Исследование дифференциальных уравнений движения механических систем с сухим трением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

1 Постановка задачи: вывод уравнений движения и определение их решений.

1.1 Дифференциальные уравнения движения механической системы с сухим трением. , . . :.

1.2 Предварительные преобразования исходной системы.

1.3 Определение решений.

2 О существовании решений уравнений движения механических систем с сухим трением.

2.1 Нахождение приближенного решения.

2.2 Теорема о существовании решения

3 О единственности решений уравнений движения механических систем с сухим трением.

3.1 Разрешение уравнений относительно ускорений и реакций связей.

3.2 Правосторонняя единственность решения.

4 О реализуемости решений дифференциальных уравне

В диссертации исследуются вопросы существования и единственности решений для не разрешенных относительно старших производных и реакций связей дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Такие уравнения возникают в задачах исследования динамики механической системы, в состав которой входят кинематические пары с силами сухого трения. Эти силы, при движении системы, по закону Кулона, пропорциональны модулям нормальных реакций связей и направлены против скорости в точке контакта.

Первая попытка построения теории таких систем была предпринята П.Пэнлеве более 100 лет назад в классической работе "Лекции о трении "[38]. В этой работе для систем абсолютно твердых тел введено общее определение сил трения, предложены различные формы законов трения, подробно рассмотрен вопрос о совместности связей. Впервые приведены примеры простых механических систем с трением, дифференциальные уравнения движения которых не имеют решения в классическом смысле даже о областях непрерывности правой части. В таких примерах, как правило, в некоторых областях пространства не удается используя классические методы отыскания реакций связей однозначно разрешить уравнения относительно старших производных и реакции. При этом в некоторых областях разрешение невозможно, и система уравнений движения оказывается несовместной. Эти феномены, названные "парадоксами Пэнлеве"вызвали дискуссию, в которой приняли участие Ф.Клейн, Л.Прандтль, Л.Лекорню, Де. Спарр и другие.

Позднее появился ряд работ, предлагающих различные пути преодоления затруднений. С одной стороны Л.Прандтль, Ф.Пфейфер [38] и др предложили отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и рассматривать соответствующую упругую систему. В подтверждение этому было проведено полное исследование в следующем примере: две материальные точки единичной массы, соединенные упругим стержнем, двигаются по параллельным направляющим, одна из точек при этом испытывает трение о направляющую. В этом примере удалось полностью исследовать движение упругой системы, принципиальных математических трудностей при этом не возникает. После того, как решение задачи было найдено, представилось возможным исследовать предельное поведение решений при росте упругости. Однако такой подход применим лишь при наличии аналитического решения уравнений движения упругой системы, которые во многих случаях найти не удается. Попытка же перейти к пределу в исходных уравнениях представляет трудности, до настоящего времени полностью не преодоленные.

С другой стороны в рамках классической аналитической динамики систем твердых тел эффекты несуществования и неединственности решения на примерах рассмотрены в классическом труде Аппеля [1]. В работах Н.Г.Четаева [53], Г.В.Пожарицкого [36, 37] В.В.Румянцева [41] введено общее определение сил трения, подробно рассмотрены правила построения уравнений движения для механических систем с трением, выписаны вариационные принципы аналитической динамики, такие как принцип наименьшего принуждения Гаусса, приводятся аналоги уравнений Аппеля. Всюду в этих работах априори предполагается существование и в некоторых случаях единственность решений выписываемых уравнений и вариационных задач.

Форма записи самих законов трения также явилась предметом исследования. Предлагалось вводить различные дополнительные механические гипотезы (например гипотезу о тангенциальном ударе (А.П.Иванов [12] и др. [8])), модифицирующие и дополняющие закон Кулона. Для случая скольжения тела по плоскости формулы для сил и моментов трения выведены в работе В.Ф.Журавлева [15]. Для случая качения колеса с проскальзыванием в книге И.Рокара [40].

Jle Су Ань в работе [18] рассмотрел механическую систему с одной двусторонней связью с трением, для которой построил уравнения движения и дал условия возникновения неединственности и несуществования решения. В соответствующих областях решение ищется как предел решений для соответствующей упругой системы, в качестве примера используется аналогичная [38, 52] система.

Тот- же пример был рассмотрен Н.А.Фуфаевым [52] в случае упруго-демпфирующего стержня. При этом была применена теория дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных А.Н.Тихонова. В качестве малого параметра рассматривалась величина обратная коэффициенту упругости. При этом удалось проследить движение изображающей точки во всем фазовом пространстве.

В примерах в работе Пэнлеве [38], а также работах [53, 36, 41, 12, 18, 52] и других рассматривается в основном классическое определение решения, применимое вне поверхностей разрыва правой части. На поверхностях разрыва движение определяется из механических соображений, а не как подходящим образом обобщенное решение соответствующей системы дифференциальных уравнений.

