Сложная динамика возбуждаемых импульсами трехмерных динамических систем и связанных осцилляторов Ван дер Поля

Станкевич, Наталия Владимировна

Сложная динамика возбуждаемых импульсами трехмерных динамических систем и связанных осцилляторов Ван дер Поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Станкевич, Наталия Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Сложная динамика возбуждаемых импульсами трехмерных динамических систем и связанных осцилляторов Ван дер Поля»

Автореферат диссертации на тему "Сложная динамика возбуждаемых импульсами трехмерных динамических систем и связанных осцилляторов Ван дер Поля"

На правах рукописи

СТАНКЕВИЧ Наталия Владимировна

СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА ВОЗБУЖДАЕМЫХ ИМПУЛЬСАМИ ТРЕХМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ВАН ДЕР ПОЛЯ

01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О 3 ОЕЗ 2011

Саратов-2011

4853791

Работа выполнена на базовой кафедре динамических систем факультета нелинейных процессов Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Кузнецов Александр Петрович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация:

Защита состоится «17» февраля 2011 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета Д212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, III корпус, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке им. В.А. Артисевич Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Вадивасова Татьяна Евгеньевна

кандидат физико-математических наук, доцент

Розанов Александр Владимирович

Автореферат разослан Я_2011 г.

диссертационного совета

Ученый секретарь

В.М. Аникин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность задачи

Ситуации, когда динамическая система подвержена периодическому внешнему воздействию, широко распространены в радиофизике, электронике, биологии, химии и других областях естествознания.1'2 Изучению систем с внешним воздействием посвящено большое количество работ. Одно из активно развивающихся научных направлений связано с проблемой воздействия внешних сигналов на нелинейные системы, и в частности, с развитием и обобщением представлений о феномене синхронизации, выявлением и классификацией типов соответствующих режимов в зависимости от характера динамики подвергаемой воздействию системы и от характера внешнего сигнала. Например, если автономная система демонстрирует режим автоколебаний, то при подаче на нее внешнего сигнала можно говорить о классической синхронизации. Если автономная система находится в режиме хаоса, можно исследовать хаотическую синхронизацию внешним воздействием. Также, подавая внешнее воздействие на систему, находящуюся в каком-либо неустойчивом режиме, можно рассматривать задачи о стабилизации режимов внешним сигналом и т.д.

Среди задач о системах с внешним воздействием в отдельный класс можно выделить задачи, когда внешнее воздействие носит характер коротких по длительности, но значительных по амплитуде импульсов. Подобные задачи привлекательны как с точки зрения приложений, поскольку многие процессы в радиофизике, радиотехнике, электронике, биофизике и др. характеризуются наличием импульсного воздействия, так и существенны для теории колебаний и нелинейной динамики с позиции возможной специфики картины синхронизации и проявления новых колебательных эффектов, не имеющих аналогов в случае гармонического сигнала. Кроме того, случай импульсного внешнего воздействия позволяет существенно продвинуться в аналитическом исследовании задачи, поскольку в промежутке между импульсами система оказывается автономной и использование в промежутках между импульсами приближенных методов приводит к более простым дискретным моделям, демонстрирующим, однако, сложное поведение. Наконец, для таких систем четко разделяются стадии воздействия и отклика, что облегчает интерпретацию результатов.

1 Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Тех-носерв. 2003. 494 с.

2 Глас Л., Мэки М. От часов к хаосу. Ритмы жизни. М.: Мир. 1991. 248 с.

ся последовательностью 8-функций. Классической в такой постановке является задача о воздействии периодической последовательностью 8-функций на автоколебательный осциллятор Ван дер Поля, такая система названа маятником Ю.И. Неймарка.3 Подобная система изучалась известными исследователями биологических систем Л. Глассом, Е. Дингом и другими авторами.4 Для нее были выявлены многие аспекты теории синхронизации импульсами. Одной из эталонных моделей теории консервативного хаоса также является система в виде ротатора под действием импульсов (отображение Чирикова-Тейлора)5. В работах Парлица6 исследованы условия синхронизации хаоса для целого класса динамических систем, управляемых хаотическими импульсами, и предложена технология цифровой передачи данных. Совсем недавно была продемонстрирована возможность реализации странного нехаотического аттрактора в системе двух связанных подталкиваемых импульсами ротаторов.7

Таким образом, опираясь на все вышеуказанные примеры, можно сказать, что задачи о системах с импульсным воздействием являются многоплановыми, современными и имеют большое прикладное значение. Несмотря на то, что изучению систем с импульсным воздействием посвящено достаточно много работ, все же множество вопросов остается не исследованными. Так, например, если рассматривать вопрос о синхронизации автоколебательной системы с предельным циклом, то практически все работы относятся к случаю, когда внешнему воздействию подвергалась двумерная динамическая система. Что будет происходить при увеличении размерности фазового пространства? Как изменится картина синхронизации при изменении направления действия импульсов? Какие новые эффекты проявятся в системе? Очень слабо в литературе освещен вопрос сравнительного анализа гармонического и импульсного возбуждения динамических систем.

3 Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. M.: Наука. Физматлит. 1997. 247 с.

4 Glass L„ Sun J. // Phys. Rev., 1994, Vol.50, No. 6, p.5077; Glass L. et.all. // Phys. Rev. A, 1983, No. 29, p. 1348; Ding E.J. // Phys. Rev., 1986, Vol.A34, No.4, p.3547; Ding E.J. // Phys. Rev., 1987, Vol.A35, No.6, p.2669; Ding E.J. // Phys. Rev., 1987, Vol.A36, No.3, p.1488; Ding E.J. // Physica Scripta, 1988, Vol.38, p.9

5 Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтониановых системах. Москва-Ижевск, 2004, 288с.

6 T. Stojanovski, L. Kocarev, A.Parlitz // Phys. Rev. E, 1996,54(2), p. 2128; U.Pailitz, L.Kocarev, T.Stojanovski, L.Junge //Physica D, 1997,109, p. 139

7 T.Mitsui, Y.Aizawa // Phys. Rev. E, 2010, 52, p. 046210

8 Ландау Л.Д. // ДАН СССР, 1944, т.44, №8, с. 339

9 Hopf Е. А. // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1948, Vol.1, p.303

рам в виде торов, имеют место, как типичные, при количестве составляющих не более трех, а при большем их количестве должен возникать странный аттрактор.10 Конкретные численные расчеты, выполненные для модельных систем рядом авторов, не вполне соответствуют этому утверждению, поскольку в определенных ситуациях торы сохраняются." Вопрос о том, как происходит переход к хаосу, и какую роль играет количество вовлеченных в динамику степеней свободы остается, в значительной мере не проясненным.

В последнее время был: опубликован ряд новых результатов, касающихся автономной квазипериодической динамики и синхронизации квазипериодических режимов. В работах B.C. Анищенко с коллегами12 предложен и исследован автономный радиофизический генератор квазипериодических колебаний, исследованы такие феномены, как удвоения торов в этом генераторе, динамика связанных генераторов и др. Однако вопрос о возможности и свойствах генератора квазипериодических колебаний с размерностью фазового пространства, равной трем, исследован очень мало: так известный пример на основе схемы Чуа13 относится к специфическому случаю с кусочно-линейной характеристикой. Поэтому представляется существенным поиск в русле базовых моделей теории колебаний простой трехмерной модели автономного генератора квазипериодических колебаний и исследование картины его синхронизации импульсным сигналом в различных режимах. Еще один круг вопросов, привлекших внимание в настоящее время, касается исследования синхронизации режимов захвата и биений в системе связанных осцилляторов Ван-дер-Поля.14 Однако рассмотрение было ограничено случаем фазового приближения и гармонического сигнала малой амплитуды. В этом плане интересно провести исследование непосредственно исходной системы в случае импульсного сигнала, амплитуда которого может быть велика.

Таким образом, все вышесказанное обосновывает актуальность исследований в этой области и служит основанием для постановки цели и задач диссертационного исследования.

Целью диссертационной работы является выявление специфики сложной динамики возбуждаемых импульсами динамических систем при постепенном увеличении размерности фазового пространства.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Выявление особенностей поведения трехмерных динамических систем под импульсным воздействием, выявление новых эффектов в таких системах.

10 Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулеигоности. М.: Мир. 1981.117 с.

11 Tavakol R., Tworkovsky А. // Phys. Lett. А, 1984, Vol.100, No.6, p.273

12 Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Стрелкова Г.И. Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний. Москва-Ижевск. 2008. 144 е.; Anishchenko V., Nikolaev S., Kurths J. // CHAOS, 2008, Vol.18, p.037123;

13 Nishiuchi Y., Ueta T., Kawakami H. // Chaos, Solutions & Fractals, 2006, Vol.27, No.4, p.941

14 Anishchenko V., Astakhov S, Vadivasova T. // Europhysics Letters, 2009, Vol.86, p.30003; Кузнецов А.П., Са-гаев И.Р., Тюрюкина Л.В. // Изв. ВУЗов. ПНД, 2010, т.18, №4, с.17

2. Разработка простейшей модели автономной трехмерной динамической системы, демонстрирующей квазипериодическое поведение, и использование ее для исследования картины синхронизации квазипериодических режимов внешним импульсным сигналом.

3. Изучение особенностей поведения систем двух диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля-Дуффинга под импульсным воздействием, выявление новых эффектов, исследование условий возникновения двух- и трехчастотных квазипериодических режимов.

Научная новизна работы:

В диссертационной работе впервые

• Исследовано устройство плоскости параметров период - амплитуда воздействия возбуждаемой импульсами системы Ресслера в различных режимах автономной системы. Проведен сравнительный анализ степени стабилизации хаотического режима в такой системе импульсным и гармоническим сигналом для различных направлений действий внешней силы в трехмерном фазовом пространстве. Обнаружен эффект стабилизации внешним периодическим импульсным воздействием режима «убегающей» фазовой траектории в системе Ресслера до порога бифуркации седло-узел с возникновением устойчивых квазипериодических и периодических режимов.

• Предложена автономная трехмерная модель генератора квазипериодических колебаний, представляющая собой гибрид генератора релаксационных колебаний и автогенератора с жестким возбуждением. На плоскости управляющих параметров такой автономной системы выявлены область квазипериодических режимов со встроенной системой языков Арнольда, ограниченная линией бифуркации Неймарка-Сакера, и область хаотических режимов.

• Проведено исследование предложенного генератора под импульсным воздействием. Построены карты динамических режимов на плоскости период - амплитуда внешнего воздействия. В их устройстве выявлены мелкомасштабная и крупномасштабная структуры, связанные с существованием двух несоизмеримых временных масштабов квазипериодического сигнала автономной системы. Показана возможность реализации трехчастотных торов в такой системе.

