Критические явления и сценарии перехода к хаосу по многопараметрических нелинейных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

р Г 5 on I с СЕ!! 1П35

HQ iipODOE pyrcorotcts

КУЗНЕЦОВ Алзгссокдр Петрович

KHíTIFIECKtffi ЯВЛЕНИЯ и СЦЕНАРИИ ПЕРЕКОДА к ХАОСУ ПО шогоплРАшлгачшшх тштЕЙ1ж систшах

01.04.03 - Радиофизика

Апгорофорпт дасспртпшп; «а соиекшшв ученой стопопя доктора фжтсо-матокятячвсгаи паук

Сврятов 1995

Работа вшюлнена в Саратовском фшхиало Институте радиотехники и вдектроншш РАН. .

< I ■

Официальные оппонента!

доктор физико-математических наук, профессор B.C. Ашщешш, доктор (¡азшш-математиче скшс ааук, профессор В.II. Белых, доктор фазико-ыатематцчоскшс наук, профессор D.H. Елеонскай. .

Ведущая организация - Нижегородский государственный университет.

Защита состоится 20 октября 1995 г. в 1530 на заседании диссертационного совета Д.063.74.01 по радаофазике при Саратовском государственном университете ш. Н.Г.Чернышевского по адресу: 410071, Саратов, ул. Астраханская, 83, физический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке СГУ.

Автореферат разослан " " OZ-cof'^/j,^ 1995 г.

Учений секретарь

диссертационного совета ' ' . • ' '

кандидат физико-математических у

наук, доцент , /Ь..,Му в,И. Аникин

Лктуольност(> проблем»

Для понимания хаоса в ¡шлиноШшх систомпх югачепоо значение имеет вопрос о сценариях ого возтпшопопил. А ¡!мэшю, накопи тшпгчш/е последовательности бифуркации. которые моэто пабладоть При адиабатически МПДЛОЕШОМ ИЗМОНОНИИ управляющих параметров системы, отяочащом переходу из области простого регулярного поведения ц область хаоса. Тру дани к: torus; исследователей виявлет! тсяг.^ишэ сценарии - пароход к ' хаосу через каскад удпосгпЯ периода (Hyrberg, .1963; A.M. ШярковскиЯ, 1964: Votropol !гз и др., 1973; May, 1976 и др.), через перемежаемость (B.C. ЛфраДм'ЛПТЧ и Л.П. [ПИЛЬНЯКОВ, 1974; Гоггегш И Mannevillo, 1900 и др.) и чероз квазипориодичность (В.И. Арнольд; Ruollo и inkers, 1900; Г.Ыпкот, 1902 И Др.).

Как оказалось, постановка вопроса о сценариях перехода к хаосу подразумевает по только качоствоннно плриантн ответа. Длл количественного описания зякопокпрпостеЛ переходя через каскад удвоениЛ периода . 'Тейгенбаум привлек мотод ренормллизациоплоЯ групш (Polgenbaum, 1979). Позднее аналогичной подход бил развит для перемежаемости (iliroh, 1902; Ни и nudnik, 1982) п квазнпориодпчпости (OntlunJ и др, 1903; ?оigenbrum и др, 1982). Благодаря ятпм работам, n нелинейную динамику проникли идпи

УПИВОрСЛЛЬНОГ'ГН И ГКГ'ЯЛИНГН, ПЗПОСТППО рПНПО В фНЗИКО 11Л301ШХ

переходов, крпнтороИ теории ноля, теории протекания. В теории фэзових переходов метод ГГ привлекают для описания критического поведения вощоства вблизи точки фазового перехода (критической Точки), когда имеют место' флуктуации с простралстветшми масштаба;«, намного провнлапцимп межатомное расстотгио. По аналогии, южно говорить о критических явлениях в полипеЯпнх системах, имея в виду роашмн динамики, роалтужиосл у порога хаоса и обладателю временными масштабами, ночного прошгаощимл прочие характернее времена задачи (Kndanoii, Chang, :iu л др.).

К настоящему времони установлеп широкий набор иллюстраций критической динамики па пороге хпоса. ■ К »им олюептеп бифурнациогапо деревья, грофига ляпуповсках показателен, разлгшпе характеристики аттрактора о критспоскоЯ точке, такие как о-фупк'лял. скеПлинг-спектр, разнообразило размерности и т.д. (см. миографии Щусторэ. Мупа, М.УГ. Рабиновича ;т Д.И. Трубещ'.опя, B.C. А1ПГЛОПКО, П.С. Ланд» и Г!-И- НоЯмяркя я др.)

Существенная черта а г их характеристик - их ушшорсальпость, т.е. применимость для описания систем разнообразной физической природа.

Наиболее изучен и наиболее распространен тип критического поведения, ассоциирующийся с каскадом бифуркаций удвоения периода. Удвоешы периода наблвдаются при вариации одного управляющего параметра. В то же время, большинство представляющих интерес нелинейных систем характеризуются несколькими параметрами. Таковы и традиционные физические иллюстрации, для которых реализуется классической фейгенбаумовский скейлинг: модель Лоренца тормоконвекции, нелинейный осциллятор под периодическим внешним воздействием и т.д. Использование компьютеров открыло широкие возмошэсти для анализа динамики многопараметрических систем. В настоящее время для прости нелинейных систем можно без затруднений бистро получить эффектные кврты динамических .режимов в цветной графике, например, представив области устойчивости циклов различного периода определенными цветами (Komuro, 1991 и др.). Другой, не менее изящный способ состоит в том, что строится "ляпуновское пространство", когда оттенками одного цвета передае.тся величина лппуновсюго показателя (Markua, 1990). Такие программа рисуют на экрапе дисплея подчас совершешо, фантастические картины, содержащие тонкие фракталоподобнне структуры. Эти исследования паводят па мысль о возшзаюсти новых типов критического поведения пелшоШшх систем, зависящих от нескольких параметров, которые допускают РГ анализ. До сих пор выявлено сравнительно пемного подобных ситуаций. Это трикритические точки одномерных . отображений (Chang и др., 1981), двухпараметричоское критическое поведение дассипатшпшх систем, демонстрирующих удвоения триода, вблизи пулевого вначения параметра диссипации (По11отап,1980; Zieook, 1981), утроения п учетверения периода в комплексных аналитических отображениях (А.И. Гольберг и др., 1983), бикритическая" динамика системы двух односторонне связанных логистических отображений на порого гиперхвоса (С.П. Кузпецов, 1986). В то хэ время остаются открытыми ваязше вопроси: возможно ли обобщение подхода Фейгепбаума па нногопараметрическяе нелинейные системы? Если да, то какие классы универсальности

втому соответствуют? В каком смысле примзпино к пим понятна "сценарий перехода к хаосу"? Возмозла ли классификация критических явлений по млогопарамотрячесгсгос пэлинейшх системам по возрастающей коразмерности подобпо точу, как принято в теории бифуркаций ц теории катастроф? К каким фепомепан приводят воздействие на нелинейные системы сигналов с фрактальной организацией, отшчапцях критическим аттракторам? Ответы на соответствующие вопроси позволили б и продшшуться в понимания природа хаотической динамики нелинейных систем. ^ Тагам образом, 'описание критических явлений и сцепариоп перехода к хаосу во мяоголарамэтричосютх нелинейных системах предстзагсстся актуальной научной.проблемой, которая и рассматриваете е настоящей диссертации.

