Влияние симметрии на сложную динамику нелинейных колебательных систем (осциллятор Дуффинга, автогенераторы с запаздывающей обратной связью, консервативный параметрически возбуждаемый осциллятор) тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

РГ.й ин

2 7 С с 11 ^

САРАТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

На правах рукописи

АФАНАСЬЕВА Вера Владимировна

ВЛИЯНИЕ СИММЕТРИИ

НА СЛОЖНУЮ ДИНАМИКУ

НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

(осциллятор Дуффннга, автогенераторы с запаздывающей обратной связью, консервативный параметрически возбуждаемый осциллятор)

01.04.03.— радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов —1993 г.

■ Работа выполнена на кафедре электроники и волновых процессов Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского

Научный руководитель: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Д.К.Трубецков

Официальные оппоненты: заведующий кафедрой математики

Ведущая организация: Институт Радиотехники и Электроники РАН,

Защита диссертации состоится 1993г.в /5часов на заседании

Специализированного Совета Д.063.74.01.по специальности 01.04.03. в Саратовском государственном университете: 4106С0,г.Сэратов, ул.Астраханская 83.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке СГУ

Автореферат разослан 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета, кандидат физико-математическш

Нижегородского Института Инженеров Водного Транспорта,доктор физико-математических наук,профессор Белых Владимир Николаевич; старший научный сотрудник НИИ Механики и Физики СГУ,кандидат физико-математических наук Соколов Дмитрий Валериевич

г.Москва

наук,доцент

ОБЩАЯ ■ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работа. Исследования хаотической динамики радиофизических и электронных систем, столь популярные в последние годы, включают как поисю новых явлений и закономерностей, имеющих общенаучное значение, так и изучение сложного поведения клнкретных систем с прикладными целями. Многие прикладные задачи физики плазмы, физики твердого тела,вакуумной электроники требуют изучения хаотической динамики электронов в электромагнитном поле Другим важным направлением исследования детерминированного хаоса является разработка и конструирование автогенераторов шума на основе различных радиофизических и электронных систем. Генераторы

хаотических колебаний обычно предназначаются для создания хаотических сигналов с заданными спектральными и статистическими характеристиками, необходимыми для решения прикладных задач.Ванным с этой точки зрения представляется изучение бифуркационных переходов.приводящих к установлению в рассматриваемых системах хаотических.колебаний требуемого вида. Бифуркационные перехода, обеспечивающие появление хаотических сигналов с заданными характеристиками, наблюдаются, в определенных классах систем, объединенных общими свойствами. С этой точки зрения разумно изучать поведение целых классов систем и влияние их свойств на хаотическую динамику. По-видимому, одним из свойств, предопределяющих характер хаотизацвд движения и особенности хаотических режимов, является симметрия системы.

Общеизвестны глубокие следствия и результаты применения идей теории симметрии в квантовой механике и физике элементарных частиц (Г.Ввйль.Е.Бигнер). По-видимому,но менее ■ важную роль играет симметрия и в классической механике. Симметрия нелинейных колоба тельных систем приводит к тому, что в случае больших амплитуд колебаний симметричные предельные циклы (ПЦ), существующие в их фазовом пространстве (ФП), разрушаются,роздан пару антисимметричных ПЦ. Это явление получило название бифуркации разрушения симметрии (5«ШД1евепГ1е1<!,1983). После бифуркации разрушения симметрии, в ФП существуют пары практически одинаковых решений одной, ц той же частоты и амплитуды, различающихся только некоторым фазовым сдвигом и начальными условиями. Бассейн притяжения симметричного ПЦ сложным образом делится на два одинаковых по размерам бассейна

