Динамика неавтономных систем осцилляторного типа в случае слабой диссипации

Савин, Дмитрий Владимирович

Автореферат диссертации на тему "Динамика неавтономных систем осцилляторного типа в случае слабой диссипации"

На правах рукописи

Савин Дмитрий Владимирович

ДИНАМИКА НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ОСЦИЛЛЯТОРНОГО ТИПА В СЛУЧАЕ СЛАБОЙ ДИССИПАЦИИ

Специальность 01.04.03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

9 ИЮН 2011

Саратов 2011

4849517

Работа выполнена на базовой кафедре динамических систем Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кузнецов А.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Постнов Д.Э.

кандидат физико-математических наук,

доцент Купцов П.В.

Ведущая организация: Нижегородский Государственный Университет

им. Н.Г. Лобачевского

Защита состоится 29 июня 2011 года в 1500 на заседании диссертационного совета Д212.243.01 по специальности 01.04.03-"радиофизика" при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, III корпус, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке им. В.А. Артисевич Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан 23 мая 2011 г.

диссертационного совета

Ученый секретарь

Аникин В.М.

Актуальность работы

Как известно, в нелинейной динамике выделяют два класса динамических систем: консервативные и диссипативные. Для первых характерным является сохранение фазового объема в процессе временной эволюции, а для вторых -наличие притягивающих объектов (аттракторов), отвечающих за возможность существования различных установившихся колебательных режимов. Если система характеризуется некоторым параметром, ответственным за величину диссипации, то при его изменении происходит превращение диссипативной системы в консервативную. В таком контексте консервативные системы являются в определенной мере «негрубыми», так как малейшее отклонение параметра разрушает свойство сохранения фазового объёма и переводит систему в класс дис-сипативных. В силу этого, такой переход оказывается очень сложным и требует специального изучения. В определенной мере можно говорить о «почти» консервативных системах, выделяя их, в своего рода, особый, «промежуточный» класс, требующий самостоятельного изучения. В настоящее время проблема поведения таких систем изучена все еще мало, хотя важность её отмечена многими исследователями. В частности, имеется подход к их изучению, основывающийся на теории консервативных систем и рассматривающий диссипатив-ность, как некоторое возмущение, выводящее систему из класса гамильтоновых (см., например, монографию А.Д. Морозова1 и цитированную там литературу). Возможен альтернативный подход, основанный на методах теории диссипатив-ных систем с исследованием изменения их свойств при уменьшении уровня диссипации. При этом с точки зрения физики целесообразно исследовать примеры диссипативных систем, имеющих физическую мотивацию и, соответственно, ясный консервативный предел.

К настоящему моменту существует ряд работ, в которых обсуждается динамика систем с постоянным уровнем диссипации при его малых значениях на примере различных модельных отображений. Одним из важнейших специфических свойств почти консервативных систем является сосуществование при одних и тех же значениях параметров очень большого (сотни и тысячи) числа аттракторов. Так, одна из первых работ на эту тему носит характерное название: «Map with more than 100 coexisting low-period periodic attractors»2 - отображение с более чем 100 сосуществующими низко-периодическими аттракторами. Помимо этой, существует ряд других работ, посвящённых изучению слабодисси-пативной версии ротатора, находящегося под воздействием периодической последовательности импульсов3, а также отображения для двойного ротатора4 с акцентом на изучении свойств сосуществующих режимов. Также можно указать аналогичную работу, посвящённую исследованию модели ускорения Ферми5. В работе6 в контексте слабо диссипативных систем исследуется так назы-

1 Морозов А. Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах. Серия современная математика. М.Ижевск: РХД, 2005,424 с.

2 Feudel U. et al. //Phys. Rev. E, 1996, 54, № 1, pp. 71-81.

3 Колесов А.Ю., Розов H.X. //Теор. и мат. физика, 2006,146, № 3, сс. 447-466.; Martins L.C., Gallas J.A.C. //Int. J. Bif. and Chaos, 2008,18, № 6, pp. 1705-1717.

4 Feudel U. et al. //Chaos, Sollt. & Fract., 1998, 9, pp. 17MS0.

5 Tavares D.F., Leonel E.D. //Braz. J. Phys., 2008,38, № 1, pp. 58-61.

ваемое отображение Богданова, демонстрирующее дискретную версию известной бифуркации Богданова-Такенса. В контексте изучения мультистабильности в слабо диссипативных системах укажем на обзор U. Feudel7 и цитированную там в разделе, посвященном системам с малым уровнем диссипации, литературу, в частности, работы, посвященные изучению мультистабильности в системах механических осцилляторов8 и колебаниям в моделях висячих мостов9. Различными авторами обсуждалась проблема существования хаотических аттракторов в слабодиссипативных системах и закономерности эволюции бассейнов притяжения аттракторов при изменении уровня диссипации и приближении системы к консервативному пределу10. Кроме того, следует отметить ряд работ, в которых авторы для систем различной природы, от моделей ускорения Ферми до оптических, описывают поведение, сочетающее в себе черты как консервативной, так и диссипативной динамики".

В этом же контексте существенным является вопрос о сценариях перехода к хаосу, среди которых наиболее распространенным является переход через каскад бифуркаций удвоения периода. Такие переходы могут наблюдаться как в диссипативных системах (сценарий Фейгенбаума), так и в консервативных, однако их свойства во многом различны. В первом случае при увеличении управляющего параметра происходят последовательные удвоения периода аттрактора системы, накапливающиеся при изменении параметра к критической точке F. В консервативных системах наблюдаются удвоения эллиптических орбит, накапливающиеся к критической точке Н. При этом закон накопления бифуркационных точек к критической характеризуется своими константами скей-линга (самоподобия), соответственно 8р=4.6692016... и 8н=8. 7210972..,13. Известны примеры сосуществования этих двух типов поведения в пространстве параметров, относящиеся к случаю отображений с фиксированным якобианом, отвечающим за уровень диссипации14. Картина перехода от консервативного критического поведения к диссипативному оказывается сложной (проблема, известная в литературе, как conservative-dissipative crossover). С общей точки зрения введение любой, сколь угодно малой диссипации неизбежно приводит к появлению фейгенбаумовской критичности, начиная с определённого уровня удвоений14. Поэтому важным является вопрос о возможности существования критических точек Н-типа в реалистичных моделях диссипативных систем.

Весьма конструктивными в контексте исследования соотношения свойств консервативных и диссипативных систем представляются радиофизические за-

6 Сухаревский В.В. //Вестник МГУ. Сер. 3. Физика. Астрономия, 2006, № 2, сс. 7-9.

7 Feudel U. //Int. J. Bif. and Chaos, 2008,18, № 6, pp. 1607-1626.

8 Blazejczyk-Okolewska В., Kapitaniak T. //Chaos, Solit. & Fract., 1998, 9, pp. 1439-1443.

9 de Freitas A.S.T., Viana R.L., Grebogi C. //Int. J. Bif. and Chaos, 2004,14, № 3, pp. 927-950.

10 Feudel U., Grebogi C. //Chaos, 1997, 7, № 4, pp. 597-604.; Feudel U., Grebogi C. //Phys. Rev. Lett., 2003, 91, № 13,134102; Rech P., Beims M„ Gallas J. //Phys. Rev. E, 2005, 71, № 1,017202.

" Leonel E.D., McClintock P.V.E. //Phys. Rev. E, 2006, 73, № 6,066223; Lai Y.-C, Grebogi C. //Phys. Rev. E, 1996,

54, № 5, pp. 4667-4675; Polity A., Oppo G.L., Badii R. //Phys. Rev. A, 1986,33, № 6, pp. 4055^1060.