• Проведено исследование устройства плоскости параметров период -амплитуда воздействия возбуждаемых импульсами связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля-Дуффинга. Обнаружены отличия от известных результатов для аналогичной системы в фазовом приближении с гармоническим воздействием. Эти отличия проявляются в разрушении высокочастотной области трехчастотной квазипериодичности в окрестности основного резонанса. Помимо этого, области трехчастотных торов могут наблюдаться также в окрестности языков периодических режимов более высокого порядка. При этом они образуют характерные кольцеобразные структуры. В случае биений авто-

номных осцилляторов появляются области хаоса, которые возникают преимущественно на границах областей двух и трехчастотных торов.

• В численном и радиофизическом эксперименте обнаружен эффект «вымирания» квазипериодических режимов в системе диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля под импульсным воздействием по следующему сценарию. С ростом частотной расстройки осцилляторов в момент перехода автономной системы из режима взаимного захвата в режим гибели колебаний, области квазипериодических режимов на плоскости период - амплитуда воздействия образуют острова. При этом возникновение квазипериодических режимов носит пороговый по амплитуде характер. При увеличении частотной расстройки осцилляторов острова постепенно уменьшаются в размерах, и поэтапно «вымирают».

Научно-практическая значимость результатов

Обнаруженные в диссертации эффекты, проявляющиеся в многомерных системах под импульсным воздействием, дополняют раздел теории синхронизации в рамках теории колебаний и могут быть включены в соответствующие образовательные программы. Результаты, полученные для системы Ресслера, могут быть распространены на другие трехмерные динамические системы. Разработанный и исследованный в диссертации генератор квазипериодических колебаний может служить базой для формирования системы моделей для дальнейших исследований автономной и неавтономной динамики с многомерными торами. Такое развитие может идти как по традиционному пути (связанные системы, цепочки генераторов и др.), так и по пути модификации системы с целью построения генераторов с автономной трех (и более) частотной динамикой. Результаты, полученные во второй главе, использованы в учебном процессе на факультете нелинейных процессов СГУ в рамках курса «Теория синхронизации» и в учебном пособии15. Также результаты диссертации использованы при выполнении научно-исследовательских работ по грантам РФФИ, Федерального агентства по науке и инновациям и Министерства образования и науки РФ в СГУ и Саратовском филиале Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН.

Достоверность научных выводов подтверждается соответствием результатов, полученных различными методами (карты динамических режимов, карты ляпуновских показателей, Фурье-спектры, портреты аттракторов, аналитические оценки и др.), а также радиофизических экспериментов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. В системе Ресслера в автоколебательном режиме картина синхронизации внешними импульсами зависит от направления действия импульса

15 А.П.Кузнецов, Ю.П. Емельянова, И.Р. Сатаев, Л.В. Тюрюкина. Синхронизация в задачах. Саратов: ООО Издательский центр «Наука», 2010, с.243-249.

в фазовом пространстве. В случае, когда все фазовые траектории автономной системы являются «убегающими» на бесконечность, периодическое импульсное воздействие может стабилизировать режим с возникновением устойчивых периодических, квазипериодических и хаотических колебаний, а также эффекта удвоения торов.

2. На основе гибрида генератора релаксационных колебаний и автогенератора с жестким возбуждением можно реализовать автономный генератор квазипериодических колебаний с трехмерным фазовым пространством, демонстрирующий также режимы внутренней синхронизации и хаоса. При подаче импульсного воздействия на такой генератор в режиме квазипериодических колебаний на плоскости параметров воздействия имеют место мелкомасштабные и крупномасштабные структуры, обусловленные наличием двух несоизмеримых временных масштабов в автономной системе.

3. В системе возбуждаемых периодическим импульсным воздействием двух диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля, в отличие от системы с гармоническим возбуждением в фазовом приближении, области трехчастотных торов могут наблюдаться и в окрестности языков периодических режимов более высокого порядка. При этом они образуют характерные кольцеобразные структуры. В случае биений автономных осцилляторов появляются области хаоса, которые возникают преимущественно на границах областей двух и трехчастотных торов. В случае когда возбуждаемая система переходит из режима захвата в режим «гибели колебаний», в численном и радиофизическом эксперименте наблюдается возникновение островов квазипериодических режимов и эффект их последовательного исчезновения.

Личный вклад соискателя

В работах [3, 7, 11] автору принадлежит постановка задачи, ее численное решение; совместно с соавторами проведено объяснение и интерпретация полученных результатов. В совместных работах [1-2, 4-5, 9-10] автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты. Объяснение и интерпретация полученных результатов проведено совместно с соавторами. В работах [6, 8] автором проведено численное исследование системы методом карт динамических режимов.

Апробация работы и публикации

Основные результаты работы докладывались на: научных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Россия, Саратов, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009); всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Россия, Нижний Новгород, 2005); зимних школах-семинарах по СВЧ электронике и радиофизике (Россия, Саратов, 2006, 2009); всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (Россия, Звенигород, 2006); международных школах-семинарах Foundations & Advances in Nonlinear Science (Беларусь,

Минск, 2006, 2008); I-V конференциях молодых ученых «Нанофотоника, на-ноэлектроника и нелинейная физика» (Россия, Саратов, 2006-2010); школе-семинаре «Динамический хаос и его приложения» (Россия, Звенигород, 2007); международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Россия, Саратов, 2007); научной школе «Нелинейные волны» (Россия, Нижний Новгород, 2008); международной школе-семенаре «Statlnfo» (Россия, Саратов, 2009); международной конференции «Dynamics Days Europe» (Germany, Goettingen, 2009), а также на научных семинарах базовой кафедры динамических систем Саратовского государственного университета и лаборатории теоретической нелинейной динамики Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А.Котельникова РАН.

По теме диссертационной работы в международной и российской печати опубликовано 36 работ (из них 11 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, и 25 публикаций в сборниках материалов конференций).

Структура и объем диссертации

Работа содержит 170 страниц текста с иллюстрациями и список литературы из 133 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основной текст диссертации состоит из введения, трех глав и заключения

Во введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена исследованию эффектов, проявляющихся в трехмерных динамических системах под внешним воздействием на примере эталонной в нелинейной динамике системы Ресслера:

x = -y-z,

У = х + ру, (1)

z = q + z(x-r),

где x,y,z- динамические переменные системы, p,q,r — управляющие параметры.

Сначала исследуется автоколебательный режим с предельным циклом под импульсным воздействием и зависимость картины синхронизации для данной системы от направления действия импульсов. Импульсное воздействие реализуется в виде периодической последовательности 8-функций: A^S(t -пТ), где А - амплитуда внешних импульсов и Т-период их следования. При этом внешнее воздействие можно добавить поочередно в каждое из трех уравнений, так что реализуются ситуации различного направления действия импульсов.

На рис.1 показаны карты динамических режимов системы (1) с внешним импульсным воздействием на плоскости период Т - амплитуда А воздейст-

О г 20 0 т 20

(си (б)

Рис. 1. Карты динамических режимов неавтономной системы Ресслера в случае воздействия импульсов вдоль оси* (а) и вдоль оси г (б), прир=0.1, д=0.2, г= 1.5.

вия. На этих и на всех последующих картах динамических режимов выбрана следующая цветовая палитра: белый цвет отвечает режиму периода 1, светлосерый - режиму периода 2 и т.д., черный - хаотическим и квазипериодическим режимам. Одним из оттенков серого отмечена и подписана область «разбегания» траекторий на бесконечность. РисЛа относится к случаю, когда воздействие осуществляется вдоль оси х, а рис.16 - вдоль оси г. Периоды режимов, отмеченных на карте, определялись в стробоскопическом сечении, проводимом через период воздействия. ЮШ\\\ ]2

Нетрудно видеть, что на рис.1а система языков синхронизации качественно близка случаю двумерных неизохронных систем и стандартному синус-отображению окружности. Имеется, однако, и отличие - в трехмерной системе появляется область убегания траектории на бесконечность, отвечающая достаточно большой амплитуде импульсов. В свою очередь, рис.16 дает совершенно другую, специфическую картину языков синхронизации. Причина состоит в том, что в автономной трехмерной системе бифуркация Андронова-Хопфа "разыгрывается", фактически, на некоторой поверхности, вложенной в третье измерение. Поэтому действие импульсов в пределах этой поверхности (для системы Ресслера она близка к плоскости (х, у)) дает картину синхронизации близкую к той, что имеет место для двумерных систем под импульсным воздействием. Однако есть третье, трансверсальное к указанной поверхности направление. Картина синхронизации при действии импульсов в этом направлении оказывается иной.

В трехмерных динамических системах возможны и другие специфические колебательные режимы, инициированные внешним воздействием.

На рис.2 показана карта динамических режимов системы Ресслера под импульсным воздействием на плоскости параметров амплитуда - период внешнего воздействия в случае, когда в автономной системе вообще нет

неподвижных точек, и все фазовые траектории «убегают» на бесконечность. Можно видеть, что наряду с областью убегания траекторий, однако, возможны и устойчивые режимы. Так имеет место система языков синхронизации разной кратности. Внутри языков можно видеть области удвоенного периода. Вне языков реализуются квазипериодические режимы. Причина состоит в том, что в трехмерных системах неподвижные точки характеризуются не двумя, а тремя собственными числами. Поэтому в результате седло-узловой бифуркации могут слиться и исчезнуть, например, устойчивый фокус и седло-фокус. После слияния точек такого типа создается поток фазовых траекторий «с вращением», и у системы сохраняется некоторый внутренний ритм. Такая ситуация не имеет аналога в двумерных системах, и создает определенные предпосылки для возникновения устойчивых колебательных режимов разного типа, инициированных импульсным сигналом. Для данного случая был рассчитан полный спектр показателей Ляпунова, построены бассейны притяжения стабилизированных аттракторов и фазовые портреты. В системе на примере траекторий, отвечающих стробоскопическому сечению Пуанкаре через период внешнего воздействия, обнаружены удвоения торов, инициированные импульсами.

Далее исследуется ситуация, когда система Ресслера находится в режиме хаоса. Раздел 3.3 посвящен сравнительному анализу особенностей стабилизации хаоса в трехмерной системе различными типами сигнала, импульсным и гармоническим. Представлены карты режимов, бифуркационные деревья, фазовые портреты, проведен анализ спектра показателей Ляпунова. Показано, что для системы Ресслера наиболее эффективной стабилизации удается добиться импульсным сигналом, подавая его на третью переменную системы (1) —2. На картах в режимах с импульсным воздействием, в отличие от случая гармонического сигнала, наблюдается целая система периодических областей, отвечающих разным значениям амплитуды сигнала. Это свидетельствует о том, что импульсный сигнал предпочтительнее с точки зрения стабилизации хаоса.

