Динамика механических систем с кулоновым трением тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Фам Чонг Данг Шон

ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С КУЛОНОВЫМ ТРЕНИЕМ

Специальность : 01. 02. 06 - Динамика, прочность машин, приборов и

аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2007

003068353

Работа выполнена на кафедре «Механика и процессы управления» Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Пальмов Владимир Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ветюков Михаил Михаилович

доктор физико-математических наук, профессор Кривцов Антон Мирославович

Ведущая организация : Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург.

Защита состоится "J& " АЛ&& 2007 года sJCóOna заседании диссертационного совета Д 212.229.13 ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу : 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29, 1 корпус, аудитория N41.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Автореферат разослан

2007 года.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212.229.13

доктор биологических наук, профессор.

Зинковский А.В.

1. Общая характеристика работы.

Актуальность темы диссертации. На современном этапе развития машиностроения существует чрезвычайно обширное множество механизмов, в которых нельзя пренебрегать кулоновым трением. Для анализа прикладных задач с трением часто принимают различные ограничения и допущения. В частности, предполагают, что нормальные реакции связей с трением равны реакциям при отсутствии трения. Но такое допущение может привести к грубой ошибке в определении закона движения и динамических свойств механизмов и машин. Констатируемая ситуация диктует необходимость детального вывода уравнений нормальной реакции и уравнений движения для механических систем с кулоновым трением. Кроме, того непосредственное использование закона трения Кулона ведет в задачах этого типа к затруднениям, которые давно и хорошо известны в классической динамике иод названием парадоксов Пэнлеве. Последние проявляются в том, что при определенных условиях решение задачи динамики либо не существует, либо не единственно. Поэтому некоторые исследователи считают, что определение областей парадоксов Пэнлеве и законов движения в этих областях является главной задачей инженера. Но по нашему мнению, механические системы с типичными для машиностроительных конструкций параметрами находятся вдали области параметров, в которой могут появиться парадоксальные ситуаций, обнаруженные Пэнлеве. Поэтому мы видим главную задачу исследователя в разыскании и изучении действительных движении фрикционных систем. Рассмотрение двух выше указанных проблем составляет основное содержание диссертации. Поэтому ее тематика представляется актуальной.

Цель исследования. Целями данной диссертации являются:

-подробный анализ системы Пэнлеве-Клейна.

-исследование динамики вращательной пары и маятника Жуковского-Фроуда.

-учет сухого трения в кулисном механизме строгального станка.

-истолкование принципа Гаусса для систем с трением.

Метод исследования. Все задачи рассматриваются на основе общих методов теоретической механики, аналитической механики и теории колебания.

Основные положения, выносимые на зашиту.

- Составлено точное уравнение движения и уравнение реакции для общего случая вращательной пары. Выяснино, что условие парадоксов Пэн-леве никогда не реализуется, ибо требует слишком большого значения коэффициента трения, значит решение задачи динамики существует и притом единственно.

- Показано, как с помощью предельного перехода к случаю сосредоточенной массы получилось уравнение динамики и уравнение нормальной реакции маятника Жуковского-Фроуда

- Рассмотрены релаксационные автоколебания маятника Жуковского-Фроуда на основе гипотезы зависимости силы трения ири срыве от скорости тангенциального нагружения.

- Составлено дифференциальное уравнение движения и выражение реакции кулисного механизма строгального станка.

- Анализ равномерного движения станка на основе уравнения движения. Определен найболее оптимальный вариант параметров строгального станка.

- Представлена формулировка принципа Гаусса с явновходящими силами трения. Кроме, того на основании этой формулировки вывено уравнение Аппеля для систем с трением.

Научная новизна и достоверность основных результатов диссертации. Все перечисленные выше результаты являются новыми и получены на основе применения строгих математических методов и использования хорошо апробированных механических моделей. Это обеспечивает их достоверность.