. Цель днссертацношой работы состоит в обобщении подхода Фейгенбаумз па случай многопаромотрпческнх нолипейшх систем и в исследовании и классификации соответствующих критических явлений и сценариев перехода к хаосу по возрастающей коразмерности.

Научная новизна. В диссертационной работо впервыо •

- продстаплонп классификация критических двиганий одпомерннх отображений, ассоциирующихся с удвоениями периода;

- для каждого типа критичпости с помощью ренормгруппового анализа установлена величина коразмерности;

- обнаружено свойство скрытой симметрия одномерных отображений, благодаря которому оказываются включенными па всо собственный направления скейлинга, и сформулированы соответствуйте правила отбора масштабных констант;

- с К85эднм типом критичности ассоциирован определенный "сценарий перехода к хаосу", для чего исследована универсальная структура пространства параметров, лапы иллюсурацта скейлинга, найдены основные критические индексы, построены скойлилг-споктры, вычислена хаусдорфовя размерность критических аттракторов и т.д.;

- построены приближенные версии репоркгруппопого анализа пошх типов критичности:

- развиты алгоритмы поиска критических точек;

- обнаружена и исследована трикритическая динамика в электронной системе Чуа;

- представлена классификация критических движений по возрастащей коразмерности в простейшей дадольной система',

\ демонстрирующей гиперхаос;

- найдена бикриткческая дана?,гака в системе одномодовий лазер с периодической модуляцией добротности - четырехуровневый лазер;

- введен в рассмотрение новый класс "сигналов - фрактальные сигналы;

- предложена модель устройства, генерирующего фрактальный сигнал с заданными характеристиками;

- найдена бифуркация обмена устойчивости неподвижных точек уравпения ренормгрушш, аналогичная бифуркации Вильсона-Фишера, в теории разовых переходов;

- показано, что у порога бифуркации РГ уравнения система демонстрирует "каазискейлинг", проявляющийся в медленной вволщии фрактальной структуры критического аттрактора при

. переходе на более глубокио уровни разрешения;

- установлено, что при изменении масштабных факторов воздействующего фрактальпого сигнала реализуется "кризис критичности", состоящий в том, что критическая точка перестает быть границей хаоса;

- дана классификация критических состояний цепочки одаосторошго ■ связанных логастачесшпс отображений.

Основные полохшшя, выносгаше на защиту

1. Существует мноавство ситуаций мультипараметрической критичности на пороге хаоса, характеризующихся универсальной самоподобной структурой пространства параметров. Всо такие ситуации можно описать с помощью набора универсальных критических индексов, скейлинг-спэктра, величины размерности

, критического аттрактора, Фурье-спектра колебаний. Такая совокупность характеристик в каздой из критических ситуаций . позволяет говорить о соответствующем сценарии перехода к хаосу во шогонараметраческих нелинейных системах.

2, Регормгрунповой анализ позволяет определить число параметров семейства систем, необходимое для' того, чтобы" тот или иной тип к]штического поведения встречался типичным

образом, п том ,тл смысле, как п теории бифуркаций и теории катастроф.

3. Одномерные отображения характеризуете!! свойством сбытой симметрии, благодаря которому величина коразмерности оказывается ниже, чей для нелинейных систем общего вида. Для одномерных отображений ренормгрупповой анализ долган бить дополнен правила!«! отбора масштабных констант, которые формулируется на -основе исследования структуры степенных разложений собственных функций линеаризованного РГ уравнения и 'Подтверздаотся результатам компьютерного исследования скейлипга.

4. Двумеряко отображен®! демонстрируют типы мультя-парамэтрической критичности, не встречающиеся в одаомэрпнх отоСрожештах. Простейгло та них обнаруживаются в систекэ яоух односторонне связанных нелинейных подсисто:.! на норого пшорхаосз - колебательного р8Я5ма, характеризующегося двумя иолгагголышми дяпуновеккмл показателя®!.

5. Существование мюзветва критических состояний на пороге хаоса позволяет ввести в рассмотрение класс сигналов с фрактальной организаций, которым отвечает движение шзобраяащей точки о фазовом пространство но 1сритичоскому аттрактору.

6. Воздействие па полипе Шшо системы фрактальпого сигнала с регулируемыми масштабными свойствам;! может приводить к бифуркации ренормдинашши," аналогичной бифуркации Вильсона-Фишера в теории Фазовых переходов. В точка бифуркации происходит изменение типа критического поводения, причем за ее порогом критические лндоксн зависят от масштабных факторов впокпего сигнала. Вблизи точки бифуркации возникает ситуация, которув естественно назвать квазискейлингом - происходит крайне медленная эволюция устройства критического аттрактора при переходе с одного уровня иерархии па другой.

Няучно-практпчвекля значимость результатов

В работе выполнено исследование, относящееся к фундамепталыгам проблемам теории динамического хаоса. Научно-практическая значимость результатов состоит в том/ что

- создан некоторый универсальный "атлас" карт динамических режимов, описывающий тонкое устройство областей пространства

параметров, использование которого делает исследование п интерпретацию карт динамических режимов нелинейных систем осмысленным и не столь трудоемким;

- получены карты динамических режимов конкретных физически* систем, представлявдих интерес в электронике и оптике;

- предложена схема генератора фрактального сигпала с регулируемыми ыасштабншйг свойствами, который мозят использоваться как эталонный генератор сигнала с . заданными характеристикам, а также для эксперименталышх исследований феноменов сложной динамики;

- сделан еще один шаг па пути формирования синтетической мезднецтхлинарпой концепции критических явлений: устаповлоны ноше аналогии нелипойзюй дпна;лики с физикой фазовых переходов, теорией катастроф, фрактальной геометрией;

- развита нриблжотше версии РГ анализа, которые делают доступным формализм РГ анализа для студентов и аспирантов, изучающих теорию динамического хаоса.

Результаты диссертации используются в учебном процессе в Саратовском государственном университете.

