Квазипериодические решения нелинейных систем дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ

ЧИСЛОМ ЧАСТОТ. ЪЪ

§ I. Предварительные преобразования системы.

§ 2. Условие Зигеля. ^

§ 3. Применение теоремы Мозера.

§ 4. Существование квазипериодических решений.

§ 5. Гамильтоновы системы.

§ 6. Обратимые системы.,. 6G

§ 7. Уменьшение числа параметров.

§ 8. Периодические системы.

ГЛАВА П. КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ

ДЙШРЕНЩАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 4-ОГО ПОРЭДКА.

§ 9. Нормальная форма в случае пары нулевых корней с ненулевой линейной частью и пары чисто мнимых корней. 8Ь

§10. Нормальная форма в случае обратимых систем.

§11. Преобразование Ляпунова и введение малого параметра.JOO

Диссертация посвящена изучению аналитических квазипериодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. Квазипериодические решения дифференциальных уравнений являются колебательными режимами, имеющими большое значение для теории нелинейных колебаний и ее приложений. Первым вопросом, который здесь возникает является вопрос об их существовании. При этом важно также изучить число базисных частот соответствующих квазипериодических решений. В диссертации рассматриваются нейтральные по отношению устойчивости положения равновесия системы в окрестности начала координат. Первая глава диссертации посвящена исследованию вопроса о существовании квазипериодических решений с недостаточно изученным диапазоном частот для 2-мерной системы дифференциальных уравнений с пар чисто мнимыми собственными значениями линейного приближения. Во второй главе рассматривается проблема существования аналитических квазипериодических решений четырехмерной системы, полученной естественным обобщением пары связанных гармонических осцилляторов слабой и сильной упругой сил. В диссертации изучаются важные для теории и приложений классы гамильтоновых и обратимых систем.

Функцию j. мы будем называть квазипериодической с базисными частотами Li, . и,^ , если она представима в виде где kjCZ , ctj).(tn> eC , UR

H Cblf.|fcJ ^ + -o , a f^l)•••) несоизмеримые вещественные числа.

Квазипериодические функции являются обобщением периодических ( \ ) и частным случаем почти-периодических функций.

Квазипериодичность векторфункции определяется аналогично, по компонентам.

Исследование локального поведения решений систем нейтральных по отношению устойчивости было начато классиками качественной теории дифференциальных уравнений А.Пуанкаре и A.M. Ляпуновым. Основная трудность заключалась в возникновении так называемых "малых знаменателей". В преодолении этой трудности метод ускоренной сходимости, предложенный А.И.Колмогоровым в 1954 году [1б], играл определяющую роль. После работы Колмогорова возникла новая теория, основанная на работах В.И.Арнольда, Ю.Н.Бибикова, Н.Н.Боголюбова, ГО.Мозера, В.А. Плисса и других £з,7-11,13,23,24,3l] . В диссертации применяются и развиваются результаты данной теории в случае аналитических систем, зависящих от параметров. Подробной постановке задачи предпошлем краткую формулировку основных результатов диссертации.

В первой части рассматривается 2п, -мерная вещественно аналитическая система дифференциальных уравнений, зависящих от малого (п.-т.] -мерного параметра dL , = Р(ос)ос + Х(ос,ос) , (0.1) где собственные числа Р(^) простые, чисто мнимые. Рассматривается вопрос о существовании квазипериодических решений системы (ОЛ) с 4т, базисными частотами ( vw Z vv ) в окрестности состояния равновесия системы ос = О.

В диссертации доказано следующее: если система (0.1) гами-льтонова или обратима, то в окрестности точки покоя в типичном случае она имеет аналитические квазипериодические решения с vvu базисными частотами для некоторых значений параметра, близких к О , причем частоты, соответствующие этим решениям образуют большую по мере часть некоторого естественно определенного подмножества

Во второй части исследуется вопрос о существовании аналитических квазипериодических решений систем дифференциальных уравнений с нулевыми собственными числами линейного приближения. Рассматривается четырехмерная система вещественных аналитических автономных дифференциальных уравнений

4- Хц U^X^)

0.2)

X — 3

X, к такой системе приводит исследование пары связанных гармонических осцилляторов х + хг « I М - •

Доказывается следующее утверждение: если система (0.2) обратима и выполняются некоторые дополнительные предположения для Хс I ь = Ч) (которые верны, например, если разложения

Хс начинаются с членов 4-го порядка), тогда система (0.2) имеет аналитические квазипериодические решения с двумя базисными частотами.

