Реномгрупповой анализ новых типов критического поведения при переходе к хаосу в нелинейных системах, описываемых двумерными отображениями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Российская Академия Наук Саратовский филиал Института радиотехники и электроники

На правах рукописи

САТАЕВ Игорь Рустамович

РЕНОРМГРУППОВОЙ АНАЛИЗ НОВЫХ ТИПОВ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ПРИ ПЕРЕХОДЕ К ХАОСУ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ, ОПИСЫВАЕМЫХ ДВУМЕРНЫМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ

01.04.03 — Радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов С.П.

Саратов — 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ '

Введение..................................................... 4

ГЛАВА 1. ПЕРЕХОД К ХАОСУ ЧЕРЕЗ УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА:

и *

РЕНОРМГРУППОВОИ АНАЛИЗ (обзор)..........................................13

1.1. Уравнение РГ Фейгенбаума-Цвитановича...............14

'1.2. Фейгенбаумовский тип критичности. ;..................................16

1.3. Общие замечания о коразмерности и типичности.......18

1.4. Критические ситуации коразмерности три

для одномерных отображений.........................20

1.5. 1$итическое поведение

в бимодальных отображениях. ........................26

1.6. От одномерных отображений к двумерным..............35

1.7. Двумерное обобщение уравнения РГ...................38

1.8. Удвоения в консервативных отображениях.............40

1.9. Критическое поведение в системе двух логистических отображений с однонаправленной связью..............43

1.10. Задача поиска и анализа новых типов

критического поведения............................ 49

1.11. Выводы к первой главе .......................'.......51

ГЛАВА 2. НОВМЙ ТИП КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ, АССОЦИИРУЮЩИЙСЯ

С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ РГ (тип РО)----53

2.1. Модификация модельного отображения ,

с включением обратного воздействия.................53

2.2. Ренормгрупповой анализ.............................56

2.3. Особенности двумерных отображений

и их связь с классами универсальности. .............60

2.4. Модельное отображение и его динамика ..............................64

2.5. Решение линеаризованного РГ уравнения..............70

2.6. Динамика в критической точке и фрактальная

структура критического аттрактора ....................................73

2.7. Топография пространства параметров и ее скейлинговые свойства ........................................................79

2.8. К вопросу об экспериментальной реализации..........81

2.9. Выводы ко второй главе............................. 83

ГЛАВА 3. УНИВЕРСАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТИПА С.....................84

3.1. "Спуск по коразмерности": модификация отображения

с включением линейного члена.......................84

* 3.2. Ренормгрупповой анализ............................. 87

3.3. Модельное отображение .............................. 93

3.4. Динамика модельного отображения....................95

3.5. Бесконечное самоподобное множество аттракторов

в критической точке: критический квазиаттрактор.......99

3.6. Структура пространства параметров вблизи критической точки типа С ............................105

3.7. Выводы к третьей главе .............................110

ГЛАВА 4. НЕФЕЙГЕНБАУМОВСКИЕ ТИПЫ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ В СИСТЕМЕ ЧУА: ДВЙ1АРАМЕТРИЧЕСКИИ АНАЛИЗ ) ПЕРЕХОДА К ХАОСУ В ПРИБЛИЖЕННОМ

ОДНОМЕРНОМ ОТОБРАЖЕНИИ ЧУА .........................112

4.1. Система Чуа: динамика в терминах дифференциальных уравнений. ........................113

4.2. Отображение Пуанкаре для системы Чуа ...............117

4.3. Система Чуа: динамика в терминах приближенного одномерного отображения.