Аппрсбация работы и публикация

Основные результаты работы были представлены па Всесоюзной конференции "Проблемы оптической памяти" (Телави, 1990), на XIII Ы8здупародпой конференции по когерентной и полинейпой оптике (Минск, 1988), на конференции "Nonlinear Dynamics in Optical SyateiM" tViena, 1992), на конференции "Fraotala in the Natural and Applied Soiencea" (London, 1994), ua IX ЗШйеЙ школе по механике сплошных сред (Пермь, 1991), на ill и IV школах-семинарах "Стохастические колебания в радиофизике it. электронике" (Саратов, 1992, 1995), на IX.зимней школо-семшаро по электронике СВЧ и радиофизика (Саратов, 1991), па научпом семинаре под руководством член-корреспондента РАН, профессора ТруОацкова Д.И (1991, 1992), на научном семинаре кафедры алектропики и волновых процессов СГУ (1995), па научном семинаре под руководством д.ф.-м.н. Мельникова Л.А. (1990, 1991), на научных семинарах Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН (1991, 1994, 1995). Материалы, пошедшие в диссертацию, были представлены па Научном Совете по . проблеме "Нелинейная дипомика". АН СССР.

По материалам диссертанта опубликовано 23 пау^йшх работ. Новне результат«, представленные в диссертации, полутени лично соискателем. Вклад соавторов совместных публикаций отиочон в токсто диссертации и в соответствующих примечаниях.

Структура н объем работа

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, содержит 211 страниц основного текста и 107 страниц иллюстраций и таблиц. Библиография содержит 135 сснлок на литературное источники.

\

Краткое содвряаша работы

Во введении обосновывается актуальность томи диссертации.

В первой главе дан .аналитический обзор результатов, характеризующих одаоиараметрический сценарий перехода_ к хаосу чорез каскад бифуркаций удвоения периода. Канонической подолью, демонстрирующей та:ой переход, является логистическое отображение

M

Представление о "СцВлартга перехода к хаосу" исладнвоотся, во-первых, из оплеззял возтюлшх типов режимов колебаний и их эволюции при измегзгхл параметра нелинейности. Во-вторых, то иллюстраций скойлжшз, например, па бифуркационном дереве и гря^шео ляцуповегого показателя, а такта иллюстраций фрактальных свойств критического аттрактора : скоЯллнг-спектрл (Пайвеу И др.), a-fySKUKï (Feigenbaum), обобцззкоЛ размерности (Graooberger, Proccsol»), фурьо-спектра (Suborsan, Zioook; ПаиепЪегд, Rudnlk).

Следующей важной кожгояоятоЗ опта^-ш: крягачсской дапямяки является РГ анализ. Он ccitoBsn на урввзекяз гойгепбаумо

g{i)=cg(gU/a), (2)

которое имеет решешго в виде универсальной функция gp(x), опредолпщой динамику в критической точке; нахождение отого решения подразумевает тага» гачкеленпо универсальной масштабной копстанты а=-2.50?,9078. Лпнв я рисованное вблизи ФушщноппльноЛ неподвижпой точки g?{x) уравнение РГ

Ötf(x) = atg' tg(x/a))iüz/a)+ ff(g(i/a))J. (3)

позволяет обосновать скейлинг в окрестности критической точки и вычислить масштабный фактор скейлинга 6^=4.6692016.

Важное методическое значение имеет приближенный РГ анализ. В рамках такого анализа параметр нелинейности К выступает в ролл динамической переменной итерационного уравнения

X 21г{к -1). (4) .

получающегося в результате перенормировки параметра X и переменной х при переходе к описашш динамики системы (1) па удвоенном интервале времени. Одну итерацию приближенного РГ уравнения (4) можно интерпретировать как один шаг в "рзнормвромени", что соответствует в реальной динамике переходу с одного уровня организация фрактальной структура на другой. Критическая ситуация определяется поустойчивей неподвижной точкой приближенного РГ уравпоная.

РГ анализ и компьэтерноо моделирование позволяют построить таблицу критических индексов, к которым относятся константа скейлияга 0?=4.6692, масштабный фактор ау=-2.5029, критический ицдвкс, отвечающий за скейлинг лянуновского показателя Х=0.4498, константы, характеризующие спектр колебаний в критической точке: 7=13.35 дБ - перепад между субгармопикамп различного уровня и ае=0.69 - неравномерность амплитуд в пределах одаого уровня.

Существенной чертой иллюстраций критической динамики является их универсальность, т.е. применимость для описания нелинейных систем разнообразной физической природа. Эти системы могут описываться но только одномершш .нообрагтшш отображениями типа канонической модели (1), но л многомерными обратимыми отобразешяш .пли систома№1 даХфаренциальпых ■ уравпаний. Существование фейгенбаумовского скейлинга для сложных пеланейвнх систем . обосновано Со11о1;, . Во)сг.апп, Коо)1 • (1980). В диссертации приведена примори систем разнообразной природы (оптический резонатор с нелинейной средой, електрошшя . схема Чуо, модель Лоренца конвекция Ролоя-Бенара), а также систем, ишшфп фундаментальное значение в теории колебаний (параметрически возбуждаемый поланоЗниЙ осциллятор, отображение окружности и др.), дононстрирувдих переход к хаосу по Фойгонбауму. . ¥

В заключении первой главы дан обзор основных результатов одного из современных направлений развития подхода Фейгенбаума, состоящего в изучении систем связанных логистических отображений, а также одно- и двумерных решеток и сетей из таких отображений. Описаны основные феномены и представлена "фазовая диаграмма" состояний решетки.

Во второй главе • исследована картина перехода к хаосу в ' двухнараметрических одномерных отображениях (=/аЬ(хп). Известно, что на плоскости параметров таких отображений имеются фейгопбаумовские линии, которые могут • обрываться в трикритических точках (Chang и др., 1981). В окрестности каждой трикритичвской точки реализуется характерное мелкомасштабное устройство плоскости параметров, одной из отличительных черт которого является наличие иерархии точек сборки на базо циклоп возрастающих периодов. В окрестности трикритических точек реализуется двухнараметрический скейлинг с масштабными константами 0Г(=7,28469 и бТ2=й,85712.

В качестве канонической модели для исследования трикритичности можпо использовать "квартичное" отображение либо какое-нибудь бимодальное отображение (с двумя экстремумами), поскольку трикритичность ассоциируется с ситуацией, когда один из квадратичных экстремумов отображается в другой такой экстремум. При приближенном переходе к описанию динамики на удвоенном интервале времени можно получить следующие правила перенормировки" параметров квартичного отображения:

а — 2а(а+Ъ-1)(а+2Ь), Ь -* (at-b-1)3(2ab-a3-6a2btAD2). (5)

Соотношение (5) продставляет собой приближенное РГ уравнение, определяющее ренорвдинамику параметров а а Ь. Фазовый портрет РГ уравнения (5) содержит седловую Фейгенбаумовскую неподвижную точку и неустойчивый узел - трикритическую точку. Сепаратриса, идущая из узла в седло, определяет положение фейгенбаумовской критической линии. Таким образом, приближенный РГ анализ позволяет дать наглядную интерпретацию сосуществования двух типов критической динамики и объяснить особенности мелкомасштабного устройства пространства параметров. Собственные числа неподвижных точек FT уравнения (5)' дают приближенные значения масштабных копстаот скейлинга.

