Исследование стационарных движений в моделях спусковых регуляторов скорости с импульсным воздействием тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПЕРЕХОД ОТ РЕАЛЬНОЙ КОНСТРУКЦИИ К ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСОВ.

1.1. Анализ состояния проблемы.

1.2. Переход от реальной конструкции к дифференциальным уравнениям.

1.3. Переход от модели с распределенным импульсом к модели с мгновенным импульсом.

1.4.Построение динамической модели часов с мгновенными скачками амплитуды, моделирующими встряхивание часов.

1.5.Построение модели с мгновенными скачками скорости при воздействии на осциллятор постоянного момента.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МГНОВЕННЫМИ ИМПУЛЬСАМИ.

2.1. Качественное исследование модели из теории часов с мгновенными импульсами.

2.2. Исследование одной динамической системы со странным аттрактором.

2.3.Исследование динамической системы с внешним импульсным воздействием и странным аттрактором.

2.4. Оценка времени движения по характерным отрезкам траекторий динамических систем со скачками координат.

ГЛАВА 3. ИНТЕРВАЛЫ ВРАЩЕНИЙ ОТОБРАЖЕНИИ ДЛЯ РЯДА

МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

3.1. Построение топографической системы в области параметров, соответствующей нетривиальным интервалам вращения отображения отрезка.

3.2. Исследование кусочно-непрерывного отображения отрезка, для которого существуют тривиальные и нетривиальные интервалы вращений для значений

3.3. Исследование кусочно-непрерывного отображения отрезка с конечным числом нетривиальных интервалов вращения вида [j/^ Д — J/J.

3.4. Исследование кусочно-непрерывных отображений отрезка со счетным множеством тривиальных и нетривиальных интервалов вращения.

ГЛАВА 4. О РОЛИ ХАРАКТЕРА ТРЕНИЯ.

4.1. Динамическая модель спускового регулятора с внутренним трением.

4.2. Роль трения в моделях спускового регулятора скорости, подверженного внешнему воздействию.

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена актуальной проблеме исследования стационарных движений в моделях спусковых регуляторов скорости с мгновенными импульсами. Регуляторы скорости, являющиеся одним из элементов устройств автоматики и телемеханики, широко используются для стабилизации скорости вращения осей в конструкциях и приборах времени и других устройствах, причем термин «спусковой регулятор» характеризует совокупность колебательной системы и системы хода часового механизма. Поэтому понимание динамических особенностей таких регуляторов является важным для выбора наиболее целесообразных конструкций и их дальнейшего совершенствования.

Последние исследования показали, что в спусковых регуляторах скорости возможны сложные хаотические движения, причем существуют такие спусковые регуляторы, где эти движения обусловлены конструкцией регулятора, в других же регуляторах такие движения возникают в результате внешнего воздействия. Поэтому важно изучать характеристики таких сложных движений.

Модель спускового регулятора является одним из первых примеров, в котором дифференциальные уравнения с разрывными траекториями адекватно описывают движение в нелинейной колебательной системе.

В диссертационной работе представлены модели спусковых регуляторов скорости, в которых мгновенные импульсы являются не только результатом взаимодействия осциллятора со спусковым механизмом, но и результатом различных внешних воздействий.

Детальное изучение различных задач позволяет выделить широкий класс процессов с кратковременными возмущениями, длительностью которых возможно пренебрегать и считать, что эти возмущения носят мгновенный характер. Это, например, устройства, движение которых сопровождается ударными взаимодействиями составляющих элементов или электрические системы, в которых возможны замыкания и размыкания. В фазовом пространстве таких систем происходят скачкообразные изменения части фазовых координат на соответствующих поверхностях фазового пространства. В качестве математической модели в этих задачах используются дифференциальные уравнения с импульсным воздействием в фиксированные и нефиксированные моменты времени.

Изучение динамических моделей с импульсным воздействием приобретает теперь новое значение в связи с возникшим в последнее время обостренным интересом к сложным движениям в динамических системах и их структуре.

Цель работы. Изучение динамики моделей регуляторов скорости с импульсным воздействием, доказательство существования там сложных движений, их изучение с помощью отображений плоскости в плоскость и прямой в прямую а также построение интервалов вращений для исследования характера странных аттракторов этих отображений; исследование роли характера трения в динамике спусковых регуляторов скорости.

Автор защищает:

1 .Результаты исследования динамики ряда моделей спусковых регуляторов скорости с детерминированными параметрами, доказательство существования в этих моделях стационарных движений.

