Структура пространства параметров нелинейных осцилляторов при квазипериодическом воздействии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗАХАРЕВИЧ Андрей Михайлович

СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ПРИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

01.04.03 - Радиофизика

ииз1Б162в

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2007

003161628

Работа выполнена в Саратовском государственном университете имени Н Г Чернышевского и в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники РАН

Научный руководитель

доктор физико-математических наук Селезнев Евгений Петрович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Астахов Владимир Владимирович (Саратовский государственный университет)

доктор физико-математических наук, профессор Бутковский Олег Ярославович (Владимирский государственный университет)

Ведущая организация

Нижегородский государственный университет (Нижний Новгород)

Защита состоится 12 ноября 2007 г в 17— на заседании диссертационного совета Д 212 243 01 в Саратовском государственном университете им. Н Г Чернышевского по адресу. 410012, г. Саратов, ул Астраханская, 83

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета

Автореферат разослан 3 октября 2007

года

Ученый секретарь диссертационного совета, дф-м.н " ВМ Аникин

Актуальность работы. Одним из интересных и важных направлений в нелинейной динамике является изучение систем, находящихся под внешним воздействием (неавтономных систем) Так, исследование вынужденных колебаний осциллятора подарило науке понимание многих важных феноменов, таких как резонанс, который успешно используется для фильтрации сигналов С развитием нелинейных представлений, особенно, концепции динамического хаоса, интерес к неавтономным осцилляторам значительно возрос, поскольку оказалось, что многие из них при элементарном гармоническом воздействии демонстрируют сложное поведение и хаос

Переход к исследованию более сложных систем на основе нелинейного осциллятора возможен двумя путями Первый, часто используемый - это цепочки и решетки на основе осциллятора Второй -изменение формы внешнего воздействия, например, квазипериодическое

Известно, что в динамике нелинейных систем при квазипериодическом воздействии переходу к хаосу предшествует рождение странного нехаотического аттрактора Впервые странные нехаотические аттракторы были описаны в работе Гребоджи, Отта и Йорка в 1984 году С этого момента их исследованию посвящено немало работ Странные нехаотические аттракторы характеризуются совмещением свойств регулярных режимов и хаоса, они устойчивы по Ляпунову, однако, обладают фрактальной структурой Спектр колебаний, соответствующий странному нехаотическому аттрактору, является

сингулярно-непрерывным В большинстве публикаций, посвященным динамике систем со странными нехаотическими аттракторами, уделяется внимание исследованиям математических моделей Экспериментальные работы встречаются крайне редко Для численного анализа систем со странными нехаотическими аттракторами чаще привлекаются дискретные модели в виде квадратичного отображения и отображения Эно с дополнительным воздействием, в тоже время редко используются дифференциальные модели

Анализ известных результатов позволяет выделить ряд проблем, которые требуют дополнительного исследования

• Мало изучена структура пространства управляющих параметров нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии

• Одна из проблем при изучении систем со странными нехаотическими аттракторами связана с идентификацией колебательных режимов В настоящее время для определения перехода к странному нехаотическому аттрактору наиболее широко используются методы фазовой чувствительности и рациональных аппроксимаций Первый хорошо себя зарекомендовал при анализе дискретных моделей, второй — в физическом эксперименте Однако, при изучении дифференциальных моделей эти методы оказываются громоздкими, что влечет к поиску иных методов идентификации странных нехаотических аттракторов

• Переход от одиночного осциллятора к связанным осцилляторам, а затем к цепочкам и решеткам, традиционно в теории колебаний и волн является классическим приемом исследования и рассматривается как промежуточный этап при последовательном переходе к волновым процессам Однако, исследования динамики связанных нелинейных осцилляторов были ограничены случаем синфазного воздействия, а случай произвольного иррационального соотношения частот внешнего воздействия не рассматривался

• В общем случае для неавтономных систем можно выделить два типа динамических переменных - отражающие состояние системы и характеризующие фазу воздействия При иррациональном соотношении частот воздействия, динамика неавтономных систем инвариантна по отношению к начальной фазе или разности начальных фаз гармонических составляющих воздействия Каковы последствия нарушения инвариантности в динамике системы и структуре пространства управляющих параметров9

Таким образом, тематика диссертационной работы затрагивает сферы фундаментальных вопросов радиофизики, нелинейной динамики и теории колебаний В первую очередь это касается закономерностей перехода, связанных с рождением странного нехаотического аттрактора, методов идентификации различных режимов колебаний, структуры пространства параметров дискретных и дифференциальных моделей нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии, влияния нарушения инвариантности динамики по отношению к разности начальных фаз воздействия, динамики связанных систем при иррациональном соотношении частот воздействия

Цель диссертационной работы состоит в исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров неавтономного нелинейного осциллятора и связанных систем на его основе при рациональном и иррациональном соотношении частот воздействия Для достижения цели решались следующие основные задачи

1) Последовательное экспериментальное исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров диссипативного нелинейного осциллятора с различным профилем потенциальной ямы при двухчастотном воздействии

2) Разработка методики построения структуры пространства параметров дифференциальных моделей при квазипериодическом воздействии

3) Численное исследование дискретных моделей при двухчастотном воздействии

4) Исследование дифференциальных моделей при квазипериодическом воздействии

5) Экспериментальное и численное исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров в системе нелинейных осцилляторов с резистивной и емкостной связью при иррациональном соотношении частот воздействия

Для достижения поставленных целей сконструированы радиофизические объекты, способные демонстрировать сложную динамику, созданы экспериментальные установки для их исследования В качестве таковых в эксперименте выступают неавтономные колебательные контуры с полупроводниковым диодом и кусочно-линейной емкостью Проводится исследование их поведения в возможно более широкой области изменения управляющих параметров Затем выбирается диапазон значений параметров, при которых объект характеризуется определенным набором свойств и проводится предварительное изучение более сложной системы (с дополнительным воздействием или связанных объектов) Следующий шаг - исследование в более широкой области управляющих параметров Для модельных дискретных и дифференциальных систем на основе оценки компоненты автокорреляционной функции отработан метод построения структуры разбиения пространства управляющих параметров на области существования различных режимов колебаний Научная новизна;

• проведено комплексное экспериментальное исследование семейства нелинейных осцилляторов с различными формами потенциальной ямы при периодическом и квазипериодическом внешнем воздействии,

• предложен и апробирован простой метод исследования структуры пространства параметров на основе оценки компоненты автокорреляционной функции,

• проведено экспериментальное и численное исследование влияния нарушения инвариантности динамики системы по отношению к разности начальных фаз воздействия,

• проведено численное исследование структуры пространства управляющих параметров дифференциальных моделей нелинейных осцилляторов с различными формами потенциальной ямы при квазипериодическом внешнем воздействии,

• проведено детальное экспериментальное и численное исследование динамики связанных нелинейных осцилляторов с иррациональным соотношением частот воздействия Построены карты динамических режимов, отработана методика регистрации странных нехаотических аттракторов

Практическая значимость работы.

Полученные результаты полезны для специалистов, занимающихся исследованием нелинейных систем при двухчастотном воздействии, в частности, параметрических усилителей, генераторов и умножителей на основе варакторных диодов в режиме больших сигналов, как разделы в курсах теории колебаний и волн

Достоверность полученных результатов основывается на соответствии выводов экспериментальных исследований и численного анализа моделей, совпадении результатов при использовании различных методов идентификации колебательных режимов (спектральных,

наблюдений проекций фазовых портретов, их сечений Пуанкаре, на основе оценки размерностных характеристик и старших ляпуновских показателей), воспроизводимости экспериментов, использовании стандартной измерительной аппаратуры, отработанных численных методов решений алгебраических и дифференциальных уравнений, а так же отсутствием противоречий с известными в литературе достоверными результатами

Личный вклад соискателя. Соискатель участвовал в постановке задач, разработке и обосновании методов их решения, интерпретации результатов численных и радиофизических экспериментов Обсуждение и обобщение результатов, а также экспериментальные исследования проводились совместно с научным руководителем д ф -м н Е П Селезневым Соискателем был подготовлен комплекс программ и проведены численные исследования дискретных и дифференциальных моделей Он принимал участие в разработке и изготовлении экспериментальных макетов Им проведено ряд экспериментальных и численных исследований, обеспечена иллюстрация результатов

Апробация работы и публикации.

