Термоупругие контактные задачи для тел с покрытиями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им М В Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 539 3

Губарева Елена Александровна

ТЕРМОУПРУГИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ С ПОКРЫТИЯМИ

Специальность 01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007 г

Работа выполнена на кафедре теории пластичности механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор В М Александров Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

Ведущая организация Южный Федеральный Университет

Защита состоится 28 сентября 2007 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 501001 91 при Московском государственном университете имени М.В Ломоносова по адресу 119991, г Москва, Ленинские горы, главное здание МГУ, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж)

профессор Е В Коваленко доктор физико-математических наук, профессор Д В Тарлаковский

16-10

Автореферат разослан

M

f 2007

г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501 001 91, доктор физико-математических наук, профессор

г

С В Шешенин

1. Общая характеристика работы.

Актуальность работы. Механика контактных взаимодействий деформируемых тел является в наше время активно развивающейся областью. Проблемы контактных взаимодействий являются центральными в механике твердых тел, поскольку контакт -это один из принципиально главных способов работы элементов механизмов машин, в результате которого величина контактных давлений играет роль важного фактора, существенно влияющего на прочность и долговечность конструкций Только решая контактные задачи мы можем дать, отвечающую действительности, картину распределения напряжений и деформаций, которые возникают вследствие контактных взаимодействий Обзор работ по основным достижениям в области механики контактных взаимодействий можно найти в фундаментальных монографиях И Я Штаермана, Л А Галина, К Джонсона и фундаментальной монографии И И Воровича, В М Александрова, В А Бабешко Основными факторами при решении контактной задачи являются трение, износ и тепловыделение от трения В данной диссертации предложена постановка контактной задачи для тел с покрытиями, объединяющая эти факторы

Другая актуальная проблема в механике контактных взаимодействий - проблема износа подшипников скольжения, которые находят применение во многочисленных областях машиностроения Первую попытку решения контактной задачи для тел ограниченных цилиндрическими поверхностями предпринял Герц Решение Герца было обобщено И Я Штаерманом при рассмотрении задачи о внутреннем контакте упругих тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями близких радиусов, без учета трения

Основные результаты в исследовании и решении контактных задач для областей с круговыми границами были получены в 60-е годы В этом направлении работали Д В Грилицкий, А И Каландия,

В В Панасюк, М П Шереметьев

В данной работе предлагается решение термоупругих контактных задач для цилиндрического и сферического подшипников скольжения с упругими мягкими тонкими вкладышами при учете тепловыделения от трения В работе развивается приближенный подход на основе асимптотического метода, а именно строятся так называемые вырожденные решения

Цель работы. Целью диссертационной работы является рассмотрение и анализ решений контактных задач с учетом трения, износа и тепловыделения от трения для тел с покрытиями Второй основной целью работы было решение термоупругих контактных задач для цилиндрического и сферического подшипников скольжения и расчет контактных температур, возникающих при вращении вала (шара) в этих подшипниках

Достоверность основных положений и выводов определяется использованием строгих математических подходов механики контактных взаимодействий деформируемых тел, хорошим соответствием результатов решений, полученных с помощью аналитических и численных методов Научная новизна.

• Получены решения задач с учетом трения, износа и тепловыделения от трения для тел с покрытиями, при использовании представления зависимости коэффициента трения от контактных температур покрытий, а также зависимости контактного термосопротивления от давления Проведено сравнение решений, полученных аналитическим путем с численными решениями

• Предложен подход для решения термоупругих контактных задач для цилиндрического и сферического подшипников скольжения, который позволяет получить все термомеханические

характеристики

• При определении средней температуры вала (шара) цилиндрического и сферического подшипников в области контакта был предложен новый метод решения, в результате которого задачи сводились к интегральному уравнению первого рода, ядро которого, представлялось в форме двойного ряда по многочленам Лежандра Решение искалось в виде ряда по полиномам Лежандра В итоге были получены квазивполнерегулярные системы, которые были решены методом редукции

Научно-практическое значение. Результаты работы могут быть использованы в машиностроении для инженерных расчетов, поскольку представлены в виде обозримых простых формул

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на Международной молодежной научной конференции "XXXIII Гагаринские чтения" (Москва, 2007), на Ломоносовских чтениях в МГУ (Москва, 2007), на научно-исследовательском семинаре кафедры теории пластичности МГУ под руководством проф Е В Ломакина, на научно-исследовательском семинаре кафедры механики композитов МГУ под руководством проф Б Е Победря, на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости МГУ под руководством проф И А Кийко, на научно-исследовательском семинаре по механике сплошных сред им Л А Галина ИПМех РАН под руководством профессоров В М Александрова, В Н Кукуджанова, А В Манжирова

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в семи работах

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 129 наименований Нумерация формул в каждой главе автономная

Каждая формула начинается двумя числами первая из них указывает на номер пункта в главе, а вторая на номер формулы в этом пункте Работа изложена на 158 страницах машинописного текста без приложений и содержит 10 рисунков и 4 таблицы

2. Краткое содержание работы.

Во ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы диссертационной работы, дан обзор существующих подходов к решению задач механики контактных взаимодействий, сформулированы цели исследования

В ГЛАВЕ 1 рассматривается контактная задача о взаимодействии тел с покрытиями при учете нелинейного трения, износа и тепловыделения от трения при неидеальном тепловом контакте Представим схему контакта тел с покрытиями, как показано на рис 1

шппппп-

Рис 1 схема контактного взаимодействия

Предполагается, что в области контакта возникают силы трения т(£), связанные с давлением q{t) нелинейной зависимостью

т - А(д)

В качестве функции k(q) берется функция

k{q) = т,[1 - exp{-kq/n)},

где т„ - минимальное из касательных напряжений текучести материалов покрытий, к - коэффициент кулоновского трения пары материалов покрытий

До определения контактного давления (временно считая его заданным) определим контактные температуры Для этого рассматривается задача теплопроводности для тел с покрытиями при наличии источников тепла в области их контакта Процесс теплопроводности считаем квазистационарным

В области контакта формулируются условия неидеального теплового контакта

Х2Ц-Х iT{ = Q, Х2Ц + Х1Т{ = 2(Т1-Т2)/т{д) (1)

В качестве контактного термосопротивления r(q) принимается следующее выражение

r{q) = r„Tj(kq),

В результате для контактных температур Т* получаются выражения

Т: =Vk(q)h1[X2r(q) + 2h2]D-1, Т1 = Vk(q)h2[X1r(q) + 2h1}D-\ (2)

D = 2[AiA2r(g) + X2hx + Ax/i2] Для определения контактного давления предполагается, что функции h^t) заданы, тогда функция

ö(t) — hio + h20 - hi (t) - h2(i), (3)

определяющая процесс сближения оснований у = hi(t) и у = -h2(t) покрытий, также задана

Чтобы определить г>2(—Лг^) и ^(/н.й), т е вертикальные упругие перемещения границ у ~ и у = —покрытий,

воспользуемся, пренебрегая инерционными членами, уравнениями линейной несвязанной термоупругости Принимая во внимание, что напряженно-деформированное состояние покрытий зависит только от координаты у и времени £ (как параметра), получим

сРуг _ (Щ _ (йщ

, (4)

А-11*«*,

1 — г/4 1 - 2иг

где ауг - нормальные напряжения, б, и I/, - модули сдвига

и коэффициенты Пуассона материалов покрытий, - их коэффициенты линейного расширения

Решая данные уравнения и подставляя контактные температуры, получаем нелинейное интегральное уравнение Вольтерры

Ь + а _ ММя) + 2Ь] у,,,. (5)

72 ъ) 4[Аа + V»! + ХМ {9) (5)

+ &Л?[А2г(д) + 2/г2]

4[Л1Л2г(д) + Л2/11 + Ах

о

При рассмотрении случая малого времени износа уравнение (5) трансформируется после перехода к безразмерным величинам и безразмерным комплексам и последующего дифференцирования к дифференциальному уравнению

{а - ~ехр(_9)]" гт^ехр("9)}+

+е[1 - ехр(-д)] =

при начальном условии

(6)

д°а ~ 1 + д"^1 " ехР(—9о)] = ¿о, (7)

где 9о - начальное безразмерное контактное давление

О 16" О 14' 012 01

003 0,05

004 002

0 2ек£ 4е+03 бе-Юб 8е«06 ?5и07 I

Рис 2 график зависимости безразмерного контактного давления от времени для покрытий из латуни и дюралюминия

Приближенное решение уравнения (6) при условии (7) получено методом Рунге - Кутта с помощью компьютерной системы МАРЬЕ для покрытий из латуни и дюралюминия Рассмотрены предельные случаи, когда начальное давление мало и велико На рис 2 показан график зависимости безразмерного контактного давления от времени для покрытий из латуни и дюралюминия

В ГЛАВЕ 2 решается задача о взаимодействии тел с покрытиями при износе, тепловыделении и учете зависимости коэффициента трения от температуры Используя "принцип микроскопа" растягивается окрестность какой-либо точки внутри области контакта и схема контакта представляется, как показано на рис 1

Предполагается, что в области контакта возникают силы трения т(£), связанные с контактным давлением линейной зависимостью (закон Кулона)

г =

Для коэффициента трения к примем выражение

где кг - некоторые безразмерные постоянные (г = 1,2), Т* -контактные температуры, Д = (1 + ц)(1 - г/,)_1аг, - коэффициенты Пуассона материалов покрытий,аг - их коэффициенты линейного расширения

Износ будем считать абразивным

Для определения контактных температур используем условия неидеального теплового контакта (1) Ниже примем, что

где г* - экспериментально определяемая постоянная, 2(1 — иЛ _

7, = ——-—-Ог иг - модули сдвига материалов покрытий 1 - 2иг

И тогда будем считать заданными следующие условия теплообмена между покрытиями и подложкой

^ + тТ1 = о (у = лО, = о (у = -й2),

ду ду

где г]г - коэффициенты теплообмена Температуры покрытий в области контакта (у = 0) обозначим через Т*

Тогда из уравнений теплопроводности для покрытий получаем выражения для контактных температур Т*

Т1 = + щ)

4 \ , „ ^

т; = + ^ к^Б-1, (8)

В = МцЬ + + йг) - + ш +

, \Уг

а, = --—.