В серии работ В.М.Матросова и И.А.Финогенко [22, 23, 24, 25, 26, 27, 50, 51], предложен подход, связанный с использованием предложенной авторами теории правосторонних решений обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом требуется соответствующим образом доопределить правую часть на поверхностях разрыва. При предположении, что обобщенные координаты можно выбрать так, что каждая обобщенная сила трения зависит только от одной обобщенной скорости и выражается с использованием функции sign, удалось в явном виде построить доопределение правой части уравнений на поверхности разрыва, доказать существование правосторонних решений, исследовать их продолжимость, единственность и устойчивость инвариантных множеств и другие свойства решений.

Однако введенные в этом цикле работ предположения несколько ограничивают область применения теории, не позволяя применять результаты в некоторых практически важных случаях, например для исследования скольжения твердого тела по шероховатой плоскости, трения в шаровом шарнире, или динамики кривошипно- шатунного механизма.

Таким образом остается актуальным развитие теории дифференциальных уравнений движения механических систем с сухим трением в общем виде.

Помимо аппарата современнго анализа [16], классических теорий динамики и колебаний механических систем, описанных в [1, 20, 3], теорий устойчивости [10, 42] и теории алгебро дифференциальных уравнений [7] основным математическим аппаратом, использованным в диссертации является теория дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, развитая А.Ф. Филипповым и изложенная им в монографии [49] а также работах многих других авторов (см. например [2, 21, 46] ). Эта теория позволяет путем перехода к дифференциальным включениям ввести определение решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, доказать его существование и продолжимость вправо всюду, в том числе и на поверхностях разрыва. При этом определять векторное поле на поверхности разрыва априори не требуется, оно может быть найдено исходя из множества предельных точек у поверхности разрыва. Предложены методы анализа правосторонней единственности и др. свойств решения.

В качестве исходного объекта изучения здесь выступает разрешенная относительно старших производных замкнутая система дифференциальных уравнений или включений.

Однако как показано в работах [38], уравнения движения механической системы с сухим трением в общем случае содержат не определенные силы реакции и не могут быть напрямую разрешены ни относительно реакций ни относительно ускорений, что делает не возможным непосредственное применение к ним этой теории.

В настоящей диссертации впервые подходы и методы современной теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью применяются напрямую к неразрешенным относительно старших производных и реакций связей уравнениям движения механической системы с трением. При этом уравнения исследуются с математической точки зрения, никаких дополнительных механических гипотез или принципов не формулируется, используется лишь закон Кулона и другие известные из литературы выражения для сил трения.

Диссертация состоит из введения четырех глав.

1. Аппель П. "Теоретическая механика", т. 1,2 М. "Физматгиз", 1960.

2. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем //АиТ. 1974. т. С. 33-47; №8. С. 39-61.

3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний М.: Физматгиз, 1959.

4. Баженов В.А., Гром А.А., Лизунов П.П. Нелинейные колебания механических систем с сухим трением // Прикладная механика. Киев. 1983. №8. Т. 19. С.91-95.

5. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. К теории релейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов, сер. матем. 1962. №1. С.3-13.

6. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений Воронеж. Воронежский университет. 1986.

7. Бояринцев Ю.В., Чистяков В.Ф., "Алгебро-дифференциальные си-стемыНаука", 1998, 225с.

8. Бутенин Н.В. Рассмотрение "вырожденных" динамических систем с помощью гипотезы "скачка" // ПММ. 1948. Т.12. Вып.1. С.3-22.

9. Васильева А.В., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно- возмущенных уравнений. М. Наука, 1973.

10. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия М.: Наука, 1978.

11. Геккер Ф.Р. Динамика машин, работающих без смазочных материалов // М:. Машиностроение, 1983.

12. Иванов А.П. О корректности основной задачи динамики в системах с трением // ПММ. 1986. Т.50. Вып.5. С.712-716.

13. Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусько Ф.Л. О движении плоских тел при наличии сухого трения // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. Ш. С.17-28.

14. Железцов Н.А. Метод точечного преобразования и задача о вынужденных колебаниях осциллятора с комбинированным трением // ПММ. 1949. Т.13. Вып.1.

15. Журавлев В.Ф, // ПММ N 5, 1998г.

16. Колмогоров А.Н, Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

17. Красносельский М.А, Крейн С.Г. Нелокальные теоремы существования и теоремы единственности для систем обыкновенных диффе-ренциальеых уравнений. ДАН СССР, 1955, 102 №1.

18. Ле Суан Ань Парадоксы Пэнлеве и законы движения механических систем с кулоновым трением // ПММ. 1990. Вып.4. С. 520-529.