Основные материалы работы представлялись на Second Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis (EUROATTRACTOR 2001), международной конференции «Проблемы фундаментальной физики» (2000), Всероссийских конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2002, 2005), Всероссийских школах "ХАОС" (Саратов, 2001, 2004), конференции молодых ученых «Нелинейные волновые процессы» (Н Новгород, 2004), на International symposium 'Topical problems of nonlinear wave physics"( H Новгород, 2005), XIII научной школе "Нелинейные волны-2006", (Н Новгород, 2006), конференции молодых ученых, аспирантов и студентов НОЦ СГУ "Нелинейная динамика и биофизика" (Саратов 2002, 2003), 2-ой конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов 2007), школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (2003 - 2006 гг), научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов СГУ и СФ ИРЭ РАН

Работы были поддержаны грантами CRDF (REC-006) для студентов, грантом Президиума РАН для молодых ученых, грантами РФФИ № 99-0217735, № 02-02-17578, грантами Фонда некоммерческих программ «Династия»

Основные результаты работы представлены публикациями в российских научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации диссертационных работ По теме диссертации опубликовано 27 работ (6 статей в рецензируемых журналах, 11 статей в сборниках трудов научных конференций, 10 тезисов докладов)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы Общий объем диссертации - 130 страницы, в том числе 58 рисунка и библиография из 155 наименований Краткое содержание работы. Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых в работе проблем, приводится краткий обзор существующих подходов к их решению, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, формулируются положения и результаты, выносимые на защиту, раскрывается научная новизна и научно-практическое значение полученных в работе результатов, отражается личный вклад соискателя и апробация результатов работы

В первой главе экспериментально исследовались радиотехнические осцилляторы - нелинейный колебательный контур с полупроводниковым диодом и кусочно-линейный колебательный контур, возбуждаемые бигармоническим сигналом Е(1) = Ах вт 2к+ А2 эт 2л// Для идентификации странных нехаотических аттракторов использовался метод рациональных аппроксимаций В эксперименте было предусмотрено задание рационального соотношения частот 13/15 из последовательности,

>/5 — 1 7 „

сходящейся к заданному иррациональному значению —-— — Исходя из

свойств исходной системы, гармонически возбуждаемого колебательного, для этой же системы при квазипериодическом воздействии можно выделить три типичных случая 1) при увеличении амплитуд парциальных воздействий наблюдается только последовательность бифуркаций удвоения периода, завершающаяся переходом к хаосу, 2) при увеличении параметра А1 имеет место дополнительно седло-узловая бифуркация, 3) седло-узловая бифуркация имеет место как при увеличении Л, так и А2

На рис 1а представлена структура пространства управляющих параметров колебательного контура при квазипериодическом воздействии, соответствующая 1 случаю Различными тонами отмечены области существования гладких торов, странного нехаотического аттрактора и хаоса, сплошными - линии удвоения тора, крестиками - терминальные точки ТИТ При иррациональном соотношении частот воздействия динамика системы инвариантна к начальным фазам воздействия Последнее приводит к тому, что структура плоскости параметров (Д, А2) (рис 1а) симметрична относительно осей координат (в случае экспериментальных результатов картина близка к симметричной в силу конечной точности измерений и наличия шумов) Из рис 1а видно, что все линии удвоения тора, перехода к странному нехаотическому и хаотическому аттракторам, начинаются и заканчиваются в терминальных точках ТИТ При этом следует отметить, что каждая из линий удвоения торов опираются только на «собственную» пару терминальных точек ТИТ Следует отметить, что в динамике системы отсутствует мультистабильность

На рис. 16 приведен фрагмент структуры пространства параметров (А,,А2) аля второго варианта значений частот воздействия. В силу симметрии картины приведен только фрагмент, ограниченный положительными значениями амплитуд воздействия. Изменения по сравнению с рис.1а связаны с появлением иного сценария перехода к хаосу. При движении из точки 1 в область хаоса (влево по линии 1-2 на рис. 1 б) колебания, наблюдаемые на границе порядок-хаос, напоминают режим перемежаемости, в котором регулярным аттрактором является тор. В данном случае имеет место следующая ситуация. В пространстве параметров исследуемой системы имеет место сборка, ограниченная линиями складки (жирные сплошная и пунктирная линии на рис.1б.). В этой области сосуществуют два устойчивых и один неустойчивый тор. С движением по плоскости параметров вверх жирные линии сливаются в точке сборки (точка А на рис.1б) и образуют границу между хаосом и удвоенным тором. С движением от границы вглубь области хаоса длина хаотической фазы увеличивается, ламинарной уменьшается, а в итоге, в результате перемешивания формируется хаотический аттрактор.

а)

б)

Рис. 1 Качественный вид структуры пространства параметров внешнего

А >/5-1 7

квазипериодического воздействия на контур с диодом при у- = -кГц, /, = 45.858 кГц, б) / = 60 кГц, /, =51.9148 кГц.

Задание рационального соотношения частот /2 / качественно меняет динамику и структуру плоскости параметров воздействия. Рис.2 иллюстрирует структуру плоскости параметров при /2/_Д=2/3. На плоскости параметров имеется множество линий седло-узловых бифуркаций, разделяющих области существования различных предельных циклов. Переход к хаосу происходит через последовательность удвоений

периода колебаний. В целом динамика системы не инвариантна к начальным фазам воздействия, и, как следствие, имеет место мультистабильность.

Рис. 2. Структура плоскости

параметров (/(,,/4,) при соотношении частот /, /у = 2/3.

Таким образом, при иррациональном соотношении частот динамика нелинейного осциллятора инвариантна по отношению к начальным фазам воздействия. Как следствие инвариантности динамики системы к начальным фазам воздействия в динамике такой системы отсутствует мультистабильность, а плоскость параметров воздействия симметрична относительно осей координат. Характерным для пространства управляющих параметров нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии является существование набора пар терминальных точек ТОТ, на которые опираются линии удвоения тора, рождения странного нехаотического аттрактора и перехода к хаосу. Задание рационального соотношения частот воздействия приводит к нарушению инвариантности по отношению начальным фазам воздействия и формированию мультистабильности.

Во второй главе приводятся результаты исследований дискретных и дифференциальной моделей экспериментальных систем при различных соотношениях частот. В качестве дискретных моделей использовались квадратичное отображение с дополнительным воздействием в виде =Л-х]+е$т2л:уп =У„ +®(тск11)

и мультимодальное отображение, в которое аналогично системе (1) добавлено дополнительное воздействие:

xntl -Л + хп exp(-d/&>2)cos(27r/íu0(l + /Зхп)) + еsin 2луп ^

Уп+1 ~ Уп+ «(mod 1)

здесь х - динамическая переменная, X - управляющий параметр, s -амплитуда дополнительного воздействия, со - частота дополнительного воздействия. В качестве дифференциальной модели использовалось уравнение Тода с бигармоническим воздействием:

х + rx + ех - 1 = A¡ sin 2лfxt + А2 sin 2лf2t (3)

где л - динамическая переменная, г - параметр диссипации, А, и А2 -амплитуды парциальных воздействий, f¡ и /2 - их частоты, соответственно.

Рис.3. Карты динамических режимов (а,в,г) и ляпуновского(б) показателя модели (1) при:

а) « = (V5-I)/2,

б) со = [Л-\)п,

в) <H = (V5-l)/2-7/5,

г) ш = Я-/4.

Известно, что движению на странном нехаотическом аттракторе соответствуют колебания с так называемым сингулярно-непрерывным спектром. В работе М. Закса [Zaks М.А. Physica. 2001. Vol. D149. р.237]

1 т

была предложена мера в виде С(Т) = — ||С(г)|с?г, где С(г) -

^ о

автокорреляционная функция, Т - время, г - время задержки. Было показано, что наклон зависимости С(Т), характеризующий скорость спадания автокорреляционной функции, для колебаний с сингулярно-непрерывным спектром оказывается промежуточным между аналогичными для колебаний с дискретным и сплошным спектрами. Последнее позволяет использовать данную меру для идентификации различных режимов колебаний. Следует отметить, что нет строго доказанных оценок скорости спадания автокорреляционной функции для

Е

колебаний с сингулярно-непрерывным спектром (в том числе и соответствующих движению на странном нехаотическом аттракторе). Выход из данной ситуации может быть найден на основе использования уже известных результатов. Для этого данный подход был протестирован на уже хорошо изученной модели (1), а затем апробирован на моделях (2) и (3).

Рис. 4 Карты динамических режимов уравнения Года при квазипериодическом воздействии с выделенными фрагментами при:

.(75-1) 2 ' (75-1)7 2 5'

А2

0.5

хаос

т СНА

\т2

-V

А2

0.5

1.5

1.9

2.3

А1

хаос Т2

(Г2 СНА

Г к

а) / = 1. /а = "

б)/, = 1,Л = -

1.5

1.9

2.3

А1

На рис.За,в,г представлена структура плоскости параметров (Л, е), построенная на основе оценке угла наклона С(Т) для различных иррациональных значений параметра со. Сплошными обозначены линии удвоения тора, крестиками - терминальные точки, белая область (на рисунке отмечена D) соответствует убеганию системы на бесконечность, различными тонами серого отмечены области существования гладких торов, странного нехаотического и хаотического аттракторов (наиболее темные). Для оценки угла наклона С{Т) использовался массив данных в 20000 значений. Рис.За построен для значения параметра со, равному «золотому среднему». Для качественного сравнения на рис.36 представлены области, соответствующие движениям с положительными и отрицательными значениями ляпуновского показателя. Сопоставление показывает, что области существования гладких торов и странного нехаотического аттрактора на рис.За совпадают с областью существования движений с отрицательным ляпуновским показателем на рис.Зб. Сравнение рис.За с аналогичным построенным на основе метода фазовой чувствительности [Кузнецов С.П., Пиковский A.C. Фойдель У. Странный нехаотический аттрактор. В кн. «Нелинейные волны-2004», Наука. 2004.] указывает на их хорошее соответствие. Таким образом, предложенный метод позволяет одновременно идентифицировать колебательные режимы и проводить анализ структуры пространства параметров.

