Дискретные многопараметрические модели нелинейных неавтономных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

car сг

На правах рукописи

оо СЧГ

ПРОХОРОВ Михаил Дмитриевич

ДИСКРЕТНЫЕ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ (КОНТУР С ДИОДОМ, СВЯЗАННЫЕ РЕЗОНАТОРЫ)

01.04.03 — Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов— 1997

Работа выполнена в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники Российской Академии Наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Б.П. Безручко

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор А.П. Кузнецов — кандидат физико-математических наук, доцент В.В. Астахов

Ведущая организация — Научно-исследовательский институт

прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского

Защита диссертации состоится 16 октября 1997 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 063.74.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410026, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ.

Автореферат разослан 3 сентября 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, доцент ^ ¿У> В.М. Аникин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Классическая теория колебаний и волн, ставшая основой современной науки о нелинейных явлениях в динамических системах различной природы, главным образом оперировала с дифференциальными уравнениями. Однако, в последние десятилетия в этой области знаний не менее широко представлены системы с дискретным временем — точечные отображения. Это связано с их эффективностью для описания сильно нелинейных явлений и приспособленностью аппарата разностных уравнений к исследованию на ЭВМ. К настоящему времени сформировался ряд эталонных отображений, моделирующих нелинейные феномены; в частности, благодаря отображениям, были обнаружены и детально исследованы количественные закономерности различных сценариев перехода к хаосу, развиты понятия универсальности и скейлинга, известные ранее в физике фазовых переходов и квантовой теории поля [Неймарк Ю.И., Шарковский А.Н., Feigenbaum M.J., Hirsch J.E., Hu В., Rudnick J.]. Использование хорошо изученных отображений для моделирования цепочек или решеток из базовых элементов со сложной динамикой позволило существенно продвинуться в понимании нелинейных явлений в связанных системах, классифицировать их колебательные состояния [Kaneko К., Kapral R., Crutchfield J.P., Кузнецов С.П.]. Решетки связанных отображений широко используются и для моделирования распределенных систем [Kaneko К., Deissler R.J.],

Так как для описания динамики большинства нелинейных систем необходимо введение нескольких параметров, особый интерес представляют многопараметрические дискретные модели. Многопараметрические отображения позволяют исследовать бифуркационные ситуации в пространстве нескольких управляющих параметров, с их помощью, например, удалось обнаружить и зписать отличные от фейгенбаумовского типы критического поведения много-тараметрических нелинейных систем [MacKay R.S., Chang S., Кузнецов А.Г1., Кузнецов С.П.].

Интерес к отображениям определяется не только запросами науки, но и гакими методическими достоинствами, как наглядность графического представления и анализа дискретных моделей малой размерности, скорость числен-юго исследования многомерных и многопараметрических объектов (цепочек, эешеток). Эти особенности дискретных моделей позволяют использовать их в 'реальном масштабе времени" в учебных аудиториях, не требующих оборудо-

вания мощной вычислительной техникой. Причем на настоящем этапе достаточно раннего внедрения нелинейных представлений в образование (фундаментальное, экологическое, экономическое) существует потребность в библиотеке подобных моделей, а также в развитии методов их конструирования.

Несмотря на то, что зрелость той или иной отрасли науки во многом определяется числом дедуктивных, построенных на основе общих принципов моделей, в настоящее время имеет место повышение интереса к эмпирическим моделям. В частности, к восстановлению уравнений по экспериментальным наблюдаемым (временным рядам). Решая задачу прогноза поведения во времени, с помощью такого подхода предсказывают динамику системы по отсчетам в "прошлом". В русле этой актуальной проблемы лежит рассматриваемая в работе задача построения по экспериментальным данным модели совокупности характерных движений системы.