13 Feigenbaum M.I. HI. Stat. Phys., 1978,19, № 1, pp. 25-52; 1979, 21, № 6, pp. 669-706.

13 MacKay R.S. In book: Long time prediction in dynamics. NY: J. Wiley&Sons, 1983, pp. 127-134.

14 Reinout G., Quispel W. //Phys. Rev. A, 1985,31, № 6, pp. 3924-3928; Chen C., Gyorgyi G., Schmidt G. //Phys. Rev. A, 1986,34, № 3, pp. 2568-2570; Chen С., Gyorgyi G„ Schmidt G.//Phys. Rev. A, 1987, 35, № 6, pp. 2660-2668 и др.

дачи и подходы, использующие различные типы колебательных и автоколебательных систем в форме разнообразных осцилляторов. В этом плане можно сформулировать задачу построения системы радиофизических моделей, находящихся под внешним воздействием и имеющих соответствующий консервативный предел. В качестве простейшей исходной системы можно выбрать дис-сипативный осциллятор Дуффинга с кубической нелинейностью, находящийся под импульсным воздействием постоянной амплитуды. Для такой системы с помощью метода медленно меняющихся амплитуд можно получить приближённое дискретное отображение, представляющее собой известное и популярное в нелинейной динамике отображение Икеды15. Следующим шагом может служить переход к автоколебательным системам типа осциллятора Ван-дер-Поля, включая введение в уравнения системы нелинейности диссипации, а также зависимости амплитуды внешнего воздействия от значения динамической переменной. Такой путь может привести к новому отображению в виде автоколебательной системы с компенсируемой диссипацией, которая, как мы покажем, может служить удобным объектом для сопоставления диссипативно-го и консервативного типов перехода к хаосу через удвоения периода. Наконец, дальнейшим развитием может являться переход к исследованию связанных эталонных моделей нелинейной динамики при малых значениях диссипации. Цели и задачи исследования

Целью настоящей работы является выявление особенностей перехода от диссипативной к консервативной динамике в радиофизических системах ос-цилляторного типа.

В ходе выполнения работы решались следующие задачи:

• исследование изменений устройства пространства параметров и фазового пространства при приближении к консервативному пределу на примере отображения для осциллятора Дуффинга под импульсным воздействием (отображение Икеды);

• построение и исследование модели по типу осциллятора Ван-дер-Поля под импульсным воздействием с амплитудой, зависящей от значений динамической переменной, пригодной для изучения взаимосвязи диссипативной и консервативной картины критических явлений, связанных с переходом к хаосу через удвоения периода;

• исследование изменения устройства плоскостей управляющих параметров для систем связанных отображений Эно и стандартных отображений Тейлора-Чирикова при изменении диссипации и изучение возникающих при этом особенностей.

Методы исследования

В ходе выполнения работы был использован спектр различных аналитических и численных методов. Так, для построения дискретных отображений, применялось аналитическое решение дифференциальных уравнений методом медленно меняющихся амплитуд и метод «дискретизации». При численном ис-

151ке<1а К., Ошёо Н., АкипоЮ О. //РИуБ. Яеу. ЬеН., 1980,45, № 9, рр. 709-712; Кигпе|БОУ А.Р., Тигикта МоэекШе Е. НЫ. I. В1Е апс! Ошк, 2001,11, № 4, рр. 1065-1077.

следовании для получения информации об устройстве пространства параметров использовался метод построения карт динамических режимов и карт ляпунов-ских показателей, для анализа устройства плоскости параметров консервативных систем в работе предложен оригинальный метод построения «карт разбе-гания». Для анализа динамики системы в фазовом пространстве использовался метод построения фазовых портретов и портретов аттракторов. Для анализа изменений структуры фазового пространства при изменении одного из управляющих параметров использовались метод построения бифуркационных деревьев и множества бифуркационных деревьев на одной диаграмме, а также предложенный в работе метод построения модифицированных карт динамических режимов. Для численного анализа бифуркаций отображений использовалась программа Content16. Интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений проводилось с помощью метода Рунге-Кутта 4 порядка. Программирование осуществлялось на языках Delphi и Fortran, некоторые алгебраические преобразования выполнялись с помощью программы Mathematica.

Положения и результаты, выносимые на защиту

1. В отображении Икеды (двумерное отображение, являющееся моделью осциллятора Дуффинга под импульсным воздействием) при малом уровне диссипации наряду с «основным» аттрактором, существующим при всех значениях управляющего параметра, наблюдается сосуществование большого числа низкопериодических аттракторов с различными временами переходного процесса. В определённых интервалах значений управляющего параметра бассейн притяжения одного из «побочных» аттракторов может занимать большую часть фазового пространства, однако при увеличении параметра, отвечающего за удвоения периода, побочные аттракторы исчезают, и всё фазовое пространство занимает бассейн притяжения хаотического аттрактора, возникшего на базе «основного».

2. В приближенном дискретном отображении, описывающем автоколебательный осциллятор Ван-дер-Поля под импульсным воздействием с амплитудой, нелинейным образом зависящей от значения динамической переменной, критическое поведение гамильтоновского (характерного для перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в консервативных системах) типа наблюдается как феномен коразмерности два.

3. В системе связанных обратимых двумерных отображений при уменьшении диссипации происходят существенные изменения устройства плоскости параметров, управляющих удвоениями периода в подсистемах. В частности, возникают разрывы линии перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода (фейгенбаумовской линии) с возникновением на концах разрывов критических точек различных типов (точек гамильтоновского типа и точек, ассоциирующихся с появлением решения уравнения ренормгруппы в виде цикла периода 2), что позволяет разделить возникающие разрывы на два типа.

16 Kuznetsov Yu.A., Levitin V.V. CONTENT: A multiplatform environment for analyzing dynamical systems, Dynamical Systems Laboratory, Amsterdam, 1997, http://www.math.uu.nl/people/kuznet/CONTENT/

Аргументированность, обоснованность и достоверность результатов

диссертации

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием при расчётах апробированного в нелинейной динамике и широко используемого математического инструментария, включая численные методы, а также предусмотренной возможностью сравнения и совпадением результатов с известными для предельных случаев. При нахождении критических точек и констант скейлинга точность полученных результатов обеспечивается совпадением решений уравнений с несколькими различными начальными приближениями. Карты динамических режимов, построенные путем прямого численного моделирования, находятся в соответствии с результатами бифуркационного анализа и картами ляпуновского показателя.

Научная новизна работы

В диссертационной работе впервые:

1. Изучено устройство плоскости параметров отображения Икеды при приближении к консервативному пределу. Для слабо диссипативного случая показано существование большого числа низкопериодических аттракторов, которые можно разделить на два типа по характеру их зависимости от управляющего параметра. Обнаружено резкое увеличение длительности переходного процесса, в начале которого слабо диссипативная система ведёт себя почти как консервативная. Показано, что при уменьшении уровня диссипации число побочных аттракторов, способных демонстрировать хаотическую динамику, стремится к нулю, однако в целом система способна демонстрировать хаотическое поведение при переходе к хаосу на основном аттракторе.

2. На примере системы Икеды предложен и реализован метод анализа устройства плоскости параметров в консервативном случае - «карта разбега-ния», который в определенной мере является аналогом метода карт динамических режимов в диссипативных системах. Этот метод оказывается пригодным и для систем с шумовым воздействием.

3. Введена в рассмотрение модель автоколебательной системы с компенсируемой диссипацией, представляющая собой осциллятор Ван-дер-Поля под периодическим импульсным воздействием с амплитудой, управляемой текущей координатой осциллятора по квадратичному закону. В квазигармоническом приближении получено соответствующее дискретное отображение. В зависимости от внутренних и внешних параметров такая система может приводиться как к классическому отображению Эно, так и к традиционным автоколебательным моделям с импульсным возбуждением.