Строгое РГ уравнение для анализа трякритичности совпадает с РГ уравнением Фейгенбаума (2), но его решение g,£(x) строится в виде полинома, содержащего четвертые степени х. В диссертации указано на существенную роль линеаризованного РГ уравнения при шогопараметрическом анализе нелинейных систем. Решение этого уравнения позволяет найти полный спектр существенных собственных чисел , которые являются константами скейлинга. Их количество - число N - определяет коразмерность данного типа критической динамики, т.е. минимальное число .существенных параметров семейств нелинейных систем, при котором он может встретиться типичным образом. Такой подход дает возможность интерпретировать попятив типичности в том ¡ко смысле, как ее погашай- в тоории бифуркаций и теории катастроф.

РГ анализ трикритичности обнаруживает три существенные скейлинговне константы. (Две из них приведены выше, а третья 02Э=-4,82938.) Для объяснения видимого противоречия . с результатами компьютерного моделирования внэдено представление о свойстве скрытой сишетрш одаоморшх отображений, благодаря которому одно из собственных направлений скейлинга по включено. Для обоснования скрытой симметрии исследуется структура тейлорорсшго разложения проитеряровашого два раза возмущенного отображения. В ситуации отображения "экстремум в ~экстремум" такое отображение содержит лишь четные степени х. С другой стороны, собственная функция линеаризованного РГ уравнения, которой отвечает константа бгз=-4,82938, содержит в своем полиномиальном представлении нечетные степени х. Это означает,^что соответствущее направленно скейлинга "не. вхслачается" лпри удвоениях периода. Таким образом, для

* ■ v •

одномерных отображений трикритичность имеет коразмерность два. В то же время, введение второго измерения снимает скрытую симметрию, и тогда константа öI3=-4,82938 оказывается существенной. Из сказанного ясно, что для трикритичноети невозможна теорема, аналогичная теорема Collet, Eokmam, Koch. Таким образом, следует соблюдать осторожность при перенесении результатов, полученных для двухнарамогрических одномерных отображений, па нелинейные системы общего вида.

В диссертации представлен набор иллюстраций трикритичоской динамики одномерных отображений: бифурквцношюэ дерево, график

ляпуповского показателя, портрет критического аттрактора, ст-фушщил, скейлшп'-споктр, график обобщенной размерности, фурье-спектр, таблица критических индексов. Эта характеристики являются универсальными для одчочор!шх отображений.

Свойство даухнэряметрического скейлжгга в тр'.крнтических точках коразмерности дпа иллюстрируется с помощью карт динамических режимов. Для этого вводится косоугольная система координат, оси которой определяются собствешшми направлениями скейллнга. В этой системо координат мелкомасштабная структура 'плоскости параметров переходит сама в собя при увеличении в 0^=7,28469 и 0т2=2,85712 раз. Не глубоких уровнях разрешения структура карта становится универсальной. В диссертации в качестве примеров дотгиллюстрации скейлжгга для кубического отображения п отображения окружности. Для отображения, описывающего схему Чуа, приводен портрет критического аттрактора и спектр колебаний'в трикритической точке, вид которых также свидетельствует в пользу гшотезы универсальности.

Продемонстрировано существовзпио "псердотрикритлческой точ1п1" коразмерности два для сисгош, описываемой дайсренципльшж™ уравиеттями (схема Чуа). В этой точке реализуется аттрактор, обнарутшакций характерную для трикритпчтк-.ти фрпктядьиуп структуру вплоть до весьма глубоких уровней, что ннллптся следствием сильного сжатия фазового пространства в исходной системе.

Совокупность полученных -• результатов позволяет говорить о двухпараметричоском сценарии перехода к хаосу в одномерных отображениях, ассоциирующемся с трикритичностьп коразмерности два подобно тому, как сценарий перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода ассоциируется с фейтопбаумовской критичностью.

В третьей главе для одномерных отображений xn^(=/abodn) обсуждаются, ситуации мультипарамэтричоской критичности коразмерности три. Показапо, что в трехмерном пространстве параметров существуют линии, вдоль которых являются типичными пефойгенбаумовские каскады удвооний периода, характерные для' отображения Jn4l= 1-Х.х^ при v = 4, 6, 8. Еозмохно четыре, вида тй1сих линий, каждая из которых связана с огфеделешюй конфигураций Функщгл fix): 1) Функции имппт пкстрпмум

четвертой степони (v=4); 2) квадратичный экстремум отобрааается в кубическую точку перегиба (v=6); 3) точка перегиба отображается в экстремум (v=6); 4) три квадратичных экстремума последовательно отображаются . друг в друга (v=8)'. Нефийгеибаумовские каскада удвоений п трехмерном пространстве параметров завершаются критическими- точками. Соответственно, можно указать четыре тала критических точек, которые обозначены Т, S1, S2 и В. Критичность типа Т представляет собой трехпарамотрический вариант трикрятичшсти, а остальные являются новыми.

В качестве канонической модели для анализа трехнярамэтрического перехода к хаосу может слумпъ отображение zn+1=l-ат?-Ъх*-схп. Для тшчислония координат критических точек канонической модели используется дерево сворхустоЯчивих орбит, ветвям которого соответствуют цикли отображения, ошграюциеся на соответствующие экстремумы четвертой степени, кубические точки перегиба и квадратичные экстремумы.

Все новые разновидности критичности описываются РГ уравнением <Гейгенбаума, причом тшам S1 и соответствует одна и та же универсальная функция ga(x), содержащая степени х6, а типу Е - функция g£(x), содержащая степени хв. Линеаризованное • вблизи фушщкопалышх неподвижных точек к3(х) и g£ (.х) РГ уравнение (4) обнаруживает соответственно пять и сомь существешшх собствешшх чисел. Однако, для одномерных отображений велкчнпа коразмерности оказывается пш:е благодаря свойству скрытой симметрии. Скрытая симметрия связана с представленными выше дополнительными условиями, накладываемыми на отображение. Для каздой из характерных конфигураций функции /(х) проведено исследование структуры тейлоровского разложения дважды проитерировапного возмущенного отображения fifix)). Сопоставление со структурой собствешшх функций линеаризованного РГ уравнении, позволяет установить правша отбора констант скейлинга. В результате подобного исследования показано, что для одномерных отображений новые разновидности критичности S(, Sg и Е имеют коразмерность три, и найдены масштабные факторы скейлинга (табл.1). Отметим,- что именно правила отбора позволяют выделить точки S., S.. и

самостоятельные виды критичности, хотя им отвечает одно и то хо решение РГ.уравнения g3(x).