Формальная математическая конструкция становится моделью лишь после ее наполнения конкретным содержанием. Поэтому, разработка подхода к моделированию должна вестись на некоторой базе. Хорошим "полигоном" для развития методов дискретного моделирования в сочетании с экспериментальным исследованием нелинейных явлений оказываются неавтономные радиофизические системы. Они имеют удобные для анализа характерные временные масштабы, эти системы широко используются в технике, и имеется хорошо развитая инструментальная база для экспериментов. Именно радиофизические системы стали эталонными при экспериментальном изучении бифуркационных явлений и свойств регулярных и хаотических предельных множеств. Такие объекты, как генератор на туннельном диоде [Кияшко С.В., Пиковский A.C., Рабинович М.И.], периодически возбуждаемая LR-диод цепь [Linsay P.S.], генератор с инерционной нелинейностью [Анищенко B.C., Астахов В.В.], кольцевые генераторы с фильтрами низкого порядка [Дмитриев A.C.], системы Чуа [Chua L.O., Zhong G.Q., Ayrom F.] послужили экспериментальной базой при исследовании динамического хаоса низкой размерности. Радиофизические объекты хорошо зарекомендовали себя и при изучении нелинейной динамики различных комплексов, конструируемых из базовых элементов со сложным поведением: цепочек [Анищенко B.C., Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И.], сетей [Некоркин В.И., Пономаренко В.П., Шалфеев В.Д.], а также распределенных систем [КисловВ.Я., Трубецков Д.И.]. Точечные отображения органически приспособлены для описания объектов, находящихся под внешним перио-

дическим воздействием, в силу того, что и те, и другие обладают свойством инвариантности относительно дискретной группы симметрий. Из всего класса неавтономных систем в работе рассматриваются нелинейные резонаторы, причем их поведение исследуется, главным образом, в окрестности резонанса. Резонансные системы чрезвычайно широко распространены в природе. В области нелинейного резонанса для них характерно существование типичной для осцилляторов бистабильности, изучению которой в работе уделяется особое внимание. В качестве базового объекта исследования выбран колебательный контур с диодом, широко используемый во многих устройствах (параметрических генераторах, перестраиваемых фильтрах, умножителях и делителях частоты).

Цель диссертационной работы состоит в

- построении дискретных нелинейных моделей, отражающих в широкой области параметров сложную динамику диссипативных осцилляторных систем, совершающих вынужденные колебания около положения равновесия, и их апробировании на примере ЬЛ-диод цепи;

- экспериментальном и теоретическом исследовании с помощью модельных отображений колебательных явлений в связанных нелинейных осцилляторах.

Методы исследований. Для достижения поставленных целей используется подход, типичный для теории колебаний и волн: выбирается базовая система, отражающая основные закономерности поведения объекта. Затем проводится усложнение базовой модели и создается модель следующего уровня сложности — ансамбль связанных базовых элементов. В качестве базовой системы используется сконструированное одномерное многопараметрическое отображение, качественно описывающее поведение бистабильного в области нелинейного резонанса неизохронного осциллятора. Исследования проводятся методами численного и физического экспериментов и частично аналитически.

Научная иовизна. В работе впервые:

- предложена и исследована простая дискретная многопараметрическая модель, отражающая сложную динамику неизохронного диссипативного осциллятора при периодическом внешнем воздействии в области существования и эволюции к хаосу субгармонических колебаний;

- экспериментально и численно исследовано явление мультистабильности в системе двух диссипативно связанных колебательных контуров с нелинейной емкостью в области параметров, соответствующей существованию в изолированных контурах бистабильности, и описаны несинфазные режимы,

при которых колебания в связанных системах происходят на основе различных бистабильных состояний;

- аналитически обнаружено и численно исследовано существование несинфазных режимов колебаний при сильной связи двух идентичных подсистем, демонстрирующих удвоения периода, проведено сопоставление результатов со случаем слабой связи;

— экспериментально в широкой области параметров неавтономной 1Л1-диод цепи на пороге перехода к хаосу проведено измерение константы, характеризующей средний перепад между соседними уровнями субгармоник в спектре мощности, и проведен анализ полученных результатов на основе численных исследований спектров одномерных отображений.