4. В предложенном отображении обнаружена критическая точка, характерная для перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в консервативных системах (точка гамильтоновского типа). Эта точка выступает как феномен коразмерности два и является концевой для фейгенбаумовской линии перехода к хаосу через удвоения периода.

5. При значениях параметров, соответствующих существованию в такой системе в автономном режиме неустойчивого предельного цикла, обнаружена возможность инициированных внешним воздействием устойчивых квазиперио-

дических движений и системы языков Арнольда устойчивых синхронных режимов разного порядка.

6. Проведено исследование структуры пространства параметров исходной системы дифференциальных уравнений в различных режимах функционирования автономной системы, которое показало хорошую степень соответствия построенному отображению.

7. Установлено, что для связанных отображений Эно при уменьшении уровня диссипации происходят существенные изменения в картине бифуркаций и критических явлений. На плоскости параметров, отвечающих за удвоения периода в подсистемах, при уменьшении диссипации возникают разрывы линии перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Выделены различные сценарии возникновения указанных разрывов. Они разделены на два типа по типу критических точек, которыми заканчивается фейгенбаумовская линия на краях разрывов. Обнаружена ситуация, когда отрезок линии Фейген-баума может заканчиваться критическими точками разных типов - точек га-мильтоновского типа Н и точек С, ассоциирующихся с появлением решения уравнения ренормгруппы в виде цикла периода два.

Научная и практическая значимость

Полученные в диссертации результаты вносят вклад в понимание особенностей взаимосвязи динамики диссипативных и консервативных систем и особенностей перехода между ними. Обнаружение гамильтоновской точки в автоколебательной модели с компенсированной диссипацией вносит вклад в теорию критических явлений на пороге хаоса. Выявленные особенности устройства плоскости параметров связанных слабо диссипативных отображений Эно (появление разрывов фейгенбаумовской линии, наличие у них концевых точек разного типа, появление и эволюция определенных бифуркационных структур) могут прояснить и упростить анализ других связанных слабо диссипативных систем со сложной динамикой. Предложенные в работе методы построения «карт разбегания» и «модифицированных карт динамических режимов» могут быть использованы при анализе различных консервативных и слабо диссипативных систем.

Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе в рамках курсов по радиофизике и теории колебаний. В настоящее время результаты используются на факультете нелинейных процессов Саратовского госуниверситета в рамках учебных дисциплин «Консервативный хаос» и «Проблемы нелинейной динамики» для студентов 4 курса.

Личный вклад

Постановка задач и обсуждение и интерпретация результатов проводилась совместно с научным руководителем и соавторами совместных работ. Автором разработаны математические модели и выполнены все численные эксперименты; проведено программирование всех задач.

Апробация работы. Публикации

Основные результаты работы докладывались на следующих школах, семинарах и конференциях:

• школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2004-2010 гг.);

• конференции молодых учёных «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» в рамках XIV и XV всероссийских школ «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2008, 2010 гг.);

• VIII и IX международные школы «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2007, 2010 гг.);

• российско-французский семинар «Nonlinear science and applications» (Франция, Безансон, 2010 г.);

• X всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, 2006);

• I - V конференции молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006 - 2010 гг.);

• школа-семинар «Динамический хаос и его приложения» (Звенигород, 2007 г.);

• международная школа-семинар «Statinfo 2009» (Саратов, 2009);

• XIII и XV международные конференции «Foundations and advances in nonlinear sciences» (Беларусь, Минск, 2006,2010 гг.);

• международный конгресс «Нелинейный динамический анализ 2007», посвященный 150-летию со дня рождения академика Ляпунова (Санкт-Петербург, 2007 г.);

• 36-я конференция центральноевропейского сотрудничества в статистической физике «МЕСО 36» (Украина, Львов, 2011 г.);

а также на семинарах базовой кафедры динамических систем Саратовского государственного университета и лаборатории теоретической нелинейной динамики Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН и на семинаре группы теоретической физики и сложные систем Института химии и биологии моря Университета Ольденбурга (Ольденбург, ФРГ).

Результаты работы использовались при выполнении государственного контракта Федерального агентства по науке и инновациям №02.442.11.7237, аналитической ведомственной целевой программы Министерства образования и науки Российской Федерации «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1/1738), проектов РФФИ (гранты №№03-02-16192,08-02-91963), CRDF REC-006 (персональный грант для студентов), гранта Президента РФ № МК-905.2010.2. Частично результаты работы получены в ходе визита автора в группу профессора У. Фойдель в университете Ольденбурга, поддержанного Германской службой академических обменов (DAAD). Цикл работ автора, использованных в настоящей диссертации, удостоен медали РАН за лучшую научную работу студентов ВУЗов России по направлению «Физика и астрономия» по конкурсу 2008 года.

По теме диссертации опубликовано 27 работ, из них 5 в российских и международных журналах, входящих в список журналов, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов кандидатских и докторских диссертаций,

а также 1 статья в рецензируемом журнале и 21 публикация в тезисах докладов и материалах конференций (из них 2 в электронном виде).

Структура и объем работы

Материалы диссертации изложены на 139 страницах, содержат 60 рисунков и список цитируемой литературы из 110 наименований.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Во введении обосновывается актуальность работы, ставятся основные задачи и определяются цели исследования, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена исследованию динамики двумерного отображения с постоянным уровнем диссипации - отображения Икеды, являющейся приближенной моделью осциллятора Дуффинга с импульсным возбуждением15

z„+, = A + Bz„txp(i{\zn\2+w)). (1)

Это отображение, с одной стороны, является достаточно простым, а с другой -демонстрирует основные типы поведения консервативных и диссипативных систем при соответствующих значениях параметров. Степень диссипации в (1) характеризуется параметром В, так что 5=1 отвечает консервативному случаю.

В разделе 1.1 обсуждается устройство плоскости параметров период -амплитуда внешнего воздействия (у, Л) и его эволюция при изменении уровня диссипации. Устройство бифуркационных линий режимов периодов 1 и 2 приведено на рис. 1. При малом В на рисунках наблюдаются характерные для неавтономных осцилляторов структуры crossroad area17. При увеличении параметра В (т.е. уменьшении диссипации) области существования устойчивых периодических режимов прижимаются к оси А=0; структура crossroad area претерпевает существенные метаморфозы: на линии, соответствующей значению одного из мультипликаторов -1 (линии удвоения периода), появляется участок, на котором бифуркация удвоения периода становится субкритической, т.е. эта линия становится линией жёсткого перехода.

В разделе 1.2 исследуется устройство фазовой плоскости отображения Икеды в консервативном и слабо диссипативном случаях. Простейшим методом исследования динамики диссипативных систем на фазовой плоскости явля-

17 Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2006, 355 с.

-2 f 7

Рис. I. Структура бифуркационных линий отображения (I) при В-0.99, Обозначения: а - линия удвоения периода, b - линия складки, Ь2 -линия складки для цикла периода 2, с - линия жёсткого перехода, CP — точка сборки, F2 -точка «флип коразмерности 2», разделяющая линии удвоения периода и жёсткого перехода. Бифуркационные линии построены с помощью программы Content.

