Влияние упругости контактирующих тел на динамические проявления законов трения

Жилина, Ольга Павловна

Влияние упругости контактирующих тел на динамические проявления законов трения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Жилина, Ольга Павловна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

1999 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Влияние упругости контактирующих тел на динамические проявления законов трения»

Автореферат диссертации на тему "Влияние упругости контактирующих тел на динамические проявления законов трения"

/( Г}' * Л

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК _ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

На правах рукописи Р - г л П УДК 5393

р! Б Ой 1 Ь ФЫ 1399

ЖИЛИНА Ольга Павловна

ВЛИЯНИЕ УПРУГОСТИ КОНТАКТИРУЮЩИХ ТЕЛ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЯВЛЕНИЯ ЗАКОНОВ ТРЕНИЯ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1999

Работа выполнена на кафедре «Теоретическая механнка и ТММ» Санкт-Петербургского государственного технологического университета растительных полимеров

Научные руководители: Доктор технических наук

Кокушин Николай Николаевич

Доктор физико-математических наук Ле Суан Ань

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук

Бессонов Николай Михайлович

Доктор физико-математических наук Лукьянов Валерий Дмитриевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

технический университет

Защита состоится « 2 » марта 1999 года в /6 °° часов на заседании диссертационного совета Д 200. 17. 01 Института проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В.О., Большой пр., д. 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ ИПМаш РАН. Автореферат разослан « I » <реЗраЛЯ 1999 года.

Ученый секретарь Совета, к.х.н.

В.П. Глинин

ГОСУДАРСТВЕННАЯ I

БИБЛИОТЕКА |

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Трение одно из самых распространенных явлений природы. Проявления трения чрезвычайно многообразны. Тем не менее, в подавляющем большинстве случаев механизм трения может быть реализован в форме либо вязкого трения, либо сухого трения Кулона, либо, наконец, в виде более или менее сложной комбинации указанных типов трения. Например, внутреннее трение в поликристаллических телах очень хорошо описывается известным материалом А.Ю. Ишлинского, с каждой частицей которого связывается бесконечный набор демпферов сухого трения. С другой стороны, впутренпее трение в идеальных (или почти идеальных) кристаллах, отчетливо проявляющееся в экспериментах, подчиняется существенно другим закономерностям, которые значительно лучше описываются законом вязкого трения. Причина внутреннего трения в идеальных кристаллах до сих пор не вполне ясна, а объяснение происхождения внутреннего трения в монокристалле является одной из актуальных проблем.

В последние годы большой интерес проявляется к построению теории мелкодисперсных порошков, используемых в высококачественных принтерах. Мелкодисперсные порошки занимают некое промежуточное положепие между мехапи-кой сплошных сред и механикой грунтов. С одной стороны, в силу способности частиц порошка к консолидации они отчетливо проявляют свойства упругости и пластичности, по, с другой стороны, части консолидированного порошка могут легко скользить друг относительно друга. На первый взгляд кажется, что между частицами порошка должпы действовать кулоновы силы трения. Видимо, это действительно так, но непосредственное использование закона трения Кулона ведет в задачах этого типа к затруднениям, которые дапно и хорошо известны в классической динамике под названием парадоксов Пенлеве. Последние проявляются в том, что при определенных и вполне реалистичных условиях решение задачи динамики либо не существует, либо не единственно. В классической динамике было найдено несколько способов разрешения парадоксов Пенлеве. Эти способы можно разделить па две группы. К первой группе относятся подходы, осповапные на учете деформируемости контактирующих тел. Несмотря па хорошие результаты, даваемые этими подходами, последние едва ли могут использоваться в моделях сплошных сред, поскольку они ведут к очень сложным и мало исследованным краевым задачам для уравнений с частными производными. Ко второй группе относятся подходы, основанные на "гипотезе" мгновенного останова, вытекающей из полной формулировки закона трепия Кулона и впервые использованной для отыскания решения Ф. Клейном. Поздпее этот подход с большим успехом примепял Н.В. Бутенин. "Гипотеза" мгновенного останова значительно упрощает процесс решения задач динамики систем с кулопопым трением и без особых затруднений может быть реализована в моделях сплошных сред. Более того, если говорить о мелкодисперсных консолидирующихся порошках, то п них закон трения Кулона проявляется, по всей вероятности, именно через механизм мгновенного останова, переводящего режим скольжения частиц порошка в режим их качения, что, видимо, и является основной причиной высоких пластических свойств порошка. Одпим из препятствий для реализации сказанного является старая и до сих пор нерешенная проблема. Большинство исследователей считают "гипотезу" мгновенного останова физически не приемлемой. Это устойчивое мнение не было поколеблено даже

тем фактом, что результаты, получаемые на основе разных подходов, включая подход Ф. Клейна, практически совпадали. Поэтому строгое обоснование "'гипотезы" мгновенного останова является весьма актуальной и давно назревшей проблемой. Кажется ясным, что искомое обоснование, если оно вообще возможно, может быть найдено только при учете деформируемости контактируемых тел, т.е. методами механики твердого деформируемого тела.

Рассмотрение двух выше указанных проблем составляет основное содержание диссертации. Поэтому ее тематика представляется актуальной.

Цель исследования

Целями данной диссертации являются:

• анализ влияния упругости заделки точки подвеса осциллятора на диссипацию энергии осциллятором и обсуждение природы внутреннего трения в монокристаллах:

• строгое обоснование и физическое истолкование гипотезы мгновенного останова Ф. Клейна на основе детального анализа влияния упругости контактирующих тел на особенности проявления закона трения Кулона;

• математическое описание процесса шлифовки ультравысокочастотных пьезо-кварцевых резонаторов на машине роторпого типа.

Метод исследования. Все задачи рассматриваются па основе строгих методов математической физики и теории дифференциальных уравнений в рамках классических моделей механики. Ключевые слова: трение; упругость; колебания упругих тел; волновая динамика; решение задач, имеющих теоретическое значение.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Предложена модель осциллятора на волноводе, являющаяся точной механической моделью известного осциллятора Планка. Хотя модель включает только добротные элементы, тем не менее она сводится к обычному линейному осциллятору с вязким трением, определяемым параметрами добротных элементов.