Фейгенбаумовская критичность в системе Чуа.........123

4.4. Бинарное дерево циклов двойной сверхустойчивости и множество критических точек коразмерности два

в одномерном отображении Чуа.......................126

4.5. Свойства динамики в критических точках коразмерности два..................................135

4.6. Самоподобная структура пространства параметров в окрестности критических точек коразмерности два..................................142

4.7. Выводы к четвертой главе ...........................151

ГЛАВА 5. НЕФЕЙГЕНБАУМОВСКИЕ ТИПЫ КРИТИЧНОСТИ

В СИСТЕМЕ ЧУА......................................152

5.1. Система Чуа: от приближенного одномерного отображения к точному двумерному...................153

5.2. Система Чуа: трикритичность

в двумерном отображении............................160

5.3. Критическое поведение в системе

двух контуров Чуа с односторонней связью. ..........167

5.4. Выводы к пятой главе...............................178

Основные результаты и выводы ................................179

Литература ..................................................182

I. Введение

Актуальность работы.

На первых этапах развития ренормгруппового (РГ) метода в нелинейной динамике исследовались неподвижные точки РГ преобразования, относящиеся к одномерным отображениям. За короткое время после открытия фейгенбаумовского типа критичности

II,2] были выявлены и детально изучены сценарии перехода к хаосу через перемежаемость, разрушение квазипериодических движений [38]. Если исследуемая нелинейная система содержит более одного управляющего параметра, то у порога возникновения хаоса могут появиться новые ситуации со своими свойствами универсальности. Для сценариев, связанных с удвоениями периода, это трикритические точки 19], другие критические точки бимодальных одномерных отображений, отвечающие циклам различного периода РГ уравнения Фейгенбаума 110-14], а также двухпараметрическое критическое поведение диссипативных систем, демонстрирующих удвоения периода, вблизи нулевого значения параметра диссипации - гамильтоновский тип критичности 115-221. Указанные критические ситуации характеризуются векторным скейлингом [23]: топография пространства параметров воспроизводит себя при пересчете масштабов в некоторое число раз вдоль подходящих осей координат.

Если говорить о динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями, то при их анализе методом сечений Пуанкаре в общем случае могут получаться только обратите отображения - двумерные, если фазовое пространство трехмерно. В то же время исследование одномерных пеобршшшх отображений оказалось весьма плодотворным для понимания общих закономерностей перехода к хаосу, в частности, через удвоения

периода. При наличии диссипации, то есть сжатия элемента фазового объема, при движении вдоль траектории, точное многомерное отображение Пуанкаре во многих случаях оказывается возможным заменить на приближенное одномерное. Последнее уже не обязано быть обратимым. В частности, как оказывается, существенным моментом, ответственным за удвоения периода, и, следовательно, за сценарий Фейгенбаума, является наличие у отображения квадратичного экстремума на интервале переменной X, отображаемом в себя.

Однако возможность использовать одномерные отображения вместо сложных систем уравнений оборачивается тем обстоятельством, что соответствующие решения РГ уравнений зачастую получены и изучены лишь для модельных отображений. Возможность обнаружения нефейгенбаумовского критического поведения коразмерности два и выше в реальных ситуациях, скажем в системах дифференциальных уравнений до сих пор остается проблематичной.

Применимость одномерных необратимых отображений для исследования многомерных систем в некоторых случаях обоснована строго 1243, в других принимается как нечто самоочевидное. В последнее время, однако, были выявлены некоторые особенности, проявляющиеся при переходе от одномерных отображений к, скажем, двумерным 125, 26, 86Ь Представляется необходимым выяснение того, как это будет происходить в реальных системах, которые, как известно, в интересующих нас случаях, описываются многомерными (как минимум, двумерными) отображениями.

Возможны ситуации, когда одномерное описание принципиально неудовлетворительно. В этом случае необходимо рассматривать многомерные отображения. В частности, важную роль могут сыграть

при этом двумерные необратимые отображения. В настоящее время интенсивным исследованиям подвергаются сложные нелинейные системы находящиеся под внешним воздействием, которое может быть регулярным, например периодическим или квазипериодическим, либо хаотическим. Большой интерес также представляет приложение методов нелинейной динамики для исследования сложных систем, составленных из двух и более элементарных нелинейных подсистем со сложным поведением. Во всех этих случаях фазовое пространство имеет размерность больше трех. Для таких систем с размерностью фазового пространства 4 и более использование необратимых двумерных отображений может быть продуктивным для приближенного описания динамики (в полной аналогии с тем как это имеет место для одномерных необратимых отображений при размерности фазового пространства 3 и более). С друго^ стороны, двумерные необратимые отображения могут возникать естественным образом для систем с дискретным временем, например, в лазере с кольцевым резонатором [27].