2.Разбиение пространства параметров на области существования различных сложных режимов (построение областей, для которых у соответствующих отображений существуют странные аттракторы).

3.Изучение характера сложных режимов с помощью построения интервалов вращения: область существования странных аттракторов разбивается на подобласти, соответствующие различным интервалам вращения.

4.Сравнительное исследование роли характера трения в некоторых задачах динамики спусковых регуляторов скорости.

Научная новизна полученных в работе результатов заключается в следующем:

1. Впервые исследована динамика ряда конкретных моделей спусковых регуляторов скорости с различными внешними воздействиями, моделированными мгновенными импульсами. Это исследование представляет самостоятельный интерес. I

2. Установлено, что исследованных моделях осуществляются сложные хаотические движения. Пространство параметров разбито на области, которым в фазовом пространстве соответствуют разные (О- предельные множества рассматриваемых отображений. Найдены условия, когда в системе существуют один или два странных аттрактора. Это означает, что в реальной конструкции в зависимости от начальных условий устанавливаются различные рабочие режимы - те или другие хаотические движения.

3. Для ряда моделей в пространстве параметров были получены области как тривиальных, так и нетривиальных интервалов вращения точечных отображений, которые дают информацию о странном аттракторе, причем для некоторых моделей область параметров разбита на подобласти, отвечающие различным значениям нижней и верхней границы интервала вращения. Дана механическая интерпретация полученных результатов. В обоих случаях (тривиальный и нетривиальный интервалы вращения) колебания осциллятора совершаются не в привычном устойчивом периодическом движении при определенной амплитуде, а соответствующая «амплитуда» колебаний осциллятора не остается постоянной, а изменяется от колебания к колебанию. В случае тривиального интервала эти изменения таковы, что в «среднем» ( по начальным условиям) «амплитуды» изменяются одинаково, а в случае нетривиального интервала динамика еще более сложна, т.е. для «амплитуды» ее изменение имеет индивидуальный характер.

4. Показана важная роль характера трения в задачах статистической динамики часов. Получены числовые характеристики для максимального разброса амплитуд для различных видов трения. Установлено, что отношение максимальных разбросов амплитуды в эквивалентных моделях спусковых регуляторов скорости только с постоянным трением, только с линейным трением, только с внутренним трением, только с квадратичным

Проведено исследование особенностей динамики моделей регуляторов с внутренним трением

Методы исследования основываются на классических методах качественной теории дифференциальных уравнений, теории колебаний, динамики систем.

Результаты диссертации имеют теоретический и прикладной характер и могут быть использованы в научно- исследовательской работе как при исследовании режимов работы спусковых регуляторов скорости и других динамических моделей, когда возможно возникновение сложных движений в этих устройствах, так и при анализе этих движений с помощью построения интервалов вращения. Выясненное влияние характера трения на максимальный разброс амплитуды необходимо учитывать как при теоретических исследованиях, так и при разработке различных технических устройств. Понимание роли характера трения позволяет еще на стадии проектирования выбирать соотношение между реализуемыми типами трения.

В первой главе в разделе 1.1 проводится анализ состояния проблемы, при этом отмечается большой вклад в развитие математического аппарата теории нелинейных колебаний, теорию многомерных динамических систем и динамическую теорию часов А.А.Андронова, А.А.Витта, С.Э.Хайкина, Е.А.Леонтович, Н.В.Бутенина, Н.А.Железцова, Н.Н.Баутина, Ю.И.Неймарка, П.СЛанда, Л.П.Шильникова, Е.Ф.Сабаева, В.Н.Белых, В.С.Аншценко, М.И.Фейгина, Г.Г.Денисова, З.М.Аксельрода, В.А.Шполянского, Б.М.Чернягина, Л.А.Комраза и др. трением близко к

Практическая значимость

В разделе 1.2 рассматривается пример перехода от реальной конструкции спускового регулятора скорости к дифференциальным уравнениям. Для этого строится так называемая динамическая модель, которая представляет собой идеализированную конструкцию, в которой I учтены все основные динамические особенности реальной конструкции: моменты инерции, массы, силы. При анализе на первый план выступает исследование в целом общей картины всех явлений без стремления получить точное совпадение с экспериментом. Такой путь позволяет указать направления, в которых следует менять конструкцию для получения желаемых результатов. С помощью динамических моделей изучены особенности динамики спусковых регуляторов скорости и влияние различных конструктивных параметров на их работу.

Далее получена математическая модель рассмотренной динамической модели - дифференциальные уравнения с импульсами, действующими на некотором интервале фазовой координаты х.