Во второй главе предлагается простая модель трехмерного автономного генератора, демонстрирующего квазипериодическое поведение, представляющая собой «гибрид» генератора с жестким возбуждением и генератора релаксационных колебаний:

О Т 2.3

Рис. 2. Карта динамических режимов неавтономной системы Ресслера в случае воздействия импульсов вдоль оси х, при р=0.2, ¡7=0.2, /-=0.2.

(Л + г + х2 --х,)х + а>£х = 0,

2 = — X' .

Здесь х - обобщенная координата, относящаяся к автоколебательному элементу, а ®0 - частота его собственных колебаний. Множитель перед производной х содержит параметр Я, характеризующий глубину положительной обратной связи в автогенераторе, нелинейный член х1, стимулирующий возбуждение колебаний, и член х4, отвечающий за насыщение при больших амплитудах. Нелинейность, соответствующая комбинации двух последних членов, обеспечивает жесткое возбуждение автогенератора, обусловленное присутствием субкритической бифуркации Андронова-Хопфа. Параметр Я входит в уравнение вместе с аддитивной добавкой г, которая характеризует состояние накопительного элемента, а эволюция этой переменной во времени задается вторым уравнением.

Система (2) имеет два независимых временных масштаба. В качестве одного фигурирует характерное время восстановления состояния накопительного элемента т ~ /Г1, а в качестве второго - основной период колебаний автогенератора, Т = 2л!а>0. Соответственно, при определенном подборе управляющих параметров система (2) может демонстрировать квазипериодические колебания. Представлены примеры временных: реализаций, фазовых портретов, сечений Пуанкаре, Фурье спектров, иллюстрирующих автономную квазипериодическую динамику.

На рисунке 3 показана карта старшего показателя Ляпунова для системы (2). Карта построена следующим образом: для каждой точки плоскости параметров рассчитывался спектр показателей Ляпунова и в зависимости от величины двух старших показателей определялся цвет точки на плоскости. Серый цвет отвечает хаосу (Л, >О,Л2 = 0), белый - квазипериодическому режиму (Л,2 = 0), а черный - регулярной динамике (Л, =0, Л2 <0). Как видно из рисунка, помимо непосредственно квазипериодических режимов, в численных расчетах продемонстрированы другие характерные явления, в том числе внутренний резонанс, соответствующий языкам Арнольда на плоскости параметров, и переход от

квазипериодической динамики к Рис. 3. Карта старшего показателя Ляпунова системы (2) при л=0, Р - периодические, хаосу через разрушение инвариант- 0р . квазипериодические, с - хаотические

ной кривой в сечении Пуанкаре. режимы.

Сформулированная система позволяет поставить задачу о синхронизации автономных квазипериодических колебаний внешним сигналом. В контексте синхронизации квазипериодических движений возникает, по меньшей мере, три постановки задачи:

• синхронизация резонансного цикла на торе, Л < 0,

• синхронизация квазипериодического режима с несоизмеримыми частотами, Л = 0;

• синхронизация режима начинающей разрушаться инвариантной кривой, Л > 0.

В диссертационной работе в разделе 2.2 рассмотрены все три задачи. Особо интересными оказались результаты в случае, когда внешнее импульсное воздействие подается на квазипериодические колебания. На рисунке 4 представлена карта режимов для системы (2) под импульсным воздействием10 на традиционной для неавтономных систем плоскости параметров период - амплитуда воздействия (Т, А). Из рис.4 можно видеть, что карта имеет своеобразную организацию. Имеется множество языков основного пе-

Рис. 4. Карта динамических режимов неавтономной системы (2), при Л=0, 0.9, а0=2п. риода 1, которые следуют примерно через равные интервалы т »1. С другой стороны, языки сгруппированы в группы примерно по семь-восемь языков, которые дают еще один период на карте Т я 8. Данные мелкомасштабная и крупномасштабная структуры связаны с двумя несоизмеримыми временными масштабами квазипериодического сигнала автономной системы. Также для данной системы показана возможность реализации режимов, отвечающих не только двух, но и трехчастотных торам.

При переходе автономной системы в хаотический режим, отвечающий разрушению тора в автономной системе, наблюдается частичное, но не полное разрушение крупномасштабных структур. Обнаружена также возможность синхронизации хаотического режима импульсным сигналом, в резуль-

10 Физически оправданной является ситуация, когда внешний сигнал непосредственно воздействует на генератор с жестким возбуждением.

тате которой возникают довольно широкие окна периодичности с режимами долгопериодической динамики.

Третья глава посвящена исследованию системы двух диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля под импульсным воздействием:

х-{Х-хг)х + х + \1{х-у) = А^Щ~пТ),

где х, у - динамические переменный первого и второго осцилляторов, Я - параметр, отвечающий за бифуркации Андронова-Хопфа (отрицательное трение) в автономных осцилляторах; А - их относительная частотная расстройка; ц - коэффициент диссипативной связи, А - амплитуда, Г - период внешнего воздействия. В ходе исследования изучалось устройство плоскости период - амплитуда воздействия при изменениях параметров автономной системы, отвечающих различным маршрутам на плоскости величина связи -частотная расстройка.

Сначала изучена ситуация, когда в автономной системе расстройка Д=0, так что без внешнего воздействия наблюдается синхронизация с соотношением частот 1:1. В случае сильной связи картина синхронизации близка к той, что имеет место для одиночного осциллятора Ван дер Поля под импульсным воздействием. С уменьшением связи языки синхронизации становятся уже, и начинают доминировать квазипериодические режимы.

Далее рассмотрены случаи, когда в автономной системе происходит выход из основного языка синхронизации в область квазипериодических режимов для слабой и умеренной силы связи На рисунке 5 представлены две карты показателей Ляпунова связанных осцилляторов Ван дер Поля под импульсным воздействием (3) в случае слабой связи, когда в автономной системе реализуется режим захвата (а) и биений (б). На картах разными цветами обозначены области периодических режимов, двух- и трехчастотной квазипериодичности (торов) и хаоса. В работе проведен сравнительный анализ полученных результатов с известными для аналогичной системы под гармоническим воздействием в фазовом приближении. При этом выявлен ряд существенных отличий. Так на рис.5а наблюдается только одна область трехчастотной квазипериодичности, в то время как для системы в фазовом приближении таких областей две, расположенных симметричным образом относительно основного языка синхронизации. В рассматриваемом случае левая область трехчастотных торов разрушается с образованием очень узких языков высокопериодических режимов. С увеличением параметра связи исчезает и вторая область трехчастотной квазипериодичности, однако образуется новая область трехчастотных торов, организованная в виде кольцевой структуры на базе языков синхронизации высших порядков. Еще одним из наиболее значимых отличий является появление на карте областей хаотических режимов, которые отсутствовали в фазовом приближении. С увеличением силы связи области хаотических режимов увеличиваются в размерах.

£ периодический режим

Т2 двухчастотный тор

Г3 | трехчастотный тор хаос

Рис. 5. Карты показателей Ляпунова системы (3) при А=1, /¿=0.1, (а) - автономные генераторы находятся в режиме захвата, Д=0.15; (б) - автономные генераторы находятся в режиме биений, Д =0.25.

Последние два раздела диссертационной работы посвящены численному и экспериментальному исследованию эффекта «вымирания» квазипериодических режимов в возбуждаемой системе связанных осцилляторов Ван дер Поля, который наблюдается при переходе автономной системы из области основной синхронизации в область гибели колебаний. Данный эффект заключается в следующем: с ростом частотной расстройки осцилляторов в момент перехода автономной системы из режима взаимного захвата в режим гибели колебаний, области квазипериодических режимов на плоскости период - амплитуда воздействия образуют острова квазипериодических режимов. При этом возникновение квазипериодических режимов носит пороговый по амплитуде характер. При увеличении частотной расстройки осцилляторов острова постепенно уменьшаются в размерах, и поэтапно «вымирают». На рисунке 6 представлен один из характерных островов квазипериодических режимов. На рисунке 6а - остров, полученный в результате численного эксперимента, на рис. 66 - радиофизического эксперимента. Результаты численного и радиофизического эксперимента на качественном уровне хорошо согласуются. При продвижении вглубь области гибели колебаний, острова

1.6

Т 12.4

(а)

Рис. 6. (а) - карта динамических режимов системы (3), при А=1, ,¿¿=1.3, Д=6; (б) - экспериментальная карта динамических режимов двух связанных автогенераторов Ван дер Поля.

«вымирают» и неавтономная система демонстрирует только режим вынужденной синхронизации.

Основные результаты и выводы

1. На примере системы Ресслера показано, что картина синхронизации регулярного режима с предельным циклом, вложенным в трехмерное фазовое пространство, оказывается аналогичной традиционному синус-отображению окружности лишь, если импульсы действуют в плоскости, в которой в основном расположен предельный цикл. Если же внешние импульсы действуют перпендикулярно этой плоскости, имеет место иная, специфическая картина языков синхронизации и областей квазипериодических режимов. I

2. В трехмерной системе воздействие периодической последовательно- ; сти 5-импульсов может стабилизировать режим, когда все фазовые траектории являются «убегающими». Такая стабилизация возможна до порога бифуркации рождения устойчивой и неустойчивой неподвижной точек, и приводит к возникновению в неавтономной системе устойчивых периодических

и квазипериодических режимов. Обнаружено, что при уменьшении периода внешней силы можно наблюдать удвоения торов в сечении Пуанкаре.

3. Проведено исследование системы Ресслера в режиме ленточного и винтового хаоса под импульсным и гармоническим воздействием. Показано, что наиболее эффективной стабилизации хаоса можно добиться импульсным сигналом, подавая его вдоль направления третьей переменной.

4. Предложена простая модель автономного генератора квазипериодических колебаний с двумя независимыми частотами с аттрактором в виде тора, вложенного в трехмерное фазовое пространство.

5. Предложенная модель оказывается удобным объектом для постановки и исследования задач о синхронизации периодических, квазипериодических и хаотических колебаний. Если воздействие осуществляется на квазипериодические колебания, то в устройстве плоскости период - амплитуда воздействия выявляется мелкомасштабная и крупномасштабная структура, связанные с двумя несоизмеримыми временными масштабами квазипериодического сигнала автономной системы. Для этого случая показана возможность реализации трехчастотных торов. При воздействии на хаотический режим наблюдается частичное, но не полное разрушение таких структур. В такой системе возможна стабилизация хаотического режима импульсным сигналом, в результате которой возникают широкие окна долгопериодических режимов.