Достоверность полученных результатов подтверждается воспроизводимостью всех численных и экспериментальных данных, хорошим качественным соответствием результатов численных и физических экспериментов, совпадением результатов при использовании различных методов идентификации колебательных режимов.

Научная значимость результатов определяется степенью их общности. В частности, результаты, полученные в экспериментах с периодически возбуждаемыми нелинейными цепями, справедливы для широкого класса систем, инвариантных относительно дискретной группы симметрии, демонстрирующих переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, для класса диссипативных неавтономных осцилляторов с различными видами нелинейности. Это подтверждается проведенными в работе численными исследованиями модельных уравнений и сопоставлением с известными теоретическими данными. Исследованная в работе ситуация бистабильности в области нелинейного резонанса типична для осцилляторных систем различной природы.

Практическая значимость. Изучены сильно нелинейные колебательные состояния и построены карты динамических режимов конкретных радиофизических систем, являющихся составными частями ряда практически важных устройств (нелинейные колебательные контуры широко используются, например, в качестве перестраиваемых фильтров, параметрических генераторов, умножителей и делителей частоты). Полученные результаты позволяют прогнозировать колебательные состояния реальных систем и их эволюцию с изменением параметров, что делает исследование и интерпретацию сложной динамики нелинейных систем осмысленным и не столь трудоемким. Для целей обработки информации могут оказаться полезными результаты исследований муль

тистабильности в многомерных цепях с диодами. Предложенные модели вынужденных колебаний неизохронных осцилляторов удобно использовать в учебных целях.

Работа выполнялась в рамках научно-исследовательских работ, проводимых по планам ИРЭ РАН, при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №93-02-16171, №96-02-16755) и фонда INTAS (гранты 93-2492, 93-2492—ext). Результаты работы и комплексы авторских программ использовались в курсе "Математическое моделирование" для студентов кафедры электроники и волновых процессов Саратовского государственного университета.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и списка литературы. Работа содержит 194 страницы, включая 44 страницы иллюстраций и 22 страницы списка литературы из 226 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

Во введении дана общая характеристика работы: обоснованы ее актуальность, научная новизна и практическая значимость, сформулированы цель диссертации, положения и результаты, выносимые на защиту, кратко изложено содержание работы, приведены сведения об апробации результатов.

В первой главе рассмотрены основные методы, используемые для конструирования модельных точечных отображений. Методы сгруппированы в соответствии с известными подходами к построению математических моделей (эмпирический, дедуктивный, индуктивный). При этом дискретность времени может отражать как существо реального процесса, естественным образом возникая из постановки задачи (задачи с соударениями, задачи популяционной биологии, и т.д.), так и являться результатом упрощения, с помощью которого удается облегчить качественное описание систем с непрерывным временем. Наиболее подробно в работе представлен активно развиваемый в последние годы эмпирический подход к построению дискретных моделей, при котором за основу берется вид наблюдаемой временной реализации движения.

Оригинальные результаты представлены в разделе, описывающем экспериментальные методы получения отображений. На специально сконструированной многофункциональной установке на примере периодически возбуждаемой LR-диод цепи продемонстрирован экспериментальный подход к исследо-

ванию отображений последования аналоговыми и цифровыми методами. Отличительной особенностью исследований, представленных в данном разделе, от других работ является использование для построения отображений как установившихся, так и нестационарных движений, и широкая область рассматриваемых параметров. Показано, что использование для построения отображений последования нестационарных процессов позволяет получить больше информации о системе, чем анализ движений только на аттракторе. Например, задавая соответствующим образом начальные условия, можно наблюдать отображения последования неустойчивых колебательных режимов или расширить исследуемый диапазон значений динамической переменной.

