Достаточные условия существования инерциального многообразия для волнового уравнения с сильной диссипацией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

00505о°и

На правах рукописи УДК 517.956.35

Чо^

Чалкина Наталья Александровна

Достаточные условия существования инерциального многообразия для волнового уравнения с сильной диссипацией

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 НОЯ 2012

Москва —

2012

005055809

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Горицкий Андрей Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Ильин Алексей Андреевич, Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша, ведущий научный сотрудник

кандидат физико-математических наук Кудряшов Юрий Георгиевич, НИУ Высшая школа экономики, доцент

Ведущая организация: Институт проблем передачи информации

имени A.A. Харкевича РАН

Защита состоится 21 декабря 2012 года в 1С часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, д. 1, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 20 ноября 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертационной работе исследуется асимптотическое (при больших временах) поведение решений сильнодиссипативного волнового уравнения, а именно возможность построения инерциального многообразия. В диссертации рассматривается следующая начально-краевая задача:

ии - 2ъАщ + 2-ушщ -Аи = /(и) + д(щ), (1)

в ограниченной области ОсГс условиями Дирихле на границе и начальными условиями

м1=о = «о(:с) € Я02(П), «4|4=0=Ро(®)е£2(П). (2)

Уравнения такого типа возникают во многих важных физических приложениях: в квантовой механике, в теории соединения Джосефсона (возмущенное уравнение зт-Гордона для потока), в описании движения вязкоупругих тел типа Кельвина-Войта и теплопроводности некоторых типов.

Задача (1), (2) исследовалась многими авторами довольно широко, при этом особое внимание уделялось асимптотическому поведению решений.

При отсутствии нелинейной зависимости от щ (то есть при д = 0) глобальное существование и диссипативность сильных решений, лежащих в регулярном фазовом пространстве [Я2(П) П х Щ(П), были установлены В. К. Калантаровым1 без какого-либо ограничения на рост нелинейной функции /. Кроме того, при дополнительном ограничении на рост функции / вида |/'(и)| < с(1 + |и|р) начально-краевая задача для уравнения (1) является корректно поставленной и в естественном энергетическом фазовом пространстве

'В. К. Калантаров, Глобальное поведение решений нелинейны? уравнений математической физики классических и неклассических типов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, Ленинград, 1988.

Ii = Яд(П) x L2(íí)2. Также установлено существование и единственность слабого решения задачи (1), (2) с д ф 0 при некоторых условиях на рост нелинейных функций / и д3'4.

Хорошо известно, что асимптотическое поведение при больших временах многих диссипативных систем, порождаемых уравнениями математической физики, может быть описано в терминах так называемых глобальных аттракторов, то есть таких компактных инвариантных множеств фазового пространства, которые притягивают образы всех ограниченных множеств при стремлении времени к бесконечности5 С одной стороны, глобальный аттрактор, если он существует, содержит все нетривиальные предельные динамики рассматриваемой системы, а с другой стороны, он существенно меньше. чем исходное фазовое пространство. В частности, в случае, когда уравнение рассматривается в ограниченной области ft С R", этот аттрактор часто имеет конечную фрактальную размерность. В силу этого, несмотря на изначальную бесконечномерность фазового пространства, предельная динамика оказывается конечномерной и эквивалентна подходящей динамической системе, определенной на компактном подмножестве Rn. Этот факт называется принципом конечномерной редукции.

Существование аттракторов для волновых уравнений с сильной диссипацией при различных ограничениях на функции fug было исследовано в работах В. К. Калантарова, В. Пата и многих других.

2V. Pata, S. Zelifc. Smooth attractors for strongly damped wave equations. Noiüinearity. 2006, V. 19, P. 1495-1506.

3J. M. Ghidaglia, A. Marzocchi, Longtime behavior of strongly damped wave equations, global attractors and their dimension. SLAM J. Math. Anal. 1991, V. 22. no. 4, P. 879-895.

4F. DelTOro, V. Pata, Long-term analysis of strongly damped nonlinear wave equations. Nonlinearity. 2011, V. 24. P. 3413-3435.

5A. В. Бабин., M. И. Вишик, Аттракторы эволюционных уравнений. М: Наука, 1989.

6R. Temam, Infinite-dimensi&nal dynamical systems in mechanics and physics. Appl. Math. Sei. V. 68. New York: Springer, 1988, 2nd ed. 1997.

Однако, упомянутый принцип конечномерной редукции хоть и очень важен, но имеет существенные недостатки. Во-первых, этот принцип обеспечивает лишь гельдерову непрерывность редуцированной динамической системы. Этого недостаточно для того, чтобы представить ее как динамическую систему, порождаемую корректно поставленной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Более того, не известны разумные условия на глобальный аттрактор, которые гарантируют ее липшицевость. Второй недостаток заключается в том, что сложная геометрическая структура аттрактора затрудняет применение принципа конечномерной редукции в практических задачах при численных вычислениях: по сути, возможна только эвристическая оценка на число неизвестных, которые необходимы для описания всех динамических эффектов в предельном случае.