Практическая значимость диссертации: Непосредственное практическое применение имеет исследование динамики вращательной пары и кулисного механизма строгального станка.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, включающего 38 наименований. Диссертация изложена на 158 страницах, набранных в формате LaTeX, и содержит 37 рисунков и графиков и 12 таблиц.

2.Краткое содержание диссертации.

В первой главе приведен обзор литературы но особенностям применения закона трения Кулона и способам разрешения парадоксов Пэнлеве Кроме, того в главе дается краткий анализ существующих методов в динамике систем с трением и формулировка задач исследования.

Во второй главе приводится подробный анализ системы Пэнлеве-Клейна, который позволяет выработать умеренное и спокойное отношение к так называемым парадоксам Пэнлеве.

Полагаем, что усовершенствование закона Кулона должно состоять в принятии ограничений (/i < 1) условие (ц < 1)должно быть включено в законе Кулона.

Расчетная схема этой системы изображена на рис. 1. В многих работах установлено условие парадоксов Пэнлеве, которое можно представить в виде //tg (р > 2. Рассмотрение этого условия с практической инженерной точки зрения показывает, что система Пэнлеве-Клейна находится вдали от области параметров, в которой могут появиться парадоксальные ситуации, обнаруженные Пэнлеве.

Общий вывод из приведенных вычислений таков. Реальные или, точнее, реалистические ситуации таковы, что при выполнении условии (fi < 1) система Пэнлеве-Клейна ведет себя регулярно. Именно игнори-

М2 р

И

Рис. 1-

рование условий (д < 1) часто приводит к появлению парадоксальных ситуаций, обнаруженных Пэнлеве.

В третьей главе приведена дополнительная трактовка кинематики системы с трением после освобождения ее от контакной связи.

Четвертая глава посвящена исследованию динамики вращательной пары и маятника Жуковского-Фроуда. В машиностроении и приборостроении широко используются подшипники скольжения в виде вращательной пары, расчетная схема которой представлена на рис. 2.

Вал I радиусом го вращается от внешнего иривода с угловой скоростью шо вокруг оси вращения О. Цапфа II с радиусом г и центром С жестко связана с твердым телом массы ш, центр инерции 5 которого расположен на расстоянии I от центра С цапфы. Твердое тело имеет момент инерции 7 = тг\ относительно Б (г1 - радиус инерции). К цапфе приложен крутящий момент М. Коэффициент трения скольжения вала о цапфу равен ¡1. На основе метода отбрасывания связей уравнения Лагранжа II рода могут

быть представлены в виде

m(r — ro)q + ml cos(q — <p)<p + ml sin(<7 — <р)ф2 = = —mg sin q + e^e^R,

ml(r — ro) cos(q — <p)q + m(l2 + rj)<p — mlsin(q — ip){r - ro)q2 = = —mgl sin ip — £\£'2^rR + M,

—ml sin(q — <р)ф + ml cos(q — ф)ф2 + m(r — ro)?2 = = — mg cos q + R.

где E\ = signR , e'2 = sign [гф - (r - r0)q - r(M)]-R - нормальная реакция, с которой цапфа и вал прижимаются друг к другу в точке соприкасания.

Уравнение реакции представим в форме

(1 + £lnL)R = R0. (2)

Здесь

, _ _ , [г + I cos(q - ip)\ I sin(g - <р) 2 I4m2{q-ip)+r\ mr\ [(г — ro)?2 + I cos(q — ф)ф2 + д cos q\ — Ml sin(? — ip) ° l2sin2(q — ip) + r2

Ro - нормальная реакция при отсутствии трения. Рассмотрим вопрос о возможности существовании парадоксальных ситуаций с практической инженерной точки зрения. Условие парадоксов Пэн-леве выражается таким образом: ц\Ь\ > 1. Показалось, что условие парадоксов Пэнлеве не может быть выполнено ни при каком значении q, ибо для этого требуется недопустимо большое значение коэффициента трения.