Во второй главе предложены и исследованы многопараметрические дискретные модели для описания различных нелинейных явлений в неавтономном колебательном контуре с диодом. Модели построены с использованием эмпирического подхода в предположении периодического импульсного возбуждения системы. В режиме вынужденных колебаний контура с диодом по признаку подобия выделены характерные движения, для описания которых подбираются аппроксимирующая функция или алгоритм с указанием процедуры экспериментального определения их параметров. Выбор модельной функции, учитывающей существенные свойства временных реализаций, а следовательно, и вид симметрии характерных движений, обеспечивает работоспособность построенного по ней точечного отображения в широкой области параметров. С помощью такого подхода для периодически возбуждаемого резонатора с диодом в работе построены:

1) многопараметрическое одномерное мультимодальное модельное отображение, качественно описывающее структуру бифуркационных множеств в пространстве параметров системы в области существования и эволюции к хаосу субгармонических колебаний. Модель имеет вид:

хп+1 = хл ехр(- <//ЛГ) с05[2л/(^(1 + рхп))\ + А, (1)

где параметры характеризуют: А— амплитуду импульсного воздействия, N— нормированную частоту следования импульсов, (1— диссипацию, ¡3— неизохронность. Помимо перехода к хаосу через удвоения периода предложенная модель отражает такие нелинейные феномены, как гистерезис, муль-тистабильность, и демонстрирует типичные для диссипативных нелинейных осцилляторов конфигурации бифуркационных линий. Параметры модели имеют ясный физический смысл и определяются по экспериментальным временным реализациям колебаний. Исследована зависимость вида модель-

ного отображения от фазы стробирования аппроксимирующей функции. Показано, что вид отображения существенно зависит от фазы стробирования, когорая определяет явную или неявную форму записи отображения, однако, структура бифуркационных множеств н пространстве параметров моделей, построенных по выбранной временной реализации, полностью совпадает. Рассмотрены трехпараметрический аналог модели (1) и ее модификация с более точным учетом неизохронности за счет введения поправок к х„ на каждом условном периоде собственных колебаний;

2) дискретная модель для описания режимов последовательности добавления периода:

х = |/(*л>Л) + Лехр(- ¿72(х„,><„)), если /(х„,уп) > О, \/{хп,уп) + А, если /{х„,Уп)<а,

у Гу„, если хя+1 2 "+1 если *л+1 > х„,

где /(хп,уп) = ехр{-с1/Щ

4 уя

Я{т + руп)

В дополнение к введенным ранее, в модели присутствуют параметры т и Ь, определяемые свойствами диода и параметрами цепи Ь и Я. Модель учитывает "релаксационный" характер движения и демонстрирует существование циклов добавления периода, явление бистабильности, кризисы хаотических аттракторов и перемежаемость; структура пространства параметров модели содержит конструкции, типичные для колебательных контуров с диодами.

Предложено дискретное мультимодальное отображение для описания динамики радиотехнического осциллятора с симметричной потенциальной функцией, отражающее присущие системе бифуркации потери симметрии. Показано, что такая осцилляторная система характеризуется большим числом мульти-стабильных состояний, в частности, при некоторых значениях параметров возможно существование четырех устойчивых циклов периода 1, установление того или иного из которых определяется выбором начальных условий.

Кроме стационарных движений, экспериментально на неавтономном контуре с диодом и численно с помощью многопараметрического отображения (1) исследованы нестационарные процессы в системах, обладающих свойством инвариантности относительно дискретной группы симметрий и демонстрирующих при изменении управляющего параметра переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Выделены три типичных вида

зависимости времени установления колебаний от начальных условий и продемонстрирована их связь с характером устойчивости аттракторов (мультипликаторами предельных циклов). Показано, что немонотонный характер этих зависимостей определяется наличием в системах фазовой мультистабильности и связан со структурой разбиения пространства состояний на области притяжения различных аттракторов.