2. Показано, как с помощью этой модели можно объяснить происхождение внутреннего трения в монокристаллах. Применительно к традиционным механическим системам показано, что без учета упругости контактирующих тел принципиально невозможно объяснить ряд известных экспериментальных фактов.

3. Предложено обоснование гипотезы мгновенного останова Ф. Клейна, основанное на детальном анализе влияния упругости контактирующих тел на характер проявления закона трения Кулона.

4. Показано, что возникающие неединственные решения на самом деле являются точными границами, между которыми заключены истинные решения. Для определения последних в задачу необходимо вводить дополнительный параметр, характеризующий форму тела. Этот доказанный

в работе факт ранее никем не отмечался. Кроме того, установлен точный математический смысл вышеупомянутых границ, которые являются точными пределами решения (единственного) задачи динамики для расширенной (уточненной) модели, причем одна граница является пределом при стремлении жесткости тела к бесконечности (эта граница находилась многими авторами), а пторая граница является пределом при стремлении к пулю массы контактной :юны тела (это и есть решепие Клейна о мгновенном останове, т.е. мгновенно останавливается только часть тела нулевой массы).

Научная новизна и достоверность основных результатов диссертации.

Все перечисленные выше результаты являются новыми и получены на основе применения строгих математических методов и использования хорошо апробированных механических моделей. Это обеспечивает их достоверность.

Практическая значимость результатов диссертации. Непосредственное практическое применение имеет расчет процесса шлифования кварцевых пластин на конкретном типе станка и теоретическое обоснование высокой степени однородности шлифовки.

Апробация результатов диссертации. Все результаты, включенные в диссертацию, докладывались на различных семинарах и конференциях, в том числе на сессиях школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Зеленогорск. Репино) в 1995, 1996, 1997 и 1998 годах и па XV международной конференции " Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых тел" (Санкт-Петербург, 1996г.). По материалам диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 65 наименований. Диссертация изложена па 119 страницах, набранных в формате ЬаТеХ, и содержит 23 рисунка и графика.

2 Краткое содержание диссертации

В главе 1 приведен обзор литературы по особенностям применения закона трения Кулона и способам разрешения парадоксов Пеплеве. Центральной в работе является глава 2. к изложению которой мы и переходим.

Осциллятор на упругом волноводе Предварительно рассмотрим общеизвестные факты. Линейный осциллятор с вязким демпфером изображен на Рпс.1.

Уравнение свободных колебаний осциллятора имеет вид

т т 4- !).г + г.г = 0 (1)

Здесь: пружина символизирует идеально упругий элемент, демпфер символизирует рассеяние энергии п окружающую среду.

■й}

€

Рис.1. Линейный осциллятор с демпфером

Определение: приведенной скоростью диссипации энергии 7 называется отношение скорости изменения полной энергии Е к кинетической энергии, взятое с обратным знаком

7 = — Ё/К, 2£ = тх2 + сх2, 2 К = тх2 (2)

Из уравнения (1) следует, что

7 = Ь/т (3)

Сформулируем теперь несколько вопросов.

Вопрос 1. В механических часах имеется устройство, называемое балансиром, основное назначение которого состоит в поддержании тактовой частоты. Балансир хорошо моделируется линейпым осциллятором. Следовательно, его собственная частота определяется формулой

о;2 = с/т

Вопрос: почему в особо точных механических часах стремятся жесткость пружины балансира сделать как можно меньше, вместо того, чтобы просто выполнить отношение с/т?

Вопрос 2. Теоретическая зависимость (3) скорости диссипации энергии от коэффициента вязкости представлена сплошной линией на Рис.2. Пунктирной линией представлена экспериментальная зависимость.

Вопрос: чем объяснить расхождение между этими зависимостями?

Рис.2. График скорости диссипации энергии

Вопрос 3. На Рис.3 сплошной линией представлена условно-теоретическая зависимость скорости диссипации энергии а от степени дефектности кристалла Л. Пунктирной линией представлена экспериментальная кривая.

Вопрос: как объяснить расхождение между этими кривыми?

€Г -

Рис.3 Зависимость диссипации энергии от степени дефектности

На первый взгляд эти вопросы кажутся очень простыми. Тем не менее, всякие попытки дать ответы на них в рамках конечномерных моделей классической механики обречены на провал.

Опуская подробности, покажем решение этих вопросов, предложенное в диссертации. Снова обратимся к Рис.1. Если принять, что 6 = 0. то единственным сомнительным с фундаментальной точки .зрения элементом в этой схеме является заделка. Заделка—это железный запапес, за которым скрывается другой мир, и этот другой мир по необходимости является бесконечномерным. Отсюда сразу же возникает представление о следующей модели - Рис.4. Подчеркнем, что это именно единая модель, составляющая неразрывное це-

#ЛАААи {

Рис.4. Осциллятор на волноводе

лое. От заделки здесь сохранилась бесконечная масса (инерция), но добавилась упругость. Заметим, что все элементы этой модели идеально добротны, и сами по себе не порождают диссипации энергии. Уравнения движения этой модели имеют вид

ту = с((/ (О,«) - г/(0) (4)

где и (0,<) — смещение торца стержня, к которому присоединен грузик; II (х,0 — продольные смещения поперечных сечений стержня. Если II (.т, () = 0, то приходим к стандартному уравнению (1). Уравнение продольных колебаний стержня имеет вид

02и 1 дги 2 _ Е ...

Условие сопряжения торца стержня с пружиной

ЕБ— = -с (//(/) -V (0.0) (б)

дх

г—О

Примем, что в начальный момент времени £ = 0:

1/(1,0) = 0; г7(*.0) = 0; ¿/(0) = «: у( 0) =/? (7)

Общее решение уравнения (5) представимо в форме Даламбера—Эйлера

и (х, г) = (р (х - о£) + + ь'Ь)

В данном случае \р{х + = 0 ибо волны по стержню распространяются вправо и никаких возмущений с бесконечности не приходит. Определяя функцию <р(х — и исключая ее, приходим к следующему уравнению

1'с . 9 "с ,, .„.