Задание других иррациональных значений параметра со (рис.3в,г) качественно не меняет структуру плоскости параметров, изменяются лишь

граница существования области притягивающих множеств и несколько смещаются линии удвоений торов.

Рис. 5. Структура плоскости управляющих параметров (Л,е), фазовые портреты и их стробоскопически е сечения модели (1) при ю = 2/3.

На рис.4 для различных соотношений частот воздействия представлена плоскость параметров (А,, Аг) и ее выделенные фрагменты модели (3). Система обозначений аналогична рис.3. Значения частот воздействия и параметра диссипации выбраны такими, что при увеличении каждого из парциальных воздействий система демонстрирует последовательность бифуркаций удвоения периода, завершающуюся переходом к хаосу. Переход к хаосу в модели происходит через рождение странного нехаотического аттрактора. На плоскости имеют место набор терминальных точек, на которые опираются линии удвоения торов, перехода к СНА и хаосу, и сборка, линии складок которой (на рис.4 выделены жирным) сходятся в точке А. В целом плоскость параметров качественно напоминает аналогичную, представленную на рис.1б, при этом наблюдаемые отличия проявляются в количестве терминальных точек и конфигурации границ областей существования регулярных и хаотических аттракторов.

В целом, результаты численных исследования дискретных и дифференциальной моделей позволяют утверждать, что предложенный метод для систем с квазипериодическим воздействием позволяет качественно построить на плоскости параметров области существования гладких торов, странного нехаотического и хаотического аттракторов. В

силу отсутствия строгих аналитических выводов, говорить об области существования СНА можно лишь, предполагая арпоп, что данный режим имеет место в исследуемой системе

Задание рационального со приводит к нарушению инвариантности динамики системы по отношению к начальным фазам воздействия Рис 5 иллюстрирует структуру плоскости параметров (А,е), фазовые портреты и их стробоскопические сечения, модели (1) при со = 2/3 Задание рационального со приводит к тому, что в поведении системы имеют место мультистабильные состояния Плоскость управляющих параметров имеет многолистную структуру с образованием множества сборок С приближением параметра со к иррациональному значению количество мультистабильных состояний увеличивается, структура плоскости параметров становится все более и более сложной

В третьей главе экспериментально и численно исследовалась система двух нелинейных осцилляторов с диссипативным и реактивным (емкостным) видами связи В качестве математической модели использовались связанные уравнения Тода

— = Л 5ш(й). О - /у, -е'' +1 с!т

■ * (4)

— = А2 вш(£»,г) - гуг - е'г +1 Лт

. ат

Динамика связанной системы при иррациональном соотношении частот воздействия, как и динамика квазипериодически возбуждаемого нелинейного осциллятора, инвариантна по отношению к начальным фазам воздействия Это приводит к отсутствию мультистабильных состояний в динамике связанной системы и симметрии плоскости параметров (Л,, А2) внешнего воздействия относительно осей координат

На рис.6 приведены фрагменты плоскости параметров (Ап А2) при различных уровнях диссипативной связи и соотношении частот >/5—1 7 _

воздействия, равном —-— — Белым цветом и различными тонами серого

цвета обозначены области существования гладких торов, странных нехаотических аттракторов (СНА), хаоса и гиперхаоса, тонкие линии соответствуют мягким переходам, крестиками обозначены терминальные точки ТБТ, А1с и А2с - критические значения амплитуд воздействия, соответствующие переходу к хаосу в первом и втором осцилляторах Анализ плоскости (Лр А2) удобно начать с предельного случая нулевой связи (рис 6а), когда Ясв —» оо Она напоминает шахматную доску, размеры клеток которой будут уменьшаться с приближением к критическим

значениям параметров А1с и Агс. Области хаоса имеют место, когда только один из параметров превышает критическое значение, в случае Л, > Аи., Аг > А2с имеет место область существования гиперхаоса. Следует отметить, что области существования хаоса и гиперхаоса не являются сплошными, в них имеют место так называемые «окна прозрачности» регулярных режимов, что обусловлено индивидуальной динамикой парциальных систем.

Рис.6. Изменение структуры пространства параметров внешнего воздействия при различных уровнях диссипативной связи: а) = оо, б) Л„ = 67кОм, в)

Я =5.23 кОм.

св

Рис.66 получен при слабой резистивной связи - 67 кОм). Взаимодействие осцилляторов приводит к тому, что последовательность бифуркаций удвоения тора становится конечной, а переход к хаосу происходит через рождение странного нехаотического аттрактора. Разрушаются области существования многообходных торов, границы областей существования гладких торов искривляются, появляются терминальные точки ТОТ и области существования странного нехаотического аттрактора, в тоже время, сохраняются некоторые черты, присущие рис.ба., однако, выделить в эксперименте области существования гиперхаоса уже не удается. Качественно стробоскопические сечения проекций фазовых портретов напоминают аналогичные для нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии. Так, при движении вдоль линии АВ (см. рис.66) гладкому тору соответствует гладкая замкнутая кривая. С последовательным увеличением внешнего воздействия после удвоений тора наблюдаются две, а затем четыре замкнутые линии (двух обходной и четырех обходной торы, соответственно). При дальнейшем увеличение параметра А1с наблюдается переход к странному нехаотическому аттрактору, сопровождающийся появлением на сечении изломов, что указывает на потерю гладкости и формирование локальной неустойчивости. С дальнейшим увеличением управляющих параметров происходит переход к хаосу и формируется четырехленточный (в стробоскопическом сечении) хаотический аттрактор.

Дальнейшее увеличение параметра А, приводит к развитию хаоса, связанное с последовательным слиянием лент аттрактора и формированием односвязного хаотического аттрактора (точка В на рис.66).

На рис.бв представлена структура плоскости параметров уже при сравнительно сильной связи (Ясв =5.23кОм). Уменьшение Лм приводит к увеличению уровня диссипации в каждом из контуров, и поэтому бифуркационные и критические значения управляющих параметров увеличиваются. Границы областей существования различных режимов колебаний сильно искривляются, линии удвоения торов начинаются и заканчиваются в терминальных точках ТЭТ.

В случае реактивной связи, в динамике экспериментальной системы наблюдается рождение трехмерного тора. В областях существования трехмерного тора наблюдаются резонанс последующим переходом к двумерному тору, разрушение резонансного двумерного тора и переход к хаосу. Однако выявить детали этого перехода в эксперименте не представляется возможным из-за наличия шумов.

а) б)

Рис 6. Области существования различных режимов колебаний при слабой связи и

й), 75-1 7

— =---(а) и зависимость спектра ляпуновских показателей от амплитуды

ш, 2 5

воздействия (б) модели.

На рис.6а представлена структура плоскости параметров (Л,, А2) модели при слабой связи, построенная на основе оценки угла наклона С(Т). Система обозначений аналогичны рис.4. Конфигурация областей режимов колебаний качественно напоминает рис.66. В динамике модели наблюдаются удвоения торов и переход к хаосу через рождения странного нехаотического аттрактора. На плоскости параметров имеется набор терминальных точек (на рисунке они не показаны) на которые опираются линии удвоения торов. С увеличением параметров в закритической области имеет место переход к гиперхаосу, однако отследить границы перехода не представляется возможным. На рис.6 представлены

зависимости ляпуиовских показателей при изменении параметра Ах Из рисунка видно, что в динамике модели можно четко выделить режимы колебаний с одним и двумя положительными ляпуновскими показателями Анализ фазовых портретов в прямом и обратном времени позволяет утверждать, что переход к гиперхаосу происходит плавным образом

Таким образом, для различных вариантов соотношений частот, уровней и типов связи построены карты динамических режимов Выявлены закономерности в структуре бифуркационных линий, даны иллюстрации различных режимов колебаний торов, удвоенных торов странных нехаотических и хаотических аттракторов Показано, структура плоскости параметров внешнего воздействия связанной системы определяется набором терминальных точек ТЭТ, на которые опираются линии удвоения торов, перехода к странному нехаотическому аттрактору и хаосу Терминальные точки формируются в результате введения связи в окрестности пересечения линий удвоения Типичными в рассматриваемой системе являются сценарии перехода к хаосу через рождение странного нехаотического аттрактора, через разрушение трехмерного тора, режим перемежаемости тор - хаос и разрушение трехмерного тора

Опираясь на известные результаты исследований динамики связанных нелинейных осцилляторов при синфазном воздействии (рациональном соотношении частот воздействия), а так же моделей в виде связанных квадратичных отображений, можно утверждать, что нарушение инвариантности динамики по отношению к начальным фазам воздействия ведет к формированию мультистабильности и сложной многолистной структуре пространства управляющих параметров