В этой связи весьма полезным оказывается понятие инерциального многообразия бесконечномерной динамической системы (в случае неавтономных уравнений вводится понятие интегральных многообразий). Это многообразие представляет собой конечномерную поверхность, которая содержит глобальный аттрактор и экспоненциально притягивает траектории. При этом появляется возможность свести исследование предельных режимов исходной бесконечномерной системы к решению аналогичной задачи для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Инерциальные многообразия были введены и исследованы в работах Р. Темама, Дж. Селла, Э. Тити и других.

Было предложено несколько методов построения инерциальных многообразий, однако все известные к настоящему времени методы предполагают выполнение довольно жесткого условия, называемого условием спектральной щели и подразумевающего наличие произвольно больших зазоров в спектре линеаризованной исходной системы. В общем случае это свойство может быть

выполнено только в одномерном пространстве. Тем не менее, существование инерциальных многообразий может быть доказано для большого числа уравнений, в основном в пространствах размерности один и два7'8.

В упомянутых работах инерциальные многообразия, в основном, были построены для различных квазилинейных параболических уравнений и систем параболического вида с линейным самосопряженным операторным членом в правой части уравнения. В случае волновых уравнений соответствующий линейный оператор несамосопряжен, что создает значительные трудности при формулировке условия спектральной щели. Для более известного случая волновых уравнений со слабой диссипацией инерциальные многообразия были построены, например, в работе К. Мора9. Для неавтономного уравнения также были построены интегральные многообразия, при этом задачу можно свести к общей теореме для абстрактного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве10.

Для елабодисеипативного волнового уравнения вида

Utt + 27u,.ut - Ди = f(u) (3)

имеет место теорема

Теорема. Пусть функция f липшицева с константой I, а 0 < Ai < Аг ^ ^ Аз < ... — собственные числа оператора — А в Q с условиями Дирихле на границе. Кроме того, пусть существует такое N, для которого выполнено

7R. Tcmam, Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. Appl. Math. Sci. V. 68. New York: Springer, 1988, 2nd ed. 1997.

8C. Foias, G. Sell, R. Temam. Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations. J. Diff. Eq. 1988, V. 73, no. 2, P. 309-353.

9X. Mora, 1987 Finite-dimensional attracting invariant manifolds for damped semilinear wave equations. Res. Notes in Math. V. 155. P. 172-183.

10 А. Ю. Горинкий. В. В. Чеиыжок, 2005 Свойство дихотомии решений квазилинейных уравнений в задачах об ииерцшигышх многообразиях. Мат. Сб. Т. 196, по. 4. С. 23-50.

Луу < Ал'+[ <7¿и неравенство

21 < - А* - ^ _ Алг+Ол/тг - А^+1.

Тогда для задачи (3), (2) в пространстве Н = #о(П) х Ь2(Р) существует N -мерное иперциальное многообразие.

Эта теорема представляет собой переформулировку для автономного случая результата из упомянутой работы А. Ю. Горицкого и В. В. Чепыжова, где рассматривается неавтономная задача.

Однако спектральные свойства линейного оператора для волнового уравнения с сильной диссипацией принципиально отличаются от слабодиссипа-тивного случая, а значит условие спектральной щели и вместе с ним достаточные условия существования инерциального многообразия принимают совершенно другой вид. Тем самым, вопрос о существовании инерциальных многообразий для волновых уравнений с сильной диссипацией, который до сих пор в литературе не рассматривался, представляется актуальным.

Цель работы и объект исследования. Целью работы является исследование задачи о существовании инерциального многообразия для волнового уравнения при наличии сильной диссипации. Объектом иследования являются начально-краевая задача (1), (2) и условия существования инерциальных многообразий для этой задачи.

Основные методы исследования. В диссертации применяются методы теории бесконечномерных динамических систем, теории дифференциальных уравнений и теории нелинейных уравнений с частными производными.

Научная новизна. Все результаты являются новыми и состоят в следующем.

1. Исследован характер спектра линейного волнового уравнения со слабой и сильной диссипацией в зависимости от соотношения коэффициентов

диссипации.

2. Получены условия спектральной щели как в действительной, так и в комплексной части спектра несамосопряженного оператора, соответствующего рассматриваемому уравнению.

3. Найдены условия на константы Липшица нелинейных членов волнового уравнения с сильной диссипацией, при которых существует инерциальное многообразие.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы при исследовании асимптотического поведения решений волновых уравнений с диссипацией. Эти результаты могут применяться в различных математических моделях, описываемых такими уравнениями, например, в теории соединения Джосефсона или движения вязкоупругих тел типа Кельвина-Войта.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях.

1. Семинар «Качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений» под руководством проф. И. В. Асташовой, проф. Н. X. Розова, проф. И. Н. Сергеева (МГУ, Москва, 2011).