притяжения асимметричных циклов, граница которых при некоторых условиях становятся фрактальными(Moon,1984). Симметричные нелинейные системы.таким образом, оказываются вырожденными по состояниям. Такое вырождение приводит к тому,что с точки зрения формальной теории бифуркаций симметричные системы не являются системами общего положения (Аркольд,1978), и все общие закономерности, полученные в теории бифуркаций, в симметричных системах при определенных условиях могут нарушаться. Динамика симметричных систем поэтому должна изучаться особо. Значительная часть исследовавшихся в последние годы диссипативных динамических систем с хаотическим поведением обладает той или иной формой симметрии. Так,известная система Лоренца инвариантна относительно замены знака двух координат (Lorenz,I963), неавтономный осциллятор Дуффинга симметричен относительно замены знака координаты и скорости и сдвига фазы внешней силы на полпериода(Holmes,1979; Ueda,I979), параметрически возбуждаемый осциллятор симметричен относительно замены знака координаты и скорости (Афраймович Рабинович, Угодников, 1983), Инвариантностью относительно знака координат обладают некоторые модели развития турбулентности (Гапонов-Грехов, Рабинович .Старобинец ,1984;Franceschini,1984). Симметрией обладают некоторые отображения (Kaprai, 1984, Анищенко и др.,1993), связанные отображения (Анищенко,Сафонова,1987), системы связанных генераторов (Анищенко и др.,1985) и т.д. Однако, подробные и целенаправленные исследования влияния симметрии на характер хаотизации динамики симметричных систем отсутствуют.^ сих пор не существует даже единого мнения о том, .способствует ли симметрия хаотизации движения или препятствует ей. Одни исследователи считают, что поскольку в симметричных системах последовательности бифуркаций,типичные для несимметричных систем могут не развиваться, хаотизация движения этих систем затруднена,а введение асимметрии облегчает хаотизацию(Дмитриев и др.,1989).Другие, напротив, считают, что симметрия способствует хаотиз&ции (Cocog-па, РагоГГ,1989). Практически ничего не известно о симметрии систем с запаздыванием, описывающих многие радиофизические автогенераторы стохастических колебаний,а том более, о влиянии симметрии на их динамику. Очень мало исследовалось влияние симметрии на динамику симметричных параметрически возбуждаемых осцилляторов. Представляется интересным ответить на следующие •вопросы:

- взаимодействуют ли при хаотизации динамики симметричных систем существующие в них парные асимметричные движении,"замечают" ли они последовательные усложнения парных себе движений шшпереходят к хаосу независимо; взаимодействуют ли парные антисимметричные аттракторы;

- наблюдаются ли в симметричных системах те ке переходы к хаосу, что и в несимметричных, или появляются новые переходы нетипичные для несимметричных систем;

- существуют ли некоторые общие закономерности,наблюдаемые при хаотизации динамики симметричных систем различной природы и дажо разных классов,например, нелинейных, неавтономных осцилляторов и автоколебательных систем с запаздыванием.

Б связи с изложенным выше задача об исследовании влияния симметрии на переходы к хаосу в симметричных радиофизических и электронных системах и на .спектральные и статистические характеристики таких систем представляется актуальной.

Целью настоящей работы является изучение характера хаотизации колебаний в некоторых классах нелинейных колебательных систем, в частости, в симметричном осцилляторе Дуффинга,симметричном параметрически возбуждаемом нелинейном осцилляторе,симметричных автогенераторах с запаздыванием; установление общих закономерностей хаотизации динамики симметричных систем; исследование влияния симметрии систем с хаотической динамикой на характеристики развитых хаотических режимов.

Для реализации поставленной цели в диссертации

1.исследовано влияние симметрии на сложную .щшамику нелинейных осцилляторов;

2.доказано, что системы с запаздыванием обладают симметрией определенного вида ; выяснены вытекающие отсюда особенности их динамики.

3.с помощью вычислительного эксперимента исследовано влияние симметрии на динамику некоторых электронных системе запаздывающей обратной связью (ЗОС), полученные результаты сравниваются с теоретически предсказанными.

4.изучены общие закономерности динамики симметричных систем с постоянной отрицательной дивергенцией и возможности использования особенностей их хаотизации на практике.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем.

1.Впервые в широкой области параметров проведено подробное численное исследование сложной,в том числе и хаотической, динамики симметричного осциллятора Дуффипга с отрицательной линейной жесткостью. На плоскости параметров "амплитуда внешнего воздействия -диссипация" построена бифуркационная диаграмма .показывающая, как соотносятся различные переходы к хаосу.

2.Показано,что помимо ранее наблюдавшихся жесткого перехода к хаосу, каскада бифуркаций удвоения периода и перехода через перемежаемость I типа,типичных для несимметричных систем, в симметричном осцилляторе Дуффинга с отрицательной линейной жесткостью наблюдаются переход к хаосу через неполный каскад бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу через перемежаемость III типа; последние переходы обусловлены симметрией системы.

3.В численных экспериментах обнаружен ранее неизвестный тип бифуркации:слияние пары антисимметричных предельных циклов с мета-стабильным хаотическим множеством,приводящее к рождению симметричного странного аттрактора (СА).

