Хаотическая динамика и структурообразование в дискретных моделях распределенных сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1 Введение

2 Элементы теории динамических систем

2.1 Бифуркации и развитие хаоса в динамических системах.

2.1.1 Общие положения.

2.1.2 Удвоение периода.

2.1.3 Перемежаемость.

2.1.4 Разрушение тора.

2.1.5 Гомоклинические структуры.

2.2 Характерные свойства хаотических динамических систем

2.2.1 Показатели Ляпунова.

2.2.2 Характеристики хаотичности

2.2.3 Хаотические аттракторы.

2.2.4 Одномерные отображения.

2.3 Методы стабилизации хаотической динамики.

2.3.1 Системы с внешними возмущениями.

2.3.2 Силовое и параметрическое воздействия.

2.3.3 Метод резонансных возбуждений.

2.3.4 Метод Гребоджи-Отта-Йорка

2.3.5 Параметрическое возбуждение и подавление хаоса

2.3.6 Методы резонансной и высокочастотной стабилизации

2.4 Динамика диффузионно сцепленных систем.

2.5 Современное состояние исследования хаотических систем

3 Особенности динамики агрегатов взаимодействующих отображений

3.1 Подавление хаоса в одномерных унимодальных отображениях

3.1.1 Формулировка подхода.

3.1.2 Аналитический подход.

3.1.3 Численный анализ.

3.2 Задача о возможности подавления хаоса при неоднородном внешнем воздействии.

3.2.1 Понятие циклических каскадов отображений.

3.2.2 Численные исследования.

3.3 Агрегаты каскадов с дефектами.

3.3.1 Результаты численного моделирования.

4 Динамика диффузионно сцепленных подсистем

4.1 Пространственно однородная цепочка.

4.2 Пространственно неоднородные цепочки.

4.2.1 Кольцевая цепочка с периодической пространственной неоднородностью.

4.2.2 Кольцевая цепочка с единственным дефектом.

Обсуждая такое всеобъемлющее явление как хаос, в настоящее время имеют ввиду не только фундаментальные вопросы статистической физики, но и разнообразные приложения к конкретным задачам механики, астрофизики, физики плазмы, медицины, биологии и др. Проявление хаотического поведения в той или иной системе не связано с действием каких-либо случайных по своей природе сил. Сущность хаотического поведения полностью детерминированных систем заключается в свойстве приобретать экспоненциально сильную неустойчивость траекторий при определенных значениях параметров. Принципиальное значение исследований в этой области состоит в том, что они вскрывают природу случайного, развивая гипотезу динамической стохастич-ности в дополнение к гипотезе молекулярного хаоса.

Впервые на связь между статистикой и неустойчивостью указал А. Пуанкаре [1]. В тот же период времени статистический подход к описанию систем со многими степенями свободы был предложен Л. Больцманом [2]. Он высказал предположение, что движение частиц в разреженном газе следует рассматривать как случайное, и каждой частице доступна вся энергетически разрешенная область фазового пространства. Такое представление о системах многих частиц известно как эргодическая гипотеза [2,3], которая стала основой классической статистической механики. Однако ее строгое обоснование долгое время не находило подтверждения. Некоторое продвижение в этом направлении было достигнуто благодаря исследованиям П. Эренфеста [4], которые позволяли в том числе установить рамки применимости законов статистической механики. Однако известная работа Э. Ферми, Дж. Паста и С. Улама [5], где впервые была предпринята попытка проверки эргодической гипотезы, вновь выдвинула проблему обоснования статистической физики на первый план.

Отчасти, разрешение этой проблемы можно получить, опираясь на работы А. Пуанкаре (см. [6]), в которых он показал, что в окрестности неустойчивых неподвижных точек движение имеет чрезвычайно сложный характер. Это явилось первым указанием на то, что нелинейные динамические системы могут проявлять хаотические свойства. Впоследствии Д. Биркгоф [7] показал, что при рациональном отношении частот (резонанс) всегда существуют устойчивые и неустойчивые неподвижные точки. Резонансы более высокого порядка последовательно изменяют топологию фазовых траекторий и приводят к образованию цепи островов в фазовом пространстве. Теория возмущений, как оказалось, не описывает такие резонансы, поскольку регулярные решения вблизи них сильно возмущены, а это влечет появление малых знаменателей и расходимость рядов.

Н. С. Крылов провел первое глубокое исследование природы статистических законов [8]. Он показал, что в основе её лежит свойство перемешивания и связанная с ним локальная неустойчивость почти всех траекторий соответствующих динамических систем. Именно в этой связи М. Борн [9] высказывал предположение о непредсказуемости поведения систем классической механики. Позднее динамика систем, вызванная такого рода неустойчивостью, стала называться динамической стохастичностью или детерминированным (динамическим) хаосом.