2. Семинар «Дифференциальные уравнения и приложения» под руководством М. И. Вишика (МГУ, Москва, 2012).

3. XXIII совместное заседание Московского математического общества и семинара имени И. Г. Петровского (МГУ, Москва, 2011).

4. Первый совместный научный семинар Киевского Политехнического института и механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Москва, 2012).

5. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и приложения», посвященная 90летию М. И. Вишика (Москва, 2012).

6. XV Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2008).

7. Международный молодежный научный форум «Ломоносов-2012» (Моск-

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендуемых ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения. Общий объем диссертации составляет 79 страниц; библиография включает 38 наименований.

Краткое изложение содержания диссертации

Во Введении описана история вопроса и известные ранее факты, сформулирована поставленная задача.

В Главе 1 в разделе 1.1 приводятся определение инерциального многообразия и теорема о существовании инерциального многообразия для абстрактного дифференциального уравнения.

В разделе 1.2 ставится начально-краевая задача для волнового уравнения с сильной диссипацией: в ограниченной области П С ¡К" с гладкой границей д£1 рассматривается задача

ва, 2012).

ии - 2ъАщ + 2-ушщ - Аи = /(и) + д(щ), и\оп = 0, и|(=0 = щ(х) в //¿(П), м(|(=0 = ра{х) € Ь2(П).

(4)

(5)

Здесь 75 > 0, 7щ. ^ О — коэффициенты соответственно сильной и слабой диссипации. Предполагается также, что нелинейные функции /(в) и <?(в) непрерывно дифференцируемы (/,д € С1 (К)), а их производные ограничены:

|/'(5)|</ц, |</(я)|</Р № € К. (6)

Кроме того, налагается дополнительное условие /(0) = д(0) = 0.

В разделе 1.3 исследуется спектр соответствующей линейной задачи. Пусть Хк, 0 < А1 < А2 А.) ^ • • • —> +оо, — собственные значения оператора —Д в области Г2 с условиями Дирихле на границе. Тогда собственные числа линейной части уравнения есть

»к = 1к~ 1 ~ А* и ик = 7* + \Jjf~ Ак,

где 7к = 7ш+73Ак- На рисунках 1 и 2 показано их качественное расположение на комплексной плоскости в двух случаях: < 1 и 47„73 ^ 1.

Гт"

Рис. 1. Спектр линейного уравнения в случае 47„75 < 1

Im

1

27s

27»

Re

Рис. 2. Спектр линейного уравнения в случае 47^7s ^ 1

При А к +оо имеет место асимптотика Цк = + О (j^ > а значит в спектре также содержится число

В Главе 2 сформулированы и доказаны основные результаты об условиях на константы Липшица нелинейных членов уравнения, позволяющих построить инерциальное многообразие. Раздел 2.1 касается случая щели в действительной части спектра, а в разделе 2.2 рассматривается спектральная щель в недействительной части спектра. Для каждого из этих двух случаев в фазовом пространстве вводится новая норма, эквивалентная исходной, в которой выполнены условия упомянутой общей теоремы для абстрактного дифференциального уравнения. Тем не менее, схемы построения этих норм существенно отличаются, и поэтому эти два случая рассматриваются отдельно.

В разделе 2.1 сформулирована и доказана теорема о существовании инер-циального многообразия для волнового уравнения с сильной диссипацией при наличии щели в действительной части спектра.

Обозначим

Г^и "Ь 27и,/р л *

= 0 ■ . , 71 = 7» + 7Иь 7лг+1 = ~fw + 7.Дл'+ь

¿is^u -г 'р

7ь если Г iC 7ь Г, если 7i < Г ^ 7Л>1; 7лг+ь если 7лг+[ ^ Г.

Кроме того, обозначим А* = —-— (тогда 7* = 7^. + 7SA,).

7s

Теорема 2.1. Пусть функции fug липшицевы с константами 1и и 1Р соответственно (см. условие (С)). Пусть, кроме того, существует такое N, для которого выполнено неравенство

-lu + iJp , ч

7^T*<flN+l-llN' (7)

а при 47^7., < 1 еще и неравенство

1 - 2уи,Ъ - у/1 - 47ц,7з

Ату+1 <-—5-.

27?

Тогда для задачи (4), (5) в пространстве Н существует N-мерное инерци-альное многообразие.

В разделе 2.2 сформулирована и доказана теорема о существовании инер-циального многообразия для волнового уравнения с сильной диссипацией при условии наличия щели в недействительной части спектра.

Зафиксируем такие числа т и М, удовлетворяющие неравенствам 1 - у/1 - 47м7з 1

—Я—

что в полосе {т < ИеС < М} нет точек спектра линейной части уравнения, но в полуплоскости {ИеС ^ т} такие точки есть. Введем несколько обозначений.

Определим номера и к2 так, чтобы числа г/^ и лежали в полуплоскости {Не С > М}, а числа ик1+х и ик, — в полуплоскости {11еС ^ т} (см. рисунок 3).