Табл.1. Коистшпи скеДлипга для критических точек коразмерности три

Констг uni скей:

7,28469 2,85712 -4,82938

sî 9,29625 4.64С07 2,15427

S. 9,29625 -3.161П9 2,15427

Е 10,9486 3,40114 1,84422

Кагдая из четырех прёдстзсленпнх критических точек характеризуется тремя собственны;«! иопрялгопиямя скейлиягз. .Таким образом, полное описание универсальной мелкомасштабной структуры пространства параметров п окрестности каэдой из них включает три карты динамических режимов, отвечающих трем возможным сочетаниям пар сгсойлинговых координат. В диссертанта представлены соотвотствущио наборы карт, полученные с помощью компьютерного моделирования. Универсальный "атлас" карт можно использовать для демонстрации скейлстга. Для этого необходимо "просмотреть" все три корта с возрястящнм увеличением, определяемом -пара'« масатабннх копстант 0{ из табл.1. Компьютерное модэлированио подтверждает ' существование трохпарамотрического скейлинга и сформулированные правило отбора масштабных констант скейлинга.

В сочениях пространства параметров канонической модели реализуются отсутствующие в унимодальпнх и бимодальных отображениях бифуркащга. В частности, обнаруживаются линии жесткого перехода с обращенном мультипликатора ц в -1, а такжо точки "Шр-бифуркаций" коразмерности два, в которых линии бифуркаций удвоения периода превращаются в лилии жесткого перехода. Характерно специфическое поведение линии ц=-1. Она имоет очень сложную форму и содержит множество потоль, охватывахщих точки сборки разных 2п-циклов. Число петель том больше, чем больше период никло, fia линии ц=-1 располагаются точки fllp-бифуркаций коразмерности два, поэтому лишь отдельные куски этой гладкой линии являются линиями стандартной бифуркации удвоения периода.

Каждая из критических точек коразмерности три охарактеризована своей таблицей критических индексов. Построены иллюстрации в виде скейлинг-спектра, спектра обобщенных размерностей, о-функций и т.д. Например, хаусдорфова размерность критических аттракторов в точке Е составляет 0.7075, а в точке 5 - 0,603. Величина перепада между субгармониками соседних уровней в спектре, соответственно, 8,6 дБ н 9,3 ДВ..

• В заключение третьей главы рассматривается модифицированное отображение окружности, в котором в отличие от стандартной формы периодическая функция выбрана в виде суммы двух гармоник:

„+Ьз(п(2х+<»)). (6)

1 П п Н *

Для такого отображения в пространстве четырех параметров прослежена трикрятическая линия коразмерности три.

Все исследованные в первых трех главах критические ситуации описываются одним и тем же РГ уравнением Фейгенбаума. В четвертой главе исследуется критическая динамика простейшей модельной системы двух односторонне связанных логистических отображений, для которой справедливо иное, двумерное РГ уравнение. Исходное отображение выглядит следующим образом:

х =1-\г2, и М-А^-Вх*. (6)

п+» п' "пИ "*п п '

Здесь х, у - динамические переменные, характеризунциа состояния первой и второй подсистем, \ и А - параметры нелинейности, В -константа связи.

Система (6) описывается строгим РГ уравнепеим

В(х) * ав(в(х/а)), /1х,у) - Ь/(в(аУа),/(х/а,у/Ъ)), (7)

для которого известно решение /в(х,у) в вида полинома ш степеням Iе и у2, соответствующее бикритической динамике (С.П. Кузнецов, 1986). В диссертации доказано, что РГ уравнение (7) имеет несколько решений. Универсальная функция /вт(х,у), отвечающая новому типу критичности ВТ, строится в виде полинома, содержащего степени а* а у4. Масштабная константа V-!.241661. Еще одш решение - /рг{Х.уЫг(и)> отвечает двойной Фейгенбаумовской точке

Приближенный РГ анализ системы (6) дает возможность построить фазовый портрет ренормдинамики на плоскости ренормпеременных А. В при фейгенбаумовском критическом значенш параметра . к. Обнаруживаются два неподвижные точки РГ преобразования - седло и неустойчивый узел, соответственно, для бнкритичности и двойной фейгенбаумовской точки.

Линеаризованное РГ уравнение

+Н(вг (х/а,) ./(х/а^.у/Ъ)) ],

позволяет вычислить масштабные константы скейлинга о( для всех типов критичности и определить величину их коразмерности. При этом для критической динамики ВТ необходимо учитывать правило отбора, сформулированное в диссертации. Найденные значения констант приведены в табл. 2.

Табл. 2

Тип критической точки

Бикритическая В Нультикритиче-ская ВТ Двойная фейген-баумовская й¥ 4,66920 2.39272 4,66920 2,65465 1,54172 4,66920 4,66920 2,00000

Проведено тщательное компьютерное исследование устройства карт динамических режимов, отвечающих различным сечениям пространства параметров системы (6). В пространстве параметров обнаруживаются фейгенбаушвскив критические поверхности P^ в ?г, отвечающие переходу к хаосу в первой и .второй подсистемах (коразмерность один). Эти поверхности пересекается го бикритической линии В. Поверхность Рг имеет границу - линию трикритическнх точек Г (коразмерность два). Трикритическая и бикритическая ливив сходятся н оканчиваются в ыультн-критической точке ВТ. Вторым концом бакрнтнческой линия служит двойная фейгекбаумовсквя точка ОР (коразмерность три). Таким образом, компьютерное моделирование подтверждает возможность « классификации критических движений в рассматриваемо* системе по возрастающей коразмерности.

Наибольший интерес продстспляет бикритичность, благодаря своой низкой коразмерности и простой физической интерпретации -опа леямт на пороге гишрхаоса с двумя полоамтелышми ляцупонскими показателями. В диссертации подробно обсуждается сценарий,' отвечающий бикритичности. При помощи серии увеличенных сечетй пространства параметров дани иллюстрации скейлиш'а. Описан СикритическиЗ аттрактор. Он представляет собой примор вложенного в двумерное фазовое пространство мультифрактала, который допускает построение но уровням иерархии из прямоугольников все меньшего и меньшего _ размера. Хаусдорфова размерность бикритического аттрактора 1^=1,0794. Определена также размерность сигнала, генерируемого второй подсистемой, 1)^=1,1714. Она не равна хоусдорфовой размерности у~ой проекции бикритического аттрактора. Это объясняется тем, что прямоугольники, из которых строится аттрактор, располагаются на плоскости ток, что их ¡/-проекция частично перэкрыва5>тся. Подобным образом определен полный набор размерностей, о-функция и т.д. "Бикритическое дерево" отличается от деревьев, характерных для одномерных отображении. Каждая его ветвь в докритической области имеет тонкую фрактальную структуру. Такое дерево возникает в результате "каскада удвоения ветвей", который можно наблюдать, постепенно увеличивая парамотр нелинейности первой подсистемы. Аналогичные иллюстрации приведены и для мультикритической динамики типа ВТ. Отметим, что новые типы критичности могут наблюдаться в цепочках из трех и более односторонне связанных элементов. Для примера представлены различные варианты распределения спектра колебаний вдоль цепочки.

