Генерация, разрушение и синхронизация двухчастотных квазипериодических колебаний тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

003 169122

На правах рукописи

НИКОЛАЕВ Сергей Михайлович

ГЕНЕРАЦИЯ, РАЗРУШЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ ДВУХЧАСТОТНЫХ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

01 04 03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

1 5 [Ж 2003

Саратов - 2008

003169122

Работа выполнена па кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета им Н Г Чернышевского

Научный руководитель

заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Апищенко Вадим Семенович

Официальные оппоненты

Ведущая организация

член-корреспондент Российской академии наук, заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Трубецков Дмитрий Иванович,

кандидат физико-математических, наук, доцент Розанов Александр Владимирович

Саратовский филиал института радиотехники и электроники Российской академии наук

Защита состоится 23 мая 2008 года в 15 час 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212 243.01 в Саратовском государственном университете (410012, г Саратов, ул Астраханская, 83) С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского госуниверситета

Автореферат разослан 2^ апреля 2008г Ученый секретарь

диссертационного совета / Аникин В М

Общая характеристика работы

Актуальность работы.

Квазипериодические колебания с двумя и более независимыми частотами широко распространены в современном естествознании Они возникают при модуляции электромагнитных колебаний информационными сигналами (радиотехника), описывают климатические колебания различного характера (климатология), описывают движение планет в космическом пространстве (теоретическая механика) и др Квазипериодическими колебаниями называют устойчивые решения динамических систем, которые зависят от конечного числа периодических функций На сегодняшний день изучение квазипериодических колебаний, относящихся к наиболее сложным типам регулярных колебаний, представляет собой одну из интересных и актуальных задач нелинейной динамики Во многих системах различной природы возникновение квазипериодических режимов колебаний предшествует переходу к хаотическому поведению

В частности, в результате исследования возникновения турбулентного поведения жидкости при увеличении числа Рейкольдса был предложен сценарий Ландау - Хопфа (Ландау Л Д , Хопф Е), ставший первым сценарием перехода к нерегулярному поведению Данный механизм предполагает постепенное нарастание размерности квазипериодических колебаний, т е последовательность бифуркаций, в результате которых в спектре возникают новые несоизмеримые частоты Альтернативой данному механизму является сценарий, предложенный в работах Д Рюеля, Ф Такенса и С Ньюхауса, в которых доказано, что хаотический аттрактор может возникать уже на трехмерном торе при сообщении системе малого возмущения При этом характер возмущения не конкретизируется Согласно теоремам, приведенным в данных работах, в пространстве динамических систем в окрестности тора Т71, где га ^ 3 - размерность тора, существует гиперболическое подмножество траекторий, содержащее нетривиальный аттрактор (Рюэль Д ), и малое возмущение может привести к возникновению хаотических колебаний

Во многих случаях существование в фазовом пространстве торов высокой размерности отмечалось при исследовании колебательных систем, состоящих из большого количества связанных периодических осцилляторов (Kappa Т ) С ростом связи между осцилляторами в системе образуются кластеры синхронизации, т е происходит уменьшение количества независимых частот в спектре и, соответственно, уменьшение размерности тора в фазовом пространстве (Тасс П ) При этом увеличение раз-

мера кластеров синхронизации может сопровождаться возникновением в фазовом пространстве хаотических колебаний

Наиболее простым случаем квазипериодических колебаний являются колебания, соответствующие траекториям на двумерном торе, т е колебания с двумя независимыми частотами Если базовые частоты системы находятся в иррациональном соотношении, то наблюдается эргоди-ческий тор, рациональному соотношению базовых частот соответствует резонансный предельный цикл на торе Хаос может возникать как при разрушении резонансного тора (Афраймович В С , Шильников Л П ), так и при разрушении эргодического тора (Анищенко В С , Сафонова М А)

В рамках нелинейной динамики можно выделить отдельную группу вопросов, связанных с явлением синхронизации Механизмы и проявления эффекта синхронизации периодических автоколебаний изучены достаточно хорошо (Андронов А А , Ван дер Поль Б , и др ) Как известно, при синхронизации характерные времена взаимодействующих подсистем становятся кратными При этом в спектре мощности колебаний базовые частотные моды парциальных систем становятся кратными В случае, если в спектре периодических колебаний присутствуют гармоники и субгармоники, они также "подтягиваются'' за основной гармоникой, и в результате синхронизации в системе наблюдаются периодические колебания. В фазовом пространстве при несинхронных колебаниях наблюдается двумерный тор, соответствующий квазипериодическим колебаниям с двумя независимыми частотами При синхронизации на поверхности тора в результате седло-узловой бифуркации возникают устойчивый и седловой циклы

Классические представления о процессах синхронизации в природе были во-многом обобщены и на определенный тип хаотических колебаний Как известно, различают полную синхронизацию хаоса, кластерную, обобщенную, частотную или фазовую (Анищенко В С , Астахов В.В , Белых В Н , Вадивасова Т Е , Короновский А А , Кузнецов С П , Ланда ПС., Трубецков Д И , Некоркин В И , Пиковский А С , Розен-блюм М Г , Постнов Д Э., Храмов А.Е , Шалфеев В Д и многие другие)

Несмотря на большое количество работ о синхронизации регулярных и хаотических колебаний, явление синхронизации квазипериодических колебаний очень мало изучено С одной стороны, квазипериодические колебания относятся к регулярному типу поведения системы, и, следовательно, должны подчиняться сложившимся классическим представлени-

ям о синхронизации периодических колебаний С другой стороны, такие колебания описываются несколькими характерными временами (частотами), и соотношения между ними могут быть как рациональными, так и иррациональными До сих пор остается открытым вопрос о том, каким образом происходит синхронизация эргодических колебаний с двумя независимыми частотами, возможен ли захват числа вращения на двумерном торе нодобно захвату частоты предельного цикла

Если соотношения между характерными временами системы являются рациональными, то ее колебания являются строго периодическими, а в фазовом пространстве им соответствует предельный цикл. Будет ли процесс синхронизации предельного цикла внешним периодическим воздействием подчиняться классическим закономерностям, установленным для периодических колебаний, если этот предельный цикл лежит на поверхности тора7 Возможно ли синхронизировать такой цикл, и, если да, то каков механизм захвата, и какие бифуркации режимов при этом имеют место?

Для ответа на указанные вопросы необходимо создать такую автономную систему, которая бы демонстрировала устойчивые двухчастот-ные квазипериодические колебания При этом значения базовых частот и, следовательно, значение числа вращения колебаний, реализуемых системой, должны зависеть только от внутренних управляющих параметров системы С другой стороны такая система должна демонстрировать бифуркации торов и переходы к хаосу при их разрушении как для случая эргодических колебаний, так и для случая резонансов на торе Особый интерес представляет исследование бифуркации удвоения двумерного тора

Все вышесказанное обосновывает актуальность исследований в этой области и служит основанием для постановки цели и задач диссертационного исследования

Целью диссертационной работы является реализация автономной маломерной динамической системы, генерирующей устойчивые двухчастотные колебания, изучение влияния внешнего шумового воздействия на многочастотные квазипериодические автоколебания, а также исследование явления синхронизации колебаний на торе для случаев рационального и иррационального соотношения базовых частот исходных колебаний

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи

1 Разработать математическую и физическую модель автономного генератора, демонстрирующего колебания на двумерном торе и переходы к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний Создать набор программных средств, необходимых для проведения численных экспериментов, а также программное обеспечение для обработки аналоговых сигналов в радиофизическом эксперименте с генератором Исследовать основные режимы работы генератора и бифуркационные механизмы переходов между ними при изменении управляющих параметров системы

2 Исследовать динамику системы из двух связанных генераторов квазипериодических колебаний Найти режимы, соответствующие торам различной размерности Исследовать устойчивость системы в этих колебательных режимах в условиях внешнего шумового воздействия

3 Исследовать явление взаимной и внешней синхронизации квазипериодических колебаний в системе двух связанных генераторов в режиме эргодических торов Установить, возможен ли эффект полной синхронизации квазипериодических колебаний и, следовательно, захват числа вращения системы для режимов синхронизации

4 Исследовать внешнюю синхронизацию устойчивого предельного цикла в условиях резонансов на торе, отвечающих значениям числа вращения © = тп п (где т, тг - целые числа) Установить бифуркационные механизмы захвата частоты и исследовать основные режимы, возникающие при синхронизации в численном и физическом эксперименте

Научная новизна результатов работы.