1т

1

27»

1-1

Рис. 3. Щель в недействительной части спектра

Обозначим си = /и\/1 + г, ср = 1ру/1/е + 1, где е > 0 — некоторый параметр, и введем числа щ, хц, *сц[, XIV-

Если = 0, то формально положим х/ = +оо. Иначе

щ =

си + 7*1 Ср

Далее, если к^ = то хц — мщ = +оо. Иначе положим Хц = / XIII =

(с„ + ак1+1ср)2 + 4,+!^ ^(си + а^Ср)2 + 42с2

где обозначено

то* = т- -ук; ск = си + 7кср, тк = \к -

Наконец, обозначим \м = (М — 7„)/7<, и положим

Хм - М2

Щ\' =

с2 + 2Мсиср + Ад/с2

Отметим, что все числа ^ стремятся к бесконечности, когда константы Липшица 1и и 1Р стремятся к нулю.

Теорема 2.2. Пусть / ид удовлетворяют условию (6). Пусть, кроме того, имеет место 71еравенство

Тогда для задачи (4), (5) в пространстве К существует (2к2 - к^-мерное инерциальное многообразие.

В Главе 3 приведены следствия из основных теорем и рассмотрены некоторые частные случаи уравнения (4).

В разделе 3.1 рассмотрены следствия теоремы 2.1, касающиеся больших и малых коэффициентов диссипации. Показано, что теорема 2.1 применима для случая малого коэффициента сильной диссипации и фиксированного коэффициента слабой диссипации. В предельном случае 7„ = О условие (7) на константы Липшица 1и и 1Р принимает вид

2 < (М — ТО) 81ф{гшп{>г/, Яц. ХПи Х/у}}.

(8)

Если функции / и д таковы, что задача

utt + 27u,w( - Ди = f(u) +д(щ), и|9П = О, "|4=о = «о(х) € Hq(U), щ|t=0 = Ро(х) € L2(ii),

£=0

(10)

(П)

имеет единственное решение при всех начальных условиях (например, это выполнено для кусочно-линейной функции д), то верна теорема

Теорема 3.1. Пусть функции fug липшицевы с константами 1и и 1Р соответственно. Кроме того, пусть существует такое N, для которого выполнено \n < Ajv+i < 7к и неравенство (9). Тогда для задачи (10), (11) в пространстве И существует N-мерное инерциальное многообразие.

В разделе 3.1 также показано, что в общем случае увеличение коэффициентов диссипации не улучшает ситуацию с точки зрения существования инерциального многообразия. Однако в случае, когда нелинейная функция зависит только от и (то есть g = 0 и 1р = 0), при фиксированном коэффициенте сильной диссипации 7„ теорема 2.1 доставляет условие существования инерциального многообразия для больших коэффициентов слабой диссипации.

Теорема 3.2. Пусть g = 0, а функция / липшицева с константой 1и. Кроме того, пусть существует такое N, для которого выполнено

Тогда при достаточно большом 7Ш у задачи (4), (5) в пространстве И существует N-мерное инерциальное многообразие.

В разделе 3.2 рассмотрены условия спектральной щели (8) для случаев зависимости нелинейного члена уравнения только от неизвестной функции или только от се производной. В первом случае (д = 0) условие (8) принимает

4lu < Ajv+i — Ajv-

вид

2lu < (Л/ - т) min -Л*,, skl+u sk2, у/Хм - М2 j ,

а во втором случае (/ = 0) — вид

2lp < (М — т) min <

А-7*2,

S^+I sa2 Хм - М2

Также в указанных случаях рассмотрено дополнительное условие отсутствия слабой диссипации (то есть -уш = 0). Имеют место следующие следствия теоремы 2.2.

Теорема 3.3. Пусть / липшецева с константой lu, а д = 0. Пусть

1

существует такое N, для которого выполнено Xдг < Адг+i < —7; и имеет

Ы

место неравенство

2lu < sup {(Ts-Wi ~ m) minfjii(то), JiN(m), ^W+i^Av+i)}}, где обозначено

3ik{a) = |a - 7sA*:| + sja? - 2jsXka + Xk.

Тогда у задачи (4), (5) с yw = 0 в пространстве Н существует 2N-мерное инерциальное многообразие.

Теорема 3.4. Пусть g липшецева с константой lp, a f = 0. Пусть

существует такое N, для которого выполнено jsXN < т < 7sAat+i < -

и имеет место неравенство

21Р < (js^N+i ~ т) min \ , Здг , \Л - 7?Ал-+1 I ,

{ V"1 + я? va% + s% J

где

ак = max{0, ак}, sk = \Jт2 - 2укт + А^ + у/(т - ук)2 - (ук - ак)2,

лД*\Лп2 - 2укт + \к + ук(т - ук) (т - 7 к)2 + А к

Тогда у задачи (4), (5) с уш = 0 в пространстве Л существует 2N-мерное инерциальное многообразие.

В Приложении А стандартным методом Галеркина доказывается корректность рассматриваемой задачи (4), (5).

