Осесимметричные задачи кручения упругих тел с тонкими упругими включениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Основные уравнения и соотношения. Постановка задачи о кручении упругого тела с тонкими упругими включениями. Метод согласования асимптотических разложений. II

1.1. Исходные уравнения теории кручения упругих тел вращения. II

1.2. Общая постановка задачи кручения упругого тела с тонким упругим включением.

1.3. Метод сращивания асимптотических разложений и его применение к решению поставленных задач

1.4. Упрощенные условия сопряжения в плоскости включения для внешнего представления решения.

1.5. Поведение внешнего асимптотического разложения в окрестности края включения

ГЛАВА П. Кручение упругого полупространства с тонким упругим включением.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Определение внешнего представления решения

2.3. Приближенное решение внешних задач при больших значениях параметров

2.4. Осесимметричное кручение упругого пространства с тонким абсолютно мягким или абсолютно жестким включением.

2.-5. Напряженно-деформированное состояние упругого тела вблизи края включения.

2.6. Анализ полученных результатов.

ГЛАВА Ш. Кручение упругого цилиндра с тонким упругим включением.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Решение осесимметричной задачи кручения упругого цилиндра бесконечной протяженности с тонким упругим включением

3.3. Численный анализ .НО

Изучение влияния тонких инородных упругих включений на напряженно-деформированное состояние упругих тел представляет большой интерес для многих разделов материаловедения, машиностроения, различных областейительства [ ,//б] . Примерами инородных включений в материалах могут служить прослойки графита в чугуне, зоны окисления металла в сплавах, слои малопрочной глины или песка в тектонических трещинах и т.п. Кроме того, тонкими упругими включениями можно моделировать сварные швы, клеевые соединения, наполнители композиционных материалов [51,117 .

Различные упругие включения, как и разрезы, штампы, являются концентраторами напряжений. Следовательно, большое значение для практики имеет проблема изучения концентрации напряжений возле таких объектов и разработка методов ее снижения. Как правило, максимальные напряжения возникают возле края включения, и распределение напряжений существенно зависит от формы этого края. Поэтому вопрос о влиянии формы края тонкого упругого включения, находящегося в упругой среде, на распределение напряжений в композите является очень важным. Однако этот вопрос пока еще недостаточно изучен.

В настоящее время проблема контактного взаимодействия тонкостенных элементов в виде включений, а также различных накладок, покрытий с упругими телами, ввиду ее большой важности, достаточно широко изучается. Исследованию этой проблемы посвящены работы А.Я.Александрова, В.М.Александрова, А.Е.Андрейкива, Н.Х.Ару-тюняна, Л.Т.Бережницкого, Д.В.Грилицкого, Г.С.Кита, Ю.М.Коляно, Н.Ф.Морозова, С.А.Назарова, Б.М.Нуллера, В.К.Опанасовича, В.В.Па-насюка, П.И.Перлина, А.П.Подцубняка, Я.С.Подстригача, Г.Я.Попова, В.М.Садивского, М.М.Стадника, Г.Т.Сулима, Л.А.Филыптинского,

Г.П.Черепанова, К.С.Чобаняна, Аткинсона, Бхаргавы, Вестмана, Гуп-ты, Сильберстейна, Чанга, Эрдогана, Калерия, Фан-Тьена, Эшелби и других отечественных и зарубежных ученых.

В большинстве работ, где изучается вопрос о контактном взаимодействии тонкого упругого включения с упругим телом, вклгоче -ние моделируется поверхностью (или линией в плоской задаче тео -рии упругости) , при переходе через которую искомые функции удовлетворяют определенным математическим условиям идеального контакта упругих тел через включение. Первое применение этого подхода к задачам теории упругости и аналогичным задачам теплопроводности, термоупругости, термодиффузии, а также существенное его развитие осуществлено в работах Я.С.Подстригача, В.М.Александрова, Д.В.Грилицкого, Г.С.Кита, Г.Т.Сулима, А.С.Хачикяна, К.С.Чобаняна, Г.П.Черепанова, П.Р.Шевчука [78,82 ,85 ,8в ,

8Г, 104 , 121] .

В теории упругости указанным выше способом наиболее полно изучались двумерные задачи теории упругости. В работе [121] авторы при решении плоской задачи теории упругости о деформировании плоскости с тонким упругим включение пренебрегали скачком нормальным напряжений и относительным смещением кромок включения, принимая во внимание, что гибкость материала включения велика по сравнению с гибкостью материала матрицы. При таких же предположениях исследованы задачи двумерной теории упругости для однородной изотропной плоскости с тонким упругим включением [73, 100 , 104 , 125 ,/26 J , а также для тел более сложных конфигураций с тонкими включениями [29,63 ,114 , 115 , 131] .

Кроме указанных выше предположений об упругих свойствах материалов матрицы и включения, в двумерных задачах теории упругости принимались также и другие предположения. Например, принималось, что включение изготовлено из податливого материала, и, следовательно, можно пренебречь скачком вектора напряжений при переходе через осевую линию [53,98 ,12о] . Некоторые другие условия сопряжения рассмотрены в [ .

