Импульсно-скользящие режимы дифференциальных включений с приложением к динамике механических систем с трением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ПОНОМАРЕВ ДЕНИС ВИКТОРОВИЧ

ИМПУЛЬСНО-СКОЛЬЗЯЩИЕ РЕЖИМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

С ПРИЛОЖЕНИЕМ К ДИНАМИКЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ТРЕНИЕМ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ИРКУТСК - 2014

1 - ш т

005549444

Работа выполнена I! Инсти ту те математики, экономики и информатики ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет» (Мннпстер-ство образования и науки Российской Федерации).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

Финогенко Иван Анатольевич, ИДСТУ СО РАН. зап. лабораторией

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор

Тонкое Евгений Леонидович, УдГ'У. чаи. кафедрой;

кандидат физико-математических наук, доцент

АбдуллинРафаэль Зинатович,

БГУЭП, доцент

Ведущая организация: Уральский федеральный

университет

им. первого Президента России Б. Н. Ельцина (р. Екатеринбург)

Защита диссертации состоится 19 июня 2014 р. в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 и Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии паук (ИДСТУ СО РАН) но адресу: 064033, р. Иркутск, ул. .Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на официальном сайте ww.idstu.irk.ru ИДСТУ СО РАН.

Автореферат разослан 12 мая 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-.м.н.

Т. В. Груздева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию дифференциальных включений с позиционными импульсным и разрывным управлениями в правой части.

Актуальность темы диссертации. В работах1,2 исследован управляемый объект с позиционным импульсным управлением, кото-рос определено как некоторый абстрактный оператор, сопоставляющий каждому состоянию объекта и текущему моменту времени сосредоточенный в нем импульс Дирака. Формализация позиционного импульсного управления заключается в дискретной реализации процесса управления в виде корректирующих импульсных воздействий на систему в точках направленного множества разбиений интервала управления. Реакцией системы на такое управление является некоторая разрывная функция, называемая ломаной Эйлера.

Дискретная реализация процесса импульсного позиционного управления в виде разрывных ломаных Эйлера используется в книге Н. Н. Красовского и А. И. Субботина3 при исследовании игровых задач управления. В работах А.Н. Сесекина и С. Т. Завалищипа позиционные импульсные управления возникали в вырожденных линейно-квадратичных задачах оптимального управления, в статьях В. Б. Ко-стоусова исследовалась структура импульсно-скользящих режимов при импульсных возмущениях, задаваемых мерами. В литературе можно также встретить такие термины, как "импульсные скользящие", "цикличные скользящие", "скользящие" режимы (см. работы Б. М. Миллера, В.Ф. Кротова, В. И. Гурмана, Ни Минь Кань, И. В. Расиной).

Существуют различные способы описания разрывных траекторий динамических систем. Один из них восходит к работе В. Д. Миль-мана, А. Д. Мышкиса4 и состоит в том, чтобы устанавливать правила, по которым происходит скачок траектории. Систематически этот подход развивается в книге A.M. Самойлеико и H.A. Перестюк (описание этого подхода можно найти в книге Б. М. Миллера и Е. Я. Рубинови-ча5). Еще один путь описания решения дифференциального уравнения с ¿-функцией Дирака в коэффициентах основан на предельном переходе в этом уравнении после замены в нем идеального импульса Дирака

1 Завал шцин С Т., Сесекин А. Н., Дрщденко С. Е. Динамические системы с импульсной структура. Счордлоиск : Сред-Урил. ки. ипд-гю, 1983. 112 с.

■'Завалищнн С. Т., Сесекии А.Н. Импульсно-скользящие режимы я нелинейных динамических системах // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 5. С. 790-799.

^Красовскнй H.H., Субботин Л. И. Позиционные дифференциальные игры. М. : Наука, 1974. 458 с.

4Мильыаи В. Д., Мышкис А. Д. Об устойчивости движения при наличии толчков // Сиб. мат. журн. 1960. Т. 1. № 2. С. 233-237.

^Миллер Б. М., Рубинович Е. Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М. : Наука, 2005. 430 с.

на последовательность его гладких, непрерывных или иных аппроксимаций. Этот подход восходит к работе Я. Курцвейлаг', в которой правило скачка траектории, по сути, даст условие допустимости скачка через решение так называемого предельного уравнении (см. книгу В. А. Дых-ты и О. Н. Самсошок'). Но следует отметить8, что при указанном ап-нроксимационном подходе скачок траектории не является однозначно определенным и зависит от характера предельного перехода. Сравнительный анализ различных подходов к изучению дифференциальных уравнений с обобщенными функциями имеется в книге9 и обзорной статье10.

Что же касается ломаных Эйлера, то отдельный интерес представляет случай, когда в результате действия корректирующих импульсов предельные справа точки соответствующей интегральной кривой оказываются на некотором многообразии (пересечении гиперповерхностей). Тогда (в соответствии с терминологией работ1,2) сеть ломаных Эйлера называется импульсно-скользящим режимом, а функция, предельная для равномерно сходящейся последовательности ломаных Эйлера при стремлении мелкости разбиения интервала управления к пулю — идеальным или предельным импульсно-скользящим режимом. В работах С. Т. Завалищина и А. Н. Сесекина были получены условия, когда для идеальных импульсно-скользящих режимов имеют место эффекты скольжения по пересечению гиперповерхностей.

Процессы типа скольжения (скользящие режимы) возникают во многих задачах теории управления. Но в большей степени они являются атрибутом управляемых систем с разрывными позиционными управлениями и теории разрывных систем в целом. Возникает естественный вопрос об описании идеальных импульсно-скользящих режимов дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями.

Решения дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями подразделяются на различные типы квазирешений, обобщенных решений, а также классифицируются по своим свойствам. В разных ситуациях и теориях могут использоваться различные понятия решения. Их сравнительный анализ можно найти в книге В. М. Мат-

6KurzweiI J. Generalized ordinary differential equations // Czechosl. Math. Journ. 1958. Vol. S, 1Ю. 3. P. 360-588.

7Дыхта В. А., Самсошок O.H. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М. : Физматлит, 2003. 256 с.

аФилиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М. : Наука, 1985. 224 с.

93авалищин С. Т., Сесскнн А. П. Импульсные процессы. Модели и приложения. М. : Наука, 1991. 225 с.

А0С-есскин А. Н. Динамические системы с нелинейной импульсной структурой // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2000. Т. 6, № 1. С. 497-510.