„+_„+„«„ = _/» (8)

Таким образом, получили стандартное уравнение линейного осциллятора с вязким трением. Коэффициент вязкого трения Ь = ус/ЕБ = с/Бу/рЕ определяется через основные параметры системы. Из последнего выражения видим, что излучение в окружающую среду будет тем меньше, чем меньше жесткость пружины с. Если добавить обычный демпфер, то вместо (8) получим уравнение

У + (Ь + ~)у+^у = ~0 (9)

Прежде всего, из сравнения уравнений (1) и (9) мы видим, что учет упругости заделки качественно изменил характер закона вязкого трения: при стремлении коэффициента вязкого третья к нулю трение не исчезает полностью, причем остаточное трение определяется параметрами добротных элементов. Смысл остаточного трения очевиден—это волновое излучение в окружающую среду

Уравнение (9) уже позволяет ответить на все поставленные выше вопросы. Например, снижение жесткости пружины в балансире ведет к уменьшению потерь энергии на волновое излучение. Наконец, сравним уравнение (8) со знаменитым уравнением осциллятора Планка

„ 9 9, Зс3 а „

причем расшифровку всех обозначений можно найти в статье М. Планка. Для наших целей эта точная расшифровка не имеет особого значения. Как отмечал сам М. Планк, "... колебания этого резонатора затухают только благодаря излучению энергии в окружающее пространство, но не вследствие электрического сопротивления или другого процесса, действующего внутри резонатора и ведущего к поглощению энергии''. Заметим, что уравнение Планка было выведено на основе правдоподобных рассуждений, оперирующих понятиями излучения, существующего как пекая реальность, без строгого математического определения этого понятия и без использования каких-либо волновых уравнений. Сравнивая уравнение (8), выведенное на основе совершенно строгих математических рассуждений, с уравнением Планка (10), видим их

замечательное сходство. Не вызывает сомнения, что оба уравнения описывают один и тот же процесс. Существует мнение о невозможности чисто механического истолкования осциллятора Планка в силу отсутствия в классической механике понятия излучения. Тем не менее, мы видим, что осциллятор на волноводе дает нам точную механическую модель для осциллятора Планка.

Гипотеза мгновенпого останова Ф. Клейпа. Рассмотрим самую простую задачу динамики, в которой проявляется действие закона Кулона. Твердое тело массой т движется по горизонтальной плоскости с постоянной скоростью V > 0. Коэффициент трения в законе Кулона раяеп //. В' момент времени I = 0 сила вынуждающая тело двигаться, внезапно прекращает свое действие и далее тело движется по инерции, рассмотрим тело движущееся по инерции вдоль горизонтальной поверхности. Трение определяется законом сухого трения Кулона.

' г;; '»ГДЕ

Рис. 5. Твердое тело па шероховатой поверхности Общепринятая постановка этой задачи определяется системой

( F ст если ; = О

Система (11) может быть решепа без всяких затруднений. Легко видеть, что задача (11), (14) имеет два решения.

. . Г V - цп< если < < V ад ... (и если £ = 0 .,„.

а) 21 = < „ , '/ и 6) 29 = < „ , „ (12)

' \ 0 если < > и/цд ' 1 \ 0 если < > О к '

Не следует удивляться, что задача Коши (11), (14) имеет пеединственное решение. Действительно, задача Коши имеет единственное решение при выполнении двух условий: 1. правая часть (сила кулонова трения) должна быть однозначно определенной функцией своих аргументов; 2. правая часть должна удовлетворять условиям Липшица, требующих ограниченности производной от правой части. В данном случае оба эти условия очевидпым образом нарушены. Поэтому теорема единственности в задаче (11). (14) не имеет места. Первое из решений (12) является общепринятым, по второе решение, указанное Ф. Клейном в 1908г., большинство исследователей считает неприемлемым

с физической точки зрения, поскольку для мгновенного останова тела конечной массы необходима бесконечная сила. Указанное второе решение получило в литературе название гипотезы мгновенного останова, хотя фактически это не гипотеза, а точное следствие последовательного применения закона Кулона. Между тем, и сам Ф. Клейн, и. в 1947г., Н.В. Бутенин на многих примерах показали, что использование решения с мгновенным остаповом позволяет полно решать задачи, избегая при этом так называемых парадоксов Пенле-ве, выражающихся либо в несуществовании решения, либо в неустранимой неединственности решения. По нашему мнению, успех гипотезы мгновенного останова не основан на случайных совпадениях, но является закономерным результатом. Когда появляются два решения, то возникает проблема отбора решения, реализующегося в действительности. Нетрудно понять, что в задаче (11), (14) проблема отбора неразрешима без дополнительных условий. Отсюда и вытекает одна из целей диссертации: дать математически строгое и физически ясное обоснование решения с мгновенным остановом и указать решение проблемы отбора. Как мы увидим ниже, главную роль в этом обосновании будет играть упругость контактирующих тел. Более того, учет упругости приведет к существенному изменению самой трактовки решений (12), что автоматически решит проблему отбора. Используя обозначения, показанное на рисунке 5 мы можем записать следующую систему уравнений

где у — положение центра масс С, т — масса тела, х — положение точки на контактирующей поверхности, у — ускорение свободного падения, сила обычно ограничена неравенством < но это не необходимо. Началь-

ные условия выберем в виде

Система (13) является теоретически точной, но она не замкнута. Переход к системе (11) основан на принятии соотношения г = х = у. При этом смысл функции г(<) становится неопределенным. Поэтому проблему замыкания системы (13) мы будем решать иначе. При этом покажем, что на самом деле оба решения а) и 6) в (12) являются точными пределами некоей расширенной задачи, но пределами при стремлении к пулю (бесконечности) разных параметров. Ло сих пор это обстоятельство ускользало от внимания исследователей. В качестве основного объекта мы опять будем иметь в виду твердое тело, скользящее по шероховатой горизонтальной поверхности. В качестве расширенной модели рассмотрим сложное тело, изображенное на рис. 6.

