Стабилизация хаотического поведения динамических систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1 Введение

2 Хаос в динамических системах. Стабилизация хаотической динамики

2.1 Общие положения.

2.2 Гомоклинические структуры.

2.3 Управление хаотическими динамическими системами

2.3.1 Метод резонансных возбуждений.

2.3.2 Метод Гребоджи-Отта-Йорка.

2.4 Подавление хаоса.

2.4.1 Параметрическое возбуждение.

3 Модели динамических систем с хаотическим поведением. Инструмент исследования возникновения хаоса в окрестности сепаратрисы

3.1 Осциллятор Дюффинга.

3.2 Нелинейный маятник.

3.3 Метод Мельникова.

4 Стабилизация хаотической динамики в окрестности сепаратрисы [125-127]

4.1 Общий подход.

4.2 Частные случаи.

4.2.1 Случай 1.

4.2.2 Случай 2.

В настоящее время, когда говорят о таком широко распространенном явлении, как хаос, помимо фундаментальных вопросов статистической физики обычно подразумевают также всевозможные приложения и конкретные задачи механики, астрофизики, физики плазмы, оптики, биологии и т.д. Возникновение хаотичности в различных физических системах не вызвано действием каких-либо случайных сил. Суть природы хаотического поведения заключена в том, что системы обладают свойством приобретать экспоненциальную неустойчивость траекторий при определенных значениях параметров. Исследования в этой области, имеющие фундаментальное значение, раскрывают природу случайного, дополняя известную гипотезу молекулярного хаоса гипотезой динамической стохастичности.

Анри Пуанкаре [1] был первым, кто обратил внимание на связь между неустойчивостью и статистикой. Одновременно Л.Больцман [2] предложил статистический подход к описанию систем со многими степенями свободы. Им была выдвинута гипотеза о том, что в разряженном газе движение частиц должно рассматриватся как случайное и каждой частице доступна вся энергетически разрешенная область фазового пространства. Подобное предположение о движении систем многих частиц получило название эргодической гипотезы [2-4], которая и послужила основой классической статистической механики. Но долгое время ее строгое обоснование не находило подтверждения. Благодаря работам П.Эренфеста [5,6] (см. также [7,8]) в этом направлении был достигнут некоторый прогресс. Эти работы также позволили выявить рамки применимости законов статистической механики. Но все трудности обоснования статистической физики вновь вышли на первый план после известной работы Э.Ферми, Дж.Паста и С.Улама [9] (более подробно см. [10,11]), где впервые была предпринята попытка проверки эргодической гипотезы.

Основываясь на работах А.Пуанкаре (см. [12]), в которых было показано, что в окрестности неустойчивых неподвижных точек движение имеет чрезвычайно сложный характер, можно получить частичное решение данной проблемы. Это стало первым указанием на то, что нелинейные динамические системы могут проявлять хаотические свойства. В дальнейшем Д.Биркгоф [13] обнаружил, что при рациональном отношении частот (резонанс) всегда существуют устойчивые и неустойчивые неподвижные точки. Резонансы более высокого порядка последовательно изменяют топологию фазовых траекторий и приводят к образованию цепочки островов в фазовом пространстве. Как впоследствии выяснилось, теория возмущений не описывает подобные резо-нансы, поскольку регулярные решения вблизи них сильно возмущены, что влечет появление малых знаменателей и расходимость рядов.

Детальное исследование статистических законов было проведено Н.С.Крыловым [14]. Им было показано, что в их основе лежат свойство перемешивания и связанная с ним локальная неустойчивость почти всех траекторий соответствующих динамических систем. В связи с этим М.Борн [15] (см. также [16]) высказывал гипотезу о непредсказуемости поведения систем классической механики. В дальнейшем вызванная такого типа неустойчивостью динамика стала называться детерминированным (динамическим) хаосом или динамической стоха-стичностью.

Детерминированное описание заключается в том, что начальное состояние процесса задается некоторым вероятностным распределением в силу неизбежных флюктуаций. Проблема состоит в том, чтобы зная известное начальное распределение суметь предсказать его эволюцию. Если с течением времени малые возмущения начального условия не нарастают (т.е. имеет место устойчивость), то поведение такой системы является предсказуемым. Иначе процесс может быть описан только вероятностным образом. Именно эти соображения легли в основу современного представления о динамическом хаосе.

После работ А.Н.Колмогорова и Я.Г.Синая [17-19] наметился новый этап в развитии понимания хаотичности и ее зарождения в детерминированных системах. В этих работах, положивших начало созданию теории стохастических динамических систем, было введено понятие энтропии.