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

I. Рассмотрим -мерную вещественную линейную систему дифференциальных уравнений с TL пар чисто мнимыми собственными числами - ttO ^ (tal,.,*.) rt i ^ l^V-i"-) (0.3)

• ■ ■

Пусть вещественные числа несоизмеримы.

Диагонализируем систему с помощью замены i.^

0.4)

Получается система

Решением системы (0.4) будет

Cv^u -Ь

Xt= Ctt. t (fc-v-л) xt - ct ^ .

Решения системы (0.4) будут квазипериодическими, причем число базисных частот зависит от числа ненулевых элементов вектора с= Сс1)---) * ПРИ c=(ch°) решение будет периодическим с периодом i-T/oOj , при о) квазипериодическим с wt базисными частотами о^, . ) оо^ а при С- (с^).} С к, ) С Ч о) квазипериодическим с базисными частотами U)i}. ОО^ . Система (0.3) в полярных координатах имеет вид

- О откуда видно, что траектория, соответствующая начальным данным С = (сА 0}. о) лежит на одномерном "торе" (т.е. на окружности С^С, } Т^2" = О ),' а траектории, соответствующие начальным данным С - ( с,,., с^) О,. и

С-- . , Сп.) лежат соответственно на кк и химерных торах.

Просуммируя полученные результаты: для линейной системы (0.3) все решения будут аналитическими квазипериодическими, имеются решения с произвольным числом частот т. и траектории решений лежат на торах разных размерностей. Рассмотрим систему ^^.--мУЛ) (0.5) k» гъ) где Yt.lt - суть аналитические функции по V")^ и их разложения начинаются с членов не ниже второго порядка. Нас интересует вопрос, сохраняются ли вышеперечисленные свойства линейной системы и в случае нелинейной системы (0.5), Предположим, что для системы (0,5) имеет место трансцендентный случай, т.е. система формально преобразуется к нормальной форме lxt(wt + Ht сси.5к))

- - iit ( +■ Htt^a;,., ^ (0#6)

U = гъ) где имеют вещественные коэффициенты.

Система (0.6) имеет формальное решение ct г ^ ^ откуда видно, что в трансцендентном случае формально сохраняются результаты, полученные для линейных систем, т.е. имеются формальные квазипериодические решения с произвольным числом частот vyl (0£ т, ). Система (0.6) в полярных координатах имеет вид'

4= о (U (,.••)"-)

Можно видеть, что частоты jX^ ~ •••) 'V*) в этом случае зависят от начальных данных.

Заметим, что если система (0.5) гамильтонова или обратима, то для нее имеет место трансцендентный случай ( [3l] ).

Система (0.5) называется гамильтоновой, если существует аналитическая функция И = И W^i • • •, 4w } Ъ^) такая, что

Н ч/ k-4,.,*.) •

В данном случае функция Гамильтона имеет вид и,

Ui где разложение И начинается с членов третьего порядка п0 *3j>2i

Система (0.5) называется обратимой, если она не меняется при преобразовании tui,.,«.) •

Система (0.5) будет обратимой, если

Нас интересует существование аналитических квазипериодических решений системы (0.5) с *v\, базисными частотами [i^y^^yiJ.

