Критическое поведение неидентичных несимметрично связанных систем с фейгенбаумовскими удвоениями периода тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

САВИН Алексей Владимирович

КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕИДЕНТИЧНЫХ НЕСИММЕТРИЧНО СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ С ФЕЙГЕНБАУМОВСКИМИ УДВОЕНИЯМИ ПЕРИОДА

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2005

Работа выполнена на базовой кафедре динамических систем факультета нелинейных процессов Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов А.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Астахов В.В.

кандидат физико-математических наук

Прохоров М.Д.

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского

Защита состоится 16 июня 2005 г. в 17— на заседании диссертационного совета Д212.243.01 по специальности 01.04.03-"радиофизика" при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, III корпус, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке СГУ.

Автореферат разослан ая 2005 г.

диссертационного совета

Ученый секретарь

Аникин В.М.

¿.ообЧ/

5ЪЧ*

£ /ftCtffS

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Одной из особенностей нелинейных колебательных систем является возможность реализации в них нетривиального непериодического режима, называемого обыкновенно динамическим, или детерминированным хаосом1-2, особенностью которого является неустойчивость по Ляпунову траекторий, устойчивых по Пуассону. Это приводит к принципиальной непредсказуемости поведения таких систем на достаточно больших отрезках времени из-за нарастания малой ошибки в начальных условиях, несмотря на то, что система является динамической и описывается полностью детерминированными уравнениями.

Переход от регулярного поведения системы к хаотическому происходит в соответствии с определенными закономерностями, называемыми обычно сценарием перехода к хаосу. Пространство параметров в окрестности возникающего на пороге хаоса критического состояния и существующий этом состоянии аттрактор обладают, как правило, самоподобными, или скейлинговыми свойствами, т.е. воспроизводят свою структуру при изменении масштаба в определенное число раз. Коэффициенты самоподобия (константы скейлинга) являются уникальными для каждого типа критического поведения. Математическим аппаратом, объясняющим основные закономерности критического поведения нелинейных систем, является метод ренормализационной группы3'4, аналогичный по своей идее ранее применявшемуся в теории фазовых переходов, квантовой теории поля и др. Поиск новых типов критического поведения и их анализ является важной задачей теории колебаний и нелинейной динамики, поскольку это развивает представления о свойствах хаоса и перехода от порядка к хаосу, а также способствует классификации нелинейных динамических систем по типам поведения.

Первым из обнаруженных и наиболее известным сценарием является переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, с которым ассоциируется фейгенбаумовское критическое поведение3". Простейшей системой, демонстрирующей данный тип критичности, является одномерное необратимое логистическое отображение, однако Фейгенбаумом5 при помощи ренормгруп-пового анализа было доказано, что такое же поведение наблюдается во всех одномерных необратимых отображениях, имеющих квадратичный максимум. Позднее оно было обнаружено в большом количестве обратимых отображений и систем, описываемых дифференциальными уравнениям (в отображениях Эно, Икеды, системах Лоренца, Ресслера и др.), в классических моделях радиофизики (осцилляторы Дуффинга и Ван-дер-Поля-Дуффинга с внешним воздействием и др.), а также в реальных физических системах (радиофизический генератор с инерционной нелинейностью, генератор Кислова-Дмитриева, оптический кольцевой резонатор с внешней накачкой, различные СВЧ-генераторы и т.д.).

' Г1 Берже, И Помо, К Видаль Порядок в хаосе М Мир, 1991, 368 с

2 Кузнецов С П Динамический хаос М Физматлит, 2001, 296 с

' Фейгенбаум М //УФН, 1983, т 141, №2, с 343

4 Вул Е Б , Синай Я Г , Ханин К М //УМН, 1984, т 39, №3, с 3

Feigenbaum М J Hi of Stat Phys ,1978 v 19, №1, pp 25-52 j НАЦИОНАЛЬНА*

Кузнецов А П , Кузнецов С П IIИзв ВУЗов ПНД, 1993, т 1, )|>1-2, с lKHCJINOTCI(A

СИет. О»

Другой широко распространенный сценарий перехода к хаосу - через разрушение квазипериодических движений - является типичным для автоколебательных систем, находящихся под внешним воздействием. При этом из существующего предельного цикла (неподвижной точки в случае систем с дискретным временем) рождается тор (инвариантная кривая), динамика на котором может быть как квазипериодической, так и периодической. При этом расположение областей периодической динамики (т.н. языков Арнольда) внутри области квазипериодичности и их структура подчиняются, как правило, строгим закономерностям7. По мере роста амплитуды воздействия эти области увеличиваются и начинаются перекрываться, что приводит к возникновению хаотической динамики. Ситуация на пороге хаоса при этом также допускает ренормгрупповое описание, а пространство параметров вблизи точки перехода к хаосу обладает скейлинговыми свойствами8*.

Даже в рамках одного сценария перехода к хаосу может существовать большое число типов критического поведения (например, наряду с фейгенбаумов-скими удвоениями периода существуют и нефейгенбаумовские1 "12, характеризующиеся другими константами скейлинга). Однако более интересной представляется ситуация "взаимодействия" двух различных сценариев перехода к хаосу, например, удвоений периода и разрушения квазипериодических движений. Заметим, что в очень большом числе динамических систем эти сценарии наблюдаются в различных областях пространства параметров, "не взаимодействуя" при этом друг с другом и не образуя новых типов критичности. Принципиально новая ситуация может возникнуть, если нелинейная система имеет две существенные переменные. Тогда с одной из них могут ассоциироваться удвоения периода, а с другой - рождение квазипериодического режима. Варьируя параметры системы, можно прийти к ситуации сосуществования двух указанных сценариев в окрестности новой критической точки. По-видимому, наиболее простой системой, в которой реализуется такая ситуация и наблюдается соответствующий тип критичности FQ (от F - Feigenbaum, Q - Quasiperiodicity), является система неидентичных несимметрично связанных логистических отображений13.

Следует заметить, что бблыная часть работ, в которых исследуется динамика связанных систем, посвящена изучению синхронизации в идентичных или почти идентичных системах, как правило, с симметричной связью14"16, а также анализу динамики в цепочках, решетках и более сложных структурах, состоящих

7 Арнольд В И Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений М Наука, 1978, 304 с

8 Feigenbaum М J , KadanoffL Р , Shetikcr S J // Physica, 1982, v D5, р 370

' Ostlund S , Rand D , Selhna J , Siggia E D //Physica, 1983, v D8, №3, p 303

10 Chang S J , Woms M , Wnght J A //Phys Rev , 1981, v A24, p 2669

" MacKey R S, Tresser С //Physica, 1987, v D27, №3, p 412

12 Кузнецов А П , Кузнецов С П , Сатаев И Р //Изв ВУЗ ПНД, 1993, т 1, №3, с 17

13 Kuznetsov S Р , Sataev I R //Physica D, 1997, v 101, р 249

14 Анищенко В С , Вадивасова T Е , Астахов В В Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем Саратов Издательство СГУ, 1999 "" ^

15 Synchrorazalion THeor^ мЛ'АррЙстоп Ed А Pikovslcy, Y Maistrenko Kliiwcr Acad Publ, 2003, 258 p

16 Пнковский А , Розенблкш<М% КурТС Ю1" Синхронизация Фундаментальное нелинейное явление М Техносфера, 2003, 496 "с • . -v . ••

из идентичных подсистем (Капеко К., Синай Я.Г., Рабинович М.И., Белых В.Н., Pécora L.M., Kurths J., Анищенко B.C., Кузнецов С.П., Безручко Б.П. и др.). Существует и ряд работ'7"'9, посвященных анализу критической динамики идентичных связанных систем.

В то же время с точки зрения исследования критического поведения наибольший интерес представляют, видимо, именно неидентичные связанные системы. Так, в системе однонаправленно связанных логистических отображений было обнаружено20 отличное от фейгенбаумовского критическое поведение, возникающее при последовательном выводе каждой из подсистем на порог хаоса, а в уже упоминавшейся системе связанных неидентичных логистических отображений -тип критического поведения FQ13, характеризующийся наличием в сколь угодно малой окрестности критической точки как фейгенбаумовских удвоений периода, так и перехода к хаосу через разрушение квазипериодических движений.

Критическое поведение обладает свойством универсальности, т.е. идентичное критическое поведение наблюдается в целом классе "однотипных" в некотором смысле систем. При этом устройство пространства параметров системы в областях, далеких от критической точки, может и различаться, однако вблизи критической точки система отчасти "теряет" индивидуальность и динамика различных систем становится одинаковой, определяемой свойствами данного типа критического поведения. Чрезвычайная важность этого свойства состоит в том, что оно существенно облегчает интерпретацию результатов исследования поведения реальных физических систем, позволяя использовать полученные при изучении более простых моделей сведения об основных особенностях нелинейной динамики этих систем. Однако при таком подходе следует все же соблюдать осторожность, поскольку переход от описываемых обратимыми уравнениями реальных систем к модельным, часто являющимися необратимыми отображениями, всегда происходит в некотором приближении. В частности, известно, что далеко не все типы критичности имеют столь широкий класс универсальности, как фейгенбаумовский. Так, многие нефейгенбаумовские удвоения периода и соответствующее им типы критического поведения могут существовать только в необратимых одномерных отображениях, а при переходе к более реалистичным обратимым системам разрушаются или оказываются возможными как феномены более высокой коразмерности21. Таким образом, весьма важно определить "емкость" класса универсальности и величину коразмерности для вновь обнаруженного типа критического поведения. Это позволяет сделать правильные предположения о возможности его наблюдения в тех или иных системах. Заметим, что проводимый обыкновенно при исследовании критического поведения ренормгрупповой анализ определяет общие условия реализации данного типа и его полную коразмерность, однако не дает ответа на

17 Кузнецов С П //Письма в ЖТФ, 1983, т 9, №2, с 94

18 Кузнецов С П //ЖТФ, 1985, т 55, №9, с 1830

" Kim S -Y , Kook Н //Phys Lett А, 1993, v 178, р 258

20 Безручко Б П, Гуляев Ю В , Кузнецов С П , Селезнев Е П // ДАН СССР, 1986, т 287, №3, с 619

21 Kuznetsov S Р //Phys Lett, 1992, v А169, р 438

вопрос, реализуется ли это поведение, например, в аналогичных по свойствам потоковых системах. Для этого необходимо исследовать критическую динамику конкретных систем. В то же время закономерности, отвечающие за сохранение либо разрушение критического поведения при переходе в более широкий класс систем, носят, как правило, общий характер, поэтому если критическое поведение данного типа обнаружено в некоторой системе, то с большой вероятностью оно существует и в других системах данного класса. Верно, по-видимому, и обратное утверждение. Таким образом, вопрос о возможности существования обнаруженного в модельной системе типа критического поведения в других, более реалистичных системах, допускающих, в частности, и экспериментальную реализацию, представляет большой интерес и предмет специального исследования.

В настоящей работе исследовалась критическая динамика в неидентичных связанных системах с удвоениями периода в контексте возможности реализации критического поведения РС?, сочетающего сценарии перехода к хаосу через удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима. Наряду с дальнейшим исследованием критической динамики двух связанных логистических отображений, существенное внимание уделено вопросу о возможности существования этого типа критичности и его свойствах, включая величину коразмерности, в системах других классов - связанных обратимых отображениях и связанных дифференциальных системах, таких как отображения Эно, отображения Икеды, неавтономные осцилляторы, модели возбуждаемых нелинейных колебательных контуров и электронные схемы Чуа.

Целью работы являлось обнаружение, идентификация и исследование критической динамики модельных и радиофизических неидентичных связанных систем с удвоениями периода, для чего решались задачи изучения устройства пространства параметров исследуемых систем, поиска в них критической точки и определения ее коразмерности с помощью численных методов, исследования самоподобных свойств пространства параметров в окрестности критической точки и существующего в ней критического аттрактора.

Основным методом исследования являлся вычислительный эксперимент, заключавшийся как в непосредственном моделировании поведения системы, так и в исследовании ее критической динамики и свойств скейлинга.