6. Проведено исследование устройства плоскости параметров период -амплитуда воздействия системы связанных осцилляторов Ван дер Поля в случае, когда за счет увеличения частотной расстройки автономная система переходит из режима захвата в режим биений. Найдены области периодических движений, двух и трехчастотных торов, хаоса. Обнаружен ряд существенных отличий от случая гармонического воздействия в фазовом приближении.

7. Хотя при наличии большой диссипативной связи две связанные системы Ван дер Поля ведут себя как затухающий осциллятор (режим «гибели колебаний») внешнее импульсное воздействие выявляет присущие системе автоколебательные свойства. На плоскости период - амплитуда воздействия возникают острова квазипериодических режимов, которые пересекаются системой мелкомасштабных языков синхронизации. При этом возникновение квазипериодических режимов носит пороговый характер по амплитуде импульсов. При продвижении вглубь области гибели колебаний острова последовательно исчезают. Данный эффект был обнаружен как в численном, так и в радиофизическом эксперименте. Добавление в систему нелинейности по типу осциллятора Дуффинга приводит к обратному процессу: острова квазипериодических режимов увеличиваются в размерах и появляются новые.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Кузнецов А.П., Станкевич Н.Э., Тюрюкина Л.В. Особенности картины синхронизации импульсами в автоколебательной системе с трехмерным фазовым пространством // Письма в ЖТФ. 2006. Т. 32, вып.8. С.41-47.

[2] Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Особенности картины синхронизации импульсами в системе с трехмерным фазовым пространством на примере системы Ресслера // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. Т. 14. № 6. С. 43-53.

[3] Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Стабилизация внешними импульсами системы Ресслера в режиме «убегающей» траектории // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34, вып. 14. С. 68-74.

[4] Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Эффект «вымирания» квазипериодических режимов в системе диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля с импульсным воздействием // Письма в ЖТФ, 2008. Т. 34, вып. 15. С. 22-27.

[5] Кузнецов А.П., Роман Ю.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Синхронизация импульсами и синхронизация в связанных системах: новые аспекты классической задачи // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16. №3. С. 88-111.

[6] Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Связанные осцилляторы Ван дер По-ля-Дуффинга: фазовая динамика и компьютерное моделирование // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16. №4. С. 101-136.

[7] Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Стабилизация внешними импульсами и синхронный отклик в системе Ресслера до порога бифуркации седло-узел // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5. №2. С. 253-264.

[8] А.Р. Kuznetsov, N.V. Stankevich, L.V. Turukina. Coupled Van der Pol-Duffing oscillators: phase dynamics and structure of synchronization tongues // Physica D. 2009. V. 238. No. 14. P.1203-1215.

[9] A.P. Kuznetsov, S.P. Kuznetsov, N.V. Stankevich. A simple autonomous quasiperiodic self-oscillator // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations. 2010. No. 15. P. 1676-1681.

[10] Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Станкевич H.B. Автономный генератор квазипериодических колебаний // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18. №2. С. 51-61.

[11] Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Чернышев Н.Ю. Стабилизация хаоса в системе Ресслера импульсным и гармоническим сигналом // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18. №4. С. 3-16.

[12] Кузнецов А.П., Селезнев Е.П., Станкевич Н.В. Два диссипативно связанных осциллятора Ван дер Поля с импульсным воздействием: численное исследование и эксперимент // Тезисы докладов V Всероссийской конференции молодых ученых «Наноэлек-троника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов, 2010. С. 69.

[13] Станкевич Н.В. Генерация и синхронизация квазипериодических колебаний в автономной трехмерной динамической системе // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2009: Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: ИЦ «Наука», 2010. С. 119.

[14] Кузнецов С.П., Кузнецов А.П., Станкевич Н.В. Динамика автономного генератора квазипериодических колебаний // Тезисы докладов IV конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов, 2009. С. 114.

[15] Кузнецов С.П., Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Чернышов Н.Ю. Синхронизация генератора квазипериодических колебаний короткими импульсами // Тезисы докладов IV конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов, 2009. С. 144.

[16] Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Связанные осцилляторы Ван дер По-ля-Дуффинга: фазовая динамика и компьютерное моделирование // Материалы Международной школы-семинара «StatInfo-2009». Саратов: ИЦ «Наука», 2009. С. 58.

[17] А.Р. Kuznetsov, S.P. Kuznetsov, N.V. Stankevich. A simple autonomous quasi-periodic self-oscillator. Dynamics Days Europe 2009 // Book of Abstracts. Goettingen, 2009. P. 251.

[18] Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Станкевич Н.В. Автономный генератор квазипериодических колебаний // Материалы «XIII Зимней школы-семинара по электронике СВЧ и радиофизике». Саратов, 2009. С. 60.

[19] Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Синхронизация импульсами: от двумерных к трехмерным и четырехмерным моделям // Тезисы докладов III конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов, 2008. С. 76.

[20] Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Стабилизация импульсами и удвоения торов в системе Ресслера с «убегающей» траекторией // Тезисы докладов III конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов, 2008. С. 73.

СТАНКЕВИЧ Наталия Владимировна

Специальность 01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано к печати 10.01.11г. Объем- 1 печатный лист Тираж 100. Отпечатано автором на лазерном принтере

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Станкевич, Наталия Владимировна

Введение.

Глава 1. Стабилизация и синхронизация импульсами трехмерных систем на примере системы Ресслера.

1.1. Синхронизация импульсами системы Ресслера в режиме автоколебаний с предельным циклом.

1.2. Стабилизация импульсами и синхронный отклик в системе Ресслера до порога бифуркации седло-узел.

1.2.1. Автономная система Ресслера у порога седло-узловой бифуркации.

1.2.2. Неавтономная система. Стабилизация и синхронизация.

1.2.3. Удвоения торов.

1.3. Стабилизация хаоса в системе Ресслера импульсным и гармоническим сигналом.

1.3.1. Стабилизация импульсным сигналом ленточного хаоса.

1.3.2. Стабилизация гармоническим сигналом ленточного хаоса.

1.3.3. Стабилизация импульсным и гармоническим сигналом винтового хаоса.

Основные результаты главы 1.

Глава 2. Генерация и синхронизация квазипериодических колебаний.

2.1. Автономный генератор квазипериодических колебаний.

2.1.1. Принцип действия и математическая модель генератора квазипериодических колебаний.

2.1.2. Тор-аттракторы и квазипериодическая динамика.

2.1.3. Устройство пространства параметров.

2.2. Синхронизация генератора внешним сигналом.

2.2.1. Синхронизация периодического режима внешним сигналом.

2.2.2. Синхронизация квазипериодического режима внешним сигналом.

2.2.3. Синхронизация хаотического режима внешним сигналом.

Основные результаты главы 2.

Глава 3. Возбуждаемые импульсами связанные осцилляторы

Ван дер Поля.

3.1. Автономная система диссипативно связанных осцилляторов Ван-дер-Поля.

3.2. Динамика возбуждаемых импульсами связанных осцилляторов Ван дер Поля. Случай совпадения собственных частот осцилляторов.

3.3. Динамика возбуждаемых импульсами связанных осцилляторов Ван дер Поля. Переход из основного языка синхронизации в область квазипериодических режимов

3.3.1. Неавтономные осцилляторы при слабой связи.

3.3.2. Случай захвата автономных осцилляторов.

3.3.3. Случай биений автономных осцилляторов.

3.3.4. Результаты анализа синхронизации осцилляторов гармоническим сигналом в фазовом приближении. Краткий обзор и сопоставление с полученными результатами.

3.3.5. Случай резонанса на гармониках внешнего сигнала.

3.3.6. Неавтономные осцилляторы при умеренной связи.

3.4. Эффект «вымирания» квазипериодических режимов в возбуждаемой импульсами системе связанных осцилляторов Ван-дер-Поля.

3.5. Экспериментальное исследование эффекта «вымирания» квазипериодических режимов в возбуждаемых импульсами связанных радиофизических автогенераторах Ван-дер-Поля.

Основные результаты главы 3.

Введение диссертация по физике, на тему "Сложная динамика возбуждаемых импульсами трехмерных динамических систем и связанных осцилляторов Ван дер Поля"

Актуальность задачи. Ситуации, когда динамическая система подвержена периодическому внешнему воздействию, широко распространены в радиофизике, электронике, биологии, химии и других областях естествознания [1-17]. Изучению систем с внешним воздействием посвящено большое количество работ [1-38]. Одно из активно развивающихся научных направлений связано с проблемой воздействия внешних сигналов на нелинейные системы, и в частности, с развитием и обобщением представлений о феномене синхронизации, выявлением и классификацией типов соответствующих режимов в зависимости от характера динамики подвергаемой воздействию системы и от характера внешнего сигнала [1-38]. Например, если автономная система демонстрирует режим автоколебаний, то при подаче на нее внешнего сигнала можно говорить о классической синхронизации. Если автономная система находится в режиме хаоса, можно исследовать хаотическую синхронизацию внешним воздействием. Также, подавая внешнее воздействие на систему, находящуюся в каком-либо' неустойчивом режиме, можно рассматривать задачи о стабилизации режимов внешним сигналом и т.д.

Среди задач о системах с внешним воздействием в отдельный класс можно выделить задачи, когда внешнее воздействие носит характер коротких по длительности, но значительных по амплитуде импульсов. Подобные задачи привлекательны как с точки зрения приложений, поскольку многие процессы в радиофизике, радиотехнике, электронике, биофизике и др. характеризуются наличием импульсного воздействия, таки и существенны для теории колебаний и нелинейной динамики с позиции возможной специфики картины синхронизации и проявления новых колебательных эффектов, не имеющих аналогов в случае гармонического сигнала. Кроме того, случай импульсного внешнего воздействия позволяет существенно продвинуться в аналитическом исследовании задачи, поскольку в промежутке между импульсами система оказывается автономной и использование в промежутках между импульсами приближенных методов приводит к более простым дискретным моделям, демонстрирующим, однако, сложное поведение [18-34]. Наконец, для таких систем четко разделяются стадии воздействия и отклика, что облегчает интерпретацию результатов.

К изучению систем с импульсным возбуждением обращались многие авторы. Например, еще В.И. Арнольд для обоснования существования языков синхронизации на плоскости параметров, использовал воздействие сигналов в форме различных типов импульсов [13]. Именно такие системы облегчают качественное понимание происходящих процессов. Для анализа систем с импульсным возбуждением является существенной модель воздействия в виде коротких, но значительных по амплитуде импульсов, которые представляются последовательностью 5-функций. Классической' в-такой постановке является задача воздействии периодической последовательностью 5-функций на автоколебательный осциллятор Ван дер Поля. В монографии [7] такая система названа маятником Ю.И. Неймарка. Подобная система изучалась известными исследователями биологических систем Л. Глассом, Е. Дингом и другими авторами [18-34]. Для нее были выявлены многие аспекты теории синхронизации импульсами.