4.Обнаружено,что слияние пары асимметричных СА в закритичес-кей области параметров,приводящее к образованию симметричного СА, обусловлено их взаимодействием с метастабильным хаотическим множеством.

Б.Механизм обрывания каскада бифуркаций удвоения периода и слияния несимметричных СА фэйгенбаумовского типа в ециный симметричный СА качественно объяснен как результат гомоклинического пересечения многообразий симметричного седлового предельного цикла (Щ) .появляющегося после бифуркации разрушения симметрии.

6.Показано,что автоколебательные системы с запаздыванием, описываемые уравнениями

X(t) + - X(t) = F[X(t-r)],

X(t) + a X(t) + ft x(t) = Ftx(t-i-)], где т - время запаздывания,a,r? - константы,Г(х) - нелинейная функция, симметричны относительно преобразований ix(t.),x(t-T),t} => Ч xQ- x(t), xQ-x(t-r), t+r > в тех случаях,когда F(x) является нечетной. Это приводит к тому,что в фазовом пространстве таких систем существуют либо аттракторы,симметричные относительно собст-■венного центра с координатами (х0/2,х0/2),либо пары аттракторов, симметричных относительно общего центра с теми же координатами.

7.Показано, что каскаду бифуркаций удвоения периода в симметричных автоколебательных системах с запаздыванием предшествует бифуркация разрушения симметрии.

8.Обнаружено обрывание каскада бифуркаций удвоения периода в симметричных системах с запаздыванием,которому предшествует появление в фазовом пространстве метастабильного хзотического множества.

9.Построена приближенная нестационарная модель двухрезонатор-ного клистронного автогенератора с запаздывающей обратной связью, а также двухрезонаторного гироклистроннсго автогенератора с запаздывающей обратной связью (50С).

10.Предложены различные схемы таких генераторов (двухлучевой клистрон,клистрон с кольцевым потоком, связанные клистроны); получены уравнения, описывающие их динамику.

11.Проведено численное моделирование динамики двухрезонаторного клистронного автогенератора на плоскости параметров "глубина обратной связи - параметр потерь",найдены зоны регулярной и хаотической динамики,области одномодового и многомодового хаоса.Исследована зависимость рехима генерации от времени запаздывания¡показано, что увеличение времени запаздывания облегчает хаотизацию режимов .

12.Исследованы энергетические и спектральные характеристики кли с тро нных автогенераторов с ЗОС в различных режимах работы.

13. Проведено численное моделирование динамики связанных, автогенераторов на основе двухрезонаторных клистронов ' с ЗОС дриразличшх значениях параметров резонаторов, коэффициентов обратной связи,времен запаздывания .

14. Показано,что при двунаправленной связи между резонаторами хаотизация колебаний н связанных автогенераторах облегчается, эсли коэффициенты связи отрицательны и затрудняется, если они положительны, в последнем случае возможен срыв генерации.

15.Показано,что в системе "электронный поток - периодическое магнитное поле" сущестзуют пространственные хаотические колебания границы электронного потока. Найдены области хаотических колебаний на плоскости параметров "параметр фокусировки - параметр пространственного заряда". Показено, что хаотизация колебаний облегчается при отклонении начального радиуса пучка от равновесного.

16.На основе критерия перекрытия резонансов получено необхо-

- о -.

•димое условие существования хаотических колебаний в системе"элек-тронный поток - периодическое магнитное полеп.Показано,что хаотизация колебаний рассматриваемого нелинейного осциллятора обусловлена перокрытием нелинейных и параметрических резонансов различных порядков.

17.0бнарукен эффект подавления параметрического резонанса разрушающимся нелинейным резонансом,что приводит н подавлению параметрической неустойчивости .стабилизации пучка и расширению области устойчивой фокусировки.

18.Показано,что при движении электронного потока в квазипериодическом магнитном поле область хаотических колебаний сущест-венно расширяется по сравнению со случаем периодической фокусировки, а сами стохастические колебания носят более развитый характер, о чем свидетельствует вид спектров и фазовых портретов стохастических процессов.

19.Методом Мельникова получено условие стохастиззции колебаний нелинейного осциллятора,описывающего динамику устройства для электрохимической резки. Предложено устройство электрохимической резки, повышение производительности которого достигается за счет использования режима стохастических колебаний (A-C.No 1520755 от 8.07.1989г. с приоритетом от 17.10.1987г.).