росова11. Одним из наиболее употребительных и удобных в приклад-пых задачах стало определение решения в смысле А. Ф. Филиппова8. Методы изучения систем с разрывными позиционными управлениями разработаны М.А. Айзерманом, Е. С. Пятницким12. Из работ многих других ученых, посвященных, в основном, различным методам исследования качественного поведения разрывных систем, укажем на еще один содержательный и общий метод исследования разрывных управляемых систем — метод эквивалентного управления, развитый в работах В. И. Уткина13, который позволяет описывать скользящие режимы на пересечении поверхностей разрыва позиционных управлений. Наши исследования идеальных импульсно-скользящих режимов опираются на упомянутые выше три метода определения решения разрывных систем: в смысле Филиппова, Айзермана-Пятшщкого и метод эквивалентного управления.

Круг задач, которые приводят к динамическим системам с разрывными позиционными управлениями, очень широк. Отметим задачи полной управляемости, слежения и стабилизации, которые решаются выводом системы на скользящий режим. Если же ресурсов управления не хватает, то скользящий режим прекращается и цель управления не достигается. Но, как видно из вышесказанного, эти же задачи могут решаться и на идеальном импульсно-скользящем режиме. Поэтому представляет интерес комбинированное использование обычных позиционных управлений и импульсных позиционных управлений: в областях, где не хватает ресурсов обычных управлений, использовать импульсно-скользящие режимы.

Таким образом, исследуемые в диссертации задачи актуальны как для распространения методов импульсного позиционного управления на более широкий круг задач, так и для развития существующей теоретической базы для решения типичных задач теории разрывных систем управления.

Целью работы является исследование асимптотических свойств импульсно-скользящих режимов дифференциальных включений и изучение взаимосвязей идеального импульсно-скользящего режима со скользящими режимами систем с разрывными позиционными управлениями.

Объект исследования. В диссертации исследуется дифференциальное включение х € F(t,x) + и с импульсным позиционным

^Матросов В.М- Мсгод векторных функцнй Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Фпзматлит, 2001. 380 с.

12Аизерман М. А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем I, II // Автоматика и телемеханика. 1974. № 7. С. 3:3-47, if' С. 39-61.

13Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М. : FlayKa, 1981. 367 с.

управлением, под которым понимается некоторый абстрактный оператор и <— р{Ь,х)5г, сопоставляющий каждому состоянию объекта х и текущему моменту времени Ь сосредоточенный в нем импульс Дирака

5( и подразумевающий дискретную реализацию процесса управления в виде корректирующих импульсных воздействий на систему в точках направленного множества разбиений интервала управления.

Методы исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, теории дифференциальных включений, многозначного анализа и элементы теории динамических систем с разрывными траекториями и импульсными воздействиями.

Научная новизна. В работе сама постановка задачи об описании идеальных импульс'но-скользящих режимов систем с импульсным позиционным управлением как скользящих режимов разрывных систем с разрывными позиционными управлениями является новой. Для этой задачи разработаны более общие, чем известные ранее, методы изучения импульсно-скользящих режимов дифференциальных включений с применением многозначного анализа. Так, многозначный аналог метода эквивалентных управлений ранее не использовался. Для изучения структуры обобщенных решений включений с сосредоточенными в точке импульсами новым является подход, основанный на непрерывных однозначных аппроксимациях Иосиды многозначных отображений, что позволяет эффективно использовать для исследований известные в теории дифференциальных уравнений с импульсами факты. Получены теоремы о взаимосвязях скользящих и импульсно-скользящих режимов дифференциальных включений, которые являются новыми также и для дифференциальных уравнений, являющихся частным случаем дифференциальных включений. Доказана новая теорема об аппроксимации импульсио-скользящего режима системы последовательностями решений этой же системы с дельтаобразными непрерывными функциями в правой части.

Достоверность результатов. Все утверждения диссертации являются полностью доказанными с использованием хорошо известных и достоверных фактов теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, теории дифференциальных включений и многозначного анализа. Они опубликованы в рецензируемых научных журналах и прошли обсуждение на научных конференциях и семинарах.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации развит новый подход к изучению импульсно-скользящих режимов систем, полученных в результате процедуры дискретизации импульсного позиционного управления, основанный на их описании системами с разрывными позиционными управлениями. Результаты диссертации

являются дополнением существующей теоретической базы для решения прикладных задач, которые приводят к системам с позиционными разрывными и импульсными управлениями, и могут применяться для исследования динамики конкретных систем управления. Исследования но теме диссертации проводились в рамках плановых тем НИР Института математики, экономики и информатики ФГБОУ ВПО "ИГУ", проекта РФФИ № 10-01-00132а и ФЦП "Научные и научио-педагогические кадры инновационной России" (проект № 2012-1.2.1-12-000-1001-011).

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В диссертации рассмотрены дифференциальные включения с позиционным импульсным управлением и установлена взаимосвязь идеальных импульсно-скользящих режимов со скользящими режимами дифференциальных включений с разрывными позиционными управлениями. Полученные результаты применены для исследования управляемых механических систем, представленных уравнениями Лагран-жа второго рода. Область исследований диссертации соответствует п. 4 "Динамические системы, дифференциальные уравнения на многообразиях" и п. 11 "Дифференциальные включения и системы вариационных неравенств" паспорта специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Всероссийской конференции "Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях" (Иркутск, 2009, 2011), на XI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Иркутск-Байкал, 2010), на XI Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Конференция Пятницкого), (Москва, 2010), на II Международной школе-семинаре "Нелинейный анализ и экстремальные задачи" (Иркутск, 2010), на Международной конференции "Колмо-горовские чтения - V. Общие проблемы управления и их приложения" (ОПУ-2011) (Тамбов, 2011), на XV Байкальской международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск-Байкал, 2011), на IV Международной конференции "Математика, ее приложения и математическое образование" (Улан-Удэ, 2011), на Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" (Новосибирск, 2013), а также на конференциях и семинарах ИДСТУ СО РАН и на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа ИМЭИ ФГБОУ ВПО "ИГУ".

Публикации и личный вклад. По результатам диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата. Основные результаты главы 1 опубликованы соответственно в статье |1|, главы 2 — в статьях |2,3|, главы 3 — в статье [4], входящих в перечень рецензируемых журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ для опубликования результатов диссертаций, также отражены в материалах и трудах международных и всероссийских конференций [5-12]. Все результаты, выносимые на защиту, получены автором лично и не нарушают авторских прав других лиц. В совместных публикациях И. А. Финогенко принадлежат постановки исследуемых задач.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 98 страницах, состоит из введения, трех глав, содержащих 14 разделов, заключения и списка литературы, включающего 70 наименований. В диссертации содержатся 4 рисунка и для удобства чтения приведен список основных предположений, которые фигурируют в формулировках лемм и теорем.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована цель и дана общая характеристика и основное содержание работы, отражена актуальность, практическая значимость и научная новизна исследования.