В работах ,25 ,28 ,30 ,33 ,34 ,102 ,103] предлагается методика, позволяющая решить аналогичные задачи при более широком классе возможных изменений упругих свойств материалов матрицы и включения, а также решены различные конкретные задачи. Более детальный обзор и анализ различных видов упрощенных условий сопряжения упругих тел через тонкое включение в плоской задаче теории упругости можно найти в ,ЮЗ] .

Что касается пространственных задач теории упругости, то для их решения указанный выше метод, при котором тонкое упругое включение моделируется некоторой поверхностью, наделенной соответствующими материальными свойствами, применялся реже, чем для решения плоских задач теории упругости. В первую очередь следует выделить работу [60] , в которой предложены условия скачка напряжений и перемещений на тонкостенном упругом включении, из которых, как частные случаи, следуют условия на разрезе со свободными от напряжений поверхностями, а также на абсолютно жестком включении. Эти условия получены путем усреднения по толщине включения уравнений пространственной задачи. Таким же путем в [75] были выведены упрощенные условия сопряжения в случае осесиммет-ричной задачи кручения и рассмотрена задача осесимметричного кручения упругого пространства с тонким упругим включением.

Указанным выше методом рассматривались также задачи теплопроводности, термоупругости, гидроупругости [26,^5 ,79 ,81 , 83 , 101] .

Следует отметить, что описанный выше метод не является универсальным. Во-первых, он позволяет исследовать решение задачи всюду, за исключением некоторой окрестности края включения. Это является следствием того, что при использовании данного метода не учитывается форма края включения. Во-вторых, указанный метод не применим, как это показано ниже, для некоторых частных случаев отношения между упругими характеристиками материалов матрицы и включения.

Среди других путей исследования контактных задач взаимодействия упругих тел с упругими включениями, использовался подход, заключающийся в совместном решении уравнений упругого равновесия для области, занимаемой матрицей, и областей, занимаемых включениями, при последующем сопряжении решений на границе [56,5? , Однако возникающие при таком подходе трудности позволяют решать задачи лишь для включений, обладающих простейшими каноническими формами. В ряде случаев эффективным оказывается метод эквивалентного включения, предложенный Эшелби [120, 722 ,141] . Для исследования напряженно-деформированного состояния возле упругих остроконечных включений в работах [l1 , 7í] применяется метод возмущения формы границы. Решение задач теории упругости и термоупругости для тел с включениями получено на основе применения теории обобщенных функций

В работе [113] предлагается метод, согласно которому решение задачи ищется в виде двух решений: внутреннего и внешнего. Внутреннее решение справедливо в окрестности края включения, а внешнее решение вне этой окрестности. В последствии эти решения сшиваются численно в некоторой области. Преимущества такого подхода в том, что с его помощью можно исследовать напряженно-деформированное состояние во всем композите. Подобные методы предложены также и в работах [5 ,?0, 99]. Однако процесс численного сшивания является трудоемким и не всегда позволяет выделить основные особенности решения.

Задачи исследования влияния тонкого упругого включения, а также абсолютно жестких или мягких включений конечной толщины на

- б распределение напряжений в упругих телах принадлежат к классу сингулярно возмущенных задач [17 , 68] (в отличие от регулярно возмущенных [31] )• В последнее время к их решению все более часто применяются асимптотические методы, в частности, метод сращивания асимптотических разложений, метод составных асимптотических разложений. Однако первоначальное применение было осуществлено не в теории упругости, а в других областях математической физики. Так, в [17] методом сращивания асимптотических разложений исследована задача гидродинамики об обтекании тонкого тела двумерным потоком идеальной несжимаемой жидкости. В этой работе детально исследована зависимость искомого решения от формы тонкого тела. Тем же методом в теоретической гидродинамике решено много других задач . Исследования двумерных классических задач теории эллиптических уравнений в областях с тонкой щелью или малым отверстием

40,42 ,136 , 137] , а в - аналогичных трехмерных и многомерных задач. В [б5, 110 , 140 , М , /49] исследованы трехмерные задачи рассеяния упругих волн тонкими нитевидными и малыми телами.

Двумерная задача теории упругости о растяжении пластин с тонким гладким вырезом конечной толщины методом составных асимптотических разложений исследована в [Зб]. Напряженно-деформированное состояние возле тонких нитевидных включений (в том числе и упругих) проанализировано в [37,67 ,143 , 145].

В работе [148] методом сращивания асимптотических разложений исследовано рассеяние упругих 5Н -волн на тонком упругом включении. Однако здесь исследовалось только дальнее поле и не затрагивался вопрос о поведении поля в окрестности края включения. Следует отметить работы [44 ,93 ,94 ,95 , 113 ,123 , 724 ,127], в которых исследуются задачи теории упругости, теплопроводности, электростатики для сред с тонкими прослойками без края.