Дня исходной систем* (6) характерно сосуществование множества аттракторов. Их происхождение связано с возможностью колебаний в подсистемах, сдвинутых по фазе друг относительно друга. Приведенные выше результаты относятся к простейшему из вттрвкторов, который при выключенной связи соответствует синфазному движению подсистем. На самом деле атлас карт динамических режимов содержит множество листов, которые проклассифицированы по величине сдвига фазы. При стремлении параметра нелинейности первой подсистемы к критическому значению числю листов стремится к бесконечности, причем

иорогеданцио 1« точки сборки накапливаются к двойной фдйГвНбзуМОИСКОИ ?ОЧКв ПО СКвйЛПБГОВОМУ"ЗаКОНу. На каждом из листов наблюдаются вез описанные разновидности критичности, что свидетельствует в пользу гипотезы утглиерсальпостл. Иллюстрацией существопшил множества ситуаций критичности на различных листах является "бикритическая звезда" - специфическая структура га бгосритических линий и точек ВТ, имеющие общий центр в виде двойной фейгенбаумолской точки 0?. Предсказанные особенности устройства карт динамических ро;=симов, а также ."бикритичоская звезда" обнаружены экспериментально Б.П. Без-ручко с сопвторзка для системы двух односторонне» связанных негштономшх нелинейных колебательных контуров.

В сакжлеше четвертой главы приведены примеры систем, демонстрирующих бикритпчность. Первый пример - это модельная система двух односторонне связанных отображений Хонона. В качество второго примера рассмотрена оптическая система, состоящая из одномодолого лазера с периодической модуляцией добротности п построенного по четырехуровневой схеме второго лазера, дпя накачки которого используется сигнал, генерируемый первой подсистемой. Представлены портреты критических аттракторов в нерпой и второй подсистемах.

В пятой главе рассматривается обобщенный подход к сигналам, генерируемым нелинейными системами в критических состояниях. Он основан но введении модельного фрактальпого сигнала с регулируемыми масштабными свойствами. Этот сигнал хп, заданный в дпекротпои времени п, опредолен с помощью следу .чудих соотношении:

,х2п = х2п+, = -а(1(-хп), я0-р/(1-р). О)

Можно ' показать, что поромешшп хп пробегает по элементам двухмаштабного канторова множества - популярного модельного объекта теории Фракталов. При а--1/ар и р=аг, где ар=-2,5029 -масштабная константа Фойгенбаумэ, оно достаточно хорошо аппроксимирует фоЯгвнбаумовский критический аттрактор, причом элементы сигналя оказываются пропумзрованпыш в правильном порядке следования во времени. Аналогичным образом фрактальный сигнал.(9) мохот быть использован для аппроксимации сигналов, генерируемых нелинейными системами во всех рассмотренных вншо

критических состояниях. Каждому из них на плоскости параметров а, р отвечает определенная точка. Приведет! фурье-спектры, скейлинг-споктрн и графики обобщенной размерности, соответствующие различным точкам на плоскости параметров модельного фрактального сигнала. Представлена принципиальная схема простого устройства, которое можно использовать для генерация Фрактального сигнала (9) с регул;труемнми масштабными свойствами.

Далее исследуется воздействие фрактального сигнала (9) па систему, демонстрирувщую переход к хаосу по .сценарию Фейгенбаума:

Уп+1= (10)

Показано, что такая ситуация описывается с поморю следующего приближенного РГ уревнетш

X — 2Хг[А.Т1+(а1?Ар)с], с с(ои2\р)ЛА.-1+(ш-2ХР)с1. (11)

Фазовый портрот РГ уравнения (11) характеризуется сосуществованием двух неподапгашх точек - 1|<зйгонбаумовской Р и нефейгенбаумовской КР. При изменении параметров сигаала а,р происходит бифуркация слияния и обмена "характера неустойчивости неподвижных точек. До бифуркации точка Р является седлом, а НР - узлом, а после бифуркации . наоборот. Скейлинг _ вблизи критической лшвта определяется собствешшм числом седла, провышапцим единицу. Поэтому он оказывается фойгепбаумовским до бифуркации, и пефойгенбаумовсюш после бифуркации. Следовательно, до точки бифуркации все критические индексы постоянны и равны фейгенбаумовским значениям, а после бифуркации они зависят от масштабных свойств воздействующего сигнала. В точке бифуркации эта зависимости шьт излом.

Строгий РГ анализ подтверждает выводы приближенной теорш!. РГ уравнение наиболее просто выглядит в случае р=0:

8[х)=-в(в1-ах))/а+с. (12)

Решением РГ уравпеняя (12) является семайство нефейгепбаумовских универсальных футпсций 8В1{х), зависящих от а как от параметра. Представлены графики этих функций. Порог бифуркации при р=0 может быть найден аналитически и отвечает значению а=1/о^.

При произвольных а и ß нефейгенбаумовскоЛ неподвижной точке соответствует следующее РГ уравнение:

/(y,z)=-a/(/(-y/a,ßd+z)). -<Kl+i)). (13)

Решая линеаризованное вблизи неподвижной точки РГ уравнение, можно вычислить порог бифуркации и пойти зависимости констант скеШшнга от параметров сш'пала за порогом бифуркации.

Бифуркации репормдштамика соответствует некоторая линия па плоскости параметров. Itere згой линии неавтономная система должна демонстрировать фейгенбауг.ювскпй скейлинг, а выше -Н0фойгеибау?!Явский. Это предсказание РГ анализа проверено с помощью компьютерного моделирования ■ скейлпса на графиках бифуркационных деревьев и ляцуновских показателей.

Рассмотренная ситуация напоминает изнастную в физике фазовых переходов бифуркацию, исследованную Вильсоном и Фишером. Для объяспепия отклонения критических индексов от предсказываемых теорией Ландау "классических" значений, она ввели представление о фазовых переходах "в системах' с размерностью пространства 3,99" (Wilson, Fisher, 1972). При значении размерности пространства й-\ происходит бифуркация обмена характера устойчивости двух неподшшшх точок РГ уравнения, и при rf< 1 кригачоские индексы начинаю^ зависеть от воличлнн размерности. Соответствующие графита в .точке <3=4 имеют характерный излом.

Эту аналогию монпо сделать еще более полной вблизи порога бифуркации. В этом случае ропормдапамика „ замедляется, . и в приближенном РГ уравнении (11) мохаго перейти от дискретного к непрерывному ршюрморемопд т. Урзвнешш "медленной репормдпнамшси" с точпостьи до В!гда коэффициентов совпадает с уравнением Вильсопа - Гаиора.