Пусть Я" — п-мерное векторное пространство с евклидовой нормой || • ||. Рассмотрим диффереициальное включение

х € я) + и, (1)

где ^ : й1 х Д" й" - многозначное отображение с выпуклыми компактными значениями, и — управляющее воздействие, задаваемое абстрактным оператором и ч— р((,2сопоставляющим каждому текущему моменту времени 4 и состоянию объекта х импульс р(£, х)д\. Здесь вектор-функция р(£, х) — х),..., рп{1, х)) — интенсивность им-

пульса, <5( - дельта-функция Дирака, сосредоточенная в момент времени £. Выражение р(£, х)3с называется позиционным импульсным управлением. Формализация импульсного позиционного управления заключается в дискретной реализации процесса управления в виде корректирующих импульсных воздействий на систему в точках множества разбиений к: ¿о < ¿1 < ... <"£лг = £о + Т отрезка I = [£0, £0 + Т]. Реакцией системы на такое управление является некоторая разрывная функция х'1(£), называемая ломаной Эйлера, которая применительно к нашей ситуации на каждом промежутке £¿-+1] совпадает с решением задачи Коши для дифференциального включения

Г ± € Р{г,х), _

\ хЦк) = хк{гк) + Р(1к,хн(гк)), к = о, N — 1,

где xh(to) = хо. Множество всех ломаных Эйлера является сетью, направленной по убыванию d(h) = max {Ait: к = О, N — 1}. В случае, когда в результате действия корректирующего импульса в моменты времени tk предельная справа точка (tk,x(tk + 0)) интегральной кривой, соответствующей ломаной Эйлера, оказывается на некотором многообразии

5= {(*,*) <Е Яп+1: aj(t,x) = Q, j = hm},

сеть ломаных Эйлера называется импульсно-скользящим режимом, а функция г(-), предельная для равномерно сходящейся на промежутке (to, tg +Т] последовательности ломаных Эйлера {x'li(-)} при d(hi) —> О и доопределенная в точке 1ц равенством r(io) = r(to + 0) — идеальным или предельным импульсно-скользящим режимом.

Первая глава посвящена описанию импульсно-скользящих режимов дифференциальных включений (1) с помощью обычных скользящих режимов систем с разрывными позиционными управлениями.

Первый раздел носит вспомогательный характер и содержит необходимые предварительные сведения из теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, во втором разделе приведена постановка задачи. В третьем разделе изучены общие свойства идеальных импульсно-скользящих режимов, которые используются в дальнейшем.

В четвертом разделе исследована управляемая система (1) с разрывным позиционным управлением вида и = В(Ь,х)й, где B(t,x) — некоторая непрерывная n х m матричная функция, удовлетворяющая равенству

ox(t,x)B(t,x) = —Em (2)

для любой точки (i, х) g S. Здесь Ет — единичная т х m матрица, ах(t, х) — т х п матрица Якоби по переменной х векторной функции a(t, х) = (сг1 (i, х),..., am(t, z)). Управление й = (щ,..., йт) определяется равенствами

iii(t,x) — Hi(t,x)sgna'(t, х) (3)

для любых (t,x) <£Si = {(t,x) € fln+1: a^t, x) = 0}, где Н{(1,х) ^ 0 -некоторые непрерывные функции, г = I,т, sgn — функция знака. Тогда включение (1) запишется в виде

х е F(t,x) +B(t,x)u(t,x). (4)

Пусть Ui(t,x) — отрезок, концами которого являются предельные значения функций Ui(t,x) в каждой точке (t,x), г — 1,т. В точках непрерывности функции Hi(t,x) множество Ui(t,x) состоит из одной точки — значения этой функции. Через U(t,x) С Rm обозначим множество векторов (йь..., йт), когда щ независимо друг от друга пробегают множества Ui(t,x).

Под решением задачи (4), определенным на отрезке

^ = [¿оI¿0 + Т], понимается решение дифференциального включения

± € РЦ,х) + В{1,х)й{1,х).. (5)

т. е. абсолютно непрерывная функция ж(£), удовлетворяющая (5) почти всюду на I.

Включение (5) может быть представлено в виде управляемой системы

Г х € + В(£,а;)й,

\йей(г,х). ()

Решением задачи (б), определенным на отрезке I, называется пара (з;(£),й(£)), состоящая из абсолютно непрерывной функции а;(£) (траектории) и измеримой функции й(£) (управления), удовлетворяющих включениям (6) почти всюду на I.

Для многозначного отображения х) вводятся в рассмотрение следующие условия:

(В1) для любой непрерывной функции х : Я1 Я" многозначное отображение I —» х(Ь)) измеримо;

(В2) при почти каждом £ е Я1 отображение х —> Р(£, х) полунепрерывно сверху;

(ВЗ) существует такая суммируемая по Лебегу на каждом конечном промежутке функция 1{£), что для любых (£, х) € Я1 х Я™, ш € F(í,a;) выполняется неравенство ||ад|| < Щ){\ + ||ж||).

Теорема 1. Пусть для многозначного отобрамсения F(í,a;) с выпуклыми компактными значениями выполняются предположения (В1)-(ВЗ), функции <т'(£, ж), г = 1,тп, т ^ п, являются непрерывно дифференцируемыми, матрица В(£, х) и функции непрерывны.

Тогда:

1. Для любых начальных условий г (¿о) = хо существует локальное решение включения (5), определенное на некотором отрезке

/ = Мо + Т].

2. Для любого решения х(Ь) включения (5) найдется измеримая функция й(г) такая, что пара (ж(£),й(£)) будет решением управляемой системы (6).

Решение х(£) включения (4), удовлетворяющее условию (£, х(£)) € 5, £ € [£о, Ч + Т], называется скользящим режимом. Для каждых (£, ж) € 5 обозначим:

ие"{Ь, х) = х) + ах), й'сч{1, х) = £/с«(£, х) П £/(£, х).

Элементы й*&7(£, х) множества (7*е,(£,х) называются эквивалентными управлениями, а отображение (й, а;) —> С/*с?(£,а-) — многозначным эквивалентным управлением.

Теорема 2. Пусть выполняются все. условия теоремы 1 и x(t) — скользящий режим включения (5), определенный на отрезке I = [¿о, to + Т]. Тогда Ü"eq(t, x(t)) ф 0 для почти всех t € / и функция x(t) являет.ся траекторией управляемой системы

ixe F(t,x) + B(t,x)ü, , .

\ üeÜ*C4{t,x). U

Обозначим Ws[t,x) = {(t',x'): - i|| < ä, |í - t'\ < S > 0.