Экспериментально в широкой области параметров неавтономной ЬЯ-диод цепи на пороге перехода к хаосу проведено измерение константы у, характеризующей средний перепад между соседними уровнями субгармоник в спектре мощности. Показано, что экспериментальные оценки величин у меняются на множестве критических точек в пространстве параметров и близки фейгенбау-мовской константе 13.4 дБ лишь в ограниченных областях. Для объяснения выявленных закономерностей в спектрах колебаний цепи и экспериментальных отображениях последования проведены численные исследования спектров квартичного отображения хя+1 = 1 - ах2п - Ьх*, которые показали, что в общем случае универсальные значения у устанавливаются на глубоких уровнях субгармоник. То есть, при изменении управляющих параметров системы значения у, вычисляемые в эксперименте по первым бифуркациям удвоения, могут существенно отличаться.

В третьей главе исследованы дискретные модели многомерных неавтономных осцилляторных систем. Экспериментально рассмотрены синфазно возбуждаемые связанные через резистор ЬЯ-диод цепи, а в качестве их дискретной модели в соответствии с индуктивным подходом исследованы диссипатив-но связанные отображения. Наиболее подробно рассмотрен случай двух связанных элементов. В отличие от известных ранее работ, модельное отображение такой системы в виде диссипативно связанных квадратичных отображений

= Л-хгп+ к(х1 - у2„), ^

Уп+1 = *-~У1 + к[у2п - х„2),

где Я— параметр неравновесности, а к— коэффициент связи, исследовано в более широкой области изменения к. Аналитически обнаружено и численно исследовано существование несинфазных режимов колебаний при сильной связи подсистем. Например, установлено, что в системе (3) существуют два несинфазных, симметричных относительно замены х на у и у на х цикла периода 1, устойчивых в широкой области параметров. Показано, что области не- | синфазных колебаний при слабой и сильной связи симметричны друг другу,

однако сами режимы качественно различаются. Результаты, полученные для системы связанных логистических отображений (3) являются общими для более широкого класса систем

Уи*=/{Уп) + к[/{хн)-/{уа)\

при условии идентичности функций /(х„) и /(}>„), демонстрирующих удвоения

периода.

Предложена и исследована дискретная модель, более полно отражающая динамику связанных ЬЛ.-диод цепей, чем система связанных квадратичных отображений. Модель имеет вид системы (4), в которой /(хп) и /(уп) являются многопараметрическими функциями вида (1). Такая модель качественно отражает многообразие мультистабильных состояний экспериментальной системы в области нелинейного резонанса на субгармониках. В частности, в области параметров, соответствующей существованию в изолированных элементах бис-табильности, экспериментально и численно обнаружены несинфазные режимы, при которых колебания подсистем отличны даже при нулевой связи и имеют разную амплитуду. Такая ситуация возможна, если начальные условия в подсистемах выбраны в бассейнах притяжения различных бистабильных состояний. Исследованы зависимости бассейнов притяжения аттракторов мультистабильных состояний от параметров системы. Показано, что при введении связи и ее увеличении все несинфазные виды колебаний связанной системы теряют устойчивость и остаются только синфазные режимы. Исследовано влияние неидентичности подсистем на карты динамических состояний в пространстве параметров.

Предложена дискретная модель замкнутой цепочки сшгфазно возбуждаемых бистабильных осцилляторов. Модель имеет вид кольца связанных отображений:

. = (1 - *)/(*:) + (¿/2)[/(А-Г') + /(.<'-')], (5)

где п— дискретное время, т— номер элемента, к— коэффициент связи, а функция /(х), определяющая локальную динамику, является многопараметрической вида (1). Исследованы возможные виды пространственно-временных состояний в цепочках с различным числом элементов и их эволюция при изменении параметров нелинейности и связи. Получено уравнение эволюции во времени пространственных мод возмущений цепочки в окрестности неподвижных точек. Показано, что однородные состояния вначале теряют устойчивость