Достоверность полученных результатов подтверждается воспроизводимостью всех численных экспериментов, хорошим совпадением результатов, полученных независимыми численными методами, а также совпадением получаемых в предельных случаях результатов с известными из литературы. Научная новизна работы заключается в том, что впервые

• проведен приближенный ренормгрупповой анализ критического поведения неидентичных связанных систем с удвоениями периода,

• исследованы трансформации устройства пространства параметров систем связанных необратимых отображений с несимметричной связью при изменении величины констант связи, в частности, показано, что реализация критического поведения типа Р<3 возможна лишь при различных знаках констант связи,

• установлено, что при больших по абсолютной величине отрицательных значениях одного из параметров связи системы неидентичных связанных логистических отображений бассейн притяжения критического режима имеет сложную структуру,

• показано, что в случае прямой замены логистических отображений в канонической модели, демонстрирующей критическое поведение типа Р<3, отображениями Эно с сохранением вида связи реализуется "псевдокритическая" точка, окрестность которой не обладает свойством самоподобия,

• обнаружено критическое поведение типа РО в системе связанных обратимых отображений Эно, указан тип связи, при котором такое поведение наблюдается на плоскости управляющих параметров подсистем, т.е. имеет коразмерность, равную двум,

• продемонстрирована самоподобная структура критического аттрактора и пространства параметров в окрестности критической точки в системе связанных отображений Эно,

• описаны особенности устройства пространства параметров в системе связанных отображений Эно по сравнению со связанными логистическими отображениями,

• обнаружено критическое поведение типа Р<3 в системах, допускающих радиофизическую интерпретацию: связанных одномерных мультимодальных отображениях, описывающих динамику неавтономных нелинейных колебательных контуров, связанных неавтономных осцилляторах Дуффинга и связанных системах Икеды, связанных электронных схемах Чуа,

• обнаружено, что в связанных неидентичных автоколебательных потоковых системах критическое поведение типа Р(? как феномен коразмерности два не реализуется,

• с помощью метода карт ляпуновских показателей исследована критическая динамика системы, состоящей из трех однонаправленно связанных логистических отображений с использованием модели сигнала, отвечающего движению по двухмасштабному канторову множеству.

Научно-практическая значимость полученных результатов состоит в том, что детально исследована критическая ситуация на пороге хаотического режима нелинейных систем, в которой сосуществуют два известных сценария перехода к хаосу - через удвоение периода и через разрушение квазипериодического режима. Осознание этого типа критичности как типичного феномена для связанных систем существенно упрощает интерпретацию результатов, относящихся к другим примерам радиофизических систем и моделей. В сочетании с его обнаружением в ряде обратимых отображений и систем, описываемых дифференциальными уравнениями, открывается возможность для экспериментального наблюдения этого типа критичности. Созданные в процессе работы комплексы программ и алгоритмы могут быть использованы при исследовании критической динамики различных нелинейных систем. Они также используются в учебном процессе на факультете нелинейных процессов Саратовского государственного университета.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Критическое поведение типа FQ, характерными особенностями которого являются наличие в произвольно малой окрестности критической точки перехода к хаосу как по сценарию Фейгенбаума, так и через разрушение квазипериодических движений, а также наличие скейлинга (самоподобия) в пространстве параметров и фазовом пространстве с соответствующими универсальными константами, является типичным феноменом сложной динамики неидентичных связанных систем с удвоениями периода. Оно обнаружено в системах теории колебаний и радиофизики: в связанных отображениях Эно; одномерных мультимодальных отображениях, описывающих динамику неавтономных нелинейных колебательных контуров; неавтономных осцилляторах Дуффинга; системах Икеды; электронных схемах Чуа.

2. Критическое поведение типа FQ возникает только при различном направлении связи между подсистемами, т.е. при различных знаках констант связи. Структура бассейна притяжения критического состояния этого типа усложняется с увеличением амплитуды связи, что приводит к его разрушению при достаточно большой амплитуде связи.

3. Коразмерность (число собственных направлений скейлинга в пространстве параметров) критической динамики FQ зависит от типа систем и характера связи. Для связанных обратимых отображений и неавтономных осцилляторов критическое поведение типа FQ реализуется как феномен коразмерности два при условии диссипативности связи. В случае нарушения диссипативности связи на плоскости параметров подсистем наблюдается "псевдокритическая" точка, окрестность которой не обладает свойством самоподобия. В автономных автоколебательных системах реализация критического поведения типа FQ как феномена коразмерности два невозможна даже в случае чисто дисси-пативной связи между подсистемами. Реализация этого типа критического поведения в таких системах возможна лишь как феномен коразмерности три. Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации представлялись на ежегодных конференциях "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (1998-2004 гг.), VII Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Красно-видово, 2000 г.), международной конференции "Progress in Nonlinear Science", посвященной 100-летию А.А. Андронова (Н.Новгород, 2001 г.), IX международной конференции "Nonlinear Phenomena in Complex Systems" (Минск, 2001 г.), XI международной школе-семинаре "Новые информационные технологии" (Судак, 2003), международных конференциях "Foundations and Advances in Nonlinear Science" (Минск, 2003,2004 гг.), международной конференции "Хаос-2004" (Саратов, 2004 г.), конференциях НОЦ "Нелинейная динамика и биофизика" Саратовского госуниверситета и научных семинарах базовой кафедры динамических систем СГУ.

Частично результаты диссертации получены в процессе выполнения работ по грантам РФФИ № 03-02-16192 и №97-02-16414; ФЦП "Интеграция" №696.3 и №А0057 и Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF) REC-006, а также во время визитов в группы профессора С.-Ю. Кима

(университет Кангвон, Республика Корея) и профессора Э. Осбалдестина (университет Портсмута, Великобритания).

По результатам диссертации опубликовано 15 работ, из них статей в рецензируемых журналах - 5, статей в сборниках - 6, тезисов докладов - 4. В работах, выполненных в соавторстве (за исключением [3]), лично соискателем осуществлены все численные эксперименты, совместно с соавторами разработаны методы исследования и осуществлена интерпретация результатов В работе [3] лично соискателем получены результаты, относящиеся к исследованию динамики связанных логистических отображений и отображений Эно.

Структура и объем работы.

Работа содержит 205 страниц, из них 108 страниц основного текста, 74 страницы иллюстраций и список литературы из 192 наименований на 18 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основной текст диссертации состоит из введения, трех глав и заключения.

Во введении обосновывается актуальность работы, излагаются цель работы, научная новизна и научно-практическая значимость результатов, а также формулируются основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена исследованию критической динамики связанных необратимых отображений. Приведен обзор известных результатов13 2022, касающихся критической динамики системы двух связанных логистических отображений

хп+1=\-Ъс„2-Су„2, (1)

у„+]=\-Ау2-Вх„2,

как в случае однонаправленной (0=0), так и при наличии обратной связи. В случае констант связи различного знака на плоскости управляющих параметров подсистем (1) реализуется приведенная на рис.1 структура областей устойчивости удваивающихся циклов.

с с дл о узловая бифуркация (и,=1)

„ , бифуркация Неймарка- удвоение периода

и К Сакера (М=1) (й!=-1)

Рис 1 Карта динамических режимов системы (1) при значениях в=0,375, 0=-0,25 (слева) и схематическое изображение характерной для систем с критическим поведением типа конфигурации бифуркационных линии и областей устойчивости предельных циклов на плоскости параметров подсистем (справа) На карте динамических режимов области устойчивости циклов подписаны, положение точки РО указано стрелкой

22 КигпеСБОУ А Р , Кигпейоу Б Р , Ба1аеу I Я //РЬуиса 1997, V 109, р 91

Линии бифуркаций удвоения периода и Неймарка-Сакера пересекаются в некоторой точке, которую можно назвать PDT-{period-doubling terminal) точкой, характеризующейся равенством -1 обоих мультипликаторов отображения (1). Последовательность PDT-точек удваивающихся циклов накапливается к критической точке типа FQ, в которой реализуется особый тип критического поведения с константами скейлинга в пространстве параметров 6,=6,32631925..., 52=3,44470967.... и на аттракторе 008157849...,

0=^1,900071670....

В работе приведен обзор результатов точного ренормгруппового анализа критического поведения типа FQ13, проделан его приближенный ренормгруп-повой анализ, а также на примере анализа системы (1) при С=-0,25; 5=0,375 продемонстрированы численные методы анализа критической динамики конкретных систем: оценки констант скейлинга23 и координат критической точки из последовательности PDT-точек и т.н. метод приравнивания мультипликаторов (eigenvalue-matching method)24, заключающийся в поиске точек пространства параметров, в которых мультипликаторы циклов базового и удвоенного периодов равны. В силу асимптотического стремления мультипликаторов существующих в критической точке циклов к универсальным значениям с увеличением периода циклов эта последовательность хорошо сходится к критической точке. Проиллюстрированы самоподобные (скейлинговые) свойства пространства параметров в окрестности точки FQ и существующего в ней критического аттрактора.

Исследовано поведение системы (1) при различных значениях констант связи и эволюция структур на плоскости параметров, в частности, языков Арнольда в областях квазипериодической динамики, при их изменении. Показано, что критическое поведение типа FQ может реализоваться только в случае различных знаков констант связи. Также показано, что при увеличении (по абсолютной величине) одного из параметров связи бассейн притяжения критического режима усложняется, а начало координат, являющееся центром скейлинга на аттракторе, начиная с некоторого значения этого параметра перестает принадлежать бассейну (см. рис.2), что приводит к c.jq- х ™ю6 фактическому разрушению критического ре-

Рис 2 Бассейны притяжения режимов, ЖИМ& существующих в PDT-точках цикла периода 128 системы (1) при В=0,375 и С=-0,3855

(вверху) и С=М),3856 (внизу) Темным цветом Аналогичные исследования Проведены И отмечены области, принадлежащие бассейну ^ системы связанных Отображений КОСИНуСЗ

- 510

13 Kirn S -Y , Ни В //Phys Rev А, 1990, v 41, р 5431

24 Dernda В , Gervois А Рошеаи Y //J Phys А, 1979, v 12, р 269

х*ц=\со$хп+Всо$у„, уп+1=Асо&хп+Ссозу„,

для которой показано, что при большом значении одной из констант связи (С=-1, 5=0,375) структуры вблизи критической точки на плоскости параметров искажаются, что свидетельствует о разрушении критического поведения типа

Также в главе 1 исследована критическая динамика цепочки из трех однона-правленно связанных логистических отображений

у^=\-Ау„2-Вх2, (3»

-г«+1=1 -Сг^-Иуп

и показано, что при последовательном выводе подсистем на порог хаоса в третьем отображении окрестность точки перехода к хаосу не обладает свойством самоподобия, следовательно, в ней не существует критического поведения в общепринятом смысле.

Во второй главе исследована критическая динамика систем связанных неидентичных обратимых отображений. Показано, что при непосредственной за-

мене в (1) логистических отображений на отображения Эно теме

Хгц=1-1х„2-Ьу„-Си„2, упн=х„, м„+!=1 -А ип2-Ьу„-&„2, у„+1=и„.

в полученной сис-

(4)

критическое поведение типа Рр не наблюдается, поскольку хотя последовательность РОТ-точек и сходится к некоторой "псевдокритической" точке, ее окрестность не обладает свойством самоподобия. Кроме того, в области квазипериодической динамики на базе цикла периода 2 этой системы наблюдаются языки Арнольда необычной формы - свернутые в кольцо (рис.3), в то время как в аналогичной области пространства параметров системы (1) таких языков не наблюдается.

