Осесимметричная контактная задача о кручении неоднородной упругой среды сложной структуры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На п/нтих рукописи

Васильев Андрей Сергеевич

ОСЕСНММЕГРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ

01.02.04 механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 М'\р 20(2

Ростов-на-Дону - 2012

005012846

005012846

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Донском государственном техническом университете» ДГГУ

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Айзиковнч Сергеи Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Ляпин Александр Александрович

доктор технических наук, доцент

Смстаиин Борис Иванович

Ведущая организация: Институт проблем механики

им. А. Ю. Ишлинского РАН (г. Москва)

Защита состоится "17" апреля 2012 г. в 1600 на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете (ЮФУ) но адресу: 344090, г. Росгов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148. Автореферат разослан " 16" марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Николай Васильевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Преимущества, связанные с увеличением срока эксплуатации изделий, стимулируют процесс создания новых материалов с непрерывно-неоднородными упругими свойствами. Исследования показали, что такие материалы имеют более высокую степень устойчивости к износу и растрескиванию при воздействии скользящего контакта.

Разрушение структуры и самого материала деталей машин в машиностроении в основном инициируется вблизи их поверхностей из-за концентрации напряжений при воздействии внешних нагрузок. Поэтому для снижения эффекта износа и усталости, вызванного высокими нагрузками, требуются специальные покрытия.

Для 'построения решений контактных задач в зависимости oí толщины покрытия используются различные методы (регулярный асимптотический метод, сингулярный асимптотический метод, методы ортогональны, многочленов, коллокации и др.), т.к. каждый из них эффективен в своей области значений характерного геометрического параметра задачи. В настоящей работе развивается асимптотический метод решения парных интегральных уравнений, порождаемых контактными задачами теории упругости для неоднородных покрытий. Метод является двухстороине асимптотически точным и позволяет в единой форме получить решение контактных задач, эффективное для покрытий любых толщин.

Анализ зарубежной и отечественной литературы за последние тридцать лег показывает, что большинство результатов по контактным задачам для неоднородных материалов получены при специальных предположениях о законе изменения упругих свойств материала (экспоненциальном, степенном). Подобные задачи в основном решались численными методами или методом коллокации, однако для покрытий более сложной структуры эти методы оказываются малоэффективными.

При решении задач контактного взаимодействия для неоднородных материалов в случае, когда свойства упругой среды изменяются только по глубине, удаегся использовать метод интегральных преобразований. Решение задачи сводится к решению парных интегральных уравнений. В общем случае трансформанты ядер этих уравнений можно построить только численно. Немонотонное изменение упругих свойств в покрытии, связанное со знакопеременным градиентом изменения упругих свойств, оказывает существенное влияние на свойства трансформант ядер. Учет этих свойств позволяет исследовать механические характеристики задачи в случае покрытий сложной структуры, представляющих интерес для приложений.

Важность разработки математически обоснованных приближенных аналитических методов решения смешанных задач теории упругости для неоднородных сред обусловлена также тем, что эти методы представляют необходимую основу для решения соответствующих задач термоупругости, вязкоупругости, пластичности и теории консолидации неоднородных сред, а методы, разработанные для их решения, являются общими для целого класса задач математической физики.

Цели работы состоят в:

1) развитии математического аппарата и численно-аналитических подходов, позволяющих получать приближенные аналитические решения парных интегральных уравнений, порождаемых контактными задачами теории упругости для неоднородных сред;

2) исследовании влияния анизотропии и сложной структуры неоднородных покрытий на распределение контактных напряжений под штампом, а также на поля напряжений, деформаций и смещений.

Нлучгн к» новизну работы составляют следующие оспонные результаты

Предложен эффективный алгоритм' построения апшпн ических аппроксимаций трансформанч ядер норных интегральных уравнений, порождаемых контактными задачами для неоднородных сред.

На основе аппроксимации чрансформаит высокой точности построены аналитические решения серии модельных задач о кручении сред с покрытиями сложной структуры:

• полупространства с неоднородным покрытием, обладающего цилиндрической анизотропией.

• полупространства с неоднородным покрытием периодической структуры, для которого градиент изменения модуля сдвига многократно меняет знак (до 50 раз);

• неоднородного слоя, лежащего на упругой подложке, жесткость которой во много раз превышает жест кость слоя (до 1000 раз); ,

Для контактной задачи о кручении полупространства , с покрытием исследовано влияние сложной структуры покрытия, жесткости подложки н анизотропии среды на распределение контактных напряжений. Построены поля смещений, напряжений и деформаций в приповерхностных слоях полупространства. Проанализирована точность построенных приближенных аналитических решений.

На примере контактной задачи о кручении полупространства с неоднородным покрытием проведен детальный анализ точности приближенных решений, построенных двухсторонне асимптотическим методом. Изучена связь между погрешностью аппроксимации траисформанты ядра и погрешностью приближенного решения задачи. Для численного анализа использованы различные алгоритмы построения аппроксимации трансформанты ядра. Исследована зависимость погрешности решения от значений параметров задачи.

Установлены диапазоны применимое™ аналитических решений, построенных на основе простейшей одночленной аппроксимации

трансформанты ядра. Вычислены значения коэффициентов одночленной аппроксимации трансформанты ядра для характерных законов неоднородности. Исследована точность полученных решений.

Достоверность результатов работы обеспечивается:

• строгостью использованного математического аппарата;

• физической обоснованностью моделей контактного взаимодействия;

• соответствием выявленных эффектов физическому смыслу задачи;

• совпадением, в частных случаях, построенных решений с известными решениями. ,.

Практическая ценность работы

Результаты работы могут быть использованы:

1) для анализа жесткости оснований, расчета и определения параметров контактного взаимодействия неоднородных цилиндрически анизотропных покрытий;

2) для изучения износостойкости покрытий;

3) для разработки новых покрытий, отвечающих заданным требованиям;

4) при неразрушающем контроле упругих свойств тонких неоднородных покрытий.

Предложенный алгоритм аппроксимации трансформанты ядра интегрального уравнения может быть использован при построении приближенных аналитических решений широкого класса смешанных задач математической физики, решение которых строится с использованием метода интегральных преобразований.

