Параметрические возмущения и проблема управления хаотическими динамическими системами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им.М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

РЫБАЛКО Сергей Дмитриевич

Параметрические возмущения и проблема

управления

хаотическими динамическими системами

(специальность: 01.04.02 - теоретическая физика)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители доктор физико-математических наук профессор Ю.М.Лоскутов, доктор физико-математических наук доцент А.Ю.Лоскутов

УДК 530.1.517.9

Москва - 1998

Содержание

1 Введение 3

2 Элементы теории хаотических динамических систем 8

2.1 Развитие хаоса в сосредоточенных системах ..............................8

2.1.1 Переход к хаосу через бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода ..............................................9

2.1.2 Переход к хаотическому поведению через перемежаемость ... 13

2.1.3 Переход к хаосу через разрушение инвариантного тора ..........15

2.1.4 Основные характеристики хаотического поведения................17

2.2 Методы стабилизации хаотической динамики...............25

2.3 Элементы теории распределенных динамических систем ................29

3 Динамика 7£-мерных отображений с мультипликативным и аддитив-

ным возмущением

14,231

40

3.1 Общая теория ....................................................40

3.2 Семейство квадратичных отображений...................46

3.3 Семейство кусочно-линейных отображений.................53

3.4 Двумерные отображения......................................................03

3.4.1 Отображение Белых....................................................63

3.4.2 Диффузионно связанные отображения 231] ........................67

4 Динамика распределённых систем в приближении дискретизации по

пространству [233] 74 4.1 Поведение сцепленных кусочно-линейных отображений при различных

видах неоднородностей ........................................................76

4.1.1 Однородная цепочка....................................................76

4.1.2 Пространственно неоднородные цепочки...............78

4.2 Глобальная синхронизация в цепочке параметрически связанных квадратичных отображений...........................

5 Стабилизация неустойчивого поведения динамических систем и проблема обработки информации ¡123,232] 95

5.1 Методы записи, распознавания и передачи информации посредством динамических систем............................. 97

5.1.1 Кодирование посредством нехаотических динамических систем . 97

5.1.2 Кодирование посредством динамических систем с хаотическим поведением............................... 99

5.1.3 Кодирование на основе синхронизации хаотических систем . . . 101

5.2 Кодирование и передача информации при помощи стабилизированных

циклов возмущенных отображений .....................102

5.2.1 Численные исследования метода кодирования...........105

Заключение 111

6 Литература 113

Глава 1

Введение

На данном этапе развития науки стало очевидно, что нелинейные явления и связанные с ними понятия хаотического поведения — скорее правило, чем исключение. После решения многих проблем при помощи теории возмущений, в начале XX века появилось огромное количество нелинейных задач, решение которых наталкивалось на непреодолимые трудности. Если прежде эти задачи были связаны лишь с традиционной нелинейной механикой (задача трёх тел, описание волн на поверхности жидкости и т.п.), то в 10-30-е годы нелинейные задачи превратились в первоочередные в таких областях как акустика, физика твёрдого тела, статистическая физика и др. Принципиально нелинейные задачи возникли в зарождающейся радиотехнике (детектирование и генерация колебаний), а также в других прикладных отраслях.

Исследования последних лет показали (отчасти благодаря исследованиям нелинейных систем с применением компьютеров), что чувствительность к начальным условиям, приводящая к хаотическому поведению во времени, никоим образом не исключение; напротив, это типичное свойство многих систем. Такое поведение, например, обнаружено в периодически стимулируемых клетках сердца, в электронных цепях, при возникновении турбулентности в жидкостях и газах, в химических реакциях, в лазерах и т. п. С точки зрения систематики почти во всех нелинейных динамических системах с числом степеней свободы больше двух (особенно во многих биологических, метеорологических и экологических моделях) можно обнаружить хаос. Следовательно, на достаточно больших временах их поведение непредсказуемо. Другими словами, обнаружилось, что явление хаотичности в той или иной системе не связано с действием каких-либо априори случайных сил, а кроется в свойстве приобретать при определённых значениях параметров экспоненциально сильную не-у стойчивость траек торий.

Открытие всё большего числа нелинейных систем со сложным непредсказуемым поведением стимулировало развитие новых разделов математики. К ним относится качественная теория дифференциальных уравнений, эргодическая теория, раздел топологии, посвященный размерности самоподобных множеств или фракталов и др. Ещё в конце прошлого века А. Пуанкаре показал, что в некоторых механических гамильтоновых системах, в окрестности неустойчивых неподвижных точек может появляться хаотическое движение. Впоследствии Д. Биркгоф обнаружил, что при рациональном отношении частот (резонанс) всегда существуют устойчивые и неустойчивые неподвижные точки. Резонансы более высокого порядка последовательно изменяют топологию фазовых траекторий и приводят к образованию цепи островов в фазовом пространстве. В классических работах А. Н. Колмогорова и Я. Г.

