Теория дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Часть I. Правосторонние решения дифференциальных уравнений с разрывной правой частью

Глава 1. Существование,и общие свойства решений

§1. Основные условия и вспомогательные утверждения.

§2. Теорема существования и продолжимости решений.

§3. Непрерывная зависимость решений от начальных состояний и параметров

§4. Некоторые свойства интегральной воронки

§5. О точках правой единственности

§6. Об однозначном доопределении дифференциальных уравнений в точках разрыва правых частей

Глава 2. Принцип инвариантности и притяжение для автономных систем

§1. Свойства ^-предельных множеств

§2. Принцип инвариантности с использованием нескольких функций Ляпунова.

§3. Притяжение для граничных множеств

Глава 3. Устойчивость автономных систем

§ 1. Г-секторы и основные леммы

§2. Теорема об устойчивости

§3. Асимптотическая устойчивость и неустойчивость

Часть II. Математическая теория уравнений динамики механических систем с трением скольжения

Глава 4. Дифференциальные уравнения динамики механических систем с трением скольжения

§1. Уравнения движения механических систем с трением.

Постановка задачи

§2. Преобразование уравнений движения.

Уравнения динамики

§3. Разрешимость уравнений динамики относительно старших производных

§4. Основные свойства уравнений динамики.

Глава 5. Правосторонние решения уравнений динамики механических систем с трением скольжения

§1. Существование и продолжимость решений

§2. Непрерывная зависимость решений от начальных состояний и параметров

§3. О правосторонней единственности решений

§4. Пример Пэнлеве

§5. Маятниковая система с трением в шарнире и опоре

§6. Уравнения движения механических систем с трением и дифференциальные включения

Глава 6. Притяжение и устойчивость.

§1. Притяжение в механических системах под действием потенциальных, диссипативных, гироскопических сил и сил трения скольжения

§2. Пример

§3. Устойчивость множества положений равновесия. Еще две теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости

§4. Пример. Маятниковая система с трением в шарнире и опоре под действием упругой силы

Глава Т. Теоремы сведения для точечной устойчивости положений равновесия.

§1. Обозначения, определения и вспомогательные утверждения.

§2. Устойчивость внутренних положений равновесия

§3. Устойчивость относительной границы множества положений равновесия

Теория дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями восходит к задачам классической механики, где впервые изучались механические системы с сухим трением в работах П. Пэнлеве [82], П. Аппеля [4], [5]. Такими уравнениями в настоящее время описывается большое число задач в теории колебаний (A.A. Андронов, A.A. Витт, С.Э. Хайкин [2]), в теории автоматического управления (В.И. Уткин [57]), для систем с переменной структурой [56], в теории устойчивости (Е.А. Барба-шин [7], H.H. Красовский [19], В.М. Матросов [23], [80], А.Х. Гелиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович [11]).

Систематическое изложение различных вопросов теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями и обзоры имеются в статьях В.М. Матросова [25], М.А. Айзермана, Е.С. Пятницкого [1], в книге А.Ф. Филиппова [58].

Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями могут возникать, как в результате предельных переходов при идеализации каких-либо характеристик уравнений, описывающих реальную систему, так и в случаях, когда физические законы выражаются разрывными функциями.

Математические модели механических систем с кулоновым трением имеют свою специфику и представляют собой системы дифференциальных уравнений, правые части которых являются функциями, разрывными относительно обощенных скоростей. Уравнения движения должны быть определены всюду в рассматриваемой области, в том числе — ив точках разрыва правых частей. Доопределение правых частей осуществляется с учетом физического смысла и природы изучаемой механической или иной системы. Но при этом возникают требования и математического характера: по-крайней мере существование локальных решений для любых начальных состояний, продолжимость и непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметров системы. Это безусловно подкрепляет адекватность построенной математической модели реальному физическому процессу и необходимо для исследования динамических свойств движений системы.

