Сравнительный анализ сложной динамики дифференциальных уравнений и отображений на примере систем с импульсным воздействием тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение.

Глава 1 Сложная динамика и критические явления в осцилляторе

Дуффинга с импульсным воздействием.

1.1 От дифференциального уравнения к двумерному обратимому отображению.

1.2 Одномерное необратимое отображение.

1.3 От одномерного «отображения косинуса» к двумерному отображению Икеды.

1.4 Критические явления на границе хаоса в одномерном «отображении косинуса».

1.4.1 Переход к хаосу по Фейгенбауму и скейлинг в окрестности фейгенбаумовской критической точки.

1.4.2 Нефейгенбаумовский переход к хаосу и скейлинг в окрестности трикритической точки.

1.4.3 Бинарное дерево сверхустойчивых орбит Мак-Кея-Ван-Зейтца и множество трикритических точек.

1.5 Критические явления в двумерном отображении Икеды.

1.5.1 Трикритическая динамика в отображении Икеды.

1.5.2 Псевдотрикритические точки в отображении Икеды.

Выводы.

Глава 2 Синхронизация короткими импульсами.

Изохронный случай.

2.1 Основные модели: осциллятор Ван-дер-Поля под периодическим импульсным воздействием, двумерное и одномерное отображения.

2.2 Картина синхронизации в одномерном отображении.

2.3 Динамика двумерного отображения. Метаморфозы языков синхронизации при переходе к одномерному отображению.

2.4 Дифференциальная система - осциллятор Ван-дер-Поля под периодическим импульсным воздействием.

Выводы.

Глава 3 Синхронизация короткими импульсами.

Неизохронный случай.

3.1 Основные модели: осциллятор Ван-дер-Поля-Дуффинга с периодическим импульсным воздействием, двумерное и одномерное отображения.

3.2 Динамика моделей при небольших значениях параметра фазовой нелинейности.

3.3 Особенности динамики моделей в случае больших значений параметра фазовой нелинейности.

3.4 Синхронизация в системе с неустойчивым предельным циклом под действием периодической последовательности 5-импульсов.

3.5 Синхронизация в системе с жестким возбуждением.

Выводы.

Актуальность задачи. При описании сложных колебательных режимов и хаоса в конкретных радиофизических системах возникает проблема выбора класса динамической системы, которая будет моделью исходной. Это может быть система дифференциальных уравнений, двумерное обратимое отображение, одномерное необратимое отображение. Успехи концепции универсальности в нелинейной динамике отчасти заслонили эту проблему, поскольку исследователи привыкли, что реальные системы и широкий спектр математических моделей демонстрируют такие же закономерности, что и простейшие формальные модели типа логистического отображения. Действительно картина перехода к хаосу через удвоения периода по Фейгенбауму [1-10], все закономерности подобия (скейлинга) на пороге хаоса будут одинаковы во всех моделях из трех названных типов. Так если в двумерном отображении наблюдается переход к хаосу через удвоения периода по Фейгенбауму, то и одномерное отображение демонстрирует бесконечный каскад удвоений периода. Причем точки бифуркаций и критические точки будут близки друг другу в обоих отображениях, а значения констант, характеризующий сходимость, будут точно равны друг другу. Этот факт, являющийся следствием универсальности Фейгенбаума, строго обоснован методом ренормгруп-пы и подтвержден многочисленными исследованиями конкретных примеров [11-21]. Однако, как оказалось, не все феномены одномерных отображений, допускающие ренормгрупповое описание и относящиеся к удвоениям периода, столь просто переносятся от одномерных отображений на двумерные и далее на потоки и наоборот [21-29]. Эти особенности поведения выявляются при двухпараметрическом анализе. Например, для одномерных отображений линия перехода к хаосу может обрывается в обнаруженных Чангом с соавторами так называемых трикритических точках, окрестность которых устроена универсальным образом и характеризуется двухпараметрическим скейлингом [30]. Для двумерных обратимых отображений (и, соответственно, для дифференциальных уравнений) трикритические точки такого типа, строго говоря, не наблюдаются [23-25]. Соответствующее устройство плоскости параметров может реализовываться лишь приближенно в той мере, в какой эффективна одномерная аппроксимация. Таким образом, двухпараметрическое исследование конкретной системы требует тщательного отслеживания работоспособности той или иной динамической модели и обсуждения вопроса о соответствии описаний на «разных уровнях».

Удобным объектом для изучения названной проблемы являются системы с импульсным воздействием, поскольку для них удается получить ряд результатов аналитически. К таким системам относятся нелинейный контур под импульсным воздействием [31], модели Улама ускорения космических лучей Ферми [3, 32], ротатор под действием импульсной силы [2], математический маятник с затуханием, находящийся между полюсами электромагнита, периодически включаемого на короткое время [12, 33] и др.

Особенность задач с импульсным воздействием состоит в том, что в промежутках между импульсами система является автономной. Это означает, что динамику дифференциальной системы в промежутках между ними можно проанализировать, пусть и приближенно, аналитически и получить в явном виде соответствующее двумерное отображение с помощью метода сечений Пуанкаре [1-3]. В рамках этого метода информацию о динамике системы, описываемой дифференциальным уравнением, получают, изучая последовательность значений переменных в дискретные моменты времени, отвечающие пересечению траекторий в фазовом пространстве с некоторой секущей поверхностью. В качестве секущей поверхности для систем под периодическим импульсным воздействием можно выбрать, например, плоскости координата-скорость, расположенные через период внешнего воздействия. Этот метод, однако, не избавляет от необходимости решать само дифференциальное уравнение. Это можно сделать либо числено, используя компьютер, либо аналитически, используя те или иные методы решения дифференциальных уравнений. В случае достаточно сильной диссипации, в свою очередь, можно перейти от двумерного отображения к одномерному. Однако, в этом случае ситуация намного сложнее, так как не существует единого метода перехода от двумерного отображения к одномерному, в каждом конкретном случае он свой. Кроме того, при построении как двумерного, так и одномерного отображений необходимо делать некоторые приближения. А так как рассматриваются нелинейные системы, то эти приближения, хотя и имеют весьма серьезное обоснование, имеют ограниченную область применения.