Положения, выносимые на защиту

1 Линии бифуркации удвоения торов являются конечными и опираются на отдельную пару терминальных точек ТОТ В итоге на плоскости параметров формируется бифуркационная структура, представляющая последовательно соединенные посредством терминальных точек линии удвоения тора и линии рождения странного нехаотического аттрактора При этом граница перехода к хаосу замыкается на терминальные точки

2 Метод на основе оценки компоненты автокорреляционной функции позволяет в первом приближении построить в пространстве управляющих параметров, области существования различных режимов колебаний

3 Формирование мультистабильности в нелинейном осцилляторе и системе связанных нелинейных осцилляторов происходит в результате нарушения инвариантности динамики системы по отношению к начальным фазам внешнего воздействия при задании рационального соотношения частот воздействия

Публикации по теме диссертации

1 Селезнев Е П, Захаревич А М Структура пространства управляющих параметров модели нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии //Изв Вузов, ПНД 2001,т9, №2 С 3944

2 Селезнев Е П , Захаревич А М Влияние асимметрии на фрактальные свойства синхронного хаоса в связанных системах с удвоением периода //ПисьмавЖТФ 2002 Т 28, вып 13 С 7-14

3 Селезнев Е П , Захаревич А М Динамика нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии // Письма в ЖТФ 2005 Т № 31, вып 17 С 13-18

4 Селезнев ЕП, Захаревич AM О размерности аттрактора нелинейного осциллятора // Письма в ЖТФ 2004 Т 30, вып 5 с 7681

5 Селезнев Е П, Захаревич А М Структура пространства управляющих параметров неавтономного кусочно-линейного осциллятора //ЖТФ 2006 Т 76,вып 4 с 133-135

6 Селезнев Е П, Захаревич А М Фрактальные свойства синхронного хаоса в связанных отображениях // Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика 2002 Т10, №5 с 19-24

7 Seleznev Ye Р , Zakharevich А М Sets of Resonant Cycles and their Evolution in the Nonlinear oscillator's Model Under Two-Frequency Action // Abstracts of the Second Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis (EUROATTRACTOR 2001), Warsaw, Poland, P 71

8 Селезнев Е.П, Захаревич A M Динамика модели нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии // Вторая международная конференция «Фундаментальные проблемы физики», Саратов, Россия, 9-14 октября 2000г Материалы конференции С 173-174

9 Селезнев Е П , Захаревич А М Влияние асимметрии на свойства синхронного хаоса в связанных системах с удвоением периода // Международная школа «ХАОС-2001» Тезисы докладов Саратов 2001 с 107-108

10 Селезнев Е П, Захаревич AM О размерности хаотического аттрактора неавтономного нелинейного осциллятора // Межд конференция «Нелинейные колебания механических систем» Н Новгород 2002 Тезисы докладов С 74

11 Селезнев Е П , Захаревич А М Фрактальные свойтсва синхронного хаоса в связанных отображениях // Межд конференция «Нелинейные колебания механических систем» Н Новгород 2002 Тезисы докладов С 75

12 Захаревич AMO реконструкции модели неавтономной RL-диода цепи по временным рядам // Сборник материалов научной школы-

конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2002" Саратов, 2002 стр 54-57

13 Захаревич A M Экспериментальное исследование динамики нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии // Сборник материалов на научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2003", Саратов

14 Захаревич A M, Сысоев И В Эквивалентные представления полупроводникового диода и оценка характеристик этих эквивалентных представлений методами реконструкции по временным рядам // Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2003", Саратов, 2003 С 258-261

15 Селезнев Е П, Захаревич A M Динамика нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии // Международная школа «ХАОС-2004» Тезисы докладов Саратов 2004 с 178

16 Селезнев Е П, Захаревич A M Динамика неавтономных осцилляторов с диссипативной связью и иррациональным соотношением частот // Международная школа «ХАОС-2004» Тезисы докладов Саратов 2004 с 179

17 Селезнев ЕП., Захаревич AM Рождение и синхронизация трехмерного тора в неавтономных осцилляторах с реактивной связью // Международная школа «ХАОС-2004». Тезисы докладов Саратов 2004 с 180

18 Захаревич A M Динамика нелинейного колебательного контура при двухчастотном воздействии // Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2004", Саратов, 2004 С 106-109

19 Селезнев ЕП, Захаревич AM Сценарии перехода к хаосу в нелинейном осцилляторе при квазипериодическом воздействии // Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем» 2005 с 191

20 Селезнев Е П, Захаревич A M Динамика нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии с рациональным соотношением частот // Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем» 2005 с 194

21 Seleznev YeP, Zakharevich AM Transition to chaos in quasiperiodically forced nonlinear pendulum // International symposium "Topical problems of nonlinear wave physics" N Novgorod Russia Proceedings 2005 p 93-94

22 Захаревич A M Исследование динамики одномерных отображений при квазипериодическом воздействии // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2005», Саратов 2005

23 Захаревич А М Осциллятор Тода при квазипериодическом воздействии // Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2006", Саратов

24 Захаревич А.М, Селезнев Е П , Зборовский А В II конференция молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», Саратов, 2007 с 71

25. Захаревич АМ, Селезнев ЕП, Зборовский А В II конференция молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», Саратов, 2007. с.73

26. Захаревич А.МСелезнев Е П Переход хаос - гиперхаос в диссипативно связанных нелинейных осцилляторах с иррациональным соотношением частот воздействия // VIII Международная конференция «Хаотические автоколебания, образование структур-2007»

27. Захаревич А М , Юрина Е С , Селезнев Е Г1 Динамика трехмерного тора в дискретной модели нелинейного осциллятора при трехчастотном воздействии Динамика трехмерного тора в дискретной модели нелинейного осциллятора при трехчастотном воздействии // VIII Международная конференция «Хаотические автоколебания, образование структур-2007»

ЗАХАРЕВИЧ Андрей Михайлович

СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ПРИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Автореферат

Подписано в печать У 10. О? Формат 60x84 i|6 Ьумага оффсетная 1 арнитура rimes New Roman Уел меч л 1,16(1,25) Тираж 100 Заказ

Типография Издательства Саратовского университета 410012, Саратов, Астраханская, 83

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ПРИ

ДВУХЧАСТОТНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

1.1. Пространство параметров внешнего воздействия колебательного контура с полупроводниковым диодом при двухчастотном воздействии

1.2. Колебательный контур при двухчастотном воздействии с рациональным соотношением частот

1.3. Динамика кусочно-линейного осциллятора при двухчастотном воздействии

1.3.1. Кусочно-линейный осциллятор при гармоническом воздействии

1.3.2. Кусочно-линейный осциллятор с симметричным потенциалом при квазипериодическом воздействии

1.4. Выводы

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ

ОСЦИЛЛЯТОРОВ

2.1. Численное исследование моделей осцилляторов в виде отображений

2.1.1. Способ идентификации странных нехаотических аттракторов

2.1.2. Отображение осциллятора с мягким поведением»

2.1.3. Отображение осциллятора с симметричным потенциалом

2.2. Численное исследование модели осциллятора в виде дифференциального уравнения

2.3. Численное исследование дискретной модели с рациональным соотношением частот

2.4. Выводы

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА СВЯЗАННЫХ НЕАВТОНОМНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ С ИРРАЦИОНАЛЬНЫМ СООТНОШЕНИЕМ ЧАСТОТ ВОЗДЕЙСТВИЯ

3.1. Экспериментальное исследование динамики нелинейных колебательных контуров с диссипативной связью

3.2. Численное исследование динамики нелинейных колебательных контуров с диссипативной связью

3.3. Экспериментальное исследование динамики нелинейных колебательных контуров с реактивной (емкостной) связью

3.4. Динамика дискретной модели связанных нелинейных осцилляторов при синфазном возбуждении

3.5. Выводы

Одним из интересных и важных направлений в нелинейной динамике является изучение систем, находящихся под внешним воздействием (неавтономных систем). Так, исследование вынужденных колебаний осциллятора подарило науке понимание многих важных феноменов, таких как резонанс, который успешно используется для фильтрации сигналов. С развитием нелинейных представлений, особенно, концепции динамического хаоса, интерес к неавтономным осцилляторам значительно возрос, поскольку оказалось, что многие из них при элементарном гармоническом воздействии демонстрируют сложное поведение и хаос. [1-6].

Переход к исследованию более сложных систем на основе нелинейного осциллятора возможен двумя путями. Первый, часто используемый - это цепочки и решетки на основе осциллятора. Второй - изменение формы внешнего воздействия, например, квазипериодическое.