ется наблюдение за конденсацией облака изображающих точек на аттрактор. На начальных стадиях эволюции вид облака изображающих точек по форме похож на вид фазового портрета консервативной системы, а в дальнейшем становятся хорошо видны устойчивые фокусы, на которые и конденсируется большинство точек. Несмотря на то, что на карте динамических режимов данным значениям параметров соответствует область периода 1, на фазовой плоскости наблюдается гораздо большее число притягивающих центров, что говорит о наличии в системе достаточно сильной мультистабильности. Для её исследования были построены бассейны притяжения при В=0.99 для нескольких значений параметров системы и проведено их сравнение с фазовыми портретами консервативного случая. Бассейн «основного» аттрактора системы, располагающегося вблизи особой точки типа центр консервативного случая, занимает значительную часть всей фазовой плоскости. Режим этого «основного» аттрактора и отображается на карте динамических режимов. Бассейны притяжения же «побочных» аттракторов располагаются по резонансам; их вид аналогичен фазовым портретам в консервативном случае. Границы бассейнов притяжения в далёкой от резонансов области имеют фракталоподобный характер.

В разделе 1.3 изучается эволюция аттракторов системы при изменении управляющих параметров. Для визуализации поведения аттракторов использовалась модификация метода построения бифуркационных деревьев - построение на одной диаграмме бифуркационных деревьев для большого набора начальных условий2. Полученные таким образом бифуркационные диаграммы приведены на рис. 2. На них хорошо видно наличие большого числа сосуществующих аттракторов, которые можно разделить на два типа. Аттракторы первого типа появляются при небольших значениях параметра диссипации В (около 0.9) и характеризуются достаточно слабой зависимостью от параметра А. При уменьшении диссипации (увеличении В) аттракторов первого типа становится больше, они начинают появляться при меньших значениях параметра А и расположены более плотно. Кроме того, на бифуркационных диаграммах появляются фрагменты, соответствующие аттракторам второго типа, характеризующимся значительно более сложной динамикой. Следует отметить чрезвычайную длительности переходного процесса (сотни тысяч итераций) и её существенную зап

0 А 1.5

Рис. 2. Бифуркационные диаграммы отображения (1) при различных величинах пропускаемого переходного процесса. Число пропущенных итераций: а) 200000; б) 500000 (установившийся вид диаграммы). В=0.99; цг=0.

о

висимость от величины параметра А, причём длительность переходного процесса может различаться как для разных аттракторов, так и для одного и того же аттрактора.

Раздел 1.4 посвящён обсуждению динамики хаотических аттракторов в исследуемой системе. Для визуализации изменений, происходящих с бассейнами притяжения сосуществующих аттракторов при изменении параметров, в работе предложен метод построения двумерных карт, демонстрирующих эволюцию сечения фазовой плоскости при изменении параметра, и, таким образом, являющихся своеобразной комбинацией карты динамических режимов и бассейна притяжения. На таких модифицированных картах в случае слабой диссипации практически не наблюдается мультистабильности - большинство побочных аттракторов разрушаются задолго до перехода основного аттрактора к хаосу. Уменьшение бассейнов притяжения этих аттракторов приводит к переходу принадлежавших им ранее областей в фазовом пространстве к бассейну притяжения основного аттрактора.

В разделе 1.5 обсуждается динамика системы под воздействием шума, для чего исследуется отображение

+ (2) где - равномерно распределённая на отрезке [-1; 1] вещественная случайная величина, а е может быть интерпретировано как амплитуда шума. При добавлении шума достаточно большая часть аттракторов разрушается, причём исчезает большая часть аттракторов второго типа, что объясняется малостью их бассейнов притяжения. Сохранившиеся аттракторы характеризуются меньшим по сравнению со случаем системы без шума «временем жизни».

Вторая глава посвящена исследованию динамики автоколебательной системы с компенсируемой диссипацией. Вводится исследуемая модель, представляющая собой осциллятор Ван-дер-Поля под импульсным воздействием

Зс-(е-рх2)х + х = ¿(1->а2)5 Ц-тТ), (3)

амплитуда которого квадратичным образом зависит от текущей координаты осциллятора. Такой тип воздействия инициирует в системе возможность удвоений периода при вариации параметра X, которые сочетаются с автоколебательными свойствами автономной системы. При этом в зависимости от значений параметров виц автономная система может демонстрировать как устойчивый, так и неустойчивый предельные циклы.

В разделе 2.1 построено приближенное дискретное отображение для рассматриваемой системы, которое имеет вид

Здесь параметр В отвечает за линейную диссипацию в исходной системе (3), а С - за нелинейную, при С= О отображение (4) приводится перенормировкой па-

раметров к известному отображению Эно, демонстрирующему диссипатив-ные и консервативные удвоения периода18.

Раздел 2.2 посвящен исследованию динамики отображения (4) в случае, когда автономная система в (3) имеет неустойчивый предельный цикл (С<0, 0</i< 1 в (4)). Структура бифуркационных линий в этом случае приведена на рис. 3. Области существования устойчивых периодических режимов ограничены линиями бифуркации Неймарка-Сакера, причем тип бифуркации (суб- или суперкритический) изменяется при переходе к следующему периоду каскада удвоений. Линии бифуркации Неймарка-Сакера и удвоения периода пересекаются в точках типа «резонанс 1:2», характеризуемых равенством -1 обоих мультипликаторов цикла. Точки типа «резонанс 1:2» на базе циклов из каскада удвоений образуют последовательность, сходящуюся к определённому пределу. В разделе 2.5 показано, что пределом данной последовательности является критическая точка гамильтоновского типа (Н). Отметим также, что на границе области разбегания траекторий на базе цикла периода 2 существует узкая область квазипериодических движений со встроенной системой языков синхронизации, что говорит о возможности существования инициированных внешними импульсами устойчивых синхронных и квазипериодических режимов вблизи неустойчивого предельного цикла автономной системы.

В разделе 2.3 проводится исследование системы в случае, когда автономная система в (3) имеет устойчивый предельный цикл (ОО, 5>1). Как и в рассмотренном в предыдущем случае отрицательной нелинейной диссипации, при движении вдоль каскада удвоений наблюдается чередование суб- и суперкритических бифуркаций Неймарка-Сакера. По сравнению со случаем отрицательных С, однако, бифуркация Неймарка-Сакера для каждого периода меняет свой тип. Так, если при С<0 бифуркация Неймарка-Сакера была субкритической для цикла периода 1 и суперкритической для цикла периода 2, в данном случае наблюдается противоположная ситуация: суперкритическая бифуркация наблюдается теперь для цикла периода 1. Смена типов бифуркаций Неймарка-Сакера для каждого периода при изменении знака параметра С выглядит логичной, так как в автономной дифференциальной системе переход через (х=0 соответствует смене типа бифуркации Андронова-Хопфа. Пересечения линий бифуркаций Неймарка-Сакера с линиями удвоения периода также формируют последовательность точек типа «резонанс 1:2», сходящуюся к критической точке Н типа.

В разделе 2.4 обсуждаются особенности критического поведения гамиль-

18 Henon М. //Comm. Math. Phys., 1976, 50, № 1, рр. 69-77.

Рис. 3. Структура бифуркационных линий отображения (4) при С- -0.9. N8 - линия бифуркации Неймарка-Сакера (штрихованная линия соответствует субкритической бифуркации, сплошная - суперкритической), РО - линия удвоения периода, Н.2 - точка «резонанс 1:2», Н - критическая точка гамильтоновского типа.

тоновского типа.