Заметим, что случаи 4 и flm.- п. хорошо изучены, Случай периодических решений (vn.— ^ ) исследовал и решил А.М.Ляпунов [l7j. При Yyi- не возникает проблема малых знаменателей, система (0.5) будет иметь аналитические периодические решения. Случай" -Уп^лп. принадлежит вышеописанной теории "малых знаменателей". При некотором дополнительном предположении общего трансцендентного случая доказывается существование аналитических квазипериодических решений с частотами jx.^ (Ь-П,.,^ > причем эти частоты образуют "большинство" в множестве формальных частот системы (0.5). Аналогичный результат имеет место и в случае Шп= п-1 . В первой главе диссертации рассмотрен случай частот J^m. и доказано существование аналитических квазипериодических решений с vtl базисными частотами ( k <С гъ ) системы (0,1), зависящей от параметров. Система (0.1) получилась из (0.5) введением параметра d . Для гамильтоновых систем близкие вопросы рассматривались в заметках В.К.Мельникова [21,22},

2. Рассмотрим четырехмерную вещественную систему дифференциальных уравнений

Х( = ^ Ъ

Система линейного приближения имеет два нулевых собственных числа с ненулевой линейной частью и пару чисто мнимых собственных чисел.

В первой паре уравнений переходим к обобщенным полярным координатам Ляпунова [is}» а во второй паре уравнений к обычным полярным координатам по формулам - ^ С (Э Ооъ© ~ ^ S U) § ^ © ) где C,S - периодические функции.

Исходная система преобразуется к виду <т - О d - т* у. О

Полученная система имеет решение

С =■ С, } cyfc 4-с^о ) = С2) +-©о .

Подставляя его обратно в преобразование видно, что все решения исходной системы будут периодическими или квазипериодическими. Одна из базисных частот мала в окрестности начала координат, а другая - постоянная, равная —J.

В главе 2 диссертации будем рассматривать сохранение аналитических квазипериодических решений при возмущении системы. Докажем, если возмущенная система (0.2) обратима и удовлетворяет некоторым дополнительным предположениям, тогда она имеет аналитические квазипериодические решения с двумя базисными частотами.

Доказательство существования аналитических квазипериодических решений в диссертации проведем с помощью метода, предложенного Ю.Н.Бибиковым [ll]« Метод Бибикова основан на применении общих теорем Ю.Мозера о существовании квазипериодических решений. В дальнейшем мы переходим к изложению этих результатов.

СУЩЕСТВОВАНИЕ 1ФАЗИПЕШ0ДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ. МЕТОД МОЗЕРА.

В работе "О разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды" [23| Ю.Мозер построил теорию возмущений для квазипериодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений и дал общий метод для доказательства существования аналитических квазипериодических решений. Здесь мы введем нужные нам обозначения и сформулируем основные результаты Мозера. из [23].

Рассмотрим вещественную систему х - «о * £ - ^ + L , где SCG&^^fc & ^ CgH j ^ - ГЪ-мерный постоянный вектор, SL - -мерная постоянная матрица с собственными числами .J- - yx. —мерная, с^, - т.-мерная векторфункции аналитичны по в некоторой окрестности и имеют период ^Hf по я^,.-.) .

Модифицированной системой системы (0.7) будем называть систему х= и> + ц^с) + \(е) у лу + } (0'8> где X - у\ -мерная, jx - ууъ-мерная векторфункции, М -Kxvw -мерная матрица зависящая только от Z, , удовлетворяющие условиям

Q jx ~ О J2H-HJ1 . (0.9) функции Х^М будем называть модифицирующими членами.)

Условием несоизмеримости (условие Зигеля) будем называть условие следующего типа ы 1 d Ч-l J > , (0.10) z. I K\ ^ 2. , litj^ I ), • где jvi^x - целые числа, - не равны одновременно все 0.

ТЕОРЕМ МОЗЕРА I. Рассмотрим систему (0.7), у которой при 8.-О есть решение x^cot) ^ = 0 (невозмущенное решение ) с характеристическими числами из ^.; wn , Л ц - - -, ^ удовлетворяющими (О.Ю). Тогда существуют такие однозначно определенные степенные ряды \ (О , ^ ( £) ( М (£.) » удовлетворяющие (0.9), что у модифицированной системы (0.8) есть квазипериодическое решение с теми же характеристическими числами, что у невозмущенного движения. Более того, существует преобразование координат Е-иЛч.е.) «j-14- £.«41,4,0 <0Л1) аналитическое по , периодичны по ,. .j"]^ с периодом nlf , Ф зависит от \ линейно, переводящее (0.8) в систему вида i=u>v о(7) (олй) где 0(Т, ) обозначает аналитическую функцию "]} Т £ } обращающуюся при 1=0 в нуль со своими производными по до порядка t- \ > о . В частности,

ОС. — 0О -"Ь 4- £ U. (ojt } с) ^ - ^^(wtjOje) есть квазипериодическое решение (0.8). Все ряды

И, а) имеют'положительный радиус сходимости по £. , обращаются в нуль при О.