6 + УгК

Нужно потребовать, чтобы в любой момент времени Ь выполнялось условие

Г> > О,

Учитывая выражения (8), получим

к = Ь+0 ЬкцЬУд [2(^/01 + <1ф2)} /ГЧО ЫъЪУч

П

-1

Для определения контактного давления считаем, что функции Л,(£) заданы, тогда функция <5(£) также задана (3)

Используя уравнения линейной несвязанной термоупругости (4) и выражения для контактных температур (8), получим интегральное уравнение Вольтерры второго рода для определения контактного давления

Лз лл ^/г(д)к1Уд(^Н1 + ^2) ,

--1--<7----Н (У;

72 71У 2 V

+ + ((1 + 1г)у I_ ад

о

Рассмотрим случай относительно малого времени износа Пусть 8 (4) имеет порядок упругого перемещения Тогда интегральное уравнение (9) после перехода к безразмерным величинам и комплексам примет вид

Ча - + . + Л / (Ю)

1 + щ - /г )

о

4

+о 5/1 [ ^ ^ = ¿0 +

у 1 + яд - шд'' о

t

Рис 3 графики зависимости безразмерного контактного давления от времени для покрытий из латуни и дюралюминия

Заметим, что интегральное уравнение (10) эквивалентно дифференциальному уравнению

+Нк1Ч + О П9 + рд =

1 + sq —

Чоа ~ , , -27 = (12)

при начальном условии

go с + Qpd l + q0e- qlf

где go - начальное безразмерное контактное давление Приближенное решение уравнения (11) при условии (12) получено методом Рунге -Кутта с помощью компьютерной математической системы Maple для

покрытий из латуни (1) и дюралюминия (2) Положим ^ = £2 = О, к2 = 0,02,0

На рис 3 показана зависимость давления от времени (для безразмерных величин) длят-* = 1/2 Кривая I соответствует значению = 0,02, а кривая II - кг = 0

ГЛАВА 3 посвящена решению термоупругих контактных задач для цилиндрического и сферического подшипников скольжения

В рамках плоской (осесимметричной) термоупругой деформации рассмотрим подшипниковый узел (рис 4), включающий следующие детали 1) втулка с внутренним радиусом г-у и внешним - т^ (к = гг — п), 2) вал (шар) радиуса го (го = г г - Л), 3) опорная обойма с внутренним радиусом гг Вал (шар) вдавливается на величину <5 в поверхность втулки без перекоса погонной силой Р и вращается с угловой скоростью ш, постоянной во времени

На рис 4 пунктиром показано положение вала (шара) до его вдавливания

После произошедшей деформации угол контакта между валом (шаром) и втулкой -20о

Рис 4 схема подшипникового узла _

Для дальнейшего

рассмотрения вводится цилиндрическая (сферическая) система координат Температурный режим подшипника стационарен во времени При вращении вала (шара) в области контакта выделяется тепло, поток которого равен

пи;/#) (13)

где / - коэффициент трения между поверхностями вала (шара) и

втулки, д(в) - контактное давление

Вводятся следующие упрощающие предположения

• - при определении контактного давления будем считать, что

- 1) механические характеристики вала (шара) и обоймы значительно превосходят механические характеристики втулки так, что вал (шар) и обойму можно считать абсолютно жесткими,

- 2) радиусы го и т\ настолько близки и сила Р настолько велика, что угол контакта 29о близок к 7г,

- 3) полудлина дуги контакта а = г 1&о много больше толщины /г (а » К) так, что втулку можно считать относительно тонкой,

- 4) между поверхностями втулки и обоймы осуществлено полное сцепление,

- 5) силами трения в области контакта можно пренебречь,

- 6) вне области контакта внутренняя поверхность втулки свободна от усилий,

- 7) при определении напряженно-деформируемого состояния втулки можно использовать формулы линейной теории упругости,

• - при определении поля температур будем считать, что

- 1) можно ввести в рассмотрение постоянный коэффициента разделения общего теплового потока между валом (шаром) и втулкой от распределенного по области контакта теплового источника (13), тогда на поверхности вала

-в0

(шара)

дТ _ auirifq* дг к\ '

во

?*=■■ 1 я / 9(0) sin 1 - COS Vq J

-во

а на поверхности втулки в области контакта дТ (1 - a)ujrxfq{e)

(16)

дг кг

В формулах (14), (15) и (16) Т - температура, и -

соответственно коэффициенты теплопроводности вала (шара)

и втулки,

- 2) средняя температура вала (шара) в области контакта имеет вид

ашг\! д*

Т =-г-001, (17)

кг

где безразмерная постоянная - в случае вращения вала (шара) будет определена в 4 и 5 главах данной диссертации

- 3) на внутренней поверхности втулки вне области контакта и на внешней ее поверхности будем считать заданными условия теплообмена с окружающей средой по закону Ньютона

Их^ + ш Т = ъ, (18)

& ^ + ът = <р(е), (19)

В формулах (18) и (19) £г и (г = 1,2) - коэффициенты теплообмена, Ь - постоянная величина, зависящая от температуры воздуха в пространстве между втулкой и валом (шаром), <¿>(0) -заданная функция угла во

Требуется определить закон распределения контактного давления ц(6) по координате в, величину угла контакта во, связь между силой Р,

действующей на вал (шар), и степенью его внедрения <5 в поверхность втулки, моменты сил трения при вращении вала (шара) вокруг оси х (2'), закон распределения температуры Т(г, 9) и упругих перемещений во втулке, коэффициент распределения теплового потока а

При сделанных предположениях рассматриваемые задачи сводятся к совместному решению двух уравнений Ламе с температурными членами и уравнения теплопроводности

для цилиндрического подшипника для втулки - кольца г 1 < г < г2,

-7Г < в < 7Г

2(1 - и) /д2и 1ди _ 1 1 д2у

1-21/ \дг2+гдг г2) + г2дв2 + \-2vrdrdB 3 - Ау 1 ду _ 2(1 + у)(ЗдТ 1 -2ит2дв 1-21/ дт~ ' д2у 1 ду _ у_ 2(1 - и) 1 д2у 1 1 д2и дг2 + гдг г2 + 1-21/ г2дв2 + 1-2игдгдв+ 2,-Ау\ ди _ 2(1 + у)/31дТ + 1 - 2иг*дв ~ 1-21/ г~дв ~ ' д2Т 1 дТ 1 д2Т _ <Эг2 + г <9г + г2 Об2 ~ ' для сферического подшипника для втулки - шарового слоя г1 <

Г < Г2, 0 < в < 7Г

2(1 - у) (д2и 2 0и_2гЛ 1сРи вди 1-21/ \дг2 + г дг ~ 71) + г2 дв2 + ~гг дв+ 1 /1 д2ы сЬдвдиЛ _ 1-21/ \гШг + дг) ~ 3 - Ау / 1 дги сЬдв \ 2(1 + у)(ЗдТ 1 - 2г/ дв + ~ 1-21/ 0г '

2(1 - у) /1 д2ц) 1 \

9г2 + + 1 - 2у (^ТЮ2 дв г2вш2 вШ) +

1 /1 д2и 4(1 - у) ди\ _ + 1-2 у\гдвдг+ г2 дв)

2(1 + v)(31 дТ _ 1 - 2i> тдв д2Т 2дТ_ ctgвдТ

дг2 + г дг+ г2 д92 + г2 дв~ ' При построении вырожденного решения задач для цилиндрического и сферического подшипников вводятся в рассмотрение два безразмерных геометрических параметра

£ = —, X — — (а = п0о) г 1 а

и заметим, что Л и е одного порядка малости, хотя при во близком к 7г/2, как это было предположено выше, Л < е

В результате решения этих задач получаем все термомеханические характеристики

Для цилиндрического подшипника Примем для функции (р(в) выражение

tp(0) = (Д, + Di cos 0)r/27~\ (20)

где Do и Di - некоторые постоянные, аппроксимирующие экспериментальные данные Тогда

g(0) = Mo + Micos(0),

Mo = 2т72(-А + Dq)D~\ Mi = + 5 + Di)D~\ (21)

D = 2&hr)2 - 7/i(/i?j2 + 2£2)

Здесь важно проверить выполнение условия D > 0, которое можно назвать условием термосиловой устойчивости

Связь между перемещением вала <5 и углом контакта 29о определим из условия обращения контактных давлений в нуль при в = ±#о Из первой формулы (21) следует

М0 + Mi cos в0 - 0 (22)

Связь между вдавливающей силой Р и углом контакта 26о определим их условия равновесия вала На основании первой формулы (21) имеем

во

Р = п J q(e) cos 6de = (23)

-во

= 7-1 [2 Mo sm во + Ml {в0 + 1/2 sin 2в0)}

С помощью формул (22) и (23) приведем выражение (21) для контактного давления д(в) к виду

_ 2P(cos вр — cos в)

т ~ Г1(81П26о-20о) (24)

Для средней по в температуре на поверхности области контакта (■у = 1, |ж| < 1)получим

20,

1

во

i- J T(e)dd = pnq.,

q* = —

W IV \ во IP ( sin 00

COS во —

(25)

7-1 (бш. 200 - 2в0) \ р0

где qi' - среднее по 8 контактное давление, определяемое с помощью второй формулы (14) и формулы (24)

Считая теперь, что тепловой контакт между валом и втулкой идеальный, и приравнивая среднюю температуру вала (17) и среднюю температуру втулки (25) в области контакта, получим выражение для коэффициента разделения теплового потока

а=[1 + Гъьу1

)

Момент сил кулоновского трения т(в) = /д(0), действующих в области контакта, определим по формуле

во

М — /г\ I 9{в)йв = 2/г?0„д*

-во

График поведения безразмерного контактного давления ф = для в0 = 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80° представлен на рис 5

Рис 5 график зависимости безразмерного контактного давления от в

Для сферического подшипника скольжения Вновь примем для функции р(6) выражение (20) и далее опять получим выражение (21) Снова обратим внимание на то, что величина И в последней формуле (21) должна быть больше нуля

Связь между перемещением шара 5 и углом контакта во определим из условия д(0о) = 0 Опять придем к формуле (22) Связь между вдавливающей силой Р и углом контакта во определим из условия равновесия шара На основании первой формулы (21) имеем

во

■ = 2<кг\ J q(6)

sin в cos вйв —

(26)

2тгг?