Апробация работы

Основные результаты, полученные в работе докладывались на: IV, V, VI Всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», (пос. Дивноморское 2008, 2009, 2011); XIII международной конференции

«Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Роетов-на-Дону, 200''): Mili Pan-American Congress of Applied Mechanics (Бразилия. I'M 10): меж тупародной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды» (Дилижап. Армения. 2010). X межл.ународной конференции «БелСЗМ-IX» (Минск. Беларусь. 2010)': семинарах по механике сплошной среды им. Л.А.Галина пол руководством профессоров В.М. Александрова. B.II. Кукуджанова. A.B. Мапжирова (Москва, 2010, 2011): XVI международной конференции "Mechanics of composite materials" (Pin a. Латвия. 2010): семинаре по механике деформируемою твердого чела пол руководством академика РАН И.Г. Горячевой 38-ое заседание (Москва, 2010); семинаре кафедры теории упругости ЮФУ (Ростов-на-Дону. 2011): всероссийской конференции "V сессия Научного совет РАН по механике деформируемого твердого icjia" (Астрахань. 2011): международной леи ich школе-конференции «Актуальные проблемы механики» АРМ 201 I (Санкт-Петербург, 201 1 года): международном коллоквиуме PUROMECH Colloquium 527 «Sliell-like structures» (Вттенберг, Германия, август 2011); X всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, август 2011): семинаре по проблемам математического и численного моделирования НВМ СО РАН (Красноярск, 25 октября, 2011).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе четыре статьи [1-4] представлены в журналах из ■"Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук", утвержденного ВАК РФ.

В работах [1-3. 7, II, 14] соавторам принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования. Васильеву A.C. принадлежит построение и анализ свойств решения контактной задачи, а также

схема интерпретации данных, полученных из эксперимента по кручению среды, позволяющая оценивать модуль сдвига неоднородных покрытий.

В монографии [5] Васильеву A.C. принадлежат результаты второй главы, посвященные построению решений задачи о кручении упругого полупространства с неоднородным покрытием высокой точности. В работах [4, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15] Васильеву A.C. принадлежит построение эффективных аппроксимаций контактных задач, построение решения контактной задачи о кручении и анализ полученных численных результатов.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 146 наименований, приложения, общий объем диссертации составляет 112 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, дан обзор существующих направлений в решении смешанных задач механики контактного взаимодействия. Дан обзор последних работ по теме диссертации и выделены наиболее значимые их них. Сформулированы цели исследования и основные полученные результаты.

Механика контактных взаимодействий деформируемых твердых тел занимает центральные позиции в области механики деформируемого твердого тела. Основополагающими в теории смешанных задач теории упругости были работы Я. Буссинеска, J1.A. Галина, Г. Герца, Н.И. Мусхелишвилли, МА. Садовского, С.А. Чаплыгина, Д.И. Шермана и др.

Большой вклад в разработку новых методов решения контактных задач теории упругости внесли В.М. Александров, В.А. Бабешко, A.B. Белоконь, И.И. Ворович, И.Г. Горячева, М.Г. Крейн, H.A. Ростовцев, Ю.А. Устинов, М.И. Чебаков, J.R. Barber, K.L. Johnson, J.J. Kalker, 1. Sneddon и др.

Наря ду со статическими коитаю ными задачами рассматривались и динамические контактные задачи. По-видимому, динамические контактные задачи впервые а общем постановке для произвольного закона неоднородности были и ¡учены в работах В.А. Бабешко, Н.В. Глушкова, Н.В. Глушковой (неоднородное полупространство),' И.В'. Ананьева, В.В. Калинчука, ИЛ.. Поляковой (неоднородный слой).

Отдельный класс задач, имеющий обширные приложения в инженерной практике, составляют обратные задачи математической физики (задачи определения свойств материалов, идентификация полимерных и композитных материалов, определение расположения и конфигурации дефекта и др.). Различные постановки, методы решения, условия обеспечивающие единственность, и другие аспекты исследования обратных задач освещены в монографиях О.М. Алифанова, А.О. Ватульяна, В.П. Романова, A.A. Самарского, А.II. Тихонова, I I.D. Bui, V. Isakov и др.

В ГЛАВЕ 1 сформулирована постановка контактной задачи о кручении круглым плоским штампом упругого цилиндрически анизотропного полупространства с неоднородным покрытием. Считается, что ось анизотропии проходит через центр штампа и совпадает с осыо s, выбранной полярной сиасмы координат. Схема постановки задачи изображена на рисунке 1.

Обобщенный закон Гука в этом случае принимает вид:

1 v v

— а 0

£ У Е </> Е

1 v

V 1

1 + -.......

а а — —

Е г £ <!> £

Г V

У Г 1

Г2 а цг. а 1 + --

Е г /■: V £

Г <р

г = G (Z)£

Г<Р Г(/> П/>

£ = —~сг - а 4-------СГ , т = 0 1г)£

Г г I • ,я I- - уг . Г/Е уЕ

В этом случае £,,=£,, С^С^ и, число независимых

упругих констант равно 5. .... .

Считаем, что модули сдвига (1Р: изменяются по законам:

Г ' l «с

Здесь некоторые функции, определяющие закон изменения

Используя интегральное преобразование Ханкеля, поставленная задача сводится к решению интегрального уравнения

Jr(/7)/77/.(«) j,Cw-Л ' )\(ирЛ- 1 )di,dp = /Ч0'„;(ОК',Г(01 ■ г'е, г' < 1, (3) о о

где г(/р) - неизвестные контактные касательные напряжения под штампом; Я-И/а - геометрический параметр задачи, равный отношению толщины покрытия к радиусу штампа; ¿(и) трансформанта ядра интегрального уравнения; J,)«) - функция Бесселя первого рода; /•' = /•/а - расстояние от центра штампа (далее штрихи опускаются).

Предложена схема численного построения трансформанты ядра интегрального уравнения. Вычисление значения трансформанты ядра в определенной точке сведено к решению краевой двухточечной задачи, используя модификацию приема, предложенного В.А. Бабешко, Е.В. Глушковым, И.В. Г лушковой (метод модулирующих функций). Решение краевой задачи строится численно.