При предельном переходе к случаю сосредоточной массы (г —> го, П = 0, М —» 0)и на основе (1)получилось уравнение динамики и уравнение

Рис 3

нормальной реакции маятника Жуковского-Фроуда(рис. 3)

я =

т1{д сову + 1ф2)

где приняты обозначения

£ = вгдп [(1ф2 + дсое ф){ф — с^)]

Р I

иг

р =- - плечо трения

маятник имеет два положения равновесия <¿>1 = (3 и (р2 = к — Р

Свободное колебание около положения 1р\ при условии <р < \ описываются уравнением вида

Фазовые траектории этих колебании замкнуты, вложены одна в другую, симметричны относительно оси ф, но несимметричны относительно оси ф. В связи с этим форма свободных колебаний существенно отличается от синусоидальных. На рис. 4 представлен случай: /л = 0,5; г = 1; I = 2. В соответствии с этим /3 = 12,12; стт = —1,65; с„шх = —0,60; р = 0,45.

Далее рассмотрены релаксационные автоколебания маятника Жуков-ского-Фроуда на основе гипотезы зависимости силы трения при срыве от скорости тангенциального нагружения /. Согласно гипотезе, сила трения срыва Р+ определяется скоростью тангенциального нагружения /, уменьшаясь с ростом этой скорости. Эта зависимость была аппраксимирована формулой

где С - постоянная интегрирования , т =

д± дт

где А, /3, Fq - постоянные, определяемые экспериментально. , OF

t = —— - тангенциальная нагрузка на поверхности соприкосновения at

Из (4) следует выражение для момента трения при срыве в виде М+ = М0 + Be~'jf,

где М+ = F+r0, Ма = F0r(h В = Ar0. (5)

Величина скорости тангенциального нагружения определяется rio формуле

mgl . mgl

J =-<р =-wo

го r0

Пренебрегая вязким сопротивлением (аср = 0) запишем уравнение динамики режима релаксационных автоколебаний в виде

Joф = Мд + Мс, при скольжении,

ф = lüo ip = uo(t — tn) + const при сцеплении, где Jo - момент инерции маятника относительно оси вращения

Мд = —mgl sin ip ~ —mglip -момент силы тяжести

Мс = Foro -момент силы трения скольжения Общий интеграл дифференциального уравнения движения примет вид

ip = a sin(ut + е) + -^г (6)

JQLÜ¿

где ui = J^y^- Величины а и е определаются по формулам

2 _ В*ехр{-2/3f) 2

s = arceos (—) aw

Для малой угловой скорости вала <л>о автоколебания имеют ярко выраженный релаксационный характер, с ростом ujq участок сцепления уменьшается, а участок скольжения возрастает. При достаточно большой ш0 форма

Рис

колебания близка к синусоидальной. Значит, что при больших шо будет только режим скольжения а режим подхвата будет отсутствовать. Период Т релакционных колебаний можно записать в виде

тЛ

ш

7г — агссоз

аш

+

2 Вехр(-/3/) тд1и>о

На рис. 5 построена фазовая траектория (для ф < шц) Точке С соответствует момент срыва. Точке Е - момент подхвата. Участок скольжения изображается дугой СОЕ окружности радиуса а с центром в точке (0, 0), а участок соприкосновения - прямым отрезком ЕС.

Задача об учете сопротивления среды сводится к необходимости определения критической скорости ш* вращения шипа. Решая следующее урав-

нение, можно определить критическую скорость

i

ш2 B2exp(-2pft)

ш

Jgu*

_ 2тт W*

e " = — w

_ mgl J* —-

П)

где n = q : коэффициент вязкого сопротивления.

Пятая глава посвящена исследованию учета сухого трения в кулисном механизме строгального станка. Расчетная схема строгального станка представлена на рис .6.

На основе метода отбрасывания связей уравнения Лагранжа II рода могут быть представлены в виде.