1 Сформулирована математическая модель и разработан радиофизический макет оригинального генератора двухчастотных квазипериодических колебаний Генератор реализует бифуркацию Неймарка -Сакерса мягкого рождения двумерного тора, бифуркацию удвоения периода тора и переходы к хаосу через двухчастотные колебания

Предложенный и исследованный генератор может служить одной из базовых моделей теории колебаний для изучения свойств квази-псриодических колебаний

2 Впервые численными экспериментами подтвержден теоретический результат Рюэля - Такепса - Ньюхауса о нейустойчивости движений на четырехмерном торе Показано, что частичные резонансы па четырехмерном торе способствуют повышению устойчивости системы к внешнему шумовому воздействию

3 Установлены закономерности внешней и взаимной синхронизации квазипериодических духчастотных колебаний Показано, что области синхронизации базовых частот системы не совпадают и имеют вложенную структуру Обнаружен и исследован новый эффект захват числа вращения на двумерном торе, являющийся обобщением эффекта синхронизации предельного цикла на случай двухчастот-ных колебаний

4 Впервые вскрыты и исследованы бифуркационные механизмы синхронизации двухчастотных колебаний внешним гармоническим сигналом Установлен новый тип бифуркации - седло - узловая бифуркация двумерных торов, лежащих па поверхности трехмерного тора Этот результат обобщает известный тип седло - узловой бифуркации резонансных предельных циклов на двумерном торе на случай резонансов на трехмерном торе

Достоверность научных выводов подтверждается соответствием научных выводов аналитических, численных и физических экспериментов А также сопоставлением части результатов с аналогичными, представленными в литературе

Положения и результаты, выносимые на защиту.

1 На конкретном примере подтвержден результат Рюэля - Такенса -Ныохауса о неустойчивости квазипериодических фазовых траекторий на четырехмерном торе по отношению к шумовому возмущению Резонансные структуры на торе повышают степень устойчивости движения

2 Внешняя и взаимная синхронизация двухчастотных эргодических колебаний реализуется при воздействии на систему двухчастотным

сигналом и приводит к эффекту «захвата числа вращения» При этом осуществляется последовательный захват вначале одной, а затем второй базовой частоты системы

3 Для синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе в общем случае необходимо двухчастотное воздействие Однако в условиях резонанса 1 1 и сильных резонансов 1 3 и 1 4 при достаточной степени связи взаимодействующих осцилляторов синхронизация возможна и при одночастотном воздействии При этом внутренняя синхронизация в системе может разрушаться, далее следует последовательный захват вначале одной, а затем второй базовой частоты системы

4 Бифуркационный механизм частичной синхронизации трехчастот-ных квазипериодических колебаний в общем случае связан с седло-узловой бифуркацией устойчивых и седловых двумерных торов, лежащих на поверхности трехмерного тора Этот механизм является обобщением классического механизма синхронизации предельного цикла на случай двухчастотных квазипериодических колебаний

Научно-практическая значимость результатов

Совокупность научных результатов диссертации развивает и дополняет фундаментальные представления современной теории колебаний и теории динамических систем Разработанный и исследованный генератор двухчастотных квазипериодических колебаний может быть использован в качестве одной из базовых моделей для анализа основных бифуркаций двухчастотных автоколебаний в рамках современной нелинейной теории колебаний Установленные в диссертации закономерности и особенности синхронизации двухчастотных колебаний существенно дополняют раздел теории синхронизации в рамках теории колебаний и могут быть включены в соответствующие образовательные программы Установленные различия в процессах синхронизации периодических колебаний и резонансных двухчастотных колебаний могут быть использованы в экспериментальных исследованиях для диагностики существования в системе двумерного тора

Работа частично поддерживалась из средств ВЫНЕ (311-006-Х1), РФФИ (Е 02-3 2-345), а также Министерства образования и науки РФ в

рамках программы 'Развитие научного потенциала высшей школы"

Апробация работы и публикации.

Основные результаты работы докладывались на

• международной конференции "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" (Germany, Potsdam, 2005),

• международной конференции "Nonlinear Theory and lts Applications" (Belguim, Bruges, 2005),

• международной конференции "Nonlinear Dynamics, Chaos, and Applications" (Украина, Крым, 2006),

• школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Россия, Саратов, 2005),

• школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Россия, Саратов, 2006),

• конференции "Ломоносов - 2006" (Россия, Москва, 2006),

• международной конференции 'International Symposium on Synchronization in Complex Networks" (Belgium, Leuven, 2007)

а также на научных семинарах кафедры Радиофизики и Нелинейной Динамики Саратовского Государственного Университета и научных семинарах на физических факультетах Гумбольдского и Потсдамского университетов Германии

Личный вклад автора.

В представленной работе все данные численного и физического экспериментов, а также экспериментальная реализация генератора двухча-стотных колебаний были получены лично соискателем Постановка задач и обсуждение результатов были проведены совместно с научным руководителем

Содержание работы

Материалы диссертации изложены на 144 страницах, содержат 51 рисунок и список цитированной литературы из 98 наименований Диссер-

о-О-

9»

(а)

Нелинейный преобраэоетегъ

—о

-о (6)

Рис 1 Схема генератора квазипериодических колебаний (а), схема инерционного преобразователя (б)

тационная работа состоит из введения, четырех содержательных глав, заключения и списка цитируемой литературы

Во Введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на защиту

В первой главе на основе генератора Анищенко - Астахова вводится в рассмотрение математическая модель автономного генератора квазипериодических колебаний Математическая модель представляет собой диссипативную систему из четырех дифференциальных уравнений первого порядка, описывающую осциллятор Ван дер Поля с дополнительной обратной связью, состоящей из нелинейного элемента и колебательного контура

х = тх + у — хр — йх3, У = -х, 2 =

<Р = -7^ + 7$ (я) -

где т - параметр возбуждения, <1 - параметр нелинейной диссипации, 7 - параметр затухания и д - параметр инерционности фильтра, Ф(ж) = 1(а;)а;2 Существенными параметрами системы являются два параметр возбуждения генератора т и параметр инерционности д, характеризующий резонансную частоту фильтра

Числом вращения реализуемых в системе двухчастотных квазипери-

- и -

одических колебаний можно управлять посредством изменения ее параметров Также предлагается электронная схема для физической реализации генератора квазипериодических колебаний (Рис 1) Показано, что данная электронная модель генератора допускает описание в виде предложенной математической модели

В рамках данной главы исследованы основные режимы колебаний, которые реализуются в генераторе при вариации параметров За счет мягкой бифуркации Неймарка - Сакерса в системе могут возникать устойчивые двухчастотные колебания, которые отвечают Т2 С изменением параметров системы квазипериодические колебания разрушаются, и в результате в фазовом пространстве возникает хаотический аттрактор Система может реализовать как эргодические колебания так и резонансные, возникающие на поверхности тора в результате седло-узловой бифуркации Впервые на примере автономной системы детально исследована бифуркация удвоения двумерного тора

На примере разработанной автономной системы показано, что в окрестности точки бифуркации удвоения двумерного тора в автономной системе резонансных колебаний не наблюдается В точке бифуркации три старших показателя Ляпунова равны нулю, далее в системе рождается двумерный тор удвоенного периода Разработанная модель может рассматриваться в качестве одной из простейших базовых моделей нелинейной динамики для изучения свойств двухчастотных квазипериодических колебаний