Много общего с упомянутым выше подходом имеют методы исследования асимптотических решений уравнений теории пластин и оболочек [22,23 ,108 , 135] , а также способы решения других задач математической физики для тонких областей [32,35]. Заметим, что подобные методы привлекались также к исследованию осесиммет-ричных задач о действии кольцевого штампа на упругие тела и некоторых других контактных задач [2,3 , 91] .

Краткое содержание работы. Предметом рассмотрения данной работы являются осесимметричные задачи кручения упругих тел, содержащих тонкие упругие включения конечной толщины. Для решения этих задач привлекается метод согласования асимптотических разложений.

Основная идея метода заключается в том, что решение задачи ищется в виде двух асимптотических разложений по малому параметру, характеризующему область включения: внешнего и внутреннего. Внешнее асимптотическое разложение описывает решение задачи всюду, за исключением некоторой малой окрестности края включения, а внутреннее - внутри этой малой окрестности. Два указанных разложения не могут быть произвольными. Они должны быть согласованы по принципу сращивания асимптотических разложений [17, 13^] .

Построение асимптотических разложений, описывающих решение задачи при любых значениях модулей сдвига материалов матрицы и включения, сопряжены со значительными трудностями. В работе предлагается разбить решение задачи на три следующих случая. В первом случае предполагаем, что материал включения значительно мягче материала матрицы, во втором случае считаем, что материал включения очень жесткий по сравнению с материалом матрицы. В третьем случае описывается решение, когда упругие свойства материалов матрицы и включения близки между собой. Подробно эта методика описана в первой главе.

В первой главе сделана также общая постановка осесимметричной задачи кручения упругого тела, в котором содержится тонкое упругое включение из другого материала. Здесь же изучены некоторые свойства внешнего асимптотического разложения.

Во второй главе рассматривается кручение упругого полупространства (или упругого пространства) с тонким включением. В первом параграфе дана постановка задачи. Во втором параграфе описана методика решения внешних задач. В ее основу положен метод интегрального преобразования Ханкеля, а также метод механических квадратур. Задача определения внешнего асимптотического разложения относится к классу контактных задач, упомянутых вначале введения, в которых полагается, что на срединной поверхности включения заданы некоторые математические условия невдеального контакта.

В дальнейшем нам важно знать поведение внешнего решения в том случае, когда некоторые параметры в упомянутых выше математических условиях неидеального контакта становятся большими или малыми. Исследование этого поведения дано в третьем параграфе. В пятом параграфе находится внутреннее асимптотическое решение задачи, то есть исследуется напряженно-деформированное состояние композита вблизи края включения. Там же строится полное решение задачи. В шестом параграфе проведен анализ полученных результатов.

Исследование напряженно-деформированного состояния упругого бесконечного цилиндра с тонким упругим включением проведено в третьей главе. Оно выполнено согласно технике, изложенной во второй главе. Здесь же дается анализ численных результатов.

В заключении работы приведены основные выводы по результатам выполненных исследований.

Цель работы - разработка и апробация методики решения осе-симметричных задач кручения упругих тел, содержащих тонкие упругие включения.

Научная новизна и практическая ценность работы. Осуществлена математическая постановка и развита численно-аналитическая методика решения нового класса задач осесимметричного кручения упругих тел с тонкими упругими включениями. Эта методика позволяет получить асимптотические представления, равномерно описывающие напряженно-деформированное состояние во всем композите при различных упругих свойствах материалов матрицы и включения.

Проведено аналитическое исследование конкретных задач и на основе численных расчетов выявлены общие закономерности поведения напряжений в окрестности края включения, когда этот край имеет форму двухгранного угла малого раскрыва.

В работе предложен способ применения метода сращивания асимптотических разложений к исследованию контактных осесиммет-ричных задач кручения с усложненными условиями неидеального контакта двух тел.

Предложенная в работе методика может быть распространена на решение ряда других задач теории упругости, а также на аналогичные задачи гидроупругости, акустики и некоторых других разделов математической физики, в которых рассматриваются тонкие инородные объекты. Полученные численные результаты можно использовать для практических расчетов на прочность составных тел, находящихся в режиме осесимметричного кручения и содержащих упругие тонкие прослойки или дефекты.

Достоверность результатов и выводов диссертационной работы подтверждается корректностью постановки задач, строгостью математических методов их решения, хорошим соответствием числовых результатов в частных случаях с известными в литературе решениями.

Таким образом на защиту выносится:

I. Постановка нового класса осесимметричных задач кручения упругих тел, содержащих тонкие упругие включения.

2. Методика решения таких задач, основнная на методе сращивания асимптотических разложений.

3. Результаты решения на основе разработанной методики конкретных задач, в частности: задачи осесимметричного кручения упругого полупространства (пространства), и кругового цилиндра бесконечной длины, содержащих тонкое упругое включение, край которого имеет форму двухгранного угла малого раскрыва.

Выводы, полученные на основе исследования указанных выше задач.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались на П Всесоюзной научной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Днепропетровск, 1981 г.), на I Всесоюзной научно-технической конференции "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов" (Каменец-Подольский, 1982 г.), на I Всесоюзной конференции "Механика неоднородных структур" (Львов, 1983 г.), на научных конференциях молодых ученых Института прикладных проблем механики и математики АН УССР (Львов, 1979, 1982 гг.), на научном семинаре Института прикладных проблем механики и математики АН УССР (Львов, 1983 г.).