Другой этап в развитии понимания хаотичности и ее зарождения в детерминированных системах возник после работ А. Н. Колмогорова и Я. Г. Синая [10,11], где впервые для динамических систем было введено понятие энтропии. Эти работы положили начало созданию теории стохастических динамических систем. Большую роль в развитии теории детерминированного хаоса также сыграли различные абстрактные математические конструкции. Например, чтобы опровергнуть гипотезу о плотности систем типа Морса-Смейла в пространстве Сг-диффеоморфизмов, С. Смейл построил пример («подкова Смей-ла») [12,13], показывающий, что если д — диффеоморфизм плоскости, обладающий трансверсальной гомоклинической траекторией, то он должен иметь инвариантное множество типа подковы. В свою очередь, из существования подковы вытекает, что отображение д должно иметь бесконечное число как периодических точек различного периода, так и несчетное число апериодических траекторий. Почти в одно время с «подковой Смейла» появились у-системы Аносова [14], которые характеризуются наиболее выраженными свойствами перемешивания. Последовавшее обобщение таких систем — введение «аксиомы А» Смейла [13] и гиперболических множеств, — породило важный класс динамических систем, обладающих свойством экспоненциальной неустойчивости траекторий.

Примерно в то же время стали появляться математические работы, где на базе изучения систем типа «бильярд» были предприняты попытки обоснования статистической механики (см., например [15]). Бильярды впервые появились как упрощенные модели, на которых можно изучать ряд задач статистической физики [7] (см. также ссылки в [16,17]). Используя такие системы, впервые была решена задача Н. С. Крылова о перемешивании в системе упругих шаров [8]. Более того, было показано, что системы, отвечающие бильярдам с рассеивающими границами, имеют много общего с геодезическими потоками в пространствах отрицательной кривизны, т.е. потоками Аносова. Позже класс бильярдных систем, которые способны проявлять хаотические свойства, был значительно расширен (см. [17,18] а также цитируемую там литературу). Опираясь на обобщение таких систем — модификацию двумерного газа Лоренца — было доказано, что и в чисто детерминированных системах движение может быть подобно броуновскому [16,17]. Этот результат явился первым строгим подтверждением проявления хаотичности динамическими (т.е. без какого-либо случайного механизма) системами.

Развитие теории динамических систем и многочисленные исследования нелинейных процессов показал^, насколько типичным и всеобщим явлением оказывается хаотическое поведение в системах с небольшим числом степеней свободы. Стало очевидным, что хаотические свойства могут проявлять самые разнообразные нелинейные системы, и если хаос не обнаруживается, то возможно, лишь потому, что либо он возникает в очень малых областях параметрического пространства, либо при нефизических значениях параметров. Проблема предсказуемости, первоначально появившись в достаточно сложных системах (таких как гидродинамические или системы статистической механики), стала общей для многих направлений современной науки. Наряду с этим выяснилось, что хаотические динамические системы легко управляемы при помощи внешних воздействий, что можно использовать для создания условий контроля над хаотическими системами и подавления в них хаоса, если его развитие нежелательно. Таким образом, появилось новое направление в теории хаотических динамических систем, связанное со стабилизацией и регулированием их неустойчивого поведения посредством внешних воздействий. Позже стало ясно, что посредством слабых возмущений можно найти неожиданные подходы к решению давно известных проблем, таких как инженерия динамических систем, дефибрилляция, обработка информации, явление само-организациии и др. (см., например, [19-22]).

Сейчас имеется большое число работ, посвященных исследованию систем с внешними воздействиями (см., например, [23-35] и цитируемую литературу в [26,27]). Однако построить теорию регулирования хаотических систем в общем виде пока не представляется возможным. Тем не менее, для достаточно типичных семейств динамических систем эта задача вполне разрешима.

В настоящее время существуют два качественно различных подхода к этой проблеме. Первый основан на использовании обратной связи, т.е. учете текущего состояния системы. В другом (и наиболее приемлемом для большинства приложений) подходе не учитывается обратная связь, и стабилизация хаотических колебаний осуществляется при помощи прямых воздействий. В литературе первый метод обычно называется контролированием хаоса, а второй — подавлением хаоса без обратной связи. Оба подхода могут быть реализованы как при помощи параметрических, так и силовых способов воздействия.

Введение обратной связи является определенным преимуществом, поскольку в большинстве случаев такой способ управления приводит к требуемому результату: выбранный заранее седловой предельный цикл стабилизируется и, таким образом, исследуемая система выводится на требуемый режим движения. Однако этот метод эффективен, если только изображающая точка находится вблизи выбранного цикла. В противном случае необходимо использовать дополнительные способы воздействия [37,38]. В то же время методы стабилизации без обратной связи не требуют введения постоянного компьютерного слежения за состоянием системы и менее подвержены воздействиям шумов, что существенно упрощает их использование в приложениях [39].

В представленной диссертационной работе в главе 2 дан краткий обзор теории динамических систем: описаны основные их свойства, перечислены способы развития хаоса и методы стабилизации хаотической динамики. Кроме того, представлены основы теории диффузионно сцепленных систем.