Вторая глава посвящена исследованию влияния внешнего шумового воздействия на многочастотные квазипериодические автоколебания Предметом изучения является система из двух симметрично связанных генераторов квазипериодических колебаний, предложенных в первой главе данной работы Посредством анализа спектров мощности колебаний и спектров Ляпуповских характеристических показателей выявляются значения параметров, соответствующие режиму четырехмерного тора и резонансным структурам на нем в виде трехмерного и двумерного торов

По спектрам мощности исследуется реакция системы, находящейся в указанных режимах колебаний, на внешнее воздействие белым шумом С помощью расчета старшего показателя Ляпунова колебаний системы с шумом исследуется зависимость интенсивности шума, необходимой для разрушения квазипериодических колебаний, от размерности тора

Показано, что все рассмотренные режимы колебаний на двумерном, трехмерном и четырехмерном торе устойчивы и не разрушаются при малом шумовом возмущении С ростом интенсивности возмущения движение на четырехмерном торе хаотизируется Резонансные структуры в виде трехмерного и двумерного торов препятствуют эффекту хаотизации Однако с ростом возмущения и в окрестности этих структур возникают хаотические колебания

Результаты описанных исследований находятся в соответствии с теоремой Рюэля - Такенса - Ньюхауса, подтверждая экспериментально факт хаотизации фазовых траекторий на четырехмерном торе при возмущении При этом установлено, что эффекты синхронизации в виде резонансных структур на четырехмерном торе для перехода к хаосу требуют увеличения интенсивности возмущений

В третьей главе исследуется явление синхронизации квазипериодических колебаний Рассматривается система из двух генераторов квазипериодических колебаний с расстройкой по одному из параметров, определяющему число вращения системы Значения параметров каждого из парциальных генераторов соответствуют режиму двумерного эргодиче-ского тора Соотношение базовых частот каждой из подсистем является иррациональным Рассматривается случай однонаправленной связи (вынужденная синхронизация) и симметричной связи (взаимная синхронизация)

Исследования проводятся посредством расчета базовых частот парциальных генераторов и расчета спектра Ляпуновских характеристических показателей С использованием перечисленных методов выявляются закономерности захвата числа вращения квазипериодических колебаний Согласно обнаруженным в процессе исследования режимам, вводятся понятия полной и частичной синхронизации квазипериодических колебаний

В физическом эксперименте рассматривается генератор квазипериодических колебаний под воздействием внешнего амплитудно-модулированного сигнала с иррациональным соотношением частот Подтверждаются результаты, полученные в численном эксперименте, а также выявляется зависимость взаимного расположения областей синхронизации от, глубины модуляции сигнала воздействия

Как для случая внешней так и для случая взаимной синхронизации установлено новое явление - эффект захвата числа вращения на двумер-

$

(а)

О $46 0,548 0.55 0,552 0^54 Й2

(б)

Рис 2 Области синхронизации базовых частот (а), эффект захвата числа пращеиия (б) 1С - синхронизация несущих частот, 1т - синхронизация частот модуляции

ном торе, в результате которого в системе наблюдается явление полной синхронизации квазипериодичсских колебаний Данный эффект показан па Рис 2, на котором дч - параметр, определяющий расстройку по числу вращения в системе связанных генераторов квазипериодических колебаний Внутри большого "клюва" синхронизации, ограниченного бифуркационными линиями /с (Рис 2, а), имеет место эффект захвата несущих частот квазипериодических колебаний При этом частоты модуляции остаются различными Реализуется эффект частичной синхронизации квазипериодических колебаний Внутри области, ограниченной бифуркационными линиями 1гт имеет место захват частот модуляции и, соответственно, числа вращения 0\ = вч (Рис 2, а) Реализуется эффект полной синхронизации квазипериодических колебаний Как видно из Рис 2 (б), существует конечная область расстройки по числу вращения Д<?2, в которой 02= 1. Как и в случае предельного цикла, ширина области захвата числа вращения растет с увеличением интенсивности воздействия к

Диагностировать режимы синхронизации квазипериодических колебаний можно с помощью расчета полного спектра ЛХП Области синхронизации несущих частот и частот модуляции в рассматриваемой системе из двух генераторов с симметричной связью не совпадают, поэтому при вариации параметров можно реализовать колебания на четырехмерном торе и наблюдать резонансные структуры на нем в виде трехмерного и двумерного торов При этом все перечисленные режимы устойчивы и не разрушаются при малом шумовом возмущении

Четвертая глава полностью посвящена исследованию явления син-

хронизации периодических колебаний, соответствующих резонансу на двумерном торе, внешним периодическим воздействием Рассматривается генератор квазипериодических колебаний в режиме резонанса 1 4 (в численном эксперименте) и 1 3 (в физическом эксперименте) под внешним периодическим воздействием Показано, что для полного захвата резонансного цикла необходим двухчастотный сигнал

На примере модели из двух связанных осцилляторов Ван дер Поля в режиме резонанса 1 1 и 1 3 исследуется бифуркационный механизм синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе внешним периодическим воздействием

х\ = Уъ

У1 = {т-х\)у1-а1х1 + к{х2-х1) + ке5\п[(2'к/еЩ,

Х2 = Уъ

У2 = (т-х1)у2-<4x2-\-к{х1-х2),

где т - параметр возбуждения, с*!, - параметры, определяющие собственные частоты парциальных осцилляторов, к - параметр внутренней связи, ке и /е - амплитуда и частота внешнего воздействия соответственно Для данной системы подтверждается эффект, полученный при исследовании модели генератора квазипериодических колебаний, заключающийся в том, что несмотря на резонанс, базовые частоты системы синхронизируются независимо Устанавливаются основные режимы, возникающие в системе при переходе к полной и частичной синхронизации колебаний

В результате исследований в рамках данной главы установлено, что в общем случае резонансный цикл на двумерном торе невозможно синхронизировать внешним гармоническим сигналом Под воздействием внешнего сигнала резонанс на двумерном торе (ЗЬуз, Рис 3, а) разрушается, колебания становятся квазипериодическими с тремя независимыми частотами (ТТз, Рис 3, а) Далее имеет место захват одной из базовых частот системы, в результате которого на поверхности трехмерного тора Т?з возникает устойчивый двумерный тор {Ьт%, Рис 3, а) Согласно результатам бифуркационного анализа при разрушении внутренней синхронизации в системе происходит седло-узловая бифуркация устойчивого и седлового двумерных торов на поверхности трехмерном тора (Рис 3, б), которая в двойном сечении Пуанкаре имеет вид классической седло-узловой бифуркации

(6)

Рис. 3: Проекции сечений Пуанкаре двумерных торов па поверхности трехмерного тора, возникающих при синхронизации резонансного предельного цикла внешним периодическим воздействием (а). Седло-узловая бифуркация в двойном сечении Пуанкаре устойчивого (Рт2) и седлового ((¿т2) двумерных торов на поверхности трехмерного тора (¿г3) (6).

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты и выводы.

1. На основе генератора Анищенко - Астахова предложена новая автономная динамическая система, демонстрирующая квазипериодические колебания. При вариации управляющих параметров в системе можно реализовать периодические режимы колебаний, бифуркации удвоения циклов и переход к хаосу по сценарию Фейгеибаума. На основе циклов различных периодов в результате бифуркации Неймарка - Сакерса в системе могут возникать квазипериодические колебаний с двумя базовыми частотами. В общем случае базовые частоты квазипериодических колебаний рационально не связаны и в фазовом пространстве им соответствует двумерный эргодический тор. Числом вращения генерируемых колебаний можно управлять посредством изменения одного параметра, при этом можно наблюдать различные резонансные предельные циклы, лежащие на поверхности двумерного тора.