Наряду с удвоениями периода, другое, не менее интересное, явление нелинейной динамики, которое может быть рассмотрено в рамках задачи о сопоставлении динамических систем разных классов - это явление синхронизации [1,2, 34-36]. Явление синхронизации известно очень давно и, тем не менее, продолжает привлекать внимание исследователей. Классическая ситуация синхронизации состоит в том, что реализуется внешнее периодическое, обычно гармоническое, воздействие на автоколебательную систему с устойчивым предельным циклом [36, 37]. В этом случае возможны режимы захвата частоты и квазипериодические режимы, соответственно, внутри и вне области синхронизации (языков Арнольда) на плоскости частота - амплитуда внешнего воздействия. В фазовом пространстве в этом случае реализуются либо устойчивый тор, которому в сечении Пуанкаре отвечает замкнутая кривая, либо устойчивый и седловой предельные циклы, возникающий на этом торе при переходе через границу языка. Хорошо известны основные закономерности синхронизации, эталонной моделью для изучения которых является стандартное синус-отображение окружности [1]. Однако, оказывается, что в зависимости от вида внешнего воздействия (например, когда в качестве внешнего воздействия взята периодическая последовательность 5-импульсов) явление синхронизации может характеризоваться и закономерностями, отличными от классических. Так, например, в работах Динга и Гласса [38-41], было показано, что для изохронных систем под импульсным воздействием в одномерном случае получается отображение окружности с разрывом. В то же время стандартное синус-отображение может быть использовано в качестве одномерной аппроксимации для неизохронных систем с периодическим импульсным воздействием в случае сильной фазовой нелинейности [9] Поэтому важной является задача исследования всех аспектов картины синхронизации короткими импульсами и, особенно, соответствия различных моделей и их взаимных «превращений».

При рассмотрении явления синхронизации возможен и альтернативный вариант - когда в автономной системе реализуется неустойчивый предельный цикл. На первый взгляд при наличии внешнего воздействия можно ожидать в фазовом пространстве неустойчивый тор или же неустойчивые циклы, отвечающие синхронизации на этом торе. В нелинейной динамике, однако, известен широкий круг явлений, связанный с так называемой проблемой управления хаосом [9]. В рамках этих представлений изучаются ситуации воздействия на систему, которые могут стабилизировать неустойчивость. (Например, если в дискретной системе имеется неустойчивый цикл, то, воздействуя на него сигналом, определяемым элементами цикла, можно добиться его стабилизации.) Возникает интересный вопрос: нельзя ли, используя импульсное воздействие, вызвать стабилизацию в системе с неустойчивым предельным циклом и инициировать устойчивые синхронные и квазипериодические режимы? Как мы покажем, такая схема управления возможна.

Цель работы состоит в сравнительном анализе сложной динамики нелинейных систем разных классов (дифференциальных уравнений, двумерных и одномерных отображений), описывающих системы, находящиеся под периодическим импульсным воздействием и рассмотрении явления синхронизации в системе с устойчивым или неустойчивым предельным циклами под периодическим импульсным воздействием.

Научная новизна работы.

1. Проведено сравнительное сопоставление динамических систем разных классов на примере осцилляторов Дуффинга, Ван-дер-Поля и Ван-дер-Поля-Дуффинга под периодическим импульсным воздействием. Для всех этих систем получены двумерные аппроксимирующие отображения, которые в свою очередь были сведены к одномерным.

2. Для двумерного отображения Икеды, дающего приближенное описание осциллятора Дуффинга с периодическим импульсным воздействием, и его одномерной аппроксимации - «отображения косинуса» показано, что трикритические точки коразмерности два, характерные для одномерных отображений, не переносятся на двумерные, а реализуются лишь приближенно в той мере, в которой эффективна одномерная аппроксимация.

3. Для двумерного отображения Икеды числено найден аналог трикритиче-ских точек - псевдотрикритические точки. Показано, что в этих точках реализуется трикритическая универсальность, но лишь до некоторого конечного уровня иерархии. Дана оценка числа уровней, на которых реализуется трикритическая универсальность.

4. Рассмотрена синхронизация в изохронной системе с предельным циклом под периодическим импульсным воздействием. Проведено сопоставление динамики исходной системы и полученных для нее двумерного и одномерного отображений. Детально исследованы метаморфозы языков синхронизации с ростом управляющего параметра, что отвечает переходу от описания в терминах двумерного отображения к одномерному.

5. Изучена модификация картины синхронизации короткими импульсами при введении неизохронности. Показано, что даже малая фазовая нелинейность существенно меняет картину синхронизации, в частности характер особенности в отображении для фазы колебаний.

6. Показано, что в нелинейной системе с неустойчивым предельным циклом под периодическим импульсным воздействием возможны устойчивые квазипериодические режимы и устойчивые режимы захвата фазы (синхронизации).

Достоверность научных выводов работы подтверждается воспроизводимостью всех численных результатов, а так же хорошим совпадением теоретических и численных результатов и результатов, полученных разными методами.

Основные положения выносимые на защиту.

1. На примере осцилляторов Дуффинга и Ван-дер-Поля с периодическим импульсным воздействием показано, что двухпараметрическое исследование сложной динамики и хаоса в конкретных системах требует тщательного отслеживания работоспособности той или иной динамической модели и обсуждения вопроса о соответствии описания на «разных уровнях» представления: дифференциальные уравнения, двумерные и одномерные отображения.

