Исследование напряженно-деформированного состояния трехмерных призматических тел за пределом упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ. . Ц

ГЛАВА I. Применение методов Власова-Канторовича и упругих решений А.А.Ильюшина к расчету призматических тел за пределом упругости . 18.

§ I. Вывод разрешающего уравнения равновесия призматических тел

§ 2. Построение решения уравнения равновесия призматических тел

§ 3. Способ определения зоны пластичности и вычисление интегралов по этой зоне

ГЛАВА П. Программный комплекс по расчету призматических тел за пределом упругости.

§ I. Входной язык для записи интегральных выражений.

§ 2. Вычисление интегральных выражений на основе входного языка

§ 3. Структура программного комплекса по расчету призматических тел

§ Инструкция по использованию программного комплекса.

ГЛАВА Ш* Исследование напряженно-деформированного состояния призматических тел прямоугольного сечения за пределом упругости

§ I. Вывод разрешающих уравнений равновесия стесненного кручения одномерная теория) призматических тел и их интегрирование

§ 2. Численный анализ сходимости метода упругих решений и напрякенно-деформированного состояния в задачах стесненного кручения (одномерная теория)

§ 3. Исследование решения задачи стесненного кручения (уточненная теория) призматических тел.

Современные условия работы пространственных элементов конструкций, имеющих форму стержней, предъявляет повышенные требования к расчету их на прочность. Это породило необходимость учета пластических деформаций, что позволяет определять поведение пространственных элементов конструкций при реальных условиях внешнего воздействия. Эффект при этом достигается за счет более полного использования ресурсов прочности пространственных элементов конструкций, а следовательно, проектирование элементов сооружений становится более рациональным при обеспечении гарантий их безопасности.

В связи с этим возрастает интерес к результатам расчета пространственных элементов конструкций с учетом пластических деформаций. Этому вопросу посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных исследователей [ 7,9,27-32, 37-39,61,62,64,66,70,73,87,88,92,94 и др.] .

Большой успех при исследовании физически нелинейных задач достигнут с помощью метода упругих решений А.Л.Ильюшина на основе теории малых упруго-пластических деформаций [28,29,60] . Суть этого метода заключается в том, что решение упруго-пластических задач строится по методу последова* тельных приближений: на каждом шаге решается упругая задача, т.е. нелинейная задача сводится к последовательности линейных граничных задач с уточняемыми в каждом приближении величинами пластических деформаций, входящими в исходные уравнения в виде дополнительных объемных и поверхностных сиг.

Вопросам применения деформационной теории пластичности, метода упругих решений и его модификаций, исследованию сходимости этих методов в задачах пластичности посвящен ряд публикаций [3,4,8,10-13,15-20,22,24,25,35,36,41,45,46, 56-58,69,71-75,77-80,83-86,89,91-100 и др.] . Авторы работы [20] показали, что метод упругих решений позволяет решать задачи пластичности с заданной точностью, причем процесс сходится со скоростью геометрической прогрессии. Результаты обобщений и модификаций данного метода приведены в [17,18,93] . Т.Буриевым [12,13,15,16] исследован характер сходимости этого метода и его модификаций в зависимости от интенсивности внешней нагрузки и граничных условий для статических и динамических краевых задач тонких плит, оболочек и пространственных массивов при повторных и переменных упруго пластических нагружениях с учетом накопленных повреждений материал®. Кроме того, цриводятся два способа обеспечения монотонности итерационного процесса и ряд рекомендаций при выборе итерационного параметра для ускорения процесса при упруго-пластических расчетах. В работе [24] рассматривается способ применения метода упругих решений и метода переменных параметров при сложном переменном нагружении; доказываются достаточные условия сходимости этих методов. Б.Е.По-бедря [75] предложил способ построения деформационной теории для анизотропных сред, а в [89] приведено доказательство сходимости метода переменных параметров для анизотропных тел и получена оценка скорости сходимости данного метода. Цикл работ Б.Е.Победри [72-75] посвящен численной реализации метода упругих решений и способам применения численных методов в задачах теории упругости и пластичности.

Автор работ [35,3б] указал способ, позволяющий применять вариационные методы решения экстремальных задач с неквадратичными функционалами. Этот способ применен в работах [77,78] для решения задачи кручения прямоугольного параллелепипеда с квадратным поперечным сечением. При этом боковые поверхности тела считались свободными от нагрузок. Задачи решались в двух постановках; на торцах задан одинаковый закон распределения касательных напряжений, статически эквивалентных крутящему моменту; один торец защемлен, а на другом задан крутящий момент. Для этих задач исследовано напряженно-деформированное состояние тела и определены зоны пластичности.