Теорема 3. Пусть выполняются все. условия т.еоремы 1 и на множестве S выполняется равенство (2). Предположим, что для каж:дой точки (t,x) е S существует е > 0 и окрестность Ws(t,x) этой точки такая что для всех (t',x') € W¿¡(t,x) и для всех индексов ¿ = 1 ,т выполняется неравенство

шах \o\{t,x) +{Vxa\t,x),w)\< Hi{t,x) - е. (8)

tc€F(í',o:')

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Для любого решения x(t) дифференциального включения (4) с начальными данными (ío,£o) £ S выполняется (t,x(t)) 6 S для всех точек í ^ ¿о, в которых это решение существует;

2. Для любых точек (t,x) £ S выполняется U*eq(t,x) = U"l(t,x) С int. U(t,x), где символ int означает внутренность множества;

3. Для любых начальных данных (to, xq) £ S существует скользящий режим включения (4), определенный на правом максимальном промежутке существования, и любое решение x(t) с начальными данными (ta, xq) £ S является скользящим режимом тогда и только тогда, когда оно является траекторией управляемой системы (7) с теми же самыми начальными данными;

4. Множество S является устойчивым в следующем смысле: для любых (to,xo) € S и т > 0 существует 5 > 0 такое, что при условиях ||жо — ¿olí < S и j¿o — ¿oí < <> для любого решения дифференциального включения (4) с начальным условием x(to) = xq выполняется (í, x(t)) € S для всех точек t ^ t0 -fr, в которых это решение существует.

Теорема 3 используется далее при изучении включения, которому удовлетворяет идеальный импульсно-скользящий режим включения (1), но сформулированный в ней результат представляет также и самостоятельный интерес, так как системы, в которых одновременно присутствуют многозначные или разрывные характеристики (возмущения, сухое трение и др.) и разрывные позиционные управления, стабилизирующие систему, ранее не изучались.

В пятом разделе первой главы показана связь между импульсно-скользящими режимами и скользящими режимами дифференциальных включений. Рассматриваются такие управления, которые после каждого корректирующего импульса приводят систему на многообразие S = {(t,x) G / х Rn: a'(t,x) = 0, i = 1 , m}, т < п. Для этой цели используются условия

a(t,x + p(t,x)) = 0; p(t,x) = 0 o{t,x) = 0, (9)

и величина импульсного воздействия определяется равенством

p(t,x) = B(t,x)a(t,x). " (10)

Предполагается, что B(t, х) — непрерывная матричная функция размерности п х m и a(t,x) — непрерывно дифференцируемая векторная функция с матрицей Якоби <rx(t,x), имеющие ранг, равный т для всех (t,x) € S. Отметим, что при этих предположениях из условий (9), (10) вытекает равенство (2).

Теорема 4. Пусть для многозначного отображения F(t, х) с выпуклыми компактными значениями выполняются предположения (В1)-(ВЗ), функция p(t, х), определенная равенством (10), удовлетворяет условию ||р(т,у) - p(t,x)|| ^ L(\t — t\ + ||у - х||) для всех (t,x),(r,y) 6 / х Rn. Предположим, что выполняется условие (9) и справедливы неравенства (8). Тогда любой идеальный гхмпулъсно-сколъзящий режим r(t) включения (1) с позиционным импульсным управлением и <— p(t, x)St является скользящим режимом этого же включения с разрывным позиционным управлением и = B(t,x)ü(t,x) при условии, что r(io) = го + p{to,xo), ü(t,x) — функция, определенная равенствами (3), и B(t,x) — матрица, фигурирующая в равенстве (10).

Отметим, что позиционное импульсное управление при весьма общих предположениях формирует последовательности ломаных Эйлера. Разрывное управление ü(t,x) обладает универсальностью в том смысле, что сохраняет свою структуру для различных целевых множеств S и способно обеспечивать их стабилизацию. Но применимость управлений типа ü(t,x) для реализации скользящих режимов имеет ограничения. В шестом разделе использование этих двух типов управлений рассматривается на содержательном примере управления движением линейного осциллятора с сухим трением. Графическая визуализация численных экспериментов подтверждает аналитические исследования.

В седьмом разделе первой главы получены дифференциальные включения с разрывными позиционными управлениями для идеальных импульсно-скользящих режимов дифференциальных включений

A(t,x)x € F(t,x) + и с матрицей при производной. Для них установлены аналоги теорем из раздела 5. Эти результаты используются в третьей главе при исследовании режимов декомпозиции и импульсно-скользящнх режимов для уравнений Лагранжа второго рода механических систем.

Во второй главе изучено дифференциальное включение с сосредоточенными в точках импульсами. Первый раздел носит постановочный и вспомогательный характер. В нем приводятся известные факты о непрерывных аппроксимациях Иосиды многозначных отображений.

Введем в рассмотрение непрерывные функции ¿»¿(£), удовлетворяющие условиям:

(D1) Ш = 0 (t < a,-, t ^ &), 6i(t) ^ 0 (а; < t < где а; О, 0i —0, pi - а, ^ т, -»• 0 при i —» +00;

ft

(D2) f St(t) dt = 1 для любого г = 1,2,...

Of

Функции, удовлетворяющие условиям (D1)-(D2), называются дельтаобразпыми.

В практическом использовании процедуры импульсного управления неизбежно возникает задача о замене в системе импульса Дирака последовательностью его непрерывных аппроксимаций дельтаобразпыми функциями. При этом характер предельного перехода при тг —> +0 влияет на величину скачка траектории в точке приложения импульса. В данной главе исследованы два типа предельного перехода на дель-таобразных функциях. Один из них приводит к известным условиям допустимости скачка, в моменты импульсных воздействий, а другой — определяет величину импульсной коррекции непосредственно по значению заранее заданной интенсивности импульса. Исследования опираются на известные факты для дифференциальных уравнений с импульсами с использованием непрерывных однозначных аппроксимаций Иосиды многозначных отображений.

Пусть F : х R" —> Rn — многозначное отображение с

выпуклыми компактными значениями.

Условие Л. Для любых точек t G (<х,/3) и х,у € Rn выполняется неравенство

(x-y)TA(t,x)(u-v)<l\\x-y\\2

для любых и е F(t, х) и v € F(t, у), где I > 0 — константа, A(t, х) = [a,j(£, z)];'J=1 — некоторая симметричная, положительно определенная и непрерывно дифференцируемая матрица, собственные значения которой ограничены некоторым отрезком [с, d\, 0 < с ^ d < +00.

(Здесь векторы понимаются как столбцы, знак " 7" обозначает вектор-строку.)