^Mo sin2 во + ^Mi(l — cos3 90)

С помощью формул (22) и (26) приведем выражение (21) для контактного давления д(в) к виду

д(в) =

3P(cos6>0-cosfl)

7ГГ^(3 COS $0 - COS3 во " 2)

(27)

Для средней по в температуры на поверхности области контакта (:у= 1,0 <ar < 1)

во

Т* = i-^—о [т{в)втвй$ =

1 - COS во J

q* = -

k+m)q*+ + Dl(1 + C0S 6o)]

3 P

(28)

9 27ГГ?(1-СО3 0О)(2 + СО8 0О)' где д* - среднее по в контактное давление, определяемое с помощью второй формулы (15) и формулы (27)

Считая теперь, что тепловой контакт между шаром и втулкой идеальный, и приравнивая средние температуры шара (15) и втулки (28) в области контакта, получим выражение для коэффициента разделения теплового потока

а ■■

1 +

q*k2 эгЛ" h )

ч*

Момент сил кулоновского трения т(в) = ¡й{в), действующих в области контакта, при вращении шара вокруг оси г', можно определить по формуле

2тг в0

Мг> = frl ! <Ьр ! д(0) \]вт2 0 сов2 (р + СОЭ2 в БШ вйв

О о

График поведения безразмерного контактного давления = —-р-^-для в0 = 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80° представлен на рис 6

О 2

Рис 6 график зависимости безразмерного контактного давления от

В ГЛАВЕ 4 решается задача о нахождении коэффициента пропорциональности аеь входящего в выражение (17) для средней температуры вала цилиндрического подшипника

Для этого решается следующая смешанная краевая задача

^ 2тг

относительно функции Т* — — / Тйв

27Г о

д2Т 1дТ* д2Т* п • +--тг-+-тг-й-= 0

8Т* дг

дг2 г дг дг2 + Г)Т* = 0 (|г| > а, г = п)

дТ* ашгх} [ <яип1 . .

-во

(И < а, г = п) в результате приходим к следующему интегральному уравнению 1

СЖ = Л (N<1) (29)

-1

00

£ймси(«)*' = (30)

о

Представим ядро (30) в форме двойного ряда по полиномам Лежандра В указанном разложении, учитывая четность по г функции </>(г), можно оставить только полиномы с четными индексами

оо оо

= (31)

г=0 ^=0

Используя ортогональность многочленов Лежандра находим Сщп

оо

г1тХ(Атп + 1)(4п + 1) [ /х70{и)

_ +пттХ(Атп + 1)(4п + 1) [

^ [ ' 8 У «/!(«)+ м/0(«)'

о

х^2т+1/2 (д) Лп+1/2 (д)

О

'и\ ¿и и

Будем искать теперь решение интегрального уравнения (29) с ядром в форме (31) в виде ряда по полиномам Лежандра

¥>(2) = ^атР2т(г) (32)

т=О

Подставляя (31) и (32) в уравнение (29) и используя ортогональность полиномов Лежандра придем относительно неизвестных коэффициентов ат к бесконечной алгебраической системе второго рода

2 00

ат ~ ^д X) 4г + 1°' = "Р^т0 (то = 0,1> ) 1=0

Данная система редуцировалась до пяти уравнений В результате найдено выражение для коэффициента пропорциональности ге\

«1 = -1) ТТТ\Т\

В ГЛАВЕ 5 рассматривается задача о нахождении коэффициента пропорциональности аеь входящего в выражение (17) для средней температуры шара сферического подшипника

Для этого решается смешанная задача относительно функции Т =

1 2тг

жГ*

д2Т 2дТ_ дТ

дТ _ ашгфд* дг к\

(К п у, 7Г \

(2 -во<е<- + е0, г = п]

7Г „ ч

ЯТ 0 <в<--&0

\ 2 + 00 < в < 7Г, Г = п у

в результате придем к следующему интегральному уравнению

1

ф)-а1<р{$К&х№ = П (33)

-1

Представим ядро (34) в форме двойного ряда по многочленам Лежандра В указанном разложении, учитывая четность пох функции <р{х), можно оставить только многочлены с четными индексами

(кстати по этой же причине в выражении (34) нужно оставить члены только с четными номерами к) Итак имеем

оо оо

tf(É.s) = EE^OWÉW*) (35)

г=0 j=0

Окончательно коэффициенты c^(/i) запишутся в виде

с1,(/х) = (-1)г+Ч4г + 1)(4; + 1)х

~ _pt(4fc + l)a4fc_

Х ¿ó 2(2к + ц){1 + 2к + 2t)(l + 2/с + 2j) *

где — многочлены Якоби

Решение интегрального уравнения (33) с ядром в форме (35) ищется в виде ряда по полиномам Лежандра

оо т-0

Подставляя (35) и (36) в уравнение (33) и используя ортогональность полиномов Лежандра придем относительно неизвестных коэффициентов ат к бесконечной алгебраической системе второго рода

ОО

ат - 2aVV т = DSm0 (то = 0,1, . ) '—i 4г +1 !=0

Система редуцировалась до шести уравнений В итоге получено выражение для коэффициента пропорциональности asi

aei = — (оо - 1) ПТ}

3. Основные результаты и выводы.

1. В контактных задачах с учетом трения, износа и тепловыделения от трения для тел с тонкими покрытиями была максимально

упрощена схема контакта с целью возможно большего учета явлений, протекающих в области контакта В этих задачах развивается приближенный подход, основанный на "принципе микроскопа" Предложена формула для описания нелинейного трения С использованием этой формулы рассмотрено явление износа покрытий при тепловыделении от трения в условиях неидеального теплового контакта Предложена формула, описывающая зависимость контактного термосопротивления от давления Определен ресурс трибосопряжения, найдены условие термосиловой устойчивости процесса износа покрытий и условие отсутствия катастрофического износа Предложено линейное выражение для зависимости коэффициента трения от контактных температур покрытий С использованием всего этого рассмотрено явление изнашивания покрытий при тепловыделении от трения в условиях неидеального теплового контакта Определены связь контактных температур с контактным давлением, ресурс трибосопряжения, зависимости контактного давления и контактных температур от времени износа

2. Изучаются термоупругие контактные задачи для цилиндрического и сферического подшипников скольжения, и предполагается, что подшипники нагреваются вследствие генерации тепла в области контакта от сил трения, хотя сами силы трения не учитываются при определении контактных давлений Вводятся безразмерные геометрические параметры е, Л и строятся вырожденные (в асимптотическом смысле) решения Это дает возможность представить окончательные результаты в виде простых формул, пригодных для инженерного использования

3 При изучении термоупругих контакных задач для цилиндрического и сферического подшипников скольжения был предложен новый подход по определению коэффициентов пропорциональности aaj в формулах для средней температуры вала (шара) цилиндрического и сферического подшипников

4. Основные публикации по теме работы.

1 Александров В М , Губарева Е А Учет нелинейного трения, износа и тепловыделения от трения при неидеальном тепловом контакте в задаче о взаимодействии тел с покрытиями Трение и износ, т 25, № 5, 2004, С 455-460

2 Александров В М , Губарева Е А Решение термоупругих контактных задач для цилиндрического и сферического подшипников скольжения Трение и износ, т 26, №4, 2005, С 347-357

3 Александров В М , Губарева Е А Задача о взаимодействии тел с покрытиями при износе тепловыделении и учете зависимости коэффициента трения от температуры Экологический вестник научных центров ЧЭС, № 2, 2006, С 10-15

4 Александров В М , Губарева Е А О расчете контактных температур, возникающих при вращении вала в подшипнике Трение и износ, т28, № 1, 2007, С 39-43

5 Александров В М , Губарева Е А О расчете контактных температур, возникающих при вращении шара в сферическом подшипнике Трение и износ 2007 (принята к публикации)

6 Международная молодежная научная конференция "XXXIII Гагаринские чтения "(секция №3), 2007, тезисы докладов, С 16-17

7 Конференция "Ломоносовские чтения-2007", тезисы докладов

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж (¿¡0 экз. Заказ №,£?

Введение

ГЛАВА 1. Учет нелинейного трения, износа и тепловыделения от трения при неидеальном тепловом контакте в задаче о взаимодействии тел с покрытиями.

§1.1 Постановка задачи о контактном взаимодействии двух тел с тонкими мягкими покрытиями.

§1.2 Определение контактных температур.

§1.3 Определение ресурса трибосопряжения.

§1.4 Интегральное уравнение для определения контактного давления.

§1.5 Случай относительно малого времени износа.

§1.6 Решение для частных случаев.

§1.7 Численное решение.

ГЛАВА 2. Задача о взаимодействии тел с покрытиями при износе, тепловыделении и учете зависимости коэффициента трения от температуры.

§2.1 Постановка задачи о контактном взаимодействии двух тел с тонкими мягкими покрытиями.

§2.2 Определение контактных температур.

§2.3 Определение ресурса трибосопряжения.

§2.4 Интегральное уравнение для определения контактного давления.

§2.5 Случай относительно малого времени износа.

§2.6 Численное решение.

ГЛАВА 3. Термоупругие контактные задачи для цилиндрического и сферического подшипников скольжения.

§3.1 Физико-механическая постановка задачи для цилиндрического подшипника скольжения.

§3.2 Математическая постановка задачи для цилиндрического подшипника.

§3.3 Построение вырожденного решения задачи для цилиндрического подшипника.

§3.4 Схема термомеханического расчета цилиндрического подшипника.

§3.5 Физико-механическая постановка задачи для сферического подшипника скольжения.

§3.6 Математическая постановка задачи для сферического подшипника.

§3.7 Построение вырожденного решения задачи для сферического подшипника.

§3.8 Схема термомеханического расчета сферического подшипника.

ГЛАВА 4. О расчете контактных температур, возникающих при вращении вала в подшипнике.

§4.1 Постановка температурной задачи.

§4.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.

§4.3 Изложение метода решения и результатов.

ГЛАВА 5. О расчете контактных температур, возникающих при вращении шара в сферическом подшипнике.

§5.1 Постановка температурной задачи.

§5.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.

§5.3 Изложение метода решения и результатов.