[ J + тг2Ь2а^{а1 cos q + ar sin2 q)2] q +

í mb2r2(al cos q + ar sin2 q) r 2 . 2 41 . ]

+ <---z- 3ar(a() eos 9 + a»-sin q) — a0 sin <7

[ «o J

= M--»(aS cos q + ar sin2 q)F — ei£2l¿rR, (7)

ao

a0J „ aQM Л eX£2fian \ R

r(a cos q + r) r(acosq + r) V acosq + r/ Из (7) вытекают выражения для величины реакции R и момента М в режиме равномерного движения:

mb2rx (Зогх - а40) . 2 ЪХ

R =-—-r-^-smg.ur + -=-.--.F,

a¿ (a cos q + r) a¿ (a cos q + r)

= {a cos q + r) +/^*(>гД ao

где :ei — signR , ei = signq. a0 = \/a2 + r2 + 2ar cos q X = a2 cos q + ar sin2 q

В результате ироведеного анализа равномерного движения станка определено, что найболее оптимального варианта - вариант строгального станка с длиной кулисы а = 0,6 м

Рис. 6

В шестой главе построена формулировка принципа Гаусса с явнов-ходящими силами кулонового трения. Силами трения Пэнлеве называются приведенные к материальным точкам силы р\ ,пропорциональные изменению ускорений точек в связи с трением. На основании принципа наименьшего принуждения Гаусса, В. В. Румянцев доказал для систем с трением следующий принцип: „среди всех мыслимых ускорений, действительные движения точек систем с трением обращают в минимум величину

и наоборот, условия минимума этой величины но ускорениям, удовлетворяющим условиям связей, приводит к уравнениям движения ". Здесь Хг, У,, - проекции задаваемой силы, действующей на г-ую материальную точку системы. Величина А назовем функцией принуждения. В результате многоэтапных вычислении получена часть функции Гауссового принуждения,зависящая от обобщенных ускорении:

А = и- £(<2* + Як)дк, (8)

где :Е/ = з Е"=1 Е%=1 АакМк + Е"=1 £%=1 Е"=1 к, г]дьдкдг - энергия ускорения

йд, = — Е™=1 £«А'а^01-^- обобщенная реакция связей

- обобщенная активная сила, приводящая к обобщенной координате

Як

Она представляет разность между энергией обобщенных ускорений и работой всех активных сил и сил трения на этих ускорениях. На основании (8) приведем к уравнениям Апнеля для систем с Кулоновым трением:

оси

или получаем следующую систему п уравнений движения механических систем с Кулоновым трением :

п п п т 9иТ(I

АиЧк + Е Ъ ^ЯкЯЬ = Яз-Ш Да = <3« +

*=1 к=14=1 «=1

Формулировка принципа: Разность А между энергией обобщенных ускорений и работой всех задаваемых сил и сил Кулонова трения на этих ускорениях для действительного движения меньше, чем такая разность для любого мыслимого движения, и, наоборот, условия минимума этой разности по ускорениям приводят к уравнениям движения.

В заключении подведены краткие итоги диссертации

1. Полагаем, что усовершенствование закона Кулона должно состоять в принятии ограничений (/г < 1): условие (ц < 1)должно быть включено в законе Кулона.

2. Условие парадоксов Пэнлеве никогда ни реализуется ибо требуется слишком большое значение коэффициента трения. Реальные или, точнее, реалистические ситуации таковы, что механические системы находятся вдали от области параметров, в которой могут появиться парадоксальные ситуации, обнаруженные Пэнлеве. Поэтому разыскание условий появления парадоксов Пэнлеве не является главной задачей исследователя. Мы видим главную задачу исследователя в разыскании и изучении действительных движений фрикционных систем.

3. Составлено точное уравнение движения и уравнение реакции для общего случая вращательной пары. При предельном переходе к случаю сосредоточенной массы получилось уравнение динамики и уравнение нормальной реакции маятника Жуковского-Фроуда.