2. В области существования двухчастотных эргодических колебаний при вариации параметров системы наблюдаются бифуркации удвоения двумерных торов. При исследовании механизмов данных бифуркаций резонансные циклы в окрестностях бифуркационных точек в данной системе обнаружены не были, таким образом показано, что в автономном

генераторе квазипериодических колебаний бифуркацию удвоения претерпевает эргодический тор

3. В соответствии с предложенной математической моделью собрана радиофизическая экспериментальная установка, представляющая собой автономный генератор квазипериодических колебаний, на которой были подтверждены результаты большинства численных экспериментов Предложенная автономная система является наиболее простой для исследования бифуркаций двумерных эргодических и резонансных торов и может являться базовой моделью нелинейной динамики для исследований эффектов, связанных с квазипериодическими колебаниями.

4. На примере системы из двух связанных генераторов квазипериодических колебаний исследовалась структурная устойчивость квазипериодических колебаний различной размерности к шумовому воздействию В соответствии с результатом Рюэля - Такенса - Ныохауса при возмущении траекторий на четырехмерном торе колебания системы становятся хаотическими Установлено, что резонансные структуры на четырехмерном торе повышают устойчивость квазипериодических колебаний к шуму, и для перехода к хаосу требуют увеличения уровня шума

5. Исследовано явление синхронизации квазипериодических колебаний в системе из двух связанных генераторов квазипериодических колебаний Показано, что базовые частоты генераторов при изменении числа вращения одной из парциальных систем могут синхронизироваться независимо При этом обнаружено, что сначала в системе захватывается частота несущей, а затем частота модуляции Соответствующие клювы синхронизации имеют вложенную структуру и при вариации числа вращения сначала наблюдается частичная синхронизации квазипериодических колебаний, а затем полная, и соответственно, захват числа вращения подсистем Полученный результат подтвержден в физическом эксперименте

6. В численном и физическом эксперименте исследовано явление внешней синхронизации резонансного предельного цикла, лежащего на поверхности двумерного тора Показано, что несмотря на резонанс, базовые частоты системы синхронизируются независимо Под внешним периодическим воздействием внутренний резонанс в системе разрушается, и колебания становятся квазипериодическими Это происходит в результа-

те седло-узловой бифуркации двумерных торов на поверхности трехмерного тора Данная бифуркация установлена и исследована в данной работе впервые и представляет интерес с точки зрения качественной теории динамических систем Далее при вариации частоты внешнего воздействия в системе наблюдаются явления, аналогичные установленным при исследовании синхронизации квазипериодических колебаний - происходит захват одной из базовых частот системы В общем случае для полного захвата резонансного предельного цикла необходимо двухчастотное воздействие на систему

Список публикаций по теме диссертации

1 В С Анищепко, С М Николаев, Генератор квазипериодических колебаний Бифуркация удвоения двумерного тора // Письма в ЖТФ, 2005, т 31, вып 19, с 88-94

2 V Anishchenko, S Nikolaev, and G Strelkova, Oscillator of Quasiperiodic Oscillations Two-dimensional Torus Doubling Bifurcation // Procidings of International Symposium NOLTA, Belgium, October 18 - 22, 2005

3 Николаев С M , Генератор квазипериодических колебаний Бифуркация удвоения двумерного тора // Сборник трудов конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых", Саратов, 2005, с 68 -72

4 Николаев С М , Генератор квазипериодических колебаний // Сборник трудов конференции "Ломоносов-2006", Москва, 2006, с 95-96

5 V Anishchenko, S Nikolaev, J Kurths, Winding number locking on a two-dimensional torus Synchronization of quasiperiodic motions // Phys Rev E, 2006, v 73, 056202

6 В С Анищенко, С М Николаев, Устойчивость, синхронизация и разрушение квазипериодических колебаний // Нелинейная динамика, 2006, т 2, вып 3, с 267 - 278

7 V Anishchenko, S Nikolaev, J Kurths, Peculiarities of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // Phys Rev E, 2007, v 76, 046216

8 В С Анищенко, С М Николаев, Экспериментальное исследование синхронизации двухчастотных квазипериодических колебаний // Прикладная нелинейная динамика, 2007, т 15, вып б, с 93-101

9 В С Анищенко, С М Николаев, J Kurths, Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе // Нелинейная динамика, 2008, т 4, вып 1, с 39-55

НИКОЛАЕВ Сергей Михайлович

ГЕНЕРАЦИЯ, РАЗРУШЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ ДВУХЧАСТОТНЫХ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Автореферат Ответственный за выпуск проф , д ф -м н Вадивасова Т Е

Подписано в печать 11 04 2008г Формат 60x84 1/16 Объем 1,25 п л Тираж 100 экз Заказ ,Уа ¿7

Типография Издательства Саратовского университета 410012, Саратов, Астраханская, 83

Введение

1 Генератор квазипериодических колебаний с двумя независимыми частотами

1.1 Математическая модель генератора. Основные режимы колебаний

1.2 Бифуркация удвоения двумерного тора.

1.3 Экспериментальная реализация генератора.

1.4 Выводы по главе 1.

2 Разрушение колебаний на Т4 под воздействием внешнего аддитивного шума

2.1 Хаотизация колебаний на четырехмерном торе.

2.2 Выводы по главе 2.

3 Синхронизация квазипериодических колебаний. Захват числа вращения на двумерном торе

3.1 Внешняя синхронизация квазипериодических колебаний

3.2 Взаимная синхронизация генераторов квазипериодических колебаний

3.3 Выводы по главе 3.

4 Синхронизация резонансного предельного цикла на двумерном торе

4.1 Синхронизация резонансного предельного цикла в генераторе квазипериодических колебаний.

4.2 Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе.

4.2.1 Воздействие внешней периодической силы на резонансный предельный цикл в системе связанных генераторов

Ван дер Поля.

4.2.2 Основные бифуркации квазипериодических режимов при синхронизации резонансного предельного цикла.

4.2.3 Особенности синхронизации резонансных предельных циклов при различных значениях числа вращения G

4.3 Выводы по главе 4.

Квазипериодические колебания и их бифуркации па протяжении многих лет остаются предметом исследований специалистов по нелинейной динамике и турбулентности. Квазипериодическими колебаниями называют устойчивые решения динамических систем, которые зависят от конечного числа периодических функций <fik(uJkt) {к = 1, 2,.), имеющих период Т& = 2iт/tJk по каждому аргументу. Квазипериодические решения описывают достаточно сложные процессы колебаний с п независимыми частотами которые в общем случае рационально не связаны. Эти частоты представляют собой с физической точки зрения частотные моды парциальных колебательных систем, взаимодействующих между собой. Результатом такого взаимодействия и являются квазипериодические колебания.

Квазипериодические колебания с двумя и более независимыми частотами широко распространены в современном естествознании. Они возникают при модуляции электромагнитных колебаний информационными сигналами (радиотехника), описывают климатические колебания различного характера (климатология), описывают движение планет в космическом пространстве (теоретическая механика) и др. Квазипериодические колебания описывают биофизические, экологические и даже социальные эволюционные процессы [1]- [9]. На сегодняшний день изучение квазипериодических колебаний, относящихся к наиболее сложным типам регулярных колебаний, представляет собой одну из интересных и актуальных задач нелинейной динамики. Интерес к квазипериодическим колебательным процессам связан также и с тем, что во многих системах различной природы возникновение квазипериодических режимов колебаний предшествует переходу к хаотическому поведению.

В частности, в результате исследования возникновения турбулентного поведения жидкости при увеличении числа Рейнольдса был предложен сценарий Ландау - Хопфа [10] [11], ставший первым сценарием перехода к нерегулярному поведению. Данный механизм предполагает постепенное нарастание размерности квазипериодических колебаний, т.е. последовательность бифуркаций, в результате которых в спектре возникают новые несоизмеримые частоты. При наличии большого количества независимых частот и флуктуаций, всегда существующих в реальных физических системах, спектр колебаний становится сплошным, а сами колебания нерегулярными. Однако, данный сценарий неприменим к маломерным системам, в которых невозможно реализовать колебания с большим количеством независимых частот.