Многие трудности, возникающие в общей теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, связаны с необходимостью осуществления предельных переходов для последовательностей приближенных и точных решений таких уравнений и часто преодолеваются при помощи выпуклого многозначного доопределения правых частей дифференциальных уравнений в точках разрыва (см. [58]). В этом случае используются результаты и методы теории дифференциальных включений, хорошо разработанной к настоящему времени. Но при таком подходе может реализоваться слишком грубая математическая модель реального физического процесса, а решения понимаются в смысле Каратеодо-ри, которые являются дифференцируемыми почти всюду. Решения Каратеодори теряют дифференцируемость именно на поверхности (или пересечении поверхностей) разрыва правых частей уравнений, т.е. в тех точках, которые несут наибольшую информацию о поведении изучаемой физической или иной системы, обусловленную спецификой задачи. С этой точки зрения более содержательным и естественным по смыслу во многих прикладных задачах, в частности, для задач механики систем с трением скольжения, является понятие правостороннего решения, а точный учет физических законов или иных соображений, связанных с природой изучаемой системы, может привести к дифференциальным уравнениям с разрывной правой частью, однозначно определенной в точках разрыва. Для таких уравнений доказательство существования решений значительно сложнее, а условия существования решений имеют не только теоретический интерес, так как они могут представлять собой какие-либо оценки параметров системы, для которых построенная математическая модель описывает реальный физический процесс. Так, в классической механике систем с трением скольжения условия существования правосторонних решений (ускорения понимаются, по существу, как правые производные скорости) уравнений динамики могут представлять собой неравенства, связывающие коэффициенты трения и инерции, в рамках которых обосновывается применимость законов Кулона.

Законы Кулона определения сил сухого трения оправдывают себя для многих механических систем и используются для описания движений различных механизмов и устройств (см., например, [21], [12], [17]).

Но сила трения в реальных механических системах возникает в результате сложных и разнообразных явлений и зависит от многих факторов (свойства материалов скользящих поверхностей, скорость скольжения, температура и др.). Законы трения основаны на экспериментальных данных. Использование их в теоретических исследованиях может привести к пародоксальным ситуациям.

В 1895 году П. Пэнлеве [82] привел пример, когда уравнения движения, составленные с использованием законов Кулона и гипотезы существования абсолютно твердых тел, для определенных начальных состояний либо определяли сразу два движения, либо не определяли ни одного движения. Эти явления, получившие названия парадоксов П. Пэнлеве, явились причиной дисскус-сии, теоретических и экспериментальных исследований, которые продолжаются и по сей день.

Общая теория систем с трением была создана П.Пэнлеве [82]. Сформировались два основных направления ее развития. В одном из них, как возможный способ ликвидации парадоксов П.Пэнлеве, предлагается введение дополнительных механических гипотез, таких, как отказ от абсолютной жесткости твердых тел, возникновение упругих деформаций в зоне контакта, наличие исчезающе малых зазоров в точках соприкосновения трущихся тел (см. Н.В. Бу-тенин [10], H.A. Фуфаев [60], Ю.И. Неймарк [39], Ле Суан Ань [20]).

Другой подход развивается в рамках механики систем абсолютно твердых тел. Здесь в работах П. Аппеля [4], [5], Н.Г. Чета-ева [76], Г.К. Пожарицкого [44], В.В. Румянцева [50] для систем с трением установлены общие принципы механики — принцип возможных перемещений Эйлера-Лагранжа и принцип наименьшего принуждения Гаусса, позволяющие выводить уравнения Лагран-жа движения таких систем.

Различным вопросам механических систем с трением, в том числе и анализу проявлений парадоксов П. Пэнлеве, посвящены работы [52], [41], [14], [15], [46], [45], [3], [8], [43], [55], [75], [83], [61], [72], [13]).

Важное значение имеет форма записи уравнений движения механических систем с трением, которая связана прежде всего с вычислением и анализом нормальных реакций системы в точках соприкосновения трущихся тел. Например, в цикле работ В.В. Никольского, Ю.П. Смирнова ([41], [42] и др.) вводится принцип вариантности удерживающих связей, который связан с выбором истинного движения из набора возможных, что и определяет соответствующую форму уравнений динамики.