по отношению к длинноволновым возмущениям, причем устойчивость к неоднородным возмущениям повышается при увеличении связи между элементами. Эволюция к хаосу однородных пространственных состояний кольца происходит только через последовательность бифуркаций удвоения периода. Для неоднородных состояний обнаружено, что в кольце с нечетным числом элементов переход к хаосу может происходить только через последовательность бифуркаций удвоения периода, а в кольце с четным числом элементов в зависимости от пространственного периода структуры наблюдаются как бифуркации удвоения периода, так и бифуркации рождения тора. Для пространственно периодических структур длинных цепочек при бифуркации рождения тора наблюдается пространственная модуляция по цепочке (пространственно-временная квазипериодичность), а при бифуркации удвоения временного периода — удвоение пространственного периода структуры.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты работы.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

1. Структура бифуркационных множеств в пространстве параметров периодически возбуждаемого резонатора с диодом в области существования и эволюции к хаосу субгармонических колебаний качественно описывается предложенными дискретными одномерными многопараметрическими мультимо-дальными отображениями, параметры которых находятся по временной реализации колебаний. Помимо перехода к хаосу через удвоения периода построенные модели отражают такие нелинейные феномены, как гистерезис, мультистабильность, и демонстрируют типичные для диссипативных нелинейных осцилляторов конфигурации бифуркационных линий.

2. В системе двух симметрично связанных идентичных подсистем, демонстрирующих удвоения периода, в случае диссипативной связи несинфазные режимы колебаний существуют не только в области слабой связи, но и в области очень сильной связи. При этом несинфазные режимы, существующие при слабой и сильной связи, качественно различаются.

3. В системе двух периодически возбуждаемых нелинейных колебательных контуров, связанных резистивным элементом, многообразие мультистабиль-ных состояний в области нелинейного резонанса на субгармониках и их эволюция с изменением параметров адекватно описывается модельной системой двух диссипативно связанных дискретных многопараметрических мульти-

модальных отображений. При слабой связи и в эксперименте, и в модели, кроме несинфазных режимов, характеризующихся в пределе нулевой связи лишь сдвигом колебаний в подсистемах, в области гистерезиса существуют несинфазные режимы, при которых колебания в подсистемах происходят на основе различных бистабильных состояний.

Апробация работы и публикации. Основные материалы работы представлялись на конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 1993, 1996), Международной научной школе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" (Нижний Новгород, 1994), в Институте физики при Люблинском Университете им. Марии Скло-довской-Кюри (Люблин, 1994), на Международной школе "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" ХАОС-94 (Саратов, 1994), Международной Школе по Нелинейным Явлениям ISNS-95 (Нижний Новгород, 1995), Школе-семинаре по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 1996), Международной конференции по нелинейной динамике и хаосу ICND-96 (Саратов, 1996), Международном научном семинаре "Нелинейная динамика электронных систем" NDHS-97 (Москва, 1997), на научных семинарах кафедры электроники и волновых процессов СГУ и СФ ИРЭ РАН.

Основное содержание работы изложено в 22 публикациях (7 статей в рецензируемых журналах, 9 статей в сборниках, 6 тезисов докладов). В работах, выполненных в соавторстве, автором проведено большинство численных и часть радиофизических экспериментов. Совместно с соавторами осуществлены объяснение и интерпретация полученных результатов.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Прохоров М.Д., "Виды колебаний диссипативно связанных систем с удвоением периода при сильной связи", Изв. ВУЗов "Прикладная нелинейная динамика", 1996, Т. 4, № 4,5, сс. 99-107.

[2] Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П.. "Модель диссипативного нелинейного осциллятора в виде одномерного отображения с тремя параметрами", Письма в ЖТФ, 1994, Т. 20, В. 12, сс.78-82.

[3] Bezruchko В.Р., Prokhorov M.D., Seleznev Е.Р., "Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map", Chaos, Solitons & Fractals, 1995, Vol. 5, No. 11, pp. 2095-2107.

[4] Прохоров М.Д., Смирнов Д.А., "Эмпирическая дискретная модель колебательного контура с диодом", Радиотехника и электроника, 1996, Т. 41, № 11, сс. 1340-1343.

[5] Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П., "Особенности устройства пространства параметров двух связанных неавтономных неизохронных осцилляторов", Письма в ЖТФ, 1996, Т. 22, В. 6, сс. 61-66.