Раздел 2.5 посвящен поиску критической точки данного типа в рассматриваемом отображении (4). В консервативном отображении Эно критическая точка гамильтоновского типа является пределом последовательности точек типа «резонанс 1:2». Можно предполагать, что при движении в пространстве параметров вдоль указанной последовательности точек диссипативное отображение (4) сохраняет некоторые свойства консервативной системы. Для проверки этого утверждения были найдены пределы последовательностей таких точек в случаях как отрицательных, так и положительных значений параметра С. В результате оценки по указанным последовательностям были получены значения старшей константы скейлинга вблизи 51=8.72109, что соответствует известному значению для гамильтоновской критической ситуации 8=8.7210972.... Для оценки второй константы скейлинга был использован метод равных мультипликаторов19. С его помощью было получено значение около 82=2.00..., что соответствует теоретически известному значению 52=2, а также рассчитаны значения мультипликаторов в критической точке, также оказавшиеся близкими к известным для данного типа критичности. Все вышеизложенное позволяет считать, что найденная точка действительно является критической точкой гамильтоновского типа, выступающей в данном случае как феномен коразмерности 2.

Раздел 2.6 посвящён исследованию зависимости устройства пространства параметров отображения от периода действия внешней силы. Оказывается, что характерное для существования критической точки гамильтоновского типа устройство пространства параметров является грубым и сохраняется практически для всех значений периода внешнего воздействия.

Раздел 2.7 иллюстрирует устройство пространства параметров исходной системы дифференциальных уравнений. Несмотря на существование некоторых выявленных различий в устройстве пространства параметров, характерная для существования критической точки гамильтоновского типа структура бифуркационных линий сохраняется и при переходе к исходной системе (3).

Третья глава посвящена изучению динамики связанных систем с удвоениями периода при изменении уровня диссипации и приближении к консервативному пределу.

Раздел 3.1 посвящён исследованию динамики связанных отображений Эно. Поскольку целью исследования является изучение поведения связанных систем в близком к консервативному случаю, необходимо выбирать связь, не вносящую в систему дополнительной диссипации. Такому условию удовлетворяет система

*„+1 =\-х2„- Ьу„ +£1(х-и), уп+1 = х„, и„+1 =Л2- м„2 - Ъ\>„ + ег (и - х), у„+1 = и„. (5) При значении Ъ=0, что соответствует бесконечно сильному уровню диссипации, система (5) переходит в известную систему симметрично связанных логистических отображений. В такой системе в зависимости от соотношения управляющих параметров подсистем наблюдаются два основных сценария перехода к хаосу. Если эти параметры существенно отличаются, то наблюдается переход

19 Ит Б. У. //РЬуз. Яеу. Е, 1999,59, № 6, рр. 6585-6592.

через каскад бифуркаций удвоения периода, если же они достаточно близки, то имеет место переход через разрушение квазипериодических движении" (рис. 4 а). При этом область квазипериодических колебаний и система языков синхронизации заполняют собой разрыв линии перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, которая имеет, таким образом, концевые точки, соответствующие так называемому С-типу критичности21. При уменьшении диссипации в системе (5) трансформации претерпевают оба бифуркационных сценария. Область квазипериодических движений становится достаточно тонкой, в то же время расширяясь в области существенно неравных Х\ и \2. Линия же перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода вообще претерпевает новый разрыв с образованием характерной «выемки» (рис. 4 б). Образование этого разрыва связано с объединением одного из окон периодичности в области хаоса с основной областью периодических режимов, причем тип окна периодичности зависит от величины параметра связи. Отнесём описанный разрыв к первому типу. При дальнейшем уменьшении диссипации линия Фей-генбаума претерпевает ещё один разрыв, связанный с образованием областей квазипериодических движений. Будем называть его разрывом второго типа. Бифуркационный анализ показывает существование критических точек кораз-мерости два по краям описанных разрывов, причем разрыв первого типа имеет на краях критическую точку типа С (которая, таким образом, сохраняется при переходе к системе связанных двумерных отображений), а второго - критическую точку гамильтоновского типа. Отметим, что аналогичная представленной на рис. 4 б ситуация имеет место и в симметричной относительно диагонали плоскости параметров области. Таким образом, каждый из двух отрезков фей-генбаумовской линии при уменьшении диссипации разбивается на три фраг-25 з.5| мента, два из ко-

торых имеют на своих концах критические точки разных типов. При приближении к консервативному случаю в системе (5) так же, как и в отображении Икеды (1), возникает большое число сосуществующих аттракторов. Длительность переходного процесса, однако, в этом случае существенно уменьшается. Данное явление, вероятно, связано с тем, что в системе (5) область сходимости решений невелика, а начальные условия из остальной части фазового

Рис. 4. а) Карта старшего ляпуновского показателя. 6=0; б) карта динамических режимов. 6=0.7 отображения (5). На карте ляпуновского показателя оттенки светло-серого цвета отвечают его отрицательным значениям, тёмно-серого - положительным, однородно-серый цвет соответствует значениям, близким к 0.

1 Juan J.-M. et al. //Phys. Rev. A, 1983, 28, № 3, pp. 1662-1666. 1 Kuznetsov A.P., Sataev I.R., Sedova J.V. //Reg. and chaotic dyn.. 13, № 1,

8, pp. 9-18.

пространства убегают на бесконечность с достаточно большой скоростью, в то время как для отображения (1) любая точка фазового пространства должна принадлежать бассейну притяжения какого-либо аттрактора.

Раздел 3.2 посвящен исследованию динамики связанных стандартных отображений. Проводится исследование плоскости управляющих параметров подсистем при изменении диссипации. Фейгенбаумовская линия также претерпевает разрыв с образованием областей квазипериодических движений.

Основные результаты диссертационной работы:

1. При значениях управляющих параметров, отвечающих малому затуханию в исходной системе, отображение Икеды демонстрирует сосуществование большого числа низкопериодических аттракторов. Эти аттракторы наблюдаются одновременно с «основным», существующим при всех значениях управляющего параметра, и могут быть разделены на два типа по величине области своего существования в пространстве параметров и характеру поведения в зависимости от управляющих параметров.

2. Побочные аттракторы отображения Икеды способны демонстрировать различные времена переходного процесса и имеют различные размеры бассейнов притяжения, при этом может возникать ситуация, когда в небольшом интервале параметров площадь бассейна притяжения одного из побочных аттракторов существенно превышает площадь бассейна притяжения «основного» аттрактора, которая, однако, восстанавливается после гибели побочного. При уменьшении диссипации в системе происходит уменьшение бассейнов притяжения и гибель побочных хаотических аттракторов, так что хаотическая динамика в системе локализуется на основном аттракторе. Многие из сосуществующих аттракторов крайне чувствительны к шумовому воздействию и разрушаются уже при небольших амплитудах внешнего шума.

3. Получено дискретное отображение, описывающее динамику генератора Ван-дер-Поля под импульсным воздействием с амплитудой, квадратичным образом зависящей от значений динамической переменной (автоколебательная система с компенсируемой диссипацией), и исследована его динамика в различных режимах функционирования автономной системы. Это отображение способно демонстрировать разнообразную динамику. В частности, обнаружено существование областей устойчивых квазипериодических движений и синхронных режимов разного порядка, возникших в случае? Когда в автономной системе реализуется неустойчивый предельный цикл.

4. В полученном дискретном отображении для автоколебательной системы с компенсируемой диссипацией обнаружена критическая точка гамильто-новского типа, характерная для консервативных систем. Данная критическая точка существует в рассматриваемом случае как феномен коразмерности два и возникает как предел последовательности точек типа «резонанс 1:2». В её окрестности существуют периодические, квазипериодические и хаотические режимы. Характерная для существования критической точки данного типа структура бифуркационных линий сохраняется при переходе к исходной системе дифференциальных уравнений.