В.М. Матросов в статье [23] ввел дифференциальные уравнения движения голономных механических систем с трением скольжения, с идеальными, удерживающими, нестационарными связями в форме

3)3 = Ь Я) + V, 9) + 9, Ь '4) (0-1) где q) — матрица коэффициентов инерции, д, д), д, д) включают обобщенные гироскопические силы, переносные силы инерции, некоторые инерционные члены и активные силы, (5т(/,д,д,д) — обобщенные силы трения скольжения, зависящие от нормальных реакций, которые являются функциями ускорений.

Несмотря на сложность анализа таких уравнений, предложенный подход позволяет придать парадоксам П. Пэнлеве в рамках классической механики систем тел чисто математический характер, а именно: "невозможность"или "неединственность" движений связана с неразрешимостью или неоднозначной разрешимостью уравнения (0.1) относительно старших производных (ускорений). Соответственно этому и устраняться парадоксы могут математическими методами. Законы механики (как и законы других наук) для описания реальных процессов имеют свои границы применимости, которые подлежат определению, исходя из тех или иных критериев. Существование и единственность правосторонних решений уравнений движения могут быть таким критерием, в данном случае — критерием применимости законов Кулона для описания механических систем с трением скольжения.

Однако, следует заметить, что однозначная определенность и совместимость уравнений движения с законами Кулона не устраняет трудностей изучения этих уравнений, связанных с разрывной зависимостью сил трения от обобщенных скоростей, поскольку в этом случае не применима классическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, возникает задача исследования уравнения (0.1) в форме $ = <3(*,д,<7) (0.2) с разрывной, неявно заданной уравнением (0.1) функцией С. Анализ уравнений (0.1) показал, что имеется некоторый набор свойств функции С, в рамках которых для уравнения (0.2) можно развивать достаточно полную математическую теорию. Обобщение этих свойств, взятых в качестве предположений, выявляет, по сути дела, новый класс дифференциальных уравнений с однозначно определенной разрывной правой частью, для которого возможно решить основной круг вопросов общей теории (существование, продолжимость правосторонних решений, зависимость их от начальных условий и др.) и развивать методы качественной теории. Такая обобщенная постановка задачи позволяет, с одной стороны, показать, какие свойства уравнений движения систем с трением являются определяющими с точки зрения изучения их математическими методами, а с другой — непосредственно применять результаты и методы исследований к системам иной природы.

Целью диссертационной работы является систематическое исследование уравнений движения (0.1) механических систем с трением скольжения в рамках механики систем абсолютно твердых тел с максимальным учетом специфики задачи и структуры уравнений, которые представляют собой систему дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, неразрешенных относительно старших производных; построение их общей математической теории, в которой устраняются парадоксы П. Пэнлеве, и на этой основе развитие методов качественной теории изучения устойчивости, выявление закономерностей движений и свойств уравнений, не известных ранее, позволяющих применять математические методы исследования к системам с трением в дальнейшем и изучать новые классы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

Диссертация состоит из введения, семи глав, разбитых на две части, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1. Найдены условия разрешимости уравнений динамики механических систем с трением скольжения, позволяющие в рамках механики систем абсолютно твердых тел интерпретировать классические парадоксы П. Пэнлеве "о несуществовании" или "неединственности" движений и устранять их чисто математическими средствами. Изучены неизвестные ранее свойства уравнений динамики, которые являются определяющими с точки зрения построения их математической теории.

2. Решен основной круг вопросов общей теории уравнений динамики: существование, продолжимость, непрерывная зависимость правосторонних решений от начальных состояний и изучен ряд других свойств, позволяющих развивать методы качественной теории.

3. На уравнения динамики систем с трением распространены методы классической теории дифференциальных уравнений исследования вопросов притяжения: принцип инвариантности Ла-Салля и получены его модификации с использованием нескольких функций Ляпунова.

4. Предложены методы исследования устойчивости в малом множества неизолированных положений равновесия систем с трением, использующие конструкции, выявленные из анализа уравнений динамики и позволяющие преодолевать трудности, связанные со структурой уравнений динамики: неразрешенностью относительно старших производных и разрывностью правых частей.