Механика контактных взаимодействий деформируемых тел является в наше время активно развивающейся областью. Проблемы контактных взаимодействий являются центральными в механике твердых тел, поскольку контакт - это один из принципиально главных способов работы элементов механизмов машин, в результате которого величина контактных давлений играет роль важного фактора, существенно влияющего на прочность и долговечность конструкций. Только решая контактные задачи мы можем дать, отвечающую действительности, картину распределения напряжений и деформаций, которые возникают вследствие контактных взаимодействий. Обзор работ по основным достижениям в области механики контактных взаимодействий можно найти в фундаментальных монографиях И. Я. Штаермана [124], Л. А. Галина [41], И. И. Воровича, В. М. Александрова, В. А. Бабешко [35], К. Джонсона [59], а также в обзорных монографиях [126,127].

Динамические контактные задачи не рассматриваются в данной диссертации, но с ними можно познакомиться по монографии [126] и монографиям [36, 46].

Целью данной диссертации является рассмотрение и анализ решений контактных задач с учетом трения, износа и тепловыделения от трения для тел с покрытиями, а также решение термоупругих контактных задач для цилиндрического и сферического подшипников скольжения и расчет контактных температур, возникающих при вращении вала (шара) в этих подшипниках.

Ниже дан обзор работ, непосредственно примыкающих к теме данной диссертации.

I. Износ - процесс удаления материала с поверхности трения из - за разрушения данной поверхности. Проявлением износа является изменение формы и размеров контактирующих тел. При учитывании процесса износа в математической постановке возможно ответить на основные вопросы возникающие при расчете, такие как распределение контактных давлений в области контакта, взаимное положение контактирующих тел и другие. Впервые задачу о контактном взаимодействии с учетом износа поставил и решил М. В. Коровчинский [91]. В этой работе он предложил метод решения износоконтактных задач. Суть метода заключается в применении к основному уравнению задачи интегрального преобразования Лапласа по времени.

В своих работах В. М. Александров [3, 4] рассмотрел два упругих тела, взаимодействующих и движущихся друг относительно друга, с локальным оплавлением одного из них. Были изучены как плоская, так и осесимметричная постановки задачи. Для решения были использованы метод преобразований Лапласа и метод асимптотических разложений.

При математической постановке контактных задач с учетом износа играет важную роль величина линейного износа а;. Эта величина оценивает изменение формы взаимодействующих тел в направлении, перпендикулярном к поверхности трения. Функция ш зависит от времени и координат поверхности, поскольку изнашивание поверхности происходит неравномерно. Закон изнашивания представляет собой зависимость скорости изнашивания от контактного давления, скорости скольжения, температуры и др. Для многих видов изнашивания имеет место степенная зависимость скорости изнашивания от давления и скорости скольжения, которую предлагают И. В. Крагельский, М. Н. Добычин, В. С. Комбалов [93]. Наиболее простые постановки контактных задач при учете износа возникают при использовании линейного закона износа. Поскольку их решения сводятся к решению задачи Коши. Так, например, М. А. Галахов и П. П. Усов [38] предлагагают использовать наиболее распостраненный метод - метод характеристик. Различные методы решения можно найти в работах следующих авторов: В. М. Александров, В. М. Александров и Е. В. Коваленко Л. А. Галин, И. Г. Горячева, И. Г. Горячева и М. Н. Добычин, М. В. Коровчинский [2, 20, 23, 40, 41, 50, 91, 129].

Одним из наиболее распространенных методов является использование спектральных свойств интегральных операторов соответствующих контактных задач. В работах В. М. Александрова, Л. А. Галина, Н. П. Пириева [13] и В: М. Александрова, Е. В. Коваленко [20] рассматривается контакт цилиндрического штампа, совершающего возвратно-поступательные движения вдоль своей образующей, с упругим слоем большой толщины. В данной задаче показано, что оператор, соответствующий плоской контактной задаче, является самосопряженным, вполне непрерывным и положительно определенным. Выражения для контактных давлений представлены в виде равномерно сходящихся рядов.

Рассмотрению осесимметричных износоконтактных задач посвящены работы В. М. Александрова и Е. В. Коваленко, Л. А. Галина и И. Г. Горячевой, И. Г. Горячевой [19, 42, 43, 48]. Здесь исследуются различные постановки задач для кольцевого штампа, вращающегося на границе упругого полупространства. В итоге показано, что решение можно представить в виде разложения по ортонормированной системе собственных функций самосопряженного, вполне непрерывного и положительного интегрального оператора.

Рассмотрим еще одну модель изнашивания жестких тел, предложенную А. С. Прониковым [103, 104, 105]. Она заключается в том, что при достаточно развитом износе автор пренебрегает упругими перемещениями в условии контакта, т.е. условие контакта связывает лишь износ с геометрическими параметрами задачи. Использовав такое приближение, В. В. Шульц [125] расчитал форму изношенных поверхностей и получил ряд зависимостей для описания процесса износа.

Одним из направлений исследований характера изнашивания контактирующих тел является дискретный контакт, который представлен в работах И. Г. Горячевой, И. Г. Горячевой и М. Н. Добычина [47, 50], имеющий место при трении неоднородных тел.

При решении нелинейных износоконтактных задач используются численные методы, основанные как на классических, так и на специфических процедурах [73]. Одним из наиболее часто используемых является пошаговый метод. Данный метод использовался при решении контактных задач на износ во многих работах, например, авторов: И. Г. Горячева и И. А. Солдатенков, А. А. Евтушенко и Е. В. Коваленко, И. А. Солдатенков [51, 61, 84, 108].

В работе И. А. Солдатенкова [118] при рассмотрении контактной задачи для композиции полоса-полуплоскость при наличии изнашивания с изменяющейся областью контакта, решение строилось при помощи метода последовательных приближенний. С использованием этого метода было определено контактное давление и скорость роста области контакта.

Существует класс нелинейных износоконтактных задач, решение которых может быть представлено в квадратурах. Данные задачи связаны с рассмотрением изнашивания поверхности движущимся по ней контртелом. Так, например, в работах И. А. Солдатенкова [116, 117] предполагается, что распределение контактного давления постоянно во времени. Контактное давление находится из линейного условия контакта.

Одним из подходов для решения задач при наличии трения и сцепления в зоне контакта является вариационный подход. Основой данного метода является изучение соприкосновения системы деформируемых тел как системы с односторонними связями. В работе А. С. Кравчука [95] рассматривается задача о нахождении напряженно-деформируемого состояния линейно упругого тела, занимающего область с границей. Причем граница состоит из трех частей. На одной из них граничные условия заданы в перемещениях, на другой в усилиях, а точки третьей части границы могут входить в соприкосновение со штампом. Для перехода к вариационной постановке задачи используется принцип возможных скоростей. В итоге получено квазивариационное неравенство. Для решения данного неравенства предлагается итерационный метод. Доказательство того, что последовательность приближенных решений, определяемая итерационным процессом, сходящаяся и её предел - решение вариационного неравенства представлено в [94]. Обратный переход от квазивариационного неравенства к локальной постановке выполнен в работе [94].

Одной из постановок задач с учетом износа является расчет изнашивания поверхности при наличии поверхностного слоя - тонкого мягкого покрытия. В большинстве случаев механические характеристики таких слоев описываются моделью Винклера. Для данной модели характерна пропорциональность упругого перемещения некоторой степени контактного давления. Этот подход использовали в своих работах В. М. Александров, В. М. Александров и Е. В. Коваленко, М. А. Галахов и П. П. Усов, И. Г. Горячева и И. А. Солдатенков, Е. В. Коваленко и М. И. Теплый, И. А. Солдатенков [2, 21, 23, 39, 51, 85, 86, 112].

Если слой представляет собой тонкое покрытие постоянной толщины, то его осадка пропорциональна произведению контактного давления и начальной толщины слоя [27]. Это выражение для изнашиваемого покрытия можно использовать лишь на начальной стадии процесса износа, когда изменением его толщины можно пренебречь. Для сильно изношенного покрытия используют модифицированное выражение для осадки. В нем заменяют начальную толщину слоя на разницу между начальной толщиной покрытия и величиной линейного износа. Обоснование данного выражения представлено в [115].

На практике задачу о передаче нагрузки на тела через покрытия решают исследуя деформацию плит или пластин, лежащих на линейно-деформируемом основании (см. работу Б. А. Пелех, А. В. Максимчук, М. М. Коровайчук [99]). Поскольку адекватно описать реальные явления с помощью классического аппарата невозможно, то возникла проблема уточнения существующих теорий и создание новых. На сегодняшний день теории по исследованию контактных задач для тел с покрытиями можно подразделить на три направления.

Первое направление - направление, которое представляет собой прикладные теории, опирающиеся на упрощающие предположения.

Второе направление - теория пластин, которая основывается на аппроксимации решений основных теорий упругости. В частности аппроксимируется вектор перемещений суммой произведений компонент вектора перемещения и системой полиномов Лежандра. Для большинства задач данный метод приводит к громоздким формулам (см. Б. А. Пелех, А. В. Максимчук, И. М. Коровайчук [99]).

И последнее направление, на сегодняшний день, являющееся основным - теории, построенные путем интегрирования основных уравнений теории упругости. Основой этого метода является то, что основные уравнения выводятся при помощи асимптотического подхода.

При использовании данного подхода к точному решению первой основной задачи теории упругости для слоя Е. В. Коваленко в своих работах [79, 80, 83] получил уточненные уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние упругих покрытий, которые одновременно учитывают как их продольные и поперечные деформации растяжения и сдвига, так и деформации поперечного изгиба и сжатия.

При решении контактной задачи о качении упругого цилиндра по вязкоупругому слою, сцепленному с упругим основанием в работе И. Г. Горячевой, А. П. Горячева, Ф. Садеш [49] были использованы аналитические методы. При описании механических свойств использовалась модель Максвелла.

Решение осесимметричных контактных задач для неоднородно-стареющих вязкоупругих слоистых оснований приведено в работе А. В. Манжирова [97]. Для их решения был использован метод разделения переменных, который позволил построить разложения для основных характеристик контактного взаимодействия при произвольно меняющейся силе, действующей на штамп.

В работе В. М. Александрова и Е. В. Коваленко [22] при рассмотрении плоской задачи о взаимодействии линейнодеформируемого основания общего типа, армированного по границе покрытием, с бесконечным цилиндрическим штампом, движущимся вдоль своей образующей, член, зависящий от износа, был представлен, как произведение коэффициента износа, некоторой степени средней скорости износа и некоторой степени контактного давления. При решении использовался алгоритм разделения переменных. Для построения главного члена асимптотики решения уравнения применялся метод сращиваемых асимптотических разложений. Было получено интегральное уравнение относительно погранслоя. Точное решение этого уравнения представлено в [24, 78].