В то же время при введении между двумя отображениями Эно чисто диссипативной" связи в полученной системе наблюдается критическое поведение типа Р<3. Полученное отображение в этом случае имеет (после замены параметров) вид:

хп+у= 1 -Ъс2-Ь{ 1 -С)у„-Си„2-ЬСуп, уп+1=(\-С)х„+Си„, ип+]=\-Аи„2-Ь(1-В,)уп-Вх2-ЬЕу„ уя+|=(1 -В)ип+Вхп,

где введены обозначения С'= С ^~В ,В' = В- А С

1.73 ^ 1.91

Рис 3 Устройство пространства параметров системы (4) в области квазипериодических движений Серым цветом отмечены области периодических режимов черным - непериодических

АХ-СВ

АХ-СВ

25 Непоп М //Сошшип МаЛ РЬу5 , 1976, V 50, р 69

Устройство плоскости параметров системы (5) при С=-0,25, В=0,375, ¿>=0,2

приведено на рис. 4 и имеет типичный для систем с критическим поведением типа Р<3 вид. Для этой системы при помощи рассмотренных в главе 1 методов (приравнивания мультипликаторов и поиска последовательности РОТ-точек) определены координаты критической точки (^=1,996894..., Ас=\,372711...), собственные направления скейлинга в пространстве параметров и на аттракторе. Также продемонстрированы скей-свойства окрестности точки (см. в ней с

"0 X

Рис 4 Устройство плоскости параметров отображе- ЛИНГОВЫС

ния (5) Различными оттенками серого закрашены ГШраМСТрОВ КрИТИЧеСКОЙ

области устойчивости цикло. различного периода существующего

Периоды основных циклов подписаны > - ..^^

критического аттрактора

константами.

характерными для типа рр константа-

С, С1

Рис 5 Иллюстрации скейлинга в окрестности критической точки Гр системы (5) Иллюстрации приведены в т и "скейлинговых" координатах, соответствующих собственным направлениям скейлинга Критическая точка находится в центре рисунков, пересчет масштаба производился в б|=6,32631925 по оси С1 и в 52=3,44470967 по оси с,

Как можно видеть из рис.4, вблизи координатных осей на плоскости параметров существуют области квазипериодического движения, располагающиеся между областями устойчивости цикла периода 1 и неустойчивости по Лагран-жу Аналогичные области наблюдаются и в других системах, наиболее простой из которых является т.н. модифицированное (обобщенное) отображение Эно26

1 = \-Ъсп+Ьуп+ъх$„+\хх^, Уп+\=Хп-

На примере этого отображения в работе изучена эволюция многообразий неподвижных точек при движении сквозь область квазипериодической динамики.

Третья глава посвящена поиску и анализу критического поведения типа Р<3 в моделях радиофизических систем. В п.3.2 рассмотрена критическая динамика системы диссипативно связанных осцилляторов Дуффинга с импульсным воздействием

(6)

36 Gonchenko V S Kuznetsov Yu А , Meijer H G Е //Preprint 1296, Dep of Math , Utrecht University, 2004

00 л

x + y.i + x + p,*3 +2С(х-й) + С(у, + С + В)(х-и) = У ---),

©

до Очгм

и + у2к + и + р2г/3 + 2В(а-х)+Я(У2 + С + В)(и-х) = У Ab(t-—)

со

«=-00

на плоскости амплитуд внешнего воздействия (X, А) при значениях констант связи С=-0,05; В=0,1 и остальных параметров у1=у2=0,2; р1=р2=1; <о=2. Определены координаты критической точки Р<3 Хс=5,30863..., Лс=5,32300... и направления скейлинга в пространстве параметров, продемонстрирован скейлинг на критическом аттракторе и в окрестности критической точки Р(}.

В п. 3.3 рассмотрена критическая динамика системы диссипативно связанных одномерных мультимодальных отображений, описывающих динамику нелинейного неавтономного колебательного контура (т.н. ЯЬ-диод-контура)2 : </ ¡1

1 = (хяе N cos —+ А.Х1 - С) + С[у„е~» cos —+

(8)

— 2л — 2л

= (У„е » cos ————- + Л)(1 - В) + В(х„е » cos - + А).

Щ + РУ„) 7V(l + px„)

Показано, что из-за особенности данной системы - наличия наряду с прямым обратного каскада бифуркаций удвоения периода в автономной системе -наблюдение в ней критической динамики типа FQ возможно лишь при относительно небольших значениях констант связи. При их увеличении в пространстве параметров сливаются структуры, образовавшиеся на базе прямого и обратного каскадов бифуркаций удвоения, что приводит к разрушению критического поведения. При значениях констант связи С=-0,05, В=0,2 и остальных параметров ¿/=0,2, Л'-1,5, р=1 определены координаты критической точки типа FQ Хе=0,88236..., Ас=0,90322..., продемонстрирован скейлинг на критическом аттракторе и в пространстве параметров в окрестности критической точки FQ.

Кроме того, показана возможность существования устойчивого синхронного режима, при котором значения динамических переменных подсистем полностью идентичны, в случае "антисимметричной" связи, соответствующей равным по величине и противоположным по знаку константам связи. Хотя структура плоскости параметров (1^4) в этом случае полностью аналогична типичной для критического поведения типа FQ, PDT-точки характеризуются равными значениями параметров X и А, а их последовательность демонстрирует сходимость, подчиняющуюся фейгенбаумовским закономерностям, что свидетельствует об отсутствии критического поведения типа FQ.

В п.3.4 исследована динамика диссипативно связанных отображений Ике-

28

ды :

► 27 Bezruchko В Р , Prokhorov М D , Seleznev Е Р //Chaos, Solitons & Fractals, 1995, v 5, №11, р 2095

28 Ikeda К , Daido H , Akimoto О //Phys Rev Lett, 1980, v 45, p 709

2„+1 =(4 +В,г„е1(^+^)(\-С) + С{А2 + (9)

Данная система может быть получена из системы диссипативно связанных неавтономных осцилляторов Дуффинга типа (7), но со связью, "включающейся" в момент действия импульса, при помощи хорошо известного метода мед-

29 г.

ленно меняющихся амплитуд . В то же время она может описывать и другие физические системы. Эта система исследовалась при фиксированных значениях параметров \|/1=\|/2=л.

В работе показано, что при фиксированных константах связи разного знака устройство плоскости параметров системы (9) может иметь как 'ТО-подобную" структуру, так и отличающуюся от нее в зависимости от того, наблюдается ли фейгенбаумовский переход к хаосу в автономных подсистемах при данных значениях параметров.

На плоскости параметров (В\,В2) системы (9) при значениях параметров А1=А2=4,3 и констант связи С—0,25, В=0,375 определены координаты критической точки Р<3 б1с=0,0533246..., В2с=0,0534211...; показана сходимость констант и направлений скейлинга к характерным для критического поведения типа Рр и продемонстрирована самоподобная структура пространства параметров в окрестности найденной критической точки.

В п.3.5 исследована критическая динамика двух диссипативно связанных электронных схем Чуа30. Эта система описывается шестью дифференциальными уравнениями:

=о-\(У\~Кхх)) + сх{х2 -дг,),

У\=х\-У\+г\+С\{У2-У\\

¿1 =-Р1^1+С1(г2-г,),

*2 =аг(У2 ~НХ2)) + с2(Х1 -Х2),

У2 =*2 ~Уг +г2 + С\(У\-Уг),

¿2=-$2Уг +с2(21~2г)' где функция к(х) определяет вольт-амперную характеристику кусочно-линейного резистора (т.н. диода Чуа) и традиционно30 выбирается в виде

h(x) =

(2х-3)/7, х>\,

-хП, -1 < лг с 1, (11)

(2* + 3)/7, *<-1.

Устройство пространства параметров (аьС12) системы (10) при фиксированных параметрах Р1=(32=Ю и константах связи с [^0,05, с2=0,2 демонстрирует типичную 'ТО-подобную" структуру областей устойчивости циклов невысоких периодов (до периода 8) (рис.6), для которых были определены координаты

Кузнецов А П , Кузнецов С П , Рыскин Н М Нелинейные колебания М Физматлит, 2002, 292 с 0 Chua L О , IComuro М , Matsumoto T //IEEE Trans , 1986, v CAS-33, №11, р 1073

РПТ-точек. Однако для циклов более высоких периодов устройство пространства параметров существенно сложнее, в частности, линии бифуркаций удвоения периода становятся сильно изрезанными (рис.7). Это свидетельствует

метров системы (10), демонстрирующий ха- метров системы (10) вблизи РОТ-точки цикла

рактерную для систем с критическим поведе- периода 8

нием типа ИС} структуру

об отсутствии критической точки типа ИО на плоскости параметров (011,012). Таким образом, критическая динамика системы (10) качественно отличается от динамики ранее рассмотренных систем.

Можно предложить следующее объяснение этому факту. Как известно из результатов точного ренормгруппового анализа'3, соответствующая критической динамике типа РС? неподвижная точка РГ-преобразования имеет три существенных собственных числа и, соответственно, полная коразмерность этого типа критического поведения равна трем. Наблюдение его как феномена коразмерности два возможно в ограниченном классе диссипативно связанных систем с дискретным временем (т.к. ренормгрупповой анализ проводится для отображений), поскольку в нем не реализуется соответствующее третьему собственному числу возмущение в пространстве параметров. Все ранее рассмотренные в работе системы допускали описание системой диссипативно связанных отображений.

Динамика же системы (10) описывается отображением с нечетной размерностью фазового пространства (т.к. шестимерной потоковой системе соответствует пятимерное отображение Пуанкаре). Его нельзя представить в виде системы двух связанных отображений одного типа, поэтому наблюдение критической динамики типа Р<3 в такой системе возможно только как явления коразмерности три. Очевидно, что проведенные рассуждения являются достаточно общими и применимы к любым автономным потоковым системам.

Поэтому для поиска координат критической точки Рр в системе (10) необходимо осуществлять "подстройку" трех параметров. В работе найдена такая точка при тех же константах связи и Р2=Ю. Ее координаты ак=6,633006162384..., 0^=6,585930638394..., р1с=10,19802309657.... Мультипликаторы существующих в этой точке циклов демонстрируют хорошую сходимость к характерным для критической точки Р<3 значениям универсальных мультипликаторов, а константа скейлинга на аттракторе, определяемая как отношение расстояний между ближайшими к центру скейлинга элементами цик-

лов базового и удвоенного периода, также хорошо сходится к значению -1,900..., соответствующему типу РО Таким образом, в системе (10) критическое поведение типа РО реализуется как феномен коразмерности три.

Основные результаты и выводы:

1. Критическое поведение типа РО, характерной особенностью которого является наличие в произвольно малой окрестности критической точки перехода к хаосу как по сценарию Фейгенбаума, так и через разрушение квазипериодических движений, является типичным феноменом сложной динамики неидентичных связанных нелинейных систем с удвоениями периода.

2. Приближенный ренормгрупповой анализ для связанных логистических отображений позволяет понять природу универсальности и найти приближенно значения констант скейлинга и их число, определяющее величину коразмерности (число существенных параметров) этого типа критичности.

3. Показано, что критическое поведение типа РО наблюдается в системах связанных неидентичных необратимых отображений только при различных знаках констант связи.

4. При увеличении одного из параметров связи бассейн притяжения режимов, соответствующих реализации критического поведения типа РО, уменьшается и перестает включать центр скейлинга на аттракторе, а само критическое поведение разрушается.

5. На примере отображения Эно показано, что в системе связанных неидентичных обратимых отображений критическое поведение типа РО реализуется как феномен коразмерности два на плоскости управляющих параметров подсистем при условии диссипативности связи между подсистемами.

6. Для таких систем с недиссипативной связью критической поведение типа РО не реализуется как феномен коразмерности два из-за возможности реализации возмущений, соответствующих третьему собственному числу ренормгруп-пового уравнения. При этом последовательность терминальных точек линий удвоения периода (РОТ-точек, в которых оканчиваются линии удвоений периода, бифуркации Неймарка-Сакера и седло-узловой бифуркации) сходится, но окрестность предельной точки не обладает свойствами самоподобия.

7. Критическое поведение типа РО реализуется как феномен коразмерности два на плоскости управляющих параметров подсистем в системах неидентичных связанных отображений, допускающих физическую интерпретацию: одномерных мультимодальных отображений, описывающих динамику неавтономного нелинейного колебательного контура, и отображений Икеды (последние могут приближенно описывать осциллятор Дуффинга с импульсным возбуждением, либо кольцевой оптический резонатор со средой с фазовой нелинейностью).