2. Для одномерной аппроксимации отображения Икеды найдена система трикритических точек коразмерности два, являющихся существенным элементом картины двухпараметрического перехода к хаосу, причем окрестность этих точек устроена универсальным образом и характеризуется своим специфическим скейлингом. В исходном отображении Икеды трикри-тическая универсальность наблюдается лишь как промежуточная асимптотика, работоспособность которой зависит от эффективности одномерной аппроксимации.

3. Задача о синхронизации изохронной системы последовательностью 5-импульсов приводит к нетривиальным метаморфозам картины языков Арнольда при переходе от описания в терминах дифференциальных уравнений к двумерным отображениям и далее к одномерным. Добавление даже малой фазовой нелинейности приводит к существенной модификации картины языков синхронизации и вида отображения для фазы колебаний.

4. Периодическое импульсное воздействие на систему, имеющую в автономном случае неустойчивый предельный цикл, приводит к стабилизации неустойчивого режима и инициирует устойчивые квазипериодические режимы и режимы захвата фазы (синхронизации). Такая инициированная синхронизация возможна лишь в неизохронном случае.

Научно практическая значимость работы и рекомендации по использованию.

• Развитые методики сопоставления дифференциальных систем и отображений могут быть использованы для изучения разнообразных радиофизических систем со сложной динамикой.

• Построенная картина синхронизации короткими импульсами в «эталонных» нелинейных системах может применяться для описания и объяснения особенностей синхронизации короткими импульсами в конкретных системах.

• Результаты, полученные при рассмотрении различных моделей и изучении их взаимных превращений, могут быть использованы в учебном процессе. Часть результатов работы уже использована в учебном пособии А.ПКузнецов, С.П.Кузнецов, Н.М.Рыскин. Нелинейные колебания, М.: Физматлит, п. 13.4. «Системы под импульсным периодическим воздействием».

Апробация работы и публикации. Результаты работы были представлены на 5-ой Международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, Россия, 1998); Школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых-98» (Саратов, Россия, 1998); XI Международной зимней школе по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, Россия, 1999); 7th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'99) (Дания, 1999); V Международной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, Россия, 1999); International School for Young Scientist and Students on Optics, Laser Physics and Biophysics

Саратов, Россия, 1999); Школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых-99» (Саратов, Россия, 1999); 2000 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA2000) (Германия, 2000); Научной школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2000» (Саратов, Россия, 2000); Международной межвузовской конференции Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ (Саратов, Россия, 2001); Международной конференции Dynamics Days Europe 2001 (Германия, 2001); Nonlinear Science

Festival III (Дания, 2001); Четвертом международном симпозиуме по классичеth ской и небесной механике (Великие Луки, Россия, 2001); 6 International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS'01) (Саратов, Россия, 2001); International Workshop on Control, Communication and Synchronization in Chaotic Dynamical Systems (Дрезден, Германия, 2001); Всероссийской научной школе Нелинейные волны-2002 (Нижний Новгород, Россия, 2002); The International Conference on Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations (Саратов, Россия, 2002), Научной школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2002» (Саратов, Россия, 2002), XII Зимней школе-семинаре по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, Россия, 2003).

По теме диссертации имеется 18 публикаций (5 статей в российских и зарубежных журналах, 4 статьи в сборниках, 9 тезисов докладов).

Результаты работы получены в рамках грантов РФФИ № 96-15-96921, № 97-02-16414, № 00-02-17509, ФЦП «Интеграция» № 696.3, Министерства общего и профессионального образования РФ № 97-0-8.3-88, Американского фонда гражданских исследований и развития CRDF № REC-006, а так же персональных грантов РФФИ для молодых исследователей № 01-02-06391 и № 02-02-06469.

Личный вклад автора. В совместных работах автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты. Объяснение и интерпретация полученных результатов проведено совместно с соавторами.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав и заключения. Диссертация содержит 181 страниц текста, включая 65 рисунков , 6 таблиц, список лите

Выводы

В данной главе был рассмотрен осциллятор Ван-дер-Поля-Дуффинга с периодическим импульсным воздействием. Для него методом медленно меняющихся амплитуд было получено двумерное отображение, которое при условии, что фазовая траектория в промежутке между импульсами успевает вернуться на предельный цикл, сведено к одномерному. Была изучена динамика перечисленных выше моделей. Построены карты динамических режимов на плоскости параметров амплитуда и частота (период) воздействия и проведено их сопоставление.

Оказалось, что в зависимости от значений, которые принимает параметр фазовой нелинейности, можно выделить случай малой фазовой нелинейности и случай умеренной и большой нелинейности. Динамика же рассматриваемых моделей при большой и умеренной нелинейности качественно не отличается.

Обнаружена существенная модификация языков синхронизации при введении даже малой неизохронности, которая связана с изменением характера особенности в отображении для фазы - от кусочно-линейного разрыва к логарифмической особенности. В то же время перекрытие языков синхронизации связано с кубической точкой перегиба, как в стандартном синус-отображении окружности, а не с кусочно-линейным разрывом, как в изохронных моделях второй главы.

В случае умеренной и большой фазовой нелинейности работоспособность одномерного отображения выше, чем в случае малой нелинейности. Оно адекватно описывает устройство языков синхронизации в осцилляторе Ван-дер-Поля-Дуффинга не только при небольших значениях управляющего параметра А,, но и в случае достаточно больших X.

В неизохронных режимах в качестве аппроксимации одномерного отображения в области небольших амплитуд внешнего воздействия можно использовать стандартное синус-отображение окружности. Но если в случае малой фазовой нелинейности оно лишь правильно предсказывает величину амплитуды воздействия, при которой происходит перекрытие языков синхронизации, то в случае умеренной и большой нелинейности оно так же адекватно описывает устройство плоскости параметров.