Это тело представляет собой абсолютно жесткий каркас массой т и вделанным в него абсолютно твердым горизонтальным стержнем. По стержню может скользить без трения груз массой .1/. Груз соединен с каркасом пружинкой жесткостью с. Понятно, что при стремлении жесткости пружины к бесконечности мы получаем абсолютно твердое тело. Примем теперь, что

ту =

(13)

¿ = 0: х = 2/ = 0, х = у = V

(14)

кж

с м ЛУЛЛЛЛ<

Рис.6. Расширенная модель твердого гела

при t < 0 описанное тело двигалось как абсолютно твердое тело с постоянной скоростью V > О, причем пружина находилась в недрформированном состоянии. В момент времени « = 0 активная сила внезапно прекращает свое действие и тело продолжает двигаться по инерции. Поскольку, в отличие от предыдущего пункта здесь поверхность контакта есть абсолютно твердое тело обладающего инерцией, то мгновенный останов каркаса невозможен без приложения неограниченно больших сил. Отсюда следует, что по крайней мере, при малых временах г > 0 каркас продолжает двигаться. Введем следующие обозначения. Пусть х — положение какой-то точки (метки) каркаса, а у — положение точечного груза. Примем, что при { = 0 координаты х и у совпадают и равны нулю. При £ < 0 мы имеем

X = у, X - У = V. Уравнения движения системы имеют вид

X +¡¿1 (х-у) = — ^р,

(15)

у + и;2 (у - х) = 0,

2 С 2 ^ п где = —; и = —. В качестве начальных условий примем

« = 0 : I = } = II. х = у = V. (16)

Решение этой системы записывается в виде

/1 (]Р М // у ш Й2

*/ = <•'+ --по.

2 Пг где

Решение (17) справедливо до момента когда скорость каркаса х > 0 обратиться в нуль

X = V - ngt - — sin í2í (19)

Момент останова t = т определяется из уравнения.

V - figт - — ^ sin «г = 0 (20)

m W

В дальнейшем будем считать, что условие m/M 1 выполнено. Рассмотрим решение (17) более тщательно. Очевидно, что расширенная модель стремиться к модели твердого тела при г —> эо. Это означает, что П —► оо. В таком случае из выражений (17) следует

x = y=vt- \,,gt\ I < г,., = — (21)

2 цд

где тсi есть ничто иное как время останова, получаемое в рамках классической теории абсолютно твердого тела. Это решение показано на рисунке 7 Таким

Рис. 7. График изменения скорости Здесь 1 — классическое решение, 2 — второе разрывное решение, 3 — изменение скорости реализуемое в реальности

образом, мы видим, что решение

Z\ — lim x(t, с, m) = lim y(t, с, m) = vt ■

(22)

В этом случае смысл функции ^ есть смещение любой точки твердого тела. Рассмотрим случай, когда т Л/. Если т -> 0. то П оо и тП2 —♦ с. Время останова г, нужно паходить из уравнения (20). Допустим, что Г2г, 1. В таком случае приближенное решение уравнения (20) имеет вид

т, =

in + М jig

Мы видим, что сильное неравенство

Tel

(23)

S2r. =

(24)

справедливо, если т <С Л/. Для малых интервалов времени £ < г, решения (17) могут быть переписаны в следующей форме

*=К1'"',г' !,=ы (25)

Отсюда следует, что

М + т . . . х = г---/1ц1 = V 1--. О < ? < т..

-НУ

где т. определено формулой (24) и стремится к нулю при т —> 0. Теперь мы можем увидеть смысл решения г2

,. ... ч ( п, если < = 0, ,„„.

¿2 = Ьп1 ,г(1,с,т) = < .. _ _ (26)

т-о 4 ' [0, если < > 0 '

Примечание. Предел (26) в классическом анализе не существует. Чтобы доказать справедливость (26), необходимо использовать так называемый нестандартный анализ. Здесь функция :2 может трактоваться только как положение точки рамы, но не положение центра масс. Движение центра масс в случае (26) определяется выражением

у = - ятшг, = Т7- ' >0 (27)

Ю Л/

это выражение справедливо если сила в пружине меньше чем цМд

ЫО1т„</«('"+.и).7*/«Л/0 (28)

Это условие будет удовлетворено если начальная скорость удовлетворяет неравенству

ПТ

(29)

Если это условие не выполнено, то неравенство (28) дает возможность найти интервал времени в котором решение (26) (27) справедливо. После этого необходимо решить новую задачу с новыми начальными данными.

В результате мы пришли к двум центральным выводам. Первый: функция г(() в системе (11) характеризует положение точки контактной поверхности, но не положение центра масс; это сразу же снимает традиционное возражение против использования решения с. мгновенным остановом, ибо мгновенно (или практически мгнопенно) останавливается тело бесконечно малой массы. Второй вывод: два решения (12) нельзя понимать так. что одпо из них реализуется в действительности. На самом деле эти решения дают нам только верхнюю и нижнюю границы, между которыми находится истинное решение, но само истинное движение тела не может быть найдено из решения системы (11).

Как и всякие теоретические утверждения, данные выводы требуют экспериментальной проверки. Проведем следующий мысленный эксперимент. Возьмем книжный шкаф с рядом вертикальных полок для книг. Шкаф должен быть по возможности легким и прочным. Кроме того, возьмем груз достаточно большого веса такой, что его можпо разместить на одной полке. Теперь можно приступить к экспериментам. Предварительно заметим, что с точки зрения системы (11) не имеет значения на какой именно полке будет расположен груз. Проведем серию экспериментов, в каждом из которых будем задавать одну и ту же начальную скорость. В первом эксперименте груз расположен на нижней полке. Измерим расстояние, пройденное шкафом по инерции. Если центр масс шкафа с грузом будет расположен достаточно близко к полу, то шкаф пройдет расстояние близкое к предсказываемому классическим решением. График для скорости точки на контактной поверхности будет близок к классическому решению, т.е. к первому из решений (12), и расположен левее него. Во втором эксперименте груз расположим на второй полке снизу. Центр масс тела при этом окажется выше, чем в первом эксперименте. Измерения покажут, что шкаф пройдет меньшее расстояние нежели в первом эксперименте. График для скорости также сдвинется влево. Повторяя эти эксперименты и поднимая груз все выше, мы увидим, что график скорости будет прижиматься к оси ординат, а пройдепное расстояние все меньше. Разумеется, все сказанное носит умозрительный характер. Однако сомневаться в сказанном невозможно, поскольку именно такое поведение тела предсказывается апализом поведения расширенной модели. Таким образом, мы видим, что решения (12) действительно дают нам только границы, в которых находится искомое решение, но отпюдь не само истинное решение, описывающее истинное движение тела, которое определяется параметром (положением центра масс над контактной поверхностью), который вообще не содержится в системе (11). Отсюда и возникает неопределенность в решении этой системы, позволяющей определить только границы, в которых находится решение, но не само решение.