Одной из эталонных моделей теории консервативного хаоса является математическая модель ротатора под действием импульсов [39]. Эта модель описывается стандартным отображением, называемым также отображением Чирикова-Тейлора, которое возникает во многих физических проблемах. Оно представляет собой упрощенную модель возникновения хаоса, сохраняя, тем не менее, типичные сложные элементы проблемы. Стандартное отображение было предложено Дж.Б. Тейлором [40] в качестве модели для изучения существования инвариантов движений в магнитных ловушках. Параллельно Тейлору данное отображение было получено Чириковым Б.В., исходя именно из модели ротатора под импульсным воздействием [41].

Помимо решения классических задач теории колебаний и волн, как для диссипативных, так и для консервативных систем, импульсное воздействие может быть полезным и для других весьма нетривиальных задач. Так, например, в работах [42, 43] показаны условия синхронизации хаоса для целого класса динамических систем, управляемых хаотическими импульсами. На основе метода синхронизации хаотическими импульсами предложена технология цифровой передачи данных.

Также системы с импульсным воздействием могут демонстрировать многие нетривиальные типы динамического поведения. Хорошо известно, что в системах с квазипериодическим внешним воздействием обнаружен такой нетривиальный тип динамического поведения, как странный нехаотический аттрактор — объект, характеризующийся фрактальными свойствами, но не обладающий присущей хаосу экспоненциальной, чувствительностью к вариации Начальных условий [44]. Совсем недавно была продемонстрирована возможность реализации странного нехаотического аттрактора в системе- двух связанных подталкиваемых импульсами ротаторов [45].

Таким образом, опираясь на все вышеуказанные примеры, можно, сказать, что задачи о системах с импульсным, воздействием являются многоплановыми, современными и имеют большое прикладное значение. Несмотря на то, что изучению систем с импульсным воздействием посвящено достаточно много работ, все же множество вопросов остается не исследованными. Так, например, если- рассматривать вопрос о синхронизации автоколебательной системы с предельным циклом, то практически все работы относятся к случаю, когда внешнему воздействию подвергалась двумерная динамическая система. Что будет происходить при увеличении размерности фазового пространства? Как изменится картина синхронизации при изменении направления действия импульсов? Какие новые эффекты проявятся в системе? Очень слабо в литературе освещен вопрос сравнительного анализа гармонического и импульсного возбуждения динамических систем.

Важным и открытым остается вопрос о поведении под импульсным воздействием систем, характеризующихся квазипериодической динамикой. В связи с этим отметим, что первый «взгляд» на теорию турбулентности с позиций (на современном языке) теории бифуркаций был дан в рамках теории Ландау-Хопфа, основанной на идее последовательного включения все большего количества невзаимодействующих квазипериодических движений [46, 47]. Однако получаемые в рамках теории динамического хаоса и теории бифуркаций результаты поставили под сомнение эту гипотезу. Согласно Рюэлю и Такенсу, в системах с последовательно возникающими в результате бифуркаций компонентами, квазипериодические движения, отвечающие аттракторам в виде торов, имеют место, как типичные, при количестве составляющих не более трех, а при большем их количестве должен возникать странный аттрактор [48]. Конкретные численные расчеты, выполненные для модельных систем рядом авторов, не вполне соответствуют этому утверждению, поскольку в* определенных ситуациях торы-сохраняются-[49]. Вопрос о том, как происходит переход к хаосу, и какую роль играет количество вовлеченных в динамику степеней свободы остается, в значительной мере не проясненным. В последнее время-был опубликован ряд новых результатов, касающихся автономной квазипериодической динамики и синхронизации квазипериодических режимов. В работах [50-58] предложен и исследован автономный радиофизический генератор квазипериодических колебаний, исследованы такие феномены, как удвоения торов в этом генераторе, динамика связанных генераторов и др. Однако вопрос о возможности и свойствах генератора квазипериодических колебаний с размерностью фазового пространства, равной трем, исследован очень мало: известный пример на основе схемы Чуа [59-61] относится к специфическому случаю с кусочно-линейной характеристикой. Поэтому представляется существенным поиск в русле базовых моделей теории колебаний простой трехмерной модели автономного генератора квазипериодических колебаний и исследование картины его синхронизации импульсным сигналом в различных режимах. Еще один круг вопросов, привлекших внимание в настоящее время, касается исследования синхронизации режимов захвата и биений в системе связанных осцилляторов Ван-дер-Поля [56-58, 62-63]. Однако рассмотрение было ограничено случаем фазового приближения и гармонического сигнала малой амплитуды. В этом плане интересно провести исследование непосредственно исходной системы в случае импульсного сигнала, амплитуда которого может быть велика.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

Научная новизна работы:

В диссертационной работе впервые

• Исследовано устройство плоскости параметров период — амплитуда воздействия возбуждаемой импульсами системы Ресслера в различных режимах автономной системы. Проведен сравнительный анализ степени стабилизации хаотического режима в такой системе импульсным и гармоническим сигналом для различных направлений действия внешней силы в трехмерном фазовом пространстве. Обнаружен эффект стабилизации внешним периодическим импульсным воздействием режима «убегающей» фазовой траектории в системе Ресслера до порога бифуркации седло-узел с возникновением устойчивых квазипериодических и периодических режимов.

• Проведено исследование устройства плоскости параметров период — амплитуда воздействия возбуждаемых импульсами связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля-Дуффинга. Обнаружены отличия от известных результатов для аналогичной системы в фазовом приближении с гармоническим воздействием. Эти отличия проявляются в разрушении высокочастотной области трехчастотной квазипериодичности в окрестности основного резонанса. Помимо этого, области трехчастотных торов могут наблюдаться также в окрестности языков периодических режимов более высокого порядка. При этом они образуют характерные кольцеобразные структуры. В случае биений автономных осцилляторов появляются области хаоса, которые возникают преимущественно на границах областей двух и трехчастотных торов.

• В численном и радиофизическом эксперименте обнаружен эффект «вымирания» квазипериодических режимов в системе диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля под импульсным воздействием по следующему сценарию. С ростом частотной расстройки осцилляторов в момент перехода автономной системы из режима взаимного захвата в режим гибели колебаний, области квазипериодических режимов на плоскости период — амплитуда воздействия образуют острова. При этом возникновение квазипериодических режимов носит пороговый по амплитуде характер. При увеличении частотной расстройки осцилляторов острова постепенно уменьшаются в размерах, и поэтапно «вымирают».

На защиту выносятся следующие положения:

1. В системе Ресслера в автоколебательном режиме картина синхронизации внешними импульсами зависит от направления действия импульса в фазовом пространстве. В случае, когда все фазовые траектории автономной системы являются «убегающими» на бесконечность, периодическое импульсное воздействие может стабилизировать режим с возникновением устойчивых периодических, квазипериодических и хаотических колебаний, а также эффекта удвоения торов.

2. На основе гибрида генератора релаксационных колебаний и автогенератора с жестким возбуждением можно реализовать автономный генератор квазипериодических колебаний с трехмерным фазовым пространством, демонстрирующий также режимы, внутренней синхронизации и хаоса. При подаче импульсного воздействия на такой генератор в режиме квазипериодических колебаний на плоскости параметров воздействия- имеют место, мелкомасштабные и, крупномасштабные структуры,, обусловленные наличием двух несоизмеримых временных масштабов в автономной системе.

Научно-практическая значимость работы.

Обнаруженные в диссертации эффекты, проявляющиеся в многомерных системах под импульсным воздействием, дополняют раздел теории синхронизации в рамках теории колебаний и могут быть включены в соответствующие образовательные программы. Результаты, полученные для системы Ресслера, могут быть распространены на другие трехмерные динамические системы. Разработанный и исследованный в диссертации генератор квазипериодических колебаний может служить базой для формирования системы моделей для дальнейших исследований автономной и неавтономной динамики с многомерными1 торами. Такое развитие может идти как по традиционному пути (связанные системы, цепочки генераторов и др.), так и по пути модификации системы с целью построения генераторов с автономной трех- (и более) частотной динамикой. Результаты, полученные во второй главе, использованы в учебном- процессе на факультете нелинейных процессов СГУ в рамках курса «Теория синхронизации» и в учебном пособии [97]. Также результаты диссертации использованы при выполнении научно-исследовательских работ по грантам РФФИ, Федерального агентства по науке и инновациям и Министерства образования и науки РФ в СГУ и Саратовском филиале Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на:

• научных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Россия, Саратов, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009);

• всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Россия, Нижний Новгород, 2005);

• зимних школах-семинарах по СВЧ электронике и радиофизике (Россия, Саратов, 2006, 2009);

• всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (Россия, Звенигород, 2006);

• международных школах-семинарах Foundations & Advances in Nonlinear Science (Беларусь, Минск, 2006, 2008);

• I,II,III,IV,V конференциях молодых ученых «Нанофотоника, наноэлектроника и нелинейная физика» (Россия, Саратов, 2006-2010);

• школе-семинаре «Динамический хаос и его приложения» (Россия, Звенигород, 2007);

• международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Россия, Саратов, 2007);

• научной школе «Нелинейные волны» (Россия, Нижний Новгород, 2008);

• i международной школе-семенаре «Statlnfo» (Россия, Саратов, 2009);

• международной конференции «Dynamics Days Europe» (Germany, Goettingen, 2009).

А также на научных семинарах базовой кафедры динамических систем Саратовского государственного университета и лаборатории теоретической нелинейной динамики Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А.Котельникова РАН.

Личный вклад. В работах [100, 104, 108] автору принадлежит постановка задачи, ее численное решение; совместно с соавторами проведено объяснение и интерпретация полученных результатов. В совместных работах [98-99, 101-102, 106-107] автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты. Объяснение и интерпретация полученных результатов проведено совместно с соавторами. В работах [103, 105] автором проведено численное исследование системы методом карт динамических режимов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Основные результаты главы 3

1. Изучены два связанных осциллятора Ван дер Поля под периодическим импульсным воздействием в случае, когда собственные частоты осцилляторов совпадают. При уменьшении связи все языки синхронизации становятся все уже и уже, и начинают доминировать области квазипериодических режимов. Причина состоит в том, что практически свободные колебания второго осциллятора инициируют квазипериодическое поведение системы в целом. Для большой связи плоскость параметров имеет периодическую структуру с периодом Т ~Т0, где Г0 — собственный период колебаний отдельных осцилляторов. Это обусловлено тем, что осцилляторы при «редких» импульсах успевают синхронизоваться в промежутке между ними. Поэтому воздействия с периодом следования импульсов Т + пТ0 оказываются эквивалентными. Исключение составляет случай малых периодов воздействия О <Т <Т0, когда взаимный захват осцилляторов не успевает произойти.