Значительную роль в развитии теории детерминированного хаоса сыграли различного рода абстрактные математические конструкции. В частности, чтобы опровергнуть гипотезу о плотности систем типа Морса-Смейла в пространстве Сг-диффеоморфизмов, С.Смейл [20] построил пример ("подкова Смейла"), показывающий, что если д — диффеоморфизм плоскости, обладающий трансверсальной гомоклиниче-ской траекторией, то он должен иметь инвариантное множество типа подковы. Из существования подковы в свою очередь вытекает, что отображение д должно иметь бесконечное число как периодических точек различного периода, так и несчетное число апериодических траекторий [20,21]. Вскоре после "подковы Смейла"появились ^-системы Аносова [22,23], которые характеризуются наиболее выраженными свойствами перемешивания. Обобщение таких систем — введение "аксиомы А" Смейла [21] (см. также [24-26] и цитируемую там литературу) и гиперболических множеств [21,25-27], — выделило важный класс динамических систем, обладающих свойством экспоненциальной неустойчивости траекторий.

Таким образом, было найдено, что хаотическое поведение является типичным свойством систем с небольшим числом степеней свободы. В то же время оказалось, что хаотические динамические системыоказываются весьма податливыми и чрезвычайно чувствительными к внешним воздействиям. Это явилось одним из основных критериев, на основе которого была обнаружена возможность управлять поведением хаотических систем, т.е. посредством достаточно слабых возмущений переводить такие системы из режима хаотических колебаний на требуемый регулярный режим и тем самым стабилизировать их поведение.

Под стабилизацией неустойчивого или хаотического поведения динамических систем обычно подразумевается искусственное создание в изучаемой системе устойчивых (как правило, периодических) колебаний посредством внешних мультипликативных или аддитивных воздействий. Иными словами, для стабилизации необходимо найти такие внешние возмущения, которые вывели бы систему из хаотического режима на регулярный. При внешней простоте формулировки этой проблемы, ее решение для ряда динамических систем оказывается достаточно сложной задачей. Более того, хотя в настоящее время имеется большое число работ, посвященных этому вопросу, развить последовательную теорию и строго обосновать возможность стабилизации хаотического поведения удалось пока только для достаточно общих семейств динамических систем (см. [28,29] и цитируемую там литературу).

Стабилизация хаотического поведения может быть осуществлена двумя различными способами. Первый из них обеспечивает выведение системы из хаотического на регулярный режим посредством внешних возмущений, реализованных без обратной связи. Другими словами,этот метод не учитывает текущее состояние динамических переменных системы. Качественно отличный от данного метод реализуется посредством корректирующего воздействия в соответствии с требуемым значением динамических переменных и, таким образом, вовлекает обратную связь как необходимую компоненту динамической системы. По установившемуся соглашению первый способ стабилизации хаотической динамики называется подавлением хаоса или контролированием (иногда управлением или регулированием) хаотической динамики без обратной связи. Второй способ носит название контролирование хаоса с обратной связью (controlling chaos). В свою очередь, реализация каждого из этих методов может быть проведена параметрическим или силовым способами.

По-видимому, первое исследование стабилизации хаотического поведения было проведено в работах [30,31]. Однако данное направление получило широкое распространение только после публикации работ [32,33], где было показано, что при помощи достаточно слабых параметрических возмущений возможно стабилизировать выбранный седловой предельный цикл вложенный в хаотический аттрактор. Эти и некоторые другие результаты стимулировали изучение вопросов стабилизации хаотического поведения и вызвали большой интерес к вопросам управления неустойчивыми системами (см., [28,29,34-37] и приводимые там ссылки).

Одним из стандартных и эффективных инструментов, позволяющиханалитически рассмотреть проблему подавления хаоса, является метод Мельникова [38]. Он основан на сравнении членов первого порядка в разложении решения на устойчивой и неустойчивой сепаратрисах в ряды по параметру возмущения. Так как при влиянии на систему внешнего возбуждения происходит "расщепление" устойчивого и неустойчивого многообразий сепаратрисы, это ведет к весьма запутанной картине на фазовой плоскости. Наиболее исследованным до сих пор была проблема подавления хаоса варьированием значений параметров исходной системы. Однако более актуальным представляется вопрос о нахождении в явном виде внешних стабилизирующих возмущений к уже проявляющим хаотичность системам достаточно общего вида. В данной работе на основе критерия Мельникова получена аналитическая форма таких возмущений для динамических систем, обладающих гетеро-и гомоклиническим хаосом.

В качестве объекта исследования были выбраны неавтономные системы, которым присуще явление расщепления сепаратрис и, таким образом, хаотическая динамика. В качестве физических примеров рассмотрены система Дюффинга с возмущенным кубическим членом (т.н. уравнение Дюффинга-Холмса) и уравнение классического нелинейного маятника с диссипацией под действием внешней силы.

Цель диссертационной работыЦелью работы является нахождение достаточно общего аналитического вида внешних стабилизирующих возмущений, приводящих ксмене режима динамических систем с хаотического на регулярный.

Научная новизна1. Получены в явном виде выражения для внешних стабилизирующих возмущений для класса диссипативных систем на плоскости и более высоких размерностей.

2. Исследовано влияние внешних стабилизирующих возмущений на динамические системы на примере уравнений Дюффинга-Холмса и нелинейного маятника с диссипацией.