Известно, что в динамике нелинейных систем при квазипериодическом воздействии переходу к хаосу предшествует рождение странного нехаотического аттрактора. Впервые странные нехаотические аттракторы были описаны в работе Гребоджи, Отта и Йорка в 1984 году [7]. С этого момента их исследованию посвящено немало работ [7-45]. Странные нехаотические аттракторы характеризуются совмещением свойств регулярных режимов и хаоса, они устойчивы по Ляпунову, однако, обладают фрактальной структурой. Спектр колебаний, соответствующий странному нехаотическому аттрактору, является сингулярно-непрерывным. В большинстве публикаций, посвященным динамике систем со странными нехаотическими аттракторами, уделяется внимание исследованиям математических моделей. Экспериментальные работы встречаются крайне редко. Для численного анализа систем со странными нехаотическими аттракторами чаще привлекаются дискретные модели: в виде квадратичного отображения и отображения Эно с дополнительным воздействием, в тоже время редко используются дифференциальные модели.

Анализ известных результатов позволяет выделить ряд проблем, которые требуют дополнительного исследования.

• Мало изучена структура пространства управляющих параметров нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии.

• Одна из проблем при изучении систем со странными нехаотическими аттракторами связана с идентификацией колебательных режимов. В настоящее время для определения перехода к странному нехаотическому аттрактору наиболее широко используются методы фазовой чувствительности и рациональных аппроксимаций. Первый хорошо себя зарекомендовал при анализе дискретных моделей, второй - в физическом эксперименте. Однако, при изучении дифференциальных моделей эти методы оказываются громоздкими, что влечет к поиску иных методов идентификации странных нехаотических аттракторов.

• Переход от одиночного осциллятора к связанным осцилляторам, а затем к цепочкам и решеткам, традиционно в теории колебаний и волн является классическим приемом исследования и рассматривается как промежуточный этап при последовательном переходе к волновым процессам. Однако, исследования динамики связанных нелинейных осцилляторов были ограничены случаем синфазного воздействия, а случай произвольного иррационального соотношения частот внешнего воздействия не рассматривался.

• В общем случае для неавтономных систем можно выделить два типа динамических переменных - отражающие состояние системы и характеризующие фазу воздействия. При иррациональном соотношении частот воздействия, динамика неавтономных систем инвариантна по отношению к начальной фазе или разности начальных фаз гармонических составляющих воздействия. Каковы последствия нарушения инвариантности в динамике системы и структуре пространства управляющих параметров?

Таким образом, тематика диссертационной работы затрагивает сферы фундаментальных вопросов радиофизики, нелинейной динамики и теории колебаний. В первую очередь это касается закономерностей перехода, связанных с рождением странного нехаотического аттрактора, методов идентификации различных режимов колебаний, структуры пространства параметров дискретных и дифференциальных моделей нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии, влияния нарушения инвариантности динамики по отношению к разности начальных фаз воздействия, динамики связанных систем при иррациональном соотношении частот воздействия.

Цель диссертационной работы состоит в исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров неавтономного нелинейного осциллятора и связанных систем на его основе при рациональном и иррациональном соотношении частот воздействия.

Для достижения цели решались следующие основные задачи.

1) Последовательное экспериментальное исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров диссипативного нелинейного осциллятора с различным профилем потенциальной ямы при двухчастотном воздействии.

2) Разработка методики построения структуры пространства параметров дифференциальных моделей при квазипериодическом воздействии.

3) Численное исследование дискретных моделей при двухчастотном воздействии.

4) Исследование дифференциальных моделей при квазипериодическом воздействии.

5) Экспериментальное и численное исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров в системе нелинейных осцилляторов с резистивной и емкостной связью при иррациональном соотношении частот воздействия.

Для достижения поставленных целей сконструированы радиофизические объекты, способные демонстрировать сложную динамику, созданы экспериментальные установки для их исследования. В качестве таковых в эксперименте выступают неавтономные колебательные контуры с полупроводниковым диодом и кусочно-линейной емкостью. Проводится исследование их поведения в возможно более широкой области изменения управляющих параметров. Затем выбирается диапазон значений параметров, при которых объект характеризуется определенным набором свойств и проводится предварительное изучение более сложной системы (с дополнительным воздействием или связанных объектов). Следующий шаг -исследование в более широкой области управляющих параметров. Для модельных дискретных и дифференциальных систем на основе оценки компоненты автокорреляционной функции отработан метод построения структуры разбиения пространства управляющих параметров на области существования различных режимов колебаний.

Научная новизна:

• проведено комплексное экспериментальное исследование семейства нелинейных осцилляторов с различными формами потенциальной ямы при периодическом и квазипериодическом внешнем воздействии;

• предложен и апробирован простой метод исследования структуры пространства параметров на основе оценки компоненты автокорреляционной функции;

• проведено экспериментальное и численное исследование влияния нарушения инвариантности динамики системы по отношению к разности начальных фаз воздействия;

• проведено численное исследование структуры пространства управляющих параметров дифференциальных моделей нелинейных осцилляторов с различными формами потенциальной ямы при квазипериодическом внешнем воздействии; • проведено детальное экспериментальное и численное исследование динамики связанных нелинейных осцилляторов с иррациональным соотношением частот воздействия. Построены карты динамических режимов, отработана методика регистрации странных нехаотических аттракторов.

Практическая значимость работы.

Полученные результаты полезны для специалистов, занимающихся исследованием нелинейных систем при двухчастотном воздействии, в частности, параметрических усилителей, генераторов и умножителей на основе варакторных диодов в режиме больших сигналов, как разделы в курсах теории колебаний и волн.

Достоверность полученных результатов основывается на соответствии выводов экспериментальных исследований и численного анализа моделей, совпадении результатов при использовании различных методов идентификации колебательных режимов (спектральных, наблюдений проекций фазовых портретов, их сечений Пуанкаре, на основе оценки размерностных характеристик и старших ляпуновских показателей), воспроизводимости экспериментов, использовании стандартной измерительной аппаратуры, отработанных численных методов решений алгебраических и дифференциальных уравнений, а так же отсутствием противоречий с известными в литературе достоверными результатами.

Личный вклад соискателя. Соискатель участвовал в постановке задач, разработке и обосновании методов их решения, интерпретации результатов численных и радиофизических экспериментов. Обсуждение и обобщение результатов, а также экспериментальные исследования проводились совместно с научным руководителем д.ф.-м.н. Е.П. Селезневым. Соискателем был подготовлен комплекс программ и проведены численные исследования дискретных и дифференциальных моделей. Он принимал участие в разработке и изготовлении экспериментальных макетов. Им проведено ряд экспериментальных и численных исследований, обеспечена иллюстрация результатов.

Апробация работы и публикации.

Основные материалы работы представлялись на: Second Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis (EUROATTRACTOR 2001), международной конференции «Проблемы фундаментальной физики» (2000), Всероссийских конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2002, 2005), Всероссийских школах "ХАОС" (Саратов, 2001, 2004), конференции молодых ученых «Нелинейные волновые процессы». (Н. Новгород, 2004), на International symposium "Topical problems of nonlinear wave physics"( H. Новгород, 2005), XIII научной школе "Нелинейные волны-2006", (Н.Новгород, 2006.), конференции молодых ученых, аспирантов и студентов НОЦ СГУ "Нелинейная динамика и биофизика". (Саратов 2002, 2003), 2-ой конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов 2007), школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (2003 - 2006 гг.), научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов СГУ и СФ ИРЭ РАН.

Работы были поддержаны: грантами CRDF (REC-006) для студентов, грантом Президиума РАН для молодых ученых, грантами РФФИ № 99-0217735, № 02-02-17578, грантами Фонда некоммерческих программ «Династия».

Основные результаты работы представлены публикациями в российских научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации диссертационных работ. По теме диссертации опубликовано 27 работ (6 статей в рецензируемых журналах, 11 статей в сборниках трудов научных конференций, 10 тезисов докладов).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 130 страницы, в том числе 58 рисунка и библиография из 155 наименований.

3.5. Выводы

Таким образом, для различных вариантов соотношений частот, уровней и типов связи построены карты динамических режимов связанных нелинейных осцилляторов при иррациональном соотношении частот воздействия, даны иллюстрации различных режимов колебаний: торов, удвоенных торов странных нехаотических и хаотических аттракторов. Показано, структура плоскости параметров внешнего воздействия связанной системы, как и в случае одиночного осциллятора при квазипериодическом воздействии, определяется набором терминальных точек ТОТ, на которые опираются линии удвоения торов, перехода к странному нехаотическому аттрактору и хаосу. Терминальные точки формируются при введения связи в окрестности пересечения линий удвоения. Типичными в рассматриваемой системе являются сценарии перехода к хаосу через рождение странного нехаотического аттрактора, через разрушение трехмерного тора, режим перемежаемости тор - хаос и разрушение трехмерного тора. Характерным для динамики связанной системы является отсутствие мультистабильности, а для плоскости параметров воздействия (А,, А2) - симметрия относительно осей координат.

Предложенный в главе 2 метод построения карт динамических режимов можно использовать для построения структуры плоскости параметров внешнего воздействия, для одиночного контура и для системы связанных контуров.

Опираясь на известные результаты исследований динамики связанных нелинейных осцилляторов при синфазном воздействии (рациональном соотношении частот воздействия), а так же моделей в виде связанных квадратичных отображений (например в [92-110]), можно утверждать, что нарушение инвариантности динамики по отношению к начальным фазам воздействия ведет к формированию мультистабильности и сложной многолистной структуры пространства управляющих параметров.