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1.Выявленные закономерности хаотизации симметричных автоколебательных систем различной природы можно рекомендовать для создания широкого класса автогенераторов шума с заданными спектральными и статистическими свойствами.

2.Автогенераторы на основе двухрезонаторного клистрона (гиро-клистрона) с ЗОС могут использоваться в качестве источников шумового сигнала с достаточно равномерным спектром.

3.Явление подавления параметрического резонанса • при стохастизации движения электронного потока в периодическом (квазипериодическом )магнитном поле, обнаруженное в работе, может быть использовано для улучшения фокусировки интенсивных электронных потоков в линейных ускорителях и электронных приборах с протяженным взаимодействием.

4.Предложенное устройство электрохимической резки, обладающее большей производительностью и повышенным качеством обработки за счет применения режима хаотических колебаний инструмента используется в технологическом процессе размерной обработки деталей

магнитных фокусирующих систем из твердых материалов.

Достоверность полученных результатов подтверждается : согласием аналитических и численных результатов; согласием результатов,полученных при использовании всей совокупности средств диагностики хаотических режимов: реализаций,фазовых портретов, сечений Пуанкаре,спектров,показателей Ляпунова, размерностей; воспроизводимостью результатов численных

экспериментов; сопоставлением ряда полученных результатов с известными из литературы данными.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1.B симметричном осцилляторе Дуффинга с отрицательной линейной жесткостью наряду с известными переходами к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода,через перемежаемость I типа и "жестким" переходом наблюдаются переходы к хаосу,обусловленные симметрией системы,а именно:через неполный каскад бифуркаций удвоения периода .завершающийся рождением CA, и через перемежаемость III типа.

2. Автоколебательные системы с запаздыванием, описываемые уравнениями типа

х( t) + о. X(t) = FEx(t-r)],

X(t) + a x(t) + ft X(t) = P[x(t-r)], где с и ft - константы, т - время запаздывания, Р(х) - нелинейная функция, инвариантны относительно преобразования {x(t),x(t-r),t} =»

т 2т

ixQ- x(t),xQ- x(t-r),t+r},rfle xQ= ± j x(t)dt, в тех случаях, когда

О

функция F(x) является нечетной. Симметрия этих систем относительно указанного преобразования приводит к тому,что ПЦ,существующие в их фазовом пространстве,либо симметричны относительно собственных центров (xq/2 »xq/2), либо несимметричны, но образуют пару,симметричную относительно общего центра с теми же координатами. Бифуркации удвоения периода в симметричных автоколебательных системах с запаздыванием обязательно

предшествует бифуркация разрушения симметрии.

3. В симметричных системах с постоянной отрицательной дивергенцией ,в частности, в симметричных неавтономных осцилляторах Дуффинга и симметричных автоколебательных системах с запаздыванием несимметричные парные аттракторы,возникшие в результате бифуркации разрушения симметрии,взаимодействуют друг с другом и с метастабиль-ным хаотическим множеством,в результате чего в фазовом пространст-

ву ровдаютсй симметричные СА нефейгенбаумовского типа.Рождение таких. СА происходит либо после слияния пары несимметричных ПЦ с метастабильным хаотическим множеством (при этом каскад бифуркаций удвоения обрывается), либо после слияния с .метастабильным хаотическим множеством пары несимметричных фейгенбаумовских СА. Возникшие в обоих случаям симметричные нефейгенбаумовские СА отличаются от фейгенбаумовских СА более сложной топологией,большей корреляционной размерностью,более равномерным спектром.

4.В симметричной динамической системе,описывающей автоколебания двухрезонаторного клистрона (гироклистрона) с ЗОС, наблюдаются одномодовые и многомодовае хаотические колебания. Переход к хаосу в одномодовом случае происходит через неполный каскад бифуркаций удвоания периода,обрывающийся после 1-2 бифуркаций,чему предшествует появление в фазовом пространстве метастабильНого хаотического множества.

5. В системе "электронный поток - периодическое (квазипериодическое) фокусирующее магнитное поле" наблюдаются пространственные хаотические колебания,возникающие в результате разрушения нелинейных и параметрических резонансов различных порядков.Хаотиза-ция колебаний облегчается с .ростом параметра фокусировки и с ростом отклонения радиуса ветрела от бриллюэновского радиуса.Разрушение нелинейного резонанса и возникающая при этом стохастизация колебаний приводит к подавлению параметрической неустойчивости и ста -билизации фокусировки пучка.