Была рассмотрена картина синхронизации в системе, содержащей в автономном случае неустойчивый предельный цикл и находящейся под периодическим импульсным воздействием. Показано, что в такой системе в неизохронном случае возможны устойчивые синхронные и квазипериодические режимы. Они на плоскости параметров период - частота воздействия реализуются в узкой полосе, разделяющей область режима периода один и область разбегания.

Если же автономная системе сосуществуют устойчивый и неустойчивый циклы, то появляется вторая система языков, связанная с синхронизацией уже на устойчивом предельном цикле. Когда параметр, управляющий взаимным расположением предельных циклов, становиться больше значения, при котором происходит бифуркация их слияния, эти две системы языков объединяются в одну.

В изохронном случае картина несколько иная. Если реализуется лишь неустойчивый цикл, то в неавтномном режиме на плоскости амплитуда - период воздействия картина языков синхронизации отсутствует. При вариации бифуркационного параметра по мере приближения устойчивого цикла (из бесконечности) система языков синхронизации появляется, однако, она устроена иначе чем в неизохронном случае.

Заключение

В данной работе, в контексте сопоставления динамических систем «разных классов» были рассмотрены следующие модели:

• осциллятор Дуффинга под периодическим импульсным воздействием, для которого методом медленно меняющихся амплитуд было получено двумерное отображение Икеды, которое в свою очередь в приближении сильной диссипации сводиться к одномерному «отображению косинуса»;

• осциллятор Ван-дер-Поля и его неизохронный вариант Ван-дер-Поля-Дуффинга под периодическим импульсным воздействием, для которых так же были получены двумерные и одномерные, представляющие собой некий нетривиальный вариант отображения окружности;

• система типа осциллятора Ван-дер-Поля-Дуффинга, содержащая в автономном режиме неустойчивый предельный цикл (либо сосуществующий с устойчивым, либо изолированный), под периодическим импульсным воздействием.

Достаточно подробно была рассмотрена динамика перечисленных выше моделей: для всех систем построены карты динамических режимов, а для некоторых из них и карты старшего ляпуновского показателя, проведено сопоставление карт и выявлены области их соответствия и несоответствия; построены бифуркационные деревья и графики зависимости старшего ляпуновского показателя от параметра, портреты аттракторов, а так же продемонстрированы свойства скейлинга. Из проведенного рассмотрения можно сделать ряд выводов.

При двухпараметрическом исследовании системы со сложной динамикой необходимо не только отслеживать работоспособность той или иной динамической модели, но и рассмотреть вопрос о соответствии описания системы на «разных уровнях» представления. При этом работоспособность тех или иных динамических моделей требует обсуждения не только с позиции физических мотивов, но и с позиции самих феноменов нелинейной динамики. Особенно, это относится к глобальной бифуркационной картине, линиям и точкам накопления бифуркаций. Так, например, в случае осциллятора Дуффинга работоспособность двумерного приближения, при переходе от дифференциальной системы к двумерному отображению Икеды заметно хуже, чем эффективность одномерного приближения при переходе от отображения Икеды к одномерному «отображению косинуса». Для осциллятора Дуффинга тонкая структура долго-периодических областей на плоскости параметров в окрестности точек резонанса плохо передается двумерным отображением не зависимо от значения параметра диссипации, в то время как для двумерного отображения Икеды существует область параметров, в которой тонкая структура в окрестности точек сборки практически идеально описывается одномерным «отображением косинуса».

Если сопоставить эффективность двумерных приближений, полученных для разных дифференциальных систем, то становится понятно, что она зависит не только от метода, которым было получено приближение, но и от вида самих дифференциальных систем. Так, например, работоспособность двумерного отображения, полученного для осциллятора Ван-дер-Поля, существенно лучше, чем работоспособность двумерного отображения, полученного для осциллятора Дуффинга, хотя для решения обоих дифференциальных уравнений, использовался один метод - метод медленно меняющихся амплитуд. Кроме этого, если в изохронном случае (осциллятор Ван-дер-Поля) полученное для него одномерное отображение плохо описывает картину синхронизации в дифференциальной системе, то введение фазовой нелинейности (осциллятор Ван-дер-Поля-Дуффинга) приводит к заметному улучшению эффективности одномерного отображения.

Проведенное в первой главе данной работы сопоставление динамики двумерного отображения Икеды и одномерного «отображения косинуса» подтверждает выводы ренормгруппового анализа о том, что соотношение одномерных и двумерных отображений тривиально только при однопараметриче-ском анализе. Так переход к хаосу через удвоения периода по Фейгенбауму и связанная с ним универсальность одинаковы в обеих системах. Однако, существенным элементом картины двухпараметрического перехода к хаосу через удвоения периода в одномерных отображениях являются трикритические точки, представляющие собой концевые точки фейгенбаумовских линий перехода к хаосу. На плоскости параметров фейгенбаумовская линия выглядит разорванной и ограничена трикритическими точками. Окрестность каждой такой точки устроена универсальным образом и характеризуется двухпараметриче-ским скейлингом, отличным от фейгенбаумовского. Найти и классифицировать их можно с помощью процедуры построения бинарного дерева сверхустойчивых орбит, предложенной Мак-Кеем-Ван-Зейтцем. Однако, в двумерном отображении Икеды трикритические точки коразмерности два не наблюдаются. Трикритическая универсальность реализуется в этом отображении лишь как некая промежуточная ассимптотика, эффективность которой хоть и может быть достаточно высокой, но все же зависит от работоспособности одномерной аппроксимации.