В работе [41] приводится методика определения напряжений и деформаций при кручении призматических стержней с произвольным поперечным сечением. Для численной реализации применяется вариационный метод и метод конечных элементов. Определены зоны пластичности и поля напряжений при кручении призматических стержней с квадратным поперечным сечением, сечением в виде равностороннего треугольника и кручение вала с трапециевидными вырезами.

В [22] для случая малой деформации исследовано упруго-пластическое напряженное состояние однородных изотропных прямых брусьев с поперечным сечением в виде кольцевых и круговых секторов при воздействии крутящих и изгибающих моментов, приложенных к их концам.

Т.Буриевым [Ч,14,1б] разработан алгоритм решения статического и динамического расчетов одномерных и осесим-метричных упругих и упруго-пластических конструкций с переменными характеристиками. С помощью программы, составленной на основе эфого алгоритма, произведен статический и динамический расчет растянутых балок с упругим основанием, кручения стержней произвольного сечения и осесимметричных цилиндрических оболочек с переменными характеристиками как в случае элементарной теории, так и в случае учета инерции вращения и главного члена сдвига, а также упруго-пластических конструкций с учетом возможных вторичных пластических деформаций при повторных и переменных нагружениях и разгружениях.

Решение задачи расчета толстостенной длинной трубы, находящейся под действием внутреннего давления, и исследование ее напряженно-деформированного состояния приводятся в [45] . Определенный вклад в развитие теории расчета пластин и ободочек за пределом упругости внесла горьковская школа механиков под руководством А.Г.Угодчикова [з] f Ю.Н.Шевченко [94) решена задача термопластичности. Т.Буриевым [хз] исследовано напряженно-деформированное состояние круглых, прямоугольных и эллиптических плит за пределом упругости и исследована численная сходимость метода упругих решений. При этом материал считался несжимаемым. В.А.Толокой [вз] этот метод использован также при упруго-пластическом расчете цилиндрических оболочек, защемленных по контуру и находящихся в равновесии под равномерно распределенным давлением, и определены зоны пластичности. Кроме того, исследовано напряженно-деформированное состояние за пределом упругости.

Рассмотрена задача об определении напряженно-деформирешенного состояния упруго-пластического тела вращения ожи-вальной формы под действием равномерного внешнего давления [в] . Решена задача оптимального управления процессом профилирования желобчатых труб с целью получения профиля требуемой конфигурации при условии выполнения ограничений на прочность конструкций [ 86 ] . Для численной реализации применяется метод конечных элементов в сочетании с методом Галеркина. Определены поля деформаций и напряжений, с помощью которых проверена гипотеза о малости кривизны траектории деформирования в пятимерном пространстве А.А.Ильвшина.

В работе [19] исследуется напряженно-деформированное состояние косоугольных и призматических упруго-пластических пространственных массивов под действием двух видов нагрузки; i) в виде равномерно-распределенного давления на площадке в центре верхней грани; 2) в виде равномерно-распределенного по верхней грани постоянного давления. Боковые грани считались защемленными. Для численного решения задачи применяется вариационно-разностный метод. Исследовано развитие пластических зон вглубь массива в зависимости от величины нагрузки, при этом материал предполагался сжимаемым.

Высокие требования к надежности конструкций и стремление к сокращению материалоемкости заставляют при расчете элементов конструкций отказываться от упрощающих предположений и решать задачи в трехмерной постановке с учетом пластических деформаций. Число решенных таких задач по сравнению с трехмерными задачами в упругой постановке и одно- и двумерных задач в упруго-пластической постановке намного мало. Это объясняется большими трудностями, возникающими при реализации численных методов и получение результатов на ЭВМ в процессе выполнения конкретных расчетов.

Как известно, трехмерная постановка задачи с учетом пластических деформаций сводится к решение сложных нелинейных краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, аналитическое исследование и решение которых практически невозможно. Решение таких систем пред» ставляет собой весьма трудоемкую задачу и требует разработки специальных алгоритмов и программ, позволяющих максимально использовать возможности вычислительных методов и современных вычислительных средств с учетом особенностей конкретных классов задач.