Заключение

Экспериментальные исследования нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии, системы связанных осцилляторов, а также их дискретных и дифференциальных моделей показывают, что при иррациональном соотношении частот воздействия динамика подобных систем инвариантна по отношению к начальным фазам воздействия. Как следствие инвариантности динамики системы к начальным фазам воздействия в динамике такой системы отсутствует мультистабильность, а плоскость параметров воздействия симметрична относительно осей координат. Характерным для пространства управляющих параметров является существование набора пар терминальных точек ЮТ, на которые опираются линии удвоения тора, рождения странного нехаотического аттрактора и перехода к хаосу. Задание рационального соотношения частот воздействия приводит к нарушению инвариантности по отношению начальным фазам воздействия и формированию мультистабильности.

Предложенный в главе метод построения карт динамических режимов на основе скорости спадания автокорреляционной функции позволяет качественно построить карты динамических режимов дискретных и дифференциальных моделей нелинейного осциллятора и связанных нелинейных осцилляторов при иррациональном соотношении частот воздействия.

Опираясь на полученные в работе экспериментальные и численные результаты, а также ранее полученные для связанных нелинейных осцилляторов при синфазном воздействии (рациональном соотношении частот воздействия) и их моделей, можно утверждать, что нарушение инвариантности динамики по отношению к начальным фазам воздействия ведет к формированию мультистабильности и сложной многолистной структуры пространства управляющих параметров.

1. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. -М: Наука, 1984.

2. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. - 240 е., ил.

3. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 368 е., ил.

4. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику (от маятника до турбулентности). М.: Наука, 1988. - 368с., ил.

5. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Издательство Саратовского университета, 1999. - 368 с.

6. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). М.: Издательство физико-математической литературы, 2001. - 296 с.

7. Grebodgi С., Ott Е., Pelican S., Yorke J. Strange attractor that are not chaotic. // Physica. 1984. - Vol.D13. - P.261.

8. Кузнецов С.П. О воздействии периодического внешнего возмущения на систему, демонстрирующую переход порядок хаос через бифуркации удвоения периода. // Письма в ЖЭТФ. - 1984. - Т.39. -С.113.

9. Bondeson A., Ott Е., Antonsen Т.М. Quasiperiodically forced pendula and Schrodinger equvation with quasiperiodic potentials: implications of their equivalence. // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 55. - P.2103.

10. Romeiras F.J., Bondeson A., Ott E., Antonsen T.M., Grebogi C. Quasiperiodically forced dynamical systems with strange nonchaotic attractors. // Physica. 1987. - Vol. 26D. - P. 277.

11. Romeiras F.J., and Ott E. Strange nonchaotic attractor of the damped pendulum with quasiperiodic forcing. // Phys. Rev. 1987. - Vol. A35. - P. 4404.

12. Ding M., Grebogi C., and Ott E. Evolution of attractors in quasiperiodically forced system. // Phys. Rev. 1989. - Vol. A39. - P. 2593.

13. Ditto W.L. et al. Experimantal observation of strange nonchaotic attractors. // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol.65. - P. 533.

14. Ding M., Grebogi C., Ott E. Dimensions of strange nonchaotic attractors. // Phys. Lett. A. 1989. - Vol.137. - P.167.

15. Kapitaniak Т., Ponce E., and Wojewoda J. Rout to chaos via strange nonchaotic attractors. // J. Phys. 1990. - Vol. A23. - P. L383.

16. Zhou Т., Moss F. and A. Bulsara. Observation of strange nonchaotic attractors in a multistable potential. // Phys. Rev. 1992. - Vol.A45. - P. 5394.

17. Zhou Т., Moss F., Bulsara A. "Observation of a strange nonchaotic attractor in multistable potential", Phys. Rev. A, 1992, Vol.45, P.5394.

18. Feudel U., Kurths J. and Pikovsky A. Strange nonchaotic attractors in quasiperiodically forced circle map. // Physica. 1995. - Vol. D88. - P. 176.

19. Pikovsky A. and Feudel U. Characterizing strange nonchaotic attractors. // CHAOS. 1995. - Vol. 5. - P. 253.

20. Heagy J.F. and Hammel S.M. The birth of strange nonchaotic attractor. // Physica. 1994. - Vol. D70. - P. 140.

21. Pikovsky A., Feudel U. Correlations and spectra of strange nonchaotic attractors.// J. Phys. A: Math., Gen. 1994. - Vol.27. - P.5209.

22. Ding M., Scott-Kelso J. Phase-resetting map and the dynamics of quasiperiodically forced biological oscillators. // Int. J. Bif. Chaos. 1994. -Vol.4.-P.553.

23. Feudel U., Pikovsky A.S., Zaks M.A. Correlation properties of quasiperiodically forced two-level system. // Phys. Rev. E. 1995. - Vol.51. -P. 1762.

24. Kuznetsov S., Pikovsky A., Feudel U. Birth of a strange nonchaotic attractor: Renormalization group analysis. // Phys. Rev. E. 1995. - Vol.51. -P.R1629.

25. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Сосоновцева O.H. Механизмы рождения странного нехаотического аттрактора в отображении кольцас квазипериодическим воздействием. // Изв. Вузов, Прикладная нелинейная динамика. 1995. - Т. 3, № 3. - С.34.

26. Y.-C. Lai. Transition from strange nonchaotic attractor to strange chaotic attractor. // Phys. Rev. 1996. - Vol. E53. - P. 57.

27. Nishikawa T. and Kaneko K. Fractalization of torus revisited as a strange nonchaotic attractor. // Phys. Rev. 1996. - Vol. E54. - P. 6114.

28. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.N. Mechanisms of ergodic torus destruction and apperence of strange nonchaotic attractor. // Phys. Rev. 1996. - Vol. E53. - P. 4451.

29. Feudel U., Pikovsky A., Politi A. Renormalization of correlations and spectra of a strange nonchaotic attractor. // J. Phys. A. 1996. - Vol.29. -P.5297.

30. Sosnovtseva O., Feudel U., Kurths J., Pikovsky A. // Phys. Lett. A. 1996. -Vol.218.-P.255.

31. Keller G. A note on strange nonchaotic attractors. // Fundamenta Mathematicae. 1996. - Vol.151. - P. 139.

32. Prasad A., Mehra V., Ramaswamy R. Intermittency route to strange nonchaotic attractors. // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol.79, №21. - P.4127.

33. Witt A., Feudel U., Pikovsky A. Birth of strange nonchaotic attractors due to interior crisis. // Physica. 1997. - Vol.109D. - P. 180.

34. Kuznetsov S., Feudel U., Pikovsky A. Renormalization group for scaling at the torus-doubling terminal point. // Phys. Rev. E. 1998. - Vol.57. -P.1585.

35. Prasad A., Mehra V., Ramaswamy R. Strange nonchaotic attractors in the quasiperiodically forced logistic map. // Phys. Rev. E. 1998. - Vol.57. -P.1576.

36. Negi S.S., Prasad A., Ramaswamy R. Bifurcations and transitions in the quasiperiodically driven logistic map. // Physica. 2000. - Vol.145D. - P.l.

37. Osinga H.M., Feudel U. Boundary crisis in quasiperiodically forced systems. // Physica. 2000. - Vol.l41D. - P.54.

38. Kuznetsov S.P., Neumann E., Pikovsky A., Sataev I.R. "Critical point of tori collision in quasiperiodically forced systems", Phys. Rev. E, 2000, Vol.62, P.1995.

39. Bezruchko В.Р., Kuznetsov S.P., Seleznev Ye.P. Experimental observation of dynamics near the torus-doubling terminal critical point. // Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 62, №6. - p.7828-7830.

40. Hunt B.R., Ott E. Fractal properties of robust strange nonchaotic attractors. // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol.87, №25.

41. Kuznetsov S.P. "Torus fractalization and intermittency", Phys. Rev. E, 2002, Vol.65, 066209.

42. Jalnine A., Kim S.-Y. "Characterization of the parameter-mismatching effect on the loss of chaos synchronization", Phys. Rev. E, 2002, Vol.65, 026210.

43. Kim S.-Y., Lim W., Jalnine A., Kuznetsov S.P. "Characterization of the noise effect on weak synchronization", Phys. Rev. E, 2003, Vol.67, 016217.

44. Кузнецов С.П., Пиковский A.C. Фойдель У. Странный нехаотический аттрактор. // В кн. «Нелинейные волны 2004», Наука. 2004.

45. Zaks М. A. Fractal Fourier spectra of Cherry flows. // Physica-2001. Vol. D 149.-p. 237-247

46. Linsay P.S. Period doubling and chaotic behaviour in a driven anharmonic oscillator. //Phys. Rev. Lett. 1981.- Vol. 47, №19. -P.1349-1352.