В заключительной части 2-ой главы рассмотрены три иллюстративных задачи, демонстрирующих мехапизмы мгновенного останова: 1. колебания упругого параллелепипеда, нижняя грапь которого может скользить по шероховатой поверхности; 2. продольные колебания стержня на безынерционных опорах, скользящих по шероховатой поверхности; 3. движение твердого тела по жестким, но упругим, удерживающим направляющим.

Движение стержня на безынерционных опорах. В этой задаче мгновенно останавливаются безынерционные опоры, в то время как центр масс совершает продольные колебания. Математически задача интересна тем, что в ней условия согласования краевых и начальных условий не выполнены. Поэтому вместо метода Фурье приходится использовать метод Г.А. Гринберга. Кроме того, из-за неравномерной сходимости рядов при вычислении реакций на опорах необходимо использовать приемы улучшения сходимости рядов.

Мгновенный останов тел, имеющих конечные размеры, при наличии удерживающих контактов В этой задаче мгновенный останов происходит путем заклинивания. В работе показано, что при любой начальной скоро-

сти тело, движущееся по двусторонним упругим направляющим, практически мгновенно останавливается. Этот вывод играет важную роль при решении задачи Пенлеве.

В третьей главе рассматривается задача Пенлеве. Уравнения записываются для наиболее общей постановки задачи, т.е. для произвольных масс m¡ и ш2 . Рассмотрим две материальные точки Р и Л. связанные между собой безынерционным твердым стержнем РА длиной I. Точка Р массой m¡ скользит с трением по неподвижной горизонтальной прямой Or, с которой она пе может сойти, и система РА движется в вертикальной плоскости хОу, проходящей через Ох. Требуется найти движение, предполагая что система находится только под действием силы тяжести. Пусть в начальный момент времени t = О точка Р — полюс, лежащий на оси подвеса находится в точке О, которую мы выбираем в качестве начала в системе отсчета. Введем обозначение

+ (30)

Тогда с учетом обозначения (30) основная система уравнений примет вид (mi i 4- т2/ sin20)í = ,\'т + т2/у sinfl

Ny = m i у — m2 / cos б sin 4- cos 0 (31)

в 4- - sin» = -5 cos0

Горизонтальная реакция Nx есть ничто иное, как сила трения. Сама же сила трения из закона Кулона определятся как

Елр =

■ ¡i£\ £2 iVy i, если х ф 0, Nn , если х = 0.

где £1 = signi, Ег = sign Ny.

Для силы трения покоя обычно принимают, что ее модуль не превосходит величины 11

IFtpI < • (32)

Закон трения Кулона сам по себе подразумевает двойственность решения. И в зависимости от того двигается точка Р или нет, принимается то или иное значение силы трения. В качестве критерия выбора горизонтальной силы будем рассматривать неравенство (32). Итак, для того чтобы точка Р оставалась в покое необходимо чтобы неравенство (32) было истинным. Сила трения покоя есть ничто иное как горизонтальная составляющая реакции в точке Р. Итак, для того чтобы записать неравенство (32) для данной задачи необходимо знать горизонтальную и вертикальную составляющие реакции в случае когда точка Р неподвижна.

Чтобы вычислить Nx и .Vv необходимо в уравнениях (31) положить £ = 0.

1Г)

Тогда

Nx = -m-2l¡p sin в, Л", = mi 9 + mjlip cos в (33)

Неравенство (32) с учетом выражений для реакций (33) и после возведения обеих частей неравенства в квадрат принимает вид

^cos в2 - ^ sin в1 j + 2z cos в + 1 > О,

z = Imif/gnix (3-1)

Неравенство (34) содержит только переменные вив (или г). Лля этого неравенства возможны следующие случаи: 1) неравенство справедливо для всех & и в, т.е. точка Р остается неподвижной в любой момент времени; 2) при некоторых в и в неравенство (34) нарушается. Найдем область на фазовой плоскости г и 9 в которой неравенство (34) не выполняется. Лля этого найдем те г, при которых левая часть неравенства (34) обращается в нуль.

Д2

^ cos в2 - sin в'2 j + 2г cos в2 + 1 = 0

корнями этого уравнения являются

г, =--^-, z2 = --^--(35)

cosí? Н--|siii0| cosí? - — )sin0¡

/i fi

Неравенство (34) запишем в виде

^cos2 в - sin2 (г - г,) (г - г2) > 0,

Теперь систему уравнений движения можно рассматривать как две системы уравнений.

Система 1: £ = 0, т.е. точка Р неподвижна

Nx = -тп2 Í (б2 + у cos fl) sin в, Ny = mi д + m21 (в2 + у cos в) cos в,

Ny =

3 1 S

(36)

Система 2: £ ф 0, т.е. точка Р движется

D £ = (б2 + у cos ffj (sin в - nEizi cos в) - /ie¡e2^j, D Ny = m,/02cosd + + пцд,

D9 + ( 1 +— I 7 sin 0 = -в2 eos в (sin 0 - U£,£2 eos 9) + 1 — / /

■4- II F, ^

<1 ( ni 1 \

+ /i£ i£27 1 h--cos 0 ,

V m)

D = —- + sin2 О - tie i С2 sinocos*?. NT = - iie^siN„. m2

-"1 = signí. = sign Я y . Можно доказать следующую теорему. Теорема 3.3.1. Функция D(fí). задаваемая выражением

Did) = — 4- sin2» - /г с, С2 sin в cosí?. т2

положительна а области возможного движения точки Р при всех значениях Si и г2 и произвольном /i в (0, оо) .

Критерием выбора системы уравнений движения является неравенство (34). В неравенство (34) входят только переменные в и в, которые определяются начальными условиями. Если неравенство выполнено по начальным условиям на в и в и £ ф 0, то точка Р мгновенно останавливается. Итак, задача Пенлеве должна решаться по следующей схеме: по начальным условиям проверяется истинность неравенства (34). Если неравенство (34) выполняется, то решение задачи начинается с рассмотрения системы 1. Если неравенство не выполняется, то следует начинать с рассмотрения системы 2. Попустим, что неравенство (34) справедливо. Тогда решение задачи начинается с рассмотрения системы 1 и получепное нами решение справедливо до тех пор пока неравенство (34) выполняется. В момент, когда неравенство (34) нарушается переходим к рассмотрению системы уравнений 2 с соответствующими начальными условиями. И наоборот, если решение начиналось с системы 2, то оно имеет смысл до тех пор пока перавепство (34) паругаено. В момент, когда неравенство (34) становится истинным, переходим к рассмотрению системы уравнений 1. Описанная выше схема в диссертации реализована при точ-пом аналитическом интегрировании задачи Пенлеве. При этом показывается единственность построенного решения и отсутствие в этой задаче затруднений, указанных П. Пеплеве и п курсе II. Аппеля.