Разработка комплекса программ на основе модульного принципа программирования [34,40] и методов алгоритмизации [31,32] для этих целей являются актуальной проблемой, имеющей теоретическое и прикладное значение. Из-за сложности расчета пространственных элементов конструкций за пределом упругости в настоящее время такие программные.средства разработаны в недостаточном количестве [11,15,16,25,83 и др.].

Пакеты прикладных программ (ППП) для расчета упруго-пластических осесимметричных конструкций, состоящих из массивных деталей, толстостенных и тонкостенных пластин, оболочек и кольцевых подкрепляющих элементов при квазистатических температурыо-силовых воздействиях предложен в работе [ю] . Упруго-пластический анализ конструкций строится на базе варианта теории термопластичности с трансляци-онно-изотропным упрочнением путем пошагового интегрирования уравнений упруго-пластического равновесия для последовательности приращений нагрузок и температур. Для численного решения задачи на каждом шаге нагружения используется метод конечных элементов [ 7б] в форме метода подконструкций. С помощью ППП [85] исследовано напряженно-деформированное состояние ряда конструкций (тройниковое соединение труб и резервуары энергетического машиностроения различной конфигурации). Данные ППП позволяют в рамках малых упруго-пластических деформаций осуществлять анализ упруго-пластических состояний тонкостенных пространственных конструкций и пластинчат о-оболочечных систем, находящихся под действием статически меняющихся во времени силовых и температурных нагрузок. Комплекс программ [25] , предназначенный для упруго-пластического расчета трехмерных конструкций, работающих в условиях комбинированного термосилового статического нагружения, основан на методе упругих решений и МКЭ. С помощью комплекса программ численно исследован характер и скорость сходимости итерационного процесса, получены результаты упруго-пластического расчета напряженно-деформированного состояния ряда конструкций энергетического машиностроения.

В настоящее время разработка единой схемы решения трехмерных задач пластичности и создание на ее основе автоматизированной системы расчета является актуальной проблемой. В данной работе предлагается схема расчета упругих и упруго-пластических трехмерных призматических тел, отнесенных к декартовой системе координат при воздействии внешних силовых факторов и определенных условий закрепления. В схеме использованы эффективные приближенные методы, зарекомендовавшие себя при решении одномерных, двумерных и трехмерных задач теории упругости и пластичности, в частности, методы Власова-Канторовича [21,33] и упругих решений А.А.Ильюшина [9,28,29] .

Суть метода Власова-Канторовича заключается в том, что дифференциальное уравнение.в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных, уравнений^ -.

Применением этого метода к решению задач теории упругости и исследованием его сходимости занимался ряд авторов [5,6,13,15,47,49,8l] . В работах [ 5,б] метод Власова-Канторовича применен к двумерным задачам, где исследована сходимость метода при расчете гибких оболочек постоянной и переменной толщины. В работах [13,15] метод Власова-Канторовича использован при решении двумерных и трехмерных задач и исследована скорость сходимости этого метода. Этот метод также использован при решении задачи стесненного кручения и сжатия стержней в трехмерной постановке и исследована численная сходимость [47,49] . Методом Власова-Канторовича получена в матричной форме система разрешающих уравнений, обобщающих известные уравнения для призматического и слабоконического кессонов прямоугольного сечения и исследована численная сходимость метода [81].

Одним из эффективных методов решения задач механики,в целом, является алгоритмизация, предложенная впервые В.К.Кабуловым [ 31,32] . Ее суть заключается в расчленении поставленных задач на несколько этапов и автоматизации всего процесса решения, начиная с построения исходных соотношений и разрешающих уравнений и кончая получением численных результатов.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Первая глава посвящена построению разрешающего уравнения равновесия упруго-пластических призматических тел и алгоритмам решения этих уравненсй.

Согласно методу Власова-Канторовича,решение трехмерного уравнения Ляме в - упруго-пластической стадии представляется в следующем виде: им

I) где U0 , V0i VJ0 - заданные функции координат, которые могут быть построены на основе элементарных теорий и не сочСЛ ГС2) лСз) держат произвольных постоянных: \ . \ л \

Jwi> JWI 1 Jvtlvt

- координатные функции, подлежащие предварительному выбору с учетом граничных условий; U^, ^укп. " обобщенные перемещения тела, являющиеся искомыми функциями. с 3) функции , J^, должны удовлетворять условиям полноты [67,68] и полностью или частично граничным условиям на боковых поверхностях призматического тела.