- выясняется, что маятник Жуковского-Фроуда имеет два положения равновесия,

- свободные колебания маятника по форме существенно отличаются от синусоидальных,

- рассмотрены релаксационные автоколебания маятника Жуковского-Фроуда на основе гипотезы зависимости силы трения при срыве от скорости тангенциального нагружения. В данном случае система имеет свойство жесткого возбуждения автоколебания. Траектория этих автоколебаний для достаточно большой угловой скорости вращения вала имеет форму весьма

близкую к синусоидальной. Значит, что при больших ш„ будет только режим скольжения, а режим подхвата будет отсутствовать. При изменении скорости вращения вала от 0 до оо период редакционных автоколебании уменьшается от бесконечного значения до ^ а амплитуда сначала уменьшается, проходит минимум а затем возрастает. В силу конструктивного демпфирования, автоколебания исчезают при условии и>„ > w*.

4. Составлено уравнение движения и уравнение реакции для кулисного механизма строгального станка. Выясняется, что условие парадоксов Пэнлеве никогда ни реализуется ибо требуется слишком большое значение коэффициента трения. В результате приведенного анализа равномерного движения определено, что оптимальным вариантом строгального станка является вариант станка с длиной кулисы а = 0,6 м.

Основные результаты опубликованы в работах

1. Пальмов, В.А. О проблемах, возникающих при анализе динамики механических систем с кулоновым трением [Текст]/В.А. Пальмов, Фам Чонг Данг Шон// Научно-технические ведомости СПбГТУ-2006.- №5 (47).- С.22-26.

2. Jle Суан Ань. Истолкование принципа Гаусса для систем с кулоновым трением[Текст]/Ле Суан Ань,Фам Чонг Данг Шон // Период. научно-методический журнал. ТММ. Изд. СПбГПУ.- 2006.- №1(7).-Том 4,- С.66-71.

3. Фам Чонг Данг Шон. К динамике систем с трением[Текст| /Фам Чонг Данг Шон// Журнал Технической науки.Изд Данангского политехнического института Вьетнама.-2003.- №2,- С.25-30.

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Подписано в печать 21.03.2007. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100. Заказ 1413Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: 550-40-14 Тел/факс: 297-57-76

Введение

1 Очерк развития теории систем с трением и задачи диссертационного исследования

1.1 Законы трения Кулона.

1.2 Ошибочная позиция в расчете систем с трением и необходимость построения специальной теории систем с трением.

1.3 Парадоксы Пэнлеве. Первая задача теории систем с трением.

1.4 Анализ движении системы Пэнлеве-Клейпа.

1.5 Необходимость дополнительной трактовки кинематики системы с трением, освобожденной от контактной связи с трением

1.6 Исследование вращательной пары и маятника Жуковского-Фроуда.

1.7 Истолкование принципа Гаусса для систем с трением.

2 Анализ системы Пэнлеве-Клейна

2.1 Критический анализ формулы закона Кулона

2.2 Уравнение движения и уравнение реакции системы Пэнлеве-Клейна

2.3 Анализ движения системы при условии 0 < /л tg < 1.

2.4 Анализ поведения системы при условии 1 < цtg^p <

2.5 Анализ системы при условии > 2.

2.6 Анализ поведения системы при = 1.

2.7 Анализ движения системы при условии цЬ^у =

Прошло более двухсот лет со времени выхода знаменитых мемуаров Ш. О. Кулона «Теория простых машин», в которых впервые были сформулированы законы контактного трения. За это время все ведущие механики мира, как А. Аппель, Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье, А. П. Маркеев всегда уделяли должное внимание вопросам о влиянии сил трения па равновесие и движение механических систем. Тем не менее, в науке о системах с трением, как ни в какой другой области механики, еще осталось много нерешенных проблем. К числу таких проблем относятся, в частности, парадоксальные ситуации несуществования и неединственности решения задачи динамики систем с трением. Эти ситуации были обнаружены в конце XIX века П. Пэнлеве и впоследствии получили название "Парадоксы Пэнлеве". Парадоксы Пэнлеве до настоящего времени остаются в центре внимания ученых и специалистов по машиностроению при решении задач динамики систем с трением.