Для некоторых частных случаев изменения модуля сдвига в покрытии приведены явные выражения для трансформант ядер.

Показано, что трансформанта ядра интегрального уравнения обладает следующими свойствами, которые необходимо учитывать при пост роении решений данной контактной задачи:

m^ojovjofac-fficj-H))-1, (4)

lim Ци)~ 1. (S)

и —» ю

Отметим, что свойства (4), (5) справедливы и для изотропною полупространства. Отсюда следует, что класс трансформант ядер для цилиндрически анизотропного полупространства принципиально не отличается от класса трансформант ядер для изотропного полупространства.

Построено приближенное аналитическое решение контактной задачи с использованием двухстороннее асимптотического метода решения парных интегральных уравнений.

Если трансформанта ядра интегрального уравнения задачи имеет

вид

, , ч Д;/2 + А}

= (6)

то решение задачи можно представить в форме:

4с Г(7......(ОКПЙ) Í у 1

V ......." k'(0>.' - У С/(г. Н ') • (7)

л ' Jl г ". = . I

Здесь А„ 5,, (/= I,...,/v') -- некоторые комплексные постоянные, постоянные С определяются из системы линейных алгебраических

уравнений, функция Т. - известная неполная цилиндрическая функция. Доказано, что в случае, когда для модулей сдвига выполнено

контактные напряжения под штампом совпадают с контактными напряжениями для однородного изотропного полупространства с модулем сдвига равным с.

ГЛАВА 2 посвящена построению эффективных аппроксимаций трансформаит ядер интегральных уравнений выражениями (6).

Описан известный ранее алгоритм построения аппроксимации трансформант ядер выражениями (6), основанный на аппроксимации полиномами Бернштейна.

Произведен анализ свойств функций:

Используя свойства классов функций П| и Пг, предложен новый алгоритм, позволяющий с малой погрешностью строить аппроксимации трансформант ядер интегральных уравнений выражениями (6). Алгоритм является итерационным и основан на пошаговом построении аппроксимаций вида (10), последовательно улучшающих аппроксимацию трансформанты ядра.

Проведен анализ итерационного алгоритма и известного ранее алгоритма аппроксимации полиномами Бернштейна, сформулированы их достоинства и недостатки. Приводятся погрешности аппроксимаций, построенных данными алгоритмами, как для простых (монотонных) законов неоднородности, так и для сложных законов.

Предложена модификация итерационного алгоритма, основанная на его сочетании с алгоритмом аппроксимации полиномами Бернштейна, позволяющая существенно повысить его эффективность.

(8)

(10)

(9)

В ГЛАВЕ 3 построены решения ряда контактных задач о кручении круглым штампом неоднородного полупространства с различными покрытиями сложной структуры.

В первом параграфе анализирую гея немонотонные изотропные покрытия периодической структуры:

закон I. /пр(г) = /^(г) = г • /с •

закон II. = = + ^Ч^-Тг!

А/о А/о V 11)

где /у > 1 показатель неоднородности, характеризующий отношение модуля сдвига на поверхности к модулю сдвига подложки. Параметр к задаст количество волн синусоиды и соответствует числу перемен знака градиента изменения модуля сдвига в покрытии.

В таких покрытиях более мягкие «слои» чередуются с более жесткими. Упругие свойства при лом меняются непрерывно внутри покрытия, вследствие этого снижается концентрация напряжений внутри покрытия. Подобные покрытия активно изучаются последнее время н показано, что они обладают рядом интересных свойств.

Свойства покрытий, описываемых законами I, II, возникают из-за диффузии соседних слоев в многослойных покрытиях. В литературе описаны различные технологии создания таких покрытий (напыление в вакууме, РУО методы и др.).

Анализ графиков трансформант ядер, соответствующих слоистым покрытиям, где более жесткие слои чередуются с более мягкими, показал, что они обладают теми же основными свойствами, что и трансформанты ядра, порождаемые законами I, II. Анализ свойств трансформант ядер и распределения контактных напряжений, описанный в первом параграфе главы 3, также относятся и к многослойным покрытиям, где жесткие и мягкие слои чередуются 1, 2, 4, 10, 50 и более раз. Следует отметить, что с точки зрения используемого в работе математического аппарата исследование

слоистых пли непрерывно-неоднородных покрытий принципиальных различий не имеет.

Построены трансформанты ядер законов I, II (рисунок 2) и проанализированы их свойства при увеличении параметра к. Выявлено, что при увеличении числа «слоев» расширяется диапазон

Рисунок 2- Трансформанты ядер для законе» 1. [1. Кривые 1-4 соответствуют закону I, случаям к=1, 2, 4, 50, кривые 5-8 чакону II. случаям к=1, 2,4, 50.

Предложенный во второй славе алгоритм аппроксимации трансформанты ядра доказал свою эффективность при аппроксимации рассматриваемого класса трансформант ядер. Например, для закона II, случая 50 волн синусоиды (¿=50) удалось построить аппроксимацию с максимальной ошибкой менее 0,52%.

Здесь и далее погрешность аппроксимации определяется формулой

А/(м) = |£Л,00/Д»)-1|-Ю0%, (11)

где Ь(и) - точное значение трансформанты ядра (построенное численно), и) - ее аппроксимация выражениями (6).

Для законов I, И построено и проанализировано распределение контактных напряжений под штампом. Наиболее важный вывод состоит в том, что при увеличении числа непрерывно-неоднородных слоев (параметр к) увеличивается диапазон значений параметра Л, для

которых' распределение контактных напряжении под штампом существенно отличается от распределения контактных напряжений однородного полупространства с модулем сдвига равным модулю сдвига подложки.

Но втором параграфе рассматривается задача о кручении изотропного упругого слоя, лежащего на упругом основании, жесткость которого во много раз превышает жесткость покрытия. Постановка задачи совпадает с постановкой в главе I, но считается, что на границе покрытие-подложка происходит скачек функции, описывающей изменение модуля сдвига в среде. Другими словами, вместо (2) полагаем:

г , \ г / > г, , -II < г <0

</,„(г) = (7 (г) = 0(:) = { П">1

" * [¿» ■ /(-//), - оо < 2 < -II' (' -]

где параметр ¿>1 характеризует величину скачка модуля сдвига. Анализируются случаи ¿=3.5, 10, 100, 1000.