Во втором разделе второй главы изучено включение

х € Р(£,х)+ ;?(£, х)<5(£), (11)

где <5(£) — символ мгновенного ударного воздействия на систему в момент Ь — 0 (кратко — ¿-функция Дирака). Включение вида (11) рассматривается как идеализация включении

х€ Р(1,х)+д(1,х)6,Ц), (12)

где ¿¿(£) образуют последовательность непрерывных дельтаобразиых функций. Введем в рассмотрение задачи:

й € и), ы(£о) =х0, £ € [£0,0]; (13)

Ии

— =д(0,х), г>(0)=и(0), а 6 [0,1]; (14)

V) € Р(£,ад),ш(0) = ь(1), £ € [0,£о + Т]. (15)

Теорема 5. Пусть Р(1,х) — ограниченное, полунепрерывное сверху многозначное отображение с выпуклыми компактными значениями, удовлетворяющее условию А, функция <?(£, х) непрерывна и для любого £ удовлетворяет условию Липшица по переменной х с константой Ьд. Тогда для любой последовательности решений хг-(£) задач (12) при г —> +ос имеет место:

ц(0 иЦ), £0 ^ £ < 0; х;(£) ->■ »(£), 0 < £ ^ £0 + Т,

где и(<) и ад(£) — решения включений (13) и (15) соответственно.

В третьем разделе меняется характер предельного перехода на последовательностях дельтообразных функций и рассматривается задача

Г.х(£) € Р(£,х(£)) +^(£)р(х(£- 0)), (16)

\ х(£о) = х0 как идеализация последовательности задач

х(£) е F(£,x(£)) + ^(£)р(х(£ -tj)), i = 1,2,.... x(£o) = x0.

(17)

Вводятся в рассмотрение дифференциальные включения

й € F(£,и), и(£0) = х0, t е [£0,0]; (18)

¿6^,4 г(0) = м(0)+р(и(0)), г € [0, ¿о + Т]. (19)

Теорема б. Пусть для многозначного отображения х) выполняются все условия теоремы 5 и функция р(х) удовлетворяет условию Липшица. Тогда для любой последовательности решений х,(£) задач (17) при г —> +оо имеет место

где м(£) и г(£) — решения включений (18) и (19) соответственно.

Определение 1. Под обобщенным решением включения (16) будем понимать функцию х(Ь), удовлетворяющую дифференциальному включению (18) на отрезке [£о,0] и дифференциальному включению (19) на промежутке (О, + Т] с начальным условием

Доопределение обобщенного решения х(Ь) в точке разрыва £ = О пределом слева (который, очевидно, существует) является удобным для нас соглашением.

Отметим, что доказательства теорем 2.2.1 и 2.3.1 основаны на использовании аппроксимации Иосиды х) многозначных отображений. Для обобщенных решений гс(£) включений (11), (16) и обобщенного решения ждМ уравнения, полученного из этих включений заменой в них многозначного отображения .Р(£, а;) на его аппроксимацию Иосиды ^\(£, ж), получены оценки вида

В четвертом разделе второй главы изучен вопрос об аппроксимации ломаных Эйлера. Предполагается, что функция р(£, х) не зависит от переменной £ и обозначается р(£, х) = р{х). Для разбиения Л отрезка I вводится в рассмотрение задача

обобщенное решение которой (в смысле определения 2.3.2) является ломаной Эйлера включения (1), начиная с точки £о + 0. Это позволяет доказать теорему об аппроксимации ломаных Эйлера последовательностями задач с дельтаобразными функциями и некоторым образом определяет место ломаных Эйлера в теории систем с разрывными траекториями.

В третьей главе рассмотрена механическая система с п степенями свободы и с силами сухого трения в виде уравнений Лагранжа

!,:(£) -> ы(£), £0 ^ Ь < 0; х-{г) г(£), 0 < £ ^ £0 + Т,

1(+0) =аг(0) + р(х(0)).

||х(£) - 1А(4)|| = 0(%/А + ||я(£0) - 1А(«О)||).

второго рода

A(t, q)q = g{t, q, (?) + Q'\t, q, q) + QT(t, q,q)+u (20)

с начальным условием (¿о,<jo,cjo)- Здесь представляет интерес наличие в (20) разрывной по q функции QT(t, q, q) (обобщенные силы кулонова трения), непрерывной, положительно определенной при любых (t,q) € I х Rn матрицы A(t,q), которая в общем случае может отличаться от единичной матрицы, а также наличие управляющих сил и.

Для механических систем движение но пересечению множеств Si — {(t,q,q) : <7; = >fii{t,q)}, i = 1>п> называется режимом декомпозиции. Такие движения позволяют эффективно решать ряд задач управления механическими системами. В работах Е. С. Пятницкого14 развита соответствующая теория (принцип декомпозиции) для уравнений Лагранжа второго рода (без учета сил трения), где асимптотически устойчивый режим декомпозиции обеспечивается управлениями вида гц = -HiSgn (сц - <fli(t,ç)).

Режим декомпозиции есть не что иное, как скользящий режим исследуемой механической системы с разрывными позиционными управлениями. В первом разделе третьей главы исследуются общие условия, при которых идеальный импульспо-скользящий режим является режимом декомпозиции. Во втором разделе третьей главы показана связь идеальных импульсно-скользящих режимов механической системы с множеством S, определяемым уравнением q — tp(t, q), с режимом декомпозиции системы (20). Получены условия на ресурс управления, которые обеспечивают устойчивый режим декомпозиции под воздействием обычных разрывных позиционных управлений. Однако, в тех областях, где этих ресурсов не достаточно, режим декомпозиции можно рассматривать как идеальный импульсно-скользящий режим и с любой точностью обеспечивать его импульсно-скользящим режимом. Возникающие здесь особенности движения системы рассмотрены на примере двухзвенного манипулятора на шероховатой горизонтальной плоскости.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Доказана теорема о существовании идеального импульсно-скользящего режима дифференциального включения с выпуклой правой частью. Для описания идеальных импульсно-скользящих режимов получено дифференциальное включение с разрывными позиционными управлениями и разработан метод многозначного

14Пятиицккй Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими и электромеханическими объектами на принципе декомпозиции. I, II // АиТ. 1989. № 1. С. 87-98, № 2. С. 57-71.

эквивалентного управления. Установлены условия, при которых любой импульсно-скользящий режим дифференциального включения с импульсным позиционным управлением в правой части является скользящим режимом этого же включения с ограниченными разрывными позиционными управлениями.