В. М. Александровым и Ю. Н. Пошовкиным в [28] была решена плоская контактная задача о вдавливании без трения полосового в плане штампа в поверхность линейно-деформируемого основания, армированную тонким упругим покрытием переменной толщины. Задача была сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Для его решения использовался метод сплайн-функций в сочетании с методом многочленов. Простанственная задача была решена Н. В. Генераловой и Е. В. Коваленко [45], но при использовании проекционного метода Бубнова-Галеркина.

Ряд интересных подходов к решению смешанных задач для тел с покрытиями содержится в монографии В. Л. Рвачева и В. С. Проценко [107]. Главное внимание обращено на влияние геометрических факторов на характер распределения напряжений в контактирующих телах. Был разработан новый метод решения контактных задач - метод ^-функций, позволяющий находить приближенные решения для тел конечных размеров с практически произвольной геометрией.

Одной из фундаментальных работ является монография Г. Я. Попова [102]. Данная монография посвящена статическим проблемам определения упругих напряжений возле концентраторов специального вида. Разработан единый подход, который заключается в сведении рассматриваемых задач с помощью метода матриц влияния и обобщенного метода интегральных преобразований к интегральным уравнениям, и решении последних методом ортогональных многочленов.

При рассмотрении контактных задач на износ очень важно учитывать такой фактор, как тепловыделение от трения. Основоположником такого рода контактных задач также является М. В. Коровчинский, который сформулировал и поставил нелинейную контактную задачу термоупругости с учётом тепловыделения от трения, а также привел данную задачу к интегро-дифференциальным или интегральным уравнениям. В работах [88]-[92] он точно поставил и исследовал решение частных случаев при больших и малых числах Пекле. Эти результаты в последствии были использованы и учтены в работе Д. В. Грилицкого и Я. М. Кизымы и обзорных монографиях [54, 127, 128].

В работе И. К. Лифанова и А. В. Саакяна [96] был рассмотрен идеальный тепловой контакт при вдавливании равномерно движущегося штампа в упругую полуплоскость. Сила трения была связана с контактным давлением законом Амонтона-Кулона. Задача была сведена к системе сингулярных интегральных уравнений относительно контактного давления и теплового потока. При решении использовался численный метод.

Случай неидеального теплового контакта для данной задачи был рассмотрен в работах Д. В. Грилицкого и В. П. Барана, Я. С. Подстригая и Ю. М. Коляно [53, 101]. Обобщенная постановка этой задачи, включающая в себя наличие тонкого слоя между контактирующими телами, с отличительными от них теплофизическими свойствами была рассмотрена А. А. Евтушенко, О. М. Уханской [69].

В работе И. И. Воровича, Д. А. Пожарского, М. И. Чебакова [37], был рассмотрен слой относительно большой величины, жестко защемленный по основанию. Данная задача является обобщением задачи И. К. Лифанова и А. В. Саакяна [96]. Здесь они предположили линейную зависимость коэффициента трения от температуры в области контакта. В результате решения этой задачи было получено объяснение лавинообразному износу всевозможных деталей механизмов машин, таких как поршневые кольца, причиной износа которых является перегрев.

В работе Д. В. Грилицкого, В. И. Паука [57] была рассмотрена плоская стационарная контактная задача термоупругости при наличии тепловыделения от трения, возникающего при движении бесконечного цилиндрического штампа по поверхности упругого полупространства вдоль своей образующей. Задача свелась к системе интегральных уравнений относительно температуры и тепловых потоков. Решение было получено численно.

В работе М. Б. Генералова, В. А. Кудрявцева, В. 3. Партона [44] была рассмотрена осесимметричная контактная задача термоупругости для двух полу бесконечных тел, одно из которых вращается вокруг оси симметрии с постоянной угловой скоростью. В итоге из разрешающей системы парных интегральных уравнений удалось определить напряженное состояние контактирующих элементов и температурное поле. Д. В. Грилицкий, Р. Д. Кульчицкий-Жигайло в [55] рассмотрели предыдущую задачу при условии, что теплообмен происходит по закону Ньютона, а тепловой контакт - неидеальный. Результатом решения задачи в такой постановке стало явление скачка температуры в области контакта, который уменьшается с ростом коэффициента контактной термопроводимости, если контактирующие тела изготовлены из материалов с различными физико-механическими свойствами. А также при неограниченном увеличении действующей силы установлено существование предельной величины радиуса зоны контакта, которая определяется угловой скоростью.

Динамика вышеназванного явления была рассмотрена в работе А. А. Евтушенко и В. Д. Кульчицкого - Жигайло [65].

Во многих работах при постановке смешанных задач с неидеальным тепловым контактом термосопротивление считалось постоянной величиной, хотя это не всегда так (см. Ю. П. Шлыков, Е. А. Ганин, С. Н. Царевский [123]). Данный недочет был исправлен в работе А. А. Евтушенко, Е. В. Коваленко [63]. При рассмотрении задачи о взаимодействии двух полубесконечных нагретых тел, они предположили обратную пропорциональность термосопротивления контактному давлению в области контакта. Другую зависимость при решении осесимметричной задачи термоупругости рассмотрели А. А. Евтушенко, Е. В. Коваленко, Р. Д. Кульчицкий-Жигайло [64].Они предположили зависимость коэффициентов теплопроводности и линейного расширения от температуры. Было построено приближенное решение и рассмотрен частный случай при постоянных теплофизических свойствах материалов, который совпал с известными результатами.

В работе А. А. Евтушенко и В. И. Паука [66] изучается плоская нестационарная задача о взаимодействии деформируемого полупространства и упругого бесконечного цилиндрического штампа при наличии тепловыделения за счет трения. Задача была сведена к системе интегральных уравнений относительно контактного давления и тепловых потоков. Для решения данной системы был разработан численный алгоритм.

В работе А. А. Евтушенко и О. М. Уханской [62] исследуется перераспределение контактного давления от действия тепловой энергии, образующейся при скольжении двух упругих изотропных тел. Пластическая прочность представляется как результат сложения силовой и температурной составляющих тензора напряжений. Разработана методика контроля пластических деформаций, связанных с износом тормозов.

Разбиение смешанной задачи термоупругости с учетом тепловыделения от трения на смешанные задачи теплопроводности и износоконтактные задачи удалось в работе В. М. Александрова, Е. В. Коваленко [26] и В. М. Александрова [1] при рассмотрении плоской и осесимметричной задачи теории упругости для шероховатого слоя большой толщины. Авторами был введен коэффициент разделения потоков тепла. Обобщенная постановка задачи [26] была рассмотрена в работе Д. В. Грилицкого и В. И. Паука [56]. Здесь рассматривалась зависимость коэффициента трения от давления, температуры, скорости скольжения при неидеальном тепловом контакте и степенном законе износа. Решение строилось методом последовательных приближений.

В работе А. А. Евтушенко, Ю. А. Пырьева [67] построено решение одномерной задачи фрикционного контакта с учетом разогрева от действия сил трения при наличии износа. Для данной модели определены условия возникновения термосиловой неустойчивости. Здесь были получены как частные случаи результаты работ В. М. Александрова и Г. К. Аннакуловой [8, 10]

2. В наше время актуальна проблема износа подшипников скольжения, которые находят применение во многочисленных областях машиностроения. Теоретической основой для расчета на прочность элементов соединений и деталей механизмов является решение контактных задач. Первую попытку решения контактной задачи для тел ограниченных цилиндрическими поверхностями предпринял Герц. Но его решение не приемлемо для подшипников скольжения, поскольку важное значение для практики имеют решения задач для случаев, когда область контакта соизмерима с радиусами кривизны поверхности контактирующих тел, что противоречит предположению Герца о малости области контакта.

Решение Герца было обобщено И. Я. Штаерманом [124] при рассмотрении задачи о внутреннем контакте упругих тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями близких радиусов, без учета трения.

Основные результаты в исследовании и решении контактных задач для областей с круговыми границами были получены в 60-е годы. В этом направлении работали Д. В. Грилицкий, А. И. Каландия, В. В. Панасюк, М. П. Шереметьев [71, 72, 98].

В монографии М. И. Теплого [119] изложены общие приемы решения контактных задач для тел с круговыми областями. Здесь впервые даны решения задач о распределении напряжений в подвижных и неподвижных сопряжениях цилиндрических тел при действии на поверхности контакта кулоновских сил трения, а также дано приложение методов теории упругости при исследовании напряженно-деформируемого состояния подшипниковых узлов.

В большинстве случаев при рассмотрении износоконтактной задачи для подшипников используют модель, в которой происходит изнашивание недефор-мируемым валом тонкого винклеровского кольца, зажатого в жесткую обойму (см. работы В. М. Александрова и Е. В. Коваленко, М. А. Галахова и П. П. Усова, Е. В. Коваленко, И. А. Солдатенков [21, 25, 39, 82, 108, 109]). Такая модель была рассмотрена Е. В. Коваленко в работе [81]. Задача была сведена к безразмерной системе уравнений и построено асимптотическое решение. Отталкиваясь от этой работы И. А. Солдатенков доказал [108, 109], что контактное давление с достаточной точностью, необходимой для инженерной практики, можно аппроксимировать более простым выражением. Полученные выражения остаются верными даже при учете изменения толщины покрытия по длине области контакта в процессе его изнашивания [110].

В продолжении этого факта, Ю. Н. Дроздов и Е. В. Коваленко [60] развили метод расчета радиальных подшипников скольжения. Основой метода является асимптотический подход к решению износоконтактной задачи, при помощи которого находятся значения комплексов Фг-, а также производится построение безразмерных функций, и применение формулы для определения ресурса исследуемого узла трения. Срок эксплуатации большинства узлов трения увеличивается, если установить в них двухслойные противовибрационные подшипники. В работе И. Н. Черского, О. Б. Богатина, Л. Г. Сокольникова [122] рассматривается процесс износа втулки такого же подшипника. Уравнение задачи удается представить в том же виде, что и для однородного покрытия. Аналогичный результат был получен И.А. Солдатенковым [114] для покрытия с переменными по глубине упругими и износостойкими свойствами.