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук Горицкому Андрею Юрьевичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также доктору физико-математических наук Чепыжову Владимиру Викторовичу за плодотворные обсуждения и полезные книги и статьи.

Работы автора по теме диссертации

В научных журналах, находящихся в перечне ВАК

1. N. A. Chalkina. Sufficient Condition for the Existence of an Inertial Manifold for a Hyperbolic Equation with Weak and Strong Dissipation. Russ. J. Math. Phys. 2012, V. 19, no. 1, pp. 11-20.

2. H. А. Чалкина, Инерциальное многообразие для гиперболического уравнения с диссипацией. Вести, моек, ун-та сер. 1, Математика. Механика. 2011, по. 6, стр. 3-7.

3. Н. А. Чалкина, Инерциальное многообразие и условие спектральной щели для сильнодиссипативного гиперболического уравнения. Дифференциальные уравнения, 2011, Т. 47, №11, стр. 1658.

ак = 7к - (т - ук)

В прочих научных журналах и материалах научных коференций

4. Н. А. Чалкина, Об экспоненциально притягивающем инерциальнол1 многообразии для гиперболического уравнения с диссипацией. Материалы докладов XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», М.: Издательство МГУ; СП МЫСЛЬ, 2008, стр. 60.

5. N. A. Chalkina, A. Yu. Goritsky, Inertial manifolds and gap property for dissi-pative hyperbolic equations. Сборник тезисов XXIII совместного заседания Московского математического общества и семинара им. И.Г. Петровского. Москва, 2011, стр. 23.

В этой работе Горицкому А. Ю. принадлежит общий обзор ранее известных результатов об инерциальных многообразиях волнового уравнения со слабой диссипацией, Чалкиной Н. А. принадлежит формулировка теоремы о достаточных условиях существования инерциального многообразия для сильнодиссипативного волнового уравнения.

6. Н. А. Чалкина, Инерциальное многообразие для гиперболического уравнения с сильной диссипацией. Материалы Международного молодежного научного форума «Ломоносов-2012», М.: МАКС Пресс, 2012, стр. 1.

7. N. A. Chalkina, Inertial Manifolds for strongly damped wave equations. Abstract of talks international conference in honour of Mark Vishik on occasion of his 90th birthday. Moscow, 2012, F. 8.

Подписано в печать 19.11.2012 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1269 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1 Понятие инерциального многообразия и волновое уравнение с сильной диссипацией

1.1 Инерциальное многообразие и теорема о его существовании для абстрактного дифференциального уравнения.

1.2 Начально-краевая задача для волнового уравнения с сильной диссипацией.

1.3 Спектр линейной задачи для волнового уравнения с сильной диссипацией.

2 Теоремы о существовании инерциального многообразия для волнового уравнения с сильной диссипацией

2.1 Спектральная щель в действительной части спектра.

2.1.1 Формулировка теоремы.

2.1.2 Норма 74, к = 1,., N.

2.1.3 Норма в Ноо.

2.1.4 Доказательство теоремы.

2.2 Спектральная щель в недействительной части спектра.

2.2.1 Формулировка теоремы.

2.2.2 Норма в подпространствах Т~Ск, к = 1,. ,к\

2.2.3 Норма в подпространствах Нь, к = к\ + 1,. •.,

2.2.4 Норма в Н^.

2.2.5 Доказательство теоремы.

3 Следствия и частные случаи

3.1 Условия спектральной щели в действительной части спектра

3.1.1 Случай малых коэффициентов диссипации.

3.1.2 Случай больших коэффициентов диссипации.

3.2 Условия спектральной щели в недействительной части спектра

3.2.1 Нелинейная функция зависит только от и: уравнение иц - 2т8Ащ + 2т- Аи = /(и)

3.2.2 Нелинейная функция зависит только от щ\ уравнение ии - 2тяАщ + 2т- Аи = д(щ).

В диссертационной работе исследуется асимптотическое (при больших временах) поведение решений сильнодиссипативного волнового уравнения, а именно возможность построения инерциального многообразия. В диссертации рассматривается начально-краевая задача для квазилинейного сильнодиссипативного волнового уравнения вида ии - 273Ащ + 2т- Аи = /(и) + д(щ), (0.1) в ограниченной области условиями Дирихле на границе, дополненного начальными условиями

0 =щ(х) еН^П), щ1=0=ро(х)еЬ2(П). (0.2)

Уравнения такого типа возникают во многих физических приложениях, например, уравнение (0.1) описывает теплопроводность третьего типа в соответствии с теорией Грина-Нагди (см. [14, 15, 16]). Возможны и другие физические интерпретации, такие как теория перехода Джосефсона (возмущенное уравнение эт-Гордона для потока, см. [18]) или движение вязкоупругих тел типа Кельвина-Войта (см. [9, 19]).