47. Buskirk R., Jeffries C. Observation of chaotic dynamics of coupled nonlinear oscillators. // Phys. Rev. A. 1985. - Vol.31, №5. - P.3332-3357.

48. Testa J., Perez J., Jeffries C. Evidence for universal behavior of a driven nonlinear oscillator. // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol.48, №11. -P.714-717.

49. Testa J., Perez J., Jeffries C. Testa, Perez and Jeffries respond. // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol.49, №14. - P. 1055.

50. Jeffries C., Perez J. Observation of a Pomeau-Manneville intermittent route to chaos in a nonlinear oscillator. // Phys. Rev. A. 1982. - Vol.26, №4. -P.2117-2123.

51. Hunt E.R. Comment on driven nonlinear oscillator. // Phys. Rev. Lett. -1982.-Vol.49, №14.-P.1054.

52. Rollins R.W., Hunt E.R. Exactly solvable model of a physical system exhibiting universal chaotic behavior. // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol.49, №18. - P.1295-1298.

53. Hunt E.R., Rollins R.W. Exactly solvable model of a physical system exhibiting multidimensional chaotic behavior. // Phys. Rev. A. 1984. -Vol.29, №2. -P.1000-1002.

54. Bronson S.D., Dewey D., Linsay P.S. Self-replicating attractor of a driven semiconductor oscillator. // Phys. Rev. A. 1983. - Vol.28. - P.1201-1203.

55. CascaisJ., DilaoR., Da Costa A.N. Chaos and reverse bifurcation in RLC circuit. // Phys. Lett. A. 1983. - Vol. 93, № 5. - P. 213-216.

56. BockoM.F., Douglass D.H., FrutchyH.H. Bounded regions of chaotic behavior in the control parameter space of a driven nonlinear resonator. // Phys. Lett. A. 1984. - Vol. 104, № 8. - P. 388-390.

57. Klinker T., Meyer-Ilse W., Lauterborn W. Period doubling and chaotic behavior in a driven Toda oscillator. // Phys. Lett. A. 1984. - Vol.101. №8, P.371-375.

58. Yoon T.H., Song J.W., Shin S.Y., Ra J.W. One-dimentional map and its modification for periodic chaotic sequence in a driven nonlinear oscillator. // Phys. Rev. A. - 1984. - Vol.30, №6. - P.3347-3350.

59. Perez J. Mechanism for global features of chaos in a driven nonlinear oscillator. // Phys. Rev. A. 1985. - Vol.32, №4. - P.2513-2516.

60. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии. // Радиотехника и электроника. 1987. - Т.32, №12. - С.2558-2566.

61. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнёв Е.П. Изменение структуры разбиения плоскости параметров стохастической системы при возбуждении дополнительной моды. // Письма в ЖТФ. 1987. - Т. 13, вып.8. - С.449-452.

62. Su Z., Rollins R.W., Hunt E.R. Measurements of F(alpha) spectra of attractors at transition to chaos in driven diode resonator systems. // Phys. Rev. 1987. Vol.A36, № 7. - p. 3515-3517.

63. Хаслер М.Ж. Электрические схемы с хаотическим поведением. // ТИИЭР. 1987. - Т.75, №.8. - С.40 - 54.

64. Tanaka S., Matsumoto Т., Chua L.O. Bifurcation scenario in a driven RL-diod circuit. //Physica.-1987.-Vol.28D, №13.- P.317-344.

65. Kim C.M., Cho C.H., Lee C.S, Yim J.H., Kim J., Kim Y. Period-doubling bifurcation in an electronic circuit with a fast-recovery diode and square-wave input. // Phys. Rev. A. 1988. - Vol. 38, № 3. - P. 1645-1648.

66. Su Z., Rollins R. W., Hunt E. R. Simulation and characterization of strange attractors in driven diode resonator systems. // Phys. Rev. A. 1989. -Vol.40, №5. - P.2698-2705.

67. Кипчатов A.A. Особенности сложной динамики неавтономного нелинейного контура. // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1990. - Т.ЗЗ, № 2. -С. 182-190.

68. Baxter J.H., Bocko M.F., Douglass D.H. Behavior of a nonlinear resonator driven at subharmonic frequencies. // Phys.Rev.A. 1990. - Vol.41, №2. -P.619-625.

69. Безручко Б.П. Особенности возбуждения субгармонических и хаотических колебаний в контуре с диодом. // Радиотехника и электроника. 1991. - Т.36, №1. - С.39-43.

70. Безручко Б.П., Кулешов А.В., Потапов В.Т., Пономаренко В.И. Нелинейные явления в колебательной системе с фотодиодом.// Радиотехника и электроника. 1991. - Т.36, №2. - С.387-391.

71. Balberg I., Arbell Н. Temperature as a bifurcation parameter in nonlinear electronic circuits. // Phys. Rev. E. 1994. - Vol.49, №1. - P. 110-113.

72. Linsay P.S. Nonlinear dynamics in driven and autonomous electronic circuits. // In: Nonlinear Dynamics in Circuits. Eds. Carroll T. and Pecora L.- World Scientific. 1995. - P.4-33.

73. Прохоров М.Д., Смирнов Д.А. Эмпирическая дискретная модель колебательного контура с диодом. // Радиотехника и электроника. -1996. Т. 41, № 11. - С. 1340-1343.

74. R. М. de Moraes, S. М. Anlage. Unified model and reverse recovery nonlinearities of the driven diode resonator. // Phys. Rev. E. 2003. -Vol.68. (026201).

75. Azzouz D., Duchr R., Hasler M. Transition to chaos in a simple nonlinear circuit driven by sinusoidal voltage source. // IEEE Trans. CAS. 1983. -Vol.30.-P.913-914.

76. Azzouz D., Duchr R., Hasler M. Bifurcation diagram in piece-wise circuit. // IEEE Trans.CAS. 1984. - Vol.31. -P.587-588.

77. Matsumoto Т., Chua L.O., Tanaka S. Simplest nonautonomous circuit. // Phys.Rev.A. 1984. -Vol.30. - P. 1155-1157.

78. Pei L.-Q., Guo F., Wu S.-X., Chua L.O. Experimental confirmation of period-adding rout to chaos in nonlinear circuit. // IEEE Trans.CAS. 1986.- Vol.31.-P.438-442.

79. МацумотоТ. Хаос в электронных схемах// ТИИЭР. 1987. - Т. 75, В. 8.-С. 66-87.

80. Аллен Ф., Санчес-Синенсио Э. Электронные схемы с переключаемыми конденсаторами. // М.: Радио и связь, 1989. - 576с.

81. Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Сложная динамика возбуждаемого осциллятора с кусочно-линейной характеристикой. // Письма в ЖТФ. -1994. Т.20, вып.19. - С.75-79.

82. Li T.Y., Yorke J.A. // Am. Math. Monthly. 1975. - Vol.82. - P.985.

83. Holmes P. A nonlinear oscillator with strange attractor. // Phylos. Trans. -1979.-Vol.292.-P.419^48.

84. Humieres D.D., Beasley M.R., Huberman B.A., Libhaber A. Chaotic states and rout to chaos in forced pendulum. // Phys. Rev. A. 1982. - Vol.26, № 6. -P.3484-3496.

85. Sato S., Sano M., Sawada Y. Universal scaling property in bifurcation structure of Duffing's and generalized Duffing's equation. // Phys. Rev. A. -1983. Vol.28, №3.-P. 1654-1658.

86. Афраймович B.C., Рабинович М.И., Угодников А.Д. Критические точки и "фазовые переходы" в поведение неавтономного ангармонического осциллятора. // Письма в ЖЭТФ. 1983. - Т.38, вып.2. - С.64-67.

87. Parlitz U., Lauterborn W. Superstructure in bifurcation set of the Duffing's equation.//Phys. Lett. 1985. - Vol.l07A, №8. - P.351-355.

88. Bezruchko В.Р., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map. // Chaos, Solitons, Fractals. 1995.-Vol.5,№11.-P.2095-2107.

89. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума. // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1985. - Т. 28, № 8. -С. 991-1007.

90. Gu Y., Tung M., Yuan J.-M., Feng D.H., Narducci L.M. Crises and gisteresis in coupled logistic maps. // Phys. Rev. Lett. 1984. - Vol.52, №9. -P.701-704.

91. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Period-doubling for two-dimensional non-invertible maps: renormalization group analysis and quantitative universality. // Physica. 1997. - Vol. 101D. - P. 249-269.

92. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу через удвоения периода в диссипативных динамических системах. // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. - Т. 2, № 3-4. - С. 90-105.

93. Прохоров М.Д. Виды колебаний диссипативно связанных систем с удвоением периода при сильной связи. // Изв. ВУЗов «Прикладная нелинейная динамика». 1996. - Т.4, №4,5. - С.99-107.

94. Sakaguchi Н., Tomita К. Bifurcations of the coupled logistic map. // Prog. Theor. Phys. 1987. - Vol.78. -P.305-315.

95. Satoh K., Aihara T. Self-similar structures in the phase diagram of a coupled-logistic map. // J. Phys. Soc. Jpn. 1990. - Vol.59. - p. 1123-1126.