5. Доказаны теоремы сведения, которые дополняют методы анализа устойчивости множества положений равновесия систем с трением, дают более полную картину поведения решений вблизи внутренних положений равновесия и максимально учитывают специфику задачи.

6. На основе исследования систем с трением определен и изучен новый класс дифференциальных уравнений с разрывной, однозначно определенной правой частью, в основу описания которого положены выведенные на уровень предположений в более общей форме основные свойства уравнений динамики систем с трением, что позволяет развивать методы исследования систем с трением в дальнейшем и переносить их на системы, возможно, иной природы.

1. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем //АиТ. 1974. №7. С. 33-47; №8. С. 39-61.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний // М.: Физматгиз, 1959.

3. Андронов A.A., Баутин H.H., Горелик Г.С. Теория непрямого регулирования при учете кулоновского трения в чувствительном элементе // АиТ. 1946. №1. С.15-41.

4. Аппель П. Теоретическая механика. Т.1 // М.: Физматгиз, 1960.

5. Аппель П. Теоретическая механика. Т.2 // М.: Физматгиз, 1960.

6. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. К теории релейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов, сер. матем. 1962. №1. С.3-13.

7. Барбашин Е.А. Введение в теорию колебаний // М.: Наука, 1967.

8. Баженов В.А., Гром A.A., Лизунов П.П. Нелинейные колебания механических систем с сухим трением // Прикладная механика. Киев. 1983. №8. Т.19. С.91-95.

9. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обухов-ский В.В. Введение в теорию многозначных отображений // Воронеж. Воронежский университет. 1986.

10. Бутенин Н.В. Рассмотрение "вырожденных" динамических систем с помощью гипотезы "скачка" // ПММ. 1948. Т.12. Вып.1. С.3-22.

11. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия // М.: Наука, 1978.

12. Геккер Ф.Р. Динамика машин, работающих без смазочных материалов // М:. Машиностроение, 1983.

13. Иванов А.П. О корректности основной задачи динамики в системах с трением // ПММ. 1986. Т.50. Вып.5. С.712-716.

14. Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусько Ф.Л. О движении плоских тел при наличии сухого трения // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. №4. С.17-28.

15. Железцов H.A. Метод точечного преобразования и задача о вынужденных колебаниях осциллятора с комбинированным трением // ПММ. 1949. Т.13. Вып.1.

16. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа // М.: Наука, 1976.

17. Колчин Н.И. Механика машин // Ленинград: Машиностроение, 1972.

18. Куратовский К. Топология, Т.1 // М.: Мир. 1966.

19. Красовский H.H. Некотороые задачи теории устойчивости // М.: Физматгиз. 1959.

20. Jle Суан Ань Парадоксы Пэнлеве и законы движения механических систем с кулоновым трением // ПММ. 1990. Вып.4. С. 520-529.

21. Ле Суан Ань Теория механических систем с трением скольжения // Деп. в ВИНИТИ. №84-В87. С.1-202.

22. Лурье А.И. Аналитическая механика // М.: Физматгиз, 1961.

23. Матросов В.М. О теории дифференциальных уравнений и неравенств с разрывными правыми частями // Годишник Висш. учебн. завед. Приложен, мат., София, 1982. Т. 17. №4. С.6-35.

24. Матросов В.М. Об устойчивости множеств неизолированных положений равновесия неавтономных систем // Труды КАИ. 1965. Т.69. С.20-32.

25. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями, 1,2 // Дифференц. уравнения. 1967. Т.З. №3. С.395-409; №5 С.839-848.

26. Матросов В.М., Финогенко И.А. О разрешимости уравнений движения механических систем с трением скольжения // ПММ. 1994. Т.58. Вып.6. С.3-13.

27. Матросов В.М., Финогенко И.А. О решениях дифференциальных уравнений динамики механических систем с трением скольжения // Докл. РАН. 1994. Т.336. №1. С.57-60.