Кроме парадоксов Пэнлеве ученые отметили другие сложные специфические проблемы систем с трением: самоторможение материальных систем, возникновение фрикционных автоколебаний и т. п.

В самом деле, основное различие систем с трением по сравнению с системами без трения заключается в том, что элементарная работа реакции связей в любой системе с трением на произвольном виртуальном перемещении, вообще говоря, не равна пулю. В то же время при расчете динамики систем с трением, инженеры и специалисты, как правило, применяют общеизвестные положения классической механики (главные уравнения динамики, уравнения Лагранжа, уравнения Аппеля, вариационные принципы механики), которые были выведены на основании предположения о несовершении работы реакциями связей. Осознав значимость отмеченного противоречия, * ученые пришли к общему мнению о необходимости создать общую теорию движения систем с трением, в которой с единой позиции разрабатываются подходы ко всем специфическим задачам, возникающим в связи с особенностями систем с трением.

Вышедшая в конце XIX века книга П. Пэнлеве "Лекции о трении"является первой попыткой построить общую теорию движения для систем с трением. В этой книге изучались три специфические задачи:

1) выводы уравнений систем с трением

2) решение парадоксов Пэнлеве

3) построение новой математической формулировки законов трения, ко-ф торая в отличие от модели Кулона не приводит к парадоксам.

Хотя в книге ни одна из этих задач не доведена до логического конца, многие сделанные Пэнлеве выводы служат новыми идеями для исследователей последующих поколений.

Одновременно с Пэнлеве и после него появлялось большое количество литературы, посвященной созданию теории движения систем с трением. Среди множества публикаций ученых выделяются работы Ле Суан Аня, в которых автор впервые убедительно доказал существования всего шести специфических задач теории систем с трением:

1) вывод уравнений нормальных реакций

2) вывод дифференциальных уравнений движения, в которых реакции исключены

3) решение парадоксов Пэнлеве

4) вывод условия сохранения неподвижного состояния и условия перехода в движение

5) разработка понятия самоторможения систем с трением

6) построение теории фрикционных автоколебаний

В [22] изложены решения этих задач. По мнению автора, эти задачи исчерпывают теорию систем с трением, тем самым можно охарактеризовать результаты исследований Jle Суан Аня как первую общую теорию движения систем с трением.

Изложенный в настоящей диссертации материал является попыткой сделать некоторое дополнение к теории механических систем с трением. Как будет показано в гл. 1, анализ теории Jle Cyan Аня и всех существующих теорий по данной проблематике, подтверждает правомерность постановки следующих задач диссертационного исследования:

1)Анализ движении системы Пэнлеве-Клейна

2) Кинематика систем с трением при освобождении ее от контактной связи с трением

3) Исследование вращательной пары и маятника Жуковского-Фроуда с точным учетом кулоновского трения в подшипнике скольжения.

4) Итолкование принципа Гаусса для систем с трением

5) Учет сухого трения в кулисном механизме строгального станка

Общие выводы и заключение

1. Полагаем, что усовершенствование закона Кулона должно состоять в принятии ограничений (/л < 1): условие (ц < 1)должно быть включено в законе Кулона.

2. Условие парадоксов Пэплеве никогда ни реализуется ибо требуется слишком большое значение коэффициента трения . Реальные или ,точнее, реалистические ситуации таковы, что механические системы находятся вдали от области параметров, в которой могут появиться парадоксальные ситуации,обнаруженные Пэнлеве. Поэтому разыскание условий появления парадоксов Пэнлеве не является главной задачей исследователя. Мы видим главную задачу исследователя в разыскании и изучении действительных движений фрикционных систем.

3. Составлено точное уравнение движения и уравнение реакции для общего случая вращательной пары . При предельном переходе к случаю сосредоточенной массы получилось уравнение динамики и уравнение нормальной реакции маятника Жуковского-Фроуда.