В первом параграфе при малых упруго-властических деформациях для упрочняющих материалов с использованием решения в форме (I) и вариационного принципа Лагранжа [1,2,59,63] выводится система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений равновесия призматических тел и соответствующие им граничные условия.

Во втором параграфе приводится способ» интегрирования систем дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями [ 54] .Общее решение системы однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений строится методами линейней алгебры. Для приведения системы уравнений к нормальному виду используется клеточный- способ обращения по методу Гаусса [90] . Применение этого способа вызвано тем, что порядок системы уравнений может достигать больших размеров в зависимости от количества принятых координатных функций в (I) и самой структуры матрицы уравнения.

Для вычисления собственных значений и соответствующих им собственных векторов характеристической матрицы используется итерационно-степенной метод с последующим применением процесса исчерпывания [52,90] . В данном случае с помощью элементарных преобразований удается понизить порядок характеристической матрицы на половину, что делает вычислительную схему более экономичной и позволяет значительно улучшить скорость сходимости итерационного процесса [50] .

Для построения частного решения используется комбинация методов вариации постоянных [б5] и упругих решений [9,28] .

С помощью метода упругих решений неоднородная нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений преобразуется в неоднородную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений со сложными правыми частями, зависящими от приложенных нагрузок, элементарных решений и нелинейных слагаемых, переведенных на правую часть. Применение метода вариации постоянных вызвано тем, что сложные неоднородные части системы нельзя представить в виде комбинации элементарных функций. Л для вычисления интегралов применяется комбинация методов трапеций [43] по одной переменной и Гаусса [42,43] по двум переменным. Такая комбинация методов интегрирования вызвана для избежания вложенности интегралов при использовании методов Власова-Канторовича и упругих решений, решение системы алгебраических уравнений больших порядков реализуется методом Перселла \51,90] . Основным преимуществом этого метода является то, что при решении систем алгебраических уравнений нет необходимости хранить всю матрицу коэффициентов в памяти ЭВМ. Достаточно лишь, чтобы на каждом шаге считывалась или вычислялась очередная строка.

После построения общего решения задачи о равновесии призматических тел при заданных условиях и нагрузках на поверхности тела проверяются условия сходимости решений. Заданная точность в упругой стадии достигается включением в (i) различного числа членов координатных функций, а в уп-руго-нластической стадии - увеличением количества итераций в методе упругих решений. После достижения заданной точности вычисляются деформации и напряжения в любой заданной точке тела.

В третьем параграфе описан способ вычисления интегралов метода Власова-Канторовича в упруго пластических областях [79] . Область, содержащая в себе пластическую зону, лежится сеткой с мелким шагом. В узлах сетки выбираются узлы, которые лежат вблизи границы искомой области. Предполагая, что эти узлы являются узлами интерполяционного полинома, приближенно то с заданной точностью) аппроксимируется граница искомой области с помощью одной из интерполяционных формул. Вычисление интегралов по найденной границе осуществляется одним из приближенных методов.

Вторая глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена разработке специального программного обеспечения для решения трехмерных задач теории упругости и пластичности методом Власова-Канторовича и упругих решений А.А.Ильюшина. С этой целью разработан комплекс программ [во] , предназначенный для исследования напряженно-деформированного состояния трехмерных призматических тел в упругих и упруго-пластических зонах. В параграфах I и 2 описаны специальный входной язык (способ кодирования) для ввода в ЭШ необходимой формульной информации и способ вычисления символических формул, записанных на этом языке. Предложенный входной язык сохраняет математическую структуру полученных уравнений с коэффициентами, состоящими из однократных и двукратных интегралов от любых координатных функций (балочных, алгебраических, полиномов и т.д.), от решений элементарных теорий* от нагрузок, от функции пластичности и от упругих решений. Слова составляются по определенному правилу из десятичных цифр, которые в зависимости от вида подынтегральной функции кодируются в различных формах. Алфавит подобран так, что каждому слову-формуле соответствует двенадцать десятичных разрядов, которые занимают в памяти БЭСЙ-6 одну ячейку. Вычисления символических формул (интегральных выражений) связаны с видом кодирования [ 53 ] .

В третьем параграфе приводится структура программного комплекса по расчету упругих и упруго-пластических призматических тел. Комплекс программ, созданный на модульном принципе, состоит из двух частей. В первой части решается упругая задача, а во второй - упруго-пластическая задача. Каждая часть комплекса состоит из нескольких самостоятельных модулей, что позволяет заменять отдельные блоки и варьировать точность расчета выбором различных численных методов и координатных функций.