Апробация работы, публикации и внедрения. Результаты , изложенные в диссертационной работе докладывались на I и II Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям (г.Горький-1987,1990 гг.); на III Школе "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" (г.Саратов - 1991г.); на X Зимней Школе-Семинаре инженеров (г.Саратов - 1993г.);на научных семинарах кафедры электроники и волновых процессов Саратовского государственного университета. По материалам диссертации опубликовано 10 работ (4 статьи и 6 тезисов докладов).получено I авторское свидетельство Материалы диссертации использованы при выполнении х./д. НИР "Трал" В работе [81, выполненной в соавторстве, автором аналитически получен критерий перекрытия резонансов, обнаружено явление подавления параметрического резонанса за счет стохастизации движения в области разрушения нелинейного резонанса порядка 1:2. В работах [9,101, автором методом Мельникова получено условие

хаотизации движения нелинейного осциллятора, описывающего колебания подвижной части устройства электрохимической резки.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка цитированной литерал-туры. Диссертация содержит 163 страницы текста, 57 рисунков, 2 таблицы и список цитированной литературы из 163 наименований. Общий объем диссертации 225 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Первая глава посвящена изложению результатов исследования динамики осциллятора Дуффинга с отрицательной линейной жесткостью,описываемого уравнением .. . 3

x(t) + Kx(t) - x(t)+ x(t)= Bcos ut, (1)

где k - коэффициент диссипации, В,"-амплитуда и частота внешнего воздействия соответственно. На основе обзора литературы по исследованию динамики осцилляторов Дуффакга с различными нелинейностями выяснены основные особенности их динамики и отмечено недостаточное число работ,посвященных изучению влияния симметрии их потенциальной функции на хаотизацию колебаний.

При помощи комплекса методов исследования различных режимов динамических систем(вычисление реализаиий.построэние фазовых портретов (хД) и сечений Пуанкаре .расчет спектров, ляпуновских показателей,размерностей, нахождение периодических решений,вычисление их мультипликаторов в зависимости от, параметров) на плоскости параметроз "амплитуда внешнего воздействия-диссипация" построены бифуркационные диаграммы. ■

Выяснено,что помимо ранее наблюдавшихся в осцилляторах жесткого перехода к хаосу,каскада бифуркаций удвоения периода и перехода к хаосу чер&з перемежаемость I типа, наблюдаются переходы к хаосу, обусловленные симметрией системы : через неполный каскад бифуркаций удвоения периода и через перемежаемооть III типа.Изменение типичных переходов к хаосу связано со взаимодействием парных асимметричных ПЦ,возникших в осцилляторе (I) после бифуркации разрушения симметрии.Результатом этого взаимодействия является рождение симметричных CA в фезовом пространстве рассматриваемой системы.Обрыванию каскада бифуркаций удвоения периода предшествует появление в $П метастабильного хаотического множества.Вместо очередного удвоения пара асимметричных ПЦ сливается о этим множеством,в результате чего рождается

симметричный СА,отличающийся от фейгенбаумовского топологией и спектральными характеристиками.Реализация такого хаотического процесса содержит участки трех различных видов:двух асимметричных,соответствующих движениям по седловым асимметричным ПЦ, и симметричных,соответствующих движению по хаотическому множеству. Обрывание каскада бифуркаций удвоения периода может происходить после любого числа удвоений в зависимости от того, при каком значении управляющего параметра появляется метастабильное хаотическое множество.В случав',когда каскад бифуркаций удвоения периода развивается полностью,взаимодействовать начинают асимметричные фей-генбаумовские СА,сливаясь с метастабильным хаотическим множеством в момент рождения последнего и образуя симметричный СА нефейгенба-умовского типа.Механизм обрывания каскада бифуркаций удвоения периода и слияния пары несимметричных СА в единый симметричный СА качественно объяснен как результат гомоклинического пересечения многообразий симметричного Щ,ставшего седловым после бифуркации разрушения симметрии.