В главе 3.1 на примере одномерных отображений (квадратичного и экспоненциального) решена задача об управлении их динамикой. Чтобы получить более полное представление относительно структуры множества в пространстве параметров, на котором имеет место подавление хаоса, были проведены численные исследования. Для возмущенного логистического и экспоненциаьного отображений найдены области с устойчивым поведением и рассчитаны периоды соответствующих устойчивых циклов. Кроме того, были оценены размеры окрестностей значений параметров, при которых возникают такие циклы.

В главе 3.2 решена задача построения каскадов отображений с предписанными свойствами. Дан ответ на вопрос, при каких условиях поведение циклического каскада отображений является регулярным (сходящимся), если сами компоненты каскада обладают хаотической динамикой. Аналитический метод, описанный в главе 3.1, перенесен на каскады, состоящие из произвольного числа компонент. На основе аналитических результатов численно рассмотрены циклические каскады с дефектами, которые могут быть получены из циклических каскадов, если в некоторые регулярные моменты времени отображения, составляющие такие циклические каскады, меняются местами.

Глава 4 диссертационной работы посвящена аналитическому исследованию пространственно неоднородных одномерных сетей (т. е. цепочек) диффузионно связанных кусочно-линейных отображений. При этом неоднородности представляются как отображения с различными параметрами. Сам вид отображений выбран таким образом, что цепочки представляют собой одномерный дискретный аналог однокомпонентной активной среды. На основе расчета показателей Ляпунова исследованы различные режимы поведения периодически неоднородной цепочки и цепочки с одним дефектом и описана структура их фазового пространства.

Глава 5 данной работы содержит анализ задачи об определении фрактальной размерности кластера, который хаотическим образом растет в среде вокруг вращающегося зародыша. Разработана теоретически оптимизированная математическая модель роста кластера в этих условиях. Проведены численные исследования размерности кластеров для различных угловых скоростей вращения зародыша.

Глава 2

Элементы теории динамических систем

Установление в динамической системе хаотического поведения в результате той или иной последовательности бифуркаций принято называть картиной или сценарием развития хаоса. Рассмотрим кратко наиболее типичные из таких сценариев.

Основные результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Доказан в виде теоремы существования эффект подавления хаоса при внешнем параметрическом воздействии на одномерные унимодальные отображения.

2. Доказано, что эффект подавления хаоса в отображениях имеет положительную меру, то есть это явение существует с физической точки зрения и может быть обнаружено экспериментально.

3. В ходе численного исследования определены конечные области в пространстве параметров, соответствующие устойчивой динамике сцепленных квадратичных одномерных отображений.

4. Исследованы системы типа каскад автоматов с «дефектами». Выяснены возможные типы зависимости динамики каскада автоматов от присутствия в нем неоднородного элемента (дефекта).

5. Рассмотрена схема возникновения сложных одномерных структур (динамических систем) из наперед заданного набора элементов (т.е. относительно простых отображений). Численно исследована вероятность возникновения сложных структур с заданным типом динамики.

6. Исследована система диффузионно связанных хаотичесих одномерных отображений с пространственной неоднородностью. Рассмотрено влияние таких неоднородностей на динамику системы в целом.

7. Создана и исследована радиально-кольцевая модель роста фрактального кластера. Модель позволила добиться хорошего соответствия полученных значений размерности численному эксперименту.

5.5 Заключение

Основным полученным результатом является зависимость фрактальной размерности от угловой скорости для двумерных DLA-кластеров при вращении. Эта зависимость может быть получена как при помощи разработанной кольцевой статистической модели фрактального роста, так и посредством прямого компьютерного моделирования. Фрактальная размерность уменьшается с ростом скорости вращения.

Обнаружено явное наличие перехода между фрактальным (при малых скоростях вращения) и нефрактальным (при больших скоростях вращения) режимами. DLA-кластер при вращении демонстрирует различные фрактальные размерности при исследовании в различных линейных масштабах.

Рис. 5.6: БЬА-кластер с вращением ю = 0.1 * 10 3, М = 50000.

Рис. 5.8: Зависимость массы от радиуса для вращающегося ВЬА-кластера при ш = 0.5 *КГ3,М = 50000.

Рис. 5.9: БЬА-кластер с вращением ги = 0.5 * Ю-3, М = 5000.

Рис. 5.10: Зависимость массы от радиуса для вращающегося БЬА-кластера при и) = 4.5 * 10~3.

2,0-

1,8- Г ■ I ге§доп

1,6- • • П ге^оп

1,4- • • • + Ш ге^оп

1,2- *ф • ф • ' • . • • •

1,00,8- + + + + + + + +

1 1 1 0 1 1 I 2 1 1 1 3 оо-Ю3 1 4 1 1 5

Рис. 5.11: Зависимость фрактальной размерности от скорости вращения.