В работе П. Г. Иваночкина и Е. В. Коваленко [70] рассматривалась нелинейная износоконтактная задача для радиального подшипника скольжения. Износ подшипника скольжения моделировался при помощи решения контактной задачи об изнашивании недеформируемым валом тонкого двухслойного винклеровского кольца в случае его посадки с преднатягом в жесткую обойму. Контактное давление представлено как асимптотическое разложение, представляющее сумму вырожденного и погранслойного решения. Далее для полученной системы уравнений был использован метод Вишика-Люстерника, обобщенный на случай нелинейных уравнений. Исходные уравнения с нелинейным законом изнашивания удалось линеаризовать, произведя замену контактного давления его средним значением.

В работе В. М. Александрова, А. А. Шматковой [31] дано решение задачи о равновесии упругого круглого диска и упругой плоскости с круговым отверстием. Затем, на основании решения данных задач, осуществлена постановка контактной задачи для подшипника скольжения. Для решения полученного интегрального уравнения первого рода относительно контактного давления применяется специально развитый вариант метода Мультоппа - Каландия. В продолжении работы [31] те же авторы рассматривают задачи о равновесии упругого круглого диска и упругой плоскости с круговым отверстием, когда их поверхности имеют тонкие усиливающие покрытия [32]. Для приближенного решения интегрального уравнения относительно контактного давления использован ранее развитый метод Мультоппа - Каландия. Ранее в работе В. М. Александрова и С. М. Мхитаряна [27] была рассмотрена аналогичная задача, но при её решении использовался метод, основанный на интегральном соотношении для многочленов Чебышева первого рода.

Построение простых асимптотически точных расчетных формул для относительно тонкого цилиндрического слоя посвящена работа В. М. Александрова и М. И. Чебакова [30], в которой была рассмотрена плоская контактная задача теории упругости о взаимодействии абсолютно жесткого цилиндра с внутренней поверхностью тонкого цилиндрического слоя, внешняя поверхность которого закреплена.

В своей работе В. А. Карпенко [75] при рассмотрении задачи о вдавливании абсолютно жесткого осесимметричного сферического штампа свел задачу к решению интегрального уравнения. Решение же данного уравнения было построено с помощью асимптотического метода, разработанного В. М. Александровым. Задача была решена как для штампов с угловыми точками, так и для штампов, не имеющих угловых точек. Было также показано,что при больших областях контакта использование решения Герца, для данной задачи, приводит к существенным ошибкам.

В работе В. М. Александрова и Б. Л. Ромалиса [29] рассматриваются контактные задачи для упругих тел сложной геометрии. В частности, рассмотрена задача о взаимодействии упругого цилиндра с упругим бандажем. Задача была сведена к интегральному уравнению относительно контактного давления. Для нахождения решения данного уравнения были использованы асимптотические методы "болыпихпи "малых"А.

Одним из наиболее распространенных методов является использование спектральных свойств интегральных операторов. Так И. А. Солдатенков рассмотрел задачу об изнашивании упругого разрезанного кольца, вложенного в цилиндр [ИЗ]. Решение данной задачи было использовано для анализа закономерностей изнашивания поршневых колец.

И. А. Солдатенков в своей работе [111] рассмотрел задачу о расчете изнашивания покрытия в подшипнике скольжения при случайном нагружении. Методика расчета была основана на стохастическом взаимодействии, т.е. когда набор ш параметров взаимодействия является случайным с функцией плотности вероятности р.

В работе В. И. Колесникова и П. Г. Иваночкина [87] представлен расчетно-экспериментальный метод оценки долговечности двухслойного вкладыша радиального подшипника скольжения. В качестве модели подшипникового узла использовали тонкое упругое двухслойное кольцо, запресованное с натягом в недеформируемую обойму. Порядок расчета по данной методике следующий. Сначала определяют начальный угол контакта, далее находят предельный угол контакта, полагая, что предельный износ равен толщине антифрикционного слоя. И заключающий этап - определение предельной долговечности. Показано, что предварительный натяг существенно влияет на распределение контактных давлений, способствуя снижению максимального давления и увеличению зоны контакта. Увеличение жесткости подложки или уменьшение толщины антифрикционного слоя приводят к снижению максимального контактного давления и уменьшению зоны контакта. Приведенный анализ позволяет ставить вопрос о подборе оптимальных, с точки зрения нагрузочной способности и износа, вкладышей подшипника скольжения.

В работе Е. В. Коваленко и А. А. Евтушенко [84] было построено решение контактной задачи термоупругости об износе тонкого вкладыша подшипника скольжения с учетом тепловыделения от трения. Авторы предположили, что коэффициент трения скольжения является линейной функцией температуры, а в процессе работы фрикционного узла область контакта вала и втулки описывается монотонно возрастающей функцией. Была исследована эволюция во времени размеров области контакта и величины контактного давления.

В работе [61] был изучен в условиях предыдущей задачи случай износа оплавлением полимерного вкладыша рассматриваемого трибосопряжения. Найдена зависимость критической скорости вращения вала, при которой начинается процесс оплавления. С использованием по времени пошагового метода решения, получены формулы для основных эксплутационных характеристик подшипника.

Те же авторы в своей работе [62] рассмотрели задачу о взаимодействии фрикционного теплообразования и износа на нестационарном контакте скольжения. В предположении квадратичного изменения нормальных перемещений по радиальной координате было получено решение осесимметричной контактной задачи для полупространства при учете нестационарного тепловыделения от трения и износа. Были построены асимптотические решения при малых и больших значениях времени. Предложенные математические методы позволили изучить влияние на размеры области контакта двух противоположных по характеру процессов - фрикционного теплообразования и износа.

3. В первой главе данной диссертации рассматривается задача о взаимодействии тел с покрытиями при неидеальном тепловом контакте при износе, тепловыделении. В §1 в качестве коэффициента трения предложена нелинейная функция. С использованием этой формулы рассмотрено явление износа покрытий при тепловыделении от трения в условиях неидеального теплового контакта. Предложена формула, описывающая зависимость контактного термосопротивления от давления. Определен ресурс трибосопряжения, найдены условие термосиловой устойчивости процесса износа покрытий и условие отсутствия катастрофического износа.

4. Вторая глава посвящена задаче о взаимодействии тел с покрытиями при износе, тепловыделении и учете зависимости коэффициента трения от температуры. Предложено линейное выражение для зависимости коэффициента трения от контактных температур покрытий. Определены связь контактных температур с контактным давлением, ресурс трибосопряжения, зависимости контактного давления и контактных температур от времени износа.

5. В третьей главе рассматриваются термоупругие контактные задачи для цилиндрического и сферического подшипников скольжения. Предполагается, что подшипники нагреваются, вследствие генерации тепла в области контакта от сил кулоновского трения. Но при определении контактных давлений эти силы не учитываются. Путем развития асимптотического метода строятся так называемые вырожденные решения. Данный подход дает возможность получить окончательные результаты в виде простых формул. В сходной постановке термоупругая контактная задача для цилиндрического подшипника скольжения с деформируемым вкладышем рассматривалась в [12].

6. В четвертой главе дается способ определения величины Ш1, которая оставалась неизвестной в формуле для средней контактной температуры вала цилиндрического подшипника. Для нахождения этой величины необходимо сначала решить вспомогательную задачу. Вспомогательную задачу удается свести к интегральному уравнению первого рода. Ядро интегрального уравнения представляется в форме интеграла по цилиндрическим функциям мнимого аргумента. Далее ядро представим в форме двойного ряда по многочленам Лежандра. Решение интегрального уравнения будем искать в виде ряда по полиномам Лежандра. В итоге получаем квазивполнерегулярную систему и решаем её методом редукции. Система редуцировалась до пяти уравнений.

7. В пятой главе дается способ определения величины ае^, которая оставалась неизвестной в формуле для средней контактной температуры шара сферического подшипника. Аналогично задаче для цилиндрического подшипника решается вспомогательная задача. Вспомогательную задачу удается свести к интегральному уравнению первого рода. Ядро интегрального уравнения представляется в форме ряда по многочленам Лежандра. Далее ядро представим в виде двойного ряда по многочленам Лежандра. Решение интегрального уравнения будем искать в виде ряда по полиномам Лежандра. В итоге получаем квазивполнерегулярную систему и решаем её методом редукции. Система редуцировалась до шести уравнений.

Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В. М. Александрову за многогранную поддержку и непрерывное внимание к работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе поставлены и решены контактные задачи с учетом трения, износа и тепловыделения от трения для тел с тонкими мягкими покрытиями, а также термоупругие контактные задачи для цилиндрического и сферического подшипников скольжения.

1. В контактных задачах с учетом трения, износа и тепловыделения от трения для тел с тонкими покрытиями максимально упрощена схема контакта с целью возможно большего учета явлений, протекающих в области контакта. В этих задачах развивается приближенный подход, основанный на "принципе микроскопа". Предложена формула для описания нелинейного трения. С использованием этой формулы рассмотрено явление износа покрытий при тепловыделении от трения в условиях неидеального теплового контакта. Предложена формула, описывающая зависимость контактного термосопротивления от давления. Определен ресурс трибосопряжения, найдены условие термосиловой устойчивости процесса износа покрытий и условие отсутствия катастрофического износа. Предложено линейное выражение для зависимости коэффициента трения от контактных температур покрытий. Предложена формула зависимости контактного термосопротивления от контактного давления. С использованием всего этого рассмотрено явление изнашивания покрытий при тепловыделении от трения в условиях неидеального теплового контакта. Определены связь контактных температур с контактным давлением, ресурс трибосопряжения, зависимости контактного давления и контактных температур от времени износа.

2. Изучаются термоупругие контактные задачи для цилиндрического и сферического подшипников скольжения, и предполагается, что подшипники нагреваются вследствие генерации тепла в области контакта от сил трения, хотя сами силы трения не учитываются при определении контактных давлений. Вводятся безразмерные геометрические параметры £, Л и строятся вырожденные (в асимптотическом смысле) решения. Это дает возможность представить окончательные результаты в виде простых формул, пригодных для инженерного использования.