Раздельно анализируется влияние на решение задачи увеличения жесткости основания и неоднородности покрытия при существенном отличии свойств покрытия и подложки. Анализируются неоднородные покрытия, в которых свойства изменяются линейно и покрытия с немонотонным изменением свойств (законы I, II, случай к~ 1).

Характерной особенностью трансформант ядер таких сред является то, что значения трансформанты в окрестности и=0 во много раз отличаются от значений трансформанты при больших значениях и (до 1000 раз при ¿=1000). Известные ранее алгоритмы аппроксимации трансформанты ядра оказываются неэффективными в этом случае.

Используя итерационный алгоритм, предложенный в главе 2, построены аппроксимации высокой точности (погрешность менее 1%), и, используя эти аппроксимации, построены решения контактной задачи.

Проанализировано изменение распределения контактных напряжений под штампом при увеличении жесткости основания. При Л>1 контактные напряжения при любом значении модуля сдвига

основания близки к контактным напряжениям однородной среды. Далее, при уменьшении X наблюдается рост контактных напряжений, причем, чем жестче основание, тем больше диапазон X, где происходи! рост контактных напряжений. При этом скорость роста контактных напряжений с уменьшением Л не зависит от жесткости основания. Затем, по достижению предельного значения, соответствующего модулю сдвига подложки, контактные напряжения стабилизируются (выходят на значения для однородной среды с модулем сдвига равным модулю сдвига подложки).

При больших значениях жесткости основания поставленная задача является аналогом задачи о кручении слоя, лежащего па недеформируемом основании.

Проанализировано влияние неоднородности покрытия на распределение контактных напряжений под штампом при существенном отличии свойств на границе покрытие-подложка (рассматривался случай отличия свойств в 100 раз). Рассматриваемая неоднородность покрытия (отличие свойств до 3,5 раз) существенно влияет на контактные напряжения и в зоне больших Я, и в зоне малых X, несмотря на то, что эта неоднородность мала по сравнению со скачком упругих свойств на границе покрытие-подложка (100 раз).

В третьем параграфе изучаются цилиндрически анизотропные законы неоднородности III-VI (рисунок 3), в которых один модуль сдвига изменяется немонотонно, а другой является постоянной величиной. Для изучения совместного влияния анизотропии и неоднородности результаты сравниваются со случаями неоднородных изотропных покрытий, описываемых законами 1,11.

Построены трансформанты ядер для законов IU-VI и их аппроксимации выражениями (6).

Рассмотрено полупространство с покрытием, в котором модули сдвига изменяются по закону:

закон VIL G„(Z) = 3,5"sin^>. G„(z) = 3,5s¡n(/>. Графики величин G,v, С^дпя закона VII изображены на рисунке 4.

Риеунок4- График изменения модуля сдвига но глубине для закона VII.

Закон VII выбран так, чтобы выполнялось условие (8). Численно построенная трансформанта ядра для закона VII практически тождественно равна 1, что подтверждает результаты, описанные в главе 1.

Четвертый параграф посвящен анализу точности решений, построенных двухсторонне асимптотическим методом.

Для оценки погрешности, строились решения контактной задачи о кручении однородного полупространства, используя двухсторонне асимптотический метод. В этом случае распределение контактных напряжений известно и может быть посчитано точно. Численный эксперимент показал, что в случае аппроксимации трансформанты ядра (для однородного полупространства тождественно равной 1) выражением вида (10) с максимальной погрешностью 10%, погрешность решения в любой точке не будет превышать 14% при любом значении параметра /. Построены графики зависимости максимальной погрешности решения от максимальной погрешности аппроксимации трансформанты.

Кроме того, на примере различных неоднородных сред анализируется влияние гладкости аппроксимации трансформанты ядра на вид решения; рассматриваются особенности решений, полученных с использованием различных алгоритмов аппроксимации

трансформант ядер. В анализе под погрешностью аппроксимации трансформанты понимали величину (11).

Расчеты показали, что наиболее проблемной зоной (зоной, где наблюдаются . качественные отличия в поведении приближенных решений, а также значительные погрешности) является зона «малых» /:. Для различных законов неоднородности, очевидно, эта зона будет различаться. Например, для однородных покрытий и покрытий со степенным изменением модуля сдвига, а также при немонотонном изменении модуля сдвига в покрытии (законы 1, II) - это область Я е (0.01,0.5).

Численный эксперимент показал, что при аппроксимации полиномами Бернштейна максимальная относительная погрешность решения примерно в 1,5 раза выше максимальной погрешности аппроксимации трансформанты ядра. Это позволяет оценивать погрешность построенных решений при использовании алгоритма аппроксимации полиномами Бернштейна. Алгоритм прост в реализации и для ряда характерных законов изменения модуля сдвига позволяет получать аппроксимации с небольшой погрешностью.

Графики погрешностей аппроксимации траисформант ядер и сравнение графиков построенных для них контактных напряжений дают основании утверждать, что характер погрешности аппроксимации трансформанты во многом определяет характер погрешности решения.

Для контроля точности приближенных аналитических решений, построенных двухсторонне асимптотическим методом необходимо внимательно следить не только за величиной погрешности аппроксимации трансформанты ядра, но и за видом аппроксимации. Приведенные примеры показывают, что в некоторых случаях даже при небольшой погрешности аппроксимации трансформанты (та* А, (и) < 1,5%) при определенных значениях параметров Я и г

погрешность приближенного решения может быть высока (до 23%).

Здесь погрешность оценивалась, сравнивая между собой решения, посчитанные при различных аппроксимациях трансформапт ядер.

Заметим, что анализ, аналогичный проведенном) в главе 3 для задачи кручения, можно провести и для решении друшх смешанных задач, построенных двухеторонне асимптотическим методом.

В первом параграфе ['ЛАВЫ 4 построены поля смещений, напряжений и деформаций в приповерхностных слоях полупространства для ряда характерных законов неоднородное! и.