В разделе 1.3. совершается переход от модели с распределенным импульсом к модели с мгновенным импульсом.

Доказывается, что действие момента Р на угле импульса Ъ —а моделирует

Ь + а мгновенный скачок скорости баланса в точке х = —-—, т.е. импульсное воздействие спускового механизма на баланс, компенсирующее диссипацию энергии баланса, сводится к мгновенному скачку координаты.

В разделе 1.4. рассматривается динамическая модель часов с мгновенными скачками амплитуды, моделирующими встряхивание часов.

В дисертации исследуются динамические модели, в которых осциллятор получает мгновенные импульсы, компенсирующие потери, и периодические мгновенные импульсы, моделирующие внешнее воздействие.

Моделируются внешние импульсы, которые приводят к мгновенному скачку амплитуды:

В разделе 1.5. про водится построение модели с мгновенными скачками скорости при воздействии на осциллятор постоянного момента. Показывается, что внешнее воздействие постоянной силы F на конечном интервале времени также может быть сведено к мгновенному импульсу, « который соответствует мгновенному скачку скорости.

Г JI А В А 2 посвящена исследованию динамики моделей спусковых регуляторов скорости с мгновенными импульсами.

В разделе 2.1 рассмотрена модель спускового регулятора скорости с сухим трением, мгновенным импульсом в положении равновесия, компенсирующим потери на трение, и периодическим внешним импульсным воздействием.

Уравнение движения осциллятора между импульсами в безразмерных переменных имеет вид: где R > О — коэффициент постоянного трения. При X — —R осциллятор получает мгновенный импульс, компенсирующий потери, по закону: где ij и х2 - скорости осциллятора до и после импульса соответственно, Р > О - величина этого импульса.

Периодически с периодом In происходят мгновенные скачки угловых координат осциллятора по закону: где х3 и х4- координаты осциллятора до и после скачка соответственно,

S > О - величина этого скачка.

Проведено полное качественное исследование разрывного точечного отображения плоскости в себя. Пространство параметров разбито на области различного качественного поведения траекторий точечного отображения. Рассмотрены бифуркации, которые происходят при переходе из одной x+x=-R х

2 — Р области параметров в другую: влипание седловой неподвижной точки в линию разрыва и рождение из ее со— сепаратрисы двух инвариантных кривых, разделяющих области притяжения устойчивых неподвижных точек; влипание устойчивых неподвижных точек в линию разрыва и их исчезновение; рождение новых областей притяжения «внутреннего» отрезка и т.п.

В разделах 2.2, 2.3 и 2.4 представлены результаты исследования автономных динамических систем с периодическими скачками координат, которые моделируют внешнее воздействие. Исследование влияния внешнего воздействия на динамические системы со сложной структурой фазовых траекторий является одной из важных современных проблем. Особый интерес представляет изучение влияния периодического воздействия на динамическую систему, в которой уже существует странный аттрактор.

В разделе 2.2 рассматривается модель часов, которую Н.Н.Баутин назвал «часы наоборот». Действительно, в этой модели осциллятор получает импульсы, компенсирующие потери, не через систему хода, а непосредственно от высокоточного кварцевого генератора периодически через заданные промежутки времени при условии, что в момент передачи импульса координата осциллятора удовлетворяет заданным условиям (катушка находится вблизи положения равновесия). Система хода используется для передачи энергии осциллятора на стрелки часов. Т.о. рассматривается автономная система второго порядка с мгновенными скачками координат двух видов. Скачки одного вида (скачки производной) х происходят при фиксированном значении координаты х — И по закону : х2 —JC2 = <

Р при х\2{>Р О при х\2{<Р где ' значения производной до и после скачка соответственно, скачки другого вида (мгновенные скачки координаты) - периодически при t — 7ck (к — .~ 1,0,1,.) по закону: x4-x3 = S при (xvx3)eD х4-х3 = 0 при (х3,х3)&D' где ХуХ4~ значения координаты до и после скачка соответственно, при условии, что точка (хз,хз) принадлежит области ТУ. (х + R)2 +Х2 <UQ, а параметры R,P,S положительны.

Уравнение движения осциллятора между импульсами такое же, как в разделе 2.1: x+x = -Rx /.

Задача сведена к исследованию точечного отображения плоской области в себя. Пространство параметров системы разбито на области, точкам каждой из которых соответствует определенная качественная структура траекторий точечного отображения. Показано, что различным областям параметров в фазовом пространстве соответствуют разные (О - предельные множества рассматриваемого отображения. Найдены значения параметров, когда в системе существуют периодические точки, значения параметров, при которых в системе существуют непериодические точки, а также значения параметров, при которых предельное множество отображения является странным аттрактором. Найдены условия, когда в системе одновременно существует странный аттрактор, состоящий из двух изолированных множеств.