В главе 4 рассмотрено математическое описание процесса шлифовки на шлифовальной машине Тхан Тьи Аня. В конечном счете, дело свелось к уравнению

г, = J J , ^ + + fAA (38)

I J J \]ргцг + 2r;p(.4sin у + Bcosiyj) + D

При выводе этого уравнения считалось, что процесс шлифовки осуществля-. ется силами трения Кулона. При этом все участвующие в процессе образцы и детали машины моделировались абсолютно твердыми телами. Поэтому в этой задаче никаких затруднений, типа парадоксов Пенлеве, не возникает. Уравнение (38) имеет единственное решение, удовлетворяющее произвольным начальным данным. Несмотря па спой громоздкий вид, дифференциальное уравнение (38) допускает замечательно простое качественное исследование.

В принципе, уравнение (38) допускает решение в квадратурах, по эти квадратуры не выражаются через известные функции и потому неудобны для анализа. В диссертации доказано, что решение уравнения (38) асимптотически стремится к нулю при произвольных начальных данных. Это нулевое решение соответствует установившемуся процессу шлифовки. Важнейшее требование, предъявляемое к процессу шлифовки обрабатываемого образца, заключается в том, чтобы процесс шлифовки шел равномерно по всем направлениям относительно образца. В противном случае невозможно добиться однородности шлифовки столь высокого класса точности. В диссертации показано, что в машине Тхап Тьи Аня все так и происходит.

В заключении работы приводится обсуждение основных результатов. Основные выводы и положения, выносимые на защиту

1. Предложена модель осциллятора на волноводе, являющаяся точной механической моделью известного осциллятора Планка. Хотя модель включает только добротпые элементы, тем не менее она сводится к обычному линейному осциллятору с вязким трением, определяемым параметрами добротных элементов.

3. Предложено обоснование гипотезы мгновенного останова Ф. Клейна, основанное на детальном анализе влияния упругости контактирующих тел па характер проявления закона трения Кулона.

4. Показано, что возникающие неединственные решения на самом деле являются точными границами, между которыми заключены истинпые решения. Для определения последних в задачу необходимо вводить дополнительный параметр, характеризующий форму тела. Этот доказанный в работе факт ранее никем не отмечался. Кроме того, установлен точный математический смысл вышеупомянутых грапиц. которые являются точными пределами решения (единственного) задачи динамики для расширенной (уточненной) модели, причем одна граница является пределом при стремлении жесткости тела к бесконечности (эта граница находилась многими авторами), а вторая граница является пределом при стремлении к нулю массы контактной зоны тела (это и есть решение Клейна о мгновенном останове, т.е. мгновенно останавливается только часть тела нулевой массы).

5. Построены точные решепия некоторых задач, иллюстрирующих возможность мгновенного останова: 1. о колебаниях упругого параллелепипеда. стоящего на шероховатой поверхности: 2. о продольных колебаниях упругого стержня на безынерционных опорах, которые могут скользить по шероховатой абсолютно твердой плоскости; 3. задача о движении

твердого тела вдоль упругих двухсторонних направляющих, в которой показано, что мгновенный останов происходит путем заклинивания.

6. Предложено новое неравенство позволяющее осуществлять выбор действительного решения без обращения к решению задачи для расширенной модели. Последнее используется только для обоснования правильности указанного неравенства.

7. Дано аналитическое решение классической задачи Пенлеве-Аппеля и показано, что при рассматриваемом подходе, основанном па идее Ф. Клейна, парадоксальные ситуации, указанные Пенлеве. на самом деле невозможны.

8. На основе методов динамики систем с кулоновым трением проанализирован процесс шлифования кварцевых пластин для пьезоэлектрических резонаторов сверхвысоких частот. Все расчеты проведены для реально существующей шлифовальной машины, обеспечивающей класс точности V12 - 14.

9. Изучены переходные и стационарпые режимы процесса шлифовки. Показано, что при любых начальных условиях процесс шлифовки асимптотически стремится к стационарному режиму. При этом процесс шлифовки идет по всем направлениям относительно образца, что обеспечивает высокую степепь однородности шлифовки.

Основные результаты опубликованы в работах

1. Жплин П.А., Жилина О.П. О законе трения Кулона и парадоксах Пенлеве. //Механика и процессы управления. Труды СПбГТУ N44G, 1993. С. 52-

2. Жилина О.П., Jle. Cyan Ань, Тхан Тъи Ань Анализ движения исполнительного механизма шлифовальной машины. //Механика и процессы управления. Труды СПбГТУ N 458, 1995. С. 83-87.

3. Жилина О.П. К динамике систем с трением. // Труды XXIV школы-семинара "Анализ и синтез пелинейных механических колебательных систем", 1997.

С.338-350.

4. Жилина О.П. Две задачи с Кулоновым трением. // XV Международная конференция "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых тел". 1997. С. 66-68 .

5. Жилина О.П. О волновой природе механизма трения. // Труды XXV-XXVI школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", том 2. 1998. С.219-228.