ЗАМЕЧАНИЯ. 0.1. В работе ]^23] Мозер замечает, что теорема I верна и для систем (0.8) зависящих от параметров.

0.2. Нижняя граница радиуса сходимости по L и модули модифицирующих членов согласно формулам

4.3), (3.7) в [23] оцениваются через модули и ^ и (из формулы (0.10)). Сформулированная'теорема имеет такое неудобство, что она доказывает существование квазипериодических решений не для основной системы (0.7), а для модифицированной (0.8), которая содержит члены ' . Оказывается, что члены \ ^М для некоторых классов систем (например, гамильтоновы и обратимые системы) могут упрощаться или совсем даже отсутствовать. В ^12)] Мозер дал метод, как определить, какие модифицирующие члены следует взять для специального вида систем. Мы переходим сейчас к изложению этой теории. С дифференциальным уравнением связываем дифференциальный оператор (оператор дифференцирования вдоль решений системы) а линеаризованным дифференциальным уравнением оператор

Операторы Ъ образуют алгебру Ли <L f а операторы (2:)| подалгебру Ли Л, алгебры Л.

Обозначим через D = Оо +■ . (Оператор

D соответствует системе (0.7) при £. = о - т.е. невозмущенной системе). О принадлежит Л^ , а коммутатор L^,^] ~ DZ. -2D определяет линейное отображение cLl в . Мозер доказал, что нулевое подпространство оператора конечномерно. Обозначим это подпространство через VC . Через Л , X.t и "SI будем обозначать подалгебру Ли алгебры Л и соответствующую ее подалгебру линеаризированных операторов и нулевое подпространство.

ТЕОРЕМА МОЗЕРА 2. Если заданный дифференциальный оператор C-V принадлежит алгебре Ли Л при каждом достаточно малом £, и если выполнены предыдущие предположения, то справедливо утверждение теоремы Мозера I с такими X, ^ М , что лежит в конечномерной подалгебре XL .

4 i fx' • »

Эта теорема дает возможность упростить \. u. М s помимо других условий они должны быть такими, что

DM - ND = о. (0.13)

Заметим, что остальные члены М можем попробовать устранить за счет внутренних и внешних параметров системы (0.7) Мы дадим здесь набросок доказательства основной теоремы теории "малых знаменателей" (теории Колмогорова-Арнольда-Мозера), т.е. доказательство того факта, что гамильтонова или обратимая система (0,5) в общем случае имеет аналитические квазипериодические решения с л. базисными частотами. Доказательство проведем следуя Ю.Н.Бибикову ( [п], заметим, что в данной работе рассматривается более общий случай). Мы не стремимся к полной математической строгости, наша цель показать идеи метода Бибикова: сведение системы (0.5) к другой форме и использование теорем Мозера. Хотим также показать на проблемы, возникающие при исследовании квазипериодических решений с числом частот fax. главах I, 2 подобные преобразования и применения теорем Мозера будут рассмотрены с полной строгостью.

Предположим, что система (0.5) гамильтонова или обратима. Она в специальных полярных координатах в векторной записи имеет вид r ('у.

0.14)

Введем малый вещественный параметр £.^0 по формулам

ГУ- £Сс+ (М;•

Система (0.14) переходит в

- оо + А с

Наряду с последней системой рассмотрим к t

J л I/. Co>0

К системе jx* с^е-я» + с"'X UV, с.) применима теорема Мозера I, если ) удовлетворяют условию невырожденности

I ^ 1 Г ^

I Г <Н /Ч I > ^ 2=5 V^l^tl) (0-15) при всех целых су^ , где правая часть имеет смысл, и значит, система имеет квазипериодические решения с базисными частотами jUw. (При выборе модифицированной системы пользовались гамильтоновостью и обратимостью основной системы и теоремой Мозера 2. Заметим также, что оценки X и радиус сходимости

X от £=> не зависят, так как £о стоит множителем не только в (0.15), но и у R и Ф в системе.)