Публикации. Результаты исследования отражены в публикациях

53 ,55 ,7*].

Объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 154 наименования. Работа содержит 138 страниц , машинописного текста, 28 иллюстраций и таблиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложена эффективная методика решения осесим-метричных задач кручения упругих тел, содержащих тонкое упругое включение при различных соотношениях модулей упругости материалов матрицы и включения, В основу этой методики положен метод сращивания асимптотических разложений. Это позволяет описать напряженно-деформированное состояние всего композита. В частности, в работе получены явные аналитические выражения по которым вычисляются напряжения и смещения в окрестности края включения, когда этот край имеет форму двухгранного угла малого раскрыва.

С помощью предложенной в работе методики исследованы осе-симметричные задачи кручения упругого пространства, полупространства, кругового цилиндра бесконечной длины, содержащих тонкое упругое включение.

На основании проведенных в диссертационной работе исследований можно сделать следующие выводы:

1, В случае, когда параметр У (У- ¡^о /¡^ , ^ и модули сдвига материалов матрицы и включения соответственно) связан с величиной угла раскрыва края включения соотношением У ¿0,0ЪЬ , можно приближенно рассматривать включение как абсолютно мягкое, а при У У'5О/- как абсолютно жесткое. Причем погрешность при определении показателя особенности напряжений в окрестности края неоднородности и коэффициентов А^ , в соотношениях (2.5.19), (2.5.28) для конкретных примеров, рассмотренных в работе, составляет не более 4%.

2. Когда У удовлетворяет одному из соотношений, указанных в предыдущем пункте, форма включения слабо влияет на распределение напряжений и перемещений в окрестности края включения. Этот же вывод касается и случая, при котором упругие свойства материалов матрицы и включения приблизительно одинаковы. Тогда напряженно-деформированное состояние в окрестности края включения зависит в основном от внешней нагрузки, приложенной к телу, величины угла раскрыва включения, а также от упругих свойств матрицы и включения.

3. При приближении неоднородности к свободной поверхности матрицы полупространства, кругового цилиндра бесконечной длины напряжения в окрестности остроконечной части этой неоднородности возрастают за счет увеличения коэффициентов А^ и В^ в (2.5.19), (2.5.28). Причзм, чем меньше модуль сдвига, материала включения по сравнению с модулем сдвига материала матрицы, тем интенсивнее это нарастание в случае, когда круговой цилиндр скручивается моментами, приложенными на большом расстоянии от включения. При кручении упругого полупространства максимальное возрастание напряжений в окрестности края включения при приближении к свободной поверхности матрицы наблюдается в предельных случаях абсолютно мягкого или жесткого включений.

1. Александров А.Я,, Зиновьев Б.М. Приближенный метод решения плоских и пространственных задач теории упругости для тел с армирующими элементами и разрезами, - В кн.: Мех.деформируем, тел и конструкций. - М.: Машиностроение, 1975, с. 15-25.

2. Александров В.М. Осе симметричная задача о действии кольцевого штампа на упругое полупространство. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1967, № 4, с. 108 - 116.

3. Александров В.М., Ворович И.И. О действии штампа на упругий слой конечной толщины. Прикл. мат. и мех., I960, т. 24, вып. 2, с. 30 - 35.

4. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями. М.: Наука, 1983. - 488 с.

5. Андрейкив А.Е., Стадник М.М. Растяжение тела с системой тонких упругих включений. Прикл. мех., 1979, т. 15, №5, с. 61 - 66.

6. Аруткнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: Физ-матгиз, 1963. - 688 с.

7. Бабич В.М., Болдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. - 456 с.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансццендентные функции. Гипергеометрическая функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1973,-2S5 с.

9. Бейтмен Г,, Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1974. - 2S5 с.

10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. М.: Наука, 1970. - 327 с.

11. Бережницкий Л.Т., Садивский В.М. Распределение напряженийвозле упругих включений с точками возврата на контуре. -Физ.-хим. мех. материалов, 1976, т. 12, Р 3, с. 47 54.

12. Бородачев Н.М., Кулий М.П. Обобщение метода плоских сечений для определения коэффициента интенсивности напряжений. -Пробл. прочности, 1982, № 2, с. 23 27.

13. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных <|ункций. М.: Наука, 1977. - 288 с.

14. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения уравнения ¡1 Ali-k(xßy) Ц-f в прямоугольной области. Дифференц. уравнения, т. 9, № 9, 1973, с. 1654 - 1660.

15. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

16. В кн.: Итоги науки. Мат. анализ, 1967, ВИНИТИ АН СССР. М.: 1969, с. 5 - 73.

17. Вазов В.А. Асимптотические разложения решений дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. - 464 с.

18. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. - 311 с.

19. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. Успехи мат. наук, 1963, . т. 18, № 3, с. 15 - 86.