3. Показано, что для систем, у которых возможно смещение с критического значения мельниковской функции через аддитивный сдвиг внешнее стабилизирующее возмущение имеет характер серии ударов.

4. Найдено, что в пространстве всех динамических систем, обладающих свойством гетеро- или гомоклинического хаоса, системы для которых существуют стабилизирующие возмущения, топологически эквивалентны регулярным системам. Сформулирован основной результат о подавлении хаоса.

Структура диссертации является следующей. После настоящего введения дается обзор литературы, касающейся актуальных проблем, затронутых в работе, а также смежных направлений, которые не могут быть опущены вследствие их тесной связи с рассматриваемымивопросами. Наряду с обычным обзором детально представлены геометрические методы, необходимые для понимания гомоклинических структур и возможности подавления хаоса в динамических системах. В главе 3 описан метод Мельникова, являющийся в настоящий момент единственным аналитическим инструментарием, позволяющим получить критерий возникновения и исчезновения хаоса. В главе 4 описаны полученные в общем виде результаты, которые в главе 5 применяются для анализа физических систем. В заключении суммируются и обобщаются результаты, полученные в диссертации.

Глава 2Хаос в динамических системах. Стабилизация хаотической динамики

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Исследовано поведение диссипативных динамических систем с се-паратрисными решениями под действием стабилизирующего возмущения.

2. Развита оригинальная техника, позволяющая найти аналитический подход к проблеме управления сложным поведением динамических систем при помощи внешних стабилизирующих возмущений. Показано, что хаос в диссипативных системах можно подавить внешним возмущением, явный вид которого получен аналитически.

3. Для определенного класса систем строго показано, что внешнее стабилизирующее воздействие, которое может приводить к выводу системы из хаотического режима, должно иметь характер серии ударов.

4. Проведено качественное исследование изменений, вносимых внешним стабилизирующим возмущением в динамику диссипативной системы на примере уравнений Дюффинга—Холмса и нелинейного маятника, обладающих гомоклиническими и гетероклиниче-скими траекториями, соответственно.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Аналитически и численно исследованы диссипативные системы с сепаратрисными решениями.

2. Аналитически получены явные выражения для внешних стабилизирующих возмущений, выводящих системы с гомо— и гетерокли-ническим типом хаоса на регулярный режим эволюции. Сформулирован основной результат о подавлении хаоса.

3. Показано, что для систем, у которых возможно смещение с критического значения функции Мельникова через аддитивный сдвиг, внешнее стабилизирующее возмущение имеет характер серии ударов.

4. Аналитически и численно на примере систем типа Дюффинга— Холмса и нелинейного маятника, имеющих стохастические слои, показано, что посредством внешних воздействий возможно стабилизировать их хаотическую динамику.

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю проф. А.Ю. Лоскутову за формулировку темы диссертационной работы, постановку задач и живое участие в обсуждении результатов исследования. Я глубоко признателен А.Б.Рябову и С.Д. Рыбалко за тесное научное сотрудничество при решении ряда конкретных задач.

Заключение

Поскольку хаос встречается в подавляющем большинстве нелинейных динамических систем, в ряде случаев его развитие может быть нежелательным. В связи с этим в последнее время интенсивно разрабатывается новое направление в теории детерминированного хаоса, связанное с возможностью подавления хаотического поведения. Если достаточно слабо (аддитивно или мультипликативно) возмущать хаотическую систему (иными словами, производить обмен энергией между системой и окружающей средой), то хаос иногда вырождается в регулярное движение. Развитие этого направления привело к появлению новых замечательных приложений и позволило рассмотреть многие проблемы нелинейной динамики под новым углом зрения. Так, подход к решению одной из старых проблем — описание явления самоорганизации, т.е. образования и развития сложных упорядоченных структур, — в рамках теории детерминированного хаоса получил новое развитие. Известно, что живые системы способны к самоорганизации. Это не противоречит законам термодинамики, поскольку все биологические системы не являются замкнутыми и обмениваются энергией с окружающей средой. Энтропия, служащая мерой беспорядка, может уменьшаться в открытых системах с течением времени. Необходимая предпосылка эффектов самоорганизации заключается в наличии потока энергии, поступающего в систему от внешнего источника и диссипи-руемого ею. Благодаря этому потоку система приобретает способность к автономному образованию структур. Очевидно, что эффекты самоорганизации не могут быть исключительным свойством биологических объектов, и должны наблюдаться и в более простых системах.

Большой интерес представляют распределенные среды, которые построены из дискретных элементов, локально взаимодействующих друг с другом и, таким образом, приближенно описывающих естественные пространственно протяженные системы. Через каждый из этих элементов может проходить поток энергии, поступающий от внешнего источника. Хотя разнообразие таких сред чрезвычайно велико, число математических моделей, которые используются для описания процессов образования и развития структур в таких системах, не столь значительно. По-видимому, даже когда отдельные элементы системы обладают сложной структурой, вся их внутренняя сложность не проявляется во взаимодействиях между ними и, с точки зрения макросистемы, они функционируют как достаточно простые объекты с малым числом эффективных степеней свободы.