Задача (0.1), (0.2) исследовалась многими авторами. Для уравнений с нелинейной зависимостью только от и (то есть при д = 0) глобальное существование и диссипативность сильных, лежащих в регулярном фазовом пространстве [H2(il) ПЛо(П)] х -^о(^) решений были установлены в [33] (см. также [34]) без какого-либо ограничения на рост нелинейной функции /. С другой стороны, если дополнительно наложить условие \f'(u)\ ^ с( 1 + |w|p), р ^ 4 при п = 3, то уравнение (0.1) будет корректно поставлено также в естественном энергетическом фазовом пространстве х Ьг(Г^) (см., например, [26]). Условия на функции / и д, при которых существует и единственно слабое решение задачи (0.1), (0.2), были приведены в [13]. Кроме того, доказательство корректности поставленной задачи при более мягких условий можно найти, например, в [8].

Значительная часть работ посвящена асимптотическому поведению решений уравнения (0.1) при больших временах.

Хорошо известно, что асимптотическое поведение при больших временах многих диссипативиых систем, порождаемых уравнениями математической физики, может быть описано в терминах так называемых глобальных аттракторов, то есть таких компактных инвариантных множеств фазового пространства, которые притягивают образы всех ограниченных множеств при стремлении времени к бесконечности (см., например, [6, 27, 30]). С одной стороны, глобальный аттрактор, если он существует, содержит все нетривиальные предельные динамики рассматриваемой системы, а с другой стороны, он существенно меньше, чем исходное фазовое пространство. В частности, если упомянутое уравнение рассматривается в ограниченной области С Ж", то этот аттрактор часто имеет конечную фрактальную размерность (см. [6, 27, 30] и ссылки, приведенные в этих работах). В силу этого свойства несмотря на изначальную бесконечномерность фазового пространства Е предельная динамика оказывается конечномерной; она эквивалентна некоторой подходящей динамической системе, определенной на компактном подмножестве R". Этот факт, основанный на модифицированной теореме Гельдера

Мане (см. [17]), называется принципом конечномерной редукции.

Существование и свойства аттракторов для волновых уравнений с сильной диссипацией исследовались в работах [1, 10, 13, 20, 25, 28, 29, 33] при различных ограничениях на нелинейные функции / и д.

Тем не менее упомянутый принцип конечномерной редукции хоть и очень важен, но имеет существенные недостатки. Во-первых, из теоремы Гельдера-Мане следует только, что редуцированная динамическая система непрерывна по Гельдеру. Этого недостаточно для того, чтобы представить ее в качестве динамической системы, порождаемой корректно поставленной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Более того, не известны разумные условия на глобальный аттрактор, которые гарантируют ее липши-цевость. Второй недостаток заключается в том, что сложная геометрическая структура аттрактора затрудняет использование принципа конечномерной редукции на практике при численных вычислениях: в сущности, возможна лишь эвристическая оценка на число неизвестных, которое необходимо для описания всех динамических эффектов в предельном случае.

В этой связи весьма полезным оказывается понятие инерциального многообразия бесконечномерной динамической системы (в случае неавтономных уравнений вводится понятие интегральных многообразий). Это многообразие представляет собой конечномерную поверхность, которая содержит глобальный аттрактор и экспоненциально притягивает все траектории. При этом появляется возможность свести исследование предельных режимов исходной бесконечномерной системы к решению аналогичной задачи для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Инерциальные многообразия были введены и исследованы в [7, 11, 12, 22] (см. также [21, 27, 35, 38], а для неавтономных уравнений [3, 4]).

Было предложено несколько методов построения инерциальпых мпогообразий: метод Ляпунова-Перропа, построение сходящихся последовательностей приближенных инерциальных многообразий, метод граф-трансформации (см. [7, 11, 27, 38]). Однако все известные к настоящему времени методы построения инерциальных многообразий требуют выполнения довольно жесткого условия, называемого условием спектральной щели (см. [11]), которое предполагает существование произвольно больших зазоров в спектре соответствующего линейного оператора. В общем случае это свойство может быть выполнено только в одномерном пространстве. Тем не менее существование инерциальных многообразий может быть доказано для многих типов уравнений, главным образом в пространствах размерности один и два (см. [7, 11, 27, 38] и ссылки, приведенные в них).

В упомянутых работах инерциальные многообразия в основном были построены для различных квазилинейных параболических уравнений и систем с линейным самосопряженным операторным членом в правой части уравнения. В случае волновых уравнений с диссипацией соответствующий линейный оператор несамосопряжен, что приводит к значительным трудностям при формулировке условия спектральной щели. Для более известного случая волновых уравнений со слабой диссипацией инерциальные многообразия были построены, например, в [23, 24]. При этом задача может быть сведена к общей теореме для абстрактного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве (см. [21, 32, 35]). Также для неавтономного волнового уравнения с диссипацией было построено интегральное многообразие (см. [5, 32]). Кроме того, в [24] были доказаны результаты о несуществовании инерциальных многообразий для диссипативного уравнения эт-Гордона.