Еще более важный, с нашей точки зрения, мотив для исследования состоит в том, что двумерные необратимые отображения могут демонстрировать новые специфические типы критического поведения при переходе к хаосу и служить простейшими представителями соответствующих классов количественной универсальности. Исходя из ренормгрупповой аргументации, мы вправе предположить, что характерные для этих ситуаций свойства универсальности и скейлинга могут встретиться при анализе динамики разнообразных реальных систем (при наличии достаточного числа управляющих параметров). Для феноменологического описания динамики нелинейных систем у порога

хаоса естественно использовать наиболее простые модели, обладающие нужным типом критического поведения, т.е. правильно передающие динамику на больших временных масштабах. При этом от модели не требуется соответствия с точки зрения "локального" поведения на малых временных масштабах, так что в один и тот же класс универсальности могут попасть системы казалось бы совершенно не похожие друг на друга по виду своих динамических уравнений. Ясно, что конструирование таких моделей само по себе представляет большой интерес и является одной из основных задач теории.

Цель диссертации. Поиск новых типов критических ситуаций на пороге хаоса в нелинейных системах, описываемых двумерными отбражениями; демонстрация возможности реализации обнаруженных в последнее.время нефейгенбаумовских типов критического поведения для реальных физических систем.

Задачи работы. Разработать стратегию и методику поиска новых типов критической динамики; провести ренормгрупповой анализ новых типов критического поведения, включающий нахождение решения двумерного РГ уравнения, описывающего динамику данного типа, и вычисление соответствующих количественных характеристик - коразмерности и универсальных скейлинг-факторов; разработать алгоритмы поиска критических точек для конкретных систем.

Для реалистической модели физической системы отыскать в пространстве параметров критические точки нефейгенбаумовского типа, исследовать скейлинговые свойства в фазовом пространстве и пространстве параметров, разработать феноменологические модели описания динамики вблизи критических точек, дать рекомендации по поиску указанных ситуаций в эксперименте.

Методы исследования. Исследования проводились в рамках метода ренормализационной группы, который позволяет вскрыть универсальный характер феноменов, имеющих место быть на границе хаоса.

Научная новизна. В работе впервые:

- обнаружены и исследованы новые критические ситуации на пороге

хаоса в двумерных необратимых отображениях; проведен

о

ренормгрупповой анализ, вычислены универсальные масштабные константы для фазового пространства и пространства параметров; получены численные результаты, подтверждающие наличие этого типа скейлинга в модельных отображениях;

- обнаружена и исследована для системы дифференциальных уравнений, описывающих реальное физическое устройство (схема Чуа), полная иерархия типов критической динамики коразмерности 4 два; продемонстрированы свойства скейлинга в ' фазовом пространстве и пространстве параметров;

- исследованы на примере схемы Чуа особенности применимости , результатов РГ анализа при переходе от описания системы с помощью приближенного одномерного отображения (в пределе сильной диссипации) к точным многомерным динамическим уравнениям;

- для автономной системы, состоящей из двух связанных контуров Чуа показано существование на границе хаоса критических ситуаций, обнаруженных ранее для двух связанных логистических отображений (критичность типа БУ и В);

Достоверность полученных результатов подтверждается воспроизводимостью всех данных, полученных в численных экспериментах, совпадением независимых теоретических результатов и данных численного экперимента.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Двумерные необратимые отображения, обладающие особенностью типа проекции зонтика Уитни, демонстрируют на пороге хаоса новый тип критического поведения Этот тип критичности относится к классу универсальности коразмерности три, отвечающему неподвижной точке уравнения РГ (обобщенного на случай двух измерений уравнения Фейгенбаума-Цвитановича) и характеризуется наличием двумерного скейлинга в фазовом пространстве с. масштабными факторами а=-4.008157849... и Ь=-1.900071670... и трехмерного скейлинга в пространстве параметров с масштабными факторами б1=6.32631925..., б2=3.44470967... и 63=Ь=-1.900071670...