28. Матросов В.М., Финогенко И.А. О правосторонних решениях дифференциальных уравнений динамики механических систем с трением скольжения // ПММ. 1995. Т.59. Вып.б. С.877-886.

29. Матросов В.М., Финогенко И.А. О свойствах правосторонних решений уравнений динамики механических систем с трением скольжения // Докл. РАН. 1995. Т.343. С.53-56.

30. Матросов В.М., Финогенко И.А. О существовании правосторонних решений дифференциальных уравнений динамики механических систем с сухим трением // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. №2. С.185-192.

31. Матросов В.М., Финогенко И.А. К теории дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением. 1/1 Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. №5. С.606-614.

32. Матросов В.М., Финогенко И.А. К теории дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением. 2 // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. №6. С.769-773.

33. Матросов В.М., Финогенко И.А. О принципе инвариантности и притягивающих множествах для автономных систем // Доклады РАН. 1996. Т.349. №1. С.46-48.

34. Матросов В.М., Финогенко И.А. О притяжении для автономных механических систем с трением скольжения // ПММ. 1998. Т.62. Вып.1. с.100-120.

35. Матросов В.М., Финогенко И.А. Об устойчивости множества положений равновесия автономных систем с трением скольжения // ПММ. 1998. Т.62. Вып.б. С.934-944.

36. Матросов В.М., Финогенко И.А. О свойствах решений уравнений динамики механических систем с трением скольжения // 4-я международная конференция " Лаврентьевские Чтения по математике, механике и физике". Казань. Тез. докл. 1995. С.73.

37. Матросов В.М., Финогенко И.А. Об устойчивости автономных механических систем с трением скольжения // 7-я Чета-евская конференция по аналитической механике, устойчивости и управлению движением. Казань. Тез. докл. 1997. С.58.

38. Матросов В.М., Финогенко И.А. Об уравнениях движения механических систем с трением скольжения // Международный семинар по нелинейному моделированию и управлению. Самара. Тез. докл. 1997. С.102-103.

39. Неймарк Ю.И. Еще раз о парадоксах Пэнлеве // Изв. РАН. МТТ. 1995. №1. С. 17-21.

40. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Парадоксы Пэнлеве и динамика тормозной колодки // ПММ. 1995. Т.59. Вып.З. С.366-375.

41. Никольский В.В., Смирнов Ю.П. Динамика систем с многовариантными моделями контактного взаимодействия трущихся тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. №2. С. 51-59.

42. Никольский В.В., Смирнов Ю.П. О формах уравнений динамики систем с сухим трением // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №1. С. 15-22.

43. Подольский В.Г. Вопросы качественной теории вынужденных периодических колебаний конструкций с учетом сухого трения // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. №3. С.20-27.

44. Пожарицкий Г.К. Распространение принципа Гаусса на системы с сухим трением // ПММ. 1961. Т.25. Вып.З. С.391-406.

45. Пожарицкий Г.К. Исчезающие скольжения механических систем с сухим трением // ПММ. 1965. Т.29. Вып.З. С.558-563.

46. Пожарицкий Г.К. Об устойчивости равновесий для систем с сухим трением // ПММ. 1962. Т.26. Вып.1. С.5-14.

47. Персидский С.К. О применении линейных форм в качестве функций Ляпунова // Изв. АН Каз.ССР. Сер. физ.-мат. 1968. С.39-46.

48. Персидский С.К. О некоторых теоремах второго метода Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5. №4. С.678-687.

49. Пятницкий Е.С. Управляемость классов лагранжевых систем с ограниченными управлениями // АиМ. 1996. №12. С.29-37.

50. Румянцев В.В. О системах с трением // ПММ. 1961. Т.25. Вып.6. С.969-977.

51. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости // М.: Мир, 1980.

52. Смирнов Ю.П. Уравнения движения систем с неидеальными удерживающими связями // Изв. АН СССР. 1983. №2. С.63-71.

53. Толстоногов A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве // Новосибирск: Наука, 1986. 296 с.