Альтернативой данному механизму является сценарий, предложенный в работах Д. Рюеля, Ф. Такенса и С. Ньюхауса [12] [13], в которых доказано, что хаотический аттрактор может возникать уже на трехмерном торе при малых возмущениях. При этом характер возмущения не конкретизируется. Согласно теоремам, приведенным в данных работах, в пространстве динамических ситем в окрестности тора Тп, где п ^ 3 - размерность тора, существует гиперболическое подмножество траекторий, содержащее нетривиальный аттрактор [14] [15], и малое возмущение может привести к возникновению хаотических колебаний, принадлежащих потоку на Тп и не разрушающих сам тор. Вопрос о реализации одного из приведенных механизмов разрушения квазипериодических колебаний остается не до конца ясным. После публикации соответствующих работ, появилось много заметок (см. например [16]) о существовании многомерных торов в различных системах, устойчивых к малым внешним возмущениям.

Во многих случаях существование в фазовом пространстве торов высокой размерности отмечалось при исследовении колебательных систем, состоящих из большого количества взаимодействующих периодических осцилляторов [17] [18]. Так, например, в работе [19] при исследовании систем различной размерности, состоящих из связанных отображений окружности, было показано, что при слабой связи в фазовом пространстве могут наблюдаться трехи четырехмерные торы, однако с ростом интенсивности возмущений тип аттрактора может меняться. В работе [20] исследовались процессы синхронизации в системе, состоящей из связанных фазовых осцилляторов, частоты которых задавались случайным образом. С ростом связи между осцилляторами в системе образуются кластеры синхронизации, что соответствует уменьшению количества независимых частот в спектре. Явления, связанные с уменьшением размерности тора в системах периодических осцилляторов с расстройкой, исследовались в работах [21] [22]. Было показано, что увеличение размера кластеров синхронизации может сопровождаться возникновением в фазовом пространстве хаотических колебаний, однако далее, с увеличением связи в системе, устанавливается периодический режим. Несмотря на интенсивные исследования в данной области в последние годы, многие вопросы, связанные с устойчивостью многомерных торов и резонансных структур на их поверхности к внешним возмущениям, остаются нерешенными.

Наиболее простым случаем квазипериодических колебаний являются колебания, соответствующие траекториям на двумерном торе, т.е. колебания с двумя независимыми частотами. Как известно, исследование бифуркаций двумерных торов требует двупараметрического анализа. Это связано с тем, что возникновение резонансов на торе обусловлено бифуркацией коразмерности 2 [23]. Если отношение частот является иррациональным, то колебания будут эргодическими и в фазовом пространстве будет наблюдаться двумерный эргодичебкий тор. В случае рационального соотношения частот (в области резонансов) система будет демонстрировать резонансный предельный цикл на торе. Такое поведение системы соответствует существованию в пространстве параметров языков Арнольда [24] [25]. Возможные пути возникновения хаоса через разрушение резонансных колебаний на двумерном торе рассматривались в работах [26] [27] и нашли подтверждение во многих экспериментах [28] [29]. Как было показано в [30] переход от двумерного эрго-дического тора к хаосу всегда происходит через возникновение резонансных колебаний. Подобно предельному циклу торы могут претерпевать бифуркации удвоения периода [31]. Это явление было обосновано как в численном так и в физическом экспериментах. Однако подавляющее большинство исследований бифуркаций торов проводилось на примере неавтономных нелинейных колебательных систем, демонстрирующих различные механизмы переходов к хаосу. Вторая частота в таких системах навязывалась внешним воздействием.

Поэтому детали многих бифуркационных явлений, связанных с квазипериодическими колебаниями, до сих пор остаются во многом неясными.

В рамках нелинейной динамики можно выделить отдельную группу вопросов, связанных с явлением синхронизации. Исследованию этого свойства автоколебательных систем посвящено огромное множество работ. Явление синхронизации было открыто Гюйгенсом в XVII в, с тех пор на этот эффект обращали внимание авторы многих работ из совершенно различных областей знаний [32]- [39]. Так, например, было показано, что эффект синхронизации проявляется в поведении взаимодействующих клеток ткани [40], ансамблей нейронов [41]- [43], биологических популяций [44].

Механизмы и проявления эффекта синхронизации периодических автоколебаний изучены достаточно хорошо [45]- [54]. Как известно, при синхронизации характерные времена взаимодействующих подсистем становятся кратными. При этом в спектре мощности колебаний базовые частотные моды парциальных систем становятся кратными. В случае, если в спектре периодических колебаний присутствуют гармоники и субгармоники, они также "подтягиваются" за основной частотой, и в результате синхронизации в системе наблюдаются периодические колебания.

В фазовом пространстве при несинхронных колебаниях наблюдается двумерный тор, соответствующий квазипериодическим колебаниям с двумя независимыми частотами. Сечение Пуанкаре при этом имеет вид замкнутой кривой. При синхронизации на поверхности тора в результате седло-узловой бифуркации возникают устойчивый и седловой циклы [55]. В результате в фазовом пространстве системы происходит качественное изменение аттрактора, и вместо эргодического тора наблюдается резонансный предельный цикл на торе, соответствующий в сечении Пуанкаре устойчивой точке. Захват колебаний может осуществляться и не на основной гармонике. В этом случае результатом синхронизации будет многообходный предельный цикл, с точки зрения качественной теории не отличающийся от цикла, возникающего при синхронизации на базовых частотах.

Различают внешнюю (вынужденную) и взаимную синхронизацию. В случае внешней синхронизации связь между колебательными подсистемами является односторонней. В результате синхронизации в такой системе частота результирующих колебаний равна или кратна частоте внешнего воздействия. В случае взаимной синхронизации частота колебаний может отличаться от собственной частоты каждой из подсистем и может являться результатом их взаимодействия.

Постепенно классические представления о процессах синхронизации в природе были обобщены и на определенный тип хаотических колебаний [56]- [60]. Под термином хаотическая синхронизация можно понимать различные явления. Как известно, различают полную синхронизацию хаоса [61], обобщенную [62-65], частотную или фазовую [66-68] синхронизации. Наиболее часто в литературе встречается описание процессов синхронизации хаотических колебаний, наблюдающихся при взаимодействии идентичных хаотических осцилляторов [69]- [72]. С ростом связи колебания парциальных осцилляторов начинают полностью повторять друг друга. При этом временной сдвиг между колебаниями осцилляторов отсутствует, и наблюдаются синфазные колебания. Как и для периодических колебаний, для генераторов в режиме спирального хаоса рассмотрены такие типы синхронизации как, например, захват и подавление частот, взаимная и вынужденная синхронизация [73]-[76]. Также были замечены более сложные типы синхронизации, связанные с возникновением какой-либо функциональной взаимосвязи между парциальными системами - обобщенная синхронизация. В ансамблях автогенераторов можно выделить глобальную и кластерную (частичную) синхронизации (см., например, [77]- [79]). Случаю частичной синхронизации соответствует существование в системе кластеров, состоящих из синхронных осцилляторов; при глобальной синхронизации все осцилляторы системы синхронны.

Несмотря на большое количество работ о синхронизации регулярных и хаотических колебаний, явление синхронизации квазипериодических колебаний очень мало изучено. С одной стороны, квазипериодические колебания относятся к регулярному типу поведения системы, и, следовательно, должны подчиняться сложившимся классическим представлениям о синхронизации периодических колебаний. С другой стороны, такие колебания описываются несколькими характерными временами (частотами), и соотношения между ними могут быть как рациональными, так и иррациональными. До сих пор остается открытым вопрос о том, каким образом происходит синхронизация эргодических колебаний с двумя независимыми частотами, возможен ли захват числа вращения на двумерном торе подобно захвату частоты предельного цикла, так как именно в этом случае можно говорить о полной синхронизации двухчастотных квазипериодических колебаний.