Аналогом трикритических точек в двумерном отображении служат точки, названые псевдотрикритическими. Для нахождения псевдотрикритиче-ских точек в двумерном отображении Икеды использовалась численная процедура, основанная на представлении двумерного отображения как непрерывного продолжения по параметру от одномерного. Этим методом были найдены псевдотрикритические точки отображения Икеды. В окрестности псевдо-трикритических точек наблюдается трикритическая универсальность, но лишь для конечного, хотя иногда и достаточно большого, числа уровней иерархии. Для некоторых псевдотрикритических точек двумерного отображения Икеды была сделана теоретическая оценка максимального числа уровней, для которых еще работает трикритическая универсальность. Было показано, что эта оценка очень хорошо совпала с численными результатами.

Во второй главе работы представлен краткий обзор работ по синхронизации в простейшей системе с предельным циклом в виде окружности, находящейся под периодическим импульсным воздействием. Обсуждены особенности такой синхронизации по сравнению с картиной, наблюдаемой в синус-отображении окружности. В таком отображении, реализуется новый тип универсальности, отличный от классической и характеризующийся сверхсходимость структуры языков синхронизации. Перекрытие языков связано с появлением в отображении кусочно-линейного разрыва, а не кубической точки перегиба, как в классическом синус-отображении окружности.

Переход от двумерного отображения к одномерному отображению Гласа с ростом управляющего параметра сопровождается нетривиальными метаморфозами языков синхронизации. Внутри языков возникают острова периодических режимов, затем область хаоса и разрыв в языке, в результате чего возникают два языка синхронизации, относящиеся к разным системам. В конечном итоге «выживает» лишь одна из них. Этот процесс охватывает неожиданно широкий диапазон изменения управляющего параметра. Следствием этого является, в частности, достаточно низкая эффективность отображения Гласа для описания исходной системы Ван-дер-Поля. Соответствующие значения управляющего параметра оказываются отвечающими уже существенно релаксационным колебаниям, когда вид предельного цикла и характер динамики на нем совершенно не отвечают представлению о равномерном движении изображающей точки по предельному циклу в виде окружности.

Весьма подробно обсуждена и попарно сопоставлена динамика фазы для двумерного и одномерного отображений и дифференциальной системы Ван-дер-Поля.

В третьей главе работы был рассмотрен неизохронный случай системы с предельным циклом под периодическим импульсным воздействием - осциллятор Ван-дер-Поля-Дуффинга. На примере этой системы было показано, что введение даже малой фазовой нелинейности приводит к существенному изменению картины синхронизации, что обусловлено изменением характера особенности в отображении для фазы - от кусочно-линейного разрыва к логар-фмической особенности.

С другой стороны, в неизохронной системе в одномерном отображении перекрытие языков синхронизации связано с кубической точкой перегиба, как и в классическом синус-отображении окружности, а не с разрывом как в изохронном случае. Более того, для аппроксимации одномерного отображения можно использовать синус-отображение окружности, работоспособность которого высока уже даже для случая умеренной фазовой нелинейности. Область работоспособности синус-отображения, однако, ограничена величиной нормированной амплитуды воздействия (С=1 в наших обозначениях), отвечающей особенности в отображении для фазы.

Работоспособность одномерного отображения намного выше, чем в изохронном случае. Оно хорошо описывает устройство языков синхронизации не только в двумерном отображении, но и в дифференциальной системе тоже, даже при достаточно большой значениях управляющего параметра. При этом, правда, надо рассматривать область достаточно больших значений периода внешнего воздействия.

В последнем разделе третьей главы была рассмотрена синхронизация короткими импульсами в системе, имеющей в автономном режиме неустойчивый предельный цикл. Показано, что в такой системе в неизохронном случае возможны устойчивые синхронные и квазипериодические режимы. На плоскости параметров они реализуются в узкой полосе, разделяющей область режима периода один и область разбегания. В фазовом пространстве им отвечает движение вблизи неустойчивого предельного цикла, причем внешние импульсы периодически возвращают изображающую точку в его окрестность.

Если же в автономной системе сосуществуют устойчивый и неустойчивый циклы (система с жестким возбуждением), то появляется вторая система языков, связанная с синхронизацией уже на устойчивом предельном цикле. Когда параметр, управляющий взаимным расположением предельных циклов, становиться больше значения, при котором происходит бифуркация их слияния, эти две системы языков объединяются в одну.

1. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991, 368с.

2. Шустер Г. Детерминированный хаос. М,: Мир, 1990, 240с.

3. Мун Ф. Хаотические колебания. М,: Мир, 1990, 312с.

4. May R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature, 1976, Vol.261, p.459-467.

5. Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. J. Stat. Phys., 1978, Vol.19, № 1, p.25-52.

6. Feigenbaum M.J. The universal metric properties of nonlinear transformations. J. Stat. Phys., 1979, Vol.21, № 6, p.669-706.

7. Фейгенбаум. Универсальность в поведении нелинейных систем. УФН, 1983, Т. 141, № 2, с.343-374.

8. Mefropolis N., Stein P.R., Stein M.L. Finite limit sets for transformation of the unit interval. J Combinatorial Theory, 1973, Vol.15, p.25.

9. Кузнецов С.П. Динамический хаос. M.: Физматлмт, 2001, 296с.

10. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.:Физматлит, 2002, 292с.

11. П.Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. 4.1 Сценарий Фейгенбаума. Прикладная нелинейная динамика, 1993, № 1,2, с.15-32.

12. Кузнецов С.П., Ерастова Е.Н. Теория Фейгенбаума. В кн: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике, кн. 2. Саратов. Изд. Сарат. ун-та, 1983, с.З

13. Leven R.V., Koch B.R. Chaotic behavior of a parametrically excited damped pendulum. Phys. Lett., 1981, V0I.A86, № 2, p.71-74.