2. Проведено исследование устройства плоскости параметров период — амплитуда воздействия в случае, когда за счет увеличения частотной расстройки автономная система переходит из режима захвата в режим биений. Найдены области периодических движений, двух и трехчастотных торов, хаоса. Динамика в характерных точках проиллюстрирована с помощью стробоскопических сечений для обоих осцилляторов и «фигур» Лиссажу на плоскости скоростей осцилляторов. Последние позволяют выявлять резонансные двухчастотные торы, возникающие при возмущении трехчастотных, и классифицировать их.

3. Для малой связи картина многочастотных и периодических режимов в окрестности основного резонанса Т«Г0 в ряде моментов отвечает установленной ранее в рамках фазового приближения. В режиме захвата автономных осцилляторов область их полной синхронизации внешним сигналом имеет вид острия с вершиной на оси частот. Область трехчастотных торов имеет вид языка, острие которого заканчивается в

149 характерной точке коразмерности два, лежащей на границе области полной синхронизации. При этом возникновение трехчастных торов носит пороговый характер по амплитуде воздействия. Область трехчастотных торов пронизана системой узких языков резонансных двухчастотных торов разного порядка. При переходе автономных осцилляторов в режим биений фиксируется появление амплитудного порога полной синхронизации. Область трехчастотных торов наблюдается теперь при сколь угодно малых амплитудах сигнала. При этом в нее встроены языки двухчастотных торов, аналогично тому, как языки синхронизации встроены в область квазипериодических режимов в классической картине синхронизации.

Наблюдаются, однако, и определенные отличия от приближения фазовой динамики: Они состоят, прежде всего, в разрушении точки коразмерности два,, связанной с трехчастотными торами, в низко периодической области. Эти торы вытесняются двухчастотными квазипериодическими, режимами' частичного захвата первого- осциллятора внешней силой, а также периодическими режимами, отвечающими синхронизации на таком: двухчастотном торе. В случае биений автономных осцилляторов количество резонансов. такого типа возрастает, а так. же появляются области хаоса, которые преимущественно, возникают на границах областей двух и трехчастотных торов.

4. При увеличении связи форма основного языка синхронизации меняется. В режиме захвата осцилляторов разрушаются уже обе области трехчастотных торов, характерные для фазовых уравнений. Вместо них возникают узкие области хаоса со встроенной системой окон периодических режимов. Области трехчастотных торов, однако, могут наблюдаться в окрестности языков периодических режимов более высокого порядка. При этом они образуют характерные кольцеобразные структуры. При этом «кольцо» на самом деле имеет сложную организацию, включающие целую систему языков высшего периода: кольцо разрывается, так что имеются два языка трехчастотных торов, примыкающих к области определенного периода. В режиме биений основание области полной синхронизации разрушено по сравнению со случаем слабой связи. В ее нижней части возникает область удвоенного периода, а в окрестности острия — новые мелкомасштабные языки периода 3, 5 и 7. Трехчастотные торы в области больших амплитуд существуют только в виде очень узких полос.

5. В рассматриваемой системе наблюдаются также и гармонические резонансы при Т ~пТ0, п>\. В этом случае область синхронизации периода 1 расширяется, а на ее низко периодической границе наблюдаются удвоения периода. Область хаоса значительно увеличивается. Она имеет вид полосы конечной ширины по амплитуде, в области слева от основного языка. При этом языки периодических режимов высшего порядка имеют острия, направленные как вверх, так и вниз от полосы хаоса. При этом обе системы языков расширяются в ее сторону. Таким образом, полоса хаоса заполняет область разрыва языков периодических режимов высокого порядка.

6. При наличии большой диссипативной связи две связанные системы Ван дер Поля ведут себя как затухающий осциллятор — демонстрируют режим «гибели колебаний». Однако внешнее импульсное воздействие даже в этом режиме выявляет присущие системе автоколебательные свойства. На плоскости период - амплитуда воздействия возникают острова квазипериодических режимов, которые пересекаются системой мелкомасштабных языков синхронизации. При этом возникновение квазипериодических режимов носит пороговый характер по амплитуде импульсов. В этом существенное отличие от квазипериодических движений в автоколебательном режиме автономной системы, возможных при сколь угодно малой амплитуде внешнего сигнала. При продвижении вглубь области гибели колебаний острова последовательно исчезают. Данный эффект был обнаружен как в численном, так и в физическом эксперименте. Добавление в систему нелинейности по типу осциллятора Дуффинга приводит к обратному процессу: острова квазипериодических режимов увеличиваются в размерах и появляются новые.

Заключение

Таким образом, в настоящей диссертационной работе проведено исследование различных динамических систем под периодическим импульсным воздействием при постепенном увеличении размерности фазового пространства.

На примере системы Ресслера показано, что картина синхронизации регулярного режима с предельным циклом, вложенным в трехмерное фазовое пространство, оказывается аналогичной традиционному синус-отображению окружности лишь, если импульсы действуют в плоскости, в которой изображающая точка совершает вращательные движения, так что легко ввести фазу, и можно применять традиционные подходы теории хаотической синхронизации. Если же внешние импульсы действуют перпендикулярно этой плоскости, имеет место иная, специфическая картина языков синхронизации и областей квазипериодических режимов. Подобная смена действия направления воздействия оказалась также сильно заметной, если в автономной системе реализуется хаотический режим. При воздействии импульсами вдоль оси первой переменной системы Ресслера практически всю плоскость период — амплитуда воздействия занимают хаотические режимы с отдельными нерегулярными островами периодических режимов. Если воздействие осуществляется вдоль оси третьей переменной, то возникает система выраженных периодических режимов, внутри которых наблюдаются удвоения периода и характерные структуры типа «crossroad-area» и «spring-area».

В трехмерной системе воздействие периодической последовательности 8-импульсов может стабилизировать режим, когда все фазовые траектории являются «убегающими». Такая стабилизация возможна до порога бифуркации рождения устойчивой и неустойчивой неподвижной точек, и приводит к возникновению в неавтономной системе устойчивых периодических и квазипериодических режимов. Интересной особенностью обнаруженного эффекта являются некоторые черты, сближающего его с явлением синхронизации, хотя в автономной системе отсутствуют автоколебания и предельный циклы. Так на плоскости период - амплитуда воздействия области периодических режимов имеют вид характерных языков, встроенных в область квазипериодической динамики. Внутри этих языков частоты возникающих режимов находятся в кратном соотношении с внутренним ритмом системы, связанным с "вращением" изображающей точки в трехмерном фазовом пространстве.

Предложенная простая модель автономного генератора квазипериодических колебаний с двумя независимыми частотами с аттрактором в виде тора, вложенного в трехмерное фазовое пространство, представляет собой удобный объект для исследования основных закономерностей систем, характеризующихся квазипериодическим поведением. Помимо непосредственно квазипериодических режимов, в численных расчетах продемонстрированы другие характерные явления, в том числе внутренний резонанс, соответствующий языкам Арнольда на плоскости параметров, переход от квазипериодической динамики' к хаосу через разрушение инвариантной кривой в. сечении. Пуанкаре ш т.д. Предложенная модель оказывается удобным объектом для постановки и исследования' задач о синхронизации квазипериодических и хаотических колебаний внешним сигналом. Показано, что в-случае внешнего импульсного воздействия в устройстве плоскости период — амплитуда воздействия выявляется мелкомасштабная и крупномасштабная структура, связанные с двумя несоизмеримыми временными масштабами квазипериодического сигнала автономной системы. Также для этого случая была показана возможность реализации трехчастотных торов. При воздействии на хаотический режим наблюдается частичное, но не полное разрушение структур. Обнаружена возможность синхронизации хаотического режима импульсным сигналом, в результате которой возникают довольно широкие окна периодичности с режимами долгопериодной динамики.

На примере системы двух связанных осцилляторов Ван дер Поля рассмотрена проблема синхронизации четырехмерных динамических систем внешним импульсным сигналом. Обнаружено, что в случае, когда в системе реализуется предельный цикл, при достаточно большой связи наблюдается картина синхронизации аналогичная той, что имеет место в системе одиночного осциллятора Ван дер Поля под импульсным воздействием. При уменьшении связи начинают доминировать области квазипериодических режимов, в связи с тем, что практически свободные колебания второго осциллятора инициируют квазипериодическое поведение системы в целом. Проведено исследование устройства плоскости параметров период -амплитуда воздействия в случае, когда за счет увеличения частотной расстройки автономная система двух связанных осцилляторов Ван дер Поля переходит из режима захвата в режим биений. Найдены области периодических движений, двух и трехчастотных торов, хаоса. Для малой связи картина многочастотных и периодических режимов в окрестности основного резонанса Г « Г0 в ряде моментов отвечает установленной ранее в рамках фазового приближения. В режиме захвата автономных осцилляторов область их полной синхронизации внешним- сигналом имеет вид острия с вершиной на оси частот. Область трехчастотных торов имеет вид языка, острие которого заканчивается в характерной точке коразмерности два, лежащей на границе области полной синхронизации. При этом возникновение трехчастных торов носит пороговый характер по амплитуде воздействия. Область трехчастотных торов пронизана системой узких языков резонансных двухчастотных торов разного порядка. При переходе автономных осцилляторов в режим биений фиксируется появление амплитудного порога полной синхронизации. Область трехчастотных торов наблюдается теперь при сколь угодно малых амплитудах сигнала. При этом в нее встроены языки двухчастотных торов, аналогично тому, как языки синхронизации встроены в область квазипериодических режимов в классической картине синхронизации.

Наблюдаются, однако, и определенные отличия от приближения фазовой динамики. Они состоят, прежде всего, в разрушении точки коразмерности два, связанной с трехчастотными торами, в низко периодической области. Эти торы вытесняются двухчастотными квазипериодическими режимами частичного захвата первого осциллятора внешней силой, а также периодическими режимами, отвечающими синхронизации на таком двухчастотном торе. В случае биений автономных осцилляторов количество резонансов такого типа возрастает, а так же появляются области хаоса, которые преимущественно возникают на границах областей двух и трехчастотных торов.