8. Критическое поведение типа РО и соответствующие иллюстрации скейлинга наблюдаются и в дифференциальных системах. В работе это обосновано для связанных осцилляторов Дуффинга с импульсным возбуждением и электронной схемы Чуа, представляющей собой колебательный контур, содержа-

щий резистивный элемент с кусочно-линейной вольт-амперной характеристикой.

9. На примере схемы Чуа показано, что в неидентичных связанных автоколебательных системах реализация критического поведения типа FQ как феномена коразмерности два невозможна даже в случае чисто диссипативной связи, а структура пространства параметров вблизи области перехода к хаосу имеет сложную структуру, в частности, линии бифуркаций удвоения циклов высоких периодов не являются гладкими. Реализация критического поведения типа FQ в таких системах возможна как феномен коразмерности три.

10. Если в автономных подсистемах существуют как прямой, так и обратный каскады бифуркаций удвоения периода, то реализация критического поведения типа FQ в связанных системах возможна лишь при небольших значениях констант связи, а при их увеличении оно разрушается из-за "столкновения" структур, образовавшихся на базе прямого и обратного каскадов удвоения периода, при этом разрушение характерной структуры начинается с циклов более высоких периодов.

11. В системе трех однонаправленно связанных логистических отображений, последовательно выводимых на порог хаоса, окрестность точки перехода к хаосу в третьем отображении не обладает свойствами самоподобия и поэтому аналог критического поведения типа FQ на базе трех связанных подсистем невозможен.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Кузнецов А.П., Савин A.B. О проблеме границы хаоса и типичных структурах на плоскости параметров неавтономных дискретных отображений с удвоениями периода. //Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2000, Т.8, №4, сс.25-36.

2. Kuznetsov А.Р., Savin A.V. About the typical structures and chaos border in the parameter plane of non-autonomous discrete maps with period-doubling. //Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2002, v.5, №3, pp.296-301.

3. Kuznetsov A.P., Turukina L.V., Savin A.V., Sataev I.R., Sedova J.V., Milovanov S.V. Multi - parameter picture of transition to chaos. // Izvestija VUZ: Applied Nonlinear Dynamics, 2002, v. 10, № 3, pp. 80-96.

4. Кузнецов А.П., Савин A.B. Об одном типе перехода порядок-хаос в связанных отображениях с удвоениями периода. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2003, т. 11, №6, сс. 16-31.

5. Kuznetsov А.Р., Savin A.V., Kim S.-Y. On the Criticality of the FQ-Type in the System of Coupled Maps with Period-Doubling. // Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2004, v.7, №1, pp.69-77.

6. Савин A.B. Воздействие бинарных сигналов на системы с удвоениями периода и разрушением квазипериодических движений. // Нелинейные дни в Саратове для молодых-99. Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов, изд-во ГосУНЦ "Колледж", 1999 г., сс.22-25.

7. Кузнецов А.П., Савин A.B. Сложные колебательные режимы, индуцированные сигналами с иерархической организацией. // Труды VII Всероссийской

школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах". Москва, 2000 г., т.1, сс.25-26.

8. Савин A.B. О границе хаоса и типичных структурах на плоскости параметров неавтономных модельных отображений с удвоениями периода. // Нелинейные дни в Саратове для молодых-2000. Сборник материалов научной школы -конференции. Саратов, изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2000 г., сс.119-122.

9. Kuznetsov А.Р., Savin A.V. About the chaos border and typical structures in the parameter plane of non-autonomous discrete maps with period-doubling. // Abstracts of the International Conference "Progress in Nonlinear science", University of Niz-hny Novgorod, 2001, pp.320-321.

Ю.Савин A.B. Метаморфозы ляпуновских карт в системах с внешним воздействием. // Нелинейные дни в Саратове для молодых-2001. Сборник материалов научной школы - конференции. Саратов, изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2001 г., сс.31-34.

П.Савин A.B. Критическая динамика систем связанных отображений с удвоениями периода. // Нелинейные дни в Саратове для молодых-2002. Сборник материалов научной школы - конференции. Саратов, изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002 г., сс.70-73

12.Савин A.B. Комплекс компьютерных программ для исследования динамических систем с дискретным временем. //Новые информационные технологии. Сборник тезисов докладов XI международной студенческой школы-семинара. Москва, МГИЭМ, 2003, т.1, сс.273-274.

13.Савин A.B. Критическое поведение типа FQ в системах связанных отображений с удвоениями периода. //Нелинейные дни в Саратове для молодых -2003. Материалы научной школы-конференции. Саратов, изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2003, сс. 163-166.

14.Кузнецов А.П., Савин A.B. Сложная динамика систем диссипативно связанных неавтономных осцилляторов. //Материалы VII международной школы-конференции "Хаотические автоколебания и образование структур", 1-6 октября 2004 г. Саратов, изд-во ГосУНЦ "Колледж",2004 г., сс.129-130.

15.Савин A.B. Сложная динамика диссипативно связанных неавтономных осцилляторов. //Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2004. Материалы научной школы-конференции. Саратов, изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004, сс.98-101.

САВИН Алексей Владимирович

КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕИДЕНТИЧНЫХ НЕСИММЕТРИЧНО СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ С ФЕЙГЕНБАУМОВСКИМИ УДВОЕНИЯМИ ПЕРИОДА

Автореферат

Лицензия ЛР№ 020773 от 15.05.98. Подписано к печати 6.05.2005. Формат 60x84 1/16. Бумага «Svetocopy». Гарнитура Times Усл. печ. л. 1,16 (1,25). Тираж 100 экз. Заказ 358.

Издательство ГосУНЦ «Колледж» 410012, Саратов, Астраханская, 83.

Р-9383

РНБ Русский фонд

2006-4 5348

*

Введение

Глава 1. Сложная динамика систем связанных необратимых отображений с удвоениями периода

1.1. Динамика однонаправленно связанных необратимых систем

1.2. Динамика взаимно связанных необратимых систем

1.3. Основные идеи ренормгруппового анализа критической динамики

1.4. Результаты точного ренормгруппового анализа критического поведения типа FQ

1.5. Приближенный ренормгрупповой анализ критического поведения типа FQ

1.6. Поиск критической точки FQ как предела последовательности PDT-точек

1.7. Метод приравнивания мультипликаторов

1.8. Иллюстрации скейлинга в критической точке типа FQ

1.9. Исследование устройства пространства параметров в зависимости от коэффициентов связи

1.10. Исследование критической динамики системы связанных логистических отображений при различных параметрах связи

1.11. Исследование критической динамики связанных отображений косинуса при различных параметрах связи

1.12. Критическая динамика цепочки однонаправленно связанных необратимых отображений

1.13. Выводы

Глава 2. Сложная динамика систем связанных обратимых отображений с удвоениями периода

2.1. Введение

2.2. "Естественный" переход к обратимым системам

2.3. Исследование критической динамики системы связанных отображений Эно

2.4. Диссипативно связанные обратимые отображения

2.5. Бикритическое поведение в системе диссипативно связанных отображений Эно

2.6. Критическая динамика системы диссипативно связанных отображений Эно

2.7. Иллюстрации скейлинга в критической точке FQ системы диссипативно связанных отображений Эно

2.8. Области квазипериодических движений на границе областей устойчивой неподвижной точки и неустойчивости по Лагранжу

2.9. Выводы

Глава 3. Критическая динамика типа FQ в моделях, описывающих радиофизические системы

3.1. Введение

3.2. Критическая динамика в системе диссипативно связанных неавтономных нелинейных осцилляторов

3.2.1. Неавтономный осциллятор Дуффинга как модельная система

3.2.2. Неавтономные осцилляторы Дуффинга с диссипативной связью

3.2.3. Критическая динамика типа FQ в системе диссипативно связанных неавтономных осцилляторов Дуффинга

3.3. Критическая динамика связанных неавтономных нелинейных колебательных контуров

3.3.1. Одномерное отображение, описывающее динамику нелинейного колебательного контура с внешним воздействием

3.3.2. Критическая динамика в системе несимметрично связанных неидентичных одномерных мультимодальных отображений

3.3.3. Возможность реализации синхронных режимов в случае "антисимметричной" связи

3.41 Критическая динамика диссипативно связанных отображений Икеды

3.4.1. Автономное отображение Икеды

3.4.2. Диссипативно связанные отображения Икеды как система, приближенно описывающая поведение связанных неавтономных осцилляторов

3.4.3. Критическое поведение в системе диссипативно связанных отображений Икеды

3.5. Критическая динамика в системе диссипативно связанных генераторов Чуа

3.5.1. Колебательный контур с кусочно-линейным резистором как пример автоколебательной системы, демонстрирующей бифуркации удвоения периода

3.5.2. Критическое поведение коразмерности 2 в диссипативно связанных системах Чуа

3.5.3. Критическое поведение типа БС^ как феномен коразмерности 3 в связанных системах Чуа

3.6. Выводы

Актуальность работы. Одной из особенностей нелинейных колебательных систем является возможность реализации в них нетривиального непериодического режима, называемого обыкновенно динамическим, или детерминированным хаосом [1—5]. Этот режим характеризуется неустойчивостью по Ляпунову траекторий, устойчивых по Пуассону, что приводит к возникновению чувствительной зависимости от начальных условий [1], означающей, что наличие малой ошибки в начальных условиях идентичных в остальном систем приводит через некоторое время к существенному различию в их динамике. Это говорит о принципиальной непредсказуемости поведения таких систем на достаточно больших отрезках времени несмотря на то, что система является динамической и описывается полностью детерминированными уравнениями.

При переходе от регулярного поведения к хаотическому при изменении параметров колебательной системы усложнение ее динамики обычно происходит постепенно и подчиняется определенным закономерностям, совокупность которых называется обычно сценарием перехода к хаосу. Состояние, пограничное между регулярным и хаотическим поведением, называется критическим состоянием, а динамика, которую демонстрирует находящаяся в нем система — критической динамикой. Пространство параметров в окрестности критического состояния и существующий у системы, находящейся в этом состоянии, аттрактор обладают, как правило, самоподобными, или скей-линговыми свойствами, т.е. воспроизводят свою структуру при изменении масштаба в определенное число раз. Коэффициенты самоподобия {константы скейлинга) являются уникальными для каждого типа критического поведения. Математическим аппаратом, объясняющим основные закономерности критического поведения нелинейных систем, является метод ренормализаци-онной группы [6-7], аналогичный по своей идее ранее применявшемуся в теории фазовых переходов, квантовой теории поля и др. (Заметим, что сами термины критические явления, скейлинг и т.д. заимствованы из теории фазовых переходов.) Поиск новых типов критического поведения и их анализ является важной задачей теории колебаний и нелинейной динамики, поскольку развивает представления о свойствах хаоса и перехода от порядка к хаосу, а также способствует классификации нелинейных динамических систем по типам поведения.

Отметим, что критическое поведение обладает свойством универсальности. Это означает, что идентичное критическое поведение наблюдается в целом классе "однотипных" систем. При этом устройство пространства параметров системы, в областях, далеких от критической точки, может и различаться, однако вблизи критической точки система отчасти "теряет" индивидуальность и динамика различных систем становится одинаковой, определяемой свойствами данного типа критического поведения. По этой причине один и тот же тип критического поведения может наблюдаться (и действительно наблюдается) в большом числе конкретных систем радиофизики, оптики, химической кинетики и т.д.

В период становления основных принципов нелинейной динамики было выявлено три сценария перехода к хаосу: через каскад бифуркаций удвоения периода, через разрушение квазипериодических движений и через перемежаемость, причем каждый из них допускает ренормгрупповое описание.