Если соотношения между характерными временами системы являются рациональными, то ее колебания являются строго периодическими, а в фазовом пространстве им соответствует предельный цикл. Будет ли процесс синхронизации предельного цикла внешним периодическим воздействием подчиняться классическим закономерностям, установленным для периодических колебаний, если этот предельный цикл лежит на поверхности тора? Возможно ли синхронизировать такой цикл, и, если да, то каков механизм захвата, и какие бифуркации режимов при этом имеют место?

Для ответа на указанные вопросы необходимо создать такую автономную систему, которая бы демонстрировала устойчивые двухчастотные квазипериодические колебания. При этом значения базовых частот и, следовательно, значение числа вращения колебаний, реализуемых системой, должны зависеть только от внутренних управляющих параметров системы. С другой стороны такая система должна демонстрировать бифуркации торов и переходы к хаосу при их разрушении как для случая эргодических колебаний, так и для случая резонансов на торе. Особый интерес представляет исследование бифуркации удвоения двумерного тора.

Все вышесказанное обосновывает актуальность исследований в этой области и служит основанием для постановки цели и задач диссертационного исследования.

Целью диссертационной работы является: реализация автономной маломерной динамической системы, генерирующей устойчивые двухчастотные колебания, изучение влияния внешнего шумового воздействия на многочастотные квазипериодические автоколебания, а также исследование явления синхронизации колебаний на торе для случаев рационального и иррационального соотношения базовых частот исходных колебаний.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Разработать математическую и физическую модель автономного генератора, демонстрирующего колебания на двумерном торе и переходы к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний. Создать набор программных средств, необходимых для проведения численных экспериментов, а также программное обеспечение для обработки аналоговых сигналов в радиофизическом эксперименте с генератором. Исследовать основные режимы работы генератора и бифуркационные механизмы переходов между ними при изменении управляющих параметров системы.

2. Исследовать динамику системы из двух связанных генераторов квазипериодических колебаний. Найти режимы, соответствующие торам различной размерности. Исследовать устойчивость системы в этих колебательных режимах в условиях внешнего шумового воздействия.

3. Исследовать явление взаимной и внешней синхронизации квазипериодических колебаний в системе двух связанных генераторов в режиме эргодических торов. Установить, возможен ли эффект полной синхронизации квазипериодических колебаний и, следовательно, захват числа вращения системы для режимов синхронизации.

4. Исследовать внешнюю синхронизацию устойчивого предельного цикла в условиях резонансов на торе, отвечающих значениям числа вращения = т : п (где т, п - целые числа). Установить бифуркационные механизмы захвата частоты и исследовать основные режимы, возникающие при синхронизации в численном и физическом эксперименте.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. На основе генератора Анищенко - Астахова предложена новая автономная динамическая система, демонстрирующая квазипериодические колебания. При вариации управляющих параметров в системе можно реализовать периодические режимы колебаний, бифуркации удвоения циклов и переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума. На основе циклов различных периодов в результате бифуркации Неймарка - Сакерса в вистеме могут возникать квазипериодические колебаний с двумя базовыми частотами. В общем случае базовые частоты квазипериодических колебаний рационально не связаны и в фазовом пространстве им соответствует двумерный эргодический тор. Числом вращения генерируемых колебаний можно управлять посредством изменения одного параметра, при этом можно наблюдать различные резонансные предельные циклы, лежащие на поверхности двумерного тора [92]- [94].

2. В области существоания двухчастотных эргодических колебаний при вариации параметров системы наблюдаются бифуркации удвоения двумерных торов. При исследовании механизмов данных бифуркаций резонансные циклы в окрестностях бифуркационных точек в данной системе обнаружены не были, таким образом показано, что в автономном генераторе квазипериодических колебаний бифуркацию удвоения претерпевает эргодический тор [92]- [94].

3. В соответствии с предложенной математической моделью собрана радиофизическая экспериментальная установка, представляющая собой автономный генератор квазипериодических колебаний, на которой были подтверждены результаты большинства численных экспериментов. Предложенная автономная система является наиболее простой для исследования бифуркаций двумерных эргодических и резонансных торов и может являться базовой моделью нелинейной динамики для исследований эффектов, связанных с квазипериодическими колебаниями [95].

4. На примере системы из двух связанных генераторов квазипериодических колебаний исследовалась структурная устойчивость квазипериодических колебаний различной размерности к шумовому воздействию. В соответствии с результатом Рюэля - Такенса - Ньюхауса при возмущении траекторий на четырехмерном торе колебания системы становятся хаотическими. Установлено, что резонансные структуры на четырехмерном торе повышают устойчивость квазипериодических колебаний к шуму, и для перехода к хаосу требуют увеличения уровня шума [96].

5. Исследовано явление синхронизации квазипериодических колебаний в системе из двух связанных генераторов квазипериодических колебаний. Показано, что базовые частоты генераторов при изменении числа вращения одной из парциальных систем могут синхронизироваться независимо. При этом обнаружено, что сначала в системе синхронизируются частоты несущих, а затем частоты модуляции. Соответствующие клювы синхронизации имеют вложенную структуру и при вариации числа вращения сначала наблюдается частичная синхронизации квазипериодических колебаний, а затем полная, и соответственно, захват числа вращения подсистем. Полученый результат подтвержден в физическом эксперименте [94] [95].

6. Исследовано явление внешней синхронизации резонансного предельного цикла, лежащего па поверхности двумерного тора. Показано, что несмотря на резонанс, базовые частоты системы синхронизируются независимо. Под внешним периодическим воздействием внутренний резонанс в системе разрушается, и колебания становятся квазипериодическими. Это происходит в результате седло-узловой бифуркации двумерных торов на поверхности трехмерного тора. Данная бифуркация установлена и исследована в данной работе впервые и представляет интерес с точки зрения качественной теории динамических систем. Далее при вариации частоты внешнего воздействия в системе наблюдаются явления, аналогичные установленным при исследовании синхронизации квазипериодических колебаний - происходит захват одной из базовых частот системы. В общем случае для полного захвата резонансного предельного цикла необходимо двухчасототное воздействие на систему [97] [98].

В целом, запланированные задачи по диссертационной работе выполнены и основные вопросы изучены. Естественно, исследования, провденные при выполнении данной диссертационной работы нельзя считать исчерпывающими. За рамками рассмотрения остались многие эффекты, связанные с синхронизацией и разрушением квазипериодических колебаний, которые нуждаются в более детальном анализе, что не представляется возможным в рамках одной диссертационной работы. С этой точки зрения представленная диссертационная работа может служить основой для будущих исследований в области нелинейной динамики.

Заключение

Согласно поставленным во введении задачам, исследования в рамках диссертационной работы включали:

• Разработку автономной динамической системы, демонстрирующей квазипериодические автоколебания. Разработку на базе этой системы радиофизической экспериментальной установки.

• Исследование динамики системы из двух связанных генераторов в режиме квазипериодических колебаний под воздействием внешнего аддитивного шума.

• Изучение явления синхронизации квазипериодических колебаний.

• Изучение явления синхронизации резонансных периодических колебаний. Исследование основных бифуркаций, наблюдающихся в процессе синхронизации.

1. Noort М., Porter М.А., Yi Y., and Chow S.-N., "Quasi-periodic Dynamics in Bose - Einstein Condensates in Periodic Lattices and Superlattices" //J. Nonlinear Sci., 2007, v. 17, p. 59-83.

2. Horn L.J., Showalter M.R., and Russel C.T., "Detection and Behavior of Pan Wakes in Saturn's A Ring" // Icarus, 1996, v. 124, p. 663-676.