Ситуацию, возникающую в непосредственной близости к точке бифуркации уравнешш РГ, можно охарактеризовать термином "квазискойлияг": при нораходо с одного уровня разрешения на другой бифуркационное дерево и график ляцуповского показателя почти по меняются при пересчете масштабов по Фойгепбауну, хоия вид "атак графиков пшю отличается от фейгенбаумовского. На самом деле происходит очень медленнал эволюция этих г<8ртипок.

Вид каждой картинки определяется непрерывным ренормвремонем и становится фейгенбаумовским в асимптотике т -*

Бифуркация ренормдинамикя наблюдается и для других разновидностей критичности автономной системы, однако порог бифуркации в каждом случае свой. Соответствующие бифуркационные лиши для двух- и трехпараметрических отображений разбивают плоскость фрактального сигнала на несколько областей. При вариации масштабных фзкторов сигнала в зависимости от того, в каком порядке и какие области пересекает изображающая точка, могут наблюдаться различные "сценарии изменения" критичности.

При больших превышениях порога бифуркации обнаруживается еще один феномен сложной динамики, получивший .название кризиса критичности. Оказывается, что критическое состояние "лежит на пороге хаоса только в определенной области изменения параметров сигнала. Вне ее критическая линия существует, но ие является границей хаоса. Хаотическая область отрывается от критической линии, причем граница хаоса, по-видимому, становится фрактальной. '

Развитые представления можно применить для объяснения спектра критических движений в цепочке односторонне связанных логистических отображений. Когда первая подсистема демонстрирует фейгепбаумовскуто критическую динамику, то генерируемому ею сигналу соответствует точка, лежащая выше бифуркационной кривой. Следовательно, поведение втотой подсистемы на пороге хаоса определяется нефейгенбаумовской неподвижпой точкой уравнения РГ. Таким образом, бикритическая динамика обусловлена возможностью бифуркации ренормдинамики о РГ уравнении. Аналогичным образом объясняется и происхождение мультшфитичности типа ВТ. В свою очередь, бикритический сигнал второй подсистемы можно аппроксимировать с помощью модели (9). Соответствующая точка не плоскости параметров оказывается лежащей за порогом кризиса критичности. Поэтому в третьей подсистеме переход к хаосу через какое-либо критическое состояние не реализуется. За порогом кризиса критичности лежат и точки, соответствующие трикритичности и динамике типа ВТ. Поэтому в цепочке из трех и более элементов новых типов критичности коразмерности два и три, ассоциирущихся с удвоениями периода и лежащих на пороге хаоса, ие наблюдается.

Осишшв результаты и вывода

1. На пороге хаоса существует множество типов, критического поведения одномерных отображений, которые допускают класси^шацию по возрастающей • коразмерности. Им отвечает множество функциональных неподвияяых точек РГ уравнения Фейгенбаумэ. Каждый тип критической динамики связан с определенной конфигурацией"отображения, оказывающейся типичной при мпогопараметрическом анализе.

2. Существование шюжества функциональных неподвижных точек характерно и для других РГ уравнений. В качество примера рассмотрена система двух односторонне связанных логистических отображений. Показано, что такая система демонстрирует несколько разповвдюстей критического поведения.

3. Исследование всех ' ситуаций мультипараметрической критичности на пороге хаоса может быть выполнено в рамках единой методологии. Для каждой из них установлено простейшая каноническая модель, содержащая минимально необходимое число управляющих параметров. Приведепы иллюстрации сложной динамики, такие как бифуркационные деревья, графики ляцуновских показателей, спектры колебаний, грабит а-фуикцпй. Свойство скейлинго иллюстрируется на картах динамических режимов, на бифуркационных деревьях п графиках ляпунооских показателей. Подобное исследование позволяет ассоциировать с каждом типом крптичоского поведения соответствующий мультипараметричоский сценарий перехода к хаосу.

4. Каждый тип критичности исследован с помощью1 РГ анализа, в рамках которого получат! константы скейлипга, . универсальные функции к универсальные значения мультипликаторов. Строгий РГ анализ удобно дополнить ого приближенной версией. Приближенный РГ апализ позволяет ввести в рассмотрение "фазовые портреты" ропормдюшмчки, сделать наглядным сосуществование разпых поггодшиашх точек РГ урашшпяя и объяснить особенности устройства мелкомасштабной структуры пространства параметров.

5. Метод РГ мохет быть использован для определения величины коразмерности какдого критического состояния. С этой цельв строится ' потна спокгр сущостсешшх собственш« чясвл лянопризошшгого РГ уравнения. Их количество и определяет величину корозморпости для нелинейных систем общего вядо,

6. Многопараметрические одномерные отображения обладают свойством скрытой симметрии, выражающимся в том, что не все собственные функции линеаризованного РГ уравнения могут бить включены возмущенном исходного отображения. Поэтому душ одномерных отображений РГ анализ должен быть дополнен правилами отбора констант скейлннга. Правила отбора устанавливаются на основе ' исследования структуры тейлоровских разложений собственных функций линеаризованного РГ уравнения и подтверждаются с помощью компьютерного моделирования. Существование скрытой симметрии приводит к новой ситуации в РГ анализе динамических систем, когда одному и тому же решению РГ уравнедая тжет отвечать более одного типа универсального поведения-.

7. Существование разнообразных типов критического поведения нелинейных систем ставит проблему исследования' свойств сигналов, генерируем« такими системами. Весьма продуктивным оказывается подход, основанный па введении модельного фрактального сигнала с регулируемыми масштабными свойствами. Реальным сигналам, соответствующим различным типам критичности, отвечают определенные фиксированные точки на плоскости параметров модельного сигпэла.

8. При воздействуй сигналов с фрактальной организацией на нелинейную систему возможна модификация критических свойств неавтономной системы, происходящая при переходе через некоторые бифуркационные значения параметров воздействия. В рамках - РГ анализа атот феномен-проявляется как' бифуркация РГ уровнепия, состоящая в обмене характера. устойчивости функциональных неподвижных точек. Эта бифуркация аналогична известной в физико Фазовых переходов бифуркации Вильсона-Фишера. Если параметры сигнала лежат вблизи порога бифуркации, то система демонстрирует квазискойлинг, при кото]юм происходит очень медленная эволюция структуры аттрактора при переходе с одного уровня разрежения на другой. Различпые критические состояния автономной системы претерпевают бифуркацию ронормдинамикп при разных значепиях параметров фрактального сигнала. Поэтому в зависимости от этих параметров можно наблюдать различные "сценарии изменения" критичности. При значительных величинах' параметров фрактального сигнала имеет место феномен "кризиса

критичности", при котором.критическое состояние перестает бить границей хаоса.

9. Представлены примеры модельных• п физических систем, демонстрирующих мультшараметрическае сценарии перехода к хаосу - кубическое отобразюпио,. отображение окружности, цепочка односторонне связанных логистических отображений, система двух односторонне связанных отображений Хенона, электронной схема Чуа, два одпосторопгю связанных возбуздаемых нелинейных колебательпых коптура, построенный по четырехуровневой схеме лазер, для накачки которого используотся сигнал одгюмодового лазера с периодической модуляцией добротности.