В разделе 2.3 рассмотрена система, аналогичная исследованной в 2.2.

Уравнение движения осциллятора между импульсами и закон, по которому осциллятор получает импульс, компенсирующий потери на трение, такие же, как в модели 2.1.

Кроме того периодически в моменты времени t = nk {к —. -1,0,1,.) происходят мгновенные скачки скорости по закону: с х х^ — о где л:3 и х4- значения производной до и после скачка соответственно, причем мгновенные скачки производных происходят при условии, что х2 и х2 принадлежат области D:(x + R)2 + х2 < и0. Параметры R, Р, S неотрицательны.

Задача сведена к изучению двумерного отображения. Показано, что в случае отсутствия скачков координат со - предельное множество этого отображения принадлежит некоторой прямой. Предельное множество для точек, лежащих слева от прямой, принадлежит одному отрезку этой прямой, а для точек, лежащих справа - другому. В пространстве параметров выделена область, для точек которой это предельное множество - странный аттрактор.

Рассмотрен случай, когда на систему действует внешнее воздействие, под влиянием которого изображающая точка в фазовом пространстве периодически мгновенно изменяет свое положение.

Возмущение задается в виде периодических мгновенных скачков производной, происходящих в моменты времени t ~лк\ х6 — х5 = , где Sl >0, a jc5,jc6 - значения производной до и после скачка соответственно.

Доказано, что существуют такие значения параметров возмущенной системы, при которых в фазовом пространстве одновременно существуют два со - предельных множества . При этом либо оба они - странные аттракторы, либо оба - устойчивые неподвижные точки, либо одно -странный аттрактор, а другое - устойчивая неподвижная точка.

В разделе 2.4 решается задача: в заданной области фазового пространства с помощью автономных систем сравнения оценить максимальное и минимальное время движения по характерным отрезкам траекторий системы.

Рассматривается неавтономная система, в которой координата X автономной системы

Х = y = Q{x,y) в некоторые заданные моменты времени мгновенно изменяет свою величину по закону: xs где xs,xs — координаты системы до и после изменения соответственно, S > 0, Q(x, у) имеет вид:

Q(x,y) = -x-R- + P(x,y), где Р(х,у) представляет закон, по которому при х — у > 0 координата у мгновенно изменяет свою величину по закону: у22=у!+р, где у1 и у2 - скорости до и после изменения соответственно, a f(xs,S) имеет вид: f(xs,S) = xs-S или f(xs,S) = xs+S.

Эта система описывает движение осциллятора с сухим трением под влиянием внешнего воздействия.

В работах Н.Н. Баутина, В.Н.Белых, Л.А.Комраза исследование неавтономных систем дифференциальных уравнений, заданных в неограниченны областях, сводится с помощью автономных систем сравнения к исследованию траекторий этих систем в некоторых кольцевых областях

G.

Показано, что в таких областях могут осуществляться сложные колебания, в том числе и стохастические. Поэтому важно (например, в теории синхронизации, теории часов и т.д.) оценить максимальное и минимальное время движения по характерным отрезкам траекторий для I таких областей.

Если у— y(t),x = -решение системы, то под характерным отрезком траектории здесь и ниже будет пониматься отрезок траектории между двумя последовательными нулями txи t2 функции y{t).

По аналогии с теоремой сравнения Штурма построены системы сравнения для оценки интервалов между значениями /jH

ГЛАВА 3 посвящена изучению интервалов вращений различных кусочно-непрерывных отображений отрезка в себя. Число вращения и интервал вращения вводятся для изучения сложного характера странного аттракторов отображений, полученных при рассмотрении динамических систем

Для отображения и — /(и) число вращения p(f) определяется:

Pifhlm^^я->00 П

Отметим, что отображение окружности на окружность может рассматриваться как частный случай отображения прямой в прямую. Важнейшей характеристикой такого отображения является число вращения р, которое в этом случае определяется как р = lim^л—>оо где ап - угол, на который поворачивается точка М на окружности при п ее последовательных преобразованиях.

Множество вращения - это набор чисел вращения для различных точек отображения. Множество вращения может представлять собой замкнутый интервал, возможно тривиальный (т. е. точку). Существование тривиального интервала вращения отображения отрезка означает, что все точки отрезка имеют одно и то же число вращения, т.е. отображение сопряжено с поворотом всех точек на один и тот же угол ( все точки ведут себя одинаково, каждая - около своего установившегося режима).