Первым из обнаруженных и наиболее известным сценарием является переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, с которым ассоциируется фейгенбаумовское критическое поведение [6-11]. Простейшей системой, демонстрирующий данный тип критичности, является одномерное необратимое логистическое отображение. В свое время Фейгенбаумом [9-10] при помощи ренормгруппового анализа было доказано, что каскад бифуркаций удвоения периода с такими же закономерностями и соответствующее критическое поведение наблюдаются во всех одномерных необратимых отображениях, имеющих квадратичный максимум. Позднее такое поведение было обнаружено т и в большом количестве обратимых отображений и систем, описываемых дифференциальными уравнениям (в отображениях Эно [12],

Икеды [13], системах Лоренца [14], Ресслера [15] и др.), классических моделях радиофизики (осцилляторы Дуффинга и Ван-дер-Поля-Дуффинга с внешним воздействием и др.), а также реальных физических системах (радиофизический генератор с инерционной нелинейностью [16], генератор Ки-слова-Дмитриева [17], оптический кольцевой резонатор с внешней накачкой [13], различные сверхвысокочастотные генераторы (см., например, [18-20]) и т.д.).

Другой широко распространенный сценарий перехода к хаосу — переход через разрушение квазипериодических движений - типичен для автоколебательных систем, находящихся под внешним воздействием. При этом из существующего предельного цикла (неподвижной точки в случае систем с дискретным временем) рождается тор (инвариантная кривая), динамика на котором может быть как квазипериодической, так и периодической. В пространстве параметров при этом возникает область квазипериодической динамики, внутри которой существуют области периодической динамики (называемые языками синхронизации, или языками Арнольда), структура и расположение которых подчиняются строгим закономерностям, изученным в "классическом" случае В.И. Арнольдом [21]. По мере роста амплитуды воздействия эти области увеличиваются и начинаются перекрываться, что приводит к возникновению хаотической динамики. Ситуация на пороге хаоса при этом также является критической и допускает ренормгрупповое описание, а пространство параметров вблизи точки перехода к хаосу обладает скейлинговы-ми свойствами (см. [22-27]).

В настоящее время типов критического поведения известно значительно больше, чем сценариев перехода к хаосу, причем поиск новых типов критичности успешно продолжается. Например, наряду с фейгенбаумовскими удвоениями периода существуют и нефейгенбаумовские [28-33], характеризующиеся другими константами скейлинга и др. Возможна определенная классификация типов критического поведения на пороге хаоса по числу существенных параметров, необходимых для их наблюдения, или, с теорией бифуркацией, по величине коразмерности (см., например, [34]). В этом контексте переход к хаосу по фейгенбаумовскому сценарию, например, характеризуется одним существенным параметром и поэтому имеет коразмерность один.

Весьма интересной, однако, представляется ситуация "взаимодействия" двух различных сценариев перехода к хаосу, например, удвоений периода и разрушения квазипериодических движений. Заметим, что в очень большом числе динамических систем эти сценарии наблюдаются в различных областях пространства параметров, "не взаимодействуя" при этом друг с другом и не образуя новых типов критичности. (Например, в пространстве параметров "эталонного" для сценария разрушения квазипериодичности синус-отображения окружности внутри языков Арнольда наблюдаются фейгенбау-мовские удвоения.) Поясним, как может возникнуть более интересная ситуация. Пусть нелинейная система имеет две существенных переменных. Тогда с одной из них может ассоциироваться удвоение периода, а с другой - рождение квазипериодического режима. Варьируя параметры системы, можно прийти к ситуации сосуществования двух указанных сценариев в окрестности новой критической точки. Возможность существования такой критической точки была установлена в [35], а соответствующий тип критичности был назван FQ (от F - Feigenbaum, Q - Quasiperiodicity). По-видимому, наиболее простой системой, в которой наблюдается этот тип поведения, является система неидентичных несимметрично связанных логистических отображений [35]. Другой тип критического поведения, возникающий "на стыке" удвоений периода и касательной бифуркации, был обнаружен и исследован в [36-37].

Следует заметить, что большая часть работ, в которых исследуется динамика связанных систем, посвящена изучению синхронизации в идентичных или почти идентичных системах, как правило, с симметричной связью. Так, весьма подробно исследована синхронизация колебаний в двух идентичных системах с симметричной связью (см., например, монографии [38-40]), в частности, вопросы существования и устойчивости синхронного режима ([4149]), при котором динамика подсистем полностью идентична, в т.ч. устройство бассейна притяжения этого режима; механизмы его разрушения [50-62] (например, потеря устойчивости в трансверсальном направлении , "изрешечивание" бассейна притяжения (так называемый риддлинг)); возможность существования в таких системах несинхронных режимов, отличающихся наличием фазового сдвига между траекториями подсистем (так называемая фазовая мультистабильность) и их эволюция при изменении параметров [63-67] и т.п. Такие исследования проведены как с помощью аналитического и численного анализа динамики модельных систем, так и в физическом эксперименте (см., например, [42]). Не менее обширна литература, посвященная анализу динамики в цепочках, решетках и более сложных структурах, состоящих из идентичных подсистем ([68-86]). В них обнаружены и подробно исследованы явления кластеризации, возникновения и распространения волн, возникновения пространственно-временного хаоса. Существует и ряд работ, посвященных анализу критической динамики идентичных связанных систем ([87-90]).

В то же время с точки зрения исследования критического поведения наибольший интерес представляют, видимо, именно неидентичные связанные системы. Так, в [91] в системе однонаправленно связанных логистических отображений было обнаружено отличное от фейгенбаумовского критическое поведение, возникающее при последовательном выводе каждой из подсистем на порог хаоса, а в уже упоминавшейся системе связанных неидентичных логистических отображений был обнаружен [35] тип критического поведения БС), характеризующийся наличием в сколь угодно малой окрестности критической точки как фейгенбаумовских удвоений периода, так и перехода к хаосу через разрушение квазипериодических движений.

Чрезвычайная важность свойства универсальности состоит в том, что оно существенно облегчает интерпретацию результатов исследования динамики реальных физических систем, позволяя использовать полученные при изучении более простых моделей сведения об основных особенностях нелинейной динамики этих систем. В то же время хотя общие свойства систем (например, устройство пространства параметров) описываются моделями достаточно хорошо, при таком подходе следует все же соблюдать осторожность, поскольку переход от описываемых обратимыми уравнениями реальных систем к модельным, являющимся, как правило, необратимыми отображениями, всегда происходит в некотором приближении.

Это особенно важно при исследовании поведения системы вблизи перехода к хаосу, в частности, ее критической динамики. Известно, что далеко не все типы критичности имеют столь широкий класс универсальности как фей-генбаумовский. Так, многие нефейгенбаумовские удвоения периода и соответствующее им типы критического поведения могут существовать только в необратимых одномерных отображениях, разрушаясь при переходе к более реалистичным обратимым системам или оказываясь возможными как феномены более высокой коразмерности (см., например, [92-93]). Таким образом, весьма важно определить своего рода "емкость" класса универсальности и величину коразмерности для вновь обнаруженного типа критического поведения. Это позволяет сделать правильные предположения о возможности его наблюдения в тех или иных системах. Проводимый обыкновенно при исследовании критического поведения ренормгрупповой анализ определяет общие условия реализации данного типа (так, бикритическое поведение [91] реализуется в однонаправленно связанных системах с удвоениями периода, так называемое трикритическое [28] - в одномерных бимодальных отображениях и т.д.) и его полную коразмерность, однако не дает ответа на вопрос, реализуется ли это поведение, например, в аналогичных по свойствам потоковых системах. Для этого необходимо исследовать критическую динамику в конкретных системах. В то же время закономерности, отвечающие за сохранение либо разрушение критического поведения при переходе в более широкий класс систем носят, как правило, общий характер, поэтому если критическое поведение данного типа обнаружено в некоторой системе, то с большой вероятностью оно будет реализовываться и в других системах данного класса. Верно, по-видимому, и обратное утверждение. Таким образом, вопрос о возможности существования обнаруженного в модельной системе типа критического поведения в других, более реалистичных системах, допускающих, в частности, и экспериментальную реализацию, представляет большой интерес и предмет специального исследования.

В настоящей работе исследовалась критическая динамика в неидентичных связанных системах с удвоениями периода в контексте возможности реализации критического поведения сочетающего сценарии перехода к хаосу через удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима. Наряду с дальнейшим исследованием критической динамики двух связанных логистических отображений, существенное внимание уделено вопросу о возможности существования этого типа критичности и его свойствах, включая величину коразмерности, в системах других классов — связанных обратимых отображениях и связанных дифференциальных системах, таких как отображения Эно, отображения Икеды, неавтономные осцилляторы, модели возбуждаемых нелинейных колебательных контуров и электронные схемы Чуа.

Целью работы являлось обнаружение, идентификация и исследование критической динамики модельных и радиофизических неидентичных связанных систем с удвоениями периода, для чего решались задачи изучения устройства пространства параметров исследуемых систем, поиска в них критической точки и определения ее коразмерности с помощью численных методов, исследования самоподобных свойств пространства параметров в окрестности критической точки и существующего в ней критического аттрактора.

Основным методом исследования являлся вычислительный эксперимент, заключавшийся как в непосредственном моделировании поведения системы, так и в исследовании ее критической динамики и свойств скейлинга.

Достоверность полученных результатов подтверждается воспроизводимостью всех численных экспериментов, хорошим совпадением результатов, полученных независимыми численными методами, а также совпадением получаемых в предельных случаях результатов с известными из литературы. Научная новизна работы заключается в том, что впервые

• проведен приближенный ренормгрупповой анализ критического поведения неидентичных связанных систем с удвоениями периода,

• исследованы трансформации устройства пространства параметров систем связанных необратимых отображений с несимметричной связью при изменении величины констант связи, в частности, показано, что реализация критического поведения типа БС) возможна лишь при различных знаках констант связи,

• установлено, что при больших по абсолютной величине отрицательных значениях одного из параметров связи системы неидентичных связанных логистических отображений бассейн притяжения критического режима имеет сложную структуру

• показано, что в случае прямой замены логистических отображений в канонической модели, демонстрирующей критическое поведение типа БС), отображениями Эно с сохранением вида связи реализуется "псевдокритическая" точка, окрестность которой не обладает свойством самоподобия,

• обнаружено критическое поведение типа БС) в системе связанных обратимых отображений Эно, указан тип связи, при котором такое поведение наблюдается на плоскости управляющих параметров подсистем, т.е. имеет коразмерность, равную двум,

• продемонстрирована самоподобная структура критического аттрактора и пространства параметров в окрестности критической точки в системе связанных отображений Эно,

• описаны особенности устройства пространства параметров в системе связанных отображений Эно по сравнению со связанными логистическими отображениями,

• обнаружено критическое поведение типа БС) в системах, допускающих радиофизическую интерпретацию: связанных одномерных мультимодальных отображениях, описывающих динамику неавтономных нелинейных колебательных контуров, связанных неавтономных осцилляторах Дуф-финга и связанных системах Икеды, связанных электронных схемах Чуа,

• обнаружено, что в связанных неидентичных автоколебательных потоковых системах критическое поведение типа БС^ как феномен коразмерности два не реализуется,

• с помощью метода карт ляпуновских показателей исследована критическая динамика системы, состоящей из трех однонаправленно связанных логистических отображений с использованием модели сигнала, отвечающего движению по двухмасштабному канторову множеству. Научно-практическая значимость полученных результатов состоит в том, что детально исследована критическая ситуация на пороге хаотического режима нелинейных систем, в которой сосуществуют два известных сценария перехода к хаосу - через удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима. Осознание этого типа критичности как типичного феномена для связанных систем существенно упрощает интерпретацию результатов, относящихся к другим примерам радиофизических систем и моделей. В сочетании с его обнаружением в ряде обратимых отображений и систем, описываемых дифференциальными уравнениями, открывается возможность для экспериментального наблюдения этого типа критичности. Созданные в процессе работы комплексы программ и алгоритмы могут быть использованы при исследовании критической динамики различных нелинейных систем. Они также используются в учебном процессе на факультете нелинейных процессов в Саратовском государственном университете. На защиту выносятся следующие основные положения: 1. Критическое поведение типа БС^, характерными особенностями которого являются наличие в произвольно малой окрестности критической точки перехода к хаосу как по сценарию Фейгенбаума, так и через разрушение квазипериодических движений, а также наличие скейлинга (самоподобия) в пространстве параметров и фазовом пространстве с соответствующими универсальными константами, является типичным феноменом сложной динамики неидентичных связанных систем с удвоениями периода. Оно обнаружено в системах теории колебаний и радиофизики: в связанных отображениях Эно; одномерных мультимо-дальных отображениях, описывающих динамику неавтономных нелинейных колебательных контуров; неавтономных осцилляторах Дуф-финга; системах Икеды; электронных схемах Чуа.