В области бифуркационной диаграммы.топологически эквивалентной сгоавгоай, в результате субкритической бифуркации удвоения реализуется переход к хаосу через перемежаемость III типа.При этом одновременно теряют устойчивость сразу два асимметричных ПЦ,и реализация содержит ламинарные фазы двух различных видов.Отображение последовательных максимумов реализации одномерно и имеет точку перегиба, наклон касательной к которой равен -I. Ляпуновский характеристический показатель растет в закритической области параметра как В-Вс ) где Вс-критическое значение параметра.

Результаты исследования динамики симметричного осциллятора Дуффинга использованы при разработке устройства электрохимической резки деталей из высокопрочных материалов.Предложено устройство, в котором за счет хаотизации колебаний подвижной части инструмента турбулизируется движение рабочей среды,в результате чего производительность повышается на 15-22%.

Вторая глава посвящена изложению результатов изучения влияния симметрии на динамику автоколебательных систем с запаздыванием. Показано,что автоколебательные системы с запаздыванием.описываемые уравнениями

Х(г) + а Х^) = т Р[1(г-г)]

хЬ) + а Х(г) + о хт = т РСх^-г)]

(2) (3)

»

- тз -

симметричны относительно преобразования S:(x(t),x(t- т ),t)

2т

(xd-x(t),x0-x(t+ т ),t+т ),где xQ= x(t)dt,B тех случаях,когда

о

F(i) является нечетной.Это приводит к тому,что в i-П таких систем существуют либо аттракторы, симметричные относительно собственного центра с координатами(xQ/2, xQ/2),jiii6o пары аттракторов,симметричных относительно общего центра с теми же координатами.Построенное для симметричного ПЦ отображение точки на цикле через период колебаний является квадратом другого отображения. Этот факт служит причиной того,что симметричные ПЦ систем (2),(3) не могут удваиваться,и бифуркации удвоения обязательно предшествует бифуркация разрушения симметрии.

С помощью численного моделирования динамики простейшей симметричной системы с запаздыванием,описываемой уравнением(2) с F(x)=sln tx(t-r)] показано,что в ФП рассматриваемой системы существуют симметричные относительно собственного центра ПЦ,а бифуркации удвоения этих циклов предшествует бифуркация разрушения симметрии. Увеличение управляющего параметра приводит к тому,что каскад бифуркаций удвоения несимметричных ПЦ,возникших в ФП после бифуркации разрушения симметрии, обрывается после одного-двух удвоений или не развивается вообще. Обрыванию каскада бифуркаций удвоения предшествует появление в ФП метастабильного хаотического множества, размеры которого растут с ростом параметра. После появления метастабильного хаотического множества бифуркаций удвоения не наблюдается. Пара асимметричных ПЦ одновременно мягко тэрянт устойчивость и сливается с метастабильным хаотическим множеством,в результате чего ровдается симметричный СД.Реализация процесса содержит участки трех различных видов,два из которых соответствуют движениям по ставшим седловыми асимметричным ПЦ. Корреляционная размерность симметричного СА лежит в пределах 1,7-1,85. Такой переход к хаосу аналогичен наблюдаемому в симметричном осцилляторе Дуффинга: ПЦ,возникшие после бифуркации разрушения симметрии взаимодействуют друг с другом и с метастабильным хаотическим множеством,в результате чего каскад бифуркаций удвоения обрывается, а возникающий СА является симметричным.

В третьей главе изложены результаты исследования хаотической динамики некоторых симметричных электронных СВЧ генераторов:двухрезонаторного клистронного генератора с

• запаздывающей обратной связью(ЗОС).двухрезонаторного гирокпистрона с SOC,симметрично связанных клистронов с 30G.B первых разделах построена приближенная нелинейная нестационарная теория двухрезонаторного клистрона(гироклистрона) с ЗОС. Показано,что динамика таких' систем в простейшем случае описывается симметричным уравнением с запаздывающим аргументом вида

z(t) + о. х (t) - m JjtxCt-r)], (4)

где х(t)-нормированная амплитуда переменного напряжения на зазоре выходного резонатора,« -параметр потерь,m-параметр обратной связи, Jj(х)-функция Бесселя.