Если интервал вращения является нетривиальным, то различные точки имеют разные числа вращения и это говорит о более сложном характере странного аттрактора, нетривиальность интервала вращения указывает на сильную «хаотичность» системы.

Т.о. интервал вращения дает информацию о странном аттракторе. В разделе 3.1 рассматривается отображение, заданное уравнениями:

Показано, что в рассматриваемой области параметров множество вращений заданного отбражения отрезка в себя является нетривиальным интервалом. В этой области параметров построена система, состоящая из четырех семейств кривых. Она разбивает область параметров на четыре семейства подобластей. Для точек подобластей первого семейства найдены верхняя и нижняя границы интервала вращения, для точек второго и третьего семейства - одна из границ интервала вращения, а для другой границы сделана оценка, для точек четвертого семейства даны оценки верхней и нижней границ интервала вращения.

В разделе 3.2 рассматривается отображение, заданное уравнениями: где u=f(u) = <

4(u+S-2R)2-P=gx(u) если W<Wq,

В разделе 2.2 показано, что неравенства S>2R, UQ>2R + -\[P (Р>0, R>0, Ио>0) выделяют в пространстве параметров Р, S, MQ, R область, для точек которой СО - предельное множество отображения f{u) является странным аттрактором и принадлежит отрезку L :

L{u: ul=gl(u0)<u<u2=gl(u0)} ,

В пространстве параметров P,S,uQ,R для значения числа вращения

У^ и значения числа вращения J/^ найдены области, для точек которых это значение является либо нижней границей интервала вращения, либо верхней границей этого интервала.

Найдены области в пространстве параметров, для которых интервал

V- пийл QUDOPUHP I вращения является тривиальным, и значение %> либо значение 3 является одновременно верхней и нижней границей этого интервала. Это значит что для рассматриваемого отображения в пространстве параметров существуют значения, для которых интервал вращения является нетривиальным, и области, для которых интервал вращения является тривиальным.

В разделе 3.3 рассматривается отображение отрезка в себя, полученное из отображения раздела 3.1 линейной заменой переменных: и +1 - щ, если 0 <и<и0 u=f(u) = а иг

1 —- L если и0 < и < 1 и

В пространстве параметров рассматривается область, для точек которой со - предельное множество является странным аттрактором. В этой области параметров построены четыре семейства кривых. Кривые 1-го и 2-го семейства выделяют области, которым соответствует значения нижней границы интервала вращения, равные —, (к = 2,3.); кривые 3-го и 4-го к семейства выделяют области, которым соответствуют значения верхней границы интервала, равные 1 — —, {п — 2,3,. 8) (показано, что для 3-го и 4п го семейства в рассматриваемой области значений параметров п может изменяться от 2 до 8). Указанные семейства кривых выделяют подобласти существования нетривиальных интервалов вращения к' п себя, рассматриваемого отображения.

В разделе 3.4 рассматривается отображение и = f{u) отрезка в которое задается уравнениями: и U{u + S-2R)2-Р = gl(u), если и<щ, \ u~2R =g2(и), если и > щ

Определяется область G в плоскости параметров, для точек которой со-предельное множество отображения является странным аттрактором. Доказывается, что в области G существует счетное множество ограниченных областей <т„, для каждой из которых интервал вращения является п-1 тривиальным

Р = Р п п — 2,3,.), а также для любого фиксированного значения т = 1,2,. существует счетное множество областей, для каждой из которых интервал вращения [/?, pj является нетривиальным, причем р п-1 п + т-1 п п + т

ГЛАВА 4 посвящена исследованию роли характера трения в динамике спусковых регуляторов скорости.

В разделе 4.1 проводится изучение роли характера трения в динамике спусковых регуляторов скорости. Для этого с помощью систем сравнения и построения точечных отображений проведено сравнительное

17 исследование зависимости разброса амплитуд от разброса параметров внешнего воздействия для видов трения: постояного, линейного, внутреннего и квадратичного. Получены функциональные отношения разбросов амплитуд колебаний, из которых, в частном случае для малого разброса параметров

1 1 1 1 внешнего воздействия, получается оценка 1:1: — :— соответственно для

2 3 перечисленных видов трения. Отметим, что первые два отношения совпадают с оценкой, полученной в работе Комраза Л.Л. и Украинского Б.С. "О влиянии характера трения на флуктуации амплитуды спусковых регуляторов скорости при случайных изменениях параметров".