2. Критическое поведение типа БС) возникает только при различном направлении связи между подсистемами, т.е. при различных знаках констант связи. Структура бассейна притяжения критического состояния этого типа усложняется с увеличением амплитуды связи, что приводит к его разрушению при достаточно большой амплитуде связи.

3. Коразмерность (число собственных направлений скейлинга в пространстве параметров) критической динамики БС) зависит от типа систем и характера связи. Для связанных обратимых отображений и неавтономных осцилляторов критическое поведение типа БС) реализуется как феномен коразмерности два при условии диссипативности связи. В случае нарушения диссипативности связи на плоскости параметров подсистем наблюдается "псевдокритическая" точка, окрестность которой не обладает свойством самоподобия. В автономных автоколебательных системах реализация критического поведения типа БС) как феномена коразмерности два невозможна даже в случае чисто диссипа-тивной связи между подсистемами. Реализация этого типа критического поведения в таких системах возможна лишь как феномен коразмерности три.

Структура и объем работы.

Работа содержит 205 страниц, из них 108 страниц основного текста, 74 страницы иллюстраций и список литературы из 192 наименований на 18 страницах.

Краткое содержание работы.

Основной текст диссертации состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе рассмотрена критическая динамика в системах неидентичных связанных необратимых отображений с удвоениями периода. Приведен обзор ранее известных результатов, касающихся критической динамики неидентичных связанных логистических отображений и ее ренормгруппового анализа, а также обзор существующих методов анализа критической динамики отображений. Оригинальные результаты получены при анализе критической динамики в цепочке однонаправленно связанных логистических отображений и воздействия фрактального сигнала на логистическое отображение, а также при исследовании поведения системы связанных необратимых отображений в зависимости от значений констант связи.

3.6. Выводы

В главе 3 исследована критическая динамика в неидентичных диссипа-тивно связанных системах радиофизической природы. Получены следующие результаты.

1. Показано, что в системе диссипативно связанных неавтономных осцилляторов Дуффинга возможна реализация критического поведения типа БС) как феномена коразмерности 2 и наблюдение соответствующих явлений на плоскости амплитуд внешнего воздействия на осцилляторы. Определены координаты критической точки, продемонстрирован скейлинг на плоскости па раметров в ее окрестности и на критическом аттракторе с константами, характерными для типа БС).

2. Показано, что в системе двух диссипативно связанных одномерных мультимодальных отображений, описывающих динамику системы связанных неавтономных нелинейных колебательных контуров с диодами, реализуется критическое поведение типа БС) как феномен коразмерности два на плоскости параметров, соответствующих амплитудам воздействия на контура. Определены координаты критической точки и продемонстрирован скейлинг в ее окрестности в пространстве параметров и на критическом аттракторе.

3. Показана возможность реализации синхронных режимов в системе связанных одномерных мультимодальных отображений с "антисимметричной" связью.

4. Показано, что в системе диссипативно связанных отображений Икеды возможна реализация критического поведения типа БС) как феномена коразмерности два. Найдены координаты критической точки и продемонстрирован скейлинг пространства параметров в ее окрестности.

5. Показано и продемонстрировано на примере связанных электронных схем Чуа, что в системе связанных автономных дифференциальных автоколебательных систем невозможна реализация критического поведения типа БС) как феномена коразмерности два.

6. Показано, что в связанных системах Чуа критическое поведение типа БС) реализуется как феномен коразмерности три. Определены координаты критической точки и продемонстрирована сходимость мультипликаторов существующих в ней циклов к универсальным значениям, характерным для типа критичности БС).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с поставленными задачами в настоящей работе проведено исследование критической динамики (динамики на пороге хаоса) неидентичных связанных систем с фейгенбаумовскими удвоениями периода с несимметричной связью. Были рассмотрены как классические модели нелинейной динамики (логистические отображения, отображения Эно и др.), так и конкретные радиофизические системы (неавтономный нелинейный колебательный контур, электронная схема Чуа и др.). При этом получены следующие основные результаты и выводы.

1. Критическое поведение типа РС>, характерной особенностью которого является наличие в произвольно малой окрестности критической точки перехода к хаосу как по сценарию Фейгенбаума, так и через разрушение квазипериодических движений, является типичным феноменом сложной динамики неидентичных связанных нелинейных систем с удвоениями периода.

2. Приближенный ренормгрупповой анализ для связанных логистических отображений позволяет понять природу универсальности и найти приближенно значения констант скейлинга и их число, определяющее величину коразмерности (число существенных параметров) этого типа критичности.

3. Показано, что критическое поведение типа РС) наблюдается в системе связанных неидентичных необратимых отображений только при различных знаках констант связи.

4. При увеличении одного из параметров связи бассейн притяжения режимов, соответствующих реализации критического поведения типа РС2, уменьшается, центр скейлинга на аттракторе перестает принадлежать ему, а само критическое поведение разрушается.

5. На примере отображения Эно показано, что в системе связанных неидентичных обратимых отображений критическое поведение типа РС) реализуется как феномен коразмерности два на плоскости управляющих параметров подсистем при условии диссипативности связи между подсистемами.

6. Для таких систем с недиссипативной связью критическое поведение типа не наблюдается как феномен коразмерности два из-за возможности реализации возмущений, соответствующих третьему собственному числу ре-нормгруппового уравнения. При этом последовательность терминальных точек линий удвоения периода (РЭТ-точек, в которых оканчиваются линии удвоений периода, бифуркации Неймарка-Сакера и седло-узловой бифуркации) сходится, но окрестность предельной точки не обладает свойствами самоподобия.

7. Критическое поведение типа БС* реализуется как феномен коразмерности два на плоскости управляющих подсистем в системах неидентичных связанных отображений, допускающих физическую интерпретацию: одномерных мультимодальных отображений, описывающих динамику неавтономного нелинейного колебательного контура, и отображений Икеды (последние могут приближенно описывать осциллятор Дуффинга с импульсным возбуждением, либо кольцевой оптический резонатор со средой с фазовой нелинейностью).

8. Критическое поведение типа БС* и соответствующие иллюстрации скей-линга наблюдаются и в дифференциальных системах. В работе это обосновано для связанных осцилляторов Дуффинга с импульсным возбуждением и электронной схемы Чуа, представляющей собой колебательный контур, содержащий резистивный элемент с кусочно-линейной вольт-амперной характеристикой.

9. На примере схемы Чуа показано, что в неидентичных связанных автоколебательных системах реализация критического поведения типа БС) как феномена коразмерности два невозможна даже в случае чисто диссипативной связи, а структура пространства параметров вблизи области перехода к хаосу имеет сложную структуру, в частности, линии удвоения циклов высоких периодов не являются гладкими. Реализация критического поведения типа БС) в таких системах возможна только как феномен коразмерности три.

10. Если в автономных подсистемах существуют как прямой, так и обратный каскады бифуркаций удвоения периода, то реализация критического поведения типа РС> в связанных системах возможна лишь при небольших значениях констант связи, а при их увеличении оно разрушается из-за "столкновения" структур, образовавшихся на базе прямого и обратного каскадов удвоения периода, при этом разрушение характерной структуры начинается с циклов более высоких периодов.

11. В системе трех однонаправленно связанных логистических отображений, последовательно выводимых на порог хаоса, окрестность точки перехода к хаосу в третьем отображении не обладает свойствами самоподобия и поэтому аналог критического поведения типа БС) на базе трех связанных подсистем невозможен.

1. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991, 368 с.

2. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988, 240 с.

3. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990, 312 с.

4. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984, 528 с.

5. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001, 296 с.

6. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем. //УФН, 1983, т.141, №2, сс. 343-374.

7. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм. //УМН, 1984, т.39, №3, сс.3-37.

8. May R.M. Simple mathematical model with very complicated dynamics. //Nature, 1976, v.261, pp.459-467.

9. Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. //J. of Stat. Phys., 1978, v.19, №1, pp.25-52.

10. Feigenbaum M. J. The universal metric properties of nonlinear transformations. //J. of Stat. Phys., v.26, №6, pp.669-706.

11. П.Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. Ч. I. Сценарий Фейгенбаума. //Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 1993, т.1, №1-2, сс. 15-32.

12. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow. //J. Atmos. Sci., 1963, v.20, pp.130-141

13. R6ssler O.E. An equation for continuous chaos. //Phys. Lett., 1976, V.A57, №5, pp.155-159.

14. Анищенко B.C., Астахов В.В. Экспериментальное исследование механизма возникновения и структуры странного аттрактора в генераторе с инерционной нелинейностью. //Радиотехника и электроника, 1983, т.28, №6, сс.1109-1115.

15. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в автогенераторе с инерционным запаздыванием первого порядка. //Радиотехника и электроника, 1984, т.29, №12, сс.2389-2398.

16. Островский А.О., Ткач Ю.В. К теории автомодуляционных процессов в релятивистском карсинотроне. //Письма в ЖТФ, 1991, т. 17, №18, сс.10-14.

17. Рыскин Н.М., Титов В.Н., Трубецков Д.И. Детали перехода к хаосу в системе электронный поток обратная электромагнитная волна //ДАН, 1998, т.358, №5, сс.620-623.

18. Рыскин Н.М., Титов В.Н. О сценарии перехода к хаосу в однопарамет-рической модели лампы обратной волны. //Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 1998, т.6, №1, сс.75-92.

19. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 304 с.

20. Feigenbaum M.J., Kadanoff L.P., Shenker S.J. Quasiperiodicity in dissipative systems: A renormalization group analysis. // Physica, 1982, v.D5, p.370-386.

21. Shenker SJ. Scaling behavior in a map of a circle onto itself: Empirical results. //Physica, 1982, v.D5, pp. 126-136.

22. Rand D., Ostlund S., Sethna J., Siggia E.D. Universal transition from quasiperiodicity to chaos in dissipative systems. //Phys. Rev. Lett., 1982, v.49, №2, pp.132-.135

23. Ostlund S., Rand D., Sethna J., Siggia E.D. Universal properties of the transition from quasiperiodicity to chaos in dissipative systems. //Physica, 1983, v.D8, №3, pp.303-342.

24. Chang S.J., Wortis M., Wright J.A. Iterative properties of a one-dimensional quartic map. Critical lines and tricritical behavior. //Phys. Rev., 1981, V.A24, pp.2669-2684.

25. MacKey R.S, Tresser C. Some flesh on skeleton: The bifurcation structure of # bimodal maps. //Physica, 1987, V.D27, №3, pp.412-422.

26. Mackey R.S, van Zeijts J.B.J. Period doubling for bimodal maps: a horseshoe for a renormalization operator. //Nonlinearity, 1988, v.l, pp.253-277.

27. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Критическая динамика одно-ф мерных отображений. Ч. II. Двухпараметрический переход к хаосу.

28. Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 1993, т.1, №3, с. 17-35.

29. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы перехода к хаосу через удвоения периода в диссипа-тивных динамических системах. //Регулярная и хаотическая динамика, 1997, т.2, №3-4, сс.90-105.

30. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Period-doubling for two-dimensional non-^ invertible maps: renormalization group analysis and quantitative universality.

31. Physica D, 1997, v. 101, p.249-269.

32. Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Гибрид удвоений периода и касательной бифуркации: количественная универсальность и двухпараметрический скей-линг. //Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 1995, т.З, №4, сс.3-11.

33. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Издательство СГУ, 1999

34. Synchronization: Theory and Application. Edited by A. Pikovsky and Y. Ma-istrenko. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003, 258 p.

35. Пиковский А., Розенблюм M., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003, 496 с.