Глава 6 Заключение

Развитие теории динамических систем внесло много нового в понимание происхождения хаотичности. В частности, было обнаружено, что хаос встречается в подавляющем большинстве нелинейных систем. Поэтому в ряде случаев его развитие может быть нежелательным. В связи с этим в последнее время интенсивно разрабатывается новое направление в теории детерминированного хаоса, связанное с возможностью подавления хаотического поведения. Если достаточно слабо (аддитивно или мультипликативно) возмущать хаотическую систему, (иными словами, производить обмен энергией между системой и окружающей средой), то хаос может выродиться в регулярное движение. Развитие этого направления привело к появлению новых замечательных приложений и позволило рассмотреть многие проблемы нелинейной динамики под новым углом зрения.

Так, подход к решению одной из старых проблем — описание явления самоорганизации, т.е. образования и развития сложных упорядоченных структур, — в рамках теории детерминированного хаоса получил новое развитие. Большинство распределенных сред можно аппраоксимировать совокупностью дискретных элементов, локально взаимодействующих друг с другом. Через каждый из таких элементов может проходить поток энергии, поступающий от внешнего источника. По-видимому, даже когда отдельные элементы системы обладают сложной структурой, вся их внутренняя сложность не проявляется во взаимодействиях между ними и, с точки зрения макросистемы, они функционируют как достаточно простые объекты с малым числом эффективных степеней свободы.

Используя обобщение теории сетей функционально взаимодействующих автоматов, в данной работе проводится параллель между явлением самоорганизации и подавлением хаоса. Показано, что только определенное сцепление первоначально хаотических автоматов может привести к появлению сложного каскада с необходимыми динамичечскими свойствами. Основным критерием такого образования является предписанная регулярная динамика образованного каскада взаимодействующих автоматов.

По-видимому, обобщение данной задачи позволяит обнаружить ряд закономерностей в соотношении между порядком и хаосом в пространственно-временных системах. Более того, дальнейшее развитие этого направления может дать ключ к созданию достаточно сложных структур с заданными свойствами.

1. A.Poincare. Calcul des Probabilities. — //Paris, Gauthier-Villars, 1912.

2. L.Boltzman. Uber die mechanischen Analogien des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. //Journ. f. Mathem., 1887, bd.100, s.201-212.

3. L.Boltzmann. Vorlesungen über Gastheorie.— //Leipzig, 1896.

4. P.Ehrenfest, T.Ehrenfest. Enzyklopaedie d. Math. Wiss., //Bd.IV, T1.32. Leipzig, 1911.

5. E.Fermi, J.Pasta and S.Ulam. Studies of Nonlinear Problems. — //Los Alamos Scientific Report, LA-1940, 1955.

6. А.Пуанкаре. Избранные труды. Том 1. — //М., Наука, 1973. 293с.

7. G.D.Birkhoff. Dynamical Systems. — //American Mathematical Society, N.Y., 1927.

8. Н.С.Крылов. Работы no обоснованию статистической физики. — //М.-JL, Изд-во АН СССР, 1950.

9. М.Борн. Возможно ли предсказание в классической механике? — J ¡Успехи физ. наук, 1959, т.69, вып.2, с.173-187.

10. А.Н.Колмогоров. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов. — f/ДАН СССР, 1959, т.124, No4, с.754-755.

11. Я.Г.Синай. О понятии энтропии динамической системы. — //ДАН СССР, 1959, т.124, No4, с.768-771.

12. Я.Г.Синай. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики. — /¡Докл. АН СССР, 1963, т.153, No6, с.1261-1264.

13. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Statistical properties of Lorentz gas with periodic configuration of scatters. — //Commun. Math. Phys., 1981, v.78, No4, p.479-497.

14. Динамические системы. Том 2. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.» — //ВИНИТИ, 1985.

15. A.Tabachnikov. Billiards. — //France Mathematical Soc. Press, 1995.

16. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko. Processing information encoded in chaotic sets of dynamical systems. — //SPIE, 1993, v.2038, p.263-272.

17. S.Hayes, C.Grebogi, E.Ott. Communicating with chaos. — //Phys. Rev. Lett., 1993, v.70, No20, p.3031-3034.

18. Physica D, 1995, v.84, Nol-2.

19. А.Ю.Лоскутов. Нелинейная динамика и сердечная аритмия. — //Прикладная нелинейная динамика, 1994, т.2, No3-4, с.14-25.

20. J.Singer, Y-Z.Wang, H.H.Bau. Controlling a chaotic system. — //Phys.Rev. Lett., 1991, v.66, p.1123-1125.

21. L.Fronzoni, M.Geocondo, M.Pettini. Experimental evidence of suppression of chaos by resonant parametric perturbations.— //Phys. Rev. A, 1991, v.43, p. 6483-6487.

22. R.Chacon. Suppression of chaos by selective resonant parametric perturbations. //Phys. Rev. E, 1995, v.51, Nol, p.761-764.

23. T.Shinbrot. Chaos: Unpredictable Yet Controllable? — //Nonlinear Sci. Today, 1993, v.3, No2, p. 1-8.

24. T.Shinbrot, C.Grebogi, E.Ott, J.A.Jorke. Using small perturbations to control chaos. — ¡/Nature, 1993, v.363, p.411-417.