При увеличении связи форма основного языка синхронизации меняется. В режиме захвата осцилляторов разрушаются уже обе области трехчастотных торов, характерные для фазовых уравнений. Вместо них возникают узкие области хаоса со встроенной системой окон периодических режимов. Области трехчастотных торов, однако, могут наблюдаться в окрестности языков периодических режимов более высокого порядка. При этом- они образуют характерные кольцеобразные структуры. При- этом «кольцо» на самом деле имеет сложную организацию, включающие целую систему языков высшего периода: кольцо разрывается; так что имеются два языка трехчастотных торов, примыкающих к области определенного периода. В режиме биений основание области полной синхронизации разрушено по сравнению со случаем слабой связи. В ее нижней части возникает область удвоенного периода, а в окрестности острия — новые мелкомасштабные языки периода 3, 5 и 7. Трехчастотные торы в области больших амплитуд существуют только в виде очень узких полос.

При наличии большой диссипативной связи две связанные системы Ван дер Поля ведут себя как затухающий осциллятор — демонстрируют режим «гибели колебаний». Однако внешнее импульсное воздействие даже в этом режиме выявляет присущие системе автоколебательные свойства. На плоскости период — амплитуда воздействия возникают острова квазипериодических режимов, которые пересекаются системой мелкомасштабных языков синхронизации. При этом возникновение квазипериодических режимов носит пороговый характер по амплитуде импульсов. В этом существенное отличие от квазипериодических движений в автоколебательном режиме автономной системы, возможных при сколь угодно малой амплитуде внешнего сигнала. При продвижении вглубь области гибели колебаний острова последовательно исчезают. Данный эффект был обнаружен как в численном, так и в физическом эксперименте. Добавление в систему нелинейности по типу осциллятора Дуффинга приводит к обратному процессу: острова квазипериодических режимов увеличиваются в размерах и появляются новые.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Станкевич, Наталия Владимировна, Саратов

1. Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносерв, 2003. 494 с.

2. Берже П., Помо И., Вдаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991. 368с.

3. Шустер Г. Детерменированный хаос. М.: Мир, 1990. 240с.

4. Ott Е. Chaos in dynamical systems. Cambridge university press, 1993.

5. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432с.

6. Глас Л., Мэки М. От часов к хаосу. Ритмы жизни. М.: Мир, 1991. 248с.

7. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Нака, Физматлит, 1997. 247с.

8. Анищенко B.C. Сложые колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

9. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.:Физматлит, 2001, 296с.

10. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. Сер. Современная теория колебаний и волн. 2-е изд. М.:Физматлит, 2006. 292с.

11. Winfree А.Т. The Geometry of Biological Time. Springer Berlin:, 1980.

12. Mosekilde E., Maistrenko Yu., Postnov D. Chaotic synchronization: applications to living systems. Singapore: World Scientific. 2002.

13. Arnold V.I. Cardiac arrhythmias and circle mappings // Chaos, 1991', Vol. 1, No. l,p. 20.

14. Steeb W.H., Kunick A. Chaos in limit-cycle systems with external periodic excitation // Int. J of Nonlinear Mechanics, 1987, No. 22, p.349.

15. Caldas I.L., Tasson H. Limit cycles of periodically forced oscillations // Phys. Lett., 1989, Vol.A135, p.264.

16. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Osipov G.V., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving // Physica D, 1997, Vol.104, p.219

17. Gonzalez D.L. and Piro O. Chaos in a Nonlinear Driven Oscillator with Exact Solution//Phys. Rev. Lett., 1983, Vol. 50, No. 12, p.870.

18. Glass L., Sun J. Periodic forcing of a limit-cycle oscillator: Fixed points, Arnold tongues, and the global organization of bifurcations // Phys. Rev., 1994, Vol.50,1. No. 6, p.5077.

19. Glass L. et. all. Global bifurcations of a periodically forced biological oscillator // Phys. Rev. A., 1983, No. 29, p. 1348.

20. Keener J.P., Glass L. Global bifurcation of a periodically forced nonlinear oscillator// J Math. Biology, 1984, No. 21, p.175.

21. Cecchi C., Keener J.P., Glass L. Periodically kicked hard oscillators // Chaos. 1993, No. l,p. 51.

22. Ding E.J. Analytic treatment of periodic orbit systematics for a nonlinear driven oscillator // Phys. Rev., 1986, Vol.A34, No. 4, p.3547.

23. Ding EJ. Analytic treatment of a driven oscillator with a limit cycle // Phys. Rev., 1987, Vol.A35, No. 6, p.2669.

24. Ding EJ. Structure of parameter space for a prototype nonlinear oscillator // Phys. Rev., 1987, Vol.A36, No. 3, p. 1488.

25. Ding E.J. and Hemmer P.C. Exact treatment of Mode Locking for a Piecewise Linear Map // Journal of Statistical Physics, 1987, Vol.46, No. 1-2, p.99.

26. Ding E.J. Structure of the Parameter Space for the van der Pol Oscillator // Physica Scripta, 1988, Vol.38, p.9.

27. Viana R.L. and Batista A.M. Synchronization of coupled kicked limit cycle systems // Chaos, Solutions & Fractals, 1998, Vol.9, No: 12, p. 1931.

28. Ullmann K. and Caldas I.L. Transitions in the Parameter Space of a Periodically Forced Dissipative System // Chaos, Solitons & Fractals, 1996, No. 11, p. 1913.

29. Campbell A. et al. Isochrones and the dynamics of kicked oscillators // Physica A, 1989, No. 155, p.565.

30. А.П. Кузнецов, JI.B. Тюрюкина Осциллятор Ван-дер-Поля с импульсным воздействием: от потока к отображениям // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2001, № 6, с.69.

31. Кузнецов А. П., Тюрюкина Л. В. Синхронизация автоколебательной системы Ван-дер-Поля — Дуффинга короткими импульсами // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004, т. 12, № 5, с. 16.

32. А.Р. Kuznetsov, L.V. Turukina and Е. Mosekilde Dynamical Systems of

33. Different Classes as Models of the Kicked Nonlinear Oscillator // Int. J. of Bif. & Chaos., 2001, Vol.11, No. 4, p. 1065.

34. Кузнецов А.П., Тюрюкина JI.B. Синхронизация в системе с неустойчивым циклом, инициированная внешним сигналом // Письма в ЖТФ, 2003, т.29, вып.8, с.52.

35. Кузнецов А.П., Тюрюкина Л.В. Инициированные короткими импульсами устойчивые квазипериодические и периодические режимы в системе с неустойчивым предельным циклом // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2006, т. 14, №1, с.72.

36. Ю.С.Айдарова, А.П.Кузнецов, Л.В.Тюрюкина. Некоторые особенности синхронизации короткими импульсами системы Лоренца // Письма в ЖТФ, 2007, № 33, вып. 12, с. 16.

37. Ю.С. Айдарова, А.П. Кузнецов, Л.В. Тюрюкина. Сравнительный анализ синхронизации гармоническим и импульсным сигналом на примере системы Лоренца // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2007, т.15, №4, с.55.

38. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Определение времени задержки по отклику системы на слабое импульсное воздействие // Письма в ЖТФ, 2009' т. 35, с. 71.

39. А.Г. Баланов, Т.Е. Вадивасова, Д.Э. Постнов, О.В. Сосновцева. Бифуркация синхронизации хаоса в осцилляторе Ресслера с гармоническим воздействием // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1997, т.5, №.5, с. 31.

40. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. Москва-Ижевск, 2004, 288 с.

41. Taylor J.B. // Culham Lab. Prog. Report CLM-PR-12, 1969.

42. B.V. Chirikov. A universal instability of many dimensional oscillator systems // Phys.Rep, 1979, 52, No. 5, p. 263.

43. T. Stojanovski, L. Kocarev and U. Parlitz. Driving and Synchronizing by Chaotic Impulses // Phys. Rev. E, 1996, 54(2), p.2128.

44. U. Parlitz, L. Kocarev, T. Stojanovski, L. Junge. Chaos synchronization usingsporadic driving // Physica D, 1997, 109, p.139.

45. U.Feudel, S.Kuznetsov, A.Pikovsky. Strange Nonchaotic Attractors. Dyiraamics between Order and Chaos in Quasiperiodically Forced Systems. World Sci^lli;jflc Singapore, 2006, p. 228.

46. T. Mitsui, Y. Aizawa. Intermittency route to strange nonchaotic attracton-s jn a non-skew-product map // Phys. Rev. E, 2010, 52, p. 046210.

47. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР, 1944, т. j\jbg с.339.

48. Hopf Е. A mathematical example displaying the features of turbul^nce // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1948, Vol.1, p. 303.

49. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности. В сб. Странные аттр^1СТОрЫ} под ред. Синая Я.Г. и Шильникова Л.П. М.: Мир, 1981, с. 117.

50. Tavakol R., Tworkovsky A. An example of quasiperiodic motion on T4 у/ Phys. Lett. A, 1984, Vol. 100, No. 6, p. 273.

51. Анищенко B.C., Астахов B.B., Вадивасова Т.Е., Стрелков^ Г.И. Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008, 144 с.

52. Anishchenko V., Nikolaev S., and Kurths J. Bifurcational mechaniSms Qf synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // CHAOS, 2008, Vol. 18. p. 037123.

53. Анищенко B.C., Николаев C.M. Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе. // Нелинейная динамика, 2008, т.4 №1, с. 39.

54. Анищенко В.С, Астахов С.В., Вадивасова Т.Е., Феоктистов А.В. Численное и экспериментальное исследование внешней синхронизации двухчастотных колебаний // Нелинейная динамика, 2009, т. 5, №2, с. 237.

55. Anishchenko V.S., Nikolaev S.M., Kurths J. Peculiarities of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // Phys. Rev. A, 2007, Vol. 76, p. 040101.

56. Анищенко B.C., Николаев С.М. Генератор квазипериодических колебаний. Бифуркация удвоения двумерного тора // Письма ЖТФ, 2005, т.31, вып. 19, с. 88.

57. Anishchenko V., Nikolaev S. and Kurths J. Winding number locking on a two-dimensional torus: Synchronization of quasiperiodic motions // Phys. Rev. E, 2006, Vol. 73, p.056202.

58. Анищенко B.C., Николаев С.М. Синхронизация квазипериодических колебаний с двумя частотами // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2008, т. 16, № 2, с. 69.

59. Anishchenko V., Astakhov S. and Vadivasova Т. Phase dynamics of two coupled oscillators under external periodic force // Europhysics Letters, 2009, Vol. 86, p. 30003.

60. Matsumoto Т., Chua L., Tokunaga R. Chaos via torus breakdown // IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1987, Vol. 34, No. 3, p. 240.

61. Егоров E.H., Короновский A.A., Храмов A.E. Струтура бассейнов притяжения аттракторов генераторов "TORUS" // Радиотехника и электроника, 2004, т. 49, №6, с. 720.