- выясняется , что маятник Жуковского-Фроуда имеет два положения равновесия

- свободные колебания маятника по форме существенно отличаются от синусоидальных

- рассмотрены релаксационные автоколебания маятника Жук-овского-Фроуда на основе гипотезы зависимости силы трения при срыве от скорости тангенциального нагружения. В данном случае система имеет свойство жестского возбуждения автоколебаний . Траектория этих автоколебания для достаточно большой угловой скорости вращения вала имеет форму весьма близкую к синусоидальной.Значит ,что при больших и0 будет только режим скольжения ,а режим подхвата будет отсутствовать. При изменении скорости вращения вала от 0 до оо период редакционных автоколебании уменьшается от бесконечного значения до ^ а амплитуда сначала уменьшается , проходит минимум а затем возрастает. В силу конструктивного демпфирования , автоколебания исчезают при условии и0 > ш*

4. Составлено уравнение движения и уравнение реакции для кулисного механизма строгального станка .Выясняется, что условие парадоксов Пэнлеве никогда ни реализуется ибо требуется слишком большое значение коэффициента трения .В результате приведенного анализа равномерного движения определено, что оптимальным вариантом строгального станка является вариант станка с длиной кулисы а = 0, б м.

1. Андропов, A.A. Теория колебания Текст] : монография/ А.А.Андронов, А.А.Витт, С.Э.Хайкин.-М.:Наука,1981.-568с.

2. Аппел, П. Теоретическая механикаТекст]:учеб.для вузов /П.Аппел.-М.:Физмат,1960.-486с.

3. Боголюбов, H.H. Асимтотические методы в теории нелинейных колебаний Текст] :монография/Н. Н.Боголюбов, Ю.А.Митролпольский.-М:Наука, 1974.-504с.

4. Болотов, Е.А. О движении материальной плоской фигуры, стесненной связями с трением Текст]:монография/Е.А.Болотов.-М:Универ-тип,1906.-25с.

5. Болотов, Е.А. Об ударе двух твердых тел при действии трения Текст]/Е.А.Болотов// Изв.моек. инж. училица,1908.-Ч.2.-Вып.2.-С.43-45.

6. Бутенин, Н.В.Рассмотрение вырожденных динамических систем с помощью гипотезы скачка Текст]/Н.В.Бутенин//ПММ.-1948.-Т.12.Вып.1.-С.3-22.7. БСЭ.Т.26.-М,1977.-С.184.

7. Вейц, B.JI. Нелинейные задачи динамики и прочности машинТекст]:монография/В.Л.Вейц.-Л:Изда-во ленин. уни-та,1987.-335с.

8. Ветюков, М.М. Исследование движения тела на плоскости с трением с помощью диссипативной функцииТекст]/М.М.Ветюков //Сб научных трудов СПбГТУ Механика и процессы управления.-1997.-№497.-С.22-26.

9. Горяченко, В. А.Элементы теории колебаний Текст] :учеб. для вузов/В.А.Горяченко.-М:Высшая школа,2001.-395с.

10. Джамай, В.В. Прикладная механика Текст] :учеб. для вузов/В.В.Джамай.-М:Высшая школа,2004.-415с.

11. Иванов, А.П. О корректности основной задачи динамики в системах с трениемТекст]/А.П,Иванов// ПММ ,-1986.-Т.50.Вып.5.-С.712-716.

12. Кайдановский, H.JI. Механические релаксационные колеба-нияТекст]/Н.Л.Кайдановский,С.Э.Хайкин // >КТФ.-1933.-Т.3.вып .1.-С.91-109.

13. Крагельский, И.В. О трении несмазанных поверно-стейТекст]/И.В.Крагельский//В книге:Трение и износ в маш. М-Л Изд.АН СССР.-1939.-Т.1.-С.543-561.