Другим важным приложением теории детерминированного хаоса является изучение различного рода аритмий, возникающих в тканях сердца, и способов избавления от них. Известно, что сердечная мышца чувствительна к внешним возбуждениям. Если нормальный процесс сокращений нарушается как результат дополнительного поступления энергии, например, вследствие возникновения нового источника возбуждения, то даже в такой простейшей ситуации может наблюдаться очень сложное поведение. Основная проблема здесь — избавиться от аритмии при помощи определенных слабых возмущений, не приводящих к сильным вмешательствам в среду.

Знание основных закономерностей поведения хаотических систем дает возможность перейти к целенаправленному конструированию искусственных систем, нелинейные процессы в которых приводили бы к образованию нужных структур. Пока в этом направлении предпринимаются лишь самые первые шаги. Наиболее развитым приложением является создание устройств обработки информации на основе применения хаотических систем. Действие таких устройств базируется на использовании естественной "внутренней"структуры системы и управлении притоком энергии. Это позволяет при относительно малых энергетических затратах создать устройства принципиально нового типа, способные запоминать, шифровать и обрабатывать заданную информацию.

Необходимо также отметить, что в настоящее время проблема управления динамическими системами и подавления хаоса продолжает достаточно интенсивно развиваться. Кроме того, публикуются новые работы, посвященные разработкам новых прикладных задач. Поэтому на основании проведенных исследований допустимо предположить, что в ближайшем будущем можно ожидать появления большого числа уже реализованных неожиданных и интересных приложений.

Остановимся на основных результатах данной диссертационной работы.

Метод расщепления сепаратрис очень удобен для анализа поведения динамических систем. Это связано с тем, что он позволяет аналитически получить условия возникновения неинтегрируемости во многих прикладных задачах [133]. В то же время, проблема подавления хаоса, рассмотренная в настоящей работе, сейчас решается, в основном, численными методами (см., например, [28,35]). Однако одной из особенностей изучения этой проблемы с точки зрения анализа асимптотических траекторий является возможность проведения аналитического исследования. Это позволяет для систем с сепаратрисной петлей найти в общем виде расстояние между расщепленными в результате возмущения сепаратрисами. Таким образом, использование методов возмущений вблизи гомоклинической траектории дает хороший инструмент для исследования.

В данной работе на основе аналитической техники, основанной на методе расщепления сепаратрис, исследована возможность подавления хаотической динамики в диссипативных системах. Получен достаточно общий явный вид внешнего возмущения, при воздействии которого на систему она выходит на регулярный режим. Такое подавление хаоса достигается посредством приложения полученной аналитически определенной силовой составляющей. По этой причине полученные результаты являются достаточно общими и могут быть применены к уравнениям и моделям различной природы, где наблюдается расщепление сепаратрис.

1. A. Poincare. Calcul des Probabilities.— Paris, Gauthier-Villars, 1912.

2. L. Boltzman. Uber die mechanischen Analogien des zweiten Hauptsatzes der Thermody-namik. // Journ. f. Mathem., 1887, bd.100, s.201-212.

3. L. Boltzmann. Vorlesungen uber Gastheorie.— Leipzig, 1896.

4. JI. Больцман. Статьи и речи.— М., Наука, 1970.

5. P. Ehrenfest, Т. Ehrenfest.— Enzyklopaedie d. Math. Wiss., Bd.IV, T1.32. Leipzig, 1911.

6. П. Эренфест. Сборник статей.— M., Наука, 1972.

7. М. Кац. Вероятность и смежные вопросы в физике.— М., Мир, 1965.

8. The Bolzmann Equation: Theory and Application. Ed. E.G.D. Cohen and W. Thirring.— Springer, Berlin, 1973.

9. E. Fermi, J. Pasta and S. Ulam. Studies of Nonlinear Problems.— Los Alamos Scientific Report, LA-1940, 1955.

10. J. Ford. Equipartion of energy for nonlinear systems. // J. Math. Phys., 1961, v.2, No3, p.387-393.

11. E.A. Jackson. Nonlinear coupled oscillators. Perturbation theory: ergodic problem. //J. Math. Phys., 1963, v.4, No4, p.551-558

12. А. Пуанкаре. Избранные труды. Том 1.— М., Наука, 1973.

13. G.D. Birkhoff. Dynamical Systems.— American Mathematical Society, N.Y., 1927.

14. H.C. Крылов. Работы no обоснованию статистической физики.— M.-JL, Изд-во АН СССР, 1950.

15. М. Борн. Возможно ли предсказание в классической механике? // Успехи физ. наук, 1959, т.69, вып.2, с. 173-187.

16. J. Ford. Foreword to Symbolic dynamics and hyperbolic dynamic systems by V.M. Alekseev and M.V.Yakobson. // Phys. Rep., 1981, v.75, No5, p.288-289.