19. Ле Суан Ань Теория механических систем с трением скольжения // Деп. в ВИНИТИ. №84-В87. С.1-202.

20. А.И. Лурье "Аналитическая механика", М. "Физматгиз", 1961.

21. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями, 1,2 // Дифференц. уравнения. 1967. Т.З. №3. С.395-409; №5 С.839-848.

22. Матросов В.М., Финогенко И.А. О разрешимости уравнений движения механических систем с трением скольжения // ПММ. 1994. Т.58. Вып.6. С.3-13.

23. Матросов В.М., Финогенко И.А. О решениях дифференциальных уравнений динамики механических систем с трением скольжения // Докл. РАН. 1994. Т.336. №1. С.57-60.

24. Матросов В.М., Финогенко И.А. О правосторонних решениях дифференциальных уравнений динамики механических систем с трением скольжения // ПММ. 1995. Т.59. Вып.6. С.877-886.

25. Матросов В.М., Финогенко И.А. О существовании правосторонних решений дифференциальных уравнений динамики механических систем с сухим трением // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. №2. С.185-192.

26. Матросов В.М., Финогенко И.А. К теории дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением. 1 // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. №5. С.606-614.

27. Матросов В.М., Финогенко И.А. К теории дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением. 2 // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. №6. С.769-773.

28. Матросов И.В. "О существовании решения уравнений движения механической системы с сухим трением", // Дифференциальные уравнения. 2001. N 3. С. 343-351.

29. Матросов И.В., "О единственности решений уравнений движения механической системы с сухим трением", // Дифференциальные уравнения. 2001. N 6. С. 744-752.

30. Матросов И.В., "О существовании и единственности решений дифференциальных уравнений движения механических систем с сухим трением", // Доклады Академии Наук, Механика, 2001г. т. 378. вып. 2., с. 1-4.

31. Matrossov I.V. "On existence and uniqueness of solutions for equations of motion of mechanical system with dry friction", // Jourlal of Nonlinear Analysis: Series A Theoty and Methods. Elsiver publ. со. 2001.

32. Неймарк Ю.И. Еще раз о парадоксах Пэнлеве // Изв. РАН. МТТ. 1995. т. С. 17-21.

33. Неймарк Ю.И. Фуфаев Н.А. Парадоксы Пэнлеве и динамика тормозной колодки // ПММ. 1995. Т.59. Вып.З. С.366-375.

34. Никольский В.В., Смирнов Ю.П. Динамика систем с многовариантными моделями контактного взаимодействия трущихся тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. №2. С. 51-59.

35. Никольский В.В, Смирнов Ю.П. О формах уравнений динамики систем с сухим трением // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. М. С. 15-22.

36. Пожарицкий Г.К. Распространение принципа Гаусса на системы с сухим трением // ПММ. 1961. Т.25. Вып.З. С.391-406.

37. Пожарицкий Г.К. Исчезающие скольжения механических систем с сухим трением // ПММ. 1965. Т.29. Вып.З. С.558-563.

38. Пэнлеве П, "Лекции о трении", М. "Гостехиздат", 1954 г.

39. Пятницкий Е.С. Управляемость классов лагранжевых систем с ограниченными управлениями // АиМ. 1996. №12. С.29-37.

40. Рокар И, "Неустойчивость в механике", Издательство иностранной литературы, М.1959.

41. Румянцев В.В. О системах с трением // ПММ. 1961. Т.25. Вып.6. С.969-977.

42. Руш Н, Абетс П, Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости // М.: Мир, 1980.

43. Смирнов Ю.П. Уравнения движения систем с неидеальными удерживающими связями // Изв. АН СССР. 1983. №2. С.63-71.

44. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметра при производных // Математический сборник т.31 (73) 1952 с. 575-586

45. Трухан Н.М. Вынужденные колебания механических систем при учете сухого трения // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. №1. С.50-55.

46. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления М.: Наука, 1981.

47. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нели-нейностями М.: Наука, 1994.

48. Филиппов А.Ф., "Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью"// Матем. сборник, 1960, 51 (93), N 1, с. 99-128.

49. Филиппов А.Ф., "Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью", М., Наука, 1985, 224 стр.

50. Финогенко И.А. К теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, возникающих в динамике систем с трением // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. №11. С.1572.

51. Финогенко И.А. Теоремы сведения для дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с тренем // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. №12. С.1609-1615.

52. Фуфаев Н.А. Динамика системы в примере Пэнлеве-Клейна. О парадоксах Пэнлеве // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. №4. С.48-53.

53. Четаев Н.Г. О некоторых связях с трением // ПММ. 1960. Т.24. Вып.1. С.35-38.

54. Shaw S.W. On the dynamic response of a system with dry friction // J. Sound and Vibr. 1986. V.108. №2. P.305-325.