14. Francheschini V. Feigenbaum sequence of bifurcations in the Lorenz model. J. Stat. Phys., 1980, № 22, p.397-406.

15. Kai T. Universality of power spectrum of a dynamical system with an infinite sequence of period doubling bifurcations. Phys. Lett., 1981, V0I.A86, № 5, p.263.

16. Анищенко B.C., Астахов B.B., Летчфорд Т.Е., Сафонова М.А. О бифуркациях в трехмерной двухпараметрической автоколебательной системе со странным аттрактором. Изв. Вузов. Радиофизика, 1983, Т.26, № 2, с.169.

17. Libhaber A., Fauve S., Laroche С. Two-parameter study of the routes to chaos. Physica, 1983, Vol.ZD,p.73.

18. Xiao-Ian Chen, You-gin Wang, Shi-gang Chen. Period-doubling bifurcations and chaotic behavior in nonequilibrium superconductivity film. Solid State Commun., 1984, Vol.25, № 1, p.l.

19. Testa J., Pere J., Jeffries C. Evidence for universal chaotic behavior of a driven nonlinear oscillator. Phys. Rev. Lett., 1982, Vol.48, № 11, p.714.

20. Yen W.J., Kao Y.H. Universal scaling and chaotic behavior of a Josephson-junction analog. Phys. Rev. Lett., 1982, Vol.49, № 26, p. 1888.

21. A.P. Kuznetsov, S.P. Kuznetsov, I.R. Sataev and L.O. Chua Multi-parameter criticality in Chua's circuit at period-doubling tranzition to chaos. Int. J. Bif. & Chaos, 1996, Vol.6, № 1, p.l 19-148.

22. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Критическая динамика одномерных отображений. Ч.Н Двухпараметрический переход к хаосу. Прикладная нелинейная динамика, 1993, Т.1, № 2, с.17-35.

23. A.P.Kuznetsov, S.P.Kuznetsov, I.R.Sataev A variety of period-doubling universality classes in multi-parameter analysis of transition to chaos. Physica D, 1997, № 109, p.91-112.

24. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу. Регулярная и хаотическая динамика, 1997, Т.2, № 3-4, с.90-105.

25. Kuznetsov S.P. Tricriticality in two-dimensional maps. Phys. Lett., 1992, Vol.A169, p.438-444.

26. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. New types of critical dynamics for two-dimensional map. Phys. Lett., 1992, Vol.A162, p.236-242.

27. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. From bimodal one-dimensional maps to Henon like two-dimensional maps: does quantitative universalitysurvive? Phys. Lett., 1994, Vol.A184, p.413-421.

28. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Chua L.O. Two-parameter study of transition to chaos in Chua's circuit: renormalization group, universality and scaling. Int. J. Buf. & Chaos, 1993, Vol.3, № 4? p.943-962.

29. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Chua L.O. Self-similarity and universality in Chua's circuit via the approximate Chua's 1-D map. J. of Circuit, Systems and Computers, 1993, Vol.3, № 2, p.431-440.

30. Chang S.J., Wortis M., Wright J.A. Iterative properties of a one dimensional quartic map. Critical lines and tricritical behaviour. Phys. Rev. A, 1981, № 5, p.2669.

31. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Модель диссипативного нелинейного осциллятора в виде одномерного отображения с тремя параметрами. Письма вЖТФ, 1994, вып. 11.

32. Guckenheimer J., Holmes Ph. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifercations of Vector Fields. Springer-Velag New York Inc, 1983.

33. Heagy J.F. A physical interpretation of the Henonmap. Physica, 1992, Vol.57, № 3-4, p.436-446.

34. Ott E. Chaos in dynamical systems. Cambridge university press, 1993.

35. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

36. Pikovsky A., Rosenblum М., Kurths J. Synchronization. Cambridge, 2001.

37. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

38. Ding E.J. Analytic treatment of periodic orbit systematics for a nonlinear driven oscillator. Phys. Rev., 1986, Vol.A34, № 4, p.3547-3550.

39. Ding E.J. Analytic treatment of a driven oscillator with a limit cycle. Phys. Rev., 1987, Vol.A35, № 6, p.2669-2683.

40. Keener J.P., Glass L. Global bifurcation of a periodically forced nonlinear oscillator. J Math. Biology, 1984, № 21, p. 175-190.

41. Glass L., Sun J. Periodic forcing of a limit-cycle oscillator: Fixed points, Arnold tongues, and the global organization of bifurcations. Phys. Rev., 1994,1. Vol.50, № 6, p.5077-5084.

42. Ikeda K., Daido H., Akimoto O. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity. Phys. Pev. Lett., 1980, Vol.45, p709.

43. Parlitz U. Common dynamical features of periodically driven strictly dissipa-tive oscillators. Int. J. of Bif. & Chaos, 1993, Vol.3, p.703-715.

44. Parlitz U et all. Two-dimensional maps modelling periodically driven strictly oscillator. Int. ser. of Numerical Math, 1991, Vol.97, p.283-287.

45. Carcasses J., Mira C., Bosch M., Simo C. & Tatjer J.C. «Crossroad area -spring area» transition (I) Parameter plane representation. Int. J. Bif. & Chaos, 1991, Vol.1, №1,р.183-196.

46. Carcasses J., Mira C., Bosch M., Simo C. & Tatjer J.C. «Crossroad area -spring area transition» (II) foliated parametric representation. Int. J. Bif. & Chaos, 1991, Vol.1, № 2, p.339-348.

47. Mira C., Carcasses J. On the «crossroad area-saddle area» and «crossroad area-spring area» transitions. Int. J. Bif. & Chaos, 1991, Vol.1, № 3, p.641-655.

48. Ни В., Sattia I.I. Spectrum of universality classes in period doubling and period tripiling. Phys. Lett., 1983, Vol.A98, p.143-146.