17. А.Н. Колмогоров. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега. // ДАН СССР, 1958, т.119, No5, с.861-864.

18. А.Н. Колмогоров. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов. // ДАН СССР, 1959, т. 124, No4, с.754-755.

19. Я.Г. Синай. О понятии энтропии динамической системы. // ДАН СССР, 1959, т.124, No4, с.768-771.

20. S. Smale. Diffeomorphisms with many periodic points.— In: Differential and Combinatorial Topology, ed. S.S.Cairns. Princeton University Press, 1965, p.63-80.

21. С. Смейл. Дифференцируемые динамические системы. // Успехи матем. наук, 1970, т.25, вып.1, с.113-185.

22. Д.В. Аносов. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны.— М., Наука, 1967.

23. Р. Боуэн. Методы символической динамики.— М., Мир, 1979.

24. A. Katok, В. Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems.— Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.

25. Нитецки. Введение в дифференциальную динамику.— М., Мир, 1975.

26. A. Lasota, М.С. Mackey. Chaos, Fractals and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics.— Springer, Berlin, 1994.

27. S. Boccaletti, C. Grebogi, Y.-C. Lai, H. Mancini, D. Maza. The control of chaos: theory and applications. // Phys. Rep., 2000, v.329, No, p. 103-197.

28. B.B. Алексеев, А.Ю. Лоскутов. Дестохастизация системы со странным аттрактором посредством параметрического воздействия. // Вестник Моск. ун-та, сер. Физ.-Астр., 1985, т.26, №3, с.40-44.

29. В.В. Алексеев, А.Ю. Лоскутов. Управление системой со странным аттрактором посредством периодического параметрического воздействия. // Докл. АН СССР, 1987, т.293, No6, с. 1346-1349.

30. Е. Ott, С. Grebogi, J.A. Yorke. Controlling chaos. // Phys. Rev. Lett., 1990, v.64, Noll, p.1196-1199.

31. F.J. Romeiras, E. Ott, C. Grebogi, W.P. Dayawansa. Controlling chaotic dynamical system. // Physica D, 1992, v.58, Nol-4, p. 165-192.

32. T. Shinbrot, C. Grebogi, E. Ott, J.A. Yorke. Using small perturbations to control chaos. // Nature, 1993, v.363, p.411-417.

33. T. Shinbrot. Progress in the control of chaos. // Adv. Phys., 1995, v.44, No2, p.73-111.

34. E. Ott, M.L. Spano. Controlling chaos. // Physics Today, 1995, v.48, No5, p.34-40.

35. A. Loskutov. Chaos and control in dynamical systems. // Computational Mathematics and Modeling, 2001, v.12, No4, p.314-352.

36. B.K. Мельников. Устойчивость центра при периодических по времени возмущениях. // Труды Моск. матем. об-ва, 1963, т.12, Nol, с.3-52.

37. J. Milnor. On the concept of attractor. // Commun. Math. Physics, 1985, v.99, No2, p.177-196.

38. B.C. Афраймович. Об аттракторах.— В кн. Нелинейные волны. Динамика и эволюция. Ред. А.В.Гапонов-Грехов, М.И.Рабинович.— М., Наука, 1989, с.16-29.

39. J. Guckenheimer, P.J. Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Fields.— Springer, Berlin, 1990.

40. В.И. Арнольд, B.C. Афраймович, Ю.С. Ильяшенко, Л.П. Шильников. Теория бифуркаций.— В кн. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 5.— М., ВИНИТИ, 1986, с.5-218.

41. А.Н. Шарковский. О проблеме изоморфизма динамических систем. В кн.: Труды V Междунар. конф. по нелинейным колебаниям.— Киев, Наук, думка, 1970, т.2, с.541-545.

42. L. Block. Homoclinic points of mappings of the interval. // Proc. Amer. Math. Soc., 1978, v.72, p.576-580.

43. А.Н. Шарковский, Ю.Л. Майстренко, Е.Ю. Романенко. Разностные уравнения и их приложения.— Киев, Наукова думка, 1986.

44. J. Palis, F. Takens. Hyperbolicity and creation of homoclinic orbits. // Ann. of Math., 1987, v.125, p.337-374.

45. J. Palis, F. Takens. Hyperbolicity and Sensitive-Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations.— Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1993.

46. L. Mora, M. Viana. Abundance of strange attractors. // Acta Math., v.171, p.1-71.

47. S.E. Newhouse. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms. // Publ. Math. IHES, 1979, v.50, p.101-151.

48. S.E. Newhouse. Lectures on dynamical systems. In: Progress in Mathematics, No8.— Birkhauser, Boston, 1978, p.1-114.

49. S. Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos.— Springer, Berlin, 1990.

50. P.J. Holmes, F.C. Moon. Strange attractors and chaos in nonlinear mechanics.— Trans. ASME, Ser. E, 1983, v.50, No4, p.1021-1032.