Во втором параграфе по аналогии с известной функцией жесткости Снеддона вводится функция жесткости кручения, определяемая формулой:

3 с!М

О - •,..........(Ь)

16а Л'

Здесь а - радиус штампа, А/ величина крутящего момента, :: угол, на который повернется штамп под действием момента А/. Величину и„. рассматриваем как функцию от параметра /.

Для однородного основания величина (}к является постоянной, не зависящей от размеров штампа, и равна значению модуля сдвига среды. В случае же воздействия штампа на неоднородную среду, эта величина является функцией, зависящей от радиуса штампа. Заметим, что для задачи кручения функция (]„ не зависит от коэффициента Пуассона.

Построены значения функции жесткости кручения для ряда характерных законов неоднородности п отмечена их аналогия с графиками т рансформапт ядер соответствующих законов.

Предложена схема интерпретации данных, полученных из эксперимента по кручению среды, позволяющая оценивать модуль сдвига неоднородных покрытий.

Измеряя зависимость угла поворота от приложенного момента в ряде испытаний по кручению среды штампами различных радиусов, мы можем получить экспериментальную кривую жесткости. Предлагается решить серию прямых задач об определении жесткости основания для некоторого предполагаемого набора функций

изменения модуля сдвига в поверхностном слое, а затем подобрать ту функцию, которая лучше всего согласуется с экспериментальными данными.

Простой • аналитический вид решения позволяет построить функции жесткости для широкого диапазона входных данных (законы неоднородности, размеры ш тампа и т.д.), что повышает достоверность метода подбора.

Заметим, что в последнее время активно развиваются различные эвристические алгоритмы поиска искомых параметров, как, например, генетические алгоритмы.

В третьем параграфе анализируется возможность использования простейшего аналитического решения задачи о кручении жестким круглым штампом упругого полупространства с неоднородным покрытием. Решение строится двухсторонис асимптотическим методом с использованием одночленной аппроксимации функции трансформанты ядра выражением (9).

Считаем, что значение аппроксимации должно совпадать со значением трансформанты при и=0 (т.к. значение ¿(0) в явном виде участвует в формуле приближенного решения (7)). В этом случае для построения аппроксимации выражением (9) достаточно подобрать всею один параметр А. Это существенно упрощает процесс аппроксимации и позволяет построить решение задачи в простом аналитическом виде, что часто бывает удобно для приложений. Контактные напряжения в этом случае представляются следующей формулой.

Сформулированы ограничения на класс законов неоднородности, для которых возможно эффективное построение аппроксимации вида (9). Для ряда характерных законов неоднородности построены

/

\

г I

.............. /Лг.ЛА ') , (14)

аналитические решения задачи на оснопе простейшей одночленной аппроксимации трансформанты ядра. Сравнивая построенные решения с решениями, построенными для тех же законов при существенно более точной аппроксимации (погрешность которой не превышает 0,3%), сделаны выводы о точности формулы (14) в зависимости от значений параметров задачи. Для рассматриваемых законов неоднородности выделены диапазоны параметров, при которых формула (14) дает удовлетворительное решение и записаны величины погрешности для этих диапазонов.

В Приложении подробно описан процесс построения решения контактной задачи о кручении круглым штампом полупространства с неоднородным покрытием с использованием двухстороннее асимптотического метода.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1) Решение задачи о кручении цилиндрически анизотропного упругого полупространства с неоднородным покрытием.

2) Решение задачи о кручении неоднородного слоя, лежащего на существенно более жестком основании.

3) Решение задачи о кручении упругого полупространства с неоднородным покрытием периодической структуры, градиент изменения модуля сдвига которого многократно меняет знак.

4) Анализ диапазона применимости и погрешности приближенных аналитических формул решения задачи о кручении полупространства с неоднородным покрытием, построенных на основе простейшей одночленной,аппроксимации трансформант ядер.

5) Алгоритм аппроксимации трансформанты ядра интегрального уравнения функциями специального вида.

6) Анализ точности приближенных аналитических решений парных интегральных уравнений осесимметричной контактной задачи о кручении упругого полупространства с неоднородным покрытием.

Работа выполнена при поддержке ГК №11.519.11.3028 №11.519.11.3015, №>02. 740.11.0813, ЛВЦП 2.1.2/10063.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТКМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Aizikovich S.M., Vasilicv A.S., Setcznev N.M. Inverse analysis lor evaluation of the shear modulus of inliomogeneous media liy torsion experiments// International Journal of Engineering Science. 2010. Vol. 48. P. 936 942.

2. Васильев A.C., Айзикович СМ. Математическое моделирование задачи о кручении жестким круглым штампом функционально-градиентного композитного материала // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2010. Вып. 2. С. 33-41.

3. Айзикович С.М.. Васильев A.C., Кренев Л.И., Трубчик И.С., Селезнев U.M. Контактные задачи для функционально-градиентных материалов сложной структуры // Механика композитных материалов.

2011. Т.47, № 5. С. 1-12.

4. Айзикович С.М., Васильев A.C.. Волков С.С. Аналитические решения осесимметричных контактных задач для слоя /7 Вестник Нижегородского университета им. И.И.Лобачевского. 2011. '1.4, № 5. С 1947-1948.

5. Айзикович СМ., Александров В.М.. Васильев A.C.. Кренев JI.lt, Трубчик И.С. Аналитические решении смешанных осесимметричных задач для функционально-градиентных сред. М. ФИЗМАТЛИТ. 2011. 192с.

6. Айзикович С.М., Васильев A.C.. Кренев Л.И., Трубчик И.С. Контактные задачи для материалов с градиентными покрытиями // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды IV Всероссийской школы-ссминара. Дивноморское, 2-6 июня 2008 г. Ростов-на-Дону, Терра Принт. 2008. С. 9-10.

7. Айзикович СМ., Васильев A.C. Аналитическое решение задачи о кручении круювым штампом упругого полупространства с неоднородным приповерхностным слоем // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII международной конференции.

Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009г. Издательство Южного федерального универси тета. 2009. Т.П. С. 6-10.

8. Айзикович С.М., Васильев А.С., Кренев Л.И., Крсчко Л.М., Кузнецова Т.А. Контактные задачи для материалов с покрытиями сложной структуры с учетом изменения модуля Юнга h коэффициента Пуассона // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды V Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 1-5 июня 2009 г. Издательство Южного федеральною университета. 2009. С. 6.