5. Изучены изменения, происходящие при уменьшении диссипации в сис-

теме консервативно связанных отображений Эно на плоскости параметров, отвечающих за удвоения периода в подсистемах. Характерные для системы в случае сильной диссипации сценарии перехода к хаосу - через каскад бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодических движений -существенно трансформируются. Область квазипериодических движений и линия перехода к хаосу через их разрушение расширяется в область существенно несимметричных подсистем, а линия перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода претерпевает разрывы. Полученные разрывы можно разделить на два типа по механизмам их образования. На краях возникающих разрывов линия Фейгенбаума заканчивается критическими точками типов С и Н, в зависимости от типа разрыва, и в системе возникает ситуация, когда отрезок фейгенбаумовской линии заканчивается с двух сторон критическими точками различных типов.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Савин A.B., Савин Д.В. Автоколебательная система с компенсируемой диссипацией: динамика дискретной модели. //Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика, 2008, 16, № 5, сс. 127-138.

2. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Савин A.B., Савин Д.В. О возможности реализации в автоколебательной системе с внешним периодическим воздействием универсального поведения, характерного для перехода к хаосу через удвоения периода в консервативных системах. //Письма в ЖТФ, 2008,34, вып. 22, сс. 72-80.

3. Kuznetsov А.Р., Savin A.V., Savin D.V. On some properties of nearly conservative dynamics of Ikeda map and its relation with the conservative case. //Physica A, 2008, 387, № 7, pp. 1464-1474.

4. Kuznetsov A.P., Savin A.V., Savin D.V. On Some Properties of Nearly Conservative Dynamics of Ikeda Map. //Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2007,10, № 4, pp. 393^100.

5. Кузнецов А.П., Савин A.B., Савин Д.В. Особенности динамики почти консервативного отображения Икеды. //Письма в ЖТФ, 2007, 33, вып. 3, сс. 57-63.

6. Кузнецов А.П., Савин A.B., Савин Д.В. Отображение Икеды: от диссипа-тивного к консервативному случаю. //Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика, 2006,14, № 2, сс. 94-106.

7. Кузнецов А.П., Савин A.B., Савин Д.В., Фойдель У. Эволюция плоскости параметров консервативно связанных отображений Эно при изменении уровня диссипации. //Материалы IX международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», 4—9 октября 2010 года, Саратов. Саратов: РИО журнала «Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика», 2010, сс. 148-149.

8. Кузнецов А.П., Савин A.B., Савин Д.В. Динамика связанных двумерных отображений при приближении к консервативному пределу. //Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика: Тезисы докладов V Всероссийской конференции молодых учёных. Саратов: Издательство

Саратовского университета, 2010, сс. 67-68.

9. Савин Д.В. Динамика связанных слабодиссипативных отображений Эно. //Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2009: Сборник материалов научной школы конференции, аратов, 16-18 ноября 2009. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2010, сс. 115-118.

Ю.Кузнецов А.П., Савин A.B., Савин Д.В. Динамика связанных слабодиссипативных систем. //Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики. Тезисы докладов конференции молодых ученых. Нижний Новгород: ИПФ РАН, ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2010, сс. 110-111.

11.Савин Д.В. Критическое поведение и устройство пространства параметров в автоколебательной системе с компенсируемой диссипацией. //Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2008: Сборник материалов научной школы-конференции, Саратов, 29, 31 октября, 5-8 ноября 2008. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2009, сс. 93-96.

12.Савин A.B., Савин Д.В. Сложная динамика и критическое поведение автоколебательной системы с компенсируемой диссипацией. //Статистическая физика и информационные технологии: материалы международной школы-семинара «StatInfo-2009». Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2009, сс. 50-53.

13.Савин Д.В. О возможности реализации гамильтоновского критического поведения в автоколебательной системе с компенсируемой диссипацией. //Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2007. Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2008, сс. 98101.

14.Савин Д.В. Устройство пространства параметров и критическое поведение в автоколебательной системе с компенсируемой диссипацией. //Научные исследования студентов Саратовского государственного университета: Материалы итоговой студенческой научной конференции. Саратов: Издательство Саратовского университета, 2008, сс. 4-6.

15.Кузнецов А.П., Савин A.B., Савин Д.В. Устройство пространства параметров и критическое поведение в автоколебательной системе с компенсируемой диссипацией. //Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика: Тезисы докладов III конференции молодых учёных. Саратов: Издательство Саратовского университета, 2008, сс. 67-70.

16.Кузнецов А.П., Савин A.B., Савин Д.В. Критическая точка консервативных систем в автоколебательной системе с компенсируемой диссипацией. //Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики. Конференция молодых учёных 1-7 марта 2008 г. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2008, сс. 135-136.

17.Кузнецов А.П., Савин A.B., Савин Д.В. Динамика почти консервативных систем на примере отображения Икеды. //Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики. Конференция молодых учёных 1-7 марта 2008 г. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2008, сс. 136-137.

18.Кузнецов А.П., Савин A.B., Савин Д.В. Некоторые особености поведения динамических систем в случае слабой диссипации. //Нелинейный дина-

мический анализ - 2007: Тезисы докладов международного конгресса, Санкт-Петербург, 4-8 июня 2007 г. СПб.: Санкт-Петербургский государственный университет, 2007, с. 288.

19.Кузнецов А.П., Савин A.B., Савин Д.В. Взаимосвязь консервативной и слабо диссипативной динамики на примере дискретной модели нелинейного осциллятора под импульсным воздействием. //II конференция молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», 1417 мая 2007, Саратов. Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 2007, сс. 93-94.

20.Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Савин A.B., Савин Д.В. Критическое поведение "гамильтоновского" типа в дискретной модели неавтономной автоколебательной системы. //II конференция молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», 14-17 мая 2007, Саратов. Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 2007, сс. 91-93.

21.Савин Д.В. Структура бифуркационных диаграмм отображения Икеды в слабо диссипативном случае. //Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2006. Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: РИО журнала «Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика», 2007, сс. 73-76.

22.Савин Д.В. О некоторых особенностях динамики почти консервативных систем с дискретным временем. //Материалы I конференции молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», 28-30 сентября 2006 г. Саратов: Саратовский филиал Института радиотехники и электроники РАН, 2006, сс. 57-58.

23.Кузнецов А.П., Савин Д.В. Консервативные и почти консервативные осцилляторы и их модели. //Материалы XIII зимней школы по СВЧ электронике и радиофизике. Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 2006, сс 85-86.

24.Савин Д.В. Динамика отображения Икеды в почти консервативном случае. //Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2005. Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: Издательство ГосУНЦ "Колледж", 2005, сс. 56-59.

25.Савин Д.В. Отображение Икеды: от диссипативного к консервативному случаю. //Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2004. Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: Издательство ГосУНЦ "Колледж", 2004, сс. 86-89.

26.Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Савин A.B., Савин Д.В. О возможности реализации "гамильтоновского" критического поведения в дискретой модели неавтономной автоколебательной системы. //Материалы VIII международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», 9-14 октября 2007 г. Саратов, 2007, сс. 110-111.

27.Кузнецов А.П., Савин A.B., Савин Д.В. Особенности динамики почти консервативных дискретных систем с постоянной диссипацией. //Материалы VIII международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», 9-14 октября 2007 г. Саратов, 2007, сс. 111-112.

Научное издание Савин Дмитрий Владимирович

ДИНАМИКА НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ОСЦИЛЛЯТОРНОГО ТИПА В СЛУЧАЕ СЛАБОЙ ДИССИПАЦИИ

Автореферат

В авторской редакции

Подписано в печать 13.05.11. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная. Усл. печ. 1,16. Уч.-изд. J1. 1,31. Тираж 100 экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Савин, Дмитрий Владимирович

Введение.

Глава 1. Динамика почти консервативных систем на примере отображения Икеды.

1.1. Отображение Икеды и устройство его плоскости параметров.

1.2. Устройство фазовой плоскости отображения Икеды в консервативном и слабо диссипативном случаях.