51. J.A. Yorke, K.A. Alligood. Cascades of period doubling bifurcations: a prerequisite for horseshoes. // Bull. AMS, 1983, v.9, p.319-322.

52. M. Viana. Chaotic dynamical behaviour.— Proc. of Xlth Int. Congress of Math. Phys. (Paris, 1994).-— Internat. Press, Cambridge, MA, 1995, p.1142-1154.

53. C. Robinson. Bifurcation to infinitely many sinks. // Commun. Math. Phys., 1983, v.90, p.433-459.

54. M. Viana. Strange attractors in higher dimensions. // Bull. Braz. Math. Soc., 1993, v.24, p.13-62.

55. N. Romero. Persistence of homoclinic tangencies in higher dimensions.— Thesis IMPA, 1992.

56. J. Palis, M. Viana. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many periodic attractors. // Ann. of Math., 1994, v.140, p.207-250.

57. Л.П. Шильников. Об одном случае существования счетного множества периодических движений. // Докл. АН СССР, 1965, т.160, No3, с.558-561.

58. L. Perko. Differential Equations and Dynamical Systems.— Springer, Berlin, 1996.

59. B.B. Алексеев, А.Ю. Лоскутов. О возможности управления системой со странным аттрактором.— В сб. Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Том VIII.— Ленинград, Гидрометеоиздат, 1985, с.175-189.

60. G. Chen, X. Dong. Prom chaos to order — Perspectives and methodologies in controlling chaotic nonlinear dynamical systems. // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1993, v.3, No6, p. 1363-1409.

61. T. Shinbrot. Chaos: Unpredictable Yet Controllable? // Nonlinear Sci. Today, 1993, v.3, No2, p. 1-8.

62. J.F. binder, W.L. Ditto. Removal, suppression, and control of chaos by nonlinear design. // Appl. Mech. Rev., 1995, v.48, Nol2, p.795-807.

63. A. Hiibler, R. Georgii, M. Kuckler, W. Stelzl, E. Lusher. Resonant stimulation of nonlinear damped oscillators by Poincare maps. // Helv. Phys. Acta, 1988, v.61, p.897-900.

64. A. Hiibler. Adaptive control of chaotic systems. // Helv. Phys. Acta, 1989, v.62, p.343-346.

65. E. Lusher, A. Hiibler. Resonant stimulations of complex systems. // Helv. Phys. Acta, 1989, v.62, p.544-551.

66. G. Reiser, A. Hiibler, E. Luscher. Algorithm for the determination of the resonances of anharmonic damped oscillators. // Z. Naturforsch A, 1987, v.42, p.803-807.

67. E.A. Jackson. Control of dynamics flows with attractors. // Phys. Rev. A, 1991, v.44, p.4839-4853.

68. S. Rajasekar, M. Lakshmanan. Algorithms for controlling chaotic motion: application for the BVP oscillator. // Physica D, 1993, v.67, Nol-3, p.282-300.

69. Ph.V. Bayly, L.N. Virgin. Practical considerations in the control of chaos. // Phys. Rev. E, 1994, v.50, Nol, p.604-607.

70. T. Shinbrot, E. Ott, C. Grebogi, J.A. Yorke. Using chaos to direct trajectories to targets. // Phys. Rev. Lett, 1990, v.65, p.3215-3218.

71. T. Shinbrot, C. Grebogi, E. Ott, J.A. Yorke. Using chaos to target stationary states of flows. // Phys. Lett. A, 1992, v.169, p.349-354.

72. T. Shinbrot, E. Ott, C. Grebogi, J.A. Yorke. Using chaos to direct orbits to targets in systems describable by a one-dimensional map. // Phys. Rev. A, 1992, v.45, No6, p.4165-4168.

73. E. Kostelich, C. Grebogi, E. Ott, J.A. Yorke. Higher dimensional targetting. // Phys. Rev. E, 1993, v.47, p.305-310.

74. J.D. Farmer, J.J. Sidorovich. Optimal shadowing and noise reduction. // Preprint of the Los Alamos National Lab., No LA-UR-90-653.— 30pp.

75. S. Bielawski, D. Derozier, P. Glorieux. Controlling unstable periodic orbits by a delayed continuous feedback. // Phys. Rev. E, 1994, v.49, No2, p.971-974.

76. R. Mettini, T. Kurz. Optimized periodic control of chaotic systems. // Phys. Lett. A, 1995, v.206, No5-6, p.331-339.

77. K. Pyragas. Stabilization of unstable periodic and aperiodic orbits of chaotic systems by self-controlling feedback. // Z. Naturforsch A, 1993, v.48, p.629-632.

78. M. Ding, E. Ott, C. Grebogi. Controlling chaos in a temporally irregular environment. // Physica D, 1994, v.74, Nol-2, p.386-394.

79. P. So, E. Ott. Controlling chaos using time delay coordinates via stabilization of periodic orbits. // Phys. Rev. E, 1995, v.51, No4, p.2955-2962.