[6] Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П., "Как в эксперименте увидеть то, что реально не должно существовать", Изв. ВУЗов "Прикладная нелинейная динамика", 1993, Т. 1, № 1,2, сс. 117-122.

[7] Безручко Б.П., Жалнин А.Ю., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П., "Дискретные нелинейные модели периодически возбуждаемой RL-диод цепи", Изв. ВУЗов "Прикладная нелинейная динамика", 1997, Т. 5, № 2, сс. 48-62.

[8] Bezruchko В.Р., Prokhorov M.D., Seleznev Е.Р., "Multistability in a system of two coupled nonautonomous nonisochronous oscillators", in: Nonlinear Waves. Synchronization and Patterns, Part 1, Eds. M.I. Rabinovich, M.M. Sushchik, V.D. Shalfeev,Nizhny Novgorod, 1995, pp. 13-18.

[9] Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П., "Моделирование нелинейных осцилляторов по экспериментальной наблюдаемой", Лекции по СВЧ электронике и радиофизике, 10-я зимняя школа-семинар, Саратов, 1996, Кн. 2, сс. 35-42.

[10] Иванов Р.Н., Прохоров М.Д., "Закономерности в спектрах колебаний LR-диод цепи на пороге перехода к хаосу", Лекции по СВЧ электронике и радиофизике, 10-я зимняя школа-семинар, Саратов, 1996, Кн. 2, сс. 43-50.

[11] Bezruchko В.Р., Prokhorov M.D., Seleznev Е.Р., "Multistability in a system of two coupled nonautonomous oscillators", in Proceedings of 1995 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'95), Nevada, USA, Vol. l,pp. 277-280.

[12] Ivanov R.N., Prokhorov M.D., "Regularities in oscillation spectra of LR-diode circuit near the onset of chaos", in Proceedings of 1995 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'95), Nevada, USA, Vol. 1, pp. 627-630.

[13] Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P., "Complicated dynamics of nonautonomous system of two coupled LR-diode circuits", in Proceedings of 4-th International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'96), Seville, Spain, pp. 213-216.

[14] Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P., "Chaotic dynamics of a microwave resonator with p-n junction varactor diode", in Proceedings of 4-th International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'96), Seville, Spain, pp. 333—337.

[15] Bezruchko B.P., Ivanov R.N., Prokhorov M.D., "Discrete modeling of complicated dynamics in a closed chain of driven bistable oscillators", in Proceedings of 5-th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'97), Moscow, pp. 336-341.

[16] Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Zhalnin A.U., "Map modeling of nonauto-nomous LR-diode circuit complicated behavior", in Proceedings of 5-th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'97), Moscow, pp. 431-436.

[17] Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П., "Дискретная модель возбуждаемого диссипативного нелинейного осциллятора", Тезисы докладов III конференции "Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород, 1993, с. 24.

[18] Bezruchko В.Р., Prokhorov M.D., Seleznev Е.Р., "Multiparameter one-dimensional map models of dissipative nonlinear oscillator", Theses of the Second International Scientific School-Seminar "Dynamic and Stochastic Wave Phenomena", N. Novgorod, 1994, p. 51.

[19] Prokhorov M.D., "Oscillation types of dissipatively coupled period-doubling systems at large coupling", Book of abstracts of the International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine (ICND-96), Saratov, 1996, p. 151.

[20] Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П., "Мультистабильность в системе двух связанных осцилляторов с симметричным потенциалом", Тезисы докладов IV конференции "Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород, 1996, с. 13.

[21] Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Смирнов Д.А., "Нелинейные колебания осциллятора с «мягкой пружиной» (дискретные модели)", Тезисы докладов IV конференции "Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород, 1996, сс. 14-15.

[22] Прохоров М.Д., "Поведение двух связанных систем с дискретным временем при сильной связи", Тезисы докладов IV конференции "Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород, 1996, с. 127.