1.3. Эволюция аттракторов при вариации параметра диссипации и амплитуды внешнего воздействия.

1.4. Поведение хаотических аттракторов в консервативном пределе в системе Икеды.

1.5. Особенности динамики отображения Икеды с шумом.

1.6. Выводы.

Глава 2. Автоколебательная система с гамильтоновскими удвоениями периода.

2.1. Автоколебательная система с удвоениями периода.

2.2. Динамика отображения в режиме системы с неустойчивым предельным циклом.

2.3. Динамика отображения в режиме автоколебательной системы.

2.4. Гамильтоновское критическое поведение и проблема его наблюдения в реалистичных системах.

2.5. Поиск критической точки типа Н.

2.6. Зависимость устройства пространства параметров отображения от величины периода воздействия.

2.7. Устройство пространства параметров дифференциальной системы.

2.8. Выводы.

Глава 3. Динамика связанных систем при приближении к консервативному пределу.

3.1. Связанные отображения Эно.

3.2. Система связанных стандартных отображений.

3.3. Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Динамика неавтономных систем осцилляторного типа в случае слабой диссипации"

Актуальность работы

Как известно, в нелинейной динамике выделяют два класса динамических систем: диссипативные [1-9] и консервативные [1, 4, 9 - 12]. Для первых характерным является наличие притягивающих объектов (аттракторов), отвечающих за возможность существования различных установившихся колебательных режимов, а для вторых - сохранение фазового объема в процессе временной эволюции. Если система характеризуется некоторым параметром, ответственным за величину диссипации, то при его изменении происходит превращение диссипативной системы в консервативную. В таком контексте консервативные системы являются в определенной мере «негрубыми», так как малейшее отклонение параметра разрушает свойство сохранения фазового объёма и переводит систему в класс диссипативных. В силу этого, такой переход оказывается очень сложным и требует специального изучения. В определенной мере можно говорить о «почти» консервативных системах, выделяя их в своего рода особый, «промежуточный» класс, требующий самостоятельного изучения [13 - 29]. В настоящее время проблема поведения таких систем изучена все еще мало, хотя важность её отмечена многими исследователями. В частности, имеется подход к их изучению, основывающийся на теории консервативных систем и рассматривающий диссипативность, как некоторое возмущеиие, выводящее систему из класса гамильтоновых (см., например, монографию [13] и цитированную там литературу). Возможен альтернативный подход, основанный на методах теории диссипативных систем с исследованием изменения их свойств при уменьшении уровня диссипации. При этом с точки зрения физики целесообразно исследовать примеры диссипативных систем, имеющих физическую мотивацию и, соответственно, ясный консервативный предел.

К настоящему моменту существует ряд работ, в которых обсуждается динамика систем с постоянным уровнем диссипации при его малых значениях на примере различных модельных отображений. Одним из важнейших специфических свойств почти консервативных систем является сосуществование при одних и тех же значениях параметров очень большого (сотни и тысячи) числа аттракторов. Так, одна из первых работ на эту тему [14] носит характерное название: «Map with more than 100 coexisting low-period periodic attractors» - отображение с более чем 100 сосуществующими низко-периодическими аттракторами. Помимо этой, существует ряд других работ, посвященных изучению слабо-диссипативной версии ротатора, находящегося под воздействием периодической последовательности импульсов [15, 16], а также отображения для двойного ротатора [17] с акцентом на изучении свойств сосуществующих режимов. Также можно указать аналогичную работу, посвященную исследованию модели ускорения Ферми [18]. В работе [19] в контексте слабо диссипативных систем исследуется так называемое отображение Богданова, демонстрирующее дискретную версию известной бифуркации Богданова-Такенса. В контексте изучения мультистабильности в слабо диссипативных системах укажем на обзор [20] и цитированную там в разделе, посвященном системам с малым уровнем диссипации, литературу, в частности, работы, посвященные изучению мультистабильности в системах механических осцилляторов [21 ] и колебаниям в моделях висячих мостов [22]. Различными авторами обсуждалась проблема существования хаотических аттракторов в слабодиссипативных системах и закономерности эволюции бассейнов притяжения аттракторов при изменении уровня диссипации и приближении системы к консервативному пределу [23 - 25]. Кроме того, следует отметить ряд работ, в которых авторы для систем различной природы, от моделей ускорения Ферми до оптических, описывают поведение, сочетающее в себе черты как консервативной, так и диссипативной динамики [26 -29].

В этом же контексте существенным является вопрос о сценариях перехода к хаосу, среди которых наиболее распространенным является переход через каскад бифуркаций удвоения периода. Такие переходы могут наблюдаться как в диссипативных системах (сценарий Фейгенбаума) [1 -9], так и в консервативных [1,4], однако их свойства во многом различны. В первом случае при увеличении управляющего параметра происходят последовательные удвоения периода аттрактора системы, накапливающиеся при изменении параметра к критической точке F. В консервативных системах наблюдаются удвоения эллиптических орбит, накапливающиеся к критической точке Н. При этом закон накопления бифуркационных точек к критической характеризуется своими константами скейлинга (самоподобия), соответственно 5^4.6692016. и 5Н=8.7210972. [1 - 8, 30 -34]. Известны примеры сосуществования этих двух типов поведения в пространстве параметров, относящиеся к случаю отображений с фиксированным якобианом, отвечающим за уровень диссипации [35 -41]. Картина перехода от консервативного критического поведения к диссипа-тивному оказывается сложной (проблема, известная в литературе, как conservative-dissipative crossover [35,40,41]). С общей точки зрения введение любой, сколь угодно малой диссипации неизбежно приводит к появлению фей-генбаумовской критичности, начиная с определённого уровня удвоений [35 -41]. Поэтому важным является вопрос о возможности существования критических точек гамильтоновского типа в реалистичных моделях диссипативных систем.

Весьма конструктивными в контексте исследования соотношения свойств консервативных и диссипативных систем представляются радиофизические задачи и подходы, использующие различные типы колебательных и автоколебательных систем в форме разнообразных осцилляторов. В этом плане можно сформулировать задачу построения системы радиофизических моделей, находящихся под внешним воздействием и имеющих соответствующий консервативный предел. В качестве простейшей исходной системы можно выбрать осциллятор Дуффинга с линейным (вязким) трением и кубической нелинейностью, находящийся под импульсным воздействием постоянной амплитуды. Для такой системы с помощью метода медленно меняющихся амплитуд можно получить приближённое дискретное отображение, представляющее собой известное и популярное в нелинейной динамике отображение Икеды [8, 42, 43]. Следующим шагом может служить переход к автоколебательным системам типа осциллятора Ван-дер-Поля, включая введение в уравнения системы нелинейности диссипации, а также зависимости амплитуды внешнего воздействия от значения динамической переменной. Такой путь может привести к новому отображению в виде автоколебательной системы с компенсируемой диссипацией, которая, как мы покажем, может служить удобным объектом для сопоставления диссипативного и консервативного типов перехода к хаосу через удвоения периода. Наконец, дальнейшим развитием может являться переход к исследованию связанных эталонных моделей нелинейной динамики при малых значениях диссипации.

Цели и задачи исследования

Целью настоящей работы является выявление особенностей перехода от диссипативной к консервативной динамике в радиофизических системах ос-цилляторного типа.

В ходе выполнения работы решались следующие задачи:

• исследование изменений устройства пространства параметров и фазового пространства при приближении к консервативному пределу на примере отображения для осциллятора Дуффинга под импульсным воздействием (отображение Икеды);

• построение и исследование модели по типу осциллятора Ван-дер-Поля под импульсным воздействием с амплитудой, зависящей от значений динамической переменной, пригодной для изучения взаимосвязи диссипативной и консервативной картины критических явлений, связанных с переходом к хаосу через удвоения периода;

• исследование изменения устройства плоскостей управляющих параметров для систем связанных отображений Эно и стандартных отображений Тейлора-Чирикова при изменении диссипации и изучение возникающих при этом особенностей.