25. В.В.Алексеев, А.Ю.Лоскутов. Дестохастизация системы со странным аттрактором посредством параметрического воздействия. — //Вестник Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., 1985, т.26, No3, с.40-44.

26. A.Yu.Loskutov, A.I.Shishmarev. Control of dynamical systems behavior by parametric perturbations: an analytic approach. — //Chaos, 1994, v.4, No2, p.351-355.

27. Yu.S.Kivshar, B.Rodelsperger, H.Benner. Suppression of chaos by nonreso-nant parametric perturbations. — //Phys. Rev. E, 1994, v.49, p.319-324.

28. A.B.Corbet. Suppression of chaos in ID maps. — //Phys. Lett. A, 1988, v.130, No4-5, p.267-270.

29. G.I.Dykman, P.S.Landa, Yu.I.Neimark. Synchronization the chaotic oscillations by external force. — //Chaos, Solitons & Fractals, v.l, No4, p.339-353.

30. E.Ott, C.Grebogi, J.A.Yorke. Controlling chaos. //Phys. Rev. Lett., 1990, v.64, p.1196-1199.

31. Е.Н.Дудник, Ю.И.Кузнецов, И.И.Минакова, Ю.М.Романовский. Синхронизация в системах со странным аттрактором. — //Вестн. МГУ, сер. Физ.-Астр., 1983, т.38, No4, с.84-87.

32. T.Shinbrot, E.Ott, C.Grebogi, J.A.Jorke. Using chaos to direct trajectories to targets. — //Phys. Rev. Lett., 1990, v.65, p.3215-3218.

33. E.Kostelich, C.Grebogi, E.Ott, J.A.Jorke. Higher dimensional targetting. — //Phys. Rev. E, 1993, v.47, p.305-310.

34. R.Meucci, W.Gadomski, M.Ciofini, F.T.Arecchi. Experimental control of chaos by weak parametric perturbations. — //Phys. Rev. E, 1994, v.49, No4, p.2528-2531.

35. В.И.Арнольд, В.С.Афраймович, Ю.С.Ильяшенко, л.П.Шильников. Теория бифуркаций. — // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 5. М., ВИНИТИ, 1986, с.5-218.

36. Дж.Марсден, М.Мак-Кракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — //М., Мир, 1980.

37. В.И.Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — //М., Наука, 1978.

38. M.J.Feigenbaum. Universal metric properties of nonlinear transformations.- //J. Stat. Phys., 1979, v.21, p.669-706.

39. Я.Г.Синай. Современные проблемы эргодической теории. — //М., Наука, 1995.

40. Е.Б.Вул, Я.Г.Синай, К.М.Ханин. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм. — /¡Успехи матам, наук, 1984, т.39, вып.З (237), с.3-37.

41. Ф.Мун. Хаотические колебания. — //М., Мир, 1990.

42. E.A.Jackson. Perspectives of Nonlinear Dynamics. Vol.1, II. — //Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989, 1990.

43. Chaos II, ed. Hao Bai-Lin.- //Worls Sci., 1990.

44. Y.Pomeau, P.Manneville. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems. — /fCommun. Math. Phys., 1980, v.74, No7, p.189-197.

45. П.Берже, И.Помо, К.Видаль. Порядок в хаосе. — //М., Мир, 1991.

46. В.С.Афраймович, Л.П.Шильников. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел.- //Докл. АН СССР, 1974, т.219, No3, с. 1281-1285.

47. A.Yu.Loskutov, A.S.Mikhailov. Complex Patterns. — //Springer, Berlin, 1991.

48. В.С.Афраймович, Л.П.Шильников. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность. — //В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1983, с.3-26.

49. K.Kaneko. Collapse of Tori and, Genesis of Chaos in Dissipative Systems. — //World Sci., Singapore, 1986.

50. А.Н.Шарковский. О проблеме изоморфизма динамических систем. — //В кн.: Труды V Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Киев, Наук, думка, 1970, т.2, с.541-545.

51. L.Block. Homoclinic points of mappings of the interval. — //Proc. Amer. Math. Soc., 1978, v.72, p.576-580.

52. А.Н.Шарковский, Ю.Л.Майстренко, Е.Ю.Романенко. Разностные уравнения и их приложения. — //Киев, Наукова думка, 1986.

53. J.Palis, F.Takens. Hyperbolicity and Sensitive-Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations. — //Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1993.

54. L.Mora, M.Viana. Abundance of strange attractors.— j / Acta Math., v.171, p. 1-71.

55. S.E.Newhouse. Lectures on dynamical systems. — //In: Progress in Mathematics, No8. Birkhauser, Boston, 1978, p. 1-114.

56. S.Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. — //Springer, Berlin, 1990.

57. В.К.Мельников. Устойчивость центра при периодических по времени возмущениях. — j ¡Тр. Моск. матем. об-ва, 1963, т.12, с.3-52.