Известно, что системы с внутренним трением при условии достаточно слабого демпфирования можно привести к системам с линейным, (вязким) трением. Однако при исследовании динамики спусковых регуляторов скорости внутреннее трение в материале пружины учитывается наряду с другими видами трения. Важно знать, какие особенности вносит внутреннее трение в динамику спусковых регуляторов скорости. Для этого в разделе 4.2 рассматривается динамическая модель регулятора скорости с распределенным импульсом при учете потерь только на внутреннее трение. Потери на трение задаются простейшей петлей гистерезиса (величина внутреннего трения пропорциональна амплитуде колебаний и постоянна на каждом полуколебании). Динамическая модель описывается при этом континуумом обыкновенных дифференциальных уравнений (каждая траектория описывается своим дифференциальным уравнением).

Проведено сравнительное исследование данной модели с аналогичной моделью спускового регулятора скорости с учетом только линейного трения. Показано, что сравниваемые модели имеют топологически эквивалентные структуры разбиения фазовой плоскости на траектории и качественно согласующиеся динамические характеристики.

По материалам диссертации опубликованы работы [66-84].

В работах, выполненных в соавторстве с Комразом Л.А., автором диссертации принадлежит проведение доказательств, а также участие в обсуждении формулировок и результатов; Л.А.Комразу принадлежит постановка задач, общее руководство и идеи доказательств основных » утверждений.

1. Андронов А.А., Внтт А.А., Хайкин С.З. Теория колебаний. М. Физматгиз, 1959.

2. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М. Наука, 1966.

3. Андронов А.А., Баутин Н.Н. Движение нейтрального самолета, снабженного автопилотом и теория точечных преобразований поверхностей // Докл. АН СССР. 1944, Т.43, N 5.

4. Андронов А.А., Майер А.Г. О задаче Вышнеградского в теории прямого регулирования // Автоматика и телемеханика. 1947, T.8,N 5 и 1953, Т.14, N 5.

5. Аксельрод З.И. Теория и проектирование приборов времени // Л: Машиностроение, 1969,480 с.

6. Анищенко В.Е. Сложные колебания в простых системах. М. Наука, 1990, 312 с.

7. Дж.Биркгоф. Динамические системы. М.-Л.: ГИТТЛ, 1941,- 320 с

8. Баутин Н.Н. О движении идеальной модели часов, имеющей две степени свободы. Модель часов Галилея-Гюйгенса // Докл. АН СССР. 1948. Т.61, N 1.

9. Баутин Н.Н.О задаче Л.И. Мандельштама в теории часов // Докл. АН СССР. 1949. Т.65, N 3.

10. Баутин Н.Н. Динамическая модель электромеханических часов с ходом Гиппа // Изв. АН СССР: ОТН.- 19957. N11.

11. Баутин Н.Н. Теория точечных преобразований и динамическая теория часов // Тр. Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Киев: Институт математики АН УССР, 1963. Т.2.

12. Баутин Н.Н. Динамическая теория часов. М. Наука, 1986. 192 с.

13. Бутенин Н.В. Об одной задаче Кельвина, относящейся к теории часов // ЖЭТФ, Т. 10, N 11.

14. Бутенин Н.В. К теорйи принудительной синхронизации. Памяти А.А.Андронова. М.: АН СССР, 1955.

15. Бутенин Н.В. Элементы теории нелинейных колебаний. Л.: Судпромгиз. 1962.

16. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. Изд.2-е, перераб. и доп.- М. Наука. 1984.

17. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М. Наука. 1976.

18. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М. Наука, 1990. 488 с.

19. Белых В Н. О качественном исследовании неавтономного нелинейного уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения, 1975. Т.10. С. 1737-1753.

20. Белых В.Н. Метод двумерных систем сравнения в качественной теории конкретных динамических систем // Диссертация .доктораф.-м.наук,-Ленинград. 1985. 351 с.

21. Белых В.Н., Максаков В.П. Качественное исследование разрывного отображения цилиндра из теории фазовой синхронизации // Межвуз.сб. " Методы качественной теории дифференциальных уравнений", Горький, изд. ГГУ, 1982. С.135-150.

22. Белых В.Н. О бифуркациях сепаратрис седла системы Лоренца // Дифференциальные уравнения, 1984. Т.20, N 10.С. 1666-1674.

23. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. О неавтономной фазовой системе уравнений с малым параметром, содержащей инвариантныеторы и грубые гомоклинические кривые // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1972. T.15,N7. С.1039-1048.

24. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. О глобальной структуре разбиения фазового пространства одной неавтономной системы // Дифференциальные уравнения, 1973. Т.9, N 4. С.595- 608.

25. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. Гомоклинические структуры, по рождаемые простейшей моделью фазовой автоподстройки // Фазовая синхронизация. -М.: Связь, 1975. С.97-106.

26. Бутенина Н.Н. Основные приемы качественного исследования управляемых динамических систем второго порядка // Труды Межд. Конгресса " Женщины-математики". Вып.1, изд. ННГУ, Нижний Новгород, 1994. С.14-19.

27. Бутенина Н.Н., Олюнина И.И. О некоторых бифуркациях мно жеств управляемости, имеющих на границе узловую особую точку контактной кривой // Труды 3-ей Межд. Конф. Женщин-математиков, Воронеж, 1995. Изд.ННГУ, Нижний Новгород, 1996. Вып. 2. С. 217-225.

28. Баутин Н.Н., Комраз Л.А., Украинский Б.С. Об особенностях мо делей спускового регулятора скорости, связанных с характером трения // Межв. Сб. "Методы качественной теории дифференци альных уравнений". Горький, ГГУ, 1980. С. 151-158.

29. Баутин Н.Н., Комраз Л.А., Украинский Б.С., Чернягин Б.М. Спус ковые регуляторы скорости с флуктуирующими параметрами // Изв. ВУЗов, Приборостроение, 1982. N3.

30. Баутин Н.Н., Комраз JI.A. Динамические модели часов с мгно венными периодическими импульсами // Совершенствование конструкций и методов проектирования хронометрических приборов. Сб. научных трудов НИИЧАСпрома. М. 1990. С. 93-103.

31. Емельянова И.С. Некоторые аспекты группового анализа уравнений аналитической динамики. // Труды межд. конгресса " женщины-математики", вып.1, Изд. ННГУ, Нижний Новгород, 1994. С.43-46.

32. Емельянова И.С. Групповой анализ как инструмент построения решений дифференциальных уравнений // Труды 5-ой Межд. конф. женщин- математиков. Ростов на Дону, 1997. Изд.ННГУ, Изв. Вузов, Радиофизика, Нижний Новгород, 1998. Т.5, вып. 1. С.162-168.

33. Косякин А.А., Сандлер Е.А. Эргодические свойства одного клас са кусочно-гладких преобразований отрезка //Изв. ВУЗов. Математика. 1972. Т.З. С. 32-40.

34. Климов В.Г. Вынужденные колебания системы с симметричной полигональной петлей гистерезиса // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1967. Т.10, N 7.

35. Комраз Л.А. Динамические модели маятникового регулятора Гиппа // Прикладная математика и механика, АН СССР, т. 35, 1971.

36. Комраз J1.A., Украинский Б.С. О модели спускового регулятора с квадратичным трением со случайно изменяющимися параметрами // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Межвузовский сборник, ГГУ, Горький, 1980. С. 159165.

37. Комраз Л.А.,Украинский Б.С. Качественное исследование системы второго порядка со случайными периодическими скачками координат и скорости // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Межвузовский сборник, ГГУ. Горький, 1985 С. 76-85.

38. Комраз Л.А. Странный аттрактор в модели часов с внешним воздействием // Исследования и разработки в областихронометрической техники. Сборник научных трудов НИИЧаспрома. М., 1991. С.14-23.

39. Комраз Л.А. Влияние периодического воздействия на странный аттрактор в динамических моделях часов // 3-й международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления ». Самара, 1994. С.60.

40. Комраз Л.А. Дифференциальные уравнения с разрывными траекториями в динамической теории механических часов // Труды 4-ой конференции « Нелинейные колебания механических систем ». Нижний Новгород, 1996. С.80.

41. Комраз Л.А. Сложные колебания в динамических моделях часов // 4-й международный семинар « Устойчивость и колебания нелинейных систем управления ». Москва, 1996. С.87-88.

42. Комраз Л.А. Дифференциальные уравнения со скачками фазовых координат в теории часов // Международный семинар « Дифференциальные уравнения и их приложения ». Самара, 1996. С. 13.

43. Малкин М.И. Методы символической динамики в теории одномерных разрывных отображений. // Дис.канд.физ.-мат.наук,Горький, 1985. 190 с.

44. Малкин М.И. Кусочно-линейные модели для отображений ло ренцевского типа // Межв.сб. " Методы качественной теории дифференциальных уравнений". Горький .ГГУ. 1987. С.148-161.