49. MacKay R.S. and van Zeijts J.B.J. Period doubling for bimodal maps: a horseshoe for a renormalization operator. Nonlinearity, 1988, Vol.1, p.253-277.

50. А.П.Кузнецов, С.П.Кузнецов, И.Р.Сатаев. Критические явления в однона-правленно связанных системах Фейгенбаума. Изв.вузов Радиофизика, 1991, Т.34, № 4, с.357-364.

51. A.P.Kuznetsov, S.P.Kuznetsov, I.R.Sataev, Bicritical dynamics of period-doubling systems with unidirectional coupling. Int. J. of Bif. & Chaos, 1991, Vol.1, №4, p.839-848.

52. A.P.Kuznetsov, S.P.Kuznetsov, I.R.Sataev. Period doubling system under fractal signal: Bifurcation in the renormalization group equation. Chaos, Solitons and Fractals, 1991, Vol.1, № 4, p.355-367.

53. А.П.Кузнецов, С.П.Кузнецов. Критическая динамика решеток связанныхотображений у порога хаоса (обзор). Изв. вузов.-Радиофизика, Т.34, 1991, № 10-12, с. 1079-1115.

54. А.П.Кузнецов, С.П.Кузнецов. Дерево сверхустойчивых орбит и скейлинг в трехпараметрических отображениях. Письма в ЖТФ, Т. 18, 1992, с.34-37.

55. A.P.Kuznetsov, S.P.Kuznetsov А.Р., I.R.Sataev. Variety of types of critical behavior and multistability in period doubling systems with unidirectional coupling near the onset of chaos. Int. J. of Bif. & Chaos, 1993, Vol.3, № 1, p.139-152.

56. А.П.Кузнецов, С.П.Кузнецов, И.Р.Сатаев. Динамика однонаправленно связанных систем Фейгенбаума. Бикритический аттрактор. Изв. вузов.-Радиофизика, 1992, Т.35, № 5, с.398-406.

57. A.P.Kuznetsov, S.P.Kuznetsov, I.R.Sataev. Multi-parameter transition to chaos and fractal nature of critical attractors. In book: Fractals in the Natural and Applied Sciences. Ed. M.M.Novak. Elsevier Science B.V., 1994, p.229-239.

58. С.П.Кузнецов. Критический квазиаттрактор: бесконечное самоподобное множество устойчивых циклов, возникающее при двухпараметрическом анализе перехода к каосу. Письма в ЖТФ, 1994, вып. 10, с. 11-15.

59. A.P.Kuznetsov, S.P.Kuznetsov, I.R.Sataev. Three-parameter scaling for one-dimensional maps. Phys.Lett, 1994, Vol.A189, p.367-373.

60. S.P.Kunetsov, A.S.Pikovsky and U.Feudel. Birth of a strange nonchaotic attrac-tor: A renormalization group analysis. Phys.Rev., 1995, Vol.E51, № 3, p.R1629.

61. С.П.Кузнецов, И.Р.Сатаев. Гибрид удвоений периода и касательной бифуркации: количественная универсальность и двухпараметрический скейлинг. Прикладная нелинейная динамика, 1995, Т.З, № 4, с.3-11.

62. А.П.Кузнецов, С.П.Кузнецов, И.Р.Сатаев. Фрактальный сигнал и динамика систем, демонстрирующих удвоения периода, Прикладная нелинейнаядинамика, 1995, Т.З, № 5, с.64-87.

63. S.P.Kuznetsov, I.R.Sataev. Universality and scaling in non-invertible two-dimensional maps. Physica Scripta, 1996, Vol.T67, p. 184-187.

64. S.P.Kuznetsov, I.R.Sataev. Period-doubling for two-dimensional non-invertible maps: Renormalization group analysis and quantitative universality. Physica D, 1997, Vol.101, p.249-269.

65. Kuznetsov S., Pikovsky A., Feudel U. Renormalization group for scaling at the torus doubling terminal point. Phys. Rev., 1998, Vol.55, № 2, p.1585.

66. S.P.Kuznetsov, I.R.Sataev. Universality and scaling for the breakup of phase synchronization at the onset of chaos in a periodically driven Rossler oscillator. Phys.Rev., Vol.E64, 2001, № 4, 046214.

67. Julia V. Kapustina, Alexandr P. Kuznetsov, Sergey P. Kuznetsov, and Erik Mose-kilde Scaling properties of bicritical dynamics in unidirectionally coupled period-doubling systems in the presence of noise Phys. Rev. E„ 2001, № 6, 066207

68. Carmichael H., Snapp R., Schieve W. Oscillatory instabilities leading to «optical turbulence» in a bistable ring cavity. Phys. Rev., 1982, Vol.26, p.3408.

69. E. Mosekilde. Topics in Nonlinear dynamic. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 1996.

70. Carr Y., Eilbech Y.C One-dimensional approximations for a quadratic Ikeda map. Phys. Lett., 1984,Vol.A104, p.59-62.

71. Vallee R., Delisle C., Chrostowski J. Noise versus chaos in an acousto-optic bistability. Phys. Rev., 1984, Vol.A30, № 1, p.336-342.

72. MacKey R.S., Tresser C. Come flesh on the skeleton: The bifurcation structure of bimodal maps. Physica, Vol.D27, № 3, p.412-422.

73. MacKey R.S., Tresser C. Boundary of topological chaos for bimodal maps of the interval. J. London Math. Soc., 1988, Vol.37, № 1, p.164-181.

74. Gambaudo J.M., Loss J.E. and Tresser C.A horseshoe for the doubling operator: topological dynamics for metric universality. Phys. Lett., 1987, Vol.A123, p.60.