Для слабодиссипативного волнового уравнения вида - Аи = ¡(и), (0.3) имеет место следующая теорема (см., например, Горицкий, Чепыжов [32]1).

Теорема 0.1. Пусть функция / липшицева с константой I, а 0 < Лі < Л2 ^ Аз • • • — собственные числа оператора — Д в О, с условиями Дирихле на границе. Кроме того, пусть существует такое ТУ, для которого выполнено

Тогда для задачи (0.3), (0.2) в пространстве х £2(£2) существует

N-мерное инерциальное многообразие.

Вопрос о существовании инерциальных многообразий для волновых уравнений с сильной диссипацией до сих пор в литературе не рассматривался. Отметим, что спектральные свойства линейного оператора для уравнения с сильной диссипацией принципиально отличаются от слабодиссипативного случая, и следовательно, достаточные условия существования инерциального многообразия принимают совершенно иной вид.

Диссертация построена следующим образом. В главе 1 рассмотрены общие вопросы, касающиеся теории инерциальных многообразий и сильнодис-сипативного волнового уравнения. В параграфе 1.1 дано определение инерциального многообразия и приведена общая теорема о существовании инерциальных многообразий для абстрактного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве. В параграфе 1.2 поставлена начально-краевая задача для волнового уравнения с сильной диссипацией. Спектральные свойства соответствующего линейного уравнения для различных соотношений между коэффициентами диссипации и % рассмотрены в параграфе 1.3.

На самом деле, в работе рассматривается неавтономное уравнение, а здесь приведена переформулировка результата для автономного случая

Адг < Адг+і < и имеет место неравенство

Основные результаты работы (достаточные условия существования инер-циальных многообразий) даны в главе 2 в теоремах 2.1 и 2.2, которые касаются двух существенно различающихся случаев расположения спектральной щели. Соответственно, теорема 2.1 и параграф 2.1 посвящены случаю щели в действительной части спектра, а в теореме 2.2 и параграфе 2.2 рассматривается случай щели в недействительной части спектра. Для каждой из этих двух ситуаций в фазовом пространстве Щ (О) х ^(О) вводятся новые нормы, эквивалентные исходной, в которых выполнены условия упомянутой общей теоремы для абстрактного дифференциального уравнения. Тем не менее схемы построения этих норм существенно отличаются, и поэтому эти случаи рассматриваются отдельно. Результаты параграфа 2.1 подробно опубликованы в [2] и улучшают результаты, опубликованные автором в [36]. Результаты параграфа 2.2 частично опубликованы в [31, 37].

В главе 3 приведены следствия из теорем 2.1 и 2.2 и рассмотрены некоторые частные случаи уравнения (0.1). В параграфе 3.1 исследуется изменение условия спектральной щели в действительной части спектра при малых и при больших коэффициентах диссипации. В параграфе 3.2 даны переформулировки теоремы о щели в недействительной части спектра для частных случаев (д = 0, 7«, = 0, / = 0).

Наконец, в приложении А дано определение слабого решения и проведено доказательство корректности поставленной начально-краевой задачи.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю Горицкому Андрею Юрьевичу за постановку задачи, плодотворные обсуждения и постоянное внимание к работе, а также Чепы-жову Владимиру Викторовичу за полезные замечания, книги и статьи.

1. A. N. Carvalho, J. W. Cholewa, Attractors for strongly damped wave equations with critial nonlinearities // Pacific J. Math. V. 207, P. 287-310, 2002

2. N. A. Chalkina, Sufficient Condition for the Existence of an Inertial Manifold for a Hyperbolic Equation with Weak and Strong Dissipation // Russ. J. Math. Phys. V. 19, №1, P. 11-20, 2012

3. V. V. Chepyzhov, A. Yu. Goritsky, Global integral manifolds with exponential tracking for nonautonomous equations // Russ. J. Math. Phys. V. 5, №1. P. 9-28, 1997

4. V. V. Chepyzhov, A. Yu. Goritsky, Explicit construction of integral manifolds with exponential tracking // Appl. Anal. V. 71, №1-4. P. 237-252, 1999

5. V.V. Chepyzhov, A.Yu. Goritsky, M.I. Vishik, Integral manifolds and attractors with exponential rate for nonautonomous hyperbolic equations with dissipation // Russ. J. Math. Phys. V. 12, №1. P. 17-39., 2005

6. V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik, Attractors for Equations of Mathematical Physics. Providence: AMS. Coll. Publ, 2002

7. P. Constantine, C. Foias, B. Nicolaenko, R. Temam, Integral manifolds and inertial manifolds for dissipative partial differential equations. Appl. Math. Sciences. V. 70. New York: Springer, 1989

8. F. Dell'Oro, V. Pata, Long-term analysis of strongly damped nonlinear wave equations // Nonlinearity. V. 24. P. 3413-3435, 2011

9. G. Duvant, J.-L. Lions, Inequalities in mechanics and physics. Berlin: Springer, 1976

10. A. Eden, V. Kalantarov, Finite dimensional attractors for a class of semilinear wave equations // Turkish J. Math. V. 20, P. 425-450, 1996

11. C. Foias, G. Sell, R. Temam, Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations // J. Diff. Eq. V. 73, №2, P. 309-353, 1988

12. C. Foias, G. Sell, E. Titi, Exponential tracking and approximation of inertial manifolds for dissipative nonlinear equations // J. Dynam. Diff. Eq. V. 1, №2, P. 199-244, 1989

13. J.M. Ghidaglia, A. Marzocchi, Longtime behavior of strongly damped wave equations, global attractors and their dimension // SIAM J. Math. Anal. V. 22. m, P. 879-895, 1991

14. A. E. Green, P. M. Naghdi, A unified procedure for construction of theories of deformable media: I. Classical continuum physics // Proc. R. Soc. Lond. A V. 448, P. 335-356, 1995

15. A. E. Green, P. M. Naghdi, A unified procedure for construction of theories of deformable media: II. Generalised continua // Proc. R. Soc. Lond. A V. 448, P. 357-377, 1995

16. A. E. Green, P. M. Naghdi, A unified procedure for construction of theories of deformable media: III. Mixtures of interacting continua // Proc. R. Soc. Lond. A V. 448, P. 378-388, 1995

17. B. R. Hunt, V. Y. Kaloshin, Regularity of embeddings of infinite-dimensional fractal sets into finite-dimensional spaces // Nonlinearity. V. 12, P. 12631275, 1999

18. P. S. Landahl, 0. H. Soerensen, P. L. Christiansen, Solitons excitations in Josephson tunnel junctions // Phys. Rev. B V. 25, P. 5337-5348, 1982

19. V. P. Maslov, P. P. Mosolov, Nonlinear wave equations with pertubed by viscous terms Walter de Gruyter. Berlin, New York, 2000

20. P. Massat, Limiting behavior for strongly damped nonlinear wave equations //J. Diff. Eqns. V. 48, P. 334-349, 1983

21. M. Miklavcic, A sharp condition for existence of an inertial manifold //J. Dynam. Differential Equations. V. 3, №3, P. 437-456, 1991

22. X. Mora, Finite dimensional attracting manifolds in reaction diffusion equations // Contemp. Math. V. 17. P. 353-360, 1983

23. X. Mora, Finite-dimensional attracting invariant manifolds for damped semilinear wave equations //Res. Notes in Math. V. 155. P. 172-183, 1987

24. X. Mora, J. Sola-Morales, Existence and nonexistence of finite-dimensional globally attracting invariant manifolds in semilinear damped wave equations // Dynamics of Infinite Dimensional Systems, New York: Springer, P. 187210, 1987

25. V. Pata, M. Squassina, On the strongly damped wave equation // Commun. Math. Phys. V. 253, P. 511-533, 2005

26. V. Pata, S. Zelik, Smooth attractors for strongly damped wave equations // Nonlinearity. V. 19, P. 1495-1506, 2006

27. R. Temam, Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. Appl. Math. Sci. V. 68. New York: Springer, 1988, 2nd ed. 1997

28. G. F. Webb, Existence and asymptotic behavior for a strongly damped nonlinear wave equation // Can. J. Math. V. 32, P. 631-643, 1980

29. S. Zhou, Global attractor for strongly damped nonlinear wave equations // Funct. Diff. Eqns. V. 6, P. 451-470, 1999

30. А. В. Бабин., M. И. Вишик, Аттракторы эволюционных уравнений. М: Наука, 1989

31. А. Ю. Горицкий, Н. А. Чалкина, Инерциальные многообразия для слабо-и сильнодиссипативных гиперболических уравнений. Труды семинара Петровского №29, 2011

32. А. Ю. Горицкий, В. В. Чепыжов, Свойство дихотомии решений квазилинейных уравнений в задачах об инерциалъных многообразиях // Мат. Сб. Т. 196, №4, С. 23-50, 2005

33. В. К. Калантаров, Глобальное поведение решений нелинейных уравнений математической физики классических и неклассических типов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, Ленинград, 1988

34. В. К. Калантаров, Об аттракторах для некоторых нелинейных задач математической физики // Зап. Научн. сам. ЛОМИ АН СССР, Т. 152, С. 50-54, 1986

35. А. В. Романов, Точные оценки размерности интегральных многообразий для нелинейных параболических уравнений // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 57, №4, С. 36-54, 1993

36. H.A. Чалкина, Инерциалъное многообразие для гиперболического уравнения с диссипацией // Вестн. моек, ун-та сер. 1, Математика. Механика. №6, С. 3-7, 2011

37. Н. А. Чалкина, Инерциалъное многообразие и условие спектральной щели для сильнодиссипативного гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения, Т. 47, №11, С. 1658, 2011

38. И. Д. Чуешов, Введение в теорию бесконечномерных динамических систем. Харьков: Акта, 1999