9. Aizikovich S.M., Krenev LI., Vasilicv A.S., Trubchik I.S., Selezncv M.G. Computation analyze of contact problems for graded elastic coatings of complicated structure // Book of abstracts of 1st African International Conference on Computational Mechanics. Sun City, Souih Africa, Jan. 7-11 2009. P. 123.

10. Айзикович С.M., Васильев А.С., Кренев Л.И. Особенности деформирования покрытий из функционально-градиентных материалов сложной структуры // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Труды II международной конференции. Дилижан, Армения, 4-8 октября 2010г. Ереван: ЕГУАС. 2010. Т. 1. С.48-52.

11. Айзикович С.М., Васильев А.С., Потоцкая И.В. Оценка модуля сдвига неоднородном среды методом кручения // Методологические аспекты сканирующей зондовой микроскопии. Сборник докладов IX международной конференции. Минск, 12-15 октября 2010г. Минск, Беларуская навука. 2010. С. 232-237.

12. Aizikovich S., Trubchik I., Krenev L., Vasiliev A., Seleznev M. Analytical solutions of the contacts problems for the functionally graded coatings of complicated structure // Mechanics of composite materials. Book of abstracts of XVI th international conference. Riga (Jurmala), Latvia, May 24-28 2010. P. 22.

13. Aizikovich S., Trubchik I., Krenev L., Vasiliev A., Seleznev M. Mechanical and tribological characterisation of functionally graded coatings of complicated structure // Book of abstracts of 11th Pan-American

Congress of Applied Mechanics. Foz do Iguafu, Brazil, January 04-08

2010. P. 35-36.

14. Айзикович C.M., Андреева 3.B., Васильев A.C., Галыбнп А.Н. Математическое моделирование задачи о кручении круговым штампом упругой среды сложной структуры // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 30 мая - 2 июня 2011г. Издательство Южного федерального университета. 2011. С. 8-9.

15. Айзикович С.М., Васильев A.C., Волков С.С, Цветкова И.В. Осесимметричные контактные задачи для функционально-градиентных покрытий сложной структуры и их аналитические решения // V сессия Научного совета РАН по механике деформируемого твердого тела. Тезисы докладов Всероссийской конференции. Астрахань, 31 мая - 5 июня 2011 г. Издательство АГТУ.

2011.С. 50.

В печать РЪ .2012.

Формат 60x84/16. Бумага тип №3. Офсет.

Объем У 5 усл.п.л. Заказ № 98 • ТиражУ/ЖЬкз. Цена свободная

Издательский центр ДГТУ

Адрес университета и полиграфического предприятия: 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина,!.

61 12-1/1054

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Донской государственный технический университет»

На правах рукописи

Васильев Андрей Сергеевич

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук старший научный сотрудник Айзикович Сергей Михайлович

Ростов-на-Дону -2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................4

ГЛАВА 1. Постановка и решение контактной задачи о кручении цилиндрически анизотропного полупространства с неоднородным покрытием..........................................................................................................15

1.1 Постановка задачи......................................................................................17

1.2 Сведение задачи к интегральному уравнению..........................................19

1.3 Трансформанты ядер в некоторых частных случаях................................22

1.4 Численное построение трансформанты ядра интегрального уравнения. 23

1.5 Некоторые свойства трансформант ядер...................................................25

1.6 Построение решения задачи......................................................................28

1.7 Решение задачи для некоторого класса законов неоднородности...........30

ГЛАВА 2. Аппроксимация трансформанты ядра интегрального уравнения. 32

2.1 Алгоритм аппроксимации полиномами Бернштейна...............................32

2.2 Анализ свойств функции Щ.......................................................................34

2.3 Анализ свойств функции П2.......................................................................35

2.4 Итерационный алгоритм би-скобочной аппроксимации.........................39

2.5 Сравнительный анализ методов аппроксимации......................................42

2.6 Комбинированный алгоритм аппроксимации...........................................45

ГЛАВА 3. Кручение сред с покрытиями сложной структуры........................46

3.1 Неоднородные среды, градиент изменения упругих свойств которых меняет знак 1, 2, 4, 10 и более раз.....................................................................46

3.2 Неоднородный слой, лежащий на существенно более жестком основании....................................................................................51

3.2.1 Однородный слой на жестком основании.........................................52

3.2.2 Неоднородный слой на жестком основании......................................55

3.3 Неоднородные цилиндрически анизотропные покрытия.........................58

3.4 Анализ точности результатов....................................................................61

3.4.1 Вклад функции вида П2 в решение задачи.........................................61

3.4.2 Анализ погрешности результатов......................................................65

ГЛАВА 4. Напряженно-деформированное состояние полупространства.

Функция жесткости. Простейшие аналитические решения............................71

4.1 Напряженно-деформированное состояние упругого полупространства с неоднородным покрытием.................................................................................71

4.2 Функция жесткости кручения....................................................................79

4.3 Простейшие аналитические решения........................................................82

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...........................................................................89

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..............................................................91

ПРИЛОЖЕНИЕ.........................................................................105

ВВЕДЕНИЕ

Механика контактных взаимодействий деформируемых твердых тел занимает центральные позиции в области механики деформируемого твердого тела, поскольку посредствам контакта и возникающих при этом контактных усилий реализуется работа элементов механизмов машин.

Характерной особенностью контактных задач является то, что они являются задачами со смешанными граничными условиями, которые, как правило, сводятся к интегральным уравнениям, требующим развития специальных методов решения.

В связи с развитием новых технологий особое значение в настоящее время играют контактные задачи для неоднородных сред. Тела с покрытиями - широко распространенный класс современных материалов. Покрытия для реальных материалов представляют собой сложные структуры, неоднородные по толщине [66]. Различие свойств на поверхности и в глубине может быть весьма существенно и обуславливается самими различными факторами (неравномерное старение материала на поверхности и в глубине, взаимодействие материала с различными газами или соляными растворами, осаждением на поверхность материала компонент растворов при электролизе, лазерное напыление различных по составу пленок на поверхность материала и др.).