Показано,что в двухрезонаторном клистроне (гироклистроне) с ЗОС,описываемых уравнением (4), в широкой области параметров <*, m, г .существуют хаотические автоколебания.Переход к хаосу происходит по следующему сценарию. При некотором значении параметра m в ФП системы (Л) существует симметричный относительно своего- центра ПЦ g. С ростом m он претерпевает бифуркацию разрушения симметрии,в результате чего в Cil появляется пара асимметричных ПЦ,э сам цикл становится седловым. Дальнейшее увеличение m приводит к тому, что в 4П системы (4) возникает метастабильное хаотическое множество,после чего пара асимметричных ПЦ мягко теряют устойчивость. Удвоенна периода асимметричных ПЦ не наблюдаются, в ФП системы рождается симметричный СА.отличакщийся от фейгенбаумовского спектральными характеристиками. Есж метастабильное хаотическое множество появляется после первой бифуркации удвоения, то рождение симметричного СА происходит после мягкой потери устойчивости парой циклов удвоенного периода. Более одной-двух бифуркаций удвоения и рождения асимметричного фейгенбаумовского СА в системе (4) не наблюдается. С ростом параметра обратной связи m в ФП системы (4) последовательно появляются новые симметричные ПЦ Гв. Переходы к хаосу от циклов Гв аналогичны описанному выше: каздый раз в системе (4) рождается симметричный СА .Области существования различных симметричных СА построены на плоскости параметров( a.m ) для различных времен задержки.

При больших значениях параметра обратной связи ш симметричные СА связываются,образуя единое протяженное хаотическое множество большой размерности.Фазовая траектория блуждает по парциальным аттракторам, последовательно переходя с одного на другой или сивершая скачки.Спектр такого хаотического процесса имеет вид 1/Г.

В симметрично связанных клистронных генераторах с ЗОС в

• •

различных областях параметра потерь,параметра обратной связи,коэффициентов связи и времен задержки наблюдаются следующие переходы к хаосу:

-последовательность бифуркаций симметричных Щ, аналогичная наблюдаемой в парциальном генераторе «¡обусловленная симметрией системы;

-перемежаемость мевду хаотическими аттракторами и Щ разных периодов;

-хаотические перескоки между ПЦ различных периодов,обусловленные существованием в ФП системы метастабильнсго хаотического множества.

В конце главы обсуждены физические основы хаотизации автоколебаний рассмотренных СВЧ генераторов, сделаны некоторые оценки КПД и параметров для клистронов с БОС в режимах хаотической генерации. Показано,что КПД клистронного генератора достигает максимального значения в окрестности бифуркационных значений управляющего параметра. Показано, что КПД клистронного генератора в рэжимах хэотичэской генерации может достигать тех же значений, что и в режимах одночастотной генерации.

В четвертой главе изложены результаты теоретического и численного исследования хаотической динамики симметричного консервативного параметрически возбуждаемого осциллятора

г"+ 2«(1 + соей 2)Г - 2 + К = О, (5)

Г г-3

описывающего колебания границы электронного потока в периодическом магнитном фокусирующем поле.Здесь г-отклонеяие радиуса пучка от равновесного, а - параметр фокусировки, р - параметр пространственного заряда, ¿-параметр кзтодвдх условий.Показано,что в широкой области параметров « , /э ,к в рассматриваемой системе существуют пространственные хаотические колебания, а хаоткзация колебаний обусловлена перекрытием нелинейных и параметрических резонансов различных порядков. Получен критерий перекрытия резонансов, из которого следует,что хаотизация колэбаний облегчается с ростом параметра фокусировки и с увеличением отклонения начального радиуса от равновесного.

С помощью численного моделирования динамики осциллятора (5) на плоскости параметров ( а ,/? ) и для различных значений параметра к , оптимальных с то'ши зрения фокусировки, . построены карты возможных режимов. При увеличении а частота собственных колебаний растет, приближаясь к частоте параметрического воздействия. В случаях, когда отношение этих частот становится.

рациональным в ФП системы возникают резонаксы различных порядков.Эти резонансы 'разрушаются, колебания осциллятора хаотизируются. При этом в окрестности соответствующих значений a,ß на плоскости параметров возникают замкнутые области стохастич-ности, расположенные вдоль прямой а = f> .в первой области устойчивости осциллятора существуют области стохастичности, соответствующие разрушению сильных резонансов 1:5, 1:3, 2:5, 1:2, 2:3, 4:5,1:1.Хаотизация колебаний возникает как в результате образования в окрестности сепаратрис изолированных резонансов стохастических слоев,так и в результате перекрытия разных резонансов. В первом случае стохастичность слабая (шумовая компонента в спектре мала).