Методы исследования

В ходе выполнения работы был использован спектр различных аналитических и численных методов. Так, для построения дискретных отображений, применялось аналитическое решение дифференциальных уравнений методом медленно меняющихся амплитуд [44-46] и метод «дискретизации» [10, 13]. При численном исследовании для получения информации об устройстве пространства параметров использовался метод построения карт динамических режимов и карт ляпуновских показателей [8], для анализа устройства плоскости параметров консервативных систем в работе предложен оригинальный метод построения «карт разбегания». Для анализа динамики системы в фазовом пространстве использовался метод построения фазовых портретов и портретов аттракторов [1 - 9]. Для анализа изменений структуры фазового пространства при изменении одного из управляющих параметров использовались метод построения бифуркационных деревьев [1, 2, 8] и множества бифуркационных деревьев на одной диаграмме [14], а также предложенный в работе метод построения модифицированных карт динамических режимов. Для численного анализа бифуркаций отображений использовалась программа Content [47]. Решение нелинейных дифференциальных уравнений проводилось с помощью метода Рунге-Кутта 4 порядка. Программирование осуществлялось на языках Delphi и Fortran, некоторые алгебраические преобразования выполнялись с помощью программы Mathematica.

Положения и результаты, выносимые на защиту

1. В отображении Икеды (двумерное отображение, являющееся моделью осциллятора Дуффинга под импульсным воздействием) при малом уровне диссипации наряду с «основным» аттрактором, существующим при всех значениях управляющего параметра, наблюдается сосуществование большого числа низкопериодических аттракторов с различными временами переходного процесса. В определённых интервалах значений управляющего параметра бассейн притяжения одного из «побочных» аттракторов может занимать большую часть фазового пространства, однако при увеличении параметра, отвечающего за удвоения периода, побочные аттракторы исчезают, и всё фазовое пространство занимает бассейн притяжения хаотического аттрактора, возникшего на базе «основного».

2. В приближенном дискретном отображении, описывающем автоколебательный осциллятор Ван-дер-Поля под импульсным воздействием с амплитудой, нелинейным образом зависящей от значения динамической переменной, критическое поведение гамильтоновского (характерного для перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в консервативных системах) типа наблюдается как феномен коразмерности два.

3. В системе связанных обратимых двумерных отображений при уменьшении диссипации происходят существенные изменения устройства плоскости параметров, управляющих удвоениями периода в подсистемах. В частности, возникают разрывы линии перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода (фейгенбаумовской линии) с возникновением на концах разрывов критических точек различных типов (точек гамильтоновского типа и точек, ассоциирующихся с появлением решения уравнения репормгруппы в виде цикла периода 2), что позволяет разделить возникающие разрывы на два типа.

Аргументированность, обоснованность и достоверность результатов диссертации

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием при расчётах апробированного в нелинейной динамике и широко используемого математического инструментария, включая численные методы, а также предусмотренной возможностью сравнения и совпадением результатов с известными для предельных случаев. При нахождении критических точек и констант скейлинга точность полученных результатов обеспечивается совпадением решений уравнений с несколькими различными начальными приближениями. Карты динамических режимов, построенные путем прямого численного моделирования, находятся в соответствии с результатами бифуркационного анализа и картами ляпуновского показателя.

Научная новизна работы

В диссертационной работе впервые:

1. Изучено устройство плоскости параметров отображения Икеды при приближении к консервативному пределу. Для слабо диссипативного случая показано существование большого числа низкопериодических аттракторов, которые можно разделить на два типа по характеру их зависимости от управляющего параметра. Обнаружено резкое увеличение длительности переходного процесса, в начале которого слабо диссипативная система ведёт себя почти как консервативная. Показано, что при уменьшении уровня диссипации число побочных аттракторов, способных демонстрировать хаотическую динамику, стремится к нулю, однако в целом система способна демонстрировать хаотическое поведение при переходе к хаосу на основном аттракторе.

2. На примере системы Икеды предложен и реализован метод анализа устройства плоскости параметров в консервативном случае - «карта разбега-ния», который в определенной мере является аналогом метода карт динамических режимов в диссипативных системах. Этот метод оказывается пригодным и для систем с шумовым воздействием.

3. Введена в рассмотрение модель автоколебательной системы с компенсируемой диссипацией, представляющая собой осциллятор Ван-дер-Поля под периодическим импульсным воздействием с амплитудой, управляемой текущей координатой осциллятора по квадратичному закону. В квазигармоническом приближении получено соответствующее дискретное отображение. В зависимости от внутренних и внешних параметров такая система может приводиться как к классическому отображению Эно, так и к традиционным автоколебательным моделям с импульсным возбуждением.

4. В предложенном отображении обнаружена критическая точка, характерная для перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в консервативных системах (точка гамильтоновского типа). Эта точка выступает как феномен коразмерности два и является концевой для фейгенбаумовской линии перехода к хаосу через удвоения периода.

5. При значениях параметров, соответствующих существованию в такой системе в автономном режиме неустойчивого предельного цикла, обнаружена возможность инициированных внешним воздействием устойчивых квазипериодических движений и системы языков Арнольда устойчивых синхронных режимов разного порядка.

6. Проведено исследование структуры пространства параметров исходной системы дифференциальных уравнений в различных режимах функционирования автономной системы, которое показало хорошую степень соответствия построенному отображению.

7. Установлено, что для связанных отображений Эно при уменьшении уровня диссипации происходят существенные изменения в картине бифуркаций и критических явлений. На плоскости параметров, отвечающих за удвоения периода в подсистемах, при уменьшении диссипации возникают разрывы линии перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Выделены различные сценарии возникновения указанных разрывов. Они разделены на два типа по типу критических точек, которыми заканчивается фейгенбаумовская линия на краях разрывов. Обнаружена ситуация, когда отрезок линии Фейген-баума может заканчиваться критическими точками разных типов - точек га-мильтоновского типа Н и точек С, ассоциирующихся с появлением решения уравнения ренормгруппы в виде цикла периода два.

Научная и практическая значимость

Полученные в диссертации результаты вносят вклад в понимание особенностей взаимосвязи динамики диссипативных и консервативных систем и особенностей перехода между ними. Обнаружение гамильтоновской точки в автоколебательной модели с компенсированной диссипацией вносит вклад в теорию критических явлений на пороге хаоса. Выявленные особенности устройства плоскости параметров связанных слабо диссипативных отображений Эно (появление разрывов фейгенбаумовской линии, наличие у них концевых точек разного типа, появление и эволюция определенных бифуркационных структур) могут прояснить и упростить анализ других связанных слабо диссипативных систем со сложной динамикой. Предложенные в работе методы построения «карт разбегания» и «модифицированных карт динамических режимов» могут быть использованы при анализе различных консервативных и слабо диссипа-тивных систем.

Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе в рамках курсов по радиофизике и теории колебаний. В настоящее время результаты используются на факультете нелинейных процессов Саратовского госуниверситета в рамках учебных дисциплин «Консервативный хаос» и «Проблемы нелинейной динамики» для студентов 4 курса. Личный вклад

Постановка задач и обсуждение и интерпретация результатов проводилась совместно с научным руководителем и соавторами совместных работ. Автором разработаны математические модели и выполнены все численные эксперименты; проведено программирование всех задач. Апробация работы. Публикации