Первоначально непрерывно-неоднородные материалы

(функционально-градиентные) были предложены в качестве альтернативы однородным покрытиям и прослойкам в деталях аэрокосмических аппаратов, подверженных воздействию высоких температур [123]. Исследования показали, что материалы, обладающие изменяющимися по глубине упругими свойствами, имеют более высокую степень устойчивости к износу и растрескиванию при воздействии скользящего контакта [146]. Более того, машинные детали, изготовленные из функционально-градиентных материалов, имеют более продолжительный срок эксплуатации по сравнению с обычными цельно-керамическими деталями [96]. Это открытие послужило

стимулом к появлению многочисленных работ, посвященных контактным задачам для функционально-градиентных материалов.

Одним из самых многочисленных и разнообразных видов функционально-градиентных материалов являются слоистые композиты. Они представляют собой многокомпонентные слоистые материалы, состоящие, как правильно, из пластичной основы - матрицы, которая армирована наполнителями, обладающими высокой прочностью. Изменяя состав матрицы и наполнителя, их соотношение, получают широкий спектр материалов с требуемым наборов свойств. Широко распространенными примерами таких материалов являются армированные углепластики, применяемые в авиастроении, фанера, стекло, армированное несколькими слоями полимерных пленок. Использование таких материалов обычно позволяет уменьшить массу конструкции при сохранении или улучшении ее механических характеристик. Например, использование полимерных слоистых композитных материалов при производстве космической и авиационной техники позволяет сэкономить от 5 до 30% веса летательного аппарата.

Разрушение структуры и самого материала деталей машин в машиностроении в основном инициируется вблизи их поверхностей из-за концентрации напряжений при воздействии внешних нагрузок. Поэтому для снижения эффекта износа и усталости, вызванного высокими нагрузками, требуются специальные покрытия. Концепция функционально-градиентных материалов активно рассматривается при разработке покрытий с целью избежать резкого изменения свойств материалов в зоне покрытие/подложка, которое приводит к трещинам, разрыхлению и, в итоге, к разрушению покрытия, а затем и всей детали.

Известно, что решения смешанных задач математической теории упругости для слоистых и непрерывно-неоднородных сред представляют необходимую основу для решения соответствующих задач термоупругости, вязкоупругости, пластичности, теории консолидации [1,2, 25, 29, 61], теории

разрушения и износостойкости неоднородных сред, а методы, применяемые для их решения, являются общими для целого класса задач математической физики.

Основополагающими в теории смешанных контактных задач были работы Г. Герца [119, 120], Я. Буссинеска [104], С. А. Чаплыгина [91], М.А. Садовского. Весьма эффективной оказалась теория функции комплексного переменного, развитая Н.И. Мусхелишвилли [72] и его учениками. Эти методы базировались на использовании конформных отображений и теории сингулярных интегральных уравнений. Существенные применения методов теории функции комплексного переменного мы находим в работах Л. А. Галина, А. И. Каландия, С. Г. Михлина, Г. И. Савина, Д. И. Шермана и др. Теория пространственных контактных задач была продвинута А.И. Лурье, И. Я. Штаерманом, Л. А. Галиным и др.

Вышеперечисленные исследования касались в основном классических контактных задач. Результаты работ этого периода освещены в монографиях Н. И. Мусшелишвили [72], И. Я. Штаермана [95], Л. А. Галина [51], А.И. Лурье [70], И. Снеддона [85] и др. Подробные обзоры даны Д. И. Шерманом [93, 94] и Н. А. Кильчевским и Э. Н. Костюком [62].

Повышение интереса к неклассическим задачам наблюдается с середины 50-х годов прошлого века, и оно было связано в первую очередь с необходимостью расчета фундаментов и оснований в строительстве, необходимостью расчета покрытий дорожных одежд [64, 65], а также с необходимостью расчета плит на многослойных или непрерывно-неоднородных основаниях [36, 44, 49, 58, 63].

В разработке новых методов решения неклассических смешанных задач теории упругости можно выделить несколько основных направлений.

В работах первого направления (В.М.Александров, Н.Х.Арутюнян, Н.И.Ахиезер, А.А.Баблоян, В.Басбридж, Н.М.Бородачев, Г.М.Валов, И.И.Ворович, В.Т.Гринченко, М.Г.Крейн, В.А.Кудрявцев и В.З.Партон, Дж. Кук, Н.Н.Лебедев, В.И.Моссаковский, Б.Нобл, В.В.Панасюк, Г.Я.Попов, В.

Синг, И. Снеддон, Р.Сривастав, Дж. Твид, Е.Титчмарш, В.С.Тоноян, Ю.И.Травкин, К. Трантер, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, А.И. Цейтлин, М.И. Чебаков, Ю.И.Черский, В.И. Юдович и др.) краевая задача сводится к парным или тройным интегральным уравнениям или рядам, преобразующимся в интегральные уравнения первого или второго рода или бесконечные системы алгебраических уравнений.

К первому направлению относится метод факторизации, который берет свое начало с результатов Винера-Хопфа [141] и дальнейшего их развития В.А. Фоком [90]. На основе этих результатов М.Г. Крейну [67] и И.М. Раппорту [79] удалось разработать теорию построения решения класса интегральных уравнений, порождаемых смешанными контактными задачами.

Применение метода факторизации для решения контактных задач можно найти в работах Попова [74, 75, 78]. Широкое применение и дальнейшее развитие метод получил в работах В.М. Александрова, В.А, Бабешко, A.B. Белоконя и др. [27, 28, 30-33, 41]

Традиционно метод использовался для построения решений контактных задач в области малых значений характерного геометрического параметра.

Основой методов второго направления служит идея коллокации (В.М. Александров, И.И. Ворович, А.И. Каландия, В.В. Копасенко, В.М. Фридман, B.C. Чернина, И.Я. Шгаерман и др.). Решение интегрального уравнения 1-го рода, соответствующего исходной задаче, аппроксимируется функцией, содержащей конечное число параметров. Путем удовлетворения интегральному уравнению в конечном числе точек для определения этих параметров получается конечная система линейных алгебраических уравнений. Обзор работ этого направления содержится в монографии А.И.Каландия [59].