45. Малкин М.И. Интервалы вращения и динамика отображений ло-ренцевского типа // Межв.сб. " Методы качественной теории дифференциальных уравнений". Горький . ГТУ, 1986. С122-139.

46. Малкин М.И. О непрерывности энтропии разрывных отображе ний интервала // Межв.сб. " Методы качественной теории дифференциальных уравнений". Горький. ГТУ,1982.С 5-48.

47. Метрикин B.C. К теории виброударника со случайно изменяю щимися параметрами // Изв. ВУЗов, Рдиофизика. 1970. Т. 13, N 4, с. 585-592.

48. Метрикин B.C. Исследование устойчивости периодических дви жений систем с ударными взаимодействиями // Изв. АН СССР. МТТ. 975. N3. С 43-48.

49. Нитецки Э. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир 1975. 304 с.

50. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

51. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих сис тем.- М.: Физматгиз, 1960,193 с.

52. Пановко Я.Г. Проблемы теории конструкционного демпфирования в неподвижных соединениях. Тр. 3-го совещания по основным проблемам теории машин и механизмов // Динамика машин. М.: Машгиз, 1963.

53. Самойленко A.M., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием // К.: Вища школа, 1987. 287 с.

54. Фейгин М.И. К исследованию вынужденных колебаний систем с сухим трением // Динамика машин. М.: Машгиз, 1966. С.414-425.

55. Фейгин М.И. Некоторые бифуркационные задачи динамики ма шин //Динамика машин. М.: Наука, 1974. С.190-197.

56. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными не линейностями // М.: Наука, 1994. 285 с.

57. Федосенко Ю.С. Скользящие режимы в неавтономных системах с ударными взаимодействиями. Дисс. . канд.ф.-.м. н. Горький, ГИИВТ, 1974.

58. Шполянский В.А. Хронометрия. -М.: Машиностроение, 1974. 655 с.

59. Баутин Н.Н., Губина Е.В., Комраз Л.А., Украиеский Б.С. О роли характера трения. Тез. Докл. // Всесоюзн. конф. " Нелинейные колебания механических систем". Горький. 1987.С. 157-158.

60. Губина Е.В., Комраз Л.А. Качественное исследование системы из теории часов с периодическими скачками угловых координат ос циллятора // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Межвузовский сборник. ГТУ, Горький, 1988. С. 57-63.

61. Губина Е.В. Оценка времени движения по характерным отрезкам траекторий динамических систем со скачками координат // Труды международного конгресса ассоциации « женщины-математики ». Издательство ННГУ, вып.1,1994. С.24- 29.

62. Губина Е.В., Комраз J1.A. Автономная система со странным аттрактором и периодическими скачками координат //Труды 3-ей международной конференции женщин-математиков. Воронеж, 1995. Издательство ННГУ, вып.2. С.238-245.

63. Губина Е.В., Комраз Л.А. Исследование одной системы дифференциальных уравнений второго порядка со странным аттрактором // Труды 4-ой международной конференции женщин математиков. Волгоград, 1996. Издательство ННГУ. С. 8-17.

64. Губина Е.В., Комраз Л.А. Динамическая модель часов с мгновенными скачками угловых координат осциллятора // Труды 4-ой конференции « Нелинейные колебания механических систем ». Нижний Новгород, 1996. С.52.

65. Губина Е.В., Комраз Л.А. Кусочно-непрерывное отображение отрезка из теории часов // Труды 5-ой международной конференции женщин-математиков. Ростов на - Дону, том 5, вып. 1 , Изв. Вузов, Радиофизика. Нижний Новгород, 1998.

66. Губина Е.В., Комраз Л.А. Множество вращений одного отображения лоренцевского типа // Тезисы докладов 6-ой международной конференции женщин-математиковМатематика. Образование. Экономика.». Чебоксары. 1998. С. 16

67. Губина Е.В., Комраз Л.А. Исследование множеств вращений ряда отображений лоренцевского типа из теории часов //Тез. докл. 5-ой Межд. Конф. « Нелинейные колебания механических сис тем ». Нижний Новгород, 1999. С.84.

68. Губина Е.В. Интервал вращения отображения из теории часов. // Материалы научн.-техн. конф. проф.-препод, состава ВГАВТа. Вып.283. Н.Новгород, 1999. С. 49-51

69. Губима Е.В., Комраз Л.А. Множество вращений одного класса отображений отрезка в себя // Материалы межд. семинара " Нелинейное моделирование и управление". Самара. 2000 С.30-31.