Синая

17 - 19

был разработан статистический подход к исследованию динамических систем с сильной зависимостью от начальных условий. Ими была введена энтропия динамической системы (впоследствии названная КС-энтропией) как мера её стохастичнос.ти. Наряду с этим развивалась теория отображений,т.е. дискретных динамических систем с малым числом степеней свободы 142 . Было показано, что одномерное отображение интервала числовой оси может обладать хаотическим поведением [101 —103 . Многие процессы в физике, химии, биологии и социальных науках обладают существенно неустранимой дискретностью. Поэтому данные явления достаточно хорошо описываются одномерными или двумерными отображениями. Это привело к созданию глубокой математической теории таких отображений.

Развитие теории динамических систем и многочисленные исследования нелинейных процессов показали, насколько типичным и всеобщим явлением оказывается хаотическое поведение в системах с небольшим числом степеней свободы. Стало очевидным, что хаотические свойства могут проявлять салхые разнообразные нелинейные системы. Наряду с этим остро встала проблема предсказуемости поведения таких систем. Предсказание поведения сложных нелинейных процессов, как нетрудно понять, тесно связана с проблемой управления их динамикой. Исследования в этом направлении показали, что многие хаотические системы поддаются управлению под действием малых внешних возмущений. Управление хаотической системой понимается как возможность вывода её на такой режим поведения, когда динамика является предсказуемой, т. е. регулярной. Позже стало ясно, что посредством слабых возмущений можно найти неожиданные подходы к решению давно известных проблем, таких

как инженерия динамических систем, дефибрилляция , обработка информации и т. п. (см. Сейчас имеется большое число работ, посвященных исследованию дви-

жения систем с внешними воздействиями (см. , например, 50 — 79] и цитированную литературу в |б1—02 ). Однако построить общую теорию регулирования хаотических систем пока не удаётся. Тем не менее, для достаточно общих семейств динамических систем эта задача вполне разрешима (см. 50,65 — 66, 68, 72 — 73, 75, 78 — 79,224 ).

В настоящее время существуют два качественно различных подхода к управлению поведением динамических систем. Первый основан на учете текущего положения системы, т. е. на использовании обратной связи. Введение обратной связи является определенным преимуществом, поскольку в большинстве случаев такой способ управления приводит к требуемому результату: выбранная заранее неустойчивая траектория, будь то неподвижная точка или предельный цикл, стабилизируется и, таким образом, исследуемая система выводится на требуемый режим движения. Однако этот метод эффективен, если система находится вблизи выбранной траектории; в противном случае либо система выйдет на другой режим движения, либо требуемое возмущение будет существенно большим, что крайне нежелательно для большинства реальных систем.

Второй подход к управлению поведением динамических систем (которому, в частности, посвящена данная работа) не требует знания текущего положения хаотической системы. Стабилизация хаотических колебаний осуществляется при помощи прямых воздействий. Поэтому данный метод без обратной связи менее подвержен влиянию шумов, что существенно упрощает его использование в приложениях [83]. Для данного метода существенным является разработка такого параметрического воздействия на исходную систему, чтобы оно приводило к стабилизации нужного предельного цикла. Эта проблема частично решена в диссертационной работе для семейств одномерных и двумерных отображений (см. Гл. 3).

Как уже говорилось, способность нелинейных систем проявлять сложное хаотическое поведение является всеобщей. Наряду с нелинейными системами с малым числом степеней свободы подобное поведение было обнаружено для многих распределенных систем в физике, химии, биологии, медицине и др. науках. Распределенные нелинейные системы, динамика которых описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных, проявляют гораздо большее разнообразие в поведении. При ашшизо этих систем были обнаружены такие явления, как син-

хронизация, образование сложных пространственных структур, рождение солитонов, пространственно-временной хаос и др. Рассмотрение пространственно распределенных систем со строгой точки зрения зачастую не представляется возможным. Поэтому приходится прибегать к упрощающим методам. Одним из эффективных методов исследования подобных систем является дискретизация по пространству и времени. В этом случае говорят об анализе "сеточной" или "решеточной" модели. Отметим, что к таким моделям непосредственно приводят ряд задач турбулентности, теории синхронизации радиосистем, биологии, медицины, а также изучение поведения клеточных автоматов и нейронных сетей — б|. Более того, всякий численный эксперимент в данной области подразумевает подобную дискретизацию как по пространству, так и по времени. Для многих практически важных х>аспределенных систем актуальной является проблема синхронизации или регулярной динамики. Явление синхронизации чрезвычайно распространено в природе и технике. Обычно под синхронизацией понимают приобретение объектами различной природы единого ритма работы. По-видимому, стремление к достижению упорядоченности и согласованности в поведении систем, характерное для синхронизации, в той или иной степени отражает существующую в природе общую тенденцию к самоорганизгщии |б]. В ГЛАВЕ 4 данной работы будет рассмотрена эта проблема для цепочки (т. е. одномерной "сети") параметрически и диффузионно сцепленных одномерных отображений, а также построены области регулярности и хаотического поведения в пространстве параметров этих систем. Отметим, что новым в этом исследовании является то, что цепочка диффузионно сцепленных отображений неоднородна, причем рассмотрены различные типы неоднородности. Данная постановка задачи физически оправдана, т. к. однородность по пространству является идеализацией. Более того, проблема устойчивости систем синхронизации к появлению различных пространственных дефектов сама но себе актуальна.