3. При изучении термоупругих контакных задач для цилиндрического и сферического подшипников скольжения были даны формулы для определения средней температуры вала (шара) цилиндрического и сферического подшипников, в которых оставались неизвестными коэффициенты ае и ае'. Для их определения в обоих случаях рассматривается вспомогательная задача, которая сводится к интегральному уравнению первого рода. Ядра интегральных уравнений представляются в форме двойных рядов по многочленам Лежандра. Решение ищется в виде ряда по полиномам Лежандра, что приводит к бесконечной алгебраической системе второго рода, которая решается методом редукции. В случае цилиндрического подшипника система редуцировалась до пяти уравнений. В случае сферического подшипника - до шести уравнений.

Основное содержание диссертации изложено в работах [14] - [18],[58]. Александровым В.М. дана постановка задач и указаны методы их решения, реализация всех задач принадлежит соискателю.

1. Александров В. М. Осесимметричная контактная задача термоупругости с учетом износа. // Изв. РАН. МТТ. 1982. № 5. С.73-80.

2. Александров В. М. О постановке плоских контактных задач теории упругости при износе взаимодействующих тел. // Докл. АН СССР. 1983. Т. 271. № 4. С.827-831.

3. Александров В. М. Контактная задача с учетом износа, вызванного локальным оплавлением. // Физико-хим. Механика материалов. 1986. № 1. С.116-124.

4. Александров В. М. Осесимметричная контактная задача об износе с оплавлением. // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 6. С.36-42.

5. Александров В. М. О термосиловом взаимодействии деформируемых покрытий тел с учетом износа. // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1995. № 5. С.70-75.

6. Александров В. М. Абразивный износ тонкого мягкого покрытия при нелинейном законе трения с учетом тепловыделения. // Изв. Вузов. Сев.-Кавк. per. Техн. науки. 2001. С.11-13.

7. Александров В. М. Контактная задача для тел с покрытиями с учетом нелинейного трения, износа и тепловыделения от трения. // Изв. РАН. МТТ. № 4.2003. С.128-135.

8. Александров В. М., Аннакулова Г. К. Контактная задача термоупругости с учетом износа и тепловыделения от трения. // Трение и износ. 1990. Т. 11. № 1. С.24-28.

9. Александров В. М., Аннакулова Г. К. Взаимодействие покрытий тел с учетом деформируемости, износа и тепловыделения от трения // Трение и износ. 1992. Т. 13. № 1. С.154-160.

10. Александров В. М., Аннакулова Г. К. Взаимодействие покрытий тел с учетом износа. / / Проблемы машиностроения и надежности машин. 1995. № 5. С.70-75.

11. Александров В. М., Бабешко В. А., Белоконь А. В., Ворович И. И., Устинов Ю. А. Контактная задача для кольцевого слоя малой толщины. // МТТ. 1966. № 1. С.135-139.

12. Александров В. М., Галин Л. А., Пириев Н. П. Плоская контактная задача при наличии износа для упругого слоя большой толщины. // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 5. С.56-58.

13. Александров В. М. Губарева Е. А. Учет нелинейного трения, износа и тепловыделения от трения при неидеальном тепловом контакте в задаче о взаимодействии тел с покрытиями. // Трение и износ. 2004. Т. 25. № 5. С.347-357.

14. Александров В. М., Губарева Е. А. Решение термоупругих контактных задач для цилиндрического и сферического подшипников скольжения. // Трение и износ. 2005. Т. 26. № 4. С.455-460.

15. Александров В. М., Губарева Е. А. Задача о взаимодействии тел с покрытиями при износе, тепловыделении и учете зависимости коэффициента трения от температуры. // Экологический вестник научных центров ЧЭС. Механика. 2006. № 2. С.10-15.

16. Александров В. М., Губарева Е. А. О расчете контактных температур, возникающих при вращении вала в подшипнике. // Трение и износ. 2007. Т. 28. № 1. С.39-43.

17. Александров В. М., Губарева Е. А. Решение термоупругих контактных задач для цилиндрического и сферического подшипников скольжения. // Конференция "Ломоносовские чтения 2007"

18. Александров В. М., Коваленко Е. В. Осесимметричная контактная задача для линейно-деформируемого основания общего типа при наличии износа. // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 5. С.58-66.

19. Александров В. М., Коваленко Е. В. Плоские контактные задачи теории упругости для неклассических областей при наличии износа. // ПМТФ. 1980. № 3. С.163-172.

20. Александров В. М., Коваленко Е. В. К вопросу об изнашивании сопряжения вал-втулка. // Трение и износ. 1982. Т.З. № 6. С.1016-1025.

21. Александров В. М., Коваленко Е. В. О контактном взаимодействии тел с покрытиями при наличии износа. // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275. № 4. С.827-830.

22. Александров В. М., Коваленко Е. В. Математические методы в контактных задачах с износом. // Нелинейныемодели и задачи механики деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1984. С.77-89.

23. Алексанров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. // М.: Наука. 1986. 334с.

24. Александров В. М., Коваленко Е. В. Аналитическое решение контактной задачи об изнашивании сопряжения Вал-втулка. // Трение и износ. 1987. Т. 8. № 6. С.985-995.

25. Александров В. М., Коваленко Е. В. Методы решения контактных задач термоупругости с учетом износа взаимодействующих поверхностей. // ПМТФ. 1985. № 3. С.129-131.

26. Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. // М.: Наука. 1983. 488с.

27. Александров В. М., Пошовкин Ю. Н. Контактная задача для полуплоскости с покрытием переменной толщины. // Трение и износ. 1989. Т. 10. № 6. С.973-980.

28. Александров В. М., Ромалис Б. Л. Контактные задачи в машиностроении. // М.: Машиностроение. 1986. 174с.

29. Александров В. М., Чебаков М. И. К теории расчета цилиндрического подшипника. // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 1. С.22-30.

30. Александров В. М., Шматкова А. А. Модифицированный метод Мультоппа Каландия в контактной задаче для подшипника скольжения. // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 4. С.691-697.

31. Александров В. М., Шматкова А. А. Контактная задача для подшипника скольжения с покрытиями. // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 4. С.26-29.

32. Бабешко В. А., Ворович И. И. К расчету контактных температур, возникающих при вращении вала в подшипнике. // ПМТФ. 1968. № 2. С.135 137.

33. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: ГИТТЛ. 1953. 608с.

34. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. // М.: Наука. 1974. 455с.

35. Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. // М.: Наука. 1979. 319с.

36. Ворович И. И., Пожарский Д. А., Чебаков М. И. и др. Задача термоупругости о движущемся штампе при учете тепловыделения от трения. // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 3 С.161-166.

37. Галахов М. А., Усов П. П. Дифференциальные и интегральные уравнения математической теории трения. // М.: Наука. 1990. 278с.

38. Галахов М. А., Усов П. П. О расчете износа и толщины смазочного слоя в подшипниках скольжения с тонким вкладышем. // Трение и износ. 1984. Т. 5. № 2. С.239-250.

39. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости при наличии износа. // ПММ. 1976. Т. 40. Вып. 6. С.981-989.

40. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоу пру гости. // М.: Наука. 1980. 303с.

41. Галин Л. А., Горячева И. Г. Осесимметричная контактная задача теории упругости при наличии износа. // ПММ. 1977. Т. 41. Вып. 5. С.801-812.

42. Галин Л. А., Горячева И. Г. Контактные задачи теории упругости при наличии износа. // Теория трения, износа и проблемы стандартизации. Брянск: Приокское изд-во. 1978. С.251-265.

43. Генералов М. Б., Кудрявцев Б. А., Партон В. 3. Контактная задача термоупругости для вращающихся тел. // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. № 3. С.46-52.

44. Генералова Н. В., Коваленко Е. В. О контактном взаимодействии полосового штампа с линейно-деформируемым основанием через покрытие переменной толщины // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 6. С.126-135.

45. Горшков А. Г., Тарлаковский В. Д. Динамические контактные задачи с подвижными границами. // М.: Физматлит. 1995. 352с.

46. Горячева И. Г. Контактные задачи теории упругости для системы изнашиваемых штампов. // Изв. АН. СССР. МТТ. 1987. № 6. С.62-68.

47. Горячева И. Г. Об одном методе решения контактных задач теории упругости при наличии износа. // Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск: Изд-во ДГУ. 1979. С.79-84.

48. Горячева И. Г., Горячев А. П., Садеш Ф. Контактирование упругих тел с тонкими вязкоупругими покрытиями в условиях трения качения или скольжения. // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 4. С.634-641.

49. Горячева И. Г., Добычин М. М. Контактные задачи в трибологии. // М.: Машиностроение. 1988. 256с.

50. Горячева И. Г., Солдатенков И. А. Теоретическое исследование приработки и установившегося режима изнашивания твердых смазочных покрытий. // Трение и износ. 1983. Т. 4. № 3. С.420-431.

51. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений. // М.:Наука. 1971. 1108с.

52. Грилицкий Д. В., Баран В. П. О постановке контактной задачи термоупругости с учетом теплообразования при неидеальном тепловом контакте тел. // Вестник Львовского университета. Сер. Мех-мат. 1987. Вып. 27. С.10-14.

53. Грилицкий Д. В., Кизыма Я. М. Осесимметричные контактные задачи теории упругости и термоупругости. // Львов. Вища Школа. 1981. 136с.

54. Грилицкий Д. В., Кульчицкий-Жигайло Р. Д. Осесимметричная контактная задача термоупругости для вращающихся тел. // Физико-хим. механика материалов. 1991. № 3. С. 93-97.

55. Грилицкий Д. В., Паук В. И. Контактная задача для толстого шероховатого слоя с учетом износа и теплообразования. // Физико-хим. Механика материалов. 1989. Т. 25. № 3. С.78-83.

56. Грилицкий Д. В., Паук В. И. Плоская контактная задача стационарной термоупругости при учететепловыделения. // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 6. С.1043-1048.

57. Джонсон К. Механика контактных взаимодействий. // М.: Мир. 1989. 509с.

58. Дроздов Ю. Н., Коваленко Б. В. Расчет долговечности сферических шарнирных подшипников скольжения по критерию износа. // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1999. № 6. С.38-45.

59. Евтушенко А. А., Коваленко Е. В. Контактная задача об износе оплавлением вкладыша подшипника скольжения. // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 1. С.148-156.

60. Евтушенко А. А., Коваленко Е. В. О взаимодействии фрикционного теплообразования и износа нанестационарном контакте скольжения. // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 3. С.485-492.

61. Евтушенко А. А., Коваленко Е. В. Влияние термосопротивления на основные характеристики контакта в условиях плоской задачи. // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 4. С.56-62.