54. Тонкова B.C., Тонков E.JI. Некоторые свойства усредненных решений системы регулирования с разрывной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 1973. Т.9. №2. С. 278-289.

55. Трухан Н.М. Вынужденные колебания механических систем/ при учете сухого трения // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. №ll С.50-55.

56. Теория систем с переменной сируктурой // Под ред. Емельянова C.B. М.: Наука, 1970.

57. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления // М.: Наука, 1981.

58. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // М.: Наука, 1985.

59. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ. Сер. матем., механ., астрон., физ., хим. 1959. №2. С.25-32.

60. Фуфаев H.A. Динамика системы в примере Пэнлеве-Клейна. О парадоксах Пэнлеве // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. №4. С.48-53.

61. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями // М.: Наука, 1994.

62. Финогенко И. А. К теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, возникающих в динамике систем с трением // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. №11. С.1572.

63. Финогенко И.А. Теоремы сведения для дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с тренем // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. №12. С.1609-1615.

64. Финогенко И.А. Об устойчивости множества положений равновесия автономных систем // Доклады РАН. 1999. Т.365. №4.

65. Финогенко И.А. Об одном классе дифференциальных уравнений с разрывной правой частью // Известия РАЕН. 1999. №4. (в печати)

66. Финогенко И.А. Правосторонние решения дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и механические системы с трением // Труды 11-ой Байкальской международной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск. 1998. Т.2. С.125-128.

67. Финогенко И.А. О дифференциальных уравнениях динамики механических систем с трением скольжения // Международная конференция "Всесибирские Чтения по математике и механике". Томск. Тез. докл. 1997. С.15-16.

68. Финогенко И.А. О теории дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением // Всеросс. конференция " Алгоритмический анализ некорректных задач". Екатеринбург. Тез. докл. 1998. С.268-269.

69. Финогенко И.А. Математическая теория дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск. Тез. докл. 1998. С.38.

70. Finogenko I.A. The mathematical theory of differential equations, arising in dynamics of systems with dry friction // Международный конгресс "Нелинейный анализ и его приложения". Москва. Тез. докл. 1998.

71. Формальский A.M. Управляемость и наблюдаемость систем с ограниченными ресурсами // М.: Наука, 1974.

72. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения // М.: Мир, 1970.

73. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ // М.: Мир, 1989.

74. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы // М.: Наука, 1974.

75. Четаев Н.Г. О некоторых связях с трением // ПММ. 1960. Т.24. Вып.1. С.35-38.

76. Davy J.l. Properties of the solution set of a generalized differential equation // Bull. Austral. Math. Soc. 1972. V.6. №3. P.379-398.

77. Deimling K. // Diff. and Int. Equation. 1990. V.3. №4. P.639-642.

78. La Salle J.P. An invariance principle in the theory of stability // Differential Equation and Dynamical Systems. New-York-London. Academic Press. 1967. P.267-275.

79. Matrosov V.M. Attraction and stability in discontinuous systems // Colloquia mathematica societatis janos bolyal 47. Differential equations: Qualitative theory. Szeged (Hungary), 1984. P.751-770.

80. Manuel D.P. Monterio Marques. Differential inclusions in nonsmooth mechanical problems //. Progress in nonlinear differential equation and their applications. V.9. 1993. Birkhauser Verlag. Basel-Boston-Berlin.

81. Painleve P. Lecons sur le frottement // Pariis: Hermann. 1895. lllp. (рус. перевод // M.: Гостехиздат, 1954. 316 с. ).

82. Shaw S.W. On the dynamic response of a system with dry friction // J. Sound and Vibr. 1986. V.108. №2. P.305-325.

83. Finogenko I.A. To the theory of differential equations, arising in dynamics of systems with dry friction // The First Pan-China on Differential Equation. Kunming, China, 1997.

84. Matrosov V.M., Finogenko I. A. On the stability of the equilibrium poins for autonomous system with dry friction // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Application. 1997. V.30. №5. pp.2839-2842.1. Рис.1.1. Рис.2.f