96. Kook H., Ling F.H., Schmidt G. Universal behavior of coupled nonlinear systems. //Phys. Rev. A. 1991. - Vol.43. -p.2700-2708.

97. Udwadia F.E., Raju N. Some global properties of a pair of coupled maps: quasi-symmetry, periodicity, and synchronicity. // Physica D, 1998, V.lll, P. 16-26.

98. Udwadia F.E., Raju N. Some global properties of a pair of coupled maps: quasi-symmetry, periodicity, and synchronicity. // Physica. 1998. -Vol.111.-p. 16-26.

99. Carvalho R, Fernandez B, Mendes R.V. From synchronization to multistability in two coupled quadratic maps. // Phys. Lett. A. 2001. -Vol.285.-P.327-338.

100. Астахов B.B., Безручко Б.П., Пономаренко В.И. Формирование мультистабильности, классификация изомеров и их эволюция всвязанных фейгенбаумовских системах. // Изв.вузов. Радиофизика. 1991. -Т.34, №1.-С.35-39.

101. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнёв Е.П. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов. // Изв.вузов, Радиофизика. -1988. Т.31, №5. - С.627-630.

102. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнёв Е.П. Мультистабильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем. // Письма в ЖТФ. 1989. - Т. 15, вып.З. -С.60-65.

103. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Мультистабильность в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью. // Радиотехника и электроника. 1991. - Т.36, №11. -С.2167-2170.

104. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н. Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах. // ЖТФ. 1990. - Т.60, вып. 10. - С. 19-26.

105. Безручко Б.П, Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Виды колебаний, мультистабильность и бассейны притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода. // Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика. 2002. - Т. 10, №10. - С.47-68.

106. Bezruchko В.Р., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Oscillation types, multistability, and basins of attractors in symmetrically coupled period-doubling systems. // Chaos, Solitons & Fractals. 2003. - №15. - p.695-711.

107. Rossler O.E. An equation for hyperchaos. // Phys.Lett. 1979. - Vol.71 A. -P.155-157.

108. Rossler O.E., Kahlert C., Parisi J., Peinke J., Röhricht В. Hyperchaos and Julia Hyperchaos and Julia sets. // Z.Naturforsch. 1986. - Vol.4 la. -P.819-822.

109. Tomasz Kapitaniak, Yuri Maistrenko, and Svitlana Popovych Chaoshyperchaos transition. // Phys. Rev. E. 2000. - Vol.62, №.2. - p. 19721976.

110. Seung-hwan Kim and Stellan Ostlund. Simultaneous rational approximation in the study of dynamical systems. // Phys. Rev. A. 1986. - Vol.34, №4. -P.3425-3434.

111. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е. Разрушение трехчастотных колебаний и хаос в генераторе при бигармоническом воздействии. // ЖТФ. 1986. -1986. - Т.56, вып. 11.- С.2250-2253.

112. Feudel U., Safonova М.А., Kurths J., Anishchenko V.S. On the destruction of three-dimensional tori. // Int. J. of Bifurcation and chaos. 1995. - Vol.6, № 7. P.1319-1332.

113. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах. // Изв. вузов, Радиофизика. 1986. - Т.29, №9. - С.1050-1060.

114. Анищенко В.С.,Арансон И.С.,Постнов Д.Э.,Рабинович М.И. Пространственная синхронизация и бифуркация развития хаоса в цепочке связанных генераторов. // ДАН СССР. 1986. - Т. 286, №5. -С.1120-1124.

115. Кузнецов С.П., Пиковский A.C. Переход от симметричного к несимметричному режиму хаотической динамики в системе диссипативно связанных рекуррентных отображений. // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1989. - Т.32. - С.49-54.

116. Pecora L.M., Carrol T.L. Synchronization in Chaotic Systems. // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol.64. - p.821-824.125

117. Pikovsky A.S., Grassberger P. Symmetry breaking bifurcation for coupled chaotic attractors. // J. Physics A. 1991. - Vol.24. - p.4587-4597.

118. Astakhov V., Shabunin A., Kapitaniak Т., Anishchenko V. Loss of Chaos Synchronization through the Sequence of Bifurcations of Saddle Periodic Orbits. // Phys. Rev. E. 1997. - Vol.76, №6. - p. 1014-1017.

119. Yu. L. Maistrenko, V. L. Maistrenko, O. Popovych, and E. Mosekilde. Desynchronization of chaos in coupled logistic maps. // Phys. Rev. E. -1999. Vol.60, №3. - p. 2817-2830.

120. M. Hasler, Yu. Maistrenko, and O. Popovych. Simple example of partial synchronization of chaotic systems. // Phys. Rev. E. 1998. - Vol.58, №5. -p. 6843-6846.

121. Udwadia F.E., Raju N. Some global properties of a pair of coupled maps: quasi-symmetry, periodicity, and synchronicity. // Physica. 1998. -Vol.111.-p. 16-26.

122. Dmitry Postnov, Seung Kee Han, and Hyungtae Kook. Synchronization of diffusively coupled oscillators near the homoclinic bifurcation. // Phys. Rev. E. 1999. - Vol.60, №3. - p. 2799-2807.

123. Halsey T.S., Jensen M.H., Kadanoff L.P. et al. // Phys.Rev. A. 1986. -Vol.33.-p.1141.

124. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 1993.-Т.1,№ 1,2. С.15-33.

125. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Структура пространства управляющих параметров модели нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии. // Изв. Вузов, ПНД. 2001,т.9, № 2. С.39-44.

126. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Влияние асимметрии на фрактальные свойства синхронного хаоса в связанных системах с удвоением периода. // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, вып. 13. С.7-14.

127. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Динамика нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии. // Письма в ЖТФ. 2005. Т. № 31, вып. 17. С.13-18.

128. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. О размерности аттрактора нелинейного осциллятора. // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30, вып.5. с.76-81.

129. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Структура пространства управляющих параметров неавтономного кусочно-линейного осциллятора. // ЖТФ. 2006. Т. 76, вып. 4. с. 133-135.

130. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Фрактальные свойства синхронного хаоса в связанных отображениях // Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10, №5. с. 19-24.

131. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Динамика модели нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии. // Вторая международная конференция «Фундаментальные проблемы физики», Саратов, Россия, 9-14 октября 2000г. Материалы конференции. С.173-174.

132. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Влияние асимметрии на свойства синхронного хаоса в связанных системах с удвоением периода. // Международная школа «ХАОС-2001». Тезисы докладов. Саратов. 2001. с.107-108.

133. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. О размерности хаотического аттрактора неавтономного нелинейного осциллятора. // Межд. конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. 2002. Тезисы докладов. С.74.

134. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Фрактальные свойтсва синхронного хаоса в связанных отображениях // Межд. конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. 2002. Тезисы докладов. С.75.

135. Захаревич A.M. О реконструкции модели неавтономной RL-диода цепи по временным рядам // Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых 2002". Саратов, 2002. стр. 54-57.

136. Захаревич A.M. Экспериментальное исследование динамики нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии // Сборник материалов на научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2003", Саратов

137. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Динамика нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии // Международная школа «ХАОС-2004». Тезисы докладов. Саратов. 2004. с. 178.

138. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Динамика неавтономных осцилляторов с диссипативной связью и иррациональным соотношением частот // Международная школа «ХАОС-2004». Тезисы докладов. Саратов. 2004. с. 179.

139. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Рождение и синхронизация трехмерного тора в неавтономных осцилляторах с реактивной связью. // Международная школа «ХАОС-2004». Тезисы докладов. Саратов. 2004. с.180.

140. Захаревич A.M. Динамика нелинейного колебательного контура при двухчастотном воздействии // Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2004", Саратов, 2004. С. 106-109.

141. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Сценарии перехода к хаосу в нелинейном осцилляторе при квазипериодическом воздействии // Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем». 2005. с. 191.

142. Селезнев Е.П., Захаревич A.M. Динамика нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии с рациональным соотношением частот // Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем». 2005. с. 194

143. Seleznev Ye.P., Zakharevich A.M. Transition to chaos in quasiperiodically forced nonlinear pendulum. // International symposium "Topical problems of nonlinear wave physics". N. Novgorod. Russia. Proceedings. 2005. p.93-94.

144. Захаревич A.M. Исследование динамики одномерных отображений при квазипериодическом воздействии. // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2005», Саратов. 2005.

145. Захаревич A.M. Осциллятор Тода при квазипериодическом воздействии // Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2006", Саратов.

146. Захаревич A.M., Селезнев Е.П., Зборовский А.В. II конференция молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», Саратов, 2007. с.71

147. Захаревич A.M., Селезнев Е.П., Зборовский А.В. II конференция молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», Саратов, 2007. с.73.

148. Захаревич A.M., Селезнев Е.П. Переход хаос гиперхаос в диссипативно связанных нелинейных осцилляторах с иррациональным соотношением частот воздействия. // VIII Международная конференция «Хаотические автоколебания, образование структур-2007».