Третье направление (В.М.Александров, В.А.Бабешко, А.В.Белоконь, И.И.Ворович, Б.И.Сметанин, А.С.Соловьев, Ю.А.Устинов, М.И.Чебаков и др.) состоит в применении асимптотических методов решения смешанных

задач. В монографиях И.И. Воровича, В.М.Александрова, В.А. Бабешко [1, 48], В.М.Александрова, Е.В. Коваленко [29] асимптотические методы изложены в систематическом виде.

Ярким примером этого направления является метод регуляризации. Идея метода регуляризации восходит к Карлеману [107]. Впервые метод регуляризации для решения контактных задач был применен в работе И. И. Воровича и Ю. А. Устинова [49], где представлено решение задачи о давлении штампа на слой конечной толщины. Решение представлено в виде ряда по степеням /г1, где к - обезразмеренная толщина слоя. Метод регуляризации применим для построения решения контактных задач для неоднородных сред для больших значений характерного геометрического параметра.

Авторами четвертого направления (В.М.Александров, Н.Х Арутюнян, П.И.Клубин, А.И.Лурье, С.М.Мхитарян, Г.Я.Попов, Н.А.Ростовцев, Б.И. Сметанин, М.И. Чебаков и др.) смешанная задача сводится к интегральному уравнению первого рода, находятся собственные функции интегрального оператора, соответствующего главной части ядра. Далее на основе разложения решения в ряд по собственным функциям задача сводится к бесконечной алгебраической системе.

К данному направлению принадлежит, например, метод ортогональных многочленов, который берет свое начало с работы П.И. Клубина [63]. Сущность метода ортогональных многочленов описана в работах [77, 78]. Метод ортогональных многочленов традиционно использовался для построения решений для диапазона средних значений характерного геометрического параметра задачи.

Пятое направление (В.Л.Рвачев, В.С.Проценко, Н.С.Синекоп) связано с развитием метода Я-функций, который соединил в себе алгебрологические методы, используемые в математике и кибернетике, с классическими методами математической физики и вычислительной математики. Структурный метод, разработанный авторами этого направления, позволяет

строить решения смешанных задач теории упругости для областей конечных размеров. Метод в систематическом виде изложен в монографии В.Л.Рвачева и В.С.Проценко [81].

По перечисленным направлениям также имеются обзоры Б.Л.Абрамяна, А.Я.Александрова [3, 4], Г.Я.Попова, Н.А.Ростовцева [76], В.Л.Рвачева [80], И.И. Воровича, В.М. Александрова[1], и др. Методы, используемые в данной диссертации, относятся к первому и третьему направлениям.

Позднее, в конце 80 годов прошлого века, интерес к контактным задачам для непрерывно неоднородных тел резко возрос в связи с развитием современных технологий, которые позволили получать покрытия с непрерывно изменяющимися упругими свойствами.

Далее проведем анализ литературы за последние тридцать лет и отметим наиболее значимые работы.

М.А. Guler, F. Erdogan рассмотрели ряд плоских задач для материалов с градиентными покрытиями для экспоненциальных законов неоднородности [116-118]. Для построения решения задач использовался метод коллокации.

Китайские ученые Y.-S. Wang, L.-L. Ке использовали кусочно-линейную аппроксимацию трансформанты ядра для сведения решения ряда плоских задач к решению интегрального уравнения [124-126, 131]. Интегральное уравнение решалось методом Крэнка [127].

R.D. Kiilchytsky-Zhyhailo, A.A. Yevtushenko построили решения для слоистых материалов в случае трехмерной задачи [128-130]. Для построения аналитического решения была использована многослойная ступенчатая модель. L.S. Stephens исследовал численно, используя метод конечных элементов, напряженное состояние материала с покрытием при наличии градиентной подложки [141].

G.H. Paolino, К. Park [134] использовали сеточные методы и технику параллельных вычислений для построения решения трехмерных контактных задач. H. J. Choi, G.H.Paolino [108] исследовали термоупругий контакт

плоского штампа скользящего с трением по среде с функционально-градиентным покрытием. Рассматривалось экспоненциальное изменение свойств в покрытии. Для решения использовался метод коллокации.

A. Brzoza, V. Pauk [105] рассматривали осесимметричные задачи о кручении штампом (параболическим или плоским) шероховатой среды. Задачи сведены к решению интегральных уравнений, которые решались численно.

Поскольку при решении контактных задач для непрерывно-неоднородных сред приходится преодолевать определенные трудности, связанные с решением дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, в ряде работ были рассмотрены некоторые специальные случаи неоднородности по глубине. Так в работах R.E.Gibson, P.T.Brown [112-115] рассматривался упругий слой, модуль которого линейно увеличивается с глубиной. В работе А.О. Awojobi [103] рассматривалась неоднородная среда, модули упругости которой являются степенными функциями.

По-видимому, динамические контактные задачи впервые в общей постановке для произвольных законов непрерывной неоднородности были решены в работах В.А.Бабешко, Е.В.Глушкова, Н.В.Глушковой [42, 54] (неоднородное полупространство), И.В.Ананьева, В.А.Бабешко, В.В.Калинчука, И.Б.Поляковой [38, 39] (неоднородный слой).

Важное прикладное значение имеет решение обратных задач математической физики. К ним относятся задачи определения свойств материалов, идентификация полимерных и композитных материалов, задачи неразрушающего контроля (определение расположения и конфигурации дефекта) и т.д. Различные постановки, методы решения, условия обеспечивающие единственность, и другие аспекты исследования обратных задач освещены в работах О.М. Алифанова, А.О. Ватульяна, В.Г. Романова, A.A. Самарского, А.Н. Тихонова, H.D. Bui, V. Isakov и др. [36, 46, 47, 83, 84, 86, 87, 106, 121].

Для построения решений контактных задач для покрытий различных толщин используются различные методы (регулярный асимптотический метод, сингулярный асимптотический метод, методы ортогональных многочленов, коллокации и др.), т.к. каждый из них эффективен в своей области значений характерного геометрического параметра задачи.

При использовании численных методов основные недостатки состоят в необходимости проводить новые вычисления при каждом изменении, как геометрических параметров, так и материальных свойств. Задание функционально-градиентного сл