3. Ramos O., Altshuler E., and Maloy K.J., "Quasiperiodic Events in an Earthquake Model" // Phys. Rev. Letters, 2006, v. 96, 098501.

4. Davidchack R.L., Lai Y.-C., Gavrielides A., and Kovanis V., "Regular dynamics of low-frequency fluctuations in external cavity semiconductor lasers" // Phys. Rev. E, 2001, v. 63, 056206.

5. Epstein R.I., Lamb F.K., and Priehorsky W.C., "X-Ray Variability in Astrophysics" // Workshop on Astrophysics of Time Variability in X-Ray and Gamma-Ray Sources (Taos, New Mexico), 1985.

6. Katz R.W., "Sir Gilbert Walker and a Connection between El Nino and Statistics" // Statistical Science, 2002, v. 17(1), p. 97-112.

7. Bronnikova T.V. and Schaffer W.M., Olsen L.F., "Quasiperiodicity in a detailed model of the peroxidase-oxidase reaction" //J. Chem. Phys., 1996, 105(24), p. 10849-10859.

8. Bronnikova T.V. and Schaffer W.M., Hauser M.J.B. and Olsen L.F., "Routes to Chaos in the Peroxidase-Oxidase Reaction. 2. The Fat Torus Scenario" // J. Phys. Chem. B, 1998, 102, p. 632-640.

9. Postnov D.E., Sosnovtseva O.V. and Mosekilde E., "Oscillator clustering in a resource distribution chain" // Chaos, 2005, 15, 1(12).

10. Ландау Л.Д., "К проблеме турбулентности" // ДАН СССР, 1944, т. 44, №8, с. 339-342.

11. Hopf Е., "Mathematical example displaying the features of turbulence" // Comm. Pure. Appl. Math., 1948, v. 1, p. 303-322.

12. Рюэль Д., Такенс Д., "О природе турбулентности" // Странные аттракторы / Под ред. Синая Я.Г. и Шильникова Л.П. М.:Мир, 1981, с. 117-151.

13. Newhouse S., Ruelle D., Takens F., "Occurance of strange axiom A attractor near quasiperiodic flows on Tm m = Z" // Comm. Math. Phys., 1978, v. 64, p. 35-40.

14. Ruelle D., "What is a Strange Attractor?" // Notices of the AMS, 2006, 53, 7, 764-765.

15. Анищенко B.C., "Знакомство с нелинейной динамикой" // Изд-во Го-сУНЦ "Колледж", Саратов, 2000, 180 с.

16. Tavakol R., Tworkovsky A., "An example of quasiperiodic motion on T4" // Phys. Lett. A, 1984, v. 100, 6, p. 273.

17. Carra T.W. and Schwartz I.В., "On measures of disorder in globally coupled oscillators" // Physica D, 1998, v. 115, 3, p. 321- 340.

18. Daido H., "Multibranch Entrainment and Scaling in Large Populations of Coupled Oscillators" // Phys. Rev. Lett., 1996, v. 77, 7, p. 1406 1409.

19. Grebogi C., Ott E. and Yorke J.A., "Attractors on an N-torus: Quasiperiodicity Versus Chaos" // Physica D, 1985, v. 15, p. 354.

20. Tass P., "Phase and frequency shifts in a population of phase oscillators" // Phys. Rev. E, 1997, v. 56, p. 2043 2060.

21. Zheng Z., Hu G., and Ни В., "Phase Slips and Phase Synchronization of Coupled Oscillators" // Phys. Rev. Lett., 1998, v. 81, p. 5318 5321.

22. Hu B. and Zheng Z., "Phase synchronizations: transitions from high- to low-dimensional tori through chaos" // Int. Journal of Bif. Chaos, 2000, v. 10, 10, p. 2399-2414.

23. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В., "Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем"// Издательство саратовского университета, 1999, 367 с.

24. Арнольд В.И., "Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонансов" // Нелинейные волны, М.:Наука, 1979, с. 116-130.

25. Arnold V.I., "Mathematical methods of classical mechanics" // Berlin:Springer, 1974.

26. Афраймович B.C., Шильников Jl.П., "Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность" // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький: Изд-во ГГУ, 1983, с. 3-26.

27. Афраймович B.C., Шильников Л.П. "О малых периодических возмущениях автономных систем" // ДАН СССР. 1974, т. 24, №4, с. 739-742.

28. Franceschini V., "Bifurcations of tori and phase locking in a disspative system of differential equations" // Physica D, 1983, v. 6D, 3, p. 285-304.

29. Maurer J., Libchaber A., "Rayleigh-Bernard experiment in liquid helium: frequency locking and the onset of turbulence" //J. Phys. Lett. 1979, v. 40, p. 419-423

30. Анищеико B.C., Сафонова M.А.,"Механизмы разрушения инвариантной кривой в модельном отображении плоскости." // Радиотехника и Электроника, 1987, 32, с. 1207-1216.

31. Анищенко B.C. "Сложные колебания в простых системах" // Москва: "Наука", 1990, 312 с.

32. Андронов А.А., "Собрание трудов" // Изд-во АН СССР, Москва, 1956.

33. Теодорчик К.Ф., "Автоколебательные системы" // Гостехиздат, Москва, 1952.

34. Хаяси Т., "Нелинейные колебания в физических системах" // Мир:Москва, 1968.

35. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С., "Математическое моделироване в биофизике" // Наука:Москва, 1975.

36. Демьяченко А.Г., "Синхронизация генераторов гармонических колебаний" // Энергия, Москва, 1976.

37. Блехман И.И., "Синхронизация динамических систем" // М.:Наука, 1971.

38. Barnett W.A. and Dalkir М., "Gains from Synchronization" // EconWPA, 2005, 0504004.

39. Mosekilde E., Maistrenko Yu., Postnov D., "Chaotic Synchronization. Applications to Livinig Systems" // World Scientific, Singapore, 2002.

40. Soen Y., Cohen N., Lipson D., Braun E., "Emergence of Spontaneous Rhythm Disorders in Self-Assembled Networks of Heart Cells" // Phys. Rev. Lett., 1999, v. 82, p. 3556.

41. Neiman A., Pei X., Russell D., Wojtenek W., Wilkens L., Moss F., Braun H., Huber M., Voigt K., "Synchronization of the Noisy Electrosensitive Cells in the Paddlefish" // Phys. Rev. Lett., 1999, v. 82, p. 660.

42. Elson R.C., Selverston A.I., Huerta R., Rulkov N.F., Rabinovich M.I., Abarbanel H.D.I., "Synchronous Behavior of Two Coupled Biological Neurons" // Phys. Rev. Lett., 1998, v. 81, p. 5692.

43. Abarbanel H.D.I., Rabinovich M.I., Selverston A., Bazhenov M.V., Huerta R., Sushchik M.M., Rubchinskii L.L., "Synchronization in neural networks" // Phys.-Uspekhi, 1996, v. 39, p. 337-362.

44. Winfree А.Т., "The Geometry of Biological Time" // New York:Springer, 1980.

45. Пиковский А., Розенблюм M., Курте Ю., "Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление" // Москва:Техосфера, 2003, 496 с.

46. Van der Pol В., "Theory of the amplitude of free and forced triod vibration" // Radio Rev., 1920, v. 1, p. 701-710.

47. Гапонов В.И. "Два связанных генератора с мягким возбуждением" // ЖТФ, 1936, т. 6, №, с. 801.

48. Теодорчик К.Ф. "К теории синхрнизации релаксационных автоколебаний" // ДАН СССР, 1943, т. 40, №, с. 63.

49. Майер А.Г., "К теории связанных колебаний двух самовозбужденных генераторов" // Уч. зап. ГГУ., 1935., т. 2, №5, с. 3-11.

50. Стратонович Р.Л., "Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике" // Сов. радио, Москва, 1961.