36. Kunick A., Steeb W.-H. Coupled Chaotic Oscillators. //Journal of Physical Society, 1985, v.54, №4, pp. 1220-1223.

37. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах. //Изв. ВУЗов: Радиофизика, 1989, т.29, №9, сс. 1050-1060.

38. Волковский А.Р., Рульков Н.Ф. Экспериментальное исследование бифуркаций на пороге стохастической синхронизации. //Письма в ЖТФ, 1989, т. 15, №7, сс.5-10.

39. Pecora L., Caroll Т. Synchronization in chaotic systems. //Phys. Rev. Lett., 1990, v.64, pp.821-823.

40. Анищенко B.C., Постнов Д.Э. Эффект захвата базовой частоты хаотических колебаний. Синхронизация странных аттракторов. //Письма в ЖТФ, 1988, т.14, №6, сс.569

41. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova М.А. Synchronization of chaos. //Int. J. of Bif. and Chaos, 1992, v.2, №3, pp.633-644.

42. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова М.А. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса. //Радиотехника и электроника, 1991, т.36, №2, сс.338-351.

43. Reick С., Mosekilde Е. Emergence of quasiperiodicity in symmetrically coupled, identical period-doubling systems. //Phys. Rev. E, 1995, v.52, №2, pp. 14181435.

44. Купцов П.В. Двухпараметрический анализ синхронизации хаотических отображений. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 1999, т.7 №6, сс. 42-50.

45. Fujisaka Н., Yamada Y. Stability theory of synchronized motions in coupled oscillatory systems. //Progr. Theor. Phys., 1983, v.69, pp.3251.0tt E., Sommerer J.C. Blowout bifurcation in chaotic dynamical systems. //Phys. Lett. A, 1994, v. 188, p.39-.

46. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. From attractor to chaotic saddle: tale of transverse instability. //Nonlinearity, 1994, v.9, p.703-.

47. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. Bubbling of attractors and synchronization of chaotic oscillators. //Phys. Lett. A, 1994, v.193, pp.126-139.

48. Pikovsky A., Grassberger P. Symmetry breaking bifurcation for coupled chaotic oscillators. //J. Phys. A: Math. Gen., 1991, v.24, pp.4587-4597.

49. Rul'kov N.F., Volkovskii A.R., Rogriguez-Lozano A., Del Rio E., Velarde M.G. Mutual synchronization of chaotic self-oscillators with dissipative coupling. //Int. J. of Bif. and Chaos, 1992, v.2, №3, pp. 669-676.

50. Astakhov V., Shabunin A., Kapitaniak Т., Anishchenko V. Loss of synchronization through the sequence of bifurcations of saddle periodic orbits. //Phys. Rev. Lett., 1997, v.79, №6, pp.1014-1017.

51. Hasler M., Maistrenko Y. An introduction to the synchronization of chaotic systems:coupled skew tent maps. //IEEE Transaction on Circuits and Systems, 1997, v.44, pp.856-866.

52. Maistrenko Y., Kapitaniak T. Different types of chaos synchronization in two coupled piecewise linear maps. //Phys. Rev. E, 1996, v.54, pp.3285-3292.

53. Астахов B.B., Шабунин A.B., Анищенко B.C. Механизмы разрушения хаотической синхронизации в системе связанных кубических отображений. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 1999, т.7, №2-3, сс.3-11.

54. Kim S.-Y., Lim W., Ott E., Hunt B. Dynamical origin for the occurrence of asynchronous hyperchaos and chaos via blowout bifurcation. //Phys.Rev.E, 2003, v.68, p.066203.

55. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных сис-& тем Фейгенбаума. //Изв. вузов: Радиофизика, 1985, т.28, №8, с.991

56. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П. Мультиста-бильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем. //Письма в ЖТФ, 1988, т. 15, №3, сс.60-64.

57. Astakhov V., Shabunin A., Stalmakhov P. Multistability, in-phase and antiphase synchronization in period-doubling systems. //Izvestiya VUZ: Applied Nonlinear Dynamics, 2002, v. 10, №3, cc.63-79.

58. Kaneko K. Spatio-temporal chaos in one- and two-dimensional coupled map ^ lattices. // Physica D, 1989, v.32, pp.60-82.

59. Waller I., Kapral R. Spatial and temporal structure in systems of coupled nonlinear oscillators. // Phys. Rev. A, 1984, v.30, №4, pp.2047-2055.

60. Bunimovich L.A., Sinai Ya. G. Spacetime chaos in coupled map lattices. //Nonlinearity, 1988, v.l, pp.491-516

61. Анищенко B.C., Арансон И.С., Постнов Д.Э, Рабинович М.И. Пространственная синхронизация и бифуркации развития хаоса в цепочке связанныхгенераторов. // ДАН СССР, 1986, т.286, №5, сс.1120-1124.

62. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Пространственные структуры в диссипа-тивных средах у порога возникновения хаоса. //Известия ВУЗов: Радиофизика, 1991, т.34, №2, сс. 142-146.

63. Johnson G.A., Locher M., Hunt E.R. Stabilized spatiotemporal waves in a convectively unstable open flow system: coupled diode resonators. // Phys. Rev. E, 1995, v.51, №3, pp.1625-1628.

64. Belykh V.N., Mosekilde E. One-dimensional map lattice: Synchronization, bifurcations and chaotic structures. //Phys. Rev. E, 1998, v.54, №4, pp.3196-3203.

65. Pecora L.M. Synchronization conditions and desynchronizing patterns in coupled limit-cycle and chaotic systems. //Phys. Rev. E, 1998, v.58, №1, pp.347-360.

66. Zhao G., Xin H. Traveling chaos wave in coupled map lattices with complete unidirectional coupling. //Phys. Lett. A, 2000, v. 268, pp.181-185.

67. Иванова А.С., Кузнецов С.П. Волна кластеризации в цепочке систем, каждая из которых содержит набор элементов с внутренней глобальной связью. //Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2003, т.11, №4-5,сс.80-88.

68. Акопов А.А., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В., Матюшкин Д.Д. Кластерная синхронизация в неоднородной автоколебательной среде. //Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2003, т. 11, №4-5, сс.64-75.

69. Кузнецов С.П. Масштабно-инвариантная структура пространства параметров связанных систем Фейгенбаума. //ЖТФ, 1985, т.55, №9, сс. 1830-1834.

70. Kim S.-Y. Universality of period-doublings in coupled maps. //Phys. Rev. E, 1994, v.49, №2, pp.1745-1748.

71. Kim S.-Y., Kook H. Renormalization analysis of two coupled maps. //Phys.1.tt. A, 1993, v.178, pp.258-264.

72. Kim S.-Y., Ни B. Critical behavior of period doublings in coupled inverted pendulums. //Phys. Rev.E, 1998, v.58, №6, pp.7231-7242.

73. Безручко Б.П, Гуляев Ю.В., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Новый тип критического поведения связанных систем при переходе к хаосу. // ДАН СССР, 1986, т. 287, №3, с.619.

74. Kuznetsov S.P. Tricriticality in two-dimensional maps. //Phys. Lett., 1992,1. V.A169, p.43 8-444.

75. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Mosekilde E., Turukina L.V. Two-parameter analysis of the scaling behavior at the onset of chaos: tricritical and pseudo-tricritical points. //Physica A, 2001, v.300, p.367-385.

76. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Variety of types of critical behavior and multistability in period doubling systems with unidirectional couplingnear the onset of chaos. //Int. J. of Bif. & Chaos, 1993, v.3, №1, p. 139-152

77. Marcus M. Chaos in maps with continuous and discontinuous maxima.// Computers in Physics. 1990, Sept/Oct., p.481

78. Satoh K., Aihara T. Numerical study on a coupled-logistic map as a simple model for a predator-prey system. //Journal of the Physical Society of Japan, 1990, v.59, №4, pp. 1184-1198.

79. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. A variety of period-doubling universality classes in multiparameter analysis of transition to chaos. //Physica D, 1997, v.109, p.91-112.

80. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Universality and scaling in non-invertible two-dimensional maps. //Physica Scripta, 1996, V.T67, p. 184-187.

81. Сатаев И.Р. Ренормгрупповой анализ новых типов критического поведения при переходе к хаосу в нелинейных системах, описываемых двумерными отображениями. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Саратов, 1998.

82. Kim S.-Y., Ни В. Scaling pattern of period-doubling in four dimensions. //Phys. Rev. A, 1990, v.41, p.5431

83. Derrida В., Gervois A., Pomeau Y. Universal metric properties of bifurcations of endomorphisms. //J. Phys. A, 1979, v. 12, pp.269-296.

84. Kim S.Y. Bicritical behavior of period-doublings in unidirectionally coupled maps. //Phys. Rev. E, 1999, v.59, №6, pp.65 85-6592.

85. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. New types of critical dynamics for two-dimensional maps. //Phys. Lett. A, 1992, v. 162, pp.236-242.

86. Carcasses J., Mira C., Bosch M., Simo C., Tatjer J.C. Crossroad area -spring area transition. (1) Parameter plane representation. /Ant. J. of Bif. and Chaos, 1991, v.l, p.183-196.

87. Carcasses J., Mira C., Bosch M., Simo C. & Tatjer J.C. «Crossroad area -spring area transition» (II) foliated parametric representation. Int. J. Bif. & Chaos, 1991, Vol.1, №2, p.339-348.

88. Mira C., Carcasses J. On the crossroad area saddle area and spring area transition. // Int. J. of Bif. and Chaos, 1991, v.l, №3, p.641-655.

89. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Динамика однонаправленно связанных систем Фейгенбаума у порога гиперхаоса. Бикритической аттрактор. //Известия ВУЗов: Радиофизика, 1992, т.35,№5, сс.398-405.

90. Kuznetsov А.Р., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Period doubling system under fractal signal. Bifurcation in the renormalization group equation. //Chaos, Solitons & Fractals, 1991, v.l, №4, p.355-367.

91. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Воздействие фрактального сигнала на систему Фейгенбаума и бифуркация в уравнении ренормгруппы. //Известия ВУЗов: Радиофизика, 1991, т. 34, №6, с.661.

92. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Фрактальный сигнал и динамика систем, демонстрирующих удвоения периода. //Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 1995, т.З, №5, с.64-87.

93. Ш.Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Генератор фрактального сигнала. //Письма в ЖТФ, 1992, т. 18, №24, с. 19.

94. Kuznetsov А.Р., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Chua L.O. Multi-parameter criticality in Chua's circuit at period-doubling transition to chaos. //Int. J. of Bif. and Chaos, 1996, v.6. №1, pp.119-148.

95. Kim S.-Y., Lim W. Bicritical scaling behavior in unidirectionally coupled oscillators. //Phys. Rev. E, 2001, v.63, p.036223.

96. Kim S.-Y., Lim W., Kim Y. Universal bicritical behavior of period doublings in unidirectionally coupled oscillators. //Progress of Theor. Phys., 2001, v.106,№1, pp. 17-37.

97. Kim S.-Y., Lee K. Period doubling in coupled parametrically forced pendulums. //Phys. Rev. E, v.54, №2, pp.1237-1251.

98. Kim Y. Bicritical behaviors observed in coupled diode resonators. //J. of the Korean Phys. Soc., 2004, v.44, №3, pp.506-509.

99. Кузнецов А. П., Тюрюкина JI. В. Синхронизация в системе с неустойчивым циклом, инициированная внешним сигналом. Письма в ЖТФ, 2003, том.29, №8, сс.52-55.

100. Gonchenko S. Homoclinic bifurcations and invariant tori. //The international conference "Syncronization of chaotic and stochastic oscillations SYNCHRO -2002". Book of abstracts. Saratov, 2002, p.26.

101. Gonchenko V.S., Kuznetsov Yu.A., Meijer H.G.E. Generalized Henon map and bifurcations of homoclinic tangencies. //Preprint 1296, Department of Mathematics, Utrecht University, 2004, pp. 24. http://www.math.uu.nl/publica-tions/preprints/1296.pdf

102. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус. //Математический сборник, 1970, т.81, №1, сс.92-103.

