., Маслов Б.П. Методы автоматизированного расчета физико-механических постоянных композитных материалов. Киев: Наук, думка, 1980. - 156 с.

66. Шаталов Г. А. Эффективные характеристики изотропных композитов как задача многих тел // Механика композитных материалов. 1985. - № 1. - С. 43-52.

67. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1976.-400 с.

68. Adams D.J., Matheson A.J. Computational of dense random packings of hard spheres // J. Chem. Phys. 1972. -Vol.53. - №5. - P. 1889-1924.

69. Bennet C.H. Serially deposited amorphous aggregates of hard spheres // J Appl Phys. 1972. - Vol. 43. - P. 2727-2734.

70. Beran M. J. Statistical continuum theories. New-York: Wiley. Intersci. Publ, 1968.-493 p.

71. Berryman J.G. Random close packing of hard spheres and disks // Phys Rev, A. 1983. - Vol. 27. - P.1053-1061.

72. Binder K., Heerman D.W. Monte Carlo Simulation in Statistical Physics: an Introduction. Springer, Berlin NY, 1997.

73. Buryachenko V.A. Micromehcanics of Heterogenous Materials. Springer US, 2007. - 686 p.

74. Cesarano III J., McEuen M.J., Swiler T. Computer simulation of particle packing // Intern SAMPE Technical Conf. 1995. - Vol. 27. - P. 658-665.

75. Chen Dai-heng Green's functions for elastic field in an anisotropic infinite plate with an elliptic inclusion // Nihon kikai gakkai ronbunshu.A. Trans. Jap. Soc. Mech.Eng.A.- 1995.-Vol. 61.-№ 586.-P. 1294-1301.

76. Cheng Y.F., Guo S.J., Lay H.Y. Dynamic simulation of random packing of spherical particles // Powder Technol. 2000. - Vol. 107. - P. 123-130.

77. Clarke A.S., Willey J.D. Numerical simulation of the dense random packing of a binary mixture of hard spheres: amorphous metals // Phys. Rev., B35. -1987. P. 7350-7356.

78. Duffy M.G. Quadrature over a Pyramid or Cube of Integrands with a Singularity at a Vertex // J. SIAM Numer. Anal. 1982. - Vol. 19. - No. 6.

79. Feder J. Random sequential adsorption // J Theor Biol. 1980. - Vol. 87. -P. 237-254.

80. Furukawa K., Imai K., Kurashige M. Simulated effect of box size and wall on porosity of random packing of spherical particles // Acta Mechan. 2000. -Vol. 140.-P. 219-231.

81. He D., Ekere N.N. Structure simulation of concentrated suspensions of hard spherical particles // AIChE J. 2001. - Vol. 47. - P. 53-59.

82. Hinrichsen E.L., Feder J., Jossang T. Geometry of random sequential adsorption // J Statist Phys. 1986. -Vol. 44. - P.793-827.

83. Genz A.C., Malik A.A. An Imbedded Family of Fully Symmetric Numerical Integration Rules // J. SIAM Numer. Anal. 20. 1983. - No. 3. - P. 580588.

84. Kansal A.R., Truskett T.M., Torquato S. Nonequilibrium hard-disk packing with controlled orientational order // J Chem Phys. 2000. - Vol. 113. - P.4844-4851.

85. Knott G.M., Jackson T.L., Buckmaster J. Random packing of heterogeneous propellants // AIAA J. 2000. - Vol. 39. -P. 678-686.

86. Kroner E. Elastic moduli of perfectly disordered composite materials // J. Mech. and Phys. Solids. 1967.-Vol. 15.-№2.-P. 137-155.

87. Kroner E. Bounds for effective elastic moduli of disordered materials // J. Mech. and Phys. Solids. 1977.-Vol. 25,-№2.-P. 137-155.

88. Krommer A.R., Ueberhuber C.W. Computational Integration. SIAM Publications, 1998.

89. Lu G.Q., Ti L.B., Ishizaki K. A new algorithm for simulating the random packing of monosized powder in CIP processes // Mater Manufact Processes. 1994. -Vol. 9. - P.601-621.

90. Nolan G.T., Kavanagh P.E. Computer simulation of random packing of hard spheres // Powder Technol. 1992. - Vol. 72. - P. 149-155.

91. Ogen L., Troadec J.P., Gervois A., Medvedev N. Computer simulation and tessellations of granular materials // Foams and Emulsions. Kluwer, Dordrecht, 1998.-P. 527-545.

92. Stroeven P., Stroeven M. Computer-simulated internal structure of materials // Acta Stereologica. 1996. - Vol. 15, № 3. - P. 247-252.