2. Двумерные необратимые отображения, обладающие особенностью типа складки, демонстрируют на пороге хаоса новый тип

критического поведения С. Этот тип критичности относится к

«

классу универсальности коразмерности два, отвечающему циклу периода два уравнения РГ и характеризуется наличием двумерного

скейлинга в фазовом пространстве с масштабными факторами

>

а=6.565350... и Ь=22.120227... и двумерного скейлинга в пространстве параметров с масштабными факторами д1=92.43126348... и б2=4.19244418...

3. Одномерное отображение Чуа, описывающее в приближении сильной диссипации динамику простого радиотехнического устройства -схемы Чуа - демонстрирует в пространстве параметров полную иерархию типов критического поведения коразмерности два на пороге хаоса, характерную для бимодальных отображений. Не все типы критичности из этой полной иерархии выживают при переходе от приближенного описания динамики схемы Чуа с помощью одномерного отображения к точному решению дифференциальных

уравнений, получаемых из законов Кирхгофа: трикритическое поведение не наблюдается при двупараметрическом анализе перехода к хаосу в схеме Чуа.

4. Две однонаправленно связанные схемы Чуа демонстрируют переход к хаосу через бикритическое поведение - тип критического поведения, обнаруженный ранее при исследовании связанных логистических отображений.

Научно-практическая значимость.

Результаты работы дают возможность количественного описания динамики нелинейных систем различной физической природы без обращения к строгим, полученным из "первых принципов", уравнениям, которые могут быть даже вообще неизвестны. Вместо этого, на основании некоторой предварительной информации самого

общего характера можно выбрать и использовать подходящую

*

каноническую модель - отображение, принадлежащее к нужному классу универсальности. Это позволяет без проведения трудоемкого исследования конкретной системы выявить структуру пространства параметров вблизи порога возникновения хаоса - как раз там, где эта структура наиболее сложно и тонко устроена. Каноническая модель может использоваться как суррогат реальной системы и в том случае, если нужно выяснить, как влияет та или иная ее модификация, например, включение внешнего воздействия или взаимодействия нескольких систем.

Результаты работы позволяют рекомендовать постановку физических экспериментов, направленных на реализацию выявленных новых типов критического поведения на пороге хаоса.

Краткое содержание. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Диссертация содержит 130 страниц текста, 46

рисунков, список литературы из 98 наименований на 12 страницах.

В первой главе представлен обзор известных результатов, которые были получены в рамках РГ подхода к исследованию перехода к хаосу через удвоения периода для одномерных семейств отображений с одним, двумя или тремя параметрами, для системы из двух одномерных отображений и для двумерных отображений, сохраняющих площадь.

Во второй главе описан новый тип критического поведения на пороге хаоса в двумерных необратимых отображениях, обладающих особенностью типа проекции зонтика Уитни. Приведены результаты РГ анализа, иллюстрации скейлинга в фазовом пространстве и пространстве параметров.

В третьей главе описан новый тип критического поведения на пороге хаоса в двумерных необратимых отображениях, обладающих особенностью типа складки. Приведены результаты РГ анализа, иллюстрации скейлинга в фазовом пространстве и пространстве параметров. ,

Четвертая глава посвящена двупараметрическому анализу перехода к хаосу в одномерном отображении, которое описывает динамику схемы Чуа в приближении сильной диссипации.

Пятая глава посвящена двупараметрическому анализу перехода к хаосу в сист