58. J.A.Yorke, K.A.Alligood. Cascades of period doubling bifurcations: a prerequisite for horseshoes. — //Bull. AMS, 1983, v.9, p.319-322.

59. M.Viana. Chaotic dynamical behaviour. — //Proc. of Xlth Int. Congress of Math. Phys. (Paris, 1994). Internat. Press, Cambridge, MA, 1995, p.1142-1154.

60. C.Robinson. Bifurcation to infinitely many sinks. — // Commun. Math. Phys., 1983, v.90, p.433-459.

61. Б.Ф.Вылов, Р.Э.Виноград, Д.М.Гробман, В.В.Немыцкий. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости.-— //М., Наука, 1966.

62. J.-P.Eckmann, D.Ruelle. Ergodic theory of chaos and strange attractors. — //Rev. Mod. Phys., 1985, v.57, No3, Part 1, p.617-656.

63. Н.Мартин, Дж.Ингленд. Математическая теория энтропии. — //М., Мир, 1988.

64. И.П.Корнфельд, Я.Г.Синай, С.В.Фомин. Эргодическая теория. — //М., Наука, 1980.

65. Д.Орнстейн. Эргодическая теория, случайность и динамические системы. — //М., Мир, 1978.

66. Г.М.Заславский Стохастичность динамических систем. — //М-, Наука, 1984.

67. Я.Б.Песин. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория. — //Успехи матем. наук, 1977, т.32, вып.4, с.55-111.

68. L.-S.Young. Dimension, entropy and Lyapunov exponents. — //Ergod. Theory and Dyn. Syst., 1982, v.2, Nol, p.109-124.

69. Я.Г.Синай. Стохастичность гладких динамических систем. Элементы теории КАМ.— //В сб. Динамические системы. Т.2. М., ВИНИТИ, 1985, с.115-122.

70. Е.А.Сатаев. Инвариантные меры для гиперболических отображений с особенностями. — //Успехи матем. наук, 1992, т.47, вып.1, с.147-202.

71. Ы.Мапё. Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. — //Springer, Berlin, 1987.

72. M.JI.Бланк. Малые возмущения хаотических динамических систем. — // Успехи матем. наук, 1989, т.44, вып.6, с.3-28.

73. Странные аттракторы. Сб. статей. — //М., Мир, 1981.

74. M.Misiurewicz. Strange attractors for the Lozi mappings. — //In: Nonlinear Dynamics. Ed. R.G.Helleman. New York, New York Acad. Sci., 1980, v.357, p. 348-358.

75. P.Collet, Y.Levi. Ergodic properties of the Lozi mappings. — //Commun. Math. Phys., 1984, v.93, No4, p.461-482.

76. Р.В.Плыкин. Источники и стоки Л-диффеоморфизмов поверхностей. — //Матем. сб., 1974, т.94, No6, с.243-264.

77. В.П.Белых. Модели дискретных систем фазовой синхронизации. — //В сб. Системы фазовой синхронизации. Ред. В.В.Шахгильдян, Л.Н.Белюс-тина — М., Радио и связь, 1982, с.161-176.

78. Л.А.Бунимович. Системы гиперболического типа с особенностями. — //В сб. Динамические системы. Т.2.— М., ВИНИТИ, 1985, с.173-204.

79. V.S.Afraimovich, L.P.Shilnikov. On strange attractors and quasiattractors. — //In: Nonlinear Dynamics and Turbulence. Ed. G.I.Barenblatt, G.Iooss, D.D.Joseph. New York, Pitman, 1983, p.1-34.

80. D. Singer. Stable orbits and bifurcations of maps of the interval. — J J SI AM J. Appl. Math., 1978, v.35, No2, p.260-267.

81. А.И.Огнев. Метрические свойства некоторого класса отображений отрезка в себя. — I¡Матем. заметки, 1981, т.ЗО, No5, с.723-736.

82. M.Misiurewicz. Absolutely continuous measures for certain maps of an interval. //Publ. Math. I.H.E.S., 1981, v.53, p.17-51.

83. W.de Melo, S.van Strien. One-Dimensional Dynamics. — //Springer, Berlin, 1993.

84. M.Benedicks, L.Carleson. On iterations of 1 — ax2 on (-1,1). — //Annals of Math., 1985, v. 122, p. 1-25.

85. M.V.Jakobson. Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps. — //Commun. Math. Phys., 1981, v.81, Nol, p.39-88.

86. G.Swi^tek. Hyperbolicity is dense in the real quadratic family. — //Preprint Stony Brook, 1992.

87. Ю.И.Неймарк. Динамические системы и управляемые процессы. — //М., Наука, 1978.

88. М.Розо. Нелинейные колебания и теория устойчивости. — //М., Наука. 1971.

89. Ю.И.Кузнецов, В.В.Милюлин, И.И.Минакова, Б.А.Сильнов. Синхронизация хаотических автоколебаний. — /¡Докл. АН СССР, 1984, т.275, No4-6, с.1388-1391.