2. Изучена структура разрывных траекторий дифференциальных включений с изолированными в точках импульсами Дирака в правой части в зависимости от характера предельных переходов па последовательностях решений этого же включения при замене в нем импульса Дирака последовательностями его непрерывных аппроксимаций дельтаобразными функциями. Доказаны теоремы об аппроксимации импульсно-скользящего режима дифференциального включения последовательностями его непрерывных решений с дельтаобразными функциями в правой части.

3. Для механических систем с сухим трением, представленных уравнениями Лагранжа второго рода, установлены общие условия на ресурсы управления, при которых идеальный импульсно-скользящий режим является асимптотически устойчивым режимом-декомпозиции с двумя различными типами разрывных позиционных управлений. Для уравнений движения линейного осциллятора с сухим трением и двухзвенного манипулятора на шероховатой плоскости получены условия комбинированного использования позиционных разрывных и импульсных управлений.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Финогенко И. А., Пономарев Д. В. О дифференциальных включениях с позиционными разрывными и импульсными управлениями // Труды Института математики и механики УрО РАН. -

2013. - Т. 19, № 1. - С. 284-299.

2. Пономарев Д. В. О решениях дифференциальных включений с импульсной структурой // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. - 2010. - Т. 3, № 2. - С. 51-60.

3. Пономарев Д. В., Финогенко И. А. Аппроксимация импульсно-скользящего режима дифференциального включения // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. -

2014. - Т. 7, № 1. - С. 85-103. '

4. Пономарев Д. В. Импульсно-скользящие режимы управляемых механических систем // Вестник Удмуртского университета. Сер.

Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2013. - Вып. 3. -С. 65-78.

5. Пономарев Д. В. О решениях дифференциальных включений с импульсной структурой // Материалы XI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. - Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2010. - С. 64.

6. Пономарев Д. В. О разрывных траекториях дифференциальных включений // Тез. докладов XI Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Конференция Пятницкого). - М. : ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2010. - С. 331-332.

7. Ponornariov D.V. On discontinuous trajectories of differential inclusions // Тез. докладов II Международной школы-семинара "Нелинейный анализ и экстремальные задачи". - Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2010. - С. 61.

8. Пономарев Д. В. Об уравнении импульсно-скользящсго режима // Вестник Тамбовского Университета. - 2011. - Т. 16, вып. 4. -С. 1155-1156.

9. Пономарев Д. В. Импульсно-скользящие режимы дифференциальных включений // Труды X Международной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление". Т. 2. - Казань: КГТУ, 2012. - С. 451-453.

10. Пономарев Д. В. О скользящих режимах дифференциальных включений // Тез. докладов III Международной школы-семинара "Нелинейный анализ и экстремальные задачи". - Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2012. - С. 40.

11. Пономарев Д. В., Финогенко И. А. О дифференциальных уравнениях управляемых систем с позиционными и импульсными управлениями // Тез. докладов Международной конференции "Моделирование, управление и устойчивость" (MCS-2012). - Севастополь (Украина), 2012. - С. 95-96.

12. Пономарев Д. В., Финогенко И. А. Импульсно-скользящие режимы дифференциальных включений // Тез. докладов Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения C.JI. Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений". - Новосибирск: Институт-математики им. C.JI. Соболева, 2013. - С. 298.

Рсдак I и ю 11 н о-1 г здател ьс к 11(1 отдел <Рсме]}алыюго государственного бюджетного учреждении науки Института динамики систем и теории управления СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, д. 134 Е-таП: rio@icc.ru

Подписано к печати 14.04.2014 г. Формат бумаги 60x84 1/16, объем 1,2 п.л. Заказ 4. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет» Министерство образования н науки Российской Федерации

Пономарев Денис Викторович

Импульсно-скользящие режимы дифференциальных включений

с приложением к динамике механических систем с трением

Специальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

04201459260

На правах рукописи

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук Фипогенко Иван Анатольевич

Иркутск - 2014

Содержание

Введение 4

1 Импульсно-скользящие режимы 22

1.1 Предварительные сведения о решениях разрывных систем 22

1.2 Постановка задачи..............................................25

1.3 Общие свойства импульсно-скользящих режимов............26

1.4 Скользящие режимы дифференциальных включений с разрывными нелинейностями..................................32

1.5 Импульсно-скользящие режимы дифференциальных включений........................................................41

1.6 Линейный осцилятор с сухим трением........................46

1.7 Импульсно-скользящие режимы дифференциальных включений с матрицей при производной......................51

2 Изолированные импульсы и ломаные Эйлера 57

2.1 Постановка задачи и предварительные сведения об аппроксимациях Иосиды................................................57

2.2 Включения с дельта-функциями, входящими в виде коэффициентов ........................................................59

2.3 Включения с запаздыванием с дельта-функциями, входящими в виде коэффициентов..................................65

2.4 Аппроксимация ломаных Эйлера..............................69

3 Импульсно-скользящие режимы управляемых механических систем 74

3.1 Импульсно-скользящие режимы уравнений Лагранжа второго рода........................................................74

3.2 Принцип декомпозиции Е. С. Пятницкого для механических систем с сухим трением и импульсным воздействием 78

3.3 Двухзвенный манипулятор на шероховатой горизонтальной плоскости....................................................80

Заключение 87

Список основных предположений 89

Литература 91

Введение

Объект исследования

В диссертации исследуется дифференциальное включение х € F(t, х)+и с импульсным позиционным управлением, под которым понимается некоторый абстрактный оператор и <— p(t,x)öt} сопоставляющий каждому состоянию объекта х и текущему моменту времени t сосредоточенный в нем импульс Дирака p(t, x)öt и подразумевающий дискретную реализацию процесса управления в виде корректирующих импульсных воздействий на систему в точках направленного множества разбиений интервала управления. Реакцией системы на такое управление являются разрывные решения, которые образуют сеть так называемых ломаных Эйлера. В случае, когда в результате очередной коррекции фазовая точка объекта оказывается на некотором заданном многообразии (поверхности, или пересечении поверхностей), то сеть ломаных Эйлера называется импульсно-скользящим режимом.

Обзор литературы

Дискретная реализация процесса импульсного позиционного управления в виде разрывных ломаных Эйлера используется в книге H.H. Красов-ского и А. И. Субботина [27] при исследовании игровых задач управления. В работах С. Т. Завалищина и А. Н. Сесекина [19; 20] позиционные импульсные управления возникают в вырожденных линейно-квадратичных задачах оптимального управления. В литературе можно найти другие способы построения последовательностей скачков решений в вырожденных задачах оптимального управления и встретить

такие термины как "импульсные скользящие", "цикличные скользящие", "скользящие" режимы [9-14; 28].

