Сингулярно возмущенное гиперболическое уравнение и его аттракторы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК. 517.9.

МУКИНА О.В.

Сингулярно возмущенное гиперболическое уравнение и его аттракторы

Специальность : 01.01.02. - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1993

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор М.И.Вишик

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор В.В.Жиков кандидат физико-математических наук, доцент В.Г.Сушко

Ведущая организация - Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

Защита диссертации состоится ¿¿мАси^Я. 1993г.

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета (Д. 053. 05. 04) по математике при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан .-/¿¿'/'г1993г.

/

Ученый секретарь специализированного совета по математике Д. 053. 05. 04. при МГУ доктор физико-математических наук, профессор Т.П.Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы В последние годы идеи и понятия из области конечномерных систем все более проникают в теорию бесконечномерных динамических систем и порождающих их уравнений с частными производными. В работах О.А.Ладыженской, A.B.Бабина, М.И.Виншка, С.Фояша, Р.Темама, Дж.Хейла, Ж.-М.Гидаглья, А.Аро, Дж.Хейла и других авторов изучались вопросы, связанные с существованием, структурой, размерностью аттракторов полутрупп, соответствующих эволюционным уравнениям, то есть таких инвариантных множеств, к которым при t —* оо притягиваются все семейства траекторий, выходящие из ограниченных множеств. Исследовались также вопросы поведения решений возмущенных эволюционных уравнений и построения их конечномерных асимптотик. В этих работах рассматривались следующие основные уравнения математической физики: система уравнений Навье-Стокса, система уравнений магнитной гидродинамики, уравнения химической кинетики, волновые уравнения с диссипацией и нелинейными членами взаимодействия, ряд других уравнений. В работах А.В.Бабина, М.И.Вишика и В.В.Чепыжова исследовалась зависимость от малого параметра аттракторов некоторых возмущенных эволюционных уравнений, как автономных, так и неавтономных.

В настоящей работе изучается асимптотическое поведение решений сингулярно возмущенного гиперболического уравнения с диссипацией. Кроме того, рассматривается взаимосвязь аттракторов возмущенной и невозмущенной задач в автономном и неавтономном случаях. Основная трудность, встречающаяся при изучении сингулярно возмущенных уравнений, заключается в том, что фазовые пространства возмущенной и невозмущенной задачи являются различными.

1

Цель работы Построить максимальные аттракторы полугруппы, соответствующей автономному сингулярно возмущенному гиперболическому уравнению с диссипацией, а также процесса, порожденного неавтономным сингулярно возмущенным гиперболическим уравнением с диссипацией, изучить их свойства и зависимость от малого параметра. В автономном случае доказать существование стабилизированной асимптотики траекторий.

Научная новизна Все результаты диссертации являются новыми.

1. Доказало существование, изучены свойства и полунепрерывная зависимость от малого параметра аттрактора полугруппы {S((e)}, соответствующей уравнению

д?и + дхи = —еД2и + Ди - /(«) - д(х), и |ш= Au \ш= 0, (1)

где х е fi g R3, |/(u)| < C(1 + И3), 0 $ е ^ £0.

2. Доказано существование, изучены свойства и полунепрерывная зависимость от малого параметра процесса {U(t, т,е)}, порожденного уравнением

dtu+dtu = -еД2гt+Au-f{u,t)-g(x,t), и Ди |ап= 0, (2)

где а: € fi g R3, |/(u,<)| < С(1+М')» 0 < 2, 0 < е < ео,/(u,t) и д(х, t) - почти периодические функции в соответствующих банаховых пространствах.

3. Для любой траектории y(t,е) полугруппы {5((е)}, выходящей из ограниченного в некотором банаховом пространстве Е множества В, доказано существование стабилизированной асимптотики y(t) решений y(t,e) возмущенной задачи, то есть существование такой кусочно-непрерывной траектории y(t) невозмущенной задачи, для которой справедливо неравенство

tsO

где Со , до не зависят от е, у(0,е) € В.

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Ее результаты и разработанные в ней методы могут использоваться при исследовании асимптотического поведения решений задач математической физики, содержащих малый параметр при старших производных.

Апробация Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений МГУ.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора, список которых приведен в конце реферата.

Структура диссертации Работа состоит из введения, вспомогательной главы, содержащей основные определения, обозначения и предложения, трех основных глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы, содержащего 56 наименований. Общий объем диссертации 90 страниц.

Содержание работы

Во введении показана актуальность темы исследования, сформулированы задачи, изложены основные результаты.

Во вспомогательной главе приведены основные определения и обозначения, известные предложения, используемые в диссертации.

Глава 1 посвящена построению и изучению свойств аттрактора автономного сингулярно возмущенного гиперболического уравнения с диссипацией. Рассматривается уравнение

д?и + 3,ы = -еЛ2и + &и- /(«) - д(х) (3)

3

в области П g IR3 с достаточно гладкой границей ЭП, на Ш заданы следующие граничные условия

и Ли 0. (4)

Задаются начальные условия

«и<>=ио(ж)' й«|<=о=Р»(х)- (5)

В §1 приведены достаточные условия для существования и единственности решения задачи (3)-(5) и построена соответствующая данной задаче полугруппа нелинейных операторов {S((e)}, зависящая от малого параметра е . Теорема существования доказана с помощью метода Галеркина.

В следующих параграфах изучаются свойства полугруппы {5¡(e)}, а именно, доказана равномерная по e,t ограниченность в пространстве Е(е) при í ^ 0. Пространство Е(е) состоит из пар функций у(х) — (ii(z),p(z)), для которых конечна норма

\\yfm = Hl + eIMIl + IWIo-

Кроме того, доказаны (Е(е),Е(£)) - непрерывность операторов St(e) при любом фиксированном t > 0, существование равномерно по е ограниченного в Е(е) поглощающего множества Ва(е) и существование равномерно по е ограниченного в E\-ß(e), | < ß < 1, компактного в Е(е) притягивающего множества B¡(e). Доказано также существование максимального аттрактора 21(е) для любого е и его равномерная по £ ограниченность в Ei[e).

В четвертом параграфе исследуется зависимость 21(е) от е. Доказана теорема о полунепрерывности сверху семейства аттракторов Ще) при е —+ +0.

ТЕОРЕМА 1. Семейство аттракторов 21(е), 0 $ е ^ £о полунепрерывно сверху в jEj_„(0), а > 0 при е —♦ +0 , то есть

dist£l.a(o)(2t(e),a(0))-»0 4

при е —» +0, а > 0.

Для доказательства теоремы 1 устанавливается, что из произвольной последовательности точек Ио^^Ще) можно выбрать подпоследовательность, сильно сходящуюся в Ei-a(Q), а > 0 при s -* +0 к элементу из 21(0). Отсюда легко доказывается утверждение теоремы.

Во второй главе рассматривается неавтономное сингулярно возмущенное гиперболическое уравнение с диссипацией

dfu + dtu = -erД2и -t- Au - /(u, 0 - g(x, t) (6)

с граничными и начальными условиями

lai=0, (7)

« !t=T= M*), |/=г= Рг(х), (8)

Й m R3, граница дП - достаточно гладкая.

В §1 приведены достаточные условия, которым должны удовлетворять функции j(u,t) и g(x, t) для существования и единственности решения u(x,t,e) задачи (6)-(8). При выполнении этих условий задаче (6)-(8) соответствует процесс {Î7(i, г, е)}, зависящий от малого параметра е. Существование аттрактора неавтономной задачи (6)-(8) доказано в том случае, когда функции /(u, t) и д(х, t) почти периодические по t в соответствующих банаховых пространствах. Пусть H(f) и Н(д) - оболочки функций J(u,t) и g(x,t) соответственно. Из почти периодичности jug следует, что #(/) и Н(д) -компакты в этих банаховых пространствах. Для построения аттрактора изучается семейство задач

dju + dtu = ~еД2и + An - h(u, t) - <р(х, t), (9)

и Ли |an= 0, (10)

и |i=r= ur(x), dtu |i=r= pT(x), (11)

5

где k(u,t) G Я(/), *p(x,t) еЯ(й). Семейству задач (9)-(11) соответствует семейство процессов {Í7„(i,r,e)}, где а = (Л, <р) € H(f)xH(g), а = <t(í) называется временным символом задачи. Далее изучаются свойства семейства {Uv(t, г, е)}. Доказано, что семейство операторов а G #(/) х Н(д), равно-

мерно по е, сг, t ограничено в Е(е), (S(e) х Я(/) х Н(д), Е(е)) - непрерывно для любого фиксированного f s¡ г. Кроме того, доказано, что существует равномерно по а, т поглощающее множество В0(е), равномерно по г ограниченное в Е(е), а также, существует компактное равномерно по сг притягивающее множество К(е), равномерно по t ограниченное в Е(е).

Семейству процессов \U„(t, т,е)} сопоставляется полугруппа {£<(£■)}, определяемая формулой

5».(е)(Уг, h,v) = (V,(t0,0,е)ут, h(t + t0),<p(t +10)),

где а = (ft(í),v?(í)), yr G E(s). Для полугруппы {5t(e)} существует аттрактор 21(e) в пространстве Е(е) х Я(/) х íf(ff). Проекция 2ti(£-) аттрактора Ще) на Е(е) является равномерным по а аттрактором семейства {U„(t, т,е)}. При этом 2li(ff) = {(u(0), <9¿u(0)), где u(t) - любая полная ограниченная в Е(ё) траектория (9)-(11) с любым символом а = (h, if) G H(f) x H(g)} и 2(i(e) равномерно по e ограничен в Ei(e).

В §4 доказано свойство полунепрерывности сверху аттракторов 2li(e) в Е 1_а(0), а > 0 при е —► +0.

ТЕОРЕМА 2. Семейство аттракторов 2li(e) полунепрерывно сверху в £\_а(0), а > 0 при е —> +0 , то есть

¿ЫЕ_(0)(Ще), 21,(0)) 0

при е —♦ +0, а > 0.

Доказательство теоремы 2 проводится аналогично доказательству теоремы 1.

В третьей главе построена стабилизированная асимптотика решений задач (3)-(5). Основным результатом главы является

ТЕОРЕМА 3. {5((0)} рассматривается на некотором ограниченном множестве Во С Е(0), {5((е)} - на множестве

Bt = {y = (и,р) : у = y{t, e), y(t,£) <Е Me(R), t G R+}>

где Mt(R) - множество -решений возмущенной задачи с начальными условиями

уо = (tio(a;),po(x)), y{t,e) |(=9= у0, для которых справедливо неравенство

Найдется такое малое число ei > 0, что для y(t,e) = (u(t,e),dtu(t,e)), 0 < £ $ е\ существует стабилизированная асимптотика y(t) = (ii(t),dtii(t)) такая, что

5ир||и(*,£)~й(*)||1<С0ег, sup ||d,w(£,e) - 34й(<)||- < Сое1,

t> O.igy.

где 7о - множество точек разрыва ii(t), Со, q > 0 не зависят от е и уо g Ве. При этом U(t) - кусочно-непрерывное решение невозмущенной задачи.

В диссертации доказана сходимость аттракторов сингулярно возмущенного гиперболического уравнения с диссипацией, как автономного, так и неавтономного, к аттрактору невозмущенной задачи. Кроме того, показано, что решение автономной возмущенной задачи можно глобально аппроксимировать решениями невозмущенной.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору М.И.Вишику за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также А.Ю.Горицкому и В.Ю.Скворцову за полезное обсуждение результатов.

Работы автора по теме диссертации

1. Мухина О.В. Стабилизированная асимптотика одного сингулярно возмущенного гиперболического уравнения // Вестник Моск. ун-та. Матем. Мех. 1991. N 5, С. 77-80.

2. Мукина О.В. О полунепрерывности сверху аттракторов сингулярно возмущенного гиперболического уравнения // Рукопись деп. в ВИНИТИ 25.08.92. N 2680-В92, 36 с.