75. Fraser S., Kapral R. Universal vector scaling in one dimensional maps. Phys.

76. Rev., 1984, Vol.A31, p.1687-1694.

77. Winfree A.T. The Geometry of Biological Time. Springer Berlin, 1980.

78. Caldas I.L., Tasson H. Limit cycles of periodically forced oscillations. Phys. Lett., 1989, Vol.A135, p.264-266.

79. Steeb W.H., Kunick A. Chaos in limit-cycle systems with external periodic excitation. Int. J of Nonlinear Mechanics, 1987, № 22, p.349.

80. Pikowsky A.S., Rosenblum M.G., Osipov G.V., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving. Physica, 1997, Vol.D104, p.219-238.

81. Ding E.J. and Hemmer P.C. Exact treatment of Mode Locking for a Piecewise Linear Map. Journal of Statistical Physics, 1987, Vol.46, № 1-2, p.99-110.

82. Ullmann K. and Caldas I.L. Transitions in the Parameter Space of a Periodically Forced Dissipative System. Chaos, Solitons & Fractals, 1996, № 11, p. 1913.

83. Ding E.J. Structure of parameter space for a prototype nonlinear oscillator. Phys. Rev., 1987, Vol.A36, № 3, p.1488-1491.

84. Ding E.J. Structure of the Parameter Space for the van der Pol Oscillator. Physica Scripta, 1988, Vol.38, p.9-16.

85. Viana R.L. and Batista A.M. Synchronization of Coupled Kicked Limit Cycle Systems. Chaos, Solitons & Fractals, 1998, Vol.9, № 12, p. 1931-1944.

86. Mettin R., Parlitz U., Lauterborn W. Bifurcation Structure of the Driven Van-der-Pol Oscillator. Int. J. ofBif. & Chaos, 1993, Vol.3, № 6.

87. Parlitz U. and Lauterborn W. Period-doubling cascades and devil's staircases of the driven Van-der-Pol oscillator. Phys. Rev., 1987, Vol.A36, № 3, p. 1428-1434.

88. Glass L. et. all. Global bifurcations of a periodically forced biological oscillator. Phys. Rev. A., 1983, № 29, p.1348-1357.

89. Campbell A. and ett. all. Isochrones and the dynamics of kicked oscillators. Physica A, 1989, № 155, p.565-584.

90. Schell M., Fräser S., Kapral R. Subharmonic bifurcations in the sine map: an infinite of bifurcations. Phys. Rev., 1983, Vol.A28, № 1, p.373-378.

91. Jensen M.H., Bak P., Bokr T. Complete devil's staircase? Fractal dimensionand universality of mode-locking structure in the circle map. Phys. Rev. Lett., 1983, Vol.50, p.1637-1639.

92. Jensen M.H., Bak P., Bokr T. Transition to chaos by interaction of resonances in dissipative systems. I Circle maps. Phys. Rev., 1984, Vol.A30, p. 1960-1969.

93. Davie A.M. The width of Arnold tongues for the sine circle map. Nonlinearity, 1996, №9, p.421-432.

94. Gonzalez D.L. and Piro O. Chaos in a Nonlinear Driven Oscillator With Exact Solution. Phys. Rev. Lett., 1983, Vol.50, № 12, p.870-872.

95. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

96. Кузнецов А.П., Тюрюкина J1.B. Динамические системы разных классов как модели нелинейного осциллятора с импульсным воздействием. Прикладная нелинейная динамика, 2000, № 2, с. 31-42.

97. А.Р. Kuznetsov, L.V. Turukina and Е. Mosekilde Dynamical Systems of Different Classes as Models of the Kicked Nonlinear Oscillatono Int. J. of Bif. & Chaos., 2001, Vol. 11, № 4, p. 1065-1077.

98. А.П. Кузнецов, JI.В. Тюрюкина Осциллятор Ван-дер-поля с импульсным воздействием: от потока к отображениям. Прикладная нелинейная динамика, 2001, № 6, с.69-82.

99. А.Р. Kuznetsov, L.V. Turukina, A.V. Savin, I.R. Sataev, J.V. Sedova, S.V. Milovanov Multi-parameter picture of transition to chaos. Izv.VUZ Applied Nonlinear Dynamics, 2002, Vol.10, № 3, p.80-96.

100. Тюрюкина Л.В. Нелинейный диссипативный осциллятор под периодическим импульсным воздействием. В сборнике «От порядка к хаосу»: сборник трудов лаборатории Теоретическая нелинейная динамика, 1998,1. Саратов, с.86-93.

101. А.Р. Kuznetsov, L.V. Turukina Dynamics of nonlinear oscillators represented by Ikeda map. В сборнике докладов International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA2000), 2000, Германия, V.2, p.653-656.

102. Кузнецов А.П., Тюрюкина JI.B. Осциллятор Ван-дер-Поля с импульсным воздействием. В сборнике тезисов докладов Международной межвузовской конференции Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ, 2001 г, Саратов, с. 104.

103. Кузнецов А.П., Тюрюкнна JI.B. Синхронизация короткими импульсами. В сборнике материалов XII Зимней школы-семинара по СВЧ электронике и радиофизике, 2003г., Саратов, с.32.

104. Тюрюкина JI.B. Нелинейный диссипативный осциллятор под периодическим импульсным воздействием. В сборнике: Нелинейные дни в Саратове для молодых-98: материалы научной школы-конференции, 1998, Саратов, с.22.

105. Тюрюкина JI.B. Трикритические точки на примере отображения Икеды. В сборнике: Нелинейные дни в Саратове для молодых-2000: материалы научной школы-конференции, 2000, Саратов, с.15-18.

106. Тюрюкина JI.B. Синхронизация короткими импульсами в неизохронном случае. В сборнике: Нелинейные дни в Саратове для молодых-2002: материалы научной школы-конференции, 2002, Саратов, с. 118-121.