Разрывные траектории возникают при формализации многих задач теории управления, и этим вопросам посвящено огромное число работ. Прежде всего это относится к исследованию систем, состояние которых может меняться скачкообразно при кратковременном интенсивном воздействии каких-либо сил. Такие ситуации имеют место в динамике космических аппаратов, механических систем с ударами и в других системах.

Существуют различные способы описания разрывных траекторий динамических систем. Один из них восходит к работе В. Д. Мильмана и А. Д. Мышкиса [35] и состоит в том, чтобы устанавливать правила, по которым происходит скачок траектории. Систематически этот подход развивается в книге [51] (см. также [34]).

Еще один путь описания решения дифференциального уравнения с ¿-функцией Дирака в коэффициентах основан на предельном переходе в этом уравнении после замены в нем идеального импульса Дирака на последовательность его гладких, непрерывных или иных аппроксимаций. Этот подход восходит к работе Я. Курцвейла [69], в которой правило скачка траектории, по сути, дает условие допустимости скачка через решение так называемого предельного уравнения (см. книгу В. А. Дыхты и О.Н. Самсонюк [16, с. 24]). Естественность такого аппроксимационного подхода для описания решений управляемых систем с импульсными воздействиями обосновывается в книге H.H. Красовского [26, с. 84-86]. Но следует отметить (см. [56, с. 34-37]), что при указанном подходе скачок траектории не является однозначно определенным и зависит от характера предельного перехода.

Сравнительный анализ различных подходов к изучению дифференциальных уравнений с обобщенными функциями содержится в книге [18, с. 143-146] (см. также обзорную статью [52]), где детально исследуется еще один класс так называемых аппроксимируемых решений, определяемых на предельных переходах на последовательностях абсолютно непрерывных аппроксимаций функций с ограниченной вариацией.

Что же касается ломаных Эйлера, то отдельный интерес представляет случай, когда в результате действия корректирующих импульсов предельные справа точки соответствующей интегральной кривой оказываются на некотором многообразии (пересечении гиперповерхностей). В работах С. Т. Завалищина и А. Н. Сесекина исследован управляемый объект

х = /{Ь,х)+у(Ь) + и, х{и)=х0 (¿е/ = [£ о,0]), (1)

где х — (хь ..., хп) — состояние объекта, — возмущение, и — управляющее воздействие, определенное, как импульсное позиционное управление и р(£,а;)<5г. Выражение р(£,:г)<^ ("бегущий импульс", см. [17, с. 215]), как обобщенная функция, смысла не имеет и означает лишь тот факт, что в системе (1) функционирует импульсное позиционное управление, подразумевающее дискретную реализацию "бегущего импульса" в виде последовательности корректирующих импульсов, сосредоточенных в точках разбиения Ь : < ^ <...< = в отрезка I. Результатом такой последовательной коррекции является ломаная Эйлера х/г(-), по определению совпадающая на промежутках с решением задач

Коши

х = /&х) + ь(г)1 х{гк) = хк{1к) к = 0,лг-1,

где хк(Ьо) — хо. Множество всех ломаных Эйлера является сетью, направленной по убыванию = шах {¿¿+1 — ¿¿г к — 0, N — 1}. В случае, когда в результате действия корректирующего импульса в моменты времени предельная справа точка + 0)) интегральной кривой, соответствующей ломаной Эйлера, оказывается на некотором многообразии

5= {(£,£) е Яп+1: <73{Ь,х) = 0, (2)

сеть ломаных Эйлера называется импульсно-скользящим режимом, а траектория г(£), предельная для равномерно сходящейся на промежутке (¿о, последовательности ломаных Эйлера — идеальным

б

I

или предельным импульсно-скользящим режимом. Положим <7(£,х) = (а1(1,х),... ,сгт(£, х)). В [18], [21] показано, что при весьма общих предположениях, начиная с момента £о + 0, выполняется р(£,г(£)) = О, а при при некотором дополнительном условии выполняется также сг(£,г(£)) = 0, £ £ (£о,$], что означает наличие для предельных режимов эффекта скольжения по многообразию б". В [18; 21, теорема 2.1] методом эквивалентного управления получено также дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет любой идеальный импульсно-скользящий режим г(£). В статьях [23; 24] эти результаты обобщены на случай возмущений, задаваемых мерами.

Отметим, что процессы типа скольжения возникают во многих задачах теории управления. Но в большей степени они, как и метод эквивалентного управления, являются атрибутом управляемых систем с разрывными позиционными управлениями (обратными связями) и теории разрывных систем в целом.

Теория дифференциальных уравнений с разрывной правой частью в настоящее время хорошо разработана и имеет многочисленные приложения. Она восходит к задачам классической механики, где более ста лет назад изучались движения механических систем с сухим трением (П. Пэнлеве [72], П. Аппель [5; 6]). Начало систематического изучения разрывных систем относится к шестидесятым годам прошлого столетия и связано с возникновением и развитием теории автоматического регулирования. Существенный толчок к этому дала дискуссия на 1-ом конгрессе ИФАК по докладу А.Ф. Филиппова [15]. В настоящее время такими уравнениями описывается большое количество задач в теории нелинейных колебаний, в теории управления и устойчивости движения [3; 4; 22; 25; 46-48; 64; 66-68].

Решения дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями подразделяются на различные типы квазирешений [74], обобщенных решений, а также классифицируются по своим свойствам. В разных ситуациях и теориях могут использоваться различные понятия решения. Их сравнительный анализ можно найти в работах [29-31]. Под обобщенными решениями понимаются, как правило, решения тем или

иным способом построенных дифференциальных включений или уравнений в контингециях, которые рассматривалась еще в тридцатые годы прошлого столетия в работах А. Маршо [70; 71] и С. К. Зарембы [75; 76].

Одним из наиболее употребительных и удобных в прикладных задачах стало определение обобщенного решения в смысле А. Ф. Филиппова [56]. Методы изучения систем управления с разрывными позиционными управлениями разработаны в работах М. А. Айзермана, Е. С. Пятницкого [1; 2]. Это направление они условно назвали физическим (в отличие от направления работ А. Ф. Филиппова, которое названо математическим). Из работ многих других ученых, посвященных, в основном, различным методам исследования качественного поведения разрывных систем, укажем на еще один содержательный и общий метод исследования разрывных управляемых систем — метод эквивалентного управления, развитый в работах В. И. Уткина [54], который позволяет эффективно описывать движения по пересечению поверхностей разрыва позиционных управлений (разрывных обратных связей) системы вида

± = + В{их)й(^х), (3)

где В(Ь,х) — матрица размерности п х т и векторное управление й(£,гс) = х),..., йт(Ь, я)) является разрывным на поверхностях

= {(£,х) € Лп+1: а](1,х) = 0}, у = 1,т. Если для решения х(Ь) уравнения (3), определенного в каком-либо смысле методами теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, выполняется условие (¿,х(£)) 6 5, то в общепринятой терминологии это решение называется скользящим режимом.