Основное содортагею диссертации опубликовано в следу но pix работах.

1. Kuznetsov А.P., Kuznetsov. S.P., Sataev I.П. Bicritical dynaraico of two period-doubling systems with unidirectional coupling. // Int. J. Bifurcations & Chaos. 1991. V. 1. И 4. P. 839-848. ' ' '

2. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.Jl. Period doubling system under fractal '• signal. Bifurcation in tho renorxalization group equation. // Chaos, Solitons & STaotals. 1991. У.1. К 4. P. 355-367. ',

3. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev 1.П. Variety of typee of oritioal bohnvior and niultiotability in poriod doubling systems with unidirectional coupling near tho onset of ohaoa. // Int. J. of Bifurcation & Chaos. 1993. Y. 3. N 1. P. 139-152. .

4. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P.i Sataev I.R., Chua b.O. lEwo-parametor study of transition to oiiaoa in Chua'a otrouit: renorraalization group, universality and scaling. ft Int. J. Bifurcations St Chaos. 1993. V. 3. H 4. P. 943-962.

5. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Chua b.O. Self-similarity and universality in Chua'a oircuit via the approximate Chua'о 1-D nop. // J. of Circuit, Systems and Computers. 1993. V. 3. И 2. P. И31-440.

6. Kuzneteov A .P., Kuznetsov S.P., Sataev 1.П. ?rom bimodal one-dimensional maps to Henon-lDce two-dimensional пппра:

. does quantitative universality survive? // Phyo. Lett. 1994. V. A184. P. 413-421.

7. Kuznetaov A.P., Kuznetsov B.P., Bataev 1.П. Three-parameter scaling for one-dimensional тара. // Phya. bott. 1994. V. A189. P. 367-373.

8. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Дерево сверхустойчивых орбит и скойлинг в трехпараметрических отображениях. Письма в ЖТФ.

1992. Т.18. Вин. 21. О. 34-37.

9. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Генератор фрактального сигнала. // Письма в ЖТФ. 1992. Т. 18. Вып. 24. С. 19-22.

10. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая "динамика одномерных отображений. Часть I. Сцеиарлй • (Гайгенбаума. // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1. N 1-2. С. 15-33.

11. Кузнецов A.n., Кузнецов с.п. Критическая /щнамака одномерных отображений. Часть ?,. Дпухпараметрический переход к хвосу. // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика.

1993. N 3-4. С. 17-35.

12. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Прострзнствешше структуры в диссипативннх средах у порога возникновения хаоса. // Изв. вузов. Радиофизика. 1991. Т. 34. N 2. С. 142-146.

13. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Критические явления в однопапрзвяенно связанных системах Фейгеыбаума. // Изв. вузов. Радиофизика. 1991. Т. 34. N 4. С. 357-364.

14. Кузнецов A.n., Кузнецов С.П. Критическая динамика решеток связанных отображений (обзор). // Изв. вузов. Радиофизика. 1991. Т. 34. N 10-12. С. 1079-1115.

15. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаеп И.Р. Воздействие фрактального сигнала на систему Фойгенбаумэ и бифуркация в уравнении ренормгруппы. // Изв. вузов. Радиофизика. 1991. Т. 34. N 6. С. 661-670.

1R. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Динамика однонаправленно связанных систем Фейгенбаума у порога гипорхаоса. Бикритический аттрактор. // Изв. вузов. Радиофизика. 1992. Т. 35. N 5. С. 398-406. 17. Кузнецов A.n., Сатаев И.Р. Особенности перехода к хаосу нелинейных систем, описываемых одномерными двух пара-'

мзтрическшн отображениями. // Радиотехника и электроника. 1S94. N 3. С. 4.3Э-445.

10. Kuznetsov А.P., Kuznetsov Б.P., Sataev I.R. liultipararoetric criticality Jn a laser system. Technical Digest, 1992, Opt, Бос. of America, Washington, D.C. V 16. P. 209-211.

19. Erastova E.N., Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. CDwo-parauetrio criticality in nonlinear aysteni3 near onset of chaos. "Nonlinear Circuits and systems". - lioacow, 1992, 7. 2. P. 131-140 .

20. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Scaling properties of spatio-temporal dynamics in period doubling кар lattices.- Proc. of the IV Intern. Workshop on Nonlinear ar.d turbulent Processes in Physics. - Kiyev. 1989. V. 2. P. 383.

21. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Multi-parameter transition to cliaos and fractal nature of critical attraotor3. In book: Fractals in tho Natural and Applied Sciences,' I?IP iüransactions, A-41. Ed. Ii. II. Novak. Elsevier Science B.V. (North-Holland), 1994. P. 229-239.

22. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Мультистабилыпш состояния решеточных структур, составленных из элементов со сложной дтпшнкой. Веесоизная конференция "Проблемы оптической памяти". Тезисы докладов я сообщения. - М. 1990. С. 98-99.

23. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Критическая дипампкз у порога хаоса в простейшей, потоковой системе, составленной из двух фейгопбаумовскнх элементов. Нелинейные колебания механических систем. Тезисы докладов 2-ой Всесоюзной конференции. - Горький. 19Э0. С. 95.

24. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Скейлидг п иерархическая организация диссипативхшх структур в одномерных решетках у порога хаоса. Нелинейные колебаний механических систем. Тезисы докладов 2-ой Всесоюзной конференции. - Горысиа. 1990. С. 96-97.

25. Кузнецов А.Iii, Кузнецов С.П. (Сдельное описание среды из параметрически возбугдаемпх ивлшюйвнх осцилляторов с хаотической данашасой. IX зимняп школа по механике сплошных

. сред. Тезисы докладов. - Пермь. Институт механики сплошных сред УрО АН СССР. 1991. С. 93-95.

26. Кузнецов ¿.II., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Иерархия критической, динамики в нелинейной потоковой системе. IX зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. -Пермь. Институт механики сплошных сред УрО АН СССР. 1991. С. 95-97.

27. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Мульти-параметрическая критичность нелинейных систем. Лекции по электронике СВЧ и-радиофизике. зх зимняя школа-семинар. -Саратов : Изд.. Гос. учебно-научного центра "Колледж" Саратовского госуншзерситета. 1992. С. 241--250.

28. Kuzneteov А.P., Kuzneteov Б.Г., Bataev Г.П.. Chua Ь. Two-parameter otudy of transition to ohaoa In Cliua'o oirouiit: ronOrmallzatlon group, unlvoroallty and Dealing. In book: Chua's circuit: A Paradifjn for ohaoa. Б1. by R.N.Hadan. World SolentIflo, Singapore, 1993. P. 591-621.