80. I.M. Starobinets, A.S. Pikovsky. Multistep controlling chaos. // Phys. Lett. A, v.181, p.149-152.

81. S. Hayes, C. Grebogi, E. Ott, A. Mark. Experimental control of chaos for communication. // Phys. Rev. Lett., 1994, v.73, Nol3, p.1781-1784.

82. A. Garflnkel, M.L. Spano, W.L. Ditto. Controlling cardiac chaos. // Science, 1992, v.257, p.1230-1235.

83. S.J. Schiff, К. Jerger, D.H. Duong, T. Chang, M.L. Spano, W.L.Ditto. Controlling chaos in the brain. // Nature, 1994, v.370, p.615-620.

84. B. Hiibinger, R. Doerner, W. Martienssen. Local control of chaotic motion. // Zietschrift fur Phys. B, 1993, v.90, p. 103-106.

85. R. Meucci, W. Gadomski, M. Ciofini, F.T. Arecchi. Experimental control of chaos by weak parametric perturbations. // Phys. Rev. E, 1994, v.49, No4, p.2528-2531.

86. J.E.S. Socolar, D.W. Sukow, D.J. Gauthier. Stabilizing unstable periodic orbits in fast dynamical systems. // Phys. Rev E, 1994, v.50, No4, p.3245-3248.

87. Y. Liu, N. Kikuchi, J. Ohtsubo. Controlling dynamical behavior of a semiconductor laser with external optical feedback. // Phys. Rev. E, 1995, v.51, No4, p.2697-2700.

88. V. Petrov, M.J. Crowley, K. Showalter. Tracking unstable periodic orbits in the Belousov-Zhabotinsky reaction. // Phys. Rev. Lett., 1994, v.72, Nol8, p.2955-2958.

89. V. In, W.L.Ditto, M.L. Spano. Adaptive control and tracking of chaos in a magnetoelastic ribbon. // Phys. Rev. E, 1995, v.51, No4, p.2689-2692.

90. B. Blazejczyk, T. Kapitaniak, J.Woewoda, J.Brindley. Controlling chaos in mechanical systems. // Appl. Mech. Rev., 1993, v.46, No7, p.385-391.

91. A.Yu. Loskutov, G.E. Thomas. On a possible mechanism of self-organization in a two-dimensional network of coupled quadratic maps. // SPIE, 1993, v.2037, p.238-249.

92. А.Ю. Лоскутов, Г.Э. Томас. Хаос и дестохастизация в двумерной решетке сцепленных отображений. // Вестн. Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., 1993, т.34, No5, с.3-11.

93. А.Ю. Лоскутов, А.И. Шишмарев. Об одном свойстве семейства квадратичных отображений при параметрическом воздействии. // Успехи матем. наук, 1993 т.48, вып.1, с.169-170.

94. A.Yu. Loskutov, A.I. Shishmarev. Control of dynamical systems behavior by parametric perturbations: an analytic approach. // Chaos, 1994, v.4, No2, p.351-355.

95. A.Yu. Loskutov. Non-feedback controlling complex behaviour: ал analytic approach.— In: Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results. Ed. J.Awreicewicz.— Springer, Berlin, 1995, p. 125-150.

96. A.Yu. Loskutov. Dynamics control of chaotic systems by parametric destochastization. // J. Phys. A, 1993, v.26, Nol8, p.4581-4594.

97. A.N. Deryugin, A.Yu. Loskutov, V.M. Tereshko. Inducing stable periodic behaviour in a class of dynamical systems by parametric perturbations. // Chaos, Solitons & Fractals, 1996, v.7, NolO, p. 1555-1567.

98. N.L. Komarova, A.Yu. Loskutov. Stabilization of chaotic oscillations in dynamical systems: rigorous results. // SPIE, 1993, v.2037, p.71-81.

99. H.JI. Комарова, А.Ю. Лоскутов. Стабилизация хаотического поведения колебательной химической реакции. // Матем. моделирование, 1995, т.7, NolO, с. 133-143.

100. A.Yu. Loskutov, S.D. Rybalko, U. Feudel, J. Kurths. Suppression of chaos by cyclic parametric excitation in two-dimensional maps. // J. Phys. A, 1996, v.29, Nol8, p.5759-5773.

101. А.Ю. Лоскутов. Проблемы нелинейной динамики. II. Подавление хаоса и управление динамическими системами. // Вестн. Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., 2001, No3, с.3-21.

102. A.Yu. Loskutov, V.M. Tereshko, K.A. Vasiliev. Predicted dynamics for cyclic cascades of chaotic deterministic automata. // Int. J. Neural Systems, 1995, v.6, p.175-182.

103. A.H. Дерюгин, А.Ю. Лоскутов, B.M. Терешко. К вопросу о рождении устойчивого периодического поведения параметрически возбуждаемых динамических систем. // ТМФ, 1995, т. 104, No3, с.507-512.