62. Евтушенко А. А., Коваленко Е. В., Кульчицкий-Жигайло Р. Д. Осесимметричный контакт между термочувствительными телами с различными температурами. // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 1. С.70-77.

63. Евтушенко А. А., Кульчицкий-Жигайло Р. Д. Об одном способе решения осесимметричных контактных задач стационарной термоупругости с учетом фрикционного теплообразования. // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 4. С.54-61.

64. Евтушенко А. А., Паук В. И. Нестационарная контактная задача для шероховатых тел при учете теплообразования от трения. // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 4. С.691-696.

65. Евтушенко А. А., Пырьев Ю. А. Влияние изнашивания на развитие термоупругой неустойчивости фрикционного контакта. // Изв. РАН. МТТ. 1997. №1. С.114-121.

66. Евтушенко А. А., Уханская О. М. Нестационарный фрикционный разогрев при скольжении упругих сжимаемых тел. // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 1. С.111-117.

67. Евтушенко А. А., Уханская О. М. Плоская контактная задача термоупругости при квазистационарном теплообразовании от трения. // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 5. С.37-45.

68. Иваночкин П. Г., Коваленко Е. В. Расчет изнашивания двухслойного вкладыша радиального подшипника скольжения. // Трение и износ. 1990. Т. И. № 4. С.622-629.

69. Каландия А. И. К контактным задачам теории упругости. // ПММ. 1957. Т. 21. № 3. С.389-398.

70. Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости. // М.: Наука. 1973. 304с.

71. Калиткин Н. Н.Численные методы. // М.: Наука. 1978. 512с.

72. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. // Л.,М.: ГИТТЛ. 1949. 696с.

73. Карпенко В. А. Контактные задачи для упругого пространства с шаровой полостью. // Прикладная механика. 1976. Т. 12. № 8. С.23-30.

74. Коваленко А. Д. Основы термоупругости // Киев: Наукова думка. 1970. 308с.

75. Коваленко Е. В. Об эффективном методе решения контактных задач для линейно-деформируемого основания с тонким усиливающем покрытием. // Изв. АН Арм. ССР. механика. 1979. Т.32. № 2. С.76-81.

76. Коваленко Е. В. Об интегральном уравнении контактных задач теории упругости при наличии абразивного износа. // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 6. С.1006-1014.

77. Коваленко Е. В. Контактные задачи для тел с покрытиями (постановки и методы решения) // Изв. АН Арм.ССР. Механика. 1988. Т. 41. К® 1. С. 40-50.

78. Коваленко Е. В. Об уточненных уравнениях деформирования упругих пластин. // Прик. Механика. 1989. Т. 25. № 10 С.111-116.

79. Коваленко Е. В. Некоторые контактные задачи для тел с тонкими пористо-упругими покрытиями.// Препринт № 458. М.: ИПМ АН СССР. 1990. 32с.

80. Коваленко Е. В. Контактная задача об износе сферического подшипника скольжения с тонким пористо-упругим вкладышем. // Трение и износ. 1994. Т. 15. № 4. С.549- 557.

81. Коваленко Е. В. О контакте твердого тела с упругим полупространством через тонкое покрытие. // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 1. С.119-127.

82. Коваленко Е. В., Евтушенко А. А. Износ подшипника скольжения с учетом тепловыделения от трения. // Трение и износ. 1993. Т. 14. № 2. С.259-269.

83. Коваленко Е. В., Теплый М. И. Контактные задачи при нелинейном законе изнашивания для тел с покрытиями 1. // Трение и износ. 1983. Т. 4. № 3. С.440-448.

84. Коваленко Е. В., Теплый М. И. Контактные задачи при нелинейном законе изнашивания для тел с покрытиями 2. // Трение и износ. 1983. Т. 4. № 4. С.676-682.

85. Колесников В. И., Иваночкин П. Г. Расчетно-экспериментальный метод оценки долговечности двухслойного вкладыша радиального подшипника скольжения. // Вестник машиностроения. 1990. № 3. С.13-15.

86. Коровчинский М. В. Плоская контактная задача термоупругости при стационарном тепловыделении на поверхности соприкасания. // Контактная прочность машиностроительных материалов М.: Наука. 1964. С.5-24.

87. Коровчинский М. В. Локальный термический контакт при квазистационарном тепловыделении в процессе трения. // Теория трения и износа. М.: Наука. 1965. С.73-81.

88. Коровчинский М. В. Основы теории термического контакта при контактном трении. // Новое в теориитрения. М.: Наука. 1966. С.98-145.

89. Коровчинский М. В. Локальный контакт упругих тел при изнашивании их поверхности. // Контактные взаимодействия твердых тел и расчет сил трения и износ. М.: Наука. 1971. С.130-140.

90. Коровчинский М. В. Осесимметричный термоупругий контакт при тепловыделении от трения. // Задачи нестационарного трения в машинах и аппаратах. М.: Наука. 1978. С.68-92.

91. Крагельский И. В., Добычин М. Н., Комбалов В. С. Основы расчетов на трение и износ. // М.: Машиностроение. 1977. 526с.

92. Кравчук А. С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения. // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 1. С.122-129.

93. Кравчук А. С. Контактные задачи с односторонними связями и учетом сил трения. // М.: Физматлит. 2001. Механика контактных взаимодействий. Под ред. И. И. Воровича и В. М. Александрова. С.491-498.

94. Лифанов И. К., Саакян А. В. Метод численного решения задачи о вдавливании движущегося штампа в упругую полуплоскость с учетом тепловыделения. // ПММ. 1982. Т. 46. Вып. 3. С.494-501.

95. Манжиров А. В. Осесимметричные контактные задачи для неоднородно- стареющих вязкоупругих слоистых оснований. // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 4. С.684-693.

96. Панасюк В. В. Контактная задача для круглого отверстия. // Вопросы машиноведения и прочности в машиностроении. 1954. Т. 3. № 2. С.59-79.

97. Пелех Б. А., Максимчук А. В., Коровайчук И. М. Контактные задачи для слоистых элементов конструкций и тел с покрытиями. // Киев: Наукова Думка. 1988. 280с.

98. Подстригач Я. С. Температурное поле в системе твердых тел, сопряженных с помощью тонкого промежуточного слоя. // ИФЖ. 1963(6). № 10. С.129-136.

99. Подстригач Я. С., Коляно Ю. М. Обобщенная термомеханика. // Киев: Наукова думка. 1976. 311с.

100. Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. // М.: Наука. 1982. 342с.

101. Проников А. С. Классификация и расчет сопряжений деталей машин при изнашивании. // М.: Изд-во АН СССР. 1956. Вып. И. С.121-181.

102. Проников А. С. Контактная задача для сопряженных поверхностей деталей машин. // М.: Изд-во АН СССР. 1962. Вып. 15. С.375-391.

103. Проников А. С. Надежность машин. // М.: Машиностроение. 1978. 592с.

104. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. // М.: Физматлит. 1983. 750с.

105. Рвачев В. Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. // Киев: Наукова Думка. 1977. 235с.

106. Солдатенков И. А. Изнашивание тонкого упругого покрытия при изменяющейся площадке контакта. // Трение и износ. 1985. Т. 6. № 2. С.247-254.

107. Солдатенков И. А. Установивишийся режим при изнашивании тонкого упругого покрытия в радиальном подшипнике скольжения. // Трение и износ. 1986. Т. 7. № 3. С.452-459.

108. Солдатенков И. А. Об одном следствии установившегося режима для изнашиваемых покрытий. // Трение и износ. 1988. Т. 9. Ж 4 С.639-641.

109. Солдатенков И. А. Расчет изнашивания покрытия в подшипнике скольжения при случайном нагружении. // Трение и износ. 1990. Т. И. № 4. С.615-621.

110. Солдатенков И. А. Об особенностях поведения контактного давления при изнашивании покрытия. // Трение и износ. 1990. Т. 11. № 6. С.973-978.

111. ИЗ. Солдатенков И. А. Задача об изнашивании поршневого кольца с расширением при действии внешнего давления. // Трение и износ. 1991. Т. 12. № 1. С.39-45.

112. Солдатенков И. А. К анализу процесса изнашивания многослойного покрытия. // Трение и износ. 1991. Т. 12. № 2. С.204-209.

113. Солдатенков И. А. Приближеннное решение задачи теории упругости для полосы переменной ширины. // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. № 2. С.48-57.

114. Солдатенков И. А. Теоретический анализ изнашивания вязкоупругого покрытия винклеровского типа. // Трение и износ. 1996. Т. 17. № 3. С.331-339.

115. Солдатенков И. А. Приближенное решение задачи об изнашивании тонкой полосы, связанной с упругой полуплоскостью. // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 1. С.48-55.

116. Солдатенков И. А. Решение контактной задачи для композиции полоса-полуплоскость при наличии изнашивания с изменяющейся областью контакта. // Изв.РАН. МТТ. 1998. № 2. С.78-88.

117. Теплый М. И. Контактные задачи для областей с круговыми границами. // Львов: Вища школа. 1983. 176с.

118. Хрущов М. М., Бабичев М. А. Абразивное изнашивание М.:.Наука. 1970. 252с.

119. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения М.: Наука. 1974. 640с.

120. Черский И. Н., Богатин О. В., Сокольникова Л. Г. Расчет эксплутационных характеристик цилиндрических сопряжений при "сильном износе". // Трение и износ. 1986. Т. 7. № 1. С.99-107.

121. Шлыков Ю. П., Ганин Е. А., Царевский С. Н. Контактное термическое сопротивление. // М.: Энергия. 1977. 328с.

122. Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости.// М., Л.: Гостехиздат. 1949. 207с.

123. Шульц В. В. Форма естетсвенного износа деталей машин и инструмента. Л.: Машиностроение. 1990. 206с.

124. Механика контактных взаимодействий под ред. И. И. Воровича и В. М. Александрова // М.: Физматлит. 2001. 670с.

125. Развитие контактных задач в СССР под ред. JI. А. Галина // М.: Наука. 1976. 493с.

126. Трение и износ фрикционных материалов под ред. А. В. Чичинадзе. // М.: Наука. 1977. 136с.

127. Goryacheva I. G. Contact mechanics in tribology.// Dordrecht-Boston-London. Kluwer academic Publisher. 1988. 360p.