Инструкция по использованию программ комплекса описывается в четвертом параграфе. Рассматривается подготовка исходных данных для работы каждого самостоятельного этапа комплекса программ.

В третьей главе разработанная система применяется к решению конкретных задач теории пластичности в призматической области прямоугольного сечения и исследуется сходимость метода упругих решений в задачах стесненного кручения.

В первом параграфе строятся дифференциальные уравнения одномерной теории стесненного кручения упруго-пластических призматических тел прямоугольного сечения [55] . Упругое решение в последующем используется в качестве нулевых чле~ нов в общей модели (I).

Во втором параграфе исследуется решение задачи одномерной теории стесненного кручения упруго-пластических призматических тел прямоугольного сечения, когда сечение 2,-0 защемлено, а в сечении £ = £ заданы касательные нагрузки [57,58] В этом же параграфе приводятся численный анализ результатов, характер изменения зоны пластичности; и исследуется сходимость метода упругих решений в зависимости; от геометрических и механических характеристик.

В третьем параграфе, взяв в качестве нулевого приближения решение одномерной теории стесненного кручения получаем решение трехмерной задачи при; произвольном задании; на торце нагрузки. Далее приводится численный анализ результатов за пределами; упругости. Исследуется сходимость метода упругих решений в зависимости от геометрических и механических характеристик. Дается сравнительный анализ результатов, полученных по двум теориям.

Все результаты численного анализа оформлены в виде таблиц и: графиков. В конце диссертации; приводится заключение, список использованной литературы. В приложении приведены графики, акт внедрения, справки о принятии программ в Ведомственный фонд алгоритмов и программ АН Уз ССР.

Основные результаты, полученные в работе, следующие:

1. Построена схема приведения трехмерных уравнений тео« рии малых упруго пластических деформаций в перемещениях к нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям с соответствующими граничными условиями по методу Власова-Канторовича. Разработан алгоритм их решения с помощью методов линейной алгебры и метода упругих решений А.А.Ильюшина.

2. На основе алгоритма решения упруго-пластических задач создан программный комплекс, имеющий модульную структуру и позволяющий исследовать напряженно-деформированное состояние призматических тел в упругой и упруго-пластических областях с различными механическими характеристиками и нагрузками.

3. С помощью комплекса программ решены и исследованы в одномерной и трехмерной постановках задачи кручения призма» тических тел прямоугольного сечения в пределах упругости и за ее пределами.

При исследовании напряженно-деформированного состояния призматических тел в одномерной и трехмерной постановках задачи кручения установлено следующее:

- если сечение тела является квадратом, то на каждом квадранте сечения имеются области растяжения и сжатия;

- с приближением сечения к узкому прямоугольнику в каждом квадранте сечения происходит только растяжение или сжатие; длина заданного тела не влияет на распределение области растяжения и сжатия;

- в одномерной и трехмерной постановках задач эти области качественно совпадают.

5. При исследовании формы зоны пластичности обнаружено, что кроме свободного торца тела и ее близости, виды зоны пластичности качественно совпадают в одномерной и трехмерной постановках задач кручения призматического тела; в одномерной постановке задач и по расчетам по гипотезе Сен*-Венана виды зоны пластичности качественно совпадают, кроме случая защемленного торца с его близостью.

6. При исследовании напряженно-деформированного состояния призматических тел в случае стесненного кручения в одномерной и трехмерной постановках задачи численно доказано соответствие происходящего процесса в заданном теле при простом нагружении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. BoimotctziJ PZM. hoc. szm^.jPonyioL , 1979,1.02. Z , &OWLCL , 1980,f. -Ш"98 , ReoWij B.fl. A i^ozwoikDvi-lkzozi.mahjsts oj lh SifUzooilLon ы pzessuzLsed Ikifckvr culled tylivLcLezs. з.Ягск. cutcl

2. Appl. Лл1к., Ш2, 35, }TZ,f.l83 -13$ .99 . .KosazovA., KuzklsckLev- Л. PloLskscke

3. Shxfohlcil itviiz zgckhbki^H cLViisohapM ptolite. BoLUi^^ieuZ1 1Ш,57£E6S-Z67.

4. O . Ъ.А. A contpuhxlioyLDLlm\kod № elcLslo-ffasllc, antlzad pzoMms. CoiAtpui, dimL skull., lB84,lS,jfs#7S7-?6S