14. Крагельский, И.В. Основы расчетов на трение и износ Текст]:монография/И.В.Крагельский.-М:Машиностроние,1977.-526с

15. Крагельский, И.В.Релаксационные колебания в упругих системах тре-нияТекст]/И.В.Крагельский,Ю.И.Костерин// В сб: Трение и износ в машинах. М .Изд АН СССР. -1958.-Вып.12.-С. 119-143

16. Кудинов, В.А.Динамика станковТекст]/В.А.Кудинов.-М:Изд Машиностроение, 1967.

17. Левитский ,Н.И.Теория механизма и машин Текст] :учеб.для вузов/Н.И.Левитский.-М: Наука,1990.-590с

18. Ле Суан Ань. Механические релаксационные автоколебания Текст]/Ле Суан Ань// Изв АН СССР. МТТ.-1973.-№2.-С.47-50.

19. Ле Суан Ань. Исследование автоколебаний при трении. Текст] :дисс. канд. тех.наук:01.02.06/Ле Суан Ань.-Л.,1972.-166 с.

20. Ле Суан Ань. О парадоксах Пэнлеве в системах с кулоновым трени-емТекст]/Ле Суан Ань//Сб научных трудов ЛПИ Механика и процессы управления.-1988.-№417.-С.91-97.

21. Ле Суан Ань. Динамика систем с кулоновым трением Текст] :монография.-СПб:Изд Нестор, 1999.-298с.

22. Лойцянский, А.Г.Курс теоретической механикиТекст]:учеб.для вузов/А.Г.Лойцянский,А.И.Лурье.-М:Изд.Тех-теор.лит,1983.-Т.2.-639с.

23. Лурье, А.И. Аналитическая механикаТекст]: монография.-М:Физма,1961.-824с.

24. Маркеев, А.П.Теоретическая механикаТекст]:учеб.для вузов/А.П.Маркеев.-М.Иж:Динамик,2001.-591с.

25. Меркин, Д.Р.Введение в теорию устойчивости движения Текст] :учеб. для вузов/Д.Р,Меркин.-М.:Наука,1987.-304с.

26. Меркин, Д.Р. Прикладные задачи динамики твердого те-лаТекст]:учебное пособие/Д.Р.Меркин,Б.А.Смольников.-Изд.СПб уни-та,2003.-532с.

27. Пожарицкий, Г.К. Распространение принципа Гаусса на системы с сухим трениемТекст]/Г.К.Пожарицкий//ПММ.-1961.-Т.25.ВыиЗ.-С.391-406.

28. Петров, В.Ф. К теории существования автоколебаний при тре-нииТекст]/В.Ф.Петров//Изв. АН СССР.МТТ.-1973.-№2.-С.151-156.

29. Пэнлеве, П. Лекции о тренииТекст]:монография.-М:ГИТТЛ,1954.-316 с.

30. Румянцев, В.В. О системах с трением Текст]/В.В.Румянцев//ПММ.-1961.-Т.25 .-Вып.6.-С.969-977.

31. Скуридин, М.А. Динамика плоских механизмов с учетом трении. Текст] :доктор.диссертация/М.А.Скуридин.-М.,1954.-381с.

32. Стрельков, С.П. Маятник ФроудаТекст]/С.П.Стрельков// ЖТФ.-1933,-Вып .4.-С.563-573.

33. Юдин, В.А. Теория механизмов и машин.Текст]:учеб.для вузов/В.А.Юдин,Л.В.Петрокас.- М.:Высшая школа, 1977.-528с.

34. Klein F .Zur Painleves kritik der Coulombschen Resburgsgesefze.//Zt schr.f/Mathu Physik.-1909.-H.58.-S186-191.

35. Lecornue L. Surlefrottement de gli ssemeht.// Comptes Rendur. Aacad. Sci.-1905.-T.140.-P.635-637.

36. Pfeiffer F. Zur Frage der Sogenannter Coulotbschen Reibungsgesetze //Zf sehr für Math und Physik.-1909.-H.58.-S.273-311.

37. Prandtl L Bemerkungen rh den Aufsätzen der Herren F.Klein, R.v.Mises und G.Hamel.//Ztschr. für Math, und Physik.-1909.-H.58.