104. А. Лихтенберг, М.Либерман. Регулярная и стохастическая динамика.— М., Мир, 1984.

105. Ю.И. Неймарк, П.С. Ланда. Стохастические и хаотические колебания.— М., Наука, 1987.

106. Г.Шустер. Детерминированный хаос. Введение.— М., Мир, 1988.

107. R.L. Devaney. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems.— New York, Amsterdam, Addison-Wesley Publ. Co., 1993 (Second Edition).

108. W. de Melo, S. van Strien. One-Dimensional Dynamics.— Springer, Berlin, 1993.

109. A.Yu. Loskutov, S.D. Rybalko. Parametric perturbations and suppression of chaos in n-dimensional maps.— Preprint ICTP IC/94/347, Trieste, Italy, November 1994.

110. R. Lima, M. Pettini. Suppression of chaos by resonant parametric perturbations. // Phys. Rev. A, 1990, v.41, No2, p.726-733.

111. L. Fronzoni, M. Geocondo, M. Pettini. Experimental evidence of suppression of chaos by resonant parametric perturbations. // Phys. Rev. A, 1991, v.43, p.6483-6487.

112. R. Chacon.Maintanance and suppression of chaos by weak harmonic perturbations: a unified view. // Phys. Rev. Lett., 2001, v.86, No9, p.1737-1740

113. M. Pettini. Controlling chaos through parametric excitations. In: Dynamics and Stochastic Processes. Ed. R.Lima, L.Streit, R.Vilela Mendes.— Springer, Berlin, 1990, p.242-250.

114. Y. Kivshar, F. Rodelsperger, H. Benner. Suppression of chaos by non-resonant parametric perturbations. // Phys. Rev. E, 1994, v.49, Nol, p.319-324.

115. G. Duffing. Erzwungene Schwingungen bei Veranderlicher Eigenfrequenz.F. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1918.

116. F.C. Moon, P.J. Holmes. A magnetoelastic strange attractor. // J. Sound Vib., 1979, v.65(2), p.285-296.

117. F.C. Moon, P.J. Holmes. Addendum: a magnetoelastic strange attractor. // J. Sound Vib., 1980, v.69(2), p.339.

118. P.J. Holmes A nonlinear oscillator with a strange attractor. // Phil. Trans. Roy. Soc. A, 1979, v.292, p.419-448.

119. P.J. Holmes, D.C. Whitley On the attracting set for Duffing's equation, I: Analitical methods for small force and damping.— In Partial Differencial Equations, W.E. Fitzgibborn III (ed.), Pitman: London,1984, p.111-123.

120. Jose L.Trueba, Joaquin Rams, Miguel A. F. Sanjuan.— Int. J. of Bif. and Chaos, 2000 v.10, No9, p.2257.

121. В.Г. Гельфрейх, В.Ф. Лазуткин. Расщепление сепаратрис: теория возмущений, экспоненциальная малость. // Успехи матем. наук, 2001, т.56, No3 (339), с. 79-142.

122. P. J. Holmes, J.E. Marsden. Horseshoes in perturbations of Hamiltonians with two degrees of freedom. // Commun. Math. Phys., 1982, v82, p.523-544.

123. А.Ю. Лоскутов, A.P. Джаноев Стабилизация хаотического поведения в динамических системах. // Докл. Акад. Наук России, 2003, т.392, No4, с. 481-483.

124. A. Loskutov and A. Janoev. Homoclinical chaos suppression.— In: Proc. of 2003 Int. Conf. "Physics and Control", August 20-22, Saint Petersburg, Russia. Eds. A.L.Fradkov and A.N.Churilov.— IEEE, 2003, p.403-409.

125. A. Loskutov, A. Janoev. Homoclinical chaos suppression.— In: The Book of Abstracts of the XXXI Summer School—Conference "Advanced Problems in Mechanics" , St. Petersburg (Repino), Russia June 22-July 2, 2003, p.67.

126. A. Loskutov, A. Janoev. Application of the Mel'nikov method to the investigation of complex behavior.— In: The Book of Abstracts of the 4th Int. Symp. "Molecular Order and Mobility in Polymer Systems", St. Petersburg, June 3-7, 2002, p.226.

127. А.Лоскутов, A.P. Джаноев Подавление хаоса в окрестности сепаратрисы. // ЖЭТФ, 2004, т.125, No4, с. 191-200.

128. F. Cuadros, R. Chacon. Comments on "Suppression of chaos by resonant parametric perturbations". // Phys. Rev. E, 1993, v.47, No6, p.4628-4629.

129. R. Lima and M. Pettini. Reply to Comments on "Suppression of chaos by resonant parametric perturbations". // Phys. Rev. E, 1993, v.47, No6, p.4630-4631.

130. R. Chacon. "Suppression of chaos by selective resonant parametric perturbations". // Phys. Rev. E, 1995, v.51, Nol, p.761-764.

131. B.B. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамилътоповой механике.— Ижевск, УдГУ, 1995.