20. Васильева А.Б. О многомерном дифференциировании по параметру решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной. Мат. сб., 1959, т. 48,с. 311 334.

21. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Т. I. М.: Изд-во иностр. лит., 1949. - с. 799.

22. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для нелинейных дифференциальных уравнений с малымпараметром. Успехи мат. наук, 1957, т. 12, Р 5, с. 3-122.

23. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек. В кн.: Тр. П Всес. съезда по теор. и прикл. мех. - М.: Наука, 1966, с. 116 - 136.

24. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. - 512 с.

25. Градштейн И.О., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм и произведений. М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.

26. Грилицкий Д.В., Драган М.С., Опанасович В.К. Изгиб пластины с прямолинейным тонкостенным включением. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1979, Р 3, с. 83 - 88.

27. Грилицкий Д.В., Драган М.С., Опанасович В.К. Температурное поле и термоупругое состояние пластин с тонкостенным упругим включением.- Прикл. мат. и мех., 1980, т. 44, № 2,с. 338-345.

28. Грилицкий Д.В., Кизыма Я.М. Осесимметричные контактные задачи теории упругости и термоупругости. Львов: Вшца школа. Изд-во при Львовск. ун-те, 1981. - 136 с.

29. Грилицкий Д.В., Оулим Г.Т. Периодическая задача для кусочно-однородной упругой плоскости с тонкостенными упругими включениями. Прикл. мех., 19^, т. II, Р I, с. 74 - 81.

30. Грилицкий Д.В., Сулим Г.Т. Периодическая задача для упругой плоскости с тонкостенными включениями. Прикл. мат. и мех., 19^, т. 39, Р 3, с. 520 - 529.

31. Джавадов М.Г. Асимптотика решения краевой задачи для бигар-монического уравнения. Докл. АН СССР, 1968, т. 183, Р 2,с. 270 '¿73.

32. Драган M.G., Опанасович В.К, Напряженное состояние полосы /балки/ с прямолинейным тонкостенным включением. Прикл. мат. и мех., 1979, т. 43, Р 2, с. 342 - 348.

33. Евтушенко А.А. Упругое равновесие составной плоскости с произвольно расположенным тонким упругим включением. Прикл. мат. и мех., 1980, т. 44, Р 5, с. 875 - 881.

34. Зино Й.Е., Тропп Э.А. Асимптотические методы в задачах теории теплопроводности и термоупругости. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1973. - 180 с.

35. Зорин И.О. О хрупком разрушении упругой плоскости, ослабленной тонким вырезом. Вестн. Ленингр. Ун-та, 1982, № 7, с. II - 15.

36. Зорин И.С., Назаров С.А. Асимптотика напряженно-деформированного состояния упругого пространства с жестким тороидальным включением. Докл. АН ССОР, т. 272, Р 6, 1983, с. 13401343.

37. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. -Киев: Наук, думка, 1968. 287 с.

38. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области со щелью. I. Двумерный случай. Мат. сб., 1976, т. 99, № 4, с. 514 - 537.

39. Ильин A.M. Краевые задачи для эллиптического уравнения второго порядка в области со щелью. П. Область с малым отверстием. Мат. сб., 1977, т. 103, Р 2, с. 265 - 284.

40. Ильин A.M. Об одной задаче с малым параметром. Успехи мат. наук, 1977, т. 32, Р 3, с. 161 - 162.

41. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для уравнения £Дй CL C£/jj) U - jftfy в прямоугольнике. Мат. сб., 1975, т. 96, № 4, с. 568 - 583.

42. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. -М.: Наука, 1973. 303 с.

43. Канаун С.К. О сингулярных моделях тонкого включения в однородной упругой среде. Прикл. мат. и мех., 1984, т. 48,1. I, с. 81 91.

44. Кит Г. С., Крив пун М.Г. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1983. - 277 с.

45. Коляно Ю.М. Применение обобщенных функций в термомеханике кусочно-однородных тел. Мат. методы и физ.-мех. поля /Киев/, 1978, !Р 8, с. 7 - II.

46. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками. В кн.: Тр. Моск. мат. об-ва, - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1967, т. 16, с. 209 - 292.

47. Коул Дк. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. - 274 с.

48. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный Т.й. Вычислительные методы. Т. I. М.: Наука, 1976. - 304 с.

49. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. М.: Наука, 1966. - 372 с.

50. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 337 с.

51. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Кручение и растяжение цилиндра с внешним кольцевым разрезом. Прикл. мат. и мех., 1973, т. 37, № 2.

52. Кунец Я.й. Осесимметричное кручение упругого бесконечного пространства с тонким упругим включением переменной толщины. В кн.: Мех. неоднородных структур. Тезисы докл. I Всес. конф. / Львов, 6-8 сентября 1983 г./ - Киев: Наук.думка, 1983, с. 123 124.

53. Кунин И.А., Соснина Э.Г. Эллипсоидальная неоднородность в упругой сплошной среде. Докл. АН СССР, I97E, т. 199, Р 3, с. 571 - 574.

54. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., ^урчулад-зе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. - 663 с.