62. Nishiuchi Y., Ueta Т. and Kawakami Н. Stable torus and its bifurcation phenomena in a simple three-dimensional autonomous circuit // Chaos, Solutions & Fractals, 2006, Vol. 27, No. 4, p. 941.

63. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина JI.B. Синхронизация квазипериодических колебаний связанных фазовых осцилляторов // Письма в ЖТФ, 2010, т.36, № 10, с.73.

64. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина Л.В. Фазовая динамика возбуждаемых квазипериодических автоколебательных осцилляторов // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2010, т. 18, №4, с. 17.

65. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

66. Д.Э. Постнов, A.M. Некрасов. Механизмы фазовой мультистабильностипри синхронизации ЗЭ-осцилляторов // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2005, т.13, №1-2, с. 47

67. Постнов Д.Э. Бифуркации регулярных аттракторов. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1996.

68. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е. Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы. Саратов, 1999, 368 с.

69. H.G. Schuster. Handbook of Chaos Control. Wiley-VCH, Weinheim, 1999.

70. Boccaletti S., Grebogi C., Lai Y.C., Mancini H., and Maza D. The control of chaos: theory and applications // Physics Reports Review Section of Physics Letters, 2000, Vol. 329, p. 103.

71. Gauthier D., Hall G.M., Olivier R.A., Dixon-Tulloch E.G., Wolf P.D., and Bahar S. Progress toward controlling in vivo fibrillating sheep atria using a nonlinear dynamics based closed loop feedback method // CHAOS, 2002, Vol. 12, p. 952.

72. Ott E., Grebogi C. and Yorke J.A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett, 1990, Vol. 64, p. 1196.

73. Mori H., Kuramoto Y. Dissipative Structures and Chaos. Springer, 1998.

74. Stone E.F. Frequency entrainment of phase coherent attractor // Physics Letters A, 1992, Vol. 163, p. 367.

75. Rossler O.E. Chaos in abstract kinetics: Two prototypes // Bulletin of Mathematical Biology, 1977, Vol. 39, p. 275.

76. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971, 896 с.

77. J. Guckenheimer, P.Holmes. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. Springer, New York, 1983.

78. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical systems. World Scientific, New Jersey, London, Singapore, HongKong, 2003, 372 p.

79. Genesio R. and Ghilardi C. On the onset of quasi-periodic solutions in the thirdorder nonlinear dynamical system // Int. J. of Bifurcations and Chaos, 2005, Vol. 15, p.3165.

80. Wu Wen-Juan W.-J., Chen Z.-Q., and Yuan Z.-Z. Analysis of two-torus in a new four-dimensional autonomous system // Chinese Physics B, 2008, Vol. 17, p. 1674.

81. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them // Mechanica, 1980, Vol.15, p.9.

82. Aronson D.G., Ermentrout G.B., Kopell N. Amplitude response of coupled oscillators // Physica D, 1990, Vol.41, p.403.

83. Rand R.H., Holmes P.J. Bifurcation of periodic motions in two weakly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics, 1980, Vol.15, p.387.

84. Chakraborty T. Rand R.H. The transition from phase locking to drift in a system of two weakly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics, 1988, Vol.23, No.5/6, p.369.

85. Chakraborty T. Bifurcation analys of two weakly coupled van der Pol oscillators // Doctoral thesis, Cornell University, 1986.

86. Storti D.W., Rand R.H. Dynamics of" two strongly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics, 1982, Vol. 17, No. 3, p. 143. '

87. I.Pastor, V.M. Perez-Garcia, F.Encinas-Sanz, J.M. Guerra. Order and chaotic behavior of two coupled Van-der-Pole oscillators. // Phys. Rev. E., 1993, 48, p.171.

88. M. Poliashenko, S.R. McKay, C.W. Smith. Chaos and nonisochronism in weakly coupled nonlinear oscillators. // Phys. Rev. A., 1991, 44, p.3452.

89. M. Poliashenko, S.R. McKay, C.W. Smith. Hysteresis of synchronous -asynchronous regimes in a system of two coupled oscillators. // Phys. Rev. A., 1991, 43, p.5638.

90. M. V. Ivanchenko, G.B. Osipov, V.D. Shalfeev, Kurths J. Synchronization of two non-scalar-coupled limit-cycle oscillator // Physica D, 2004, Vol.189, No. 1-2, p.8.

91. Кузнецов А. П., Паксютов В.И. О динамике двух осциллятров Ван-дер-Поля Дуффинга с диссипативной связью // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2003, №6, с.48.

92. Кузнецов А. П., Паксютов В.И. Особенности устройства параметров двух неидентичных связанных осцилляторов Ван дер Поля -Дуффинга // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2005, №4, с.З.

93. Baesens С, Guckenheimer J., Kim S.and MacKay R.S. Three coupled oscillators: mode locking, global bifurcations and toroidal chaos // Physica D, 1991, vol. 49, p. 387.

94. M.Herrero, M. Figueras, J. Rius, F. Pi, G. Orriols. Experimental observation of amplitude Death effect in two coupled nonlinear oscillators. // Phys. Rev. Lett, 2000, 84, p.5312.

95. A.P. Kuznetsov, Ju. P. Roman. Properties of synchronization in the systems of non-identical coupled van der Pol and van der Pol-Duffing oscillators. Broadband synchronization // Physica D, 2009, 238, No. 16, p. 1499.

96. Кузнецов А.П., Паксютов В.И., Роман Ю.П. Особенности синхронизации в системе связанных осцилляторов Ван дер Поля, неидентичных по управляющему параметру. // Письма в ЖТФ, 2007, 33, вып. 15, с. 15.

97. Кузнецов А.П., Паксютов В.И., Роман Ю.П. Особенности синхронизации в системе неидентичных связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля Дуффинга. Широкополосная синхронизация. // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамиа, 2007, №4, с.З.

98. А.П.Кузнецов, Ю.П. Емельянова, И.Р. Сатаев, JI.B. Тюрюкина. Синхронизация в задачах. Саратов: ООО Издательский центр «Наука», 2010.

99. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

100. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Особенности картиныгсинхронизации импульсами в автоколебательной системе с трехмерным фазовым пространством // Письма в ЖТФ, 2006, том 32, вып.8, с.41.

101. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Особенности картины синхронизации импульсами в системе с трехмерным фазовым пространством на примере системы Ресслера // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2006, т. 14, № 6, с. 43.

102. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Стабилизация внешними импульсами системы Ресслера в режиме «убегающей» траектории // Письма в ЖТФ, 2008, том 34, вып. 14, с. 68.

103. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Эффект «вымирания» квазипериодических режимов в системе диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля с импульсным воздействием // Письма в ЖТФ,2008, том 34, вып. 15, с. 22.

104. Кузнецов А.П., Роман Ю.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Синхронизация импульсами и синхронизация в связанных системах: новые аспекты классической задачи // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2008, т. 16, №3, с. 88.

105. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Связанные осцилляторы Ван дер Поля-Дуффинга: фазовая динамика и компьютерное моделирование // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2008, т. 16, №4, с. 101.

106. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Стабилизация внешними импульсами и синхронный отклик в системе Ресслера до порога бифуркации седло-узел // Нелинейная динамика, 2009, т. 5, №2, с. 253.

107. А.Р. Kuznetsov, N.V. Stankevich, L.V. Turukina. Coupled Van der Pol-Duffing oscillators: phase dynamics and structure of synchronization tongues // Physica D,2009, 238, No.14, p.1203.

108. A.P. Kuznetsov, S.P. Kuznetsov, N.V. Stankevich. A simple autonomous quasiperiodic self-oscillator // Communications in Nonlinear Science and

109. Numerical Simulations, 2010, No. 15, p. 1676.

110. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Станкевич H.B. Автономный генератор квазипериодических колебаний // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2010, т. 18, №2, с. 51.

111. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Чернышов Н.Ю. Стабилизация хаоса в системе Ресслера импульсным и гармоническим сигналом // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2010, т. 18, №4, с. 3.

112. Станкевич Н.В. Генерация и синхронизация квазипериодических колебаний в автономной трехмерной динамической системе. В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых 2009. Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2010, с. 119.

113. Кузнецов С.П., Кузнецов А.П., Станкевич Н.В. Динамика автономного генератора квазипериодических колебаний. Тезисы докладов IV конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», Саратов, 2009, с. 114.

114. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина JI.B. Связанные осцилляторы Ван дер Поля-Дуффинга: фазовая динамика и компьютерное моделирование. Материалы Международной школы-семинара «StatInfo-2009», Саратов, с. 58.

115. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Станкевич Н.В. Автономный генератор двухчастотных колебаний. Материалы Международной школы-семинара «StatInfo-2009», Саратов, с. 131.

116. A.P. Kuznetsov, S.P. Kuznetsov, N.V. Stankevich. A simple autonomous quasi-periodic self-oscillator. Dynamics Days Europe 2009, Book of Abstracts, Goettingen, 2009, p. 251.

117. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Станкевич H.B. Автономный генератор квазипериодических колебаний. Материалы «XIII Зимней школы-семинара по электронике СВЧ и радиофизике», Саратов, 2009, с. 60.

118. Станкевич Н.В. Автономный генератор квазипериодических колебаний. В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2008. Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2009, с. 77.

119. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина JI.B. Синхронизация импульсами: от двумерных к трехмерным и четырехмерным моделям. Тезисы докладов III конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», Саратов, 2008, с. 76.

120. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина JI.B. Фазовая динамика и компьютерные эксперименты в системе связанных осцилляторов Ван дер Поля. Тезисы докладов, Нижний Новгород, 2008, с.161.

121. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина JI.B. Сценарий «вымирания» квазипериодических режимов в системе диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля с импульсным воздействием. Тезисы докладов, Нижний Новгород, 2008, с. 158.

122. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина JI.B. Особенности синхронизации импульсами трехмерных динамических систем (эффекты присмене направления импульса и контроль неустойчивого режима). Тезисы докладов, Нижний Новгород, 2008, с. 156.

123. Станкевич Н.В. Стабилизация системы Ресслера внешними импульсами. В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых 2007. Материалы научной школы-конференции. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2008, с. 115.

124. Станкевич Н.В. Синхронизация импульсным воздействием в системе диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля. В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых 2006. Материалы научной школы-конференции. Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2006, с. 158.

125. Н.В. Станкевич, Л.В. Тюрюкина. Синхронизация короткими импульсами трехмерных колебательных систем. I конференция молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Материалы конференции, Саратов, 2006, с. 54.

126. Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Влияние направления действия импульса на картину синхронизации в системе Ресслера. В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых 2004. Материалы научной школы-конференции. Саратов, Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004, с. 147.