103. Thomson J.M., Stewart Н.В. Nonlinear dynamics and chaos. New York: Wiley and Sons, 1986.

104. Ding E.J. Analytic treatment of periodic orbit systematics for a nonlinear driven oscillator. //Phys. Rev., 1986, Vol.A34, № 4, p.3 547-3550.

105. Ding E.J. Analytic treatment of a driven oscillator with a limit cycle. //Phys. Rev., 1987, Vol.A35, № 6, p.2669-2683.

106. Keener J.P., Glass L. Global bifurcation of a periodically forced nonlinear oscillator. //J Math. Biology, 1984, № 21, p. 175-190.

107. Glass L., Sun J. Periodic forcing of a limit-cycle oscillator: Fixed points, Arnold tongues, and the global organization of bifurcations. Phys. Rev., 1994, Vol.50, № 6, p.5077-5084.

108. Ding E.J. Structure of parameter space for a prototype nonlinear oscillator. //Phys. Rev., 1987, Vol.A36, № 3, p. 1488-1491.

109. Parlitz U. Common dynamical features of periodically driven strictly dissi-pative oscillators. //Int. J. of Bif. and Chaos, 1993, v.3, p.7035.

110. Parlitz U. et al. Two-dimensional maps modeling periodically driven srrictlydissipative oscillator. //Int. ser. OfNumerical Math., 1991, v.97, p.283.

111. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин H.M. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2002, 292 с.

112. Каплан А.Е., Кравцов Ю.А., Рылов В.А. Параметрические генераторы и делители частоты. М.: Сов. радио, 1966, 334 с.

113. Андреев B.C. Теория нелинейных электрических цепей. М.: Радио и т связь, 1982, 280 с.

114. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1986.

115. Linsay P.S. Period doubling and chaotic behavior in a driven anharmonic oscillator. //Phys. Rev. Lett., 1981, v.47, №19, pp. 1349-1352.

116. Bronson S.D., Dewey D., Linsay P.S. Self-replicatings of a driven semiconductor oscillator. //Phys. Pev. A, 1984, v. 101, №8, pp.371-375.

117. Астахов B.B., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии. //Радиотехника и электроника, 1987, т.32, №12, сс.2558-2566.

118. Baxter J.H., Bocko M.F., Douglass D.H. Behavior of a nonlinear resonator driven at subharmonic frequences. //Phys. Rev. A, 1990, v.41, №2, pp.619-625.

119. Мацумото Т. Хаос в электронных схемах. //ТИИЭР, 1987, т.75, №8, сс.66-87.

120. Matsumoto Т., Chua L.O., Tanaka S. Simplest chaotic nonautonomous circuit. //Phys. Rev. A, 1984, v.30, pp.1155-1158.

121. Perez J. Mechanism for global features of chaos in a driven nonlinear oscillator. //Phys. Rev. A, 1985, v.32, №4, pp.2513-2516.

122. Yoon Т.Н., Song J.W., Shin S.Y., Ra J.W. One-dimensional map and its modification for periodic-chaotic sequence in a driven nonlinear oscillator. //Phys. Rev. A, v.30, №6, pp.3347-3350.

123. Hunt E.R., Rollins R.W. Exactly solvable model of a physical system exhibiting multidimensional chaotic behavior. //Phys. Rev. A, 1984, v.29, №2, pp. 10001002.

124. Su Z., Rollins R.W., Hunt E.R. Simulation and characterization of a strange attractors in driven diode resonator systems. //Phys. Rev. A, 1989, v.40, №5, pp.2698-2705.

125. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Модель диссипативного нелинейного осциллятора в виде одномерного отображения в тремя параметрами. //Письма в ЖТФ, 1994, т.20, №12, сс.78-82.

126. Bezruchko В.Р., Prokhorov M.D., Seleznev Е.Р. Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map. //Chaos, Solitons & Fractals, 1995, v.5, №11, pp.2095-2107.

127. Прохоров М.Д., Смирнов Д.А. Эмпирическая дискретная модель колебательного контура с диодом. //Радиотехника и электроника, 1996, т.41, №11, сс.1340-1343.

128. Безручко Б.П., Жалнин А.Ю., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Дискретные нелинейные модели периодически возбуждаемой RL-диод цепи. //Изв. ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 1997, т.5, №2, сс.48-62.

129. Прохоров М.Д. Дискретные многопараметрические модели нелинейных неавтономных систем. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Саратов, 1997.

130. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Особенности устройства пространства параметров двух связанных неавтономных неизохронных осцилляторов. //Письма в ЖТФ, 1996, т.22, №6, сс.61-66.

131. Carmichael Н., Snapp R., Schieve W. Oscillatory instabilities leading to optical turbulence» in a bistable ring cavity. Phys. Rev., 1982, Vol.26, p.3408.

132. Кузнецов А.П, Тюрюкина JI.B. Динамические системы разных классов как модели нелинейного осциллятора с импульсным воздействием. Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2000, т.8, №2, сс.31-42.

133. Балякин А.А. Исследование хаотической динамики кольцевого нелинейного резонатора при двухчастотном внешнем воздействии. //Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2003, т.11, №4-5, сс.3-13.

134. Carr Y., Eilbech Y.C. One-dimensional approximations for a quadratic Ikeda map. //Phys. Lett., 1984, V.104A, p.592.

135. T. Matsumoto, L.O. Chua, M. Komuro. The double scroll. // IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1985, v. CAS-32, №8, pp. 797-818.

136. Matsumoto T. A chaotic attractor from Chua's circuit. / IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1984, v. CAS-31, №12, pp. 1055-1058.

137. Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family. //IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1986, v. CAS-33, №11, pp. 1073-1118.

138. Matsumoto Т., Chua L.O., Komuro M. The double scroll bifurcations. // Int. J. of Circuit Theory Appl., 1986, v. 14, №4, pp.117-146.

139. Matsumoto Т., Chua L.O., Ayaki K. Reality of chaos in the double scroll circuit: a computer-assisted proof. // IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1988, v. CAS-35, №7, pp.909-925.

140. Komuro M., Tokunaga R., Matsumoto Т., Hotta A. Global bifurcation analysis of the double scroll circuit. //Int. J. of Bif. and Chaos, 1991, v.l, №1, pp.139-182.

141. Kahlert C. Heteroclinic orbits and scaled similar structures in the parameter space of the Chua oscillator. In Chaotic Hierarchy. Singapure, World Scientific, 1991, pp. 209-234.

142. Lozi R., Ushiki S. Confinors and bounded-time patterns in Chua's circuit and the double scroll family. //Int. J. of Bif. and Chaos, 1991, v.l, №1, pp.119-138.

143. Chua L.O., Lin G.-N. Canonical realization of Chua's circuit family. // IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1990, v.37, №7, pp.885-902.

144. Genot M. Application of ID Chua's map from Chua's circuit: A pictorial guide. //J. of Circuits, Systems and Computers, 1993, v.3, №2, pp.375-409.

145. Deregel P. Chua's oscillator: a zoo of attractors. // Electronic Research Laboratory, College of Engineering University of California, Berkeley. Memorandum №UCB/ERL M92/131, 1992.

146. Chua L.O., Huynh L.T. Bifurcation analysis of Chua's circuit. // Electronic Research Laboratory, College of Engineering University of California, Berkeley. Memorandum №UCB/ERL M92/96, 1992.

147. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Chua L.O. Self-similarity and universality in Chua's circuit via the approximate Chua's ID map. //Journal on Circuits, Systems and Computers, 1993, v.3, №2, pp.431-440.

148. Kennedy M.P. Experimental chaos via Chua's circuit. // Electronic Research Laboratory, College of Engineering University of California, Berkeley. Memorandum №UCB/ERL M91/95, 1991.

149. Kennedy M.P. Robust OP Amp realization of Chua's circuit. //Frequenz, 1992, v.46, №3-4, pp.66-80.

150. Chua L.O. A zoo of strange attractors from the canonical Chua's circuits. // Electronic Research Laboratory, College of Engineering University of California, Berkeley. Memorandum №UCB/ERL M92/87, 1992.

151. Zhong G.-Q. Implementation of Chua's circuit with a cubic nonlinearity. // IEEE Transactions on Circuits and Systems -1: Fundamental Theory and Applications, 1994, v.41, №12, pp. 934-941.

152. Zhong G.-Q., Ayrom F. Experimental confirmation of chaos from Chua's circuit. //Int. J. Circuit Theory Appl., 1985, v.13, №11, pp.93-98.

153. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Chua L.O. Two-parameter study of transition to chaos in Chua's circuit: renormalization group, universality and scaling. // Int. J. of Bif. and Chaos, 1993, v.3, №4, pp.943-062.

154. Kapitaniak T., Chua L.O., Zhong G.-Q. Experimental hyperchaos in coupled Chua's circuits. // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 1994, v.41, №7, pp. 499-503.

155. Nekorkin V.I., Chua L.O. Spatial disorder and wave fronts in a chain of coupled Chua's circuits. // Int. J. of Bif. and Chaos, 1993, v.3 №4, pp.1281-1291.

156. Chua L.O., Itoh M., Kocarev L., Eckert K. Chaos synchronization in Chua's circuit. // Electronic Research Laboratory, College of Engineering University of California, Berkeley. Memorandum №UCB/ERL M92/111, 1992.

157. Belykh V.N., Verichev N.N., Kocarev L.J., Chua L.O. On chaotic synchronization in a linear array of Chua's circuits. //Int. J. of Circuits, Systems and Computers, 1993, v.3, №2, pp.579-589.

158. Henon M. On the numerical computation of Poincare maps. // Physica, 1982, v.D5, №2-3, pp.412-414.

159. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

160. Кузнецов А.П., Савин А.В. О проблеме границы хаоса и типичных структурах на плоскости параметров неавтономных дискретных отображений с удвоениями периода. //Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2000, т.8, №4, сс.25-36.

161. Kuznetsov А.Р., Savin A.V. About the typical structures and chaos border in the parameter plane of non-autonomous discrete maps with period-doubling. //Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2002, v.5, №3, pp.296-301.

162. Kuznetsov A.P., Turukina L.V., Savin A.V., Sataev I.R., Sedova J.V., Milo-vanov S.V. Multi parameter picture of transition to chaos. // Izvestija VUZ: Applied Nonlinear Dynamics, 2002, v. 10, № 3, pp. 80-96.

163. Кузнецов А.П., Савин А.В. Об одном типе перехода порядок-хаос в связанных отображениях с удвоениями периода. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2003, т.11, №6, сс. 16-31.

164. Kuznetsov А.Р., Savin A.V., Kim S.-Y. On the Criticality of the FQ-Type in the System of Coupled Maps with Period-Doubling. // Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2004, v.7, №1, pp.69-77.

165. Кузнецов А.П., Савин A.B. Сложные колебательные режимы, индуцированные сигналами с иерархической организацией. // Труды VII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах». Москва,2000 г., Т.1, сс.25-26.

166. Савин A.B. Метаморфозы ляпуновских карт в системах с внешним воздействием. // Нелинейные дни в Саратове для молодых-2001. Сборник материалов научной школы конференции. Саратов, изд-во ГосУНЦ «Колледж»,2001 г., сс.31-34.

167. Савин A.B. Критическая динамика систем связанных отображений с удвоениями периода. // Нелинейные дни в Саратове для молодых-2002. Сборник материалов научной школы конференции. Саратов, изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002 г., сс.70-73

168. Савин A.B. Комплекс компьютерных программ для исследования динамических систем с дискретным временем. // Новые информационные технологии. Сборник тезисов докладов XI международной студенческой школы-семинара. Москва, МГИЭМ, 2003, т.1, сс.273-274.

169. Савин A.B. Критическое поведение типа FQ в системах связанных отображений с удвоениями периода. //Нелинейные дни в Саратове для молодых 2003. Материалы научной школы-конференции. Саратов, изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2003, сс. 163-166.

170. Савин A.B. Сложная динамика диссипативно связанных неавтономных осцилляторов. //Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2004. Материалы научной школы-конференции. Саратов, изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004, сс.98-101.1. БЛАГОДАРНОСТИ