55. Куршин Л.М., Суздальницкий О.Д. Напряжения в плоскости с заполненной щелью. Прикл. мех., 1973, т. 9, Р 10, с. 62 -68.

56. Лебедев H.H., Скальская И.П. Применение парных интегральных уравнений к электростатическим задачам для полного проводящего цилиндра конечной длины. Ж. техн. физ., 1973, т. 43, Р I, с. 44 - 51.

57. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. - 736 с.

58. Ломов Л.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981. 400 с.

59. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1981. -207 с.

60. Микаелян В.В. Об одной задаче изгиба упругого прямоугольника с тонким упругим включением. Изв. АН Арм ССР. Механика, 1975, т. 28, р 2, с. 3 - 14.

61. Мясников В.П., Федорюк М.В. Асимптотика решений эллиптических дифференциальных уравнений в областях с малыми и тонкими границами. Успехи мат. наук, 1980, т. 35, №5, с. 251 -252.

62. Мясников В.П., Федорюк М.В.Релеевское приближение в теории упругости. Докл. АН СССР, 1980, т. 254, Р 3, с. 582 - 592.

63. Назаров С.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач в тонких областях. Вестн. Ленингр. ун-та, 1982, № 7, с, 65 - 68.

64. Назаров С.А. Введение в асимптотические методы теории упругости. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. - 117 с.

65. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 456 с.

66. Новокшенов В.Ю. Сингулярное интегральное уравнение с малым параметром на конечном отрезке. Мат. сб., 1978, т. 105, Р 4, с. 543 - 573.

67. Панасюк В.В., Андрейкив А.Н., Стадник М.М. Упругое равновесие неограниченного тела с тонким включением. Докл. АН УССР, сер. А, 1976, Р 7, с. 636 - 639.

68. Панасюк В.В., Бережницкий Л.Т., Садивский В.М. Коэффициенты интенсивности и распределение напряжений около остроугольных упругих включений. Докл. АН СССР, 1977, т. 232, Р 2, с. 304 - 307.

69. Панченков А.H. Теория потенциала ускорений. Новосибирск: Наука, 1975. - 223 с.

70. Перлин И.П. К решению плоских задач теории упругости для тел с тонкостенными включениями. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1973, Ш 5, с. 140 - 143.

71. Подцубняк А.П. Некоторые осесимметричные задачи кручения упругих кусочно-однородных тел. Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. - Львов, 1975. - 32 с.

72. Подцубняк А.П. Кручение упругой среды с упругой шайбой. -Прикл. мех., 1978, т. 14, № II, с. 119 123.

73. Подцубняк А.П., Кунец Я.И. Осе симметричное кручение упругого полупространства с упругой шайбой. Прикл. мех., 1983, т. 19, W 7, с. 66 - 70.

74. Подильчук Ю.Н. Трехмерные задачи теории упругости. Киев: Наук, думка, 1979. - 240 с.

75. Подстригач Я.С. Температурные поля в системе твердых тел, сопряженных с помощью тонкого промежуточного слоя. Инж.-физ. ж., 1963, т. 7, № 10, с. 76 - 83.

76. Подстригач Я,С, Об одном случае усложнения граничных условий в задачах гидроупругости, Докл. АН УССР. Сер. А, 1975, Р 3, с. 235 - 238.

77. Подстригач Я,С, Условия скачка напряжений и перемещений на тонкостенном упругом включении в сплошной среде, Докл. АН УССР. Сер. А, 1982, № 12, с. 30 - 32.

78. Подстригач Я.С., Воробец B.C., Чернуха Ю.А. К температурной задаче для тел с включениями. Прикл. мех., 1972,т. 8, № 12, с. 80 85,

79. Подстригач Я.С., Кит Г,С. Определение стационарного температурного поля и напряжений в окрестности щели, обладающейтермосопротивлением. Физ.-хим. мех. материалов, 1966, т.2, № 3, с. 247 - 252.

80. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. -Киев: Наук, думка, 1976. 310 с.

81. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М., Семерак М.М. Температурные поля и напряжения в элементах электро- вакуумных приборов. -Киев: Наук, думка, 1981. 344 с.

82. Подстригач Я.С., Шевчук П.Р. 0 влиянии поверхностных слоев на процесс диффузии и обусловленного им напряженного состояния в твердых телах. Физ.-хим. мех. материалов, 1967, т.З, № 5, с. 575 - 583.

83. Подстригач Я.С., Шевчук П.Р. 0 напряженно-деформированном состоянии нагреваемых упругих тел, содержащих включения в виде тонких оболочек. Прикл. мех., 1967, т. 3, № 8, с. 816.

84. Пгдстригач Я.С. Умови теплового контакту твердих т1л. -Доп. АН УССР. Сер. А, 1963, № 7, с. 872 874.

85. Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания. Киев - Одесса: Вища школа, 1982. - 168 с.

86. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1983. - 344 с.

87. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. - 752 с.

88. Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976.495 с.

89. Салганик Р.Л. Об осесимметричных трещинах продольного сдвига. Г№, 1962, № 3.