81.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Жилина, Ольга Павловна, Санкт-Петербург

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

На правах рукописи УДК 539.3

ЖИЛИНА Ольга Павловна

ВЛИЯНИЕ УПРУГОСТИ КОНТАКТИРУЮЩИХ ТЕЛ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЯВЛЕНИЯ ЗАКОНОВ ТРЕНИЯ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела»

Научные руководители: Д.т.н., проф. Кокушин H.H. Д.ф-м.н., проф. Jle Суан Ань

Санкт-Петербург 1999

Содержание

Введение. Цель, метод и предмет исследования 3

0.1 Общая характеристика работы . , ..............................3

0.1.1 Актуальность темы диссертации............................3

0.1.2 Цель исследования ............................................4

0.1.3 Метод исследования ..........................................5

0.1.4 Основные положения, выносимые на защиту ............5

0.1.5 Научная новизна и достоверность основных результатов диссертации................................................7

0.1.6 Практическая значимость результатов диссертации . . 7

0.1.7 Апробация результатов диссертации......................7

0.1.8 Структура и объем диссертации............................7

0.2 Содержание работы....................................................8

1 Состояние вопроса и литературный обзор 13

1.1 Обзор литературы......................................................13

1.1.1 Различные интерпретации парадоксов Пенлеве..........13

1.1.2 Положения общей теории механических систем с ку-лоновым трением................................................22

2 Трение в механических системах. Закон Кулона 31

2.1 Трение в механических системах....................................31

2.2 Свободные колебания осциллятора на упругом волноводе . . 32 2.2.1 О природе внутреннего трения в твердых телах .... 37

2.3 Закон трения Кулона....................................................37

2.3.1 Формулировка закона и сопутствующие проблемы . . 37

2.3.2 Движение частицы в малом зазоре с гладкими стенками 40

2.3.3 Краткие итоги дискуссии по парадоксам Пенлеве ... 43

2.4 Главная особенность закона Кулона................................45

2.5 Расширенная модель....................................................49

2.5.1 Постановка задачи ............................49

2.5.2 Модель твердого тела........................................53

2.5.3 Расширенная модель с безынерционной рамой..........53

2.5.4 Истолкование полученных результатов................56

2.5.5 Численный пример ............................................59

2.5.6 Заключение......................................................63

2.6 Движение стержня на безынерционных опорах. Определение параметра т..............................................................63

2.7 Мгновенный останов тел, имеющих конечные размеры, при наличии удерживающих контактов..................................67

3 Задача Пен леве 73

3.1 О трудностях, возникающих при приложении обычно принимаемых эмпирических законов сухого трения Кулона. Исследования Пенлеве......................................................73

3.2 Вывод уравнений движения............................................78

3.3 Анализ уравнений движения..........................................81

3.4 Пример решения задачи Пенлеве с конкретными начальными условиями ................................................................91

4 Анализ движения исполнительного механизма шлифовальной машины 95

4.1 Введение..............................................95

4.2 Главное движение исполнительного механизма станка..........96

4.3 Анализ уравнения движения.....................101

4.4 Шлифовка в стационарном режиме.................104

5 Заключение: обсуждение результатов 105 Литература 114

Введение. Цель, метод и предмет исследования

0.1 Общая характеристика работы 0.1.1 Актуальность темы диссертации

Трение — одно из самых распространенных явлений природы. Проявления трения чрезвычайно многообразны. Тем не менее, в подавляющем большинстве случаев механизм трения может быть реализован в форме либо вязкого трения, либо сухого трения Кулона, либо, наконец, в виде более или менее сложной комбинации указанных типов трения. Например, внутреннее трение в поликристаллических телах очень хорошо описывается известным материалом А.Ю. Ишлинского, с каждой частицей которого связывается бесконечный набор демпферов сухого трения. С другой стороны, внутреннее трение в идеальных (или почти идеальных) кристаллах, отчетливо проявляющееся в экспериментах, подчиняется существенно другим закономерностям, которые значительно лучше описываются законом вязкого трения. Причина внутреннего трения в идеальных кристаллах до сих пор не вполне ясна, а объяснение происхождения внутреннего трения в монокристалле является одной из актуальных проблем.

и __и /~Ч и

между механикои сплошных сред и механикои грунтов. С одной стороны, в силу способности частиц порошка к консолидации они отчетливо проявляют свойства упругости и пластичности, но, с другой стороны, части консолидированного порошка могут легко скользить друг относительно друга. На первый взгляд кажется, что между частицами порошка должны действовать кулоновы силы трения. Видимо, это действительно так, но непосредственное использование закона трения Кулона ведет в задачах этого типа к

затруднениям, которые давно и хорошо известны в классической динамике под названием парадоксов Пенлеве. Последние проявляются в том, что при определенных и вполне реалистичных условиях решение задачи динамики либо не существует, либо не единственно. В классической динамике было найдено несколько способов разрешения парадоксов Пенлеве. Эти способы можно разделить на две группы. К первой группе относятся подходы, основанные на учете деформируемости контактирующих тел. Несмотря на хорошие результаты, даваемые этими подходами, последние едва ли могут использоваться в моделях сплошных сред, поскольку они ведут к очень сложным и мало исследованным краевым задачам для уравнений с частными производными. Ко второй группе относятся подходы, основанные на "гипотезе" мгновенного останова, вытекающей из полной формулировки закона трения Кулона и впервые использованной для отыскания решения Ф. Клейном. Позднее этот подход с большим успехом применял Н.В. Бутенин. "Гипотеза" мгновенного останова значительно упрощает процесс решения задач динамики систем с кулоновым трением и без особых затруднений может быть реализована в моделях сплошных сред. Более того, если говорить о мелкодисперсных консолидирующихся порошках, то в них закон трения Кулона проявляется, по всей вероятности, именно через механизм мгновенного останова, переводящего режим скольжения частиц порошка в режим их качения, что, видимо, и является основной причиной высоких пластических свойств порошка. Одним из препятствий для реализации сказанного является старая и до сих пор нерешенная проблема. Большинство исследователей считают "гипотезу" мгновенного останова физически не приемлемой. Это устойчивое мнение не было поколеблено даже тем фактом, что результаты, получаемые на основе разных подходов, включая подход Ф. Клейна, практически совпадали. Поэтому строгое обоснование "гипотезы мгновенного останова является весьма актуальной и давно назревшей проблемой. Кажется ясным, что искомое обоснование, если оно вообще возможно, может быть найдено только при учете деформируемости контак-тируемых тел, т.е. методами механики твердого деформируемого тела.

0.1.2 Цель исследования

Целями данной диссертации являются:

• анализ влияния упругости заделки точки подвеса осциллятора на диссипацию энергии осциллятором и обсуждение природы внутреннего трения в монокристаллах;

• математическое описание процесса шлифовки ультравысокочастотных пьезокварцевых резонаторов на машине роторного типа.

0.1.3 Метод исследования

Все задачи рассматриваются на основе строгих методов математической физики и теории дифференциальных уравнений в рамках классических моделей механики. Ключевые слова: трение; колебания упругих тел; волновая динамика; решение задач, имеющих теоретическое значение.