90. В.В.Алексеев, А.Ю.Лоскутов. О возможности управления системой со странным аттрактором. — //В сб. Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Том VIII. — Ленинград, Гидрометеоиз-дат, 1985, с.175-189.

91. E.Ott, M.L.Spano. Controlling chaos. — //Physics Today, 1995, v.48, No5, p.34-40.

92. R.L.Devaney. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. — //New York, Amsterdam, Addison-Wesley Publ. Co., 1993 (Second Edition).

93. G.Reiser, A.Hubler, E.Luscher. Algorithm for the determination of the resonances of anharmonic damped oscillators. — //Z. Naturforsch A, 1987, v.42, p.803-807.

94. E.A.Jackson. Control of dynamics flows with attractors. — //Phys. Rev. A,1991, v.44, p.4839-4853.

95. T.Shinbrot, E.Ott, C.Grebogi, J.A.Yorke. Using chaos to direct orbits to targets in systems describable by a one-dimensional map. — //Phys. Rev. A,1992, v.45, No6, p.4165-4168.

96. I.M.Starobinets, A.S.Pikovsky. Multistep controlling chaos. — //Phys. Lett. A, v.181, p.149-152.

97. S.J.Schiff, K.Jerger, D.H.Duong, T.Chang, M.L.Spano, W.L.Ditto. Controlling chaos in the brain. — //Nature, 1994, v.370, p.615-620.

98. Y.Liu, N.Kikuchi, J.Ohtsubo. Controlling dynamical behavior of a semiconductor laser with external optical feedback. — //Phys. Rev. E, 1995, v.51, No4, p.2697-2700.

99. V.Petrov, M.J.Crowley, K.Showalter. Tracking unstable periodic orbits in the Belousov-Zhabotinsky reaction. — //Phys. Rev. Lett., 1994, v.72, Nol8, p.2955-2958.

100. V.In, W.L.Ditto, M.L.Spano. Adaptive control and tracking of chaos in a magnetoelastic ribbon. — //Phys. Rev. E, 1995, v.51, N04, p.2689-2692.

101. Н.Л.Комарова, А.Ю.Лоскутов. Стабилизация хаотического поведения колебательной химической реакции. — //Матем. моделирование, 1995, т.7, NolO, с.133-143.

102. A.Yu.Loskutov, S.D.Rybalko, U.Feudel, J.Kurths. Suppression of chaos by cyclic parametric excitation in two-dimensional maps. — //J. Phys. A, 1996, v.29, Nol8, p.5759-5773.

103. А.Н.Дерюгин, А.Ю.Лоскутов, В.М.Терешко. К вопросу о рождении устойчивого периодического поведения параметрически возбуждаемых динамических систем. — // ТМФ, 1995, т. 104, No3, с.507-512.

104. Z.Galias. New method for stabilization of unstable periodic orbits in chaotic systems. — //Int. J. Bif. and Chaos, 1995, v.5, Nol, p.281-295.

105. G.Duffing. Erzwungene Schwingungen bei Veränderlicher Eigenfrequenz. — //F. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1918.

106. K.Shiraiva. Bibliography of Dynamical Systems. — //Nagoya Univ., Preprint Nol, 1985.

107. Z.Shu-yu.Bibliography on Chaos. — //World Sei., 1991.

108. R.H.Helleman. Nonlinear dinamics. — //N.Y.: Am. N. Y. Acad. Sei., 1980, v.357

109. A.Katok, B.Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. — //Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.

110. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Ред. A.B. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович. — //Изд-во ИПФ АН, Горький, 1989.

111. V.S.L'vov, A.A.Predtechensky, A.I.Chernykh. Bifurcations and chaos in the system of Taylor vortices — laboratory and numerical experiment. — //In: Nonlinear Dynamics and Turbulence, eds. G.I.Barenblatt et al., Plenum 1983, p.238-280.

112. A.V.Gaponov-Grekhov, M.I.Rabinovich, I.M.Starobinets. Arising of Multidimensional Chaos in the Active Lattices. — //Sovet. Phys. Dokl., vol.292, 1984, p.64-67.

113. K.Kaneko. Overview of coupled map lattices. — //In: Chaos Focus Issue on Coupled Map Lattices, ed. K.Kaneko, Chaos, vol.2, 1992, p.279-282.

114. A.V.Holden, J.V.Tucker, H.Zhang, M.J.Poole. Coupled map lattices as computational systems. — //In: Chaos Focus Issue on Coupled Map Lattices, ed. K.Kaneko, Chaos, vol.2, 1992, p.367-376.

115. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Statistical mechanics of coupled map lattices. — //In: Theory and Application of Coupled Map Lattices, ed. K.Kaneko, Wiley, 1993, p.169-189.

116. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Space-time chaos in coupled map lattices. — //Nonlinearity, vol.1, 1988, p.491-504.

117. Ya.B.Pesin, Ya.G.Sinai. Space-time chaos in chains of weakly-coupled hyperbolic maps. — //In: Advances in Soviet Mathematics, vol.3, Harwood Academic, Switzeland, 1991.