Две предыдущие системы дифференциальных уравнений равны, если

00+ Ac l - IX- е"Ч(е'к, с, £,) =о

При предположении общей трансцендентности случая cbi~ Л ^О ; если ^ брали из множества ( ю + Ас. £э Т0 УРавнение имеет решение с

С* (о, С) - РГ1 [)l- из) /и . Подставляя е.* СеД &>) в систему получил, что и исходная система (0.5) имеет аналитические квазипериодические решения с Vt базисными частотами .j jxw- . Методами теории меры можно доказать, что yuG ^ife) удовлетворяющие условию (0.15), образуют большинство множества

Переходим к исследованию существования аналитических квазипериодических решений с Лги базисными частотами ( т. <^гъ ) у системы (0.5). Попробуем действовать по изложенному методу Бибикова. Переходим к полярным координатам по первым 2jt>v переменным. Система (0.5) переходит к виду

ГШ ^M.^S) i = AV + «нм^.^) у л^t^'+rfv)^ Y (п^^) •••

Четвертое уравнение комплексно сопряженное третьему. Введем малый параметр £. по формулам Е(с+ у ^ Y

•?- t г^

Получим (после введения ) fiijtvfe^) л = u>' + Ac ^ + ^ kfty^Y, с, ? = OU.O с(юЧА*с ь)ч + sV)

К системе i/ч r ee.R /л + г^ф + еМОЛцс.)

V » dUrejiu-V + £,V + dL^i-H ^

7= . применима теорема Мозера I (по гамильтоновости и обратимости можно показать см.§§5-6, что достаточно добавить только указанные модифицирующие члены), если выполняются условия невырожденности

I £ %Ь - w\ + ^Wj I > ^£» I для всех целых ^ , когда правая часть имеет смысл, £.,, либо 0, либо I.

В данном случае для совпадения последних двух систем мы должны решить уравнение е'к ХСЛцс^-А'с Е=. = о - А" с So + ^ М ,£о,с) = о .

Система из kv уравнений, а С=(с1).;с.т.) ^-мерный вектор для решения системы "не хватает" неизвестных. Если в системе, к которой применяется теорема Мозера, третье уравнение заменить следующим то возникает и другая проблема. В этом случае условия невырожденности имеют вид г

L % /ч - е, Jlt ^ > ^ Ы) где -il^- . Так как и -frj зависят от С , то вопрос о выполнении условий невырожденности неясен. Эти трудности привели к идее введения в систему (0.5) мерного параметра, с помощью которого обе последние проблемы становятся разрешимыми. К детальному описанию и рассмотрению этой системы переходим в главе I.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. В работе используется двойная нумерация. Формулы занумерованы по главам (введение 0" i"), теоремы и следствия по главам, замечания по'параграфам.

1. Амелышн В.В.,Лукашевич И.А.,Садовский А.П. Нелинейные колебания в системах второго порядка. Изд.БГУ, Минск, 1982,с.206.

2. Андреев А.Ф. Исследование поведения интегральных кривых одной системы двух дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. Вестник Ленингр.ун-та, сер.мат.,физ.,хим., 1955, № 8, с.43-65.

3. Арнольд В.И. Малые знаменатели проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике. УМН, т.18, вып.6, (1963), с.91-192.

4. Белицкий Г.Р. Эквивалентность и нормальные формы ростков гладких отображений. УМН, 1978, т.23, № I, с.95-155.

5. Белькович А.А. Квазипериодические решения дифференциальных уравнений, зависящих от малого параметра. Кандидатская диссертация. Ленинградский государственный университет. 1982, с.113.

6. Белькович А.А. О квазипериодических решениях гамильтоновых систем с малым параметром. Дифференц.уравнения, 1982, т.18, № 5, с.886-889.