Обнаружен следующий важный эффект: параметрическая неустойчивость колебаний в первой области неустойчивости Матье осциллятора (5) подавляется за счет хаотизации движения в области разрушения нелинейного резонанса порядка 1:2. В этом случае в результате конкуренции двух явлений - параметрической неустойчивости и хаотизации - последняя побеждает и устанавливается хаотический режим. Это приводит к тому,что экспоненциальное нарастание амплитуды колебаний границы пучка и сильное токооседание,ожидаемое в этой области параметров не наблюдается,а движение пучка стабилизируется хаосом. По-видимому, этот эффект может найти практическое применение при фокусировке электронных пучков в линейных ускорителях и магнитных периодических фокусирующих системах электроных приборов.

Исследована зависимость режимов колебаний от начальных условий р(0),г(0). Их изменением найдены "островки устойчивости", соответствующие движениям внутри еще не разрушившихся резонансов различных порядков.Области стохастичности найдены также для II и III зон устойчивости осциллятора (5).Исследованы также хаотические режимы колебаний при двухчастотном параметрическом воздействии.В атом случае стохастизация колебаний возникает в результате разрушения двумерных инвариантных торов.наблюдаемый хаос более развитый.

В Приложении приведено описание динамики устройства для электрохимической резки, усовершенствованного устройства за счет применения режима хаотически^колебаний инструмента..

Б Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1.' Афанасьева В.В. Сложная динамика осциллятора Дуффинга // I Вссесоюзная конференция но нелинейным колебаниям механических систем : Доклады, ч.IГорький,1Э87.С.25-25.

2. Афанасьева В.В. Два типа перемежаемости в осцилляторе Дуффинга // I Всесоюзная конференция по нелинейным колебаниям механических систем : Доклады, чЛ,г.Горький,1987.С.26-29.

3. Афанасьева В.В. К вопросу о механизме возникновения бифуркации разрушения симметрии и удвоении периода в неавтономном осцил ля-горе Дуффинга // II Всесоюзная конференция по нелинейным колебаниям механических систем : Доклады, ч.1,г.Горький,1990.С.20-22

4. Афанасьева В.В. Влияние симметрии на хаотическую динамику автоколебательных систем с запаздыванием // III Всесоюзная конференция но нелинейным колебаниям механических систем : Доклады, Н.Новгород, 1993. (в печати).

Б.Афанасьева В.В..Трубецков Д.И. Динамический хаос в сверхвысокочастотных релятивистских электронных устройствах // Проблемы ■ физической электроники. Л.: Изд-во ФТИ АН СССР,1930.С.115 - 146.

6.Афанасьева В.В..Трубецков Д.И. Динамический хаос в электронных сверхвысокочастотных приборах.4.1.Вакуумные нерелятивистские приборы // Обзоры по электронной технике. Электроника СВЧ.М.:ЦНИИ "Электроника",1991.Вып.3 (1614).

7.Афанасьева Е.В..Трубецков Д.И. Динамический хаос в электронных сверхвысокочастотных приборах.4.2. Приборы релятивистсткой электроники.Ч.2 //Обзоры по электронной технике. Электроника СВЧ.М.:ЦНИИ "Электроника",1991.Вып.4 (1615).

8.Афанасьева В.В., Лазерсон А.Г., Чемичев Г.В.Пространственный хаос в системе электронный поток - периодическое магнитное поле // Лекции по электронике СВЧ (9-я зимняя Школа-семинар инженеров). Саратов. Изд-во СГУ,19Э2.С.П6-129.

9.Афанасьева В.В., Долгих A.M., Лазерсон А.Г. Исследование сложной динамики элементов сборного инструмента в процессах электроалмазной обработки // I Всесоюзная конференция по нелинейным колебаниям механических систем :Доклады,ч.2,Горький,IS87.С.69-70

10.А.С. N 1520755 Устройство для электрохимической резки. Приор.27Л10.87.СССР;Опубл.8„07.89./ Долгих A.M..Калмыков П.И., Афанасьева В.В, Лазерсон А.Г.// Бюл.изобретений.1989.

• «

11. Технический Отчет по НИР "Трал" (И ГР 01920014604),1992, Т.2.С.125-139

12. Афанасьева В.В. 00 особенностях хаотической динамики двух симметричных автоколебательных систем (неавтономный осциллятор Дуффинга и автогенератор с запаздывающей обратной связью)// Письма В ЖГФ.1993.Т.19,Н б.С.62-66.