ГЛАВА 5 диссертационной работы посвященна приложениям теории подавления хаоса, развитой в ГЛАВЕ 3, к теории информации. В этой главе предложен новый способ кодирования, скрытой передачи и расшифровки информации посредством стабилизации неустойчивых циклов одномерных отображений.

Целями диссертационной работы являются:

1. Развитие методов управления динамическими системами, проявляющими хаотическое поведение;, при помощи слабых внешних возмущений;

2. Доказательство возможности вывода семейств /..-мерных отображений с хаотической динамикой на регулярный режим поведения при помощи периодических параметрических возмущений;

3. Разработка методов качественного анализа неоднородных распределенных динамических систем, моделируемых решетками связанных отображеений;

4. Построение оригинального метода кодирования, скрытой передачи и расшифровки информации при помощи стабилизации неустойчивых орбит отображений.

Разработанная теория анализа возмущенных динамических систем, описываемых отображениями с малым числом степеней свободы, позволяет эфективпо управлять поведением таких систем. Более того, на основе методов, развитых в данной работе, можно конструировать параметрические возмущения отображений приводящие к заданному режиму регулярного поведения (устойчивому циклу).

Глава 2

Элементы теории хаотических динамических систем

2.1 Развитие хаоса в сосредоточенных системах

Определить, является ли поведение той или иной нелинейной динамической системы хаотическим, далеко не просто. На данный момент существует множество критериев хаотичности как в строгой теории динамических систем, так и в физических экспериментах. Понятие хаотичности во многом зависит от подхода к анализу конкретной нелинейной системы. В топологической теории динамических систем критерием сложности является, например, наличие топологического перемешивания или топологической транзитивности. В метрической теории, цслыо которой является исследование статистических свойств системы, критериями хаотичности являются такие свойства (в порядке возрастания статистической сложности), как эргодичность, перемешивание, положительность энтропии Колмогорова-Синая, /^-свойство. На практике, при исследовании конкретных физических систем или при численном анализе моделей, описывающих реальные процессы, часто прибегают к вычислению таких характеристик, как показатели Ляпунова, Фурье-спектр, энтропия и др. В данном параграфе мы вкратце остановимся на всех выше перечисленных характеристиках хаотического поведения.

Всякая реальная система обладает рядом внешних управляющих параметров. При изменении этих параметров система может переходить из одного состояния в качественно другое состояние. В теории динамических систем такие переходы, вызванные изменением внешних управляющих параметров, называются бифуркациями. Установление в динамической системе хаотического поведения происходит в результате той или иной последовательности бифуркаций, называемой сценарием или картиной

развития хаоса.

2.1.1 Переход к хаосу через бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода

В общем виде динамическая система записывается либо в виде системы дифференциальных уравнений, либо в виде п-мерного отображения. В первом случае она имеет вид

х = у(х, а), (2-1)

где х € М С К", М—гладкое многообразие. Эти уравнения необходимо дополнить начальными условиями х(10) — Хо■ В этом случае система (2.1) имеет единственное решение ж(£), которое и определяет её эволюцию. В простейшем случае - просто положение равновесия, т.е. при некоторых значениях параметра а она может иметь неподвижную устойчивую точку хо(а). При некотором значении ао эта стационарная точка может потерять свою устойчивость и в результате бифуркации Андронова Хопфа 86 — 92 при а > а0 родится устойчивый цикл 7(а). В этом случае все траектории из некоторой окрестности устойчивого цикла будут им притягиваться, т. е. при £ —» оо они продолжают находится в его окрестности. Пусть п — 3. В этом случае для анализа дальнейших бифуркаций вблизи цикла 7(а), при увеличении параметра а, удобно перейти к отображению Пуанкаре. Рассмотрим двумерную плоскость в фазовом пространстве системы (2.1), трансверсально пересекающую цикл 7(а). Если взять начальную точку на этой плоскости вблизи цикла, то в процессе одного оборота вокруг цикла она вновь пересечёт выбранную поверхность. Тем самым эволюция траекторий системы (2.1) задаёт динамику двумерного однозначного отображения на выбранной плоскости. В локальных координатах оно будет иметь вид:

т [и н» /(и,у, а), .

Т:< ) : (2.2)

[у д{и,у,а),

где и, у £ К. Естественно, что циклу 7(0) исходной системы (2.1) будет соответствовать неподвижная точка (и0,г;о) отображения (2.2). Если продолжать эту аналогию, то, как нетрудно понять, всякой периодической точке (и', у') периода к, т. е. такой, что Тк{и\у') — {и'',«') , где Тк — Т о Т о ■ • ■ о Т , будет соответствовать цикл 7

4 V---'

к раз

период которого в к раз больше периода цикла 7(0). Другими словами, если период цикла 7(0) равен г0, то период цикла 7 будет кт0. Так как цикл 7(а) по предположению является устойчивым, то �