51. Малахов А.Н., "Флуктуации в автоколебательных системах" // Наука, Москва, 1968.

52. Костин И.К., Романовский Ю.М., "Флуктуации в системах многих связанных генераторов" // Вестник МГУ. Сер. физ. и астр., 1972., т. 13, №6, с. 698-705.

53. Appleton E.V., "The automatic synchronization of triode oscillator Proc. of the Cambridge Philosophical Society"// Math, and Phys. Sciences., 1922., v. 21, p. 231-248.

54. Андронов А.А., Витт А.А., "К теории захватывания Ван дер Поля" // Собр. тр. Андронова А.А., М.:Изд-во АН СССР, 1956.

55. Афраймович B.C., "Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов" // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации., М.:Наука, 1987, с. 189213.

56. Кузнецов Ю.А., Ланда П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М. "Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах" // ДАН СССР, 1985, т. 32, №9, с. 1164-1169.

57. Ланда П.С., Рендель Ю.С., Шер В.Ф., "Синхронизация колебаний в системе Лоренца" // Изв. вузов. Сер. Радиофизика., 1989, т. 32, №9, с. 1172-1174.

58. Dykman G., Landa P., Neimark Y. "Synchronization of chaotic oscillationsby external force" // Chaos, Solitons and Fractals, 1992, v.l, Ш, p. 339-353.

59. Pecora L., Carroll Т., "Synchronization of chaotic systems" // Phys. Rev. Lett., 1990, v. 64, p. 821-823.

60. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J., "From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators" // Phys. Rev. Lett., 1997, v. 78, p. 4193-4196.

61. Fujisaka, H. and Yamada, Т., "Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator system" // Progress of Theoretical Physics, 1983, v. 69, p. 32-47.

62. Rulkov, N.F., Sushchik, M.M., Tsimring, L.S. and Abrabanel, H.D.I., "Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems." // Phys. Rev. E, 1995, v. 51, p. 980-995.

63. Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M.M., "Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach", // Phys. Rev. E, 1996, v. 53, p. 4528.

64. Короновский A.A., Москаленко О.И., Трубецков Д.И., Храмов А.Е., "Обобщенная синхронизация и синхронизация, индуцированная шумом, единый тип поведения связанных хаотических систем" // ДАН. 2006., т. 407, №6, с. 761-765.

65. Hramov А.Е., Koronovskii A.A., Moskalenko O.I., "Are generalized synchronization and noise-induced synchronization identical types of synchronous behavior of chaotic oscillators?"// Phys. Lett. A. 2006., v. 354, 5-6, p. 423-427.

66. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова М.А., "Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса" // Радиотехника и электроника, 1991, т. 36, №2, с. 338-351.

67. Anischenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E. and Safonova M.A., "Synchronization of chaos," // Int. J.Bifurcation and Chaos, 1992, v. 2, p. 633-644.

68. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. and Kurths J., "Phase synchronisation of chaotic oscillators," // Phys. Rev. Lett., 1996, v. 76, p. 1804-1807.

69. Pikovsky A.S., "On the Interaction of Strange Attractors" // Z. Phys. B, 1984, v. 55, p. 149-154.

70. Кузнецов С.П., "Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума" // Изв. вузов Сер. Радиофизика, 1985, т. 28, №8, с. 991-1007.

71. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П., "Мультиста-бильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем" // Письма в ЖТФ, 1989, т. 15, №3, с. 60-65.

72. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И., "Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах" // Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1986, т. 29, №9, 1050.

73. Анищенко B.C., Постнов Д.Э., "Эффект захвата базовой частоты хаотических автоколебаний. Синхронизация странных аттракторов" // Письма в ЖТФ, 1988, т. 14, №6, с. 569-573.

74. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova M.A., "Synchronization of chaos" // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1992, v. 2, 3, 633-644.

75. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова M.A., "Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса" // Радиотехника и электроника, 1991, т. 36, №2, с. 338-351.

76. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., "Synchronization of Chaos" // Proc. of the 1-st Int. Conf. on Applied Synergetics and Synergetic Engineering, 1994, p. 200-206.

77. Hasler M., Maistrenko Yu. and Popovich O., "Simple example of partial synchronization of chaotic systems" // Phys. Rev. E, 1998, v. 58, p. 68436846.

78. Nikolaev S.M., Shabunin A.V., Astakhov V.V., "Multistability of partially synchronous regimes in a system of three coupled logistic maps" // IEEE, conference "Physcon2005 2005, 0-7803-9235-3/05/20.00, p. 169-173.

79. Шабунин А.В., Николаев C.M., Астахов В.В., "Двухпараметрический бифуркационный анализ формирования и разрушения режимов частичной синхронизации хаоса в ансамбле из трех осцилляторов с дискретным временем"// Изв. вузов "ПНД", 2005, т. 13, №5, с. 40-55.

80. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер JI., "Нелинейные эффекты в хаотических и стохаотических системах" // Москва-Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2003, 544 с.

81. Анищенко B.C., "Разрушение квазипериодических колебаний и хаос в диссипативных системах" // ЖТФ, 1986, т. 56, №2, с. 225-237.

82. Kaneko К., "Collapse of tori and genesis of chaos in disspiative systems" // Singapore:World Scientific, 1986, 264 p.

83. Matsumoto Т., Chua L.O., Tokunada R., "Chaos via torus breakdown" // IEEE trans., Circuits Syst. CAS-34. 1987. v. 3.

84. L. Shilnikov, "Mathematical problems of nonlinear dynamics: a tutorial" // Int. J. Bif. / Chaos., 1997, v. 7, 9, p. 1953.

85. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е., Сафонова M.A., "Эффекты синхронизации и бифуркации синхронных и квазипериодических колебаний в неавтономном генераторе" // Изв. вузов. Сер. "Радиофизика", 1985, т. 28, №9, с. 1112-1125.

86. Фейгенбаум М., "Универсальность в поведении нелинейных систем" // УФН, 1983, т. 141, №, с. 343-374.

87. Фрост У., Моулден Т., "Турбулентность. Принципы и применения" // М.:Мир, 1980.

88. Hayashi С., "Nonlinear Oscillations in Physical Systems" // McGraw-Hill, New York, 1964.

89. P.S. Landa, "Nonlinear Oscillations and Waves in Dynamical Systems" // Kluver Acad. Publ., 1996.

90. Pikovsky A., Rosenblum M., and Kurths J., "Synchronization. A universal concept in nonlinear sciences" // Cambridge Univ. Press, 2001.

91. Анищенко B.C., Николаев C.M., "Генератор квазипериодических колебаний. Бифуркация удвоения двумерного тора" // Письма в ЖТФ, т. 31, №19, 2005, с. 88-94.

92. Anishchenko V., Nikolaev S., and Strelkova G., "Oscillator of Quasiperiodic Oscillations. Two-dimensional Torus Doubling Bifurcation" // Procidings of International Symposium NOLTA, Belgium, October 18-22, 2005.

93. Anishchenko V., Nikolaev S. and Kurths J., "Winding number locking on a two-dimensional torus: Synchronization of quasiperiodic motions" // Phys. Rev. E, 2006, v. 73, 056202.

94. Анищенко B.C., Николаев C.M., "Экспериментальное исследование синхронизации двухчастотных квазипериодических колебаний" // Прикладная нелинейная динамика, 2007, т. 15, №6, с. 93-101.

95. Анищенко B.C., Николаев С.М., "Устойчивость, синхронизация и разрушение квазипериодических колебаний" // Нелинейная динамика, 2006, т.2, №3, с.267-278.

96. V. Anishchenko, S. Nikolaev and Kurths J., "Peculiarities of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus" // Phys. Rev. E, 2007, v. 76, 046216.

97. Анищенко B.C., Николаев C.M., Kurths J., "Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе" // Нелинейная ди намика, 2008, т. 4, №1, с. 39-55.1. Благодарности