118. H.Keller, M.Kiinzle. Transfer operators for coupled map lattices. — //Ergod. Theory Dynam. Syst., vol.12, 1992, p.297-318.

119. M.L.Blank. Small Prturbations of Chaotic Dynamical Systems. — /fRuss. Math. Surv., vol.44, 1989, p.3-28.

120. V.S.Afraimovich, S.-N.Chow. Existence of Evolution Operators Group for Infinite Lattice of Coupled Ordinary Differential Equatios. — /¡Dynam. Syst. Appl, vol.3, 1994, p.155-174.

121. P.Coulet, P.Huerre, eds. New Trends in Nonlinear Dynamics and Pattern-Forming Phenomena. The Geometry of Nonequilibrium. — //Plenum, New York, 1990.

122. J.-P.Eckmann, I.Procaccia. Spatio-temporal chaos. — //In: Chaos, Order and Patterns, eds. R.Artuso, P.Cvitanovic, G.Casati. Plenum, London, 1991, p. 135-172.

123. M.I.Rabinovich, A.L.Fabricant, L.Sh.Tsimring. Finite Dimensional Spatial Disorder. — //Preprint, 1992.

124. V.S.Afraimovich, L.A.Bunimovich. Density of defects and spatial entropy in extended systems. — //Physica D, vol.80, 1995, p.277-288.

125. В.А.Васильев, Ю.М.Романовский, В.Г.Яхно. Автоволновые процессы. Ред. Д.С.Чернавский. — //М., Наука, 1987.

126. Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — //М., Мир, 1989. 315 с.

127. А.Ю.Лоскутов, С.Д.Рыбалко, Д.Н.Удин, К.А.Васильев. Модель пространственно неоднородной одномерной активной среды. — //Теор. и ма-тем. физика, 2000, т. 124, No3, с.506-519.

128. Шарковский А.Н. и др. Динамика одномерных отображений. — //Киев, Наукова думка. 1989. 211 с.

129. Якобсон М. «Эргодическая теория одномерных отображений.» В сборнике «Современные проблемы математики. Динамические системы 2.»- //ВИНИТИ. 1985.

130. Guemez J. & Matias М.А. "Control of chaos in unidimensional maps," — //Phys. Lett. A, 181, p.29-32. 1993

131. Hirsch M.V. "Convergent activation dynamics in continuous time networks,"

132. Neural Networks, 2, p.331-349. 1989

133. Jackson E.A. & Hubler A. "Entrainment and migration controls of two-dimensional maps," — //Physica D, 54, p.253-265. 1992

134. Lasota A. & Mackey M.C. "Chaos, Fractals, and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics", Springer, Berlin. 1994.

135. Loskutov A.Yu. & Rybalko S.D. "Parametric perturbation and suppression of chaos in n-dimensional maps." — //ICTP Preprint No IC/94/347. Trieste, Italy, November 1994.

136. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko, K.A.Vasiliev. Stabilization of chaotic dynamics of one-dimensional maps.— Int.J.Bif. and Chaos, 1996, v.6, No4, p. 725-735.

137. Loskutov A.Yu., Tereshko V.M. & Vasiliev K.A. "Predicted Dynamics for Cyclic Cascades of Chaotic Deterministic Automata." — //International Journal of Neural Systems, 1995, 6, p.216-224.

138. К.А.Васильев, А.Ю.Лоскутов. К проблеме самоорганизации: особенности динамики некоторых агрегатов сцепленных отображений. — //В сб. Синергетика-2. Москва, МГУ, 1999, с.78-85.

139. Markus М. 1990] "Chaos in maps with continious and discontinious maxima," — //Computers in Physics, p.481-493.

140. Rossler O.E., Kiwi M., Hess В., Markus M. 1989] "Modulated Nonlinear Processes and a Novel Mechanism to Induce Chaos," — //Phys. Rev. A, 39, 5954.

141. Sanju & Varma V.S. 1993] "Quadratic map modulated by additive periodic forcing," //Phys. Rev. E, 48, p. 1670-1675.

142. Smith H.L. 1991] "Convergent and oscillatory activation dynamics for cascades of neural nets with nearest neighbor competitive or cooperative interactions," — //Neural Networks, 4, p.41-46.

143. A.Loskutov, D.Andrievsky, V.Ivanov, K.Vasiliev, A.Ryabov. Fractal growth of rotating DLA-clusters. — //Macromol Symp., 2000, v. 160, p.239-248.

144. P. Meakin, — // In: Phase Transitions and Critical Phenomena, vol.12, C.Domb and J.L. Lebowitz (Eds.), Academic Press, 1988, p.335.

145. J.-F. Gouyet, Physics and Fractal Structures, — //Springer-Verlag Berlin, Masson, Paris, 1996.

146. N.Lemke, M.G.Malcum, R.M.C.de Almeida, P.M.Mors, and J.R.Iglesias, — //Phys.Rev.E 47, 3218 (1993)