7. Бибиков Ю.Н.,Плисе В.А. О существовании инвариантных торов в окрестности нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференц.уравнения, 1967, т.З, № II, с.1864-188I.

8. Бибиков Ю.Н. Об устойчивости периодических движений в трансцендентных критических случаях. Дифференц.уравнения, 1970, т.6, № II, с.1927-1945.

9. Бибиков Ю.Н. Применение теоремы Мозера к исследованию дифференциальных уравнений нелинейных колебаний. ДАН СССР,- 1171975, т.225, № б, с.1241-1244.ДО. Бибиков Ю.Н. Усиление одной теоремы Мозера. ДАН СССР,1973, т.213, № 4, с.766-768.

10. Бибиков Ю.Н. Представление квазипериодических движений в окрестности положения равновесия с помощью сходящихся степенных рядов. Дифференц.уравнения, 1978, т.14, № II,с.2056-2067.

11. Богданов Р.И. Приведение к орбитальной нормальной форме векторного поля на плоскости. Функц.анализ и его прилож., 1976, т.10, № I, с.73-74.

12. Боголюбов Н.Н.,Митропольский Ю.А.,Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев, Наукова думка, 1969, 247с.

13. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М., Наука, 1979, 256с.

14. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике. М., ИЛ, 1959, 300с.

15. Колмогоров А.Н. 0 сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. ДАН СССР,1954, т.98, № 4, с.527-530.

16. Ляпунов A.M. Общая 'задача об устойчивости движения. М.-Л., Гостехиздат, 1950. 472 с.

17. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Собр.соч., т.2, М-Л.Изд.АН СССР, 1956. с.273-332.

18. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения^ Изд.Ленингр.ун-та, 1963,

19. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М-Л. ,ШГТЛ,1952, 530с.

20. Мельников В.К. 0 некоторых случаях сохранения условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. ДАН СССР, 1965, т.165, № 6, с.1245-1248.

21. Мельников В.К. Об одном семействе условно-периодических решений системы Гамильтона. ДАН СССР, 1968, т.181, № 3, с.546-549.

22. Мозер Ю. О разложении условно-периодических решений в сходящиеся степенные ряды. УМН, 1969, т.24, вып.2, с.165-211.

23. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М., Мир, 1973, 164с.

24. Мошон П. Квазипериодические решения дифференциальных уравнений, зависящих от параметров. 1,П. Вестник Ленингр.ун-та (в печати).

25. Мошон П. Квазипериодические решения периодической системы дифференциальных уравнений, зависящей от параметров. Десятая Международная конференция по нелинейным колебаниям. Тезисы докладов, Варна, 1984, с.141.

26. Садовский А.П. О проблеме различения центра и фокуса для систем с ненулевой линейной частью. Дифференц.уравнения, 1976, т.12, № 7, с.1238-1246.

27. Садовский А.П. Элементарное доказательство и применение одной теоремы Ф.Такенса. Дифференц.уравнения, 1980, т.14,12, с.2284-2287.

28. Садовский А.П. Нормальные формы систем дифференциальных уравнений с ненулевой линейной частью. Дифференц.уравнения, 1982, т.18, № 5, с.827-832.

29. Якубович В.А.,Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М., Наука, 1972, 720с.

30. Bibikov Yu.IT. Local Theory of Nonlinear Analytic Ordinary Differential Equations. Lecture Notes in Math., 702 (1979), p.144.

31. Moson P. Quasi-Periodic Solutions of Differential Equations, Depending on Parameters. ZAMM, Sand.65, Heft 4/5 S.

32. Moson P. Quasi-Periodic Solutions of Differential Equationsf Depending on Parameters. GAMM Tagung 1984. Abstracts of theлShort Communications of the Annual Scientific Conference 1984.- Universitat Regensburg. p.23.

33. Moson P. Quasi-Periodic Solutions of a Special System. Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations. Szeged, 1984. Abstracts, p.66.

34. Takens P. Singularities of vector fields. Publ.Math., I.H.E.S. 1974, N 43, p.47-100.