Наличие эффекта скольжения у идеального импульсно-скользящего режима уравнения (1) ставит естественный вопрос об его описании дифференциальным уравнением с разрывной правой частью, для которого он был бы обычным скользящим режимом. Данная работа направлена на решение именно этого вопроса в следующей постановке: требуется определить п х т матрицу В(1,х) и найти такое управление ■й(£,х), чтобы

идеальный импульсно-скользящий режим включения

х € Р(Ь,х) + и

с позиционным импульсным управлением и р(Ь, х)^ являлся скользящим режимом дифференциального включения

на множестве 5 и реализовывался на некотором эквивалентном управлении ие<?(£, х).

В данной работе используются определения решений разрывных систем в смысле Филиппова, Айзермана-Пятницкого и метод эквивалентного управления. Отметим одну особенность поставленной задачи. Многозначность Р(Ь,х) в правой части включения (5) или (4) может возникать различными путями. Например, если система находится под действием возмущений V = г;(£, х), точное значение которых в рамках заданных ограничений неизвестно, или если функция /(¿,х) в системе (3) является разрывной по (£, ж) и в точках разрыва доопределяется в смысле Филиппова. В этой ситуации эквивалентное управление для включения (5) возникает в виде многозначной функции.

Актуальность темы диссертации

Круг задач, которые приводят к динамическим системам с разрывными позиционными управлениями, очень широк. Отметим задачи полной управляемости, слежения и стабилизации, которые решаются выводом системы на скользящий режим — основной режим их функционирования. Эти задачи можно решать при помощи обычных разрывных позиционных управлений, которые обеспечивают движение системы в скользящем режиме на эквивалентном управлении, если оно удовлетворяет ограничениям на ресурсы управления. Если же этих ресурсов не хватает, то скользящий режим под действием обычных позиционных управлений прекращается и цель управления не достигается. Но, как видно из вы-

х е г{г,х) + в(г,х)й(г,х)

(5)

шесказанного, эти же задачи могут решаться и на идеальном импульсно-скользящем режиме. Поэтому представляет интерес комбинированное использование обычных позиционных управлений и импульсных позиционных управлений: в областях, где не хватает ресурсов обычных управлений, использовать импульсно-скользящие режимы.

Таким образом, исследуемые в диссертации задачи актуальны как для распространения методов импульсного позиционного управления на более широкий круг задач, так и для развития существующей теоретической базы для решения типичных задач теории разрывных систем управления.

Целью работы является исследование асимптотических свойств импульсно-скользящих режимов дифференциальных включений и изучение их взаимосвязей со скользящими режимами систем с разрывными позиционными управлениями.

Диссертация состоит из трех глав, заключения и списка литературы, включающего 76 наименований. Для удобства чтения приведен список основных предположений, которые фигурируют в формулировках лемм и теорем.

Первая глава посвящена исследованию импульсно-скользящих режимов дифференциальных включений и описанию их с помощью обычных скользящих режимов систем с разрывными нелинейностями сигнатурного типа и состоит из семи разделов.

Первый раздел носит вспомогательных характер и содержит необходимые предварительные сведения из теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Второй раздел содержит постановку исследуемой задачи. В третьем разделе изучены общие свойства последовательностей ломаных Эйлера, которые используются в дальнейшем.

В четвертом разделе рассматривается управляемая система (4), для которой ставится и решается задача поиска управления и и условий на него, при которых оно реализует движение по множеству 5 = €

Н.п+1: х) = 0, г = 17т}, т^п.

Вводятся обозначения: — вектор-функция, каждая г-я ком-

понента которой является частной производной аг(1,х) по £; ах(Ь,х) —

т х п матрица Якоби, каждая г-я строчка которой представляет собой градиент функции аг(Ь,х) по переменной х. Управление ищется в форме

и = В(Ь, х)й,

где й = (щ,..., йт), В(Ь,х) — некоторая непрерывная п хт матрица, удовлетворяющая равенству сгх^,х)В(Ь,х) = — Ет для любой точки

х) е 5, Ет — единичная тхт матрица. Функции х) для любых (¿, х) ^ 5"г = {(¿,х) 6 Яп+1: сгг((,х) = 0} определяются равенством

й^,х) = Hг{t,x)sgnaг(t,x), (6)

где Н^,х) ^ 0 — некоторые непрерывные функции, г = 1,т, sgn — функция знака. Полагая й^,х) = (щ^, х),..., йт(£, х)), приходим к дифференциальному включению (5) с разрывными нелинейностями (6) в правой части.

Пусть и^Ь.х) — отрезок, концами которого являются предельные значения функций х) в каждой точке (¿, х), г = 1, т. В точках непрерывности функции щ(Ь,х) множество состоит из одной точки — значения этой функции. Через и(£, х) С Ят обозначим множество векторов (¿1,..., йт), когда щ независимо друг от друга пробегают множества иг(1,х). Тогда включение (5) запишется в виде управляемой системы

х е +В(ь,х)й,

Определение. Решением задачи (7), определенным на отрезке I — [¿о, Ьо+Т], называется пара {¿(£)), состоящая из абсолютно непрерывной функции х(Ь) (траектории) и измеримой функции й(£) (управления), удовлетворяющих включениям (7) почти всюду на I.

В теореме 1.4.1 устанавливается существование решений включения (5) и управляемой системы (7).

Условие существования траектории включения (7), удовлетворяющего условию (¿,а:(£)) е 5, Ь 6 [¿о>£о + Т] (скользящего режима), и управ-

лений, на которых оно реализуется, ищется по схеме метода эквивалентного управления. В данной ситуации оно оказывается многозначным и определяется следующим образом. Для каждых (¿, х) Е 5 обозначим:

иея{г, х) = аг(£, х) + <7ж(г, хЩг,х), и*ед(ь, х) = иея(г,х) п ¿/(г,х).

Элементы й*еч{Ь,х) множества х) называются эквивалентными

управлениями, а отображение —> £/*е<?(£, х) — многозначным эквивалентным управлением. В теореме 1.4.2 устанавливаются необходимые условия существования скользящего режима х{Ь) включения (5) в виде неравенства £/*е<?(£, а;(£)) ^ 0, и записывается управляемая система,

х Е Е(Ь,х) + В(^х)й, йеи*е<1{1,х),

траекторией которой является ж(£).

Достаточные условия существо