0.1.4 Основные положения, выносимые на защиту

дополнительный параметр, характеризующий форму тела. Этот доказанный в работе факт ранее никем не отмечался. Кроме того, установлен точный математический смысл вышеупомянутых границ, которые являются точными пределами решения (единственного) задачи динамики для расширенной (уточненной) модели, причем одна граница является пределом при стремлении жесткости тела к бесконечности (эта граница находилась многими авторами), а вторая граница является пределом при стремлении к нулю массы контактной зоны тела (это и есть решение Клейна о мгновенном останове, т.е. мгновенно останавливается только часть тела нулевой массы).

5. Построены точные решения некоторых задач, иллюстрирующих возможность мгновенного останова: 1. о колебаниях упругого параллелепипеда, стоящего на шероховатой поверхности; 2. о продольных колебаниях упругого стержня на безынерционных опорах, которые могут скользить по шероховатой абсолютно твердой плоскости; 3. задача о движении твердого тела вдоль упругих двухсторонних направляющих, в которой показано, что мгновенный останов происходит путем заклинивания.

7. Дано аналитическое решение классической задачи Пенлеве-Аппеля и показано, что при рассматриваемом подходе, основанном на идее Ф. Клейна, парадоксальные ситуации, указанные Пенлеве, на самом деле невозможны.

9. Изучены переходные и стационарные режимы процесса шлифовки. Показано, что при любых начальных условиях процесс шлифовки асимптотически стремится к стационарному режиму. При этом процесс

шлифовки идет по всем направлениям относительно образца, что обеспечивает высокую степень однородности шлифовки.

0.1.5 Научная новизна и достоверность основных результатов диссертации

0.1.6 Практическая значимость результатов диссертации

Непосредственное практическое применение имеет расчет процесса шлифования кварцевых пластин на конкретном типе станка и теоретическое обоснование высокой степени однородности шлифовки.

0.1.7 Апробация результатов диссертации

Все результаты, включенные в диссертацию, докладывались на различных семинарах и конференциях, в том числе на сессиях школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Зеле-ногорск, Репино) в 1995, 1996, 1997 и 1998 годах и на XV международной конференции "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых тел" (Санкт-Петербург, 1996г.). По материалам диссертации опубликовано 8 работ.

0.1.8 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 65 наименований. Диссертация изложена на 119 страницах, набранных в формате ЬаТеХ, и содержит 23 рисунка и графика.

0.2 Содержание работы

В первой главе, содержащей обзор литературы, приводится изложение различных, ставших классическими, точек зрения на эту проблему. Авторская позиция, несколько отличающаяся от обсуждаемой в главе 1 изложена в главе 2.

Во второй главе обсуждаются некоторые, на первый взгляд не связанные между собой, вопросы динамики систем с трением. Первая задача о колебаниях грузика на полубесконечном стержне возникла у автора при попытке ответить на вопросы почему у балансира часов такая длинная спиральная пружина, зачем нужно делать сложную многовитковую спираль если можно обойтись двумя-тремя витками и соответствующим подбором момента инерции маховика? Как ни странно, найти ответ в известной автору литературе не удалось. В параграфе 2.2 рассмотрена точная постановка задачи о продольных колебаниях полубесконечного стержня к торцу которого присоединена безынерционная пружина с грузиком на другом его конце. В этой модельной задаче полу бесконечный стержень моделирует внешнюю среду, которая способна поглощать (уносить) энергию осциллятора. Решение этой задачи показало, во-первых, общеизвестный факт, что тактовая частота осциллятора определяется только отношением с/т и потому не нуждается в максимальном уменьшении жесткости пружины (чем больше длина спиральной пружины тем меньше ее жесткость) и, во-вторых, что излучение осциллятора в окружающую среду прямо пропорционально жесткости пружины. Поэтому чем меньше жесткость пружины, тем меньше расход энергии деформации пружины на излучение в окружающую среду. Конечно, стремление сделать спиральную пружину как можно длиннее обусловлено не только этим свойством, но и такими характеристиками как плавность регулировки жесткости пружины и некоторыми другими. Тем не менее, роль трения в этой системе показалась автору весьма любопытной, что и явилось причиной включения этой задачи в диссертацию. Возможна и другая точка зрения на обсуждаемую задачу, которая изложена в заключении к диссертации. Хотя потребность в этой второй точке зрения возникла значительно позже, но именно она позволила автору взглянуть на проблему выбора жесткости пружины в балансире часов в правильном аспекте.

Остальная часть второй главы уже непосредственно связана с парадоксами Пенлеве. Как известно, П. Пенлеве усматривал парадоксальность

решений задач динамики с кулоновым трением в их неединственности или несуществования решения. С такой точкой зрения не всегда можно согласиться. В параграфе 2.3 приведен простой пример классической задачи о движении упругого шарика между двумя абсолютно твердыми поверхностями. Показано, что при стремлении высоты зазора к нулю решение для реакций стремиться к величине ±N. Иными словами, в этой задаче мы имеем неединственное решение: в каждый момент времени мы должны принимать для реакции два противоположных значения. И в этом нет никакого парадокса. Оба значения реакции должны приниматься во внимание при практических расчетах движения упругого тела в малых зазорах. Что касается несуществования решения, то это свойство не имеет места: на самом деле решения отвечающие неподвижному состоянию контакта с трением существует всегда, что и было отмечено в 1908г. Ф. Клейном. Сказанное демонстрируется в параграфе 2.4, в котором рассматривается простейшая из всех возможных задач динамики систем с кулоновым трением. Рассматривается движение тела по инерции по шероховатой поверхности. Показано, что даже в этой задаче всегда существует два решения, одно из которых отвечает движению с замедлением, а второе — мгновенному останову. В литературе, как правило, это второе движение отвергается на том основании, что невозможно силами конечной величины мгновенно остановить тело конечной массы. На самом деле, как это показано в параграфе 2.4 оба полученных решения имеют точный физический и математический смысл. В диссертации введена некая модель с двумя степенями свободы, содержащая три параметра: жесткость пружины с, характеризующая способность тела деформироваться, масса М, характеризующая практически всю массу тела, и массу m, моделирующую массу ко