90. Симоненко И.Д. Задачи электростатики в неоднородной среде. Случай тонкого диэлектрика с большой диэлектрической постоянной. I. Дифференц. уравн., 1974, т. 10, № 2, с. 301 -309.

91. Симоненко И.Д. Задачи электростатики в неоднородной среде. Случай тонкого диэлектрика с большой диэлектрической постоянной. П. Дифференц. урав., 1975, т. 2, № 10, с. 1870 -1878.

92. Симоненко И.Д. Об одной предельной задаче теплопроводности в неоднородной среде. Сибирск. мат. ж., 1975, т. 16, № 6, с. 1292 - 1300.

93. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: йзд-во иностр. лит., 1955. - 668 с.

94. Соляник-Красса К.Л. Кручение валов переменного сечения. -Л.-М.: Гостехиздат, 1949. 167 с.

95. Соткилава О.В., Черепанов Г.П. Некоторые задачи неоднородной теории упругости. Прикл. мат. и мех., 1974, т. 38, № 3,с. 539 550.

96. Стадник М.М. Интегро-дифференциальные уравнения трехмерной задачи теории упругости для тела с системой тонких включений. Физ.-хим. мех. материалов, 1984, W- I, с. 15 - 21.

97. Сулим Г.Т, Концентра^я напружень на тонкостгнному включен-Hi в 1$гсково-однор1днш площшй . BicH. Льв1в. ун-ту, сер. мех.-мат., 1974, вип. 9, с. 74 - 80.

98. Сулим Г.Т. Влияние формы тонкого включения на распределение температуры в кусочно-однородной плоскости. Инж.-физ. ж., 1979, т. 37, Н? 6, с. 1124 - ИЗО.

99. Сулим Г.Т. Термопрушш умови взаемодн середовища з тонкос-тхнним включениям. BicH. Льв1в. ун-ту, сер. мех.-мат., 1979, Р 15, с. 83 - 92.

100. Сулим Г.Т. Концентрация напряжений возле тонкостенных линейных включений, Прикл. мех., 1981, т. 17, № II, с. 8289.

101. Сулим Г.Т., Грилицкий Д.В. Напряженное состояние кусочно-однородной плоскости с тонкостенным упругим включением конечной длины. Прикл. мех., 1972, т. 8, Р II, с. 58 - 65.

102. Титьенс 0. Гидро- и аэромеханика. По лекциям Л.Прандтля.-М.: ОНТИ, 1935.

103. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980. - 384 с.

104. Треногин В.А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника Вишика. - Успехи мат. наук, 1970, т. 25,1. Р 4, с. 123 256.

105. Устинов Ю.А., Шленев М.А. О некоторых направлениях развития асимптотического метода в теории плит и оболочек. В кн.: Расчет оболочек и пластин. - Ростов-на-Дону, 1976, с. 3-27.

106. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: 1967. - 402 с.

107. НО. Федоргок М.В. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа и Гельмгольца во внешности тонкого цилиндра. -Изв. АН СССР. Сер. мат., 1981, т. 45, № I, с. 167 186.

108. Фридрихе К.О. Асимптотические явления в математической физике. Математика, 1957, т. I, Р 2, с. 79 - 94.

109. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Мир, 1982. - 232 с.

110. Хай М.В. Интегральные уравнения задачи об определении напряжений в теле с тонким инородным включением. Докл.

111. АН УССР. Сер. А, 1984, Р 3, с. 43 46.

112. Хачикян А.С. Равновесие неоднородной упругой плоскости с тонкостенным упругим включением. Изв. АН Арм ССР. Мех., 1968, т. 21, Р 4, с. 20 - 29.

113. Хачикян A.C. Плоская задача теории упругости для прямоугольника с тонкостенным включением. Изв. АН Арм ССР. Мех., 1971, т. 24, W 4, с. 55 - 68.

114. Черепанов Г.11. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. - 640 с.

115. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. M.s Наука, 1983. - 296 с.

116. Черепанов Г.П. О сингулярных решениях в теории упругости. -В кн.: Проблемы мех. тверд, деформиров. тела. Л.: Судостроение, 1970, с. 467 - 479.

117. Черепанов Г.П. Метод внешних и внутренних разложений в теории упругости. В кн.: Мех. деформ. тел и конструкций. -М.: Машиностроение, 1975, с. 502 - 507.

118. Черепанов Г.П., Кочаров P.C., Соткилава О.В. Об одном тре-щиновидном дефекте в упругой плоскости. Прикл. мех.-, 1977, т. 13, № 2, с. 48 - 52.

119. Чобанян К.С., Хачикян A.C. Плоское деформированное состояние упругого тела с тонкостенным гибким включением. Изв. АН Арм ССР. Мех., 1967, т. 20, № 6, с. 19 - 29.

120. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: Изд -во иностр. лит., 1963. - 247 с.

121. Яновер В.Г. Асимптотика решения стационарной задачи теплопроводности в области, содержащей включение в виде тонкого слоя. рукопись деп. в ВИНИТИ 22. 12 . 78, № 329-79 ДЕП. -42 с.

122. Яновер В.Г. Нестационарная задача теплопроводности в области, содержащей тонкую прослойку материала, обладающего высокой теплопроводностью. рукопись деп. в ВИНИТИ 22. 12.78, № 328-79 ДЕП. - 52 с.

123. Atkinson C. Some ribbon-like inclusion problems.-Int.J.Sci., 1973, v.II, li.o2, p.243-266.

124. Brussat T.R., ¥estmann R.A. Westergaard type stress function for line inclusion problem.- Int.J.Solids and Struct., 197/5, v.II, No6, p.665-677.

125. Calllerie D. The effect of a thin inclusion of high rigidity In elastic body. Math.Meth.Appl.Sci.,1982, v.2, N 3, p.251-270.

126. Carrier G.F. Singular perturbation theory and geophysics.-SI AM Rev., 1970, v. 12, pp.175-193.

127. Eason G., Hoble B., Sneddon I.U.On certain integrals of Li-pshitz-Hankel type involving products of Bessel functions.-Phil.Trans.Roy.Soc.London.,1955, A 247, pp.529-551.

128. Eckhaus W. Asymptotic, analysis of singular perturbation.-Leyden:North-Holland, I98I.~386p.

129. Erdogan P., Gupta G.D.The. stress analysis of multilayered composites with a flaw.-Int.J.Solids and Struct.,1971,v.7, H I, p.39-41.

130. Erdogan P., Gupta G.D. On the numerical solution of singular integral equation. Quart.Appl.Math., 1972, v.29, H. 8, pp.525-534*

131. Erdogan P., Gupta G.D., Cook T.S. The numerical solutions of singular integral equations. In:Methods of analysis and solutions of crack problems. -Leyden, Uoardhoff Int. Pull., 1973, pp.368-425.

132. Pcaenkel L.E.On the. method of matched asymptotic expansion. Part. I. A matching principle.-Proc.Camb.Phil.Soc.,1969,v.65, E 2, pp.209-231.

133. Pciedrichs K.O., Dressier R.P. A boundary layer theory for elastic plates. Comm.Pure Appl.Math., 1961, v-ol.16, U. I, pp.1-33.

134. Geer J.P. Uniform asymptotic solutions for the two dimensional1 potential, flaw about a slender body. -SIAM J.Appl. Math., 1974, v.26, 1. 3, pp.514-537.

135. Geer J.P., Keller J.B. Uniform asymptotic solutions forpotential flaw around a thin conductor. -SIAM J.Appl.Math., 1968, v.l6, 1. I, pp.75-101.

136. S. Germain P. Recent evolution in problems and methods in aerodynamics. — J.Roy.Aeron Soc., 1967, v.71, pp.673-691.

137. Heln V.L., Erdogan P. Stress singularities in a two-material wedge. Int.J. Practure Mech., 1971, v.7, U. 3, pp.317330.

138. Herrera I., Mai A.K. A perturbation method for elastic wave propagation.2: Small inhomogeneties. J.Geophys. Res., 1965, v.70, p.871-883.

139. Jaswon M.A., Bhargava R.D. Twa-dimensional elastic inclusion problems. Proc. Cambridge Philos.Soc., 1961, v.57, pp.669-680.

140. Keer L.M. Mixed boundary value problems for. a penny-shaped cut. J.Elast., 1975, v.5, N 2, pp.89-92.

141. Lions J.L. Asymptotic expansions in perforated media witha periodic structure. -Rochy Mount.J.Math., 1980, v.IO, li I, pp.I25-I4O.

142. Phan-Thien H., Pantelis G., Bush M.B. On the elastic fibre: pull-out problems: asymptotic and numerical results. -Z. angew.Math. und Phys., 1982, v.33, U. 2, pp.251-26.5.

143. Sancher—Palencia E. Eon-homogeneous media and vibration theory. In: Lectures notes in physics, 1980, vol.127,pp. 1-398.

144. Simons D.A, Scattering of SH-wawes by thin, semi-infinite, inclusions. Int.J.Solid and Struct., 1980, v,.l6, N 2,pp. 177-192.

145. Simons D.A. Scattering of elastic wawes by thin inclusions. J.Appl.Phys., 1982, v. 51, H. 2, pp.934-940.

146. Smitka R. Warstwa. sprenzysta pod dzialaniem momenta skupio-nego. — Rozpr.Inz., 1967, v.15, N I, s.105-110.

147. Sneddon I.E., Srivastav R.P. Dual series relations.I.Dual relations involving Fourier-Bessel series. -Proc.Roy.Soc. Edinburgh., 1964, A6£, pp.150-160.

148. Srivastav R.P, Dual series relations. II. Dual relations involving Dini series. -Proc.Roy.Soc.Edinburgh. ,1964, A66„ p. I6I-I72.

149. Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plate in extension. -J.Appl.Mech., 1952, v.I9, H- 4.

150. Zak A.R. Stress in the vicinity of boundary discontinities in bodies of revolutions. J.Appl